控制系统典型的输入信号

第3章 辅导

控制系统典型的输入信号

1. 阶跃函数

阶跃函数的定义是

⎩⎨⎧=<>0

,00

,)(t t A r t x

式中A 为常数。A 等于1的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图所示。它表示为

x r (t)＝l(t)，或x r (t)=u(t)

单位阶跃函数的拉氏变换为

X r (s)=L[1(t)]=1/s

在t ＝0处的阶跃信号，相当于一个不变的信号突然加到系统上；对于恒值系统，相当于给定值突然变化或者突然变化的扰动量；对于随动系统，相当于加一突变的给定位置信号。

2. 斜坡函数

这种函数的定义是

⎪⎩⎪⎨

⎧<>=0

,00

, )(t t t A t x r 式中A 为常数。该函数的拉氏变换是

X r (s)=L[At]=A/s 2

这种函数相当于随动系统中加入一按恒速变化的位置信号，该恒速度为A 。当A ＝l 时，称为单位斜坡函数，如图所示。

3. 抛物线函数

如图 所示，这种函数的定义是

⎪⎩⎪⎨⎧<>=0 ,00

, t )(2

t t A t x r

式中A 为常数。这种函数相当于随动系统中加入一按照恒加速变化的位置信号，该恒加速度为A 。抛物线函数的拉氏变换是

X r (s)=L[At 2]=2A/s 3

当A ＝1/2时，称为单位抛物线函数，即X r (s)=1/s 3。

4. 脉冲函数

这种函数的定义是

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧→<<→><=0)( 0 ,)0( ,0 ,0)(εεεεεt A

t t t x r 式中A 为常数，ε为趋于零的正数。脉冲函数的拉氏变换是

A A L s X r =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

=→εεlim 0)(

当A ＝1，ε→0时，称为单位脉冲函数δ(t)，如图 所示。单位脉冲函数的面积等于l ，即

⎰

∞

∞

-=1)(dt t δ

在t ＝t 0处的单位脉冲函数用δ(t-t 0)来表示，它满足如下条件

幅值为无穷大、持续时间为零的脉冲纯属数学上的假设，但在系统分析中却很有用处。单位脉冲函数δ(t)可认为是在间断点上单位阶跃函数对时间的导数，即

反之，单位脉冲函数δ(t)的积分就是单位阶跃函数。

控制系统的时域性能指标

对控制系统的一般要求归纳为稳、准、快。工程上为了定量评价系统性能好坏，必须给出控制系统的性能指标的准确定义和定量计算方法。

1 动态性能指标

动态性能指标通常有如下几项：

延迟时间d t 阶跃响应第一次达到终值)(∞h 的50％所需的时间。

上升时间r t 阶跃响应从终值的10％上升到终值的90％所需的时间；对有振荡的系统，也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间。

峰值时间p t 阶跃响应越过稳态值)(∞h 达到第一个峰值所需的时间。

调节时间s t 阶跃响到达并保持在终值)(∞h 5±％误差带内所需的最短时间；有时也用终值的2±％误差带来定义调节时间。

超调量σ％ 峰值)(p t h 超出终值)(∞h 的百分比，即 σ％100)

()()(⨯∞∞-=

h h t h p ％

在上述动态性能指标中，工程上最常用的是调节时间s t （描述“快”），超调量σ％（描述“匀”）以及峰值时间p t 。

2 稳态性能指标

稳态误差是时间趋于无穷时系统实际输出与理想输出之间的误差，是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。稳态误差有不同定义，通常在典型输入下进行测定或计算。

一阶系统的阶跃响应

一. 一阶系统的数学模型

由一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。一些控制元部件及简单系统如RC 网络、发电机、空气加热器、液面控制系统等都是一阶系统。

因为单位阶跃函数的拉氏变换为R(s)=1/s ，故输出的拉氏变换式为

1

1111)()()(+-

=•+=

•Φ=Ts T

s s Ts s R s s C 取C(s)的拉氏反变换得

t T

e

c(t)11--=

或写成

tt ss c c c(t)+=

式中，c ss =1，代表稳态分量；t T

tt

e

c 1--=代表暂态分量。当时间t 趋于无穷，暂态分

量衰减为零。显然，一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条由零开始，按指数规律上升并最终趋于1的曲线，如图所示。响应曲线具有非振荡特征，故又称为非周期响应。

一阶系统的单位阶跃响应

二阶系统的阶跃响应

典型二阶系统方框图，其闭环传递函数为：

()()()v m v m v m v K s s T K s T s K s T s K s R s C s ++=+++==Φ2)1(/1)1(/2

22

2n

n n

s s ωζωω++= 式中

K v --开环增益；

ωn --无阻尼自然频率或固有频率，m

v

n T K =ω； ζ--阻尼比，m

n T ωζ21

=

。

二阶系统的闭环特征方程为 s 2+2ζωn s+ω2n =0

其特征根为

n s ωζζ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-±-=122,1

1. 临界阻尼(ζ=1)

其时域响应为

())1(1t e

t c n t

n ωω+-=-

上式包含一个衰减指数项。c(t)为一无超调的单调上升曲线，如图3-8b 所示。

(a) (b) (c)

ζ≥1时二阶系统的特征根的分布与单位阶跃响应

2. 过阻尼(ζ＞1)

具有两个不同负实根])1(,[221n s s ωζζ-±

-=的惯性环节单位阶跃响应拉氏变换

式。其时域响应必然包含二个衰减的指数项，其动态过程呈现非周期性，没有超调和振荡。图为其特征根分布图。

3. 欠阻尼（0<ζ＜1）

图3-9 0<ζ＜1时二阶系统特征根的分布 图3-10 欠阻尼时二阶系统的单位阶跃响应

4. 无阻尼(ζ＝0)

())

(22

2n

n

s s s C ωω+=

其时域响应为

()t t c n ωcos 1-=

在这种情况下，系统的响应为等幅(不衰减)振荡，