勾股定理(动画课件)

例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的 对边分别是a，b，c. (1)已知a＝b＝6，求c； (2)已知c＝3，b＝2，求a； (3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.
导引：分清斜边和直角边．因为在Rt△ABC中，a，b， c是三边，所以可以用勾股定理解决问题．
解：(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6， ∴由勾股定理，得 c a2 b2 62 62 6 2.
斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正
确的是( C )
A．b2＝c2－a2
B．a2＝c2－b2
C．b2＝a2－c2
D．c2＝a2＋b2
4 【中考·东营】在△ABC中，AB＝10，AC＝
2 10 ，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等
于( C )
A．10
B．8
C．6或10
D．8或10
5 【 中考·陕西】如图，将两个大小、形状完全相同 的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重 合，点C′落在边AB上，连接B′C. 若∠ACB＝ ∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为( A ) A．3 3 B．6 C．3 2 D.
(3)你能发现图2-1中三个正方 形A，B，C的面积之间有 什么关系吗？
SA+SB=SC
即：两条直角边上 的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积.
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
A a
Bb c
C
Sa+Sb=Sc
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
6 【中考·漳州】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5， BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若 线段AD长为正整数，则点D的个数共有( C ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分 ∠ABC，交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，则点 D到BC的距离是( A ) A．3 B．4 C．5 D．6
知识点 2 勾股定理与面积的关系
在一张纸上画4个与图所示的全等的直角三边形， 并把它们剪下来．如图所示，用这四个直角三角形进 行拼摆，将得到一个以a+b为边长的大正方形和以直 角形斜边c为边长的小正方形．
归纳
观察图形，容易得到大正方形的边长为 a+b，所以
大正方形的面积是(a+b)2．又因为大正方形是由4个全等
1 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边 长为c. (1)已知a=6，c=10，求b； (2)已知a=5，b=12，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.
解：(1) b c2 a2 102 62 8; (2) c a2 b2 52 122 13. (3) a c2 b2 252 152 20.
直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.
弦c 股b
┏
勾a
a2+b2=c2
定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边 和斜边，那么a2＋b2＝c2.
数学表达式： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b， BC＝a，则a2＋b2＝c2.
(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2， ∴由勾股定理，得 a c2 b2 32 22 5.
(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b. 又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52， 解得b＝ 5 .
总结
利用勾股定理求直角三角形的边长的方法：一般都要经过“一分二代三 化简”这“三步曲”，即一分：分清哪条边是斜边，哪些是直角边；二代：将 已知边长及两边之间的关系式代入a2＋b2＝c2（假设c是斜边）；三化简．
2 下列说法中正确的是( C ) A．已知a，b，c是三角形的三边长，则a2＋b2＝c2 B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的 平方 C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2＋b2＝c2 D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2＋b2＝c2
3 若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，
正方形C的面积是 18 个单位面积.
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
分“割”成 若干个直角边为 整数的三角形
S正方形c
= 4 133 2
=18(单位面积)
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
(2)在图2-2中，正方形A，B， C中各含有多少个小方格？ 它们的面积各是多少？
A
B
C
让我们一起探索这个古老的定理吧！
知识点 1 勾股定理
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的 直角边称为股，斜边称为弦. 图1称为“弦图”，最早是由 三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.
弦 勾
股 图1
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
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第1课 勾股定理
9 第17章 勾股定理
人教版8年级数学下册
勾股定理 勾股定理与图形的面积
相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋 友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反 映直角三角形三边的某种数量关系，同学 们，我们也来观察下面的图案，看看你能 发现什么？三角形和中间的正方形拼成的，所以大正方形的
面积又可表示成 1 ab×4+c2． 因此有(a+b)2= 1ab×4+
2
2
c2．整理得a2+b2=c2，即a、b、c为边的直角三角形满足
两直角边的平方和等于斜边的平方．
例2 观察如图所示的图形，回答问题： (1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形 P的面积 为9，正方形Q的面积为 15，则正方形M的面积 为________； (2)如图②，分别以直角 三角形ABC的三边长为直径向三角形外作三个半圆， 则这三个半圆形的面积之间的关系式是________； (用图中字母表示) (3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和 4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆，请你 利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积．