第四章_拉普拉斯方程的格林函数法

此处
u n
是
u n
在
上的平均值.
____
将两式带入可得

u

n

1 r


1 r
u n
dS

4 u

4
u n

0
当

0时，有 lim u 0

u(M0), (
u连续)
____
lim 4 u 0( u一阶连续可微， u 有界）
u

f
，若解u C1()存在，
则可表示为
u(M 0 )


f
(M )
GdS n

GFdV
注4：二维Laplace方程狄氏问题的格林函数
1 1
G(M , M 0 ) 2 ln rMM0 v, 格林函数的性质
2v 0， in
常数外解也是唯一确定的。
证明：
设u1,u2为上述两类问题的解，则它们的差v u1 u2必是原问题的 满足零边界条件的解，即对于
狄氏问题：v 2v00
in
2v 0
,牛曼问题: v n


0
in
.
在第一格林公式
u2vdV

u

vdS n
u f n
(其中n是的外法向量,f 是连续函数)
数学解释：在内寻求一个调和函数，它在闭区域上有一阶 连续偏导数,即u C2 () C1()，且在边界上满足边界条件。
注： 前面两种边值问题都是在内求解拉氏方程，故称此类 方程为内问题。 还有一类问题，例如确定某物体外部的稳恒 温度场, 就归结为在区域外部求调和函数，满足边界条件。

1 u(M ) (
n 4 rMM0
v)dS
令G(M , M0 )
1
4
1 rMM 0
v,
2v 0， in
其中调和函数v满足

1
v
4 rMM0

则
u(
M
0
)


u(M
)
G n
dS.
称G(M , M 0 )为三维Laplace方程狄氏问题的格林函数。这种
1 rMM 0
u n
dS
证明：为求调和函数在该点的值，构造一个函数
v
1
1
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 r
函数
1 r
除点M
0
(
x0
,
y0
,
z0
)外处处满足拉氏方程，它对研究三维Laplace
方程起着重要作用，通常称为三维Laplace方程的基本解。
P u v ,Q u v , R u v
x
y
z
代入Guass公式可得
u2vdV

u

vdS n

u
vdV
此公式称为第一格林公式
若令上述公式中u, v对换，可得
v2udV

v

udS n

u
vdV
两式相减可得第二格林公式
其中n为曲面的单位外法向矢量.
令 F ( P,Q,R )则Gauss公式等价于
Gauss公式的实质
divFdV F ndS.


表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲 面上的曲面积分之间的关系.
一、格林公式
设u(x, y, z), v(x, y, z) C2 () C1(), 令F uv，即
通常我们要加一些限制条件.
lim u(x, y, z) 0
r
三维问题
r 时，u(x, y）有界 二维问题
3）狄氏外问题
2u 0, in ' R3 \

u


f ,lim u(x, r
y, z)
0
数学解释： 求函数u(x, y, z)在外部区域'内调和，在'=' 上 连续且满足边界条件.
)，M
0在内
3）若u C2 () C1()，且2u=F,我们可以得到类似公式
u(M0)

1
4


u(M
)
n
(
1 rMM0
)

1 rMM0
u n
dS

1Baidu Nhomakorabea
4

F(M ) dV
rMM0
（2）牛曼内问题有解的充要条件
定理：设u是以为边界的区域内的调和函数，u C1()，则
这样的问题称为Laplace方程外问题。
注：对于外问题来说，求解通常都是在无界区域上，
这时需不需要对解加些限制条件呢？看下面一例子。
易知
u 0, r 1,

u 1 r 1
其中r x2 y2 z2
u 1,
u 1/ r
都是上述定解问题的解，即解不唯一.为了保证解的唯一性，
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
第一节 拉普拉斯方程边值问题的提法 第二节 格林公式 第三节 格林函数 第四节 两种特殊区域的格林函数及狄氏
问题的解
格林函数法
格林函数:又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念 格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的 场,知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。
Ka表示以M0 (x0, y0, z0 )为中心，以a为半径且完全落在内部的球面，
则成立下面平均值公式
1
u(M0 ) 4 a2 Ka udS
证明: 将调和函数的积分公式应用到Ka可得
u(M 0 )


1
4
(u(M )

n
(1) r
1 r
u )dS n


1
4
(u(M
0
n
n
所以u(M 0 )


1
4
(u

n

1 r


1 r
u )dS n
1
4


u(M
)
n

1 rMM 0

1 rMM 0
u n
dS
注：1）上式表明对于具有一阶连续偏导的调和函数u而言，它在内
二. 边值问题的提法：
1）第一边值问题(Dirichlet问题/狄氏问题)
数学解释：
2u 0, in

u f
在内寻求一个调和函数u, 它在边界上与已知
连续函数f 吻合，即u f .
2）第二边值问题(Neumann问题/牛氏问题)
2u 0, in


其中v满足

)
r
(1) r

1 r
u )dS n
1
1 1 u
1
1 u


4
(u(M

)(
r2
)
r
)dS n

4 a2
u(M

)dS

4 a


dS n
1

4 a2
u(M

)dS
（4）Laplace方程解的唯一性问题
定理：狄氏问题在C2 () C1()内解唯一，牛曼问题除相差一个
f dS 0.

证明：在第二格林公式 (u2v
v2u)dV

(u

v n
v
u )dS中 n
取v
1,则可得牛曼问题
u n

=f
有解的必要条件是
f
dS

0
（3）平均值公式
定理：设函数u(M )在区域内调和的，M0 (x0, y0, z0 )为其中任一点，
任意一点的值可通过积分表达式用这个函数及其法向导数在边界上
的值来表示。
2）若M 0为外或边界上的点，类似推导有



u
(
M
)
n

1 rMM
0


1 rMM 0
u n
dS


2
0，M 0在外 u(M 0 )，M 0在上

4
u
(M
0
(u2 1 1 2u)dV (u (1) 1 u )dS，
K
rr
n r r n
注意到2u

2
1 r

0, 则


u

n

1 r


1 r
u n
dS

0
在球面
上， n

1 r



r

0
与调和函数的积分公式相加可得
u(M0 )

u(M
)


v n

1
4
1 1 ( )
n rMM0 4 rMM0

v

u n
dS
显然，若能选择调和函数v满足 v 1

4 rMM0
则
u(M0)
(u2v
v2u)dV

(u

v n
v
u )dS n
二、调和函数的基本性质
（1）调和函数的积分表达式
定理： 设u为调和函数且在+上有一阶连续偏导，则内任一点
M
的值为
0
u(M
0
)


1
4



u(M
)
n

1 rMM 0

由格林函数或其导数的积分来表示解的方法称为格林函数法。
定理：若格林函数G(M , M 0 )存在，且G(M , M 0 ) C1()，则狄氏
问题
2u

u


0, f
in (M )

的解（存在的话）可表示为
u(M 0 )


f
(M
)
GdS. n
注1：格林函数法的优点 格林函数仅依赖于区域，而与原问题的边界条件无关，因此，
P Q R

(
x

y

z
) dV



Pdydz
Qdzdx Rdxdy
其中取外侧位正向.
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：

(
P x

Q y

R z
)dV
(P cos(n, x) Q cos(n, y) R cos(n, z))dS.
内的解是唯一的。
§3 格林函数
为什么引入格林函数？
调和函数的积分表达式为
1
1
1 u
u(M0) 4

u(M ) ( )

n rMM0 rMM0
dS n
对于狄氏问题或牛曼问题，利用上面公式都不能直接得到想要问
题的解。比如对狄氏问题，只知道边界条件u ，但不知道 u

1 r


1
2
udS
因此可得

u
n

1 r

dS

1
2

udS

4 u , 其中u


4 2 是函数u
在球面 上的平均值.
____
____
同理可得
1 r
udS n

1


udS n
4
u , n

n
的值，所以要想求得狄氏问题的解就要想法消去积分公式中的
u 。故而我们需要引入格林函数。 n
在第二格林公式 (u2v
v2u)dV

(u

v n
v
u )dS, n
中取u, v C1()，并且都是内的调和函数.则


(u
v n

v
u )dS n

u
vdV
中取u=v=u1 u2,可得 v vdV 0
v 0 in v C（常数）.
对狄氏问题由边界条件知道C 0 v 0. 从而狄氏问题有 唯一解；对牛曼问题，解除了相差一个常数外也是唯一确定的。
注：利用调和函数的极值原理，可证狄氏问题在 C2 () C0 ()
格林函数法求解场方程得到是积分形式的解
§1 拉普拉斯方程边值问题的提法
三维Laplace方程:
2u

2u x2

2u y 2

2u z 2

0,
(x,
y,
z)
一. 调和函数：
Laplace方程的连续解，即具有二阶连续偏导数并满足Laplace
方程的连续函数. (1.u C2 () C0 () 2. 2u 0)
只要求得某个区域的格林函数G(M , M0 ) C1()，就能一劳永 逸的解决这个区域上的一切边界条件的狄氏问题。
注2：格林函数法的缺点
对于一般的区域，格林函数很难求出，但对于某些特殊区域， 如球域、圆域、半空间、半平面等，可以用初等方法求出格林函数。
注3：泊松方程的解
泊松方程狄氏问题
2u F，in
因
1 r
有奇异点M
0，所以不能在内直接采用Green公式。为此，
我们以M0 (x0 , y0 , z0 )为中心，作一个半径为（充分小的正数）的
球域K，球面
,显然函数
1 r
在
\
K内任意次连续可微。
取u为调和函数，并假定其在上有一阶连续偏导数，取v 1/ r
由第二格林公式
4）牛曼外问题
2u 0, in '

u

n'


f
, limu(x, y, z) 0 r
数学解释：求函数u(x, y, z)在外部区域'内调和，在'=' 上
连续且满足边界条件.
§2 格林公式
高斯定理 : 设是以光滑或者分片光滑闭曲面为边界的 有界区域, P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)在 上连续，在 内具有一阶连续偏导数, 则