实验2落球法测定液体的粘滞系数

实验二落球法测定液体的粘滞系数

液体（或气体）粘滞系数是表征液体性质的一个物理量，是流体力学中经常接触的问题之一。在航空航天，船舶研究，水利水力等学科中很有意义。粘滞系数的测定方法有多种，现仅介绍其中的一种—落球法。

这是根据Stokes定律和方法设计的实验，Stokes是英国著名的物理学家和数学家。实验方法简单、直观，物理思想清晰明了，在误差处理上应用了合理的数学修正和推理。希望本实验能对学生们有所启发，实验不在形式的复杂和仪器的排场，而在于它的物理意义和实验思想。

实验目的

1．学习用落球法测定液体的粘滞系数。

2．了解Stokes公式的应用条件，雷诺数及修正。

实验仪器

量筒、直径2.0mm和1.5mm的小钢球、螺旋测微器、秒表、温度计和待测液体（蓖麻油）等，实验装置如图1所示。

实验原理

1．Stokes公式的简单介绍

一个在静止液体中缓慢下落的小球受到三个力的作用：重力、浮力和粘滞阻力的作用。粘滞阻力是液体密度、温度和运动状态的函数。如果小球在液体中下落时的速度很小，球的半径也很小，且液体可以看成在各方向上都是无限广阔的，则从流体力学的基本方程出发导出著名的Stokes公式：

vr

fπη

6

=（1）

式中f是小球所受到的粘滞阻力，v是小球

的下落速度，r是小球的半径，η是液体的粘滞系数，它的单位是泊[p]=[0.1牛顿•秒/ 米2]。Stokes公式是由粘滞液体的普遍运动方程导出的，是在“小球在液体中下落速度很小，球的半径也很小和液体可以看成在各方向上无限广阔”三个假定条件下得到的。那么，在实验上这些条件如何体现呢？Stokes公式应作如何修正呢？

2、奥西恩-果尔斯公式

温度计

L

V

2R e

h0 N1

N2

图1

小球在液体中下落，速度很小，球的半径也很小，可以归结为雷诺数R e 很小，即： R e η

ρ0

2rv =

（2）

式中0ρ为液体的密度。当液体相对于小球处于层流运动状态时，解方程过程中可略去R e 的非线性项。如果考虑R e 的非线性项，Stokes 公式修正为奥西恩-果尔斯公式：

)1080

191631(62

+-

+

=e e R R vr f πη （3）

式中3R e /16项和19R e 2/1080项可以看作Stokes 公式的第一和第二修正项。如R e =0.1，则零级解（即1式）与一级解（即3式中取一级修正）相差约2%，二级修正项~2×10-4，可略去不计；如R e =0.5，则零级解与一级解相差约10%，二级修正项~0.5%仍可略去不计；但当R e =1时，则二级修正项~2%，随着R e 的增大，高次修正项的影响也变大。

3、容器壁的影响

在一般情况下，小球在容器半径R ，液体的高度为h 的液体内下落，则液体在各方向上都是无限广阔的这一假设条件是不能成立的，因此，必须考虑容器壁的影响，则式（3）变为

)

1080

191633

1)(3

.31)(4

.21(62

⋅⋅⋅+-

+++=e e R R h r R r vr f πη （4）

式（4）等号右边含R 和h 的二项即反映了这一修正

4．η的表示

前面我们讨论了粘滞阻力f 与小球的速度、几何尺寸、液体的密度、雷诺数、粘滞系数等参量之间的关系，但在一般情况下粘滞阻力f 是很难测定的。因此，还是很难得到粘滞系数η。这里，我们考虑这么一种情况：

小球在液体中下落时，重力、浮力和粘滞阻力都在铅直方向上，重力方向向下，而浮力和粘滞阻力向上，阻力随着小球的速度增加而增加。显然，小球从静止开始作加速运动，当小球的下落速度达到一定大小时，这三个力的合力等于零。然后，小球以匀速下落。则由式（4）得： )1080

1916

33

1)(3

.31)(4

.21(6)(3

42

03

⋅⋅⋅+-

+++=-e e R R h

r R

r vr g πηρρπγ

（5）

式中ρ是小球的密度，g 为重力加速度，由式（5）得：

)1080

1916

31)(3

.31)(4

.21()(9

22

2

+-

+

++-=

e e o R R h r R

r v gr

ρρη

)1080

1916

31)(23

.31)(24

.21()(18

12

2

+-

+

++-=

e e o R R h d R

d v gd

ρρ （6）

式中d 是小球的直径。

由上面2的讨论，我们得到以下三种情况：

1）当R e <0.1时，可以取零级解，则（6）式就成为：

)23

.31)(24

.21()(18

12

h

d R

d v gd o o ++-=

ρρη （7）

2）0.1

)23

.31)(24

.21()(18

1)16

31(2

1h

d R

d v gd R o

e ++-=

+

ρρη

它可以表示成零级近似解的函数：

00116

3ρηηdv -

= （8）

3）R e >0.5时，还必须考虑二级修正，则式（6）的η变成：

)23

.31)(24

.21()(18

1)1080

1916

31(2

2

2h

d R

d v gd R R o

e e ++-=

-

+

ρρη

或 ⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣

⎡

+

+=2

1

12)(

270

19112

1ηρηηdv （9）

在实验完成后，实验报告中作数据处理时，必须对R e 进行计算。确定它的范围后，进行相

应修正，得到符合实验要求的粘滞系数值。

实验内容

1．图１的N 1和N 2之间设为匀速下降区，测出其长度L 。