与圆有关的轨迹问题课件
圆方程ppt课件ppt课件
03
圆的方程的应用
解析几何中的应用
确定点与圆的位置关系
通过圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、 圆内或圆外。
求解圆的切线方程
利用圆的方程，可以求出过某一点的圆的切线 方程。
求解圆心和半径
根据圆的方程，可以求出圆心的坐标和半径的长度。
几何图形中的应用
判断两圆的位置关系
通过比较两个圆的方程，可以判断两圆是相交、相切还是相 离。
03
frac{E}{2})$ 和半径 $frac{sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程为 $x = a + rcostheta$，$y = b + rsintheta$，其中 $(a, b)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径，$theta$ 是 参数。
该方程通过参数 $theta$ 描述了 圆上任意一点的坐标。
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ ，其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半 径。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆只经过这三个点。
圆的基本性质
1 2
圆的对称性
圆关于其直径对称，也关于经过其圆心的任何直 线对称。
圆的直径与半径的关系
直径是半径的两倍，半径是直径的一半。
该方程描述了一个以 $(h, k)$ 为圆心，$r$ 为
半径的圆。
当 $r = 0$ 时，方程描 述的是一个点 $(h, k)$。
圆的一般方程
01
圆的一般方程为 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。
02
该方程可以表示任意一个圆，其中 $D, E, F$ 是常数。
81.圆与圆的位置关系、轨迹方程 课件-广东省惠来县第一中学2021届高三数学一轮复习
内切
|dr=_1_-__r_2_|_(r1≠r2)
内含
≤ < 0___d__|r1-r2|(r1≠r2)
代数法:两圆方程联立 组成方程组的解的情况
无___解 一组_____实数解 两组__不___同___的___实数解
一组实数解
无解
第一方面：圆与圆的位置关系的判定方法
问题1：若圆x2+y2-2mx+m2-4=0与圆x2+y2+2x-4my+4m2-8=0相切, 则实数m的取值集合是________.
A．相交
B．相切
C．相离
D．与k 取值有关
3.已知圆 C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆 C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，则两圆的
公共弦所在的直线方程为__________．
4.已知点 P（2,2），圆 C：x2＋y2－8y＝0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两
点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点．
解得m=1-2 或m=2,或m=0或m2 =- .
5
5
所以实数m的取值集合是{12 , 2 ,0答, 2}案:
55
{12 , 2 ,0, 2} 55
【规律方法】 处理两圆位置关系多用圆心距与半径
和或差的关系判断,一般不采用代数法.
变式1： 若圆x2+y2-2mx+m2-4=0与 圆x2+y2+2x-4my+4m2-8=0相交,则 实数m的取值范围是________.
法一：因为圆C1:x2+(y-1)2=r2(r>0)关于直线 x-y=0的对称图形是圆C3:(x-1)2+y2=r2,由题 意可知圆C3与C2有公共点, 又因为两个圆有公共点的充要条件为圆心距不
与圆有关的轨迹问题 -高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)
与圆有关的轨迹问题知识点1 5种定义形式的圆1、“定义圆”：在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合.数学语言描述为：在平面内，{|}M MA r =，其中M 为动点，A 为定点，0r >为定值.2、“斜率圆”：在平面内，与两定点斜率之积为-1的点的集合（除去定点所在垂直于x 轴的直线与曲线的交点）.数学语言描述为∶在平面内，{|1}MA MB M k k ⋅=-，其中M 为动点，A ，B 为定点.且点M 的横坐标不等于A ，B 的横坐标.3、“平方圆”：在平面内，到两定点距离的平方和为定值的点的集合.数学语言描述为：在平面内，22{|}M MA MB λ+=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值.注：若(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221()()[()()]2224a cb d x y ac bd λ++-+-=--+-，此时221[()()]2a cb d λ>-+-.4、“向量圆”：在平面内，与两定点形成向量的数量积为定值的点的集合.数学语言描述为∶在平面内，{|}M MA MB λ⋅=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值 注：若(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221()()[()()]224a cb d x y ac bd λ++-+-=+-+-，此时221[()()]4a cb d λ>--+-.特别地,若A ，B 为定点，且0MA MB ⋅=，则点M 的轨迹是以AB 为直径的圆拓展：“角度圆”：在平面内，与两定点所成角为定值的点的集合.（角度可用向量的夹角公式表示） 5、“比值圆”（阿波罗尼斯圆）：在平面内，到两定点距离之比为定值的点的集合. 数学语言描述为：{|}MAM MBλ=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值，λ>0且λ≠1. 注：当1λ=时，M 的轨迹是线段AB 的垂直平分线. 6、这些圆彼此之间的联系：（1）斜率圆可以看成向量圆的特例，即两向量互相垂直时可以转化为两直线斜率之积等于-1,需要注意斜率不存在的情形.也就是说数量积为零比斜率之积为-1更一般. （2）比值圆与平方圆是一样的，都是用两点间距离公式求解.知识点2 注意“轨迹”与“轨迹方程”的区别1、“轨迹”是图形，“轨迹方程”是方程.2、求轨迹方程后要检验求轨迹方程后一定要注意检验轨迹的纯粹性和完备性，在所得的方程中删去或补上相应的特殊点，以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应关系.考点一 直接法求轨迹解题方略：直接法是指将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式，然后化简而求出动点轨迹方程的一种方法．此法的一般步骤∶建系、设点、列式、化简、限制说明.注：（1）根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等） （2）根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。
圆中轨迹问题
与圆有关的轨迹问题
例1：设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以 OM ，ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．
变式：已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．
(1)求M 的轨迹方程；
(2)当OP ＝OM 时，求l 的方程及△POM 的面积．
例2：已知BC ＝2，且AB ＝2AC ，求点A 的轨迹．
变式1：若在ABC ∆中，BC ＝2，且AB ＝2AC ，求ABC ∆面积的最大值。
变式2：已知点 (5,0)A - ，直线OA 上（O 为坐标原点）是否存在定点
B （不同于A ），对圆229x y +=上的任意一点P ，使得PB PA
为一常数．
变式3：已知点(2,0),(4,0)A B -，圆22:(4)()16C x y b +++=，P 为圆 上的动点，若
PA PB 为定值，求实数b 的值．
变式4：已知圆)0,1(,1)4(:221Q y x C =++,过点P 作圆C 1的切线，切点为M ， 若PQ PM 2=，求P 点的轨迹方程。
2.4.2 圆的一般方程(与圆有关的轨迹问题) (教学课件)——高二上学期数学人教A版(2019)
三、典型例题
例3 已知圆O的直径AB=4，动点M到点A的距离是它到点B的距离的 2 倍,试探究动点M的轨迹.
三、典型例题
如果把本例中的“ 2倍”改 为“k(k>0)倍”，你能分析并解 决这个问题吗?
四、课堂小结
求动点的轨迹方程的常用方法:
1.直接法： 设动点坐标,直接得出坐标所满足的关系式,而求出轨迹方程,
(其中圆心为4（F->0D2),-
E 2
），半径为
Hale Waihona Puke 1 2D2 + E2 - 4F )
二、轨迹问题
点的轨迹方程是指点的坐标(x，y)满足的关系式．轨迹是指 点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中，我们常常把图形 看作点的轨迹（集合).
三、典型例题
例1 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上
运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
y
A
M
B
O
x
三、典型例题
方法归纳 求动点的轨迹方程的常用方法:
1.直接法: 能直接根据题目提供的条件列出方程; 2.代入法(相关点法): 找到所求动点与已知动点的关系,代入 已知动点所在的方程.
三、典型例题
例2 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P、 Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
第二课时 (与圆有关的轨迹问题)
一、知识回顾
1.圆的标准方程：(x-a)2 +(y-b)2 =r2 (1)(a，b)表示圆心坐标, r表示圆的半径. (2)确定圆的标准方程必须具备三个条件.
圆的一般方程轨迹问题解析ppt课件
例5.已知：一个圆的直径的两端点是A(x1，y1) 、B(x2，y2).
证明：圆的方程是 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
解法一：求圆心、求半径 •P
解法二：相关点法
P点满足PA⊥PB
A
• C
B
即 yy1 yy2 1
xx1 xx2
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
【分析】设M(x,y), A(x0,y0)
因为M是AB的中点，
所以
x
y
x0 4 2
y0 3 2
解得
x0 y0
2x 2y
4 3
又因为点A在圆(x+1)2+y2=4上，
y
M(x,y) B(4,3)
A (x0,y0)
o
x
所以(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,
得 (x3)2(y3)2 1为所求。
【变式】过点P (4,0)作直线与圆x2+y2=4相交于不同 两点A、B ，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说 明轨迹的形状。
(x-2)2+y2=4
(0≤x< 1)
y
A M B
o
Px
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
∴端点C的轨迹方程是
(x-4)2+(y-2)2=10(
x y
35且xy
5 -1
).
故端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心, 1 0 为半径的圆,
高二数学动圆圆心轨迹(共10张PPT)
她只知这是宝音回屋的必经之路，而且没什么人，估算宝音一定会回屋整装，就于此处守株待兔。
探求2 ：与直线 相切，⊙ B (x-5)2+y2=r2相切 的动圆圆心S的轨迹
〔1〕当两定圆外离时 宝音也没有那样尝试，只是放在布套上让她看见，给她一个警告。
例１：与⊙A(x+5)2+y2=49，⊙ B (x-5)2+y2=1
第二页，共10页。
探求与定圆相切的动圆圆心轨迹要抓牢动 圆圆心到两定点的间隔的和与差不放。
C S AB
A SB
S
A
B
第三页，共10页。
二、构建平台：
例１：与⊙A(x+5)2+y2=49，⊙ B (x-5)2+y2=1
相切 的动圆圆心S的轨迹。
y
〔1〕与两圆均外切 y
〔2〕与两圆均内切
A Bx
A Bx
〔4〕与圆A外切、与圆B内切
再回想开去，木屐里的那块石子，要是搁到明秀碗里，说不定戳破明秀的嘴、硌掉明秀的牙！
亲生姐妹尚且可以争得他死我活呢！
dapingtai888/ 时时方案群 hxh69kyd 〔4〕与圆A外切、与圆B内切
〔3〕当两定圆相交时
问题１：与⊙A(x+5)2+y2=169相切，且过B(5,0)点的动圆圆心S的轨迹。
〔4〕当两定圆内切时
〔5〕当两定圆内含时
第五页，共10页。
当两定圆 〔1〕外离
y
A Bx
〔2〕外切
y
A Bx
〔3〕相交
y
A Bx
〔5〕内含
y A Bx
〔4〕内切
y
A Bx
第六页，共10页。
第七页，共10页。
与圆有关的轨迹问题
法 点 关 相3
法方 本基的迹轨求
圆
线物抛
法 义 定2
线直 圆椭
法 译 直1
线曲双
简化
入代
式列
l
点设
系建
义定
法
x
A M
O B y
译直
2
2
.
M BA
BA 2 1
3 1 2 1
译直
A M B M y B
|BM| 2= |MA| 2 |BA| x A
1
A M B
M y B
|BM|= |MA|2 2 |BA| x A
x
P
支右的 线曲双的点焦为�、�以 �为迹轨的�点�以所
7� � � � � � � � � � � 此 因 r +7 � � � � � � 得 可 故 切外 相 �圆 定 与圆 动 为因 r�����即 r为 径 半的 � 圆动 设
A
oC
y
�)0,5-(�心圆的�圆�解
r �
P
7-r
rC M
P 9 4 � y � )5 � x ( C
2
)0,5(A
2
3 1 式变
� r M r
P
r-31
C
9 4 � y � )5 � x ( C 961
2
P
)0,5(A
2
3 2 式变
�
C
009 14 � y � )5 � x ( C
2
P
)0,5(A
2
3 3 式变
B
S
A
B
S
A C
B
S
A
。放不差与和的离距的点定两到心圆圆 动牢抓要迹轨心圆圆动的切相圆定与索探
与圆有关的轨迹问题课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2
求曲线方程的常见方法
(1)直译法（直接法）：建立适当的坐标系后，设动点为(x，y)，根据几何条件寻求x，y之间的关系式．
(2)定义法：如果所给或由几何知识推理出的几何条件正好符合已谋曲线的定义，则可直接利用这些已知
曲线的方程直接写出动点的轨迹方程．
(3)相关点法（代入法)：利用所求曲线上的动点与已知曲线上动点的关系,把所求动点转换为已知动点．具
x
求谁设谁
相关点法
(代入法)
y
解：设点( , )，( 0 ,
0 ).
因为 (4,3)且是线段的中点，
即
因为点( 0 ,
0 )在圆(
+ 1)2 +
2
.
.O
= 4上运动，
所以点的坐标满足圆的方程，即 (
0
+ 1)2 +
0
2
= 4.
整理得( − ) +( − ) = .
x 2 cos
由题意得
,
y 1 sin
①
+
②
x 2 cos ①
即
,
y 1 sin ②
则( x 2)2 ( y 1)2 1,
复数 z 在复平面内对应的点的轨迹方程为( x 2)2 ( y 1)2 1。
点C的轨迹方程为( x 4) ( y 2) 10,
且
.
y 5 y 1
2
2
点C的轨迹是圆心为( 4,2), 半径为 10的圆, 并除去点(3,5), (5,1).
巩固练习
10. 已知M(－2,0)，N(2,0)，求以MN为斜边的直角三角形直角顶点
说课圆与圆的位置关系课件
总结词
通过几何推理和公理，证明两圆相离的条件和性质。
详细描述
首先，我们可以通过比较两圆的半径和圆心距，得出两 圆相离的条件是圆心距大于两圆半径之和或差。然后， 根据相离的定义，我们可以得出两圆相离的性质，如离 点的性质、离点与圆心连线与连心线夹角相等等。
内含关系的证明
总结词
通过几何推理和公理，证明一个圆内含于另一个圆的情况。
总结词
通过几何推理和公理，证明两圆相交的条件 和性质。
详细描述
首先，我们可以通过比较两圆的半径和圆心 距，得出两圆相交的条件是圆心距小于两圆 半径之和且大于两圆半径之差。然后，根据 相交的定义，我们可以得出两圆相交的性质 ，如交点的性质、交点与圆心连线与连心线
夹角相等、交弦的性质等。
相离关系的证明
详细描述
首先，我们可以通过比较一个圆的半径和另一个圆的半径及圆心距，得出一个圆内含于 另一个圆的条件是该圆的半径小于另一个圆的半径且该圆的圆心到另一个圆的圆心的距 离也小于另一个圆的半径。然后，根据内含的定义，我们可以得出内含的性质，如内含
的点和线段的性质等。
重合关系的证明
总结词
通过几何推理和公理，证明两个圆完全重合的情况。
分类
根据两圆交点的个数，可以将两 圆的位置关系细分为外离、内含 、外切、内切、相交五种。
判定方法
代数法
通过比较两圆的圆心距与两圆半径之 和或差的关系，来判断两圆的位置关 系。
几何法
通过观察两圆的交点个数或两圆是否 相切，来判断两圆的位置关系。
性质研究
两圆相交时，连心线 垂直平分两圆的公共 弦。
两圆相离时，连心线 与两圆的距离相等。
提高习题解析
总结词
应用知识解决实际问题
《圆心轨迹的求法》说课件PPT
课件介绍了多种圆心轨迹的求解方法，如直接法、定义法、相关点 法等，帮助学生掌握不同方法的应用场景和优缺点。
丰富的案例解析
课件通过大量案例解析，让学生更好地理解圆心轨迹求法的实际应用 ，提高学生的解题能力。
未来展望
深入研究圆心轨迹的性质
未来可以进一步深入研究圆心轨迹的性质，探索更多有用 的结论和定理，为相关领域的发展做出贡献。
PTC Creo
PTC Creo是一款由PTC公司开发的3D CAD/CAE/CAM软 件，广泛应用于机械设计、工业设计、产品设计等领域。 该软件提供了全面的3D建模和仿真工具，支持用户进行圆 心轨迹的精确求解和动态模拟。
06
总结与展望
课件总结
知识点梳理
课件详细梳理了圆心轨迹求法的相关知识点，包括定义、性质、求 解方法等，为学生提供了全面的学习资料。
轨迹方程
描述圆心移动规律的数学表达式 ，通常为一个参数方程或普通方 程。
圆心轨迹性质
连续性
圆心轨迹是连续的，没有 间断点。
可微性
圆心轨迹在其定义域内是 可微的，即其切线斜率存 在。
对称性
若圆心轨迹关于某直线或 点对称，则其对应的圆的 方程也具有对称性。
圆心轨迹分类
直线型圆心轨迹
圆心沿一条直线移动形成的轨迹 ，如水平直线、竖直直线等。
课件内容概述
圆心轨迹的基本概念
介绍圆心轨迹的定义、性质和相关术 语。
圆心轨迹的求法
圆心轨迹的应用
通过实例和练习题，展示圆心轨迹在 实际问题中的应用，如轨迹方程、最 值问题和轨迹的交点等。
详细讲解求圆心轨迹的方法和步骤， 包括直接法、定义法和相关点法等。
02
圆心轨迹基本概念
高一数学复习考点知识讲解课件14---轨迹问题
高一数学复习考点知识讲解课件第3课时轨迹问题考点知识1.掌握定义法求圆的方程.2.掌握直接法求圆的方程.3理解相关的方法(代入法)求轨迹方程．一、定义法求轨迹方程例1已知圆x 2＋y 2＝1，点A (1,0)，△ABC 内接于圆，且∠BAC ＝60°，当B ，C 在圆上运动时，BC 中点D 的轨迹方程是() A ．x 2＋y 2＝12 B ．x 2＋y 2＝14 C ．x 2＋y 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x <12D ．x 2＋y 2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x <14答案D解析如图所示，因为∠BAC ＝60°，又因为圆周角等于圆心角的一半，所以∠BOC＝120°，又D为BC的中点，OB＝OC，所以∠BOD＝60°，在Rt△BOD中，有OD＝12OB＝1 2，故中点D的轨迹方程是x2＋y2＝14，如图，由∠BAC的极限位置可得，x<14.反思感悟(1)当动点满足到定点距离等于定长时，直接求圆心、半径得圆的方程．(2)注意轨迹与轨迹方程不同．跟踪训练1长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB 的中点M的轨迹方程为__________．答案x2＋y2＝9解析设M(x，y)，因为△AOB是直角三角形，所以OM＝12AB＝3为定值，故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故x2＋y2＝9即为所求．二、直接法求轨迹方程例2点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．解设线段PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，PN＝BN.设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，∴OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.反思感悟直接法求轨迹方程的两种常见类型及解题策略直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中的等量关系列出x，y 之间的关系并化简．主要有以下两类常见题型．(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．提醒：求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性．跟踪训练2点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点．求过点B的弦的中点T的轨迹方程．解设T(x，y)．因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT.当斜率存在且不为0时，有k OT·k BT＝－1.即y x ·y －1x －1＝－1，整理得x 2＋y 2－x －y ＝0.当x ＝0或1时，点(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)也都在圆上． 故所求轨迹方程为x 2＋y 2－x －y ＝0. 三、代入法求轨迹方程例3已知动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．解设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，∵P 为MB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ，又∵M 在曲线x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋4y 2＝1， ∴P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1. 反思感悟代入法求解曲线方程的步骤 (1)设动点P (x ，y )，相关动点M (x 0，y 0)．(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y ).(3)代入相关动点的轨迹方程．(4)化简、整理，得所求轨迹方程．其步骤可总结为“一设、二找、三代、四整理”．跟踪训练3设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON (O 为坐标原点)为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程． 解如图所示，连接OP ，MN .设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42. 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，即所求点P 的轨迹方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)．1．知识清单： (1)定义法求轨迹方程． (2)直接法求轨迹方程． (3)代入法求轨迹方程． 2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：将求轨迹方程与求轨迹弄混．1．若Rt △ABC 的斜边的两端点A ，B 的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C 的轨迹方程为()A ．x 2＋y 2＝25(y ≠0)B ．x 2＋y 2＝25C ．(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)D ．(x －2)2＋y 2＝25 答案C解析线段AB 的中点为(2,0)，因为△ABC 为直角三角形，C 为直角顶点，所以C 到点(2,0)的距离为12AB ＝5，所以点C (x ，y )满足(x －2)2＋y 2＝5(y ≠0)，即(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)．2．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是() A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案A解析设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.3．已知动点M 到点(8,0)的距离等于点M 到点(2,0)的距离的2倍，则点M 的轨迹方程是__________． 答案x 2＋y 2＝16 解析设M (x ，y )，则(x －8)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，整理可得点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝16.4．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则P A 的中点M 的轨迹方程是________________． 答案x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0解析由条件知A(2，－1)，设M(x，y)，则P(2x－2,2y＋1)，由于P在圆上，∴(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，整理得x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.课时对点练1．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是() A．x2＋y2＝4B．x2－y2＝4C．x2＋y2＝4(x≠±2)D．x2－y2＝4(x≠±2)答案C解析设P(x，y)，由条件知PM⊥PN，且PM，PN的斜率肯定存在，故k MP·k NP＝－1.即x2＋y2＝4，又当P，M，N三点共线时，不能构成三角形，所以x≠±2，即所求轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．2．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点M的轨迹是圆．若两定点A，B的距离为3，动点M满足MA＝2MB，则M点的轨迹围成区域的面积为()A．πB．2πC．3πD．4π答案D解析以A点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则可取B(3,0)．设M(x，y)，依题意有，x2＋y2(x－3)2＋y2＝2，化简整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4，圆的面积为4π.3．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是()A．点B．直线C．线段D．圆答案D解析∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，∴(a－1)2＋b2＝1，∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆．4．已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且AB＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝9B．(x－1)2＋(y＋1)2＝9C．(x＋1)2＋(y－1)2＝9D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝9答案B解析设圆心M 的坐标为(x ，y )，则(x －1)2＋(y ＋1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.5．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，若动点P 满足P A ＝2PB ，则P 的轨迹为() A ．直线B ．线段 C ．圆D ．半圆 答案C解析设点P 的坐标为(x ，y )，∵A (－2,0)，B (1,0)，动点P 满足P A ＝2PB ，∴(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，两边平方得(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋y 2＝4. ∴P 的轨迹为圆．6.如图，已知线段AB 的中点C 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，则线段AB 的端点B 的轨迹方程为()A ．(x －9)2＋(y －6)2＝4B ．(x －6)2＋(y －9)2＝4C ．(x ＋6)2＋(y ＋9)2＝4D ．(x ＋9)2＋(y ＋6)2＝4 答案A解析设B 点坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)，由于点C 的坐标是(4,3)且点C 是线段AB 的中点，所以4＝x 0＋x 2，3＝y 0＋y 2，于是有x 0＝8－x ，y 0＝6－y .①因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，所以点A 的坐标满足方程(x ＋1)2＋y 2＝4，即(x 0＋1)2＋y 20＝4，②把①代入②，得(8－x ＋1)2＋(6－y )2＝4，整理，得(x －9)2＋(y －6)2＝4.所以点B 的轨迹方程为(x －9)2＋(y －6)2＝4.7.已知圆O ：x 2＋y 2＝4及一点P (－1,0)，Q 在圆O 上运动一周，PQ 的中点M 形成轨迹C ，则轨迹C 的方程为____________________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝1 解析设M (x ，y )，则Q (2x ＋1,2y )，因为Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x ＋1)2＋4y 2＝4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝1， 所以轨迹C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝1. 8．圆x 2＋y 2＝8内有一点P (2，－1)，AB 为过点P 的弦，则AB 的中点Q 的轨迹方程为______________．答案x 2＋y 2＋y －2x ＝0解析设AB 的中点为Q (x ，y )，则AB 的斜率为k ＝y ＋1x －2，又OQ ⊥AB ，所以k OQ ·k ＝－1，即y x ·y ＋1x －2＝－1，整理得x 2＋y 2＋y －2x ＝0， 所以点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＋y －2x ＝0.9．已知两个定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平方和为26，求点M 的轨迹方程．解以两定点A ，B 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系， 设A (－3,0)，B (3,0)，M (x ，y )，则MA 2＋MB 2＝26.∴(x ＋3)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝26.化简得M 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.10．已知圆(x ＋1)2＋y 2＝2上动点A ，x 轴上定点B (2,0)，将BA 延长到M ，使AM ＝BA ，求动点M 的轨迹方程．解设A (x 1，y 1)，M (x ，y )，∵AM ＝BA ，且M 在BA 的延长线上，∴A 为线段MB 的中点．由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝x ＋22，y 1＝y 2，∵A 在圆上运动，将点A 的坐标代入圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝2， 化简得(x ＋4)2＋y 2＝8，∴点M 的轨迹方程为(x ＋4)2＋y 2＝8.11．等腰三角形ABC 中，若一腰的两个端点分别是A (4,2)，B (－2,0)，A 为顶点，则另一腰的一个端点C 的轨迹方程是()A ．x 2＋y 2－8x －4y ＝0B ．x 2＋y 2－8x －4y －20＝0(x ≠－2，x ≠10)C ．x 2＋y 2＋8x ＋4y －20＝0(x ≠－2，x ≠10)D ．x 2＋y 2－8x －4y ＋20＝0(x ≠－2，x ≠10)答案B解析设另一腰的一个端点C 的坐标为(x ，y )，由题设条件知(x －4)2＋(y －2)2＝40，x ≠10，x ≠－2.整理，得x 2＋y 2－8x －4y －20＝0(x ≠10，x ≠－2)．12．已知△ABC 的顶点A (0,0)，B (4,0)，且AC 边上的中线BD 的长为3，则顶点C 的轨迹方程是__________．答案(x －8)2＋y 2＝36(y ≠0)解析设C (x ，y )(y ≠0)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2. ∵B (4,0)，且AC 边上的中线BD 长为3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝9， 即(x －8)2＋y 2＝36(y ≠0)．13．存在如下结论：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．现已知在平面直角坐标系中A (－2,0)，B (2,0)，动点P 满足P A ＝λPB (λ>0)，若点P 的轨迹为一条直线，则λ＝__________；若λ＝2，则点P 的轨迹方程为__________________．答案1x 2＋y 2－203x ＋4＝0解析设P (x ，y )，由P A ＝λPB ，可得(x ＋2)2＋y 2＝λ(x －2)2＋y 2，两边平方，整理得点P 的轨迹方程为(1－λ2)x 2＋(1－λ2)y 2＋4(1＋λ2)x ＋4－4λ2＝0.若该方程表示直线，则⎩⎪⎨⎪⎧1－λ2＝0，1＋λ2≠0，解得λ＝1或λ＝－1(舍去)．若λ＝2，则点P 的轨迹方程为3x 2＋3y 2－20x ＋12＝0，即x 2＋y 2－203x ＋4＝0.14．已知△ABC 的边AB 的长为4，若BC 边上的中线为定长3，则顶点C 的轨迹方程为______________．答案(x ＋6)2＋y 2＝36(y ≠0)解析以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系(如图)，则A (－2,0)，B (2,0)，设C (x ，y )，BC 的中点D (x 0，y 0)．∴⎩⎨⎧2＋x 2＝x 0，0＋y 2＝y 0.①∵AD ＝3，∴(x 0＋2)2＋y 20＝9.②将①代入②，整理得(x ＋6)2＋y 2＝36.∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点． 轨迹方程为(x ＋6)2＋y 2＝36(y ≠0)．15．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝23，BC ＝4.在△ABD 中，∠ADB ＝120°，则CD 的取值范围是() A ．[27－2,27＋2] B ．(4,23＋2]C ．[27－2,23＋2]D ．[23－2,23＋2]答案C解析以点B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (0,0)，A (23，0)，C (0,4)．设D (x ，y )，因为∠ADB ＝120°，所以由题易知点D 可能在直线AB 的上方，也可能在直线AB 的下方．当点D 在直线AB 的上方时，直线BD 的斜率k 1＝y x ，直线AD 的斜率k 2＝y x －23. 由两直线的夹角公式可得tan120°＝－tan60°＝k 2－k 11＋k 2·k 1， 即－3＝y x －23－y x 1＋y x －23·y x，化简整理得(x －3)2＋(y ＋1)2＝4，可得点D 的轨迹是以点M (3，－1)为圆心，以r ＝2为半径的圆，且点D 在AB 的上方，所以是圆在AB 上方的劣弧部分，此时CD 的最短距离为CM －r ＝(3)2＋(4＋1)2－2＝27－2.当点D 在直线AB 的下方时，同理可得点D 的轨迹方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4，此时点D 的轨迹是以点N (3，1)为圆心，以r ＝2为半径的圆，且点D 在AB 的下方，所以是圆在AB 下方的劣弧部分，此时CD 的最大距离为CN ＋r ＝(3)2＋(4－1)2＋2＝23＋2. 所以CD 的取值范围为[27－2,23＋2]．16．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，直线l 1的方程为(1＋2m )x ＋(m －1)y －3m ＝0.若直线l 1过定点P ，点M ，N 在圆O 上，且PM ⊥PN ，Q 为线段MN 的中点，求点Q 的轨迹方程． 解直线l 1的方程为(1＋2m )x ＋(m －1)y －3m ＝0，即(x －y )＋m (2x ＋y －3)＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，2x ＋y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即点P 的坐标为(1,1)．因为点M ，N 在圆O 上，且PM ⊥PN ，Q 为线段MN 的中点，则MN ＝2PQ ，设MN 的中点Q (x ，y )，则OM 2＝OQ 2＋MQ 2＝OQ 2＋PQ 2，即4＝x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2，化简可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝32，即为点Q 的轨迹方程．。
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y
A Bx
A Bx
（3）与圆A内切、与圆B外切（4）与圆A外切、与圆B内切
y
y
A Bx
A Bx
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19
方法小结 ：与定圆相切的动圆圆心的轨迹情 况复杂，
1.抓牢两个圆心，一个切点，三点一定共线。 2.抓牢定圆的半径，设出动圆半径作辅助。 3.抓牢动点到两定点的距离的和与差不放。
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再根判据断 条动件点
求出的
由定5 义可得：a=3.5,c=5。
故 轨 迹 方 程 为 :x9212y.7 2学5 习交流P1PT (x>o)
轨迹轨方迹程
13
经过点 A(5,0)且与
变例式13：：圆 C (x 5)2 y2 49
相外切的圆的圆心 P 的轨迹方程。
M
Cr
Ａ
r-7 P
r
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14
经过点 A(5,0)且与
变例式23：：圆 C (x 5)2 y2 49169
相外切的圆的圆心 P 的轨迹方程
M r P
13-r
r
C
Ａ
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15
经过点 A(5,0)且与
变例式33：：圆 C (x 5)2 y2 41900
相外切的圆的圆心 P 的轨迹方程
C
Ａ
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16
生成1 ：平面内与定点的距离等于定长 的点的轨迹是圆。
生成2 ：平面内到两个定点的距离之比 是一个不为1的常数的点的轨迹是圆。
生成3 ：平面内定长的线段的两个端点
分别在两条互相垂直的线上滑动，线段
中点的轨迹是圆。
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4
例1：
②已知点A在x轴上，点B在y轴上， 且|AB|＝2，
|AM| =2 |MB| ，求点M的轨迹。
探索与定圆相切的动圆圆心轨迹要抓牢动 圆圆心到两定点的距离的和与差不放。
C S AB
A SB
S
A
B
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结论 ：过定点A，同时与定圆⊙ B 相切 的动圆圆心S的轨迹可能是椭圆或双曲 线或直线的一部分。
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课下探索：
与两个定圆都相切的动圆的圆心的轨迹
（1）与两圆均外切
（2）与两圆均内y切
D
A•
F
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•C
双曲
线
10
变题1:已知椭圆的方程 ax22 为 by22 1(a b0), F1, F2分别为左右焦 ,Q点 是椭圆上任意一 ,从点 右焦点 F2作F1QF2外角平分线的垂 ,垂线 足为 P,求点P的轨迹方.程
y
Q
M P
F1 O
F2
x
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11
经过点 A(5,0)且与
20
理化生更美
学 习 苦 苦 在 繁 琐 苦 在 单 调 苦 须 苦 中 作 乐
学习交流T
数
学
美
美
的
简
洁
美
的
逍
遥
美
要
美
不
胜
收
21
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下课了!
22
圆
7
如果点C在圆外(3,1), 一切照旧
D E
O•
C
圆
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8
例2：
②如图，C是定圆A内的一个定点， D是圆上动点求线段CD的垂直平
分线与半径AD的交点F轨迹
D
E
F
A•
•C
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椭圆
a
9
例2：
③如图，C是定圆A外的一个定点， D是圆上动点求线段CD的垂直平
分线与半径AD的交点F轨迹
BM
A
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直译
5
例1：
③已知点A在x轴上，点B在y轴上， 且|AB|＝2，
2|AM| =|MB| ，求点M的轨迹。
B M A
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6
① C(1,0)是定圆A: x2＋y2＝4 例2： 内的一个定点，D是圆上的动点，
求线段CD的中点E轨迹
D
E
O•
•C
如果点C在圆外呢？学习交流PPT
1直译法 3相关点法
椭圆
直线
2定义法
抛物线
圆
求轨迹的基本
方法
4消参法
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1
建系
求轨迹的步骤
l
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设点
列式 代入 化简
2
例1： ①长为2的线段AB的两端点分别 在两条互相垂直的直线上滑动，
求线段AB的中点M的轨迹方程.
y BM
O
A
x2＋y2＝1
直译
x
法
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定义
3
圆的三种经典生成
例3：圆 C (x 5)2 y2 49
外切的圆的圆心 P 的轨迹方程
C
7
Ｍr P Ａr
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12
解：圆Ｃ的圆心Ｃ(-5,0)，
设动圆Ｐ的半径为r 即｜ＰＡ｜＝r
y
P
因为动圆与定圆Ｃ相外切 故可得： ｜ＰＣ｜＝ 7+r
Co A
x
先由
因此，｜ＰＣ｜－｜ＰＡ｜＝7
定义
所以，点Ｐ的轨迹为： 以Ａ、Ｃ为焦点的双曲线的右支