报童的诀窍
差分方程模型
建 立模 型
若这天的需求量r<n，则他售出r份，退回 n-r 份，由于需求量为r的概率为f（r） 所以这天收入为： [r(a-b)-(n-r)(b-c)]f（r） 若r=n，全部卖完，收入为：n(a-b)f（r）； 若r>n，则他把n份全部卖出，但少赚钱， 当天收入为： (a-b)nf（r）
所以，我们可以得到
他的渠道掌握了需求量的随机规律
●设每天购进报纸n份,日平均收入G(n)
因为需求量r是随机的 可以小于 等于n或 因为需求量 是随机的,r可以小于 等于 或 是随机的 可以小于n,等于 大于n,致使报童每天的收入也是随机的 致使报童每天的收入也是随机的,所以 大于 致使报童每天的收入也是随机的 所以 作为优化模型的目标函数,不能是报童每天的 作为优化模型的目标函数 不能是报童每天的 收入,而应该是他长期卖报的日平均收入 收入 而应该是他长期卖报的日平均收入
f f
y f g P0
图1
f P0 x
图0 2
g
y
0
x
0
x
< K g 时 P0 点是稳定的(图1) > K g 时 P0 点是不稳定的(图2)
为了进一步分析这种现象,下面给出蛛网 模型的另一种表达形式-----差分方程
由此可见, 需求曲线越平, 供应曲线越陡, 越有利于经济 稳定
yk y0 = (xk x0),α >0.... k+1 x0 =β(yk y0),β >0 α x
g P0 P1
程度和他们的消费水平,g则与生产者 0 的生产能力、经营水平等因素有关. 比如当消费者收入增加时,f会向上移 动;当生产能力提高时,g将向右移动.
x0 图2
x
建模实验四(报童的诀窍)
实验四报童的诀窍报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。
设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，应该自然的假设为a>b>c，这就是说，报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c，报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。
请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。
为了掌握需求量的随机规律，可以用收集历史资料或向其他报童调查的办法做市场预测。
练习：利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收入是多少？假设已经得到159天报纸需求量的情况如下表：表 159天报纸需求量的分布情况为报童提供最佳决策。
求解过程：（一）1、模型假设：G(n);(1) 每天的购进量为n,需求量为r，且r服从正态分布;(2) 购进n份报纸时的平均收入为(3) 当r和n相当大时，将r看作连续变量，其概率密度函数为p(r)。
2、模型的建立与求解根据题目条件以及以上假设，可得：()()()nG(n)=a-b()()()nr b c n r p r dr a b np r dr∞---+-⎡⎤⎣⎦⎰⎰22())2rμσ--1p(r)=00(),()()1,()nnnp r dr a bb cp r dra bp r dr p r dra c∞∞-'=--==-⎰⎰⎰⎰为了使G(n)最大，令G(n)=0,得到又因为所以，0 1.0,0.75,0.6,500,500.25()0.6250.40n a b c a b p r dr a c μσ=====-===-⎰已知：则Matlab 利用软件求解，得：n=515.9320程序代码如下：>> n = norminv(0.625,500,50)n =515.9320即此时报童每天应该购进约516份报纸。
报童模型3种例题详解
报童模型3种例题详解报童模型是一种常用的供应链管理模型，用于衡量库存管理的最佳策略。
在这篇文章中，我们将详解报童模型的三种例题，以帮助读者更好地理解这个模型以及它的实际应用。
1. 例题一：基本的报童模型在这个例题中，假设一个报摊要订购一种杂志，供应商提供了每本杂志的成本和销售价格。
报童需要在售罄前进行订购决策，以最大化利润。
首先，我们需要确定售罄概率分布，并计算售罄带来的成本和利润。
然后，我们可以使用期望利润最大化的公式来计算最佳订购数量。
通过解决这个例题，我们可以了解如何应用报童模型来进行库存管理并最大化利润。
2. 例题二：考虑损失销售的报童模型在这个例题中，我们要考虑到如果需求超过库存时带来的损失销售。
与例题一相比，我们需要加入一个额外的指标——失销销售成本。
失销销售成本是指由于库存不足而无法满足需求而导致的损失。
针对这个例题，我们需要计算售罄带来的损失成本，并将其加到总成本中。
然后，同样使用期望利润最大化的公式来计算最佳订购数量。
通过解决这个例题，我们可以了解如何考虑到损失销售成本来优化报童模型，以实现更准确的库存管理。
3. 例题三：考虑折扣的报童模型在这个例题中，我们假设供应商提供了折扣政策。
即在一定的订购数量上能够享受到更低的成本。
通过使用带有折扣的报童模型，我们将计算出能够最大化利润的最佳订购数量。
我们需要结合折扣成本以及其他成本来计算总成本，并使用期望利润最大化的公式来确定最佳订购数量。
通过解决这个例题，我们可以了解如何考虑折扣政策来优化报童模型，并在实践中应用这一模型。
通过上述三个例题的解析，我们可以更加深入地理解报童模型及其在供应链管理中的应用。
这个模型不仅能够帮助我们进行库存管理，还能够优化成本并最大化利润。
在实际业务中，我们可以根据具体情况灵活运用报童模型，以实现更加高效的供应链管理。
报童的诀窍
报童的诀窍
思考：
利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为0.75元，
售出价为1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份、
均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能 使平均收入最高，最高收入是多少？
（提示：求得n=517份，平均收入118.39元）
第四模块 概率统计模型
4.清晨从报社购进报纸零售，
晚上将没有卖掉的报纸退回.如果报童进的
报纸过多销售不出去就会浪费甚至亏本；
如果进的报纸太少就会因缺货而造成机会
成本也会带来损失.试为报童筹划一下每天
购进报纸的数量，以获得最大收入。
报童的诀窍
第一步
提出问题
第二步
第三步 第四步 第五步
谢 谢
报童的诀窍
第四步 求解模型
因为当购进n份报纸 时，是需求量r不超过n 的概率，即卖不完的概 率；是需求量r超过n的 概率，即卖完的概率， 所以（4-7）式表明，购 进的份数n应该使卖不完 与卖完的概率之比，恰 好等于卖出一份赚的钱 a-b 与退回一份赔的钱 b-c之比.
报童的诀窍
第五步，回答问题
选择建模方法
推导建模的公式 求解模型 回答问题
报童的诀窍
第一步 提出问题
设报纸每份的购进价为b，售价为a，退回价 为c，应该自然地假设a＞b＞c. 即报童售出一份 报纸赚（a－b），退回一份赔（b－c）.如果报童 每天购进报纸太多，卖不完会赔钱，购进太少， 不够卖会少挣钱.我们的问题是:帮助报童筹划一 下每天购进报纸的数量，以获得最大收入.
报童的诀窍
第三步 推导模型的公式
购进量由需求量确定，需求量是随机的.假定报童已 通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，即 在他的销售范围内每天报纸的需求量为r份的概率是f（r） （r=0,1,2，···）.有了f（r）和a，b，c，就可以建 立关于购进量的优化模型. 假设每天购进量是n份,需求量r是随机的，r可以小于 n、等于n或大于n，所以报童每天的收入也是随机的.那么 作为优化模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期 （月，年）卖报的日平均收入.从概率论大数定律的观点 看，这相当于报童每天收入的期望值，简称平均收入.
报童数学建模
报童数学建模 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】报童诀窍一、问题： 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。
设报纸每份的购进价为b ，零售价为a ，退回价为c ，假设a>b>c 。
即报童售出一份报纸赚a-b ，退回一份赔b-c 。
报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。
试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。
二、模型分析：购进量由需求量确定，需求量是随机的。
假定报童已通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销受范围内每天报纸的需求量为r 份的概率是f(r)(r=0,1,2…)有了f(r),a 和b,c 就可以建立关于购进量的优化模型。
三、模型建立：假设每天购进量是n 份，需求量是随机的，r 可以小于，等于或大于n,，所以报童每天的收入也是随机的。
那么，作为优化模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期卖报（月，年）的日平均收入。
从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，简称平均收入。
记报童每天购进n 份报纸的平均收入为G(n),如果这天的需求量r<=n,则售出r份，退回n-r 份；如果需求量人r>n,则r 份将全部售出。
需求量为r 的概率是f(r),则问题归结为在()c b a r f ,,,已知时，求n 是G(n)最大。
四、模型求解：购进量n 都相当大，将r 视为连续变量便于分析和计算，这时概率f(r)转化为概率密度函数p(r)计算令0=dn dG 得dn dG ()()()()()()dr r p b a dr r p c b n np c a n n ⎰⎰∞-+---=02 得到()()c b b a dr r p dr r p n n--=⎰⎰∞0 n 应满足上式。
()10=⎰∞dr r p 使报童日平均收入达到最大的购进量为()ca b a dr r p n --=⎰0 根据需求量的概率密度p(r)的图形可以确定购进量n 在图中用p1,p2分别表示曲线p(r)下的两块面积，则cb b a P P --=21 O nr因为当购进n 份报纸时，()dr r p P n ⎰=01是需求量r 不超过n 的概率； ()dr r p P n ⎰∞=2是需求量r 超过n 的概率，既卖完的概率，所以上式表明，购进的份数n 应使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a-b 与退回一份赔的钱b-c 之比。
小学生社会实践-卖报纸【小报童卖报技巧】
潍坊广播电视报小报童暑期体验营
一、时间和地点如何选？
1、上午：
虞河苑小区卖
佳乐家门口
集市门口
2、晚上：
虞河桥头或虞河边散步道路
二、每种情况下如何说？
1、叔叔阿姨：
叔叔阿姨你好，我是广播电视报小报童某某某，您可以买我一份报纸吗？2元一份，我们是潍坊广播电视报组织的活动，您可以支持我吗？谢谢。
2、小朋友或学生：
同学、哥哥、姐姐、弟弟、妹妹你好。
爸爸妈妈干活多辛苦啊，你可以买一份报纸送给爸爸妈妈吗？你爷爷奶奶对您多好啊，你买份报纸送给爷爷奶奶吧。
3、爷爷奶奶：
爷爷奶奶你好。
您买份报纸看吧，里面的内容既精彩又好看，才两元。
上面可以告诉这几天发生了什么事情，开阔眼界。
4、不理你：
不管他，继续下一个
5、在走的人：
追上他，继续和他说。
6、愿意和你聊的：
再买一份送给家人或朋友呗。
7、已经买过了：
我这份报纸不一样，真的不一样。
销售需要勇气，销售需要坚持，销售需要准备，销售需要灵活！
小报童口号——快乐卖报，我能行！。
聪明的报童的故事案例分析
聪明的报童的故事案例分析
某一地区，有两个报童在卖同一份报纸，两个人是竞争对手。
第一个报童很勤奋，每天沿街叫卖，嗓子也很响亮，可每天卖出的报纸并不很多，而且还有减少的趋势。
第二个报童肯用脑子，除了沿街叫卖，他还每天坚持去一些固定场合，一去了后就给大家分发报纸，过一会再来收钱。
地方越跑越熟，报纸卖出去的也就越来越多，当然也有些损耗。
而第一个报童能卖出去的也就越来越少了，不得不另某生路了。
营销启示：
第二个报童的做法中大有深意：
第一、在一个固定的地区，对同一份报纸，读者客户是有限的。
买了我的，就不会买他的，我先将报纸发出去，这个拿到报纸的人，是肯定不会去再买别人的报纸。
等于我先占领的市场，我发的越多，他的市场就越小。
这对竞争对手的利润和信心都构成了打击。
第二、报纸这个东西不像别的消费品有复杂的决策过程，随机性购买多，一般不会因质量问题而退货。
而且钱数不多，大家也不会不给钱，今天没有零钱，明天也会给。
文化人嘛，不会为难小孩子。
第三、即使有人看了报，退报不给钱，也没有什么关系，
一则总会有积压的报纸，二来他已经看过了报纸，肯定不会再买同一份了。
还是自己的潜在客户。
这个故事我们会学到许多关于消费者、市场占有、潜在消费者、忠诚客户等营销名词。
报童的诀窍
报童的诀窍：报童每天清晨从报社进报纸零售，晚上
将没有卖出的报纸退回。
设报纸每份的购进价为b，零
售价为a，退回价为c，应该自然的假设为c
a>
>。
即
b
报童每卖一份报赚b
b-。
报童如果
a-，退回一份报赔c
每天购进的报纸太少，不够卖的，少赚钱；如购进太多，卖不完也要赔钱。
请为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大收入。
（应根据需求量确定购进量，但需求量是随机的）假设报童已经通过自己的经验和其他渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r份的概率是)
r
r
=
f。
(
,2,1,0
),
(。
报童问题案例
报童问题案例在供应链管理中，报童问题是一个经典的案例。
它描述了在面对需求不确定的情况下，企业应该如何决定采购的数量。
报童问题的解决方案可以帮助企业最大限度地降低库存成本，提高效率，同时保证客户需求的满足。
首先，让我们来看一个具体的案例。
某家便利店每天销售的报纸数量存在一定的不确定性，根据历史数据分析，销售量服从正态分布。
假设该便利店每卖出一份报纸的利润为1元，每多进一份报纸的成本也为1元。
现在，我们需要决定每天进货的报纸数量，以最大化利润。
为了解决这个问题，我们可以使用概率和统计的方法。
首先，我们需要计算销售量的均值和标准差，然后根据所需的置信水平确定安全库存水平。
安全库存水平是指在一定置信水平下，能够满足客户需求的最小库存量。
通过计算安全库存水平，我们可以确定每天需要进货的报纸数量。
在这个案例中，我们可以看到，报童问题的关键在于如何平衡库存成本和缺货成本。
如果进货量过大，将导致库存成本过高；如果进货量过小，将导致缺货成本过高。
因此，我们需要通过合理的数学模型和决策规则来解决这个问题。
除了使用数学模型外，我们还可以考虑使用信息技术来解决报童问题。
通过建立一个动态的需求预测模型，我们可以更精准地预测销售量，从而减少库存成本和缺货成本。
同时，我们还可以利用供应链管理系统来实时监控库存水平和客户需求，及时调整进货数量，以应对市场的变化。
总的来说，报童问题是一个典型的供应链管理问题，它涉及到库存管理、需求预测、决策规则等多个方面。
通过合理的数学模型和信息技术的应用，我们可以有效地解决报童问题，降低库存成本，提高效率，从而实现供应链的优化和管理。
希望通过本文的介绍，读者能够更加深入地理解报童问题，并在实际工作中运用相关的方法和技术来解决类似的问题。
随机性模型
问题分析
s (c )
S
s0
O
c0
c1
c
数学建模与实验
模型假设
每本书进价为a，售价为b，购进量为u， 需求量r是随机的，其概率密度为p(r)。 广告费为c，潜在购买量是c的函数记作 s(c)；需求量r在[s(0), s(c)]内呈均匀分布。 广告费中固定费用为c0， s(0)= s(c0)=0； 每份广告的印制和邮寄费用为k，广告将 首先分发给s0个确定的潜在买主； s(c) 是c的单调不减函数，上界为S。
2、每天购进量为
为 f ( r )， r 0， 2， 。 1， 3、每天购进量为 n 份的日平均收入为 G ( n )。
数学建模与实验
模型构成
G (n)
[( a b ) r ( b c )( n r )] f ( r )
r0
n
( a b ) nf
r n 1
*
k
(S s0 )
购进量 u 的最优值为 ba u (c ) S b
* *
(S s0 ) k
数学建模与实验
问题分析
类似确定性存贮模型，我们只考虑订货 费、贮存费、缺货费和商品购进价格。 存贮策略的优劣以总费用为标准。
数学建模与实验
模型假设
每次订货费为c0；每件商品购进价为c1； 每件商品一周的贮存费为c2；每件商品 的缺货费为c3， c1< c3。 一周的销售量r是随机的。 r的取值很大， 可视为连续变量，其概率密度为p(r)。 记周末的存货量为x，定货量为u，并且 立即到货，于是周初的存货量为x+u。 一周的销售集中在周初进行，即一周的 贮存量为x+u-r,不随时间改变。
报童模型的解题步骤
报童模型的解题步骤嘿，咱今儿来聊聊报童模型的解题步骤哈！你说这报童模型，就好像是生活中的一场小冒险。
想象一下，报童每天要决定进多少报纸，进少了，那可能好多人买不着，就少挣钱啦；进多了呢，卖不掉可就亏啦！这可真是个头疼的事儿呢。
第一步呢，咱得搞清楚需求的情况。
就像你要知道每天大概有多少人会来买报纸呀，这可不能瞎猜，得有点根据才行。
然后呢，计算成本和收益。
这报纸进价多少呀，卖出去能赚多少呀，心里得有个数。
接着呀，就得考虑各种可能性啦。
要是进多了会咋样，进少了又会咋样。
这就好比你去参加一个比赛，得想好各种可能出现的情况。
再之后呢，要找到一个平衡点。
不能太保守，也不能太冒进，就像走钢丝一样，得稳稳的。
比如说吧，你要是只想着少进点，万一来了好多人买，你不就傻眼啦？可要是进太多，堆在那卖不出去，那不就浪费啦？这可真得好好琢磨琢磨。
这报童模型的解题步骤啊，其实就跟咱过日子一样。
你得算计着花多少钱，能挣多少钱，不能稀里糊涂的。
咱就说找工作吧，你得考虑这个工作的收入咋样，工作强度大不大，有没有发展前途。
这不就和报童考虑进多少报纸一个道理嘛！还有买东西的时候，你得想想这东西值不值那个价，买了以后用处大不大。
报童模型虽然看起来是个小小的模型，可这里面的道理大着呢！它告诉我们做事情要有规划，要考虑各种情况，不能一拍脑袋就决定。
咱生活中很多事情都可以用报童模型的思路来想想。
比如投资呀，创业呀，都得好好算计一下风险和收益。
所以啊，可别小看了这报童模型的解题步骤，学会了它，说不定能让咱在生活中少走好多弯路呢！怎么样，是不是觉得挺有意思的？好好琢磨琢磨吧！。
报童的策略(随机存储问题)
报童的策略(随机存储问题)报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。
每份报纸的购进价为元，零售价为元，退回价为c 元，。
报童每售出一份报纸赚元，每退回一份报纸赔元。
报童如果每天购进的报纸太少，不够卖时会少赚钱，如果购得太多卖不完时要赔钱。
试为报童筹划每天购进报纸的数量以使得收益最大。
b ac b a >>b a −c b −报童应该根据需求量确定购进量，而需求是随机的，所以这是一个风险型决策问题。
假定报童已经通过每天卖报的经验或其他渠道掌握了需求的分布规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r 份的概率为),3,2,1,0)(("=r r f 。
有了已知的和函数后，就可以建立购进量的优化模型了。
c b a 、、)(r f 假设每天报纸的购进量为份，因为需求量n r 是随机的，r 可以小于n 、等于或大于，这就导致报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入函数，而应该是他长期卖报的日期望收入（日平均收入）。
n n 记报童每天购进份报纸的期望收入为，如果该天的需求量n )(n G n r ≤，则他的收入等于，如果该天的需求量))(()(c b r n b a r −−−−n r >，则他的收入为)(b a n −。
因此∑∑+∞+==−+−−−−=1)()()()])(()([)(n r n r r f b a n r f c b r n b a r n G报童的决策问题是：在已知和函数的条件下，求的值，使最大。
c b a 、、)(r f n )(n G 对于离散型的，可以根据0)1()(≥−−n G n G 且0)1()(≥+−n G n G 推导出最佳购进量，请读者自己推导出结果。
通常需求量n r 和购进量的取值都相当大，将n r 看作连续型随机变量更容易分析和计算。
这时∫∫∞+−+−−−−=nn dr r f b a n dr r f c b r n b a r n G )()()()])(()([)(0为了求的最大值，令)(n G 0)(=dnn dG ，即0)()()()()()()()(0=−+−−−−−∫∫+∞nndr r f b a n f b a n dr r f c b n f b a n 即有cb b a drr f dr r f nn−−=∫∫∞+)()(0 由于概率密度函数满足,则)(r f ∫∫+∞∞−+∞==01)()(dr r f dr r f c b ba drr f dr r f n n−−=−∫∫0)(1)(,所以有ca ba dr r f n−−=∫)(。
报童模型
关于报童卖报的问题摘要报童模型在1956年首次被提出来以后，就成为学术界的关注焦点，有着大量的学者或经济领域的人士对它进行研究和分析，由于报童模型问题中涉及到很多不确定因素的影响，人们为了研究和确定这些因素在模型中的量化，通过很多不同的计算方法和理论方法来使这些非量化的因素最大化的量化表达，使之趋近于理性决策，但是又不是完全能够明确和量化的，这些就是报童模型中的有限理性。
报童模型中关于有限理性涉及到的问题与方法到如今已将发展到很多方面，在随机因素方面首先就是不确定环境下的随机需求，还有库存管理，供应链协调等，在做有限理性决策的时候，人们尽量通过具体的推算方法来做出最优化决策，虽然不是完全理性决策，但是确实使利润接近最大化的有限理性决策。
本论文讨论的是报童卖报问题,报童卖报问题实际上就是通过分析,找出几种可能的方案,通过求解,找出一个最优的方案来订报,使得报童赢利取得最大期望值或报童损失的最小期望值的临界值,也就是使报童获得的利益最大。
本文首先建立了最大期望值和最小期望值的模型，然后分别用连续的方法和离散的方法求解，最后得出结论。
尽管报童赢利最大期望值和损失最小期望值是不相同的，但是确定最佳订购量的条件是相同的。
关键词：报童模型、概率统计、概率分布建模、离散引言在报童模型中，有限理性决策主要面对的随机性因素是需求和时间，报童模型是典型的单价段，随机需求模型，主旨是寻找产品的最佳订货量，来最大化期望收益或最小化期望损失。
本文首先通过理论回顾解释出什么是报童模型中的有限理性，然后罗列了部分在报童模型中有限理性问题上进行研究的部分文献成果。
再得出有报童模型有限理性的发展。
一、问题重述报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。
设报纸每份进购价为b,零售价为a,退回价为c,自然地假设a>b>c.也就是说,报童售出一份报纸赚a-b,退回一份赔b-c,。
试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，使得收入最大，那么报童每天要购进多少份报纸？二、模型分析如果每天购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。
《数学建模》课程标准
《数学建模》课程标准一、课程性质与目的要求数学建模课程是各专业的选修课，是数学科学联系实际的主要途径之一。
通 过该课程的学习,要使学生系统地获得数学建模的基本知识、基本理论和方法， 培养和训练学生的数学建模素质；要求学生具有熟练的计算推导能力，逻辑推理 能力，空间想象能力及综合运用所学知识分析和解决问题的能力；同时为使学生 适应现代社会奠定必要的基础。
要求掌握：(一)理论知识方面1. 根据理论结合实际的原则，要求学生重点掌握数学模型的建立和求解方法。
2. 基本掌握的内容： 初等模型、数学规划模型、微分方程模型、稳定性模型、 图论与网络模型、离散模型、概率统计模型、随机模拟等理论。
(二)实践技能方面要求学生重点掌握数据处理的一些基本方法，能够使用 Lindo/Lingo 求解各 种规划问题，使用 matlab 求解方程（组）、微分方程（组），进行数据拟合，参 数估计、假设检验、回归分析(特别是多项式回归)等概率问题。
二、学习用书教材：《数学建模与数学实验》（校本教材），谢珊主编，2010年，主要参考书：《数学模型》（第三版），姜启源等编，高等教育出版社，2004年，张珠宝主编，高等教育出版社，2005年《数学建模与数学实验》三、课程内容与考核标准（一）数学建模简介1, 教学目的与要求了解数学模型的概念。
掌握数学建模的一般步骤。
掌握人口增长模型的建立。
掌握 matlab函数拟合的方法。
2，教学内容（1）数学模型的概念及数学建模意义。
（2）介绍全国大学生数学建模竞赛。
（3）数学建模示例：人口增长模型。
3，考核要求l了解数学模型的概念及数学建模意义l会建立人口增长模型，并且能够用 matlab进行函数拟合，确定人口增长 模型中的参数。
（二）matlab入门1，教学目的与要求了解 matlab 的数组、矩阵、函数的定义与使用。
掌握 matlab 程序设计的基 本方法。
2，教学内容（1）介绍 matlab变量、数组、矩阵、表达式、流程控制、函数。
建模例子综述
一、初等模型——汽车刹车距离刹车问题考虑的是对刹车距离进行分析，以判断出后车与前车在行驶时相距多远为一个安全距离。
题目中分析了刹车距离由反应距离和制动距离两部分组成，从而得出影响刹车距离的因素有反应时间、车速、制动力、车重、车速、以及道路、气候等，把这些因素进行了定量分析，从而得到一个刹车距离关于行驶速度的式子，从式子里面我们可以根据不同的行驶速度得到一个可以参考的安全距离。
在建立模型时，运用了物理知识进行分析，对于假设的时间、比例系数等参数采用经验估计和数据拟合的方法进行估计，从而得到一个相对比较有参考价值的数据。
二、简单的优化模型——最优价格优化问题通俗来讲指的是在做决策时，如何在众多选择中做出一个最优决定。
在具体处理这类问题时，首先要确定优化的目标是什么，寻求的决策是什么，决策受到哪些条件的限制，然后通过数学工具来表示定量它们，在这个过程中要对实际问题作出若干合理的假设，最后在求出最优决策时，要对结果进行一些定性、定量的分析和必要的检验，从而得到我们期望的最优结果。
最优价格问题指的就是寻求使工厂利润最大的最优价格，总收入和总支出都可以直接进行定量分析，但是涉及到销售量这个变量x，而这个变量依赖于价格p，这时就用了一个函数来表示两者之间的关系，中间涉及的假设通过对实际工作中的统计数据用最小二乘法拟合来确定，最后得到最优价格与成本、绝对需求量及市场需求对价格的敏感系数的关系。
三、简化的优化模型——消费者的选择本例利用无差别曲线族的概念讨论，当一个消费者用一定数额的钱去购买两种商品时作出的选择，即在消费时，怎样安排使得最后得到最满意、最实惠的商品，也可以理解为获得一个最优选择的问题。
在分析人们对商品的偏好程度时引入一个效用函数进行定量分析，在满足一定的约束条件下，求使得效用函数达到最大的那个解。
在构造效用函数时，给出了常见的几种形式，可根据实际分析情况决定选用哪一种形式的效用函数，并由经验数据确定其参数。
随机模型
P1 0
P2 S
r
建模与求解
2）对库存 x， ） ， 确定订货点s 确定订货点
c 0 + c 1 u + L ( x + u ), J (u ) = L(x)
x ∞
u >0 u =0
L(x) = c2 ∫0 (x − r) p(r)dr + c3 ∫x (r − x) p(r)dr
若订货u, 若订货 u+x=S, 总费用为 J 1 = c 0 + c1 ( S − x ) + L ( S ) 若不订货, 若不订货, u=0, 总费用为 J 2 = L ( x )
P = P ( x ≥ l ) P′ = P ( x < l )
切掉多余部 分的概率 整根报废 的概率
p(概率密度 概率密度) 概率密度
m ↑⇒ P ↑, P ′ ↓
m ↓⇒ P ↓, P ′ ↑
存在最佳的m使总的浪费最小 存在最佳的 使总的浪费最小 0
P´ P´ l
P P m m
x
建模
选择合适的目标函数 整根报废 的浪费
概率P(r) 0.05 0.10 概率
商店应当进多少千张日历才能使得获利的期望最大? 问:商店应当进多少千张日历才能使得获利的期望最大 商店应当进多少千张日历才能使得获利的期望最大
需求r 需求 概率P(r) 概率
0 0.05
1 0.10
2 0.25
3 0.35
4 0.15
5 0.10
假如进货4千张,我们计算获利可能的数值 当市场需求是0时获利为: -4*4=-16元 当市场需求是1时获利为: -4*3+7*1=-5元 当市场需求是2时获利为: -4*2+7*2=6元 当市场需求是3时获利为: -4*1+7*3=17元 当市场需求是4时获利为: -4*0+7*4=28元 当市场需求是5时获利为: 7*4=28元 期望获利=-16*0.05+(-5)0.1+6*0.25+17*0.35+28*0.15+28*0.1=13.15
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问题分析
题目已知了报纸的购进价和售出价，若购进报纸量多于售出量，需退回剩余报纸，则报童有所亏损，若购进报纸量少于售出量，则报童盈利不能达到最大，故本题需找到一个合适的购进报纸量使报童长期平均盈利最大. 根据报纸需求量服从正态分布的条件，可得到售出报纸份数对应的概率，在确定售出报纸份数的情况下，利用概率即可计算出平均最大盈利和购进报纸量.
模型的建立与求解
由题中给出的报纸每天需求量服从均值为500份，均方差为50份的正态分布，则需求量的概率密度函数为：
2
(500)5000(),0
x f x x --=≤<+∞ 概率密度函数图像如图1.
图1 需求量密度函数曲线
模型的建立
1.售出报纸量x 小于或等于购进量n 时，报纸一部分售出，一部分退回，售出的报纸可盈利()b a x -元，退回的报纸亏损()()n x a c --元，总盈利为：
10()[()()()]()n
x g n b a x n x a c F x ==----∑ ()1
其中，1()()x
x F x f x dx -=⎰，表示售出x 份报纸的概率.
2.售出报纸量x 大于购进量n 时，报纸全部售完，则盈利为：
()21()()x n g n b a nF x ∞=+=
-∑ (2)
综上可得报童平均每天盈利为： 12()()()G n g n g n =+
()()01[()()()]()n x x n b a x n x a c F x b a nF x ∞==+=----+
-∑∑
整理可得：
()()()()()()()0n n G n b a x a c n x f x dx b a nf x dx ∞
=----+-⎡⎤⎣
⎦⎰⎰ ()3 这是G 关于n 的一个函数.
模型的求解
要求最大盈利值，可对(3)式两端关于n 求导得：
()()0()()n n dG c a f x dx b a f x dx dn
∞=-+-⎰⎰ (4) 令0dG dn =，则可得 ()()0
n
n f x dx b a a c f x dx ∞
-=-⎰⎰ 又由()01f x dx ∞=⎰可得()058
n b a f x dx b c -==-⎰，即
2
(500)500000.625x n
dx --=⎰ 利用MATLAB 软件中的norminv 函数求得516n =.即平均每天购进516份报纸时，平均盈利值最大.
最大盈利值为： ()()()()516
05165160.250.155160.25516G x x f x dx f x dx ∞=--+⨯⎡⎤⎣⎦⎰⎰
()5160=0.4xf x dx ⎰
117.5226=（元）
附录
程序1
>> y=norminv(0.625,500,50)
y =
515.9320
程序2
>> f=inline('(1./(50*sqrt(2*pi)))*exp(-(x-500).^2/5000).*x','x');
>> y1=quadl(f,0,516);
>> y1=0.4*y1
y1 =
117.5226。