91年清华大学大学生数学竞赛试题
全国大学生数学竞赛试题和资料
1 2 2.求 n 0
sin x
e
tan x sin x
1
x sin x
lim
tan x sin x 3 x 0 x sin x
x dx 。 1 x 1 1 xn n xn n 1 dx dx lim 0 解： 0, 使得 2 ， lim 2 0 1 x n 0 1 x n 2 1 2 1 2 2 2 1 e x y cos x y dxdy =___________. 例 3.设 Dr : x2 y 2 r 2 ，则 lim 2 r 0 r Dr lim
方法二：先处理一下，在使用等价无穷小和洛比达法则
e e tan x sin x ，其中 在 sin x 与 tan x 之间，当 x 0 时 0, e 1
解：方法一：由拉格朗日中值定理得 e
tan x sin x
e e tan x esin x lim lim x0 x sin x x 0
①
lim 1 x x e ；等价替换
x 0
1
⑦1 型，常用方法：取对数化为 0 型；利用重要极限 lim 1 x e
x 0
1 x
9）. 无穷小得比较 设 lim
x x
0
x 0, x 0 ，则 x , x 即为无穷小量， x 0, xlim x x 0 ，则称当 x x0 时 x 是比 x 高阶的无穷 （1）若 lim x x x 小，记为 x o x ，或者说当 x x0 时 x 是比 x 低阶的无穷小； x C C 0 ，则称当 x x0 时 x 是与 x 同 （2）若 lim x x x 阶的无穷小。特别的，当 C=1 时，称当 x x0 时 x 与 x 是等价无穷小，记为 x x x x0 ； x C C 0 ，则称当 x x0 时 x 是与 x （3）若 lim。所以，判断可导性就是判断极限 x x0
1991年全国高考数学试题及其参考答案
1991年全国高考数学试题及其参考答案(理工农医类)考生注意：这份试卷共三道大题(26个小题)．满分120分一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内．(1) 已知sin α=54，并且α是第二象限的角，那么tg α的值等于 ( )(A) 34-(B) 43- (C) 43 (D) 34(2) 焦点在(－1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是 ( )(A) y 2=8(x+1) (B) y 2=－8(x+1) (C) y 2=8(x －1)(D) y 2=－8(x －1)(3)函数y =cos 4x －sin 4x 的最小正周期是 ( )(A)2π(B) π (C) 2π (D) 4π (4)如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有( )(A) 12对 (B) 24对(C) 36对(D) 48对(5) 函数y =sin(2x+25π)的图像的一条对称轴的方程是 ( )(A) x =－2π(B) x =－4π(C) 8π=x(D) 45π=x(6) 如果三棱锥S －ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在△ABC 内，那么O 是△ABC 的( )(A) 垂心(B) 重心(C) 外心(D) 内心(7) 已知{a n }是等比数列，且a n >0，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25，那么a 3+a 5的值等于( )(A) 5(B) 10(C) 15(D) 20(8) 如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ=θcos 3516-，那么它的焦点的极坐标为( )(A) （0，0），（6，π） (B) (－3，0)，(3，0) (C) （0，0），（3，0）(D) (0，0)，(6，0)(9) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )(A) 140种(B) 84种(C) 70种(D) 35种(10) 如果AC <0且BC <0，那么直线Ax+By+C =0不通过．．． ( ) (A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限(11) 设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( ) (A) 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 (B) 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 (C) 丙是甲的充要条件(D) 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件(12) )]511)(411)(311([lim ---∞→n n …(1－21+n )]的值等于( )(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(13) 如果奇函数f (x )在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上是( )(A) 增函数且最小值为－5 (B) 增函数且最大值为－5 (C) 减函数且最小值为－5(D) 减函数且最大值为－5(14) 圆x 2+2x+y 2+4y －3=0上到直线x +y +1=0的距离为2的点共有 ( ) (A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个(15) 设全集为R ，f (x )=sin x ，g (x )=cos x ，M ={x |f (x )≠0}，N ={x |g (x )≠0}，那么集合{x |f (x )g (x )=0}等于( )(A) N M ⋂(B)N M(C)N M (D)N M二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．(16) arctg 31+arctg 21的值是____________(17) 不等式226-+x x<1的解集是___________(18) 已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体积等于(19) (ax+1)7的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项．若实数a >1，那么a =(20) 在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果P A 、PB 、PC 两两互相垂直，且P A ＝PB ＝PC ＝a ．那么这个球面的面积是三、解答题：本大题共6小题；共60分．(21) (本小题满分8分)求函数y =sin 2x+2sin x cos x+3cos 2x 的最小值，并写出使函数y 取最小值的x 的集合．(22) (本小题满分8分)已知复数z =1＋i , 求复数1632++-z z z 的模和辐角的主值．(23) (本小题满分10分)已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC ＝2．求点B 到平面EFG 的距离．(24) (本小题满分10分)根据函数单调性的定义，证明函数f (x )=－x 3+1在(－∞，+∞)上是减函数． (25) (本小题满分12分)已知n 为自然数，实数a >1，解关于x 的不等式 log a x －log 2a x ＋12log 3a x ＋…＋n (n －2)1-n log n a x >3)2(1n--log a (x 2－a )(26) (本小题满分12分)3双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为5的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则．二、每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤．四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．五、只给整数分数．一、选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分．(1)A (2)D (3)B (4)B (5)A (6) D (7)A(8)D(9)C (10)C (11)A (12)C (13) B (14)C (15)D二、填空题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分15分．(16) 4π(17) {x |－2<x <1} (18) 314 (19) 1+510 (20) 3πa 2三、解答题(21) 本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分． 解：y =sin 2x+2sin x cos x+3cos 2x =(sin 2x ＋cos 2x )＋2sin x cos x +2cos 2x——1分=1sin2x (1＋cos2x )——3分=2＋sin2x +cos2x =2+2sin(2x+4π)．——5分当sin(2x+4π)=－1时y 取得最小值2－2． ——6分使y 取最小值的x 的集合为{x |x =k π－83π，k ∈Z }． ——8分(22) 本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．解：1632++-z z z =116)1(3)1(2++++-+i i i=i i+-23 ——2分=1－i ． ——4分1－i 的模r=22)1(1-+=2．因为1－i 对应的点在第四象限且辐角的正切tg θ=－1，所以辐角的主值 θ=47π． ——8分(23) 本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．解：如图，连结EG 、FG 、EF 、BD 、AC 、EF 、BD 分别交AC 于H 、O ． 因为ABCD 是正方形，E 、F 分别为AB 和AD 的中点，故EF ∥BD ，H 为AO 的中点．BD 不在平面EFG 上．否则，平面EFG 和平面ABCD 重合，从而点G 在平面的ABCD 上，与题设矛盾．由直线和平面平行的判定定理知BD ∥平面EFG ，所以BD 和平面EFG 的距离就是点B到平面EFG的距离． ——4分∵ BD ⊥AC ，∴ EF ⊥HC ． ∵ GC ⊥平面ABCD ， ∴ EF ⊥GC ， ∴ EF ⊥平面HCG ．∴ 平面EFG ⊥平面HCG ，HG 是这两个垂直平面的交线． ——6分作OK ⊥HG 交HG 于点K ，由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离． ——8分∵ 正方形ABCD 的边长为4，GC =2， ∴ AC=42，HO =2，HC =32． ∴ 在Rt △HCG 中，HG =()2222322=+．由于Rt △HKO 和Rt △HCG 有一个锐角是公共的，故Rt △HKO ∽△HCG ． ∴ OK =111122222=⨯=⋅HG GC HO ．即点B 到平面EFG 的距离为11112． ——10分 注：未证明“BD 不在平面EFG 上”不扣分．(24) 本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．满分10分．证法一：在(－∞，+∞)上任取x 1，x 2且x 1<x 2 ——1分则f (x 2) －f (x 1) =3231x x -= (x 1－x 2) (222121x x x x ++)——3分∵ x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0． ——4分当x 1x 2<0时，有222121x x x x ++= (x 1+x 2)2－x 1x 2>0；——6分当x 1x 2≥0时，有222121x x x x ++>0；∴ f(x 2)－ f (x 1)= (x 1－x 2)(222121x x x x ++)<0． ——8分即 f (x 2) < f (x 1)所以，函数f (x )=－x 3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分证法二：在(－∞，+∞)上任取x 1，x 2，且x 1<x 2， ——1分则f(x 2)－f(x 1)=x31－x32= (x 1－x 2)(222121x x x x ++)． ——3分∵ x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0． ——4分∵ x 1，x 2不同时为零，∴ x 21＋x 22>0．又 ∵ x 21＋x 22>21(x 21＋x 22)≥|x 1x 2|≥－x 1x 2∴ 222121x x x x ++>0，∴ f (x 2)－ f (x 1) = (x 1－x 2)(222121x x x x ++)<0． ——8分即 f (x 2) < f (x 1)．所以，函数 f (x )=－x 3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分(25) 本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识，以及分析问题的能力．满分12分．解：利用对数换底公式，原不等式左端化为log a x －4·2log log a x a a ＋12·3log log a x a a ＋…＋n (－2)n －1 ·n a a axlog log=[1－2＋4＋…＋(－2)n －1] log a x=3)2(1n--log a x故原不等式可化为3)2(1n --log a x >3)2(1n--log a (x 2－a )． ①当n 为奇数时，3)2(1n-->0，不等式①等价于log a x >log a (x 2－a )． ② 因为a >1，②式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->>->a x x a x x 2200⎪⎩⎪⎨⎧<-->>⇔002a x x ax x ⎪⎩⎪⎨⎧++<<+->⇔24112411a x a a x ——6分因为2411a +-<0， 2411a ++>24a=a ， 所以，不等式②的解集为{x |a <x <2411a++}． ——8分当n 为偶数时，3)2(1n --<0，不等式①等价于log a x >log a (x 2－a )． ③ 因为a >1，③式等价于⎪⎩⎪⎨⎧-<>->a x x a x x 2200 ⎪⎩⎪⎨⎧>-->>⇔002a x x ax x ⎪⎩⎪⎨⎧+-<>⇔2411a x a x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧++>>2411a x ax ——10分因为，，a aaa =>++<+-24241102411 ——12分所以，不等式③的解集为{x |x >2411a++}．①②综合得：当n 为奇数时，原不等式的解集是{x|2411ax a ++<<}； 当n 为偶数时，原不等式的解集是{x |2411ax ++>} (26) 本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力．满分12分．解法一：设双曲线的方程为2222by a x -=1．依题意知，点P ，Q 的坐标满足方程组()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-==-222222531b ac c x y b y ax 其中 将②式代入①式，整理得(5b 2－3a 2)x 2+6a 2cx －(3a 2c 2+5a 2b 2)=0． ③ ——3分设方程③的两个根为x 1，x 2，若5b 2－3a 2=0，则ab =53，即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b 2－3a 2≠0．根据根与系数的关系，有22221356ab ca x x -=+ ④ 222222213553a b b a c a x x -+-= ⑤ ——6分由于P 、Q 在直线y =53(x －c )上，可记为 P (x 1，53(x 1－c ))，Q (x 2，53(x 2－c ))．由OP ⊥OQ 得11)(53x c x -·22)(53x c x -=－1， 整理得3c (x 1+x 2)－8x 1x 2－3c 2=0． ⑥将④，⑤式及c 2=a 2+b 2代入⑥式，并整理得3a 4+8a 2b 2－3b 4=0，(a 2+3b 2)(3a 2－b 2)=0．因为a 2+3b 2≠0，解得b 2=3a 2， 所以c =22b a +=2a ． ——8分由|PQ |=4，得(x 2－x 1)2=[53(x 2－c )－53(x 1－c )]2=42． 整理得(x 1+x 2)2－4x 1x 2－10=0． ⑦将④，⑤式及b 2=3a 2，c =2a 代入⑦式，解得a 2=1． ——10分将a 2 =1代入b 2=3a 2 得 b 2=3．故所求双曲线方程为x 2－32y =1． ——12分 解法二：④式以上同解法一． ——4分解方程③得x 1=222235403a b ab c a -+-，x 2=222235403ab abc a --- ④ ——6分由于P 、Q 在直线y =53(x －c )上，可记为P (x 1，53(x 1－c))，Q (x 2，53(x 2－c))．由OP ⊥OQ ，得x 1 x 2＋53(x 1－c)·53(x 2－c)=0． ⑤将④式及c 2=a 2b 2代入⑤式并整理得 3a 4+8a 2b 2－3b 4=0，即 (a 2+3b 2)(3a 2－b 2)=0．因a 2+3b 2≠0，解得b 2=3a 2． ——8分由|PQ |=4，得(x 2－x 1)2+[53(x 2－c)－53(x 1－c)]2=42． 即 (x 2－x 1)2=10． ⑥将④式代入⑥式并整理得(5b 2－3a 2)2－16a 2b 4=0．——10分 将b 2=3a 2代入上式，得a 2=1，将a 2=1代入b 2=3a 2得b 2=3．故所求双曲线方程为x 2－32y =1．——12分。
1991年全国高考数学试题及其参考答案
1991年全国高考数学试题及其参考答案(理工农医类)考生注意：这份试卷共三道大题(26个小题)．满分120分一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内．(1) 已知sin α=54，并且α是第二象限的角，那么tg α的值等于 ( )(A) 34-(B) 43- (C) 43 (D) 34(2) 焦点在(－1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是 ( )(A) y 2=8(x+1) (B) y 2=－8(x+1) (C) y 2=8(x －1)(D) y 2=－8(x －1)(3)函数y =cos 4x －sin 4x 的最小正周期是 ( )(A)2π(B) π (C) 2π (D) 4π (4)如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有( )(A) 12对 (B) 24对(C) 36对(D) 48对(5) 函数y =sin(2x+25π)的图像的一条对称轴的方程是 ( )(A) x =－2π(B) x =－4π(C) 8π=x(D) 45π=x(6) 如果三棱锥S －ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在△ABC 内，那么O 是△ABC 的( )(A) 垂心(B) 重心(C) 外心(D) 内心(7) 已知{a n }是等比数列，且a n >0，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25，那么a 3+a 5的值等于( )(A) 5(B) 10(C) 15(D) 20(8) 如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ=θcos 3516-，那么它的焦点的极坐标为( )(A) （0，0），（6，π） (B) (－3，0)，(3，0) (C) （0，0），（3，0）(D) (0，0)，(6，0)(9) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )(A) 140种(B) 84种(C) 70种(D) 35种(10) 如果AC <0且BC <0，那么直线Ax+By+C =0不通过．．． ( ) (A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限(11) 设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( ) (A) 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 (B) 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 (C) 丙是甲的充要条件(D) 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件(12) )]511)(411)(311([lim ---∞→n n …(1－21+n )]的值等于( )(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(13) 如果奇函数f (x )在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上是( )(A) 增函数且最小值为－5 (B) 增函数且最大值为－5 (C) 减函数且最小值为－5(D) 减函数且最大值为－5(14) 圆x 2+2x+y 2+4y －3=0上到直线x +y +1=0的距离为2的点共有 ( ) (A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个(15) 设全集为R ，f (x )=sin x ，g (x )=cos x ，M ={x |f (x )≠0}，N ={x |g (x )≠0}，那么集合{x |f (x )g (x )=0}等于( )(A) N M ⋂(B)N M(C)N M (D)N M二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．(16) arctg 31+arctg 21的值是____________(17) 不等式226-+x x<1的解集是___________(18) 已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体积等于(19) (ax+1)7的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项．若实数a >1，那么a =(20) 在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果P A 、PB 、PC 两两互相垂直，且P A ＝PB ＝PC ＝a ．那么这个球面的面积是三、解答题：本大题共6小题；共60分．(21) (本小题满分8分)求函数y =sin 2x+2sin x cos x+3cos 2x 的最小值，并写出使函数y 取最小值的x 的集合．(22) (本小题满分8分)已知复数z =1＋i , 求复数1632++-z z z 的模和辐角的主值．(23) (本小题满分10分)已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC ＝2．求点B 到平面EFG 的距离．(24) (本小题满分10分)根据函数单调性的定义，证明函数f (x )=－x 3+1在(－∞，+∞)上是减函数． (25) (本小题满分12分)已知n 为自然数，实数a >1，解关于x 的不等式 log a x －log 2a x ＋12log 3a x ＋…＋n (n －2)1-n log n a x >3)2(1n--log a (x 2－a )(26) (本小题满分12分)3双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为5的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则．二、每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤．四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．五、只给整数分数．一、选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分．(1)A (2)D (3)B (4)B (5)A (6) D (7)A(8)D(9)C (10)C (11)A (12)C (13) B (14)C (15)D二、填空题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分15分．(16) 4π(17) {x |－2<x <1} (18) 314 (19) 1+510 (20) 3πa 2三、解答题(21) 本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分． 解：y =sin 2x+2sin x cos x+3cos 2x =(sin 2x ＋cos 2x )＋2sin x cos x +2cos 2x——1分=1sin2x (1＋cos2x )——3分=2＋sin2x +cos2x =2+2sin(2x+4π)．——5分当sin(2x+4π)=－1时y 取得最小值2－2． ——6分使y 取最小值的x 的集合为{x |x =k π－83π，k ∈Z }． ——8分(22) 本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．解：1632++-z z z =116)1(3)1(2++++-+i i i=i i+-23 ——2分=1－i ． ——4分1－i 的模r=22)1(1-+=2．因为1－i 对应的点在第四象限且辐角的正切tg θ=－1，所以辐角的主值 θ=47π． ——8分(23) 本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．解：如图，连结EG 、FG 、EF 、BD 、AC 、EF 、BD 分别交AC 于H 、O ． 因为ABCD 是正方形，E 、F 分别为AB 和AD 的中点，故EF ∥BD ，H 为AO 的中点．BD 不在平面EFG 上．否则，平面EFG 和平面ABCD 重合，从而点G 在平面的ABCD 上，与题设矛盾．由直线和平面平行的判定定理知BD ∥平面EFG ，所以BD 和平面EFG 的距离就是点B到平面EFG的距离． ——4分∵ BD ⊥AC ，∴ EF ⊥HC ． ∵ GC ⊥平面ABCD ， ∴ EF ⊥GC ， ∴ EF ⊥平面HCG ．∴ 平面EFG ⊥平面HCG ，HG 是这两个垂直平面的交线． ——6分作OK ⊥HG 交HG 于点K ，由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离． ——8分∵ 正方形ABCD 的边长为4，GC =2， ∴ AC=42，HO =2，HC =32． ∴ 在Rt △HCG 中，HG =()2222322=+．由于Rt △HKO 和Rt △HCG 有一个锐角是公共的，故Rt △HKO ∽△HCG ． ∴ OK =111122222=⨯=⋅HG GC HO ．即点B 到平面EFG 的距离为11112． ——10分 注：未证明“BD 不在平面EFG 上”不扣分．(24) 本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．满分10分．证法一：在(－∞，+∞)上任取x 1，x 2且x 1<x 2 ——1分则f (x 2) －f (x 1) =3231x x -= (x 1－x 2) (222121x x x x ++)——3分∵ x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0． ——4分当x 1x 2<0时，有222121x x x x ++= (x 1+x 2)2－x 1x 2>0；——6分当x 1x 2≥0时，有222121x x x x ++>0；∴ f(x 2)－ f (x 1)= (x 1－x 2)(222121x x x x ++)<0． ——8分即 f (x 2) < f (x 1)所以，函数f (x )=－x 3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分证法二：在(－∞，+∞)上任取x 1，x 2，且x 1<x 2， ——1分则f(x 2)－f(x 1)=x31－x32= (x 1－x 2)(222121x x x x ++)． ——3分∵ x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0． ——4分∵ x 1，x 2不同时为零，∴ x 21＋x 22>0．又 ∵ x 21＋x 22>21(x 21＋x 22)≥|x 1x 2|≥－x 1x 2∴ 222121x x x x ++>0，∴ f (x 2)－ f (x 1) = (x 1－x 2)(222121x x x x ++)<0． ——8分即 f (x 2) < f (x 1)．所以，函数 f (x )=－x 3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分(25) 本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识，以及分析问题的能力．满分12分．解：利用对数换底公式，原不等式左端化为log a x －4·2log log a x a a ＋12·3log log a x a a ＋…＋n (－2)n －1 ·n a a axlog log=[1－2＋4＋…＋(－2)n －1] log a x=3)2(1n--log a x故原不等式可化为3)2(1n --log a x >3)2(1n--log a (x 2－a )． ①当n 为奇数时，3)2(1n-->0，不等式①等价于log a x >log a (x 2－a )． ② 因为a >1，②式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->>->a x x a x x 2200⎪⎩⎪⎨⎧<-->>⇔002a x x ax x ⎪⎩⎪⎨⎧++<<+->⇔24112411a x a a x ——6分因为2411a +-<0， 2411a ++>24a=a ， 所以，不等式②的解集为{x |a <x <2411a++}． ——8分当n 为偶数时，3)2(1n --<0，不等式①等价于log a x >log a (x 2－a )． ③ 因为a >1，③式等价于⎪⎩⎪⎨⎧-<>->a x x a x x 2200 ⎪⎩⎪⎨⎧>-->>⇔002a x x ax x ⎪⎩⎪⎨⎧+-<>⇔2411a x a x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧++>>2411a x ax ——10分因为，，a aaa =>++<+-24241102411 ——12分所以，不等式③的解集为{x |x >2411a++}．①②综合得：当n 为奇数时，原不等式的解集是{x|2411ax a ++<<}； 当n 为偶数时，原不等式的解集是{x |2411ax ++>} (26) 本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力．满分12分．解法一：设双曲线的方程为2222by a x -=1．依题意知，点P ，Q 的坐标满足方程组()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-==-222222531b ac c x y b y ax 其中 将②式代入①式，整理得(5b 2－3a 2)x 2+6a 2cx －(3a 2c 2+5a 2b 2)=0． ③ ——3分设方程③的两个根为x 1，x 2，若5b 2－3a 2=0，则ab =53，即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b 2－3a 2≠0．根据根与系数的关系，有22221356ab ca x x -=+ ④ 222222213553a b b a c a x x -+-= ⑤ ——6分由于P 、Q 在直线y =53(x －c )上，可记为 P (x 1，53(x 1－c ))，Q (x 2，53(x 2－c ))．由OP ⊥OQ 得11)(53x c x -·22)(53x c x -=－1， 整理得3c (x 1+x 2)－8x 1x 2－3c 2=0． ⑥将④，⑤式及c 2=a 2+b 2代入⑥式，并整理得3a 4+8a 2b 2－3b 4=0，(a 2+3b 2)(3a 2－b 2)=0．因为a 2+3b 2≠0，解得b 2=3a 2， 所以c =22b a +=2a ． ——8分由|PQ |=4，得(x 2－x 1)2=[53(x 2－c )－53(x 1－c )]2=42． 整理得(x 1+x 2)2－4x 1x 2－10=0． ⑦将④，⑤式及b 2=3a 2，c =2a 代入⑦式，解得a 2=1． ——10分将a 2 =1代入b 2=3a 2 得 b 2=3．故所求双曲线方程为x 2－32y =1． ——12分 解法二：④式以上同解法一． ——4分解方程③得x 1=222235403a b ab c a -+-，x 2=222235403ab abc a --- ④ ——6分由于P 、Q 在直线y =53(x －c )上，可记为P (x 1，53(x 1－c))，Q (x 2，53(x 2－c))．由OP ⊥OQ ，得x 1 x 2＋53(x 1－c)·53(x 2－c)=0． ⑤将④式及c 2=a 2b 2代入⑤式并整理得 3a 4+8a 2b 2－3b 4=0，即 (a 2+3b 2)(3a 2－b 2)=0．因a 2+3b 2≠0，解得b 2=3a 2． ——8分由|PQ |=4，得(x 2－x 1)2+[53(x 2－c)－53(x 1－c)]2=42． 即 (x 2－x 1)2=10． ⑥将④式代入⑥式并整理得(5b 2－3a 2)2－16a 2b 4=0．——10分 将b 2=3a 2代入上式，得a 2=1，将a 2=1代入b 2=3a 2得b 2=3．故所求双曲线方程为x 2－32y =1．——12分。
(详细解析)1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(文)
1991年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）考生注意：这份试卷共三道大题（26个小题）．满分120分．一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内1．已知4sin 5α=，并且是第二象限的角，那么tan α的值等于 A ．34- B ．43- C ．43 D ．34【答案】A【解析】由题设3cos 5α=-，所以4tan 3α=-．2．焦点在(1,0)-，顶点在(1,0)的抛物线方程是A ．)1(82+=x y B ．)1(82+-=x y C ．)1(82-=x y D ．)1(82--=x y 【答案】D【解析】抛物线开口向左，且112p=+，所以4p =．3．函数x x y 44sin cos -=的最小正周期是 A ．2πB ．πC ．π2D ．π4 【答案】B【解析】44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2y x x x x x x x x x =-=+-=-=，所以最小正周期是π．4．(2,5)P 关于直线0x y +=的对称点的坐标是A ．(5,2)PB ．(2,5)P -C ．(5,2)P --D ．(2,5)P -- 【答案】C【解析】设(2,5)P 的对称点(,)P x y '，则250,2251,2x y y x ++⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩解得5,2,x y =-⎧⎨=-⎩．5．如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有 A ．12对 B ．24对 C ．36对 D ．48对 【答案】B【解析】每一条侧棱与不共点的其余底面4条边均异面，所以共有24对．6．函数5sin(2)2y x π=+的图象的一条对称轴的方程是 A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π=x D ．45π=x【答案】A【解析】对称轴的方程满足52()22x k k Z πππ+=+∈，则()2x k k Z ππ=⋅-∈，显然1k =时2π-=x ．7．如果三棱锥S ABC -的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在ABC ∆内，那么O 是ABC ∆的A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心 【答案】D【解析】由题设可知点O 到ABC ∆三边的距离相等，所以O 是ABC ∆的内接圆的圆心．8．已知}{n a 是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n ，那么53a a + 的值等于 A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 【答案】A【解析】设公比为q ，则由题设可得22224442225a a a q q ++⋅=，即2241()25a q q+=，则41()5a q q+=，即355a a +=．9．已知函数651x y x +=-（x R ∈，且1x ≠），那么它的反函数为 A ．651x y x +=-（x R ∈，且1x ≠） B ．56x y x +=-（x R ∈，且6x ≠）C ．165x y x -=+（x R ∈，且56x ≠-）D ．65x y x -=+（x R ∈，且5x ≠-）【答案】B【解析】65516x y y x x y ++=⇒=--，所以所求反函数为56x y x +=-（x R ∈，且6x ≠），B 正确．10．从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有 A ．140种 B ．84种 C ．70种 D ．35种 【答案】C【解析】直接法：1221454570C C C C +=． 间接法：33374570C C C --=．11．设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件．那么 A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C ．丙是甲的充要条件D ．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 【答案】A【解析】由题意，乙⇒甲，丙⇒乙，但乙⇒丙，从而可得甲⇒丙，丙⇒甲．12． )]211()511)(411)(311([lim +----∞→n n n 的值等于 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】11112341lim[(1)(1)(1)(1)]lim[]34523452n n n n n n n →∞→∞+----=⋅⋅⋅⋅⋅++ 2lim22n nn →∞==+．13．如果0AC <且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不通过．．．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】A C y x B B =--，由于0AC <且0BC <，所以0,0A CB B->->，故D 正确．14．如果奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，那么()f x 在区间[7,3]--上是 A ．增函数且最小值为5- B ．增函数且最大值为5- C ．减函数且最小值为5- D ．减函数且最大值为5-【答案】B【解析】若[7,3]x ∈--，则[3,7]x -∈，()()f x f x -=-是增函数的最大值为(3)f -=(3)5f -=-．15．圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C【解析】圆的标准方程为222(1)(2)x y +++=，圆心(1,2)--到直线10x y ++=的距离为2，故与直线10x y ++=平行的直径上和与直线平行的切线上满足条件的点分别有2个和1个．二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．16．双曲线以直线1x =-和2y =为对称轴，如果它的一个焦点在y 轴上，那么它的另一焦点的坐标是 ． 【答案】(2,2)-【解析】根据题意一个焦点落在2y =上，为(0,2)，则另一焦点满足012m+=-，得2m =-，所以另一焦点的坐标是(2,2)-．17．已知sin x =sin 2()4x π-= ．【答案】2【解析】2sin 2()sin(2)cos 22sin 1242x x x x ππ-=-=-=-=-．18．不等式2lg(22)1x x ++<的解集是 ． 【答案】{}42x x -<<|【解析】由题设得21(1)110x ≤++<，即2280x x +-<，解得42x -<<．19．在7(1)ax +的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项．若实数1>a ，那么a = ．【答案】1015+【解析】由题设可得234,,x x x 的系数分别为524334777,,C a C a C a ⋅⋅⋅，则4352772C a C a ⋅=⋅+347C a ⋅，化简得251030a a -+=，由于1>a ，所以1015a =+．20．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知顶点A 上三条棱长分别是23,2,．如果对角线1AC 与过点A 的相邻三个面所成的角分别是,,αβγ，那么222cos cos cos αβγ++=． 【答案】2【解析】∵11B C ⊥面11ABB A ，∴1AC 与面11ABB A 所成的角为11C AB α∠=；同理1AC 与面11ADD A 所成的角为11C AD β∠=；1AC 与面ABCD 所成的角为1C AC γ∠=．∵不妨设12,2,3AB AD AA ===，∴1113,6,7,5AC AC AB AD ====， ∴11111756cos ,cos ,cos 333AB AD AC AC AC AC αβγ======．所以222cos cos cos 2αβγ++=．三、解答题：本大题共6小题；共60分．21．（本小题满分8分）求函数x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++=的最大值．【解】本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分．22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++222(sin cos )2sin cos 2cos x x x x x =+++ ——1分1sin 2(1cos 2)x x =+++ ——3分2sin 2cos 222sin(2)4x x x π=++=++． ——5分当sin(2)14x π+=时y 取得最大值，这时最大值等于22+． ——6分22．（本小题满分8分）已知复数i z +=1，求复数1632++-z z z 的模和辐角的主值．【解】本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．2236(1)3(1)631112z z i i iz i i-++-++-==++++ ——2分1i =-． ——4分1i -的模221(1)2r =+-=．因为1i -对应的点在第四象限且辐角的正切tan 1θ=-， 所以辐角的主值74θπ=． ——8分23．（本小题满分10分）如图，在三棱台111A B C ABC -中，已知1AA ⊥底面ABC ，11111AA A B B C a ===，1B B BC ⊥，且1B B 和底面ABC 所成的角45︒，求这个棱台的体积．【解】本小题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．因为1AA ⊥底面ABC ，所以根据线面垂线的 定义有1AA BC ⊥．又1BC BB ⊥，且棱1AA 和1BB 的延长线交于一点，所以利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC ⊥侧面11A ABB ， 从而根据线面垂线的定义又可得出BC AB ⊥． ∴ABC ∆是直角三角形，90ABC ∠=︒．并且1ABB ∠就是1BB 和底面ABC 所成的角，145ABB ∠=︒． ——3分 作1B D AB ⊥交AB 于D ，则11//B D A A ，故1B D ⊥底面ABC ． ∵1Rt B DB ∆中145DBB ∠=︒， ∴ 11DB DB AA a ===，∴2AB a =． ——6分 由于棱台的两个底面相似，故111Rt ABC Rt A B C ∆≅∆．∵1111,2B C A B a AB a ===，∴2BC a =．∴21111122a S A B B C =⋅=上，2122S AB BC a =⋅=下． ——8分11()3V A A S S S S =⋅⋅+⋅+下下棱台上上2222317(22)3226a a a a a a =⋅+⨯+=． ——10分24．（本小题满分10分）设{}n a 是等差数列，1()2n an b =．已知123123211,88b b b b b b ++==．求等差数列的通项n a ． 【解】本小题考查等差数列，等比数列的概念及运用方程（组）解决问题的能力．满分10分．设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-．∴()111()2a n dn b +-=．1112222132111()()()222a a d a d b b b ++===． 由12318b b b =，得3218b =，解得212b =． ——3分代入已知条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=.82181321321b b b b b b ，整理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=.817413131b b b b ，解这个方程组得1312,8b b ==或131,28b b ==． ——6分 ∴11,2a d =-=或13,2a d ==-． ——8分 所以，当11,2a d =-=时1(1)23n a a n d n =+-=-．当13,2a d ==-时1(1)52n a a n d n =+-=-． ——10分25．（本小题满分12分）设0,1a a >≠，解关于x 的不等式42221()xx a a a->． 【解】本小题考查指数函数性质、解不等式及综合分析能力．满分12分． 解法一：原不等式可写成4222x x a aa-->． ① ——1分根据指数函数性质，分为两种情形讨论：（Ⅰ）当01a <<时，由①式得42220x x a -+<， ② ——3分由于01a <<时，判别式2440a ∆=->，所以②式等价于2211x x ⎧>⎪⎨<⎪⎩——5分解③式得x <或x >解④式得x << ——7分 所以，01a <<时，原不等式的解集为{{1x x x x <<-<<||．——8分（Ⅱ）当1a >时，由①式得42220x x a -+>， ⑤ ——9分由于1a >，判别式0∆<，故⑤式对任意实数x 成立，即得原不等式的解集为{}x x -∞<<+∞|． ——12分综合得当01a <<时，原不等式的解集为{{1x x x x <<-<<||；当1a >时，原不等式的解集为{}x x -∞<<+∞|． 解法二：原不等式可写成2242a x x a a-->． ① ——1分（Ⅰ）当01a <<时，由①式得42220x x a -+<， ②——3分分解因式得22(110x x --<． ③即2210,10;x x ⎧-+>⎪⎨--<⎪⎩ 或2210,10.x x ⎧-+⎪⎨-->⎪⎩——5分解由④、⑤组成的不等式组得x<<x <<．——7分 由⑥、⑦组成的不等式组解集为空集；所以，01a <<时，原不等式的解集为{{1x x x x <<-<<||；——8分 （Ⅱ）当1a >时，由①式得42220x x a -+>， ⑧ ——9分配方得222(1)10x a -+->， ⑨对任意实数x ，不等式⑨都成立，即1a >时，原不等式的解集为{}x x -∞<<+∞|．——12分综合得当01a <<时，原不等式的解集为{{1x x x x <<-<<||；当1a >时，原不等式的解集为{}x x -∞<<+∞|．26．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线1y x =+与该椭圆相交于P 和Q，且,OP OQ PQ ⊥=．求椭圆的方程． 【解】本小题考查椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与系数的关系及分析问题的能力．满分12分．解法一：设所求椭圆方程为22221x y a b+=．依题意知，点,P Q 的坐标满足方程组22221,1.x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩将②式代入①式，整理得222222()2(1)0a b x a x a b +++-=，③ ——2分 设方程③的两个根分别为12,x x ，那么直线1y x =+与椭圆的交点为1122(,1),(,1)P x x Q x x ++． ——3分由题设,OP OQ PQ ⊥=，可得[]12122222121111()(1)(1)(.2x x x x x x x x ++⎧⋅=-⎪⎪⎨⎪-++-+=⎪⎩，整理得()()12122121221041650.x x x x x x x x +++=⎧⎪⎨+--=⎪⎩，——6分 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=；，23412121x x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=.21412121x x x x ，根据根与系数的关系，由③式得（Ⅰ）2222222232(1)14a a b a b a b ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，；或（Ⅱ）2222222212(1)1.4a a b a b a b ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩， ——10分资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除----完整版学习资料分享---- 解方程组（Ⅰ），（Ⅱ），得⎪⎩⎪⎨⎧==；，32222b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.23222b a ， 故所求椭圆的方程为132222=+y x ，或.123222=+y x ——12分 解法二：同解法一得222222()2(1)0a b x a x a b +++-=， ③ ——2分解方程③得 22222222222111b a b a ab a x b a b a ab a x +-+--=+-++-=，． ④ ——4分 则直线1y x =+与椭圆的交点为1122(,1),(,1)P x x Q x x ++．由题设OP OQ ⊥，得1212111x x x x ++⋅=-． ⑤ 将④式代入⑤式，整理得22222a b a b +=． ⑥由PQ =，得[]2222121()(1)(1)x x x x -++-+=，即2215()4x x -=．⑦ 将④式代入⑦式，整理得22222224(1)5()4a b a b a b +-=+． ⑧ 将⑥式、⑧式联立，整理得2222834.3a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解此方程得⎪⎩⎪⎨⎧==；，32222b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.23222b a ， 故所求椭圆的方程为132222=+y x ，或.123222=+y x ——12分。
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)第一届全国大学生数学竞赛预赛试题一、填空题（每小题5分，共20分）1.计算 $\iint_D \frac{y}{x+y-1} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中区域$D$ 由直线$x+y=1$ 与两坐标轴所围成三角形区域。
2.设 $f(x)$ 是连续函数，且满足 $f(x)=3x^2-\intf(x)\mathrm{d}x-2$，则 $f(x)=\underline{\hspace{2em}}$。
3.曲面 $z=\frac{x^2+y^2-2}{2}$ 平行于平面 $2x+2y-z=$ 的切平面方程是 $\underline{\hspace{2em}}$。
4.设函数 $y=y(x)$ 由方程 $xe^{f(y)}=\ln 29$ 确定，其中$f$ 具有二阶导数，且 $f'\neq 1$，则$y''=\underline{\hspace{2em}}$。
二、（5分）求极限 $\lim\limits_{x\to n}\frac{e^{ex+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}}{x}$。
三、（15分）设函数 $f(x)$ 连续，$g(x)=\intf(xt)\mathrm{d}t$，且 $\lim\limits_{x\to 1} f(x)=A$，$A$ 为常数，求 $g'(x)$ 并讨论 $g'(x)$ 在 $x=1$ 处的连续性。
四、（15分）已知平面区域 $D=\{(x,y)|0\leq x\leq\pi,0\leq y\leq\pi\}$，$L$ 为 $D$ 的正向边界，试证：1）$\int_L xe^{\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x=\int_L xe^{-\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x$；2）$\int_L xe^{\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x\geq \frac{\pi^2}{2}$。
全国大学生数学建模竞赛赛题综合评析
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4
3
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2
5
11
91赛试题「共21份有答案」
91赛试题「共21份有答案」1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１．设等式在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则的值是（A）3 ；（B）；（C）2；（D）．答（）２．如图，AB‖EF‖CD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是（A）10；（B）12；（C）16；（D）18．答（）３．方程的解是（A）；（B）；（C）或；（D）．答（）４．已知：（n是自然数）．那么，的值是（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）；（Ｄ）．答（）５．若，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（）６．若a，c，d是整数，b是正整数，且满足，，，那么的最大值是（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）；（Ｄ）１．答（）=1 ７．如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是，和，那么，正方形OPQR的边长是（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（）８．在锐角ΔABC中，，，，ΔABC的外接圆半径≤1，则（Ａ）c 2 ；（Ｂ）0 c ≤；答（）（C）c 2；（D）c = 2．答（）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE 交对角线BD于G，如果ΔBEG的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是．２．已知关于x的一元二次方程没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，．3．设m，n，p，q为非负数，且对一切x ０，恒成立，则．４．四边形ABCD中，∠ ABC，∠BCD，AB，BC，CD = 6，则AD = ．第二试x + y，x －y，x y，四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF 三、将正方形ABCD分割为个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 1.满足的非负整数的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4. 2.若是一元二次方程的根,则判别式与平方式的关系是(A) (B)= (C) (D)不确定. 3.若,则的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( ) 4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于,则这个多边形的边数必为(A)7;(B)6; (C)5; (D)4. 答( ) 5.如图,正比例函数的图像与反比例函数的图像分别相交于A点和C点.若和的面积分别为S1和S2,则S1与S2的关系是(A) (B) (C) (D)不确定答( ) 6.在一个由个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,则的整数部分是(A)0; (B)1; (C)2;(D)3. 答( ) 7.如图,在等腰梯形ABCD中, AB//CD, AB=2CD, ,又E 是底边AB上一点,且FE=FB=AC, FA=AB. 则AE:EB等于(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( ) 8.设均为正整数,且,,则当的值最大时,的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 答( ) 二.填空题 1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于________________. 2.若,则的最大值是__________.3.在中,的平分线相交于点，又于点，若，则 .4.若都是正实数，且，则 . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根，当这样的三角形只有一个时，求的取值范围. 二、如图，在中，是底边上一点，是线段上一点，且. 求证：. 三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A：__ B：__ C：__ D：__ 已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个数字的位置与M和N相同.试求：M和N. 1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 1.多项式除以的余式是(A)1; (B)-1; (C); (D); 2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形. Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是(A)Ⅰ,Ⅱ都对(B)Ⅰ对,Ⅱ错(C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设是实数,.下列四个结论: Ⅰ.没有最小值; Ⅱ.只有一个使取到最小值; Ⅲ.有有限多个(不止一个)使取到最大值; Ⅳ.有无穷多个使取到最小值. 其中正确的是(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ 4.实数满足方程组其中是实常数,且,则的大小顺序是(A); (B); (C); (D). 5.不等式的整数解的个解(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于5 6.在中,, 则的值是(A) (B) (C) (D). 答( ) 7.锐角三角ABC的三边是a, b, c,它的外心到三边的距离分别为m, n, p,那么m:n:p等于(A); (B) (C) (D). 答( ) 8.可以化简成(A); (B) (C) (D) 答( ) 二.填空题1. 当x变化时,分式的最小值是___________. 2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球. 3.若方程有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则=____________. 4.锐角三角形ABC中,.以BC边为直径作圆,与AB, AC分别交于D, E,连接DE, 把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC,设它们的面积分别为S1, S2,则S1:S2=___________. 第二试一.设H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小,这时乘积的值变小,变大,还是不变?证明你的结论. 二.中, BC=5, AC=12, AB=13, 在边AB ,AC上分别取点D, E, 使线段DE将分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度. 三.已知方程分别各有两个整数根及,且. (1)求证: (2)求证:≤≤; (3)求所有可能的值. 1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30) 考生注意：本试共两道大题，满分80分. 一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分. 〔答〕( ) 2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,z A．都不小于0 B．都不大于0 C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0 〔答〕( ) 3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4 B．等于5 C．等于6 D．不能确定〔答〕( ) A．1 B．-1 C．__ D．-__ 〔答〕( ) 5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( ) 〔答〕( ) 7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
大学数学竞赛试题及答案
大学数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个选项不是实数？A. πB. iC. √2D. -1答案：B2. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2在区间[-4, -1]上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减答案：C3. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第10项a10的值。
A. 23B. 27C. 29D. 31答案：A4. 圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，求圆与直线的位置关系。
A. 相离B. 相切C. 相交D. 内含答案：C5. 已知矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求矩阵A的行列式。
A. 0B. 1C. 7D. 8答案：C6. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...D. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...答案：A二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知函数g(x) = 2x - 3，求g(4)的值：________。
答案：58. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度：________。
答案：59. 求函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x的极小值点：________。
答案：x = 110. 已知一个球的体积是(4/3)π，求该球的半径：________。
答案：1三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意实数x，不等式e^x ≥ x + 1始终成立。
证明：略12. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求该函数的极值点。
解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 11。
令f'(x) = 0，解得x = 1, 3。
通过二阶导数检验，可知x = 1为极大值点，x = 3为极小值点。
3.清华大学数学竞赛试题
二、清华大学数学竞赛试题 一、求证：⎰<+-<x x x dx 0326
421π 。
二、求⎰--++-+-+-x
n n t x t x t x 012])!1()(!2)(!11[ dt e nt 对x 的n 阶导函数。
（⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1
111n e n e n n x nt n 当时当）
三、J 是所有元素都为1的n 阶矩阵，X 是n 阶矩阵，证明：矩阵方程
X=XJ+JX 仅有零解（即X 是一个n 阶零矩阵）。
四、已知方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧++=++++=++++=++c b a bzx ax cz c b a ayz cz by c b a cxy by ax 证明这个方程组的唯一非负解为
（1，1，1）。
五、设函数)(x f 在10≤≤x 上连续、单调减少、且0)(>a f 求证： ⎰⎰⎰⎰≤10
10
21
0102)()()()(dx x f dx x f dx x xf dx x xf 并给予物理解释。
六、A，B，C，D四个动点，开始分别位于一个正方形的四个顶点（图36），然后A点向着B点，B点向着C点，C点向着D点，D点向着A 点，同时以相同的速率运动，求每一点运动的轨迹，并画出这运动轨迹的大致图形。
清华大学数学竞赛试题及答案
清华大学数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若\( a \), \( b \), \( c \)为正整数，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，问\( a + b + c \)的最小值是多少？A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知函数\( f(x) = x^3 - 3x \)，求\( f(x) \)的极小值。
A. -2B. -1C. 0D. 13. 一个圆的半径为5，圆心到直线\( ax + by + c = 0 \)的距离为4，求圆与直线的位置关系。
A. 相离B. 相切C. 相交D. 包含4. 将一个长方体的长、宽、高分别增加1，问体积增加了多少？A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知\( \sin(\alpha + \beta) = \frac{3}{5} \),\( \cos(\alpha + \beta) = -\frac{4}{5} \)，求\( \tan(\alpha) \)的值。
2. 若\( \log_2 8 = 3 \)，求\( \log_{16} 32 \)的值。
3. 一个等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。
4. 已知\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)，求该定积分的值。
三、解答题（每题30分，共60分）1. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \)。
2. 解不等式：\( |x - 2| + |x - 5| \geq 5 \)。
四、证明题（共40分）1. 证明：对于任意实数\( x \)和\( y \)，\( (x + y)^2 \leq2(x^2 + y^2) \)。
2. 证明：若\( a \), \( b \), \( c \)为正整数，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则\( a + b + c \)的最小值为6。
历年全国大学生数学竞赛初赛题目及答案解析全(2009-2019年非数学专业)
程，有 2x 2 2y 1 z 1 0 ，展开化简后有 2x 2y z 5 0.
(4) 设 y y(x) 由方程 xe f (y) ey ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f 1 ，则
d2 y
=___________.
dx2
【参考答案】对等式两端分别关于
1 ab
1 b2]
0
523
1 π[
a2
1
a(1
a)
1
4
(1
a)2 ].
53
39
dv 2 1 2 8
5
3
令 π[ a a (1 a)] 0 ，得 a ，代入 b 的表达式 得 b .
da 5 3 3 27
4
2
所以y 0 。
d 2v
22 8 4
5
3
又因
da 2
|
5 a
π[ 5
3
] 27
证：
3
(1) xesiny d y yesinx d x xesiny d y yesinx d x;
L
L
(2) xesin y d y yesin x d x 5 π2 .
2
L
【参考证法一】由于区域 D 为一正方形，可以直接用对坐标曲线积分的计算法计算.
π
0
π
左边 πesin y d y πesin x d x π (esin x esin x ) d x ，
，
，
u,v
v2
1x y
u
所以由二重积分换元法的积分变换公式，原积分也就等于
D
(x
y)ln1 1x y
y x
dx
dy
2
1991 年第3 届北京市大学生(非数学专业)数学竞赛
才
圣
网 习 学 才 圣
网 习 学
才
圣
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表达式.
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八、
设 f ( x) ， g ( x) 均为[a ，b]上的连续增函数， (a ，b > 0) .证明：
m 九、
b
∫a
f
(
x)
b
dx∫a
g
(
x)
dx
≤
(b
−
a)
b
∫a
f
(
x)
g
(
x)
dx
.
圣 学习 四、
才
设{un} ，{cn} 为正实数列，试证明：
圣
om ∑ ∑ （1）若对所有的正整数 n 满足： cnun
− cn+1un+1
≤
0 ，且
∞ n=1
1 cn
发散，则
∞
un
n=1
也发散.
exi.c om ∑ ∑ （ 2 ）若对所有的正整数 n
满足： cn
un un+1
− cn+1
≥
a
（常数 a
才学 网w ( ) ( ) ( ) v∫ 计算： z2 − y2 dx + x2 − z2 dy + y2 − x2 dz . C
圣 学习 七、
才
圣 设 f 是可导函数，对于任意实数 s ， t 有 f ( s + t ) = f (s) + f (t ) + 2st ，且 f ′(0) = 1，求函数 f 的
>
0 ），且
∞ n=1
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
全国大学生数学竞赛赛试题(19届)一、试题概述全国大学生数学竞赛是由中国数学会主办的一项面向全国高校本科生的数学竞赛。
自2009年首届竞赛举办以来，已成功举办九届。
竞赛旨在激发大学生对数学的兴趣，提高他们的数学素养和综合能力，同时选拔优秀数学人才。
每届竞赛均设有预赛和决赛两个阶段，预赛为全国范围内的统一考试，决赛则在全国范围内选拔出的优秀选手中进行。
二、竞赛内容全国大学生数学竞赛的试题内容主要包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计等基础数学知识。
试题难度适中，既考查参赛选手的基础知识掌握程度，又注重考查他们的综合应用能力和创新思维能力。
三、竞赛特点1. 公平公正：竞赛试题由全国数学教育专家命题，确保试题质量，保证竞赛的公平公正。
2. 注重基础：竞赛试题主要考查参赛选手对基础数学知识的掌握程度，有利于引导大学生重视基础数学学习。
3. 综合应用：试题设计注重考查参赛选手的综合应用能力，培养他们的创新思维和实践能力。
4. 激发兴趣：竞赛通过丰富多样的试题形式，激发大学生对数学的兴趣，培养他们的数学素养。
四、竞赛组织全国大学生数学竞赛由各省、市、自治区数学会负责组织本地区的预赛，中国数学会负责全国范围内的决赛。
竞赛组织工作包括试题命制、竞赛宣传、选手选拔、竞赛监督等环节，确保竞赛的顺利进行。
五、竞赛影响全国大学生数学竞赛自举办以来，受到了广大高校和数学爱好者的广泛关注和热情参与。
竞赛不仅为优秀数学人才提供了展示才华的舞台，也为全国高校数学教育提供了有益的借鉴和启示。
通过竞赛，大学生们不仅提高了自己的数学水平，还结识了许多志同道合的朋友，拓宽了视野，激发了学习热情。
六、竞赛历程自2009年首届全国大学生数学竞赛举办以来，竞赛规模逐年扩大，影响力不断提升。
参赛选手涵盖了全国各大高校的本科生，包括综合性大学、理工科院校、师范院校等。
随着竞赛的普及，越来越多的学生开始关注并参与其中，竞赛逐渐成为衡量高校数学教育水平和学生数学素养的重要标志。
清华大学数学竞赛模拟题 加油数学
故收敛域为
4．求级数
2
n 1
n
n x 2 n 的收敛区域. n (3)
解：令 x t , 则
2
2
n 1
n
n t n 的收敛半径 n (3)
Rt lim
n
an a n 1
n 2 n 1 (3) n 1 lim 3, 于是原级数的收敛半径 R 3. n n 1 2 n (3) n
③
要使以上极限存在， m 应满足 m 3,
由②，③知要使 f ( x) 在 x 0 处的二阶导存在， m 的取值范围为： m 3 。
3. 计算二重积分
2
x y
D
2
dxdy, D {( x, y ) : 0 x 1, 0 y 1}.
2
解：令 x y 0, 抛物线 x y 将区域 D 分成 D1 和 D2 两块，其中
( 1)
n 0
n
(
1 2n 1 1 ) cos . 2 (2n)! 2
n2
设 s( x)
n(n 1)x
n2
, x (1, 1) ，则
所以
x 0
[ s( x)dx]dx x n
x 0 n2
x2 1 x
x2 2 s( x) 1 x (1 x) 3 ,
D
2
dxdy sin x 2 dxdy,
D
故
(sin y
D D
2
cos x 2 )dxdy (sin x 2 cos x 2 )dxdy
D
2 (sin x 2 cos 2 sin( x 2
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
清华大学考试题及答案数学
清华大学考试题及答案数学清华大学数学考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 函数f(x) = x^2在x=2处的导数是：A. 2B. 4C. 6D. 8答案：A3. 不等式x^2 + 3x + 2 > 0的解集是：A. (-∞, -2)B. (-2, -1)C. (-1, ∞)D. (1, 2)答案：C4. 圆的方程为(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25，该圆的半径是：A. 5B. 10D. 20答案：A5. 极限lim (x->0) [sin(x)/x]的值是：A. 0B. 1C. ∞D. 不存在答案：B6. 方程组x + y = 52x - y = 1的解是：A. (1, 4)B. (2, 3)C. (3, 2)D. (4, 1)答案：C7. 集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∪B是：A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}答案：B8. 已知数列1, 4, 7, 10, ...的第n项是3n-2，那么该数列的第5项是：A. 10C. 16D. 19答案：B9. 如果一个平面图形的周长是固定的，要使其面积最大，该图形应该是：A. 正方形B. 长方形C. 圆形D. 三角形答案：C10. 微分方程dy/dx = x/y的通解是：A. y^2 = x^2 + CB. y^2 = 2x + CC. x^2 = y^2 + CD. x^2 = 2y^2 + C答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 圆心在原点，半径为5的圆的方程是________。
答案：(x-0)^2 + (y-0)^2 = 5^212. 函数f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3x的拐点个数是________。
答案：213. 已知向量a = (3, 4)，b = (-2, 1)，则向量a与b的夹角余弦值为________。
清华竞赛试题及答案大全
清华竞赛试题及答案大全1. 问题：请解释什么是二进制数，并给出一个例子。
答案：二进制数是一种仅使用0和1两个数字的计数系统。
例如，二进制数1010表示十进制数的10。
2. 问题：在物理学中，牛顿第三定律是什么？答案：牛顿第三定律指出，对于每一个作用力，总有一个大小相等、方向相反的反作用力。
3. 问题：请解释什么是欧几里得算法，并给出一个例子。
答案：欧几里得算法是一种用于计算两个正整数的最大公约数（GCD）的算法。
例如，计算48和18的最大公约数，首先用48除以18，余数为12，然后用18除以12，余数为6，再用12除以6，余数为0，所以6就是48和18的最大公约数。
4. 问题：在化学中，什么是摩尔？答案：摩尔是化学中用于表示物质的量的单位，1摩尔的任何物质包含6.022 x 10^23个基本单位（原子、分子、离子等）。
5. 问题：请解释什么是DNA复制。
答案：DNA复制是生物体内DNA分子复制自身的过程，使得每个新细胞都含有与原细胞相同的遗传信息。
6. 问题：在数学中，什么是斐波那契数列？答案：斐波那契数列是一个数列，其中每个数字是前两个数字的和，数列以0和1开始，例如：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...7. 问题：请解释什么是相对论。
答案：相对论是物理学中描述物体在高速运动时物理现象的理论，由阿尔伯特·爱因斯坦提出，包括狭义相对论和广义相对论。
8. 问题：在生物学中，什么是基因？答案：基因是DNA分子上的一段特定序列，它包含了制造蛋白质的指令。
9. 问题：请解释什么是量子力学。
答案：量子力学是物理学的一个分支，它描述了微观粒子（如电子和光子）的行为，这些行为与经典物理学的预测不同。
10. 问题：在计算机科学中，什么是算法？答案：算法是一系列定义明确的计算步骤，用于解决特定问题或执行计算任务。
11. 问题：请解释什么是光合作用。
答案：光合作用是植物、藻类和某些细菌利用阳光能量将水和二氧化碳转化为葡萄糖和氧气的过程。
大学数学竞赛题库及答案
大学数学竞赛题库及答案一、单项选择题1. 设函数f(x) = (x - 1) / (x + 1)，则f(-1)的值为（）A. -1B. 0C. 1D. -∞答案：A2. 设矩阵A = [[a, b], [c, d]]，则A的行列式det(A)的值为（）A. ad - bcB. a + b + c + dC. ab + bd + ca + dcD. |a| |b| |c| |d|答案：A3. 设函数f(x) = x^3 - 6x + 9，则f'(x)的值为（）A. 3x^2 - 6B. x^3 - 6C. 9 - 6xD. 3x^2答案：A4. 设函数f(x) = ln(x)，则f'(x)的值为（）A. 1/xB. xC. 1D. e^x答案：A5. 设向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的点积a·b的值为（）A. -5B. 4C. 7D. 0答案：A二、多项选择题6. 以下哪个选项是正确的矩阵乘法规则？（）A. AB = BAB. (AB)C = A(BC)C. (A+B)C =AC+BC D. A(B+C) = AB+AC答案：B7. 以下哪个选项是正确的导数运算法则？（）A. (f+g)' = f' + g'B. (fg)' = fg' + gf'C. (f/g)' = f'/g - f/g^2D. (f^n)' = nf^(n-1)答案：A、C三、填空题8. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的图像是一个________。
答案：抛物线9. 设矩阵A = [[1, 2], [3, 4]], 则矩阵A的逆矩阵A^-1为________。
答案：[[2, -1], [-3, 1]]10. 设向量a = (2, 3), 向量b = (-1, 2), 则向量a与向量b的夹角θ的值为________。
清华数学题
清华数学题
（原创实用版）
目录
1.引言：介绍清华数学题的背景和历史
2.内容：详述清华数学题的内容和特点
3.影响：分析清华数学题对于中国数学教育和学生的影响
4.结论：总结清华数学题的意义和价值
正文
【引言】
清华数学题，源于清华大学，是中国数学教育领域中的一道经典题目。
其历史悠久，可以追溯到上世纪五六十年代，一直以来都是各大高校数学专业的重要教学内容。
这道题目以其独特的思维方式和严谨的数学逻辑，影响了一代又一代的中国数学学子。
【内容】
清华数学题的内容主要包括数列、极限、微积分等数学知识。
它的特点在于题目的设置巧妙，需要学生运用扎实的数学基本功和灵活的思维方式。
清华数学题注重对学生数学思维能力的培养，强调数学方法的应用，使得学生在解题过程中，能够深入理解数学知识的内涵和外延。
【影响】
清华数学题对于中国数学教育和学生的影响深远。
首先，它提升了学生的数学思维能力。
通过解答清华数学题，学生可以锻炼自己的逻辑思维、抽象思维和空间思维能力，这对于他们未来的学术研究和工作生涯都具有重要意义。
其次，清华数学题有助于培养学生的创新意识和团队协作精神。
在解答过程中，学生需要不断尝试新的解题方法，这有助于激发他们的创新思维。
同时，团队合作也是解题过程中不可或缺的一环，这有助于培养
学生的团队协作精神。
【结论】
清华数学题作为中国数学教育领域的一道经典题目，对于培养学生的数学思维能力和创新意识具有重要意义。
它的严谨思维和灵活应用，使得学生在解决问题的过程中，能够深入理解数学知识，提升自己的学术素养。