报童的诀窍

问题分析

题目已知了报纸的购进价和售出价，若购进报纸量多于售出量，需退回剩余报纸，则报童有所亏损，若购进报纸量少于售出量，则报童盈利不能达到最大，故本题需找到一个合适的购进报纸量使报童长期平均盈利最大. 根据报纸需求量服从正态分布的条件，可得到售出报纸份数对应的概率，在确定售出报纸份数的情况下，利用概率即可计算出平均最大盈利和购进报纸量.

模型的建立与求解

由题中给出的报纸每天需求量服从均值为500份，均方差为50份的正态分布，则需求量的概率密度函数为：

2

(500)5000(),0

x f x x --=≤<+∞ 概率密度函数图像如图1.

图1 需求量密度函数曲线

模型的建立

1.售出报纸量x 小于或等于购进量n 时，报纸一部分售出，一部分退回，售出的报纸可盈利()b a x -元，退回的报纸亏损()()n x a c --元，总盈利为：

10()[()()()]()n

x g n b a x n x a c F x ==----∑ ()1

其中，1()()x

x F x f x dx -=⎰，表示售出x 份报纸的概率.

2.售出报纸量x 大于购进量n 时，报纸全部售完，则盈利为：

()21()()x n g n b a nF x ∞=+=

-∑ (2)

综上可得报童平均每天盈利为： 12()()()G n g n g n =+

()()01[()()()]()n x x n b a x n x a c F x b a nF x ∞==+=----+

-∑∑

整理可得：

()()()()()()()0n n G n b a x a c n x f x dx b a nf x dx ∞

=----+-⎡⎤⎣

⎦⎰⎰ ()3 这是G 关于n 的一个函数.

模型的求解

要求最大盈利值，可对(3)式两端关于n 求导得：

()()0()()n n dG c a f x dx b a f x dx dn

∞=-+-⎰⎰ (4) 令0dG dn =，则可得 ()()0

n

n f x dx b a a c f x dx ∞

-=-⎰⎰ 又由()01f x dx ∞=⎰可得()058

n b a f x dx b c -==-⎰，即

2

(500)500000.625x n

dx --=⎰ 利用MATLAB 软件中的norminv 函数求得516n =.即平均每天购进516份报纸时，平均盈利值最大.

最大盈利值为： ()()()()516

05165160.250.155160.25516G x x f x dx f x dx ∞=--+⨯⎡⎤⎣⎦⎰⎰

()5160=0.4xf x dx ⎰

117.5226=（元）

附录

程序1

>> y=norminv(0.625,500,50)

y =

515.9320

程序2

>> f=inline('(1./(50*sqrt(2*pi)))*exp(-(x-500).^2/5000).*x','x');

>> y1=quadl(f,0,516);

>> y1=0.4*y1

y1 =

117.5226