自动控制原理-胡寿松-第五章-线性系统的频域分析法
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《自动控制原理》胡寿松自动控制原理简明教程第5章详解
bm1s bm an1s an
➢ 惯性环节：1/(Ts+1)，式中T>0
➢ 一阶微分环节：(Ts+1)，式中T>0
➢ 积分环节：1/s
➢ 微分环节：s
➢ 振荡环节：1/[(s/ωn)2+2ξs/ωn+1]；式中ωn>0，0 < ξ <1 ➢ 二阶微分环节：(s/ωn)2+2 ξ s/ωn+1；式中ωn>0，0 < ξ <1
线性分度，单位是分贝（dB）；对数相频曲线的纵坐标按 φ(ω) 线性分度，单位是度（°）。由此构成的坐标系称为 半对数坐标系。
ω和lgω的关系表
① ω轴为对数分度， 即采 用相等的距离代表相等的 频率倍增，在伯德图中横 坐标按μ=lgω均匀分度。 ② ω=0在对数分度的坐标系中的负无穷远处，ω =0不可能 在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由所感兴 趣的频率范围确定。 ③ 从表中可以看出，ω的数值每变化10倍， 在对数坐标 上lgω相应变化一个单位。 频率变化10倍的一段对数刻度 称为“十倍频程”， 用“dec”表示。
arctg
2
曲线起自幅角
为－v90°的
无穷远处。
1. 极坐标图的起点
2T T 2
2
tan
1
2T T 2 2
1
0 L 0dB
-40
0 90
0
180
L 20 lgT 2 40 lgT
180
n
1 T
90
1 10 TT
40dB dec
(a) (b)
➢ 延迟环节
Gs eTs
G j e jT G j 1 G j T
精确曲线
自动控制原理第5章频域分析法
确定方法
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
《自动控制原理》 胡寿松第五章习题解答
= 0.447 sin(t + 3.4 0 ) − 0.354 cos(2t − 90 0 )
e ss (t ) = c ss (t ) − r (t ) = 0.447 sin(t + 3.4 0 ) − 0.354 cos(2t − 90 0 ) − sin(t + 30 0 ) + cos(2t − 45 0 )
5-4 典型二阶系统的开环传递函数
2 ωn s( s + 2ζω n )
G( s) =
当取 r (t ) = 2 sin t 时，系统的稳态输出
css (t ) = 2 sin(t − 450 )
试确定系统参数 ω n , ζ 。 解：根据公式（5-16）和公式（5-17） 得到： c ss (t ) = A G B ( jω ) sin(ωt + ϕ + ∠G B ( jω ))
ξ = 0.6532
G( s) H ( s) =
K (τs + 1) ; s 2 (Ts + 1)
K ,τ , T > 0
试分析并绘制 τ > T 和 T > τ 情况下的概略开环幅相曲线。 解：相频特性为
ϕ (ω ) = −180 0 + arctan τω − arctan Tω
(1)
τ > T 时， ϕ (ω ) > −180 0 概略开环幅相曲线如下
胡寿松自动控制原理习题解答第五章
5-2 若系统单位阶跃响应为
h(t ) = 1 − 1.8e −4t + 0.8e −9t (t ≥ 0)
试确定系统的频率特性。 解：对单位阶跃响应取拉氏变换得：
1 1.8 0.8 36 − + = s s + 4 s + 9 s ( s + 4)( s + 9)
自动控制原理课件胡寿松
系统开环频率响应相位在临界 频率处的值与180度之间的差值 。
带宽频率
系统开环幅频特性等于0.707时 的频率。
剪切频率
系统开环幅频特性等于0.707时 的频率。
稳定性与性能的关系
稳定性是控制系统的重要性能指 标，它决定了系统能否正常工作
。
系统的稳定性与其性能指标密切 相关，如系统的超调量、调节时
自动控制原理课件胡 寿松
目录
• 自动控制概述 • 控制系统稳定性分析 • 控制系统的性能指标 • 控制系统的设计方法 • 控制系统的校正与补偿 • 控制系统的应用实例
01
自动控制概述
定义与分类
定义
自动控制是利用控制装置，使被 控对象按照预设规律自动运行的 系统。
分类
开环控制系统、闭环控制系统、 复合控制系统等。
通过分析系统的频率特性 ，研究系统的稳定性、带 宽和阻尼特性。
现代控制理论设计方法
状态空间法
01
基于系统的状态方程进行系统分析和设计，适用于线性时变系
统和非线性系统。
线性二次型最优控制
02
通过优化性能指标，设计最优控制律，适用于多输入多输出系
统。
滑模控制
03
设计滑模面和滑模控制器，使得系统状态在滑模面上滑动，适
无人机飞行控制系统通过自动控制算法，实现无人机的稳定飞行 和精确控制。
卫星姿态控制
卫星姿态控制系统通过传感器和执行机构，实现卫星的稳定指向 和精确姿态调整。
航空发动机控制
航空发动机控制系统通过调节燃油流量和点火时间等参数，实现 发动机的稳定运行和性能优化。
工业自动化控制系统的应用
智能制造
智能制造系统通过自动化设备和传感器，实现生产过程的自动化控 制和优化。
带宽频率
系统开环幅频特性等于0.707时 的频率。
剪切频率
系统开环幅频特性等于0.707时 的频率。
稳定性与性能的关系
稳定性是控制系统的重要性能指 标，它决定了系统能否正常工作
。
系统的稳定性与其性能指标密切 相关，如系统的超调量、调节时
自动控制原理课件胡 寿松
目录
• 自动控制概述 • 控制系统稳定性分析 • 控制系统的性能指标 • 控制系统的设计方法 • 控制系统的校正与补偿 • 控制系统的应用实例
01
自动控制概述
定义与分类
定义
自动控制是利用控制装置，使被 控对象按照预设规律自动运行的 系统。
分类
开环控制系统、闭环控制系统、 复合控制系统等。
通过分析系统的频率特性 ，研究系统的稳定性、带 宽和阻尼特性。
现代控制理论设计方法
状态空间法
01
基于系统的状态方程进行系统分析和设计，适用于线性时变系
统和非线性系统。
线性二次型最优控制
02
通过优化性能指标，设计最优控制律，适用于多输入多输出系
统。
滑模控制
03
设计滑模面和滑模控制器，使得系统状态在滑模面上滑动，适
无人机飞行控制系统通过自动控制算法，实现无人机的稳定飞行 和精确控制。
卫星姿态控制
卫星姿态控制系统通过传感器和执行机构，实现卫星的稳定指向 和精确姿态调整。
航空发动机控制
航空发动机控制系统通过调节燃油流量和点火时间等参数，实现 发动机的稳定运行和性能优化。
工业自动化控制系统的应用
智能制造
智能制造系统通过自动化设备和传感器，实现生产过程的自动化控 制和优化。
自动控制原理-胡寿松-第五章-线性系统的频域分析法
第四象限
第三象限
Mr
注意： （特殊点与趋势） 1. A(0) 1, (0) 0; A() 0, () 180 2. 与虚轴的交点 （转折点，是阻尼比的减函数） 2 (0 ) 3.有谐振时， 2 r , M r 为 的减函数 。当 2 0.707 时，谐振峰值 M r 1 。 2
7.延迟环节和延迟系统
1.典型环节
2.最小相位环节的频率特性
（考试、考研重点，nyquist图与bode图必须会画，概率图）
考试的标准画法
L(dB)
20
10
20 lg k
0
10
1
10
100
1000
o
( )
10
0
1
10
100
1000
10
比例环节的nyquist图与bode图
本节目录 1.典型环节 2.最小相位环节的频率特性（Nyquist图与bode图） 3.非最小相位环节的频率特性（Nyquist图与bode图） 4.系统的开环幅相曲线（Nyquist图） 5.系统的开环对数频率特性曲线（bode图）
重点掌握最小相位情况的各个知识点，非最小相位情况的考试不考，考研可能考。 6.传递函数的频域实验确定
考试的标准画法
o
注意考察几个特殊点： A(0), (0);
积分环节的nyquist图与bode 图
A(), ()
与横轴的交点。 注意横竖坐标交点处的的横坐标值（如果交点处没标横坐标值，则斜线不到头）
比较交点不标记的情况
0
0
纯微分环节的Bode图
半对数坐标系中的直线方程（重要，bode图解计算时经常用到）
自动控制原理(胡寿松版)完整第五章ppt课件
-20
φ (ω )
ω=0.1 L(ω )=20lg0.1=-20dB 90
对数相频特性：φ (ω )=90o 0 0.1
1
10ω
第二节 典型环节与系统的频率特性
4)．惯性环节
G(s)=Ts1+1
G(ωj
)=
jω
1 T+1
(1) 奈氏图
A(ω
)=
1 1+(ω T)2
φ (ω )= -tg-ω1 T
取特可殊以点证：绘明ω制：=0奈氏图近似方I法m : AA图心半A点(ω(ω(是 ， 圆ω，))=以 以 。惯=)0然=根ωω0(1性.171==/后据0/环2∞27为T将幅1节φ,jφo半φ它频的(ω)(ω径为(ω奈们特))=的圆)=氏平-性=09-o0滑4和o5连o相ω接频起∞特来0性-。求45ω=出T1特殊ω1=0Re
5）二阶微分环节 s 2 /n 2 2s /n 1(n 0 ,0 1 )
6）积分环节 1 / s
7）微分环节 s
第二节 典型环节与系统的频率特性
（2）非最小相位系统环节
1）比例环节 K (K0)
2）惯性环节 1/( T s1 ) (T0) 3）一阶微分环节 Ts1 (T0)
4）振荡环节 1 /( s 2 /n 2 2 s /n 1 )(n 0 ,0 1 )
第一节 频率特性
系统输入输出曲线 定义频率特性为:
r(t) c(t)
r(t)=Asinωt
G(ωj )
=|G(jω)|e j G(jω) =A(ω )e φj (ω )
A 0
幅频特性： t A(ω )=|G(jω)|
G(jω)
A G(jω )
相频特性： φ (ω )= G(jω)
自动控制原理--第5章 频域分析法
例如，惯性环节对数幅频特性和相频特性分别为
L() 20lg | G( j) | 20lg 2T 2 1
arctanT
当=0时，L()=0dB， =0， 曲线起始于坐标原点；当=1/T时， L()=-3dB， =-45；
自动控制原理
30
5-4 频域稳定性判据
一、映射定理
闭环特征函数 F(s)=1+G(s)H(s)
T
如果τ>T，则∠G(j)>0°，极坐标曲线在第Ⅰ象限变化；如果τ<T， 则∠G(j)<0°，极坐标曲线在第Ⅳ象限变化，如图所示。
自动控制原理
16
5.3.2 对数坐标图
通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形， 称为对数坐称图或波德(Bode)图。
1.对数坐标 对数频率特性曲线由对数幅频特性和相频特性两部分
系统的传递函数为 C(s) G(s)
R(s)
假定输入信号r(t)为
r(t) Asint
R(s) L[ Asint] A
A
s 2 2 (s j)(s j)
自动控制原理
7
G(s)
K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s s1 )(s s2 )(s sn )
nm
2j
AG( j) sin(t )
B sin(t )
G( j ) G( j ) e jG( j) G( j) e j
即
G( j) G(s) s j
这里的结论同RC网络讨论的结果是一致的。
自动控制原理
10
5.3 频率特性的图示方法
频率特性的图示方法主要有三种，即极坐标图、对数坐 标图和对数幅相图，现分述如下。
所以K=10。因此，所求开环传递函数
L() 20lg | G( j) | 20lg 2T 2 1
arctanT
当=0时，L()=0dB， =0， 曲线起始于坐标原点；当=1/T时， L()=-3dB， =-45；
自动控制原理
30
5-4 频域稳定性判据
一、映射定理
闭环特征函数 F(s)=1+G(s)H(s)
T
如果τ>T，则∠G(j)>0°，极坐标曲线在第Ⅰ象限变化；如果τ<T， 则∠G(j)<0°，极坐标曲线在第Ⅳ象限变化，如图所示。
自动控制原理
16
5.3.2 对数坐标图
通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形， 称为对数坐称图或波德(Bode)图。
1.对数坐标 对数频率特性曲线由对数幅频特性和相频特性两部分
系统的传递函数为 C(s) G(s)
R(s)
假定输入信号r(t)为
r(t) Asint
R(s) L[ Asint] A
A
s 2 2 (s j)(s j)
自动控制原理
7
G(s)
K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s s1 )(s s2 )(s sn )
nm
2j
AG( j) sin(t )
B sin(t )
G( j ) G( j ) e jG( j) G( j) e j
即
G( j) G(s) s j
这里的结论同RC网络讨论的结果是一致的。
自动控制原理
10
5.3 频率特性的图示方法
频率特性的图示方法主要有三种，即极坐标图、对数坐 标图和对数幅相图，现分述如下。
所以K=10。因此，所求开环传递函数
自动控制原理(胡寿松) 第五章ppt
第五章
线性系统的频率特性
1
控制系统的时域分析法是研究系统在典型输入信号作用的 性能，对于一阶、二阶系统可以快速、直接地求出输出的时域 表达式、绘制出响应曲线，从而利用时域指标直接评价系统的 性能。因此，时域法具有直观、准确的优点。然而，工程实际 中有大量的高阶系统，要通过时域法求解高阶系统在外输入信 号作用下的输出表达式是相当困难的，需要大量计算，只有在 计算机的帮助下才能完成分析。此外，在需要改善系统性能时， 采用时域法难于确定该如何调整系统的结构或参数。
2
在工程实践中 , 往往并不需要准确地计算系统响应的全部过
程，而是希望避开繁复的计算，简单、直观地分析出系统结构、
参数对系统性能的影响。因此，主要采用两种简便的工程分析 方法来分析系统性能，这就是根轨迹法与频率特性法，本章将 详细介绍控制系统的频率特性法。 控制系统的频率特性分析法是利用系统的频率特性（元件或 系统对不同频率正弦输入信号的响应特性）来分析系统性能的 方法，研究的问题仍然是控制系统的稳定性、快速性及准确性 等，是工程实践中广泛采用的分析方法，也是经典控制理论的
20
1.低频段
在T<<1(或<<1/T)的区段,可以近似地认为T0,从而有
L( ) 20 lg (T ) 2 1 20 lg1 0
故在频率很低时,对数幅频特性可以近似用零分贝线表示,这称 为低频渐近线。
21
2.高频段
在T>>1(或>>1/T)的区段,可以近似地认为
14
5.2 典型环节的频率特性
5.2.1 比例环节
传递函数：G(s)=K 频率特性：G(jω)=K 幅频特性：A(ω)=K 相频特性：φ(ω)=0 对数幅频和相频特性： L(ω)=20lgA(ω)=20lgK
线性系统的频率特性
1
控制系统的时域分析法是研究系统在典型输入信号作用的 性能，对于一阶、二阶系统可以快速、直接地求出输出的时域 表达式、绘制出响应曲线，从而利用时域指标直接评价系统的 性能。因此，时域法具有直观、准确的优点。然而，工程实际 中有大量的高阶系统，要通过时域法求解高阶系统在外输入信 号作用下的输出表达式是相当困难的，需要大量计算，只有在 计算机的帮助下才能完成分析。此外，在需要改善系统性能时， 采用时域法难于确定该如何调整系统的结构或参数。
2
在工程实践中 , 往往并不需要准确地计算系统响应的全部过
程，而是希望避开繁复的计算，简单、直观地分析出系统结构、
参数对系统性能的影响。因此，主要采用两种简便的工程分析 方法来分析系统性能，这就是根轨迹法与频率特性法，本章将 详细介绍控制系统的频率特性法。 控制系统的频率特性分析法是利用系统的频率特性（元件或 系统对不同频率正弦输入信号的响应特性）来分析系统性能的 方法，研究的问题仍然是控制系统的稳定性、快速性及准确性 等，是工程实践中广泛采用的分析方法，也是经典控制理论的
20
1.低频段
在T<<1(或<<1/T)的区段,可以近似地认为T0,从而有
L( ) 20 lg (T ) 2 1 20 lg1 0
故在频率很低时,对数幅频特性可以近似用零分贝线表示,这称 为低频渐近线。
21
2.高频段
在T>>1(或>>1/T)的区段,可以近似地认为
14
5.2 典型环节的频率特性
5.2.1 比例环节
传递函数：G(s)=K 频率特性：G(jω)=K 幅频特性：A(ω)=K 相频特性：φ(ω)=0 对数幅频和相频特性： L(ω)=20lgA(ω)=20lgK
自动控制原理第五章线性系统的频域分析法
自动控制原理第五章线性系统的频域分析法1、基本内容和要点（l）频率特性系统的稳态频率响应，频率响应的物理概念及数学定义；求取频率特性的分析法和实验法。
（2）典型环节的频率特性比例、惯性、积分、微分、振荡、延迟环节的频率特性和对数频率特性。
非最小相位环节的频率特性。
（3）反馈控制系统的开环频率特性研究系统开环频率特性的意义。
单环系统开环对数频率持性的求取与绘制。
最小相位系统开环对数幅频特性与相频特性间的对应关系。
（4）奈奎斯特稳定判据幅角定理。
S平面与F平面的映射关系。
根据开环频率特性判别闭环系统稳定性的奈氏判据。
奈氏判据在多环系统中的应用和推广。
系统的相对稳定性。
相角与增益稳定裕量。
（5）二阶和高阶系统的频率域性能指标与时域性指标。
系统频率域性能指标。
二阶和高阶系统暂态响应性能指标与频率域性能指标间的解析关系及近似关系。
（6）系统的闭环频率特性开环频率特性与闭环频率特性间的解析关系。
用等M圆线从开环频率特性求取闭环频率特性。
用尼氏图线从开环对数频率特性求取闭环频率特性。
2、重点（l）系统稳态频率响应和暂态时域响应的关系。
（2）系统开环频率特性的绘制，最小相位系统开环频率特性的特点。
（3）奈奎斯特稳定判据和稳定裕量。
5-1引言第三章，时域分析，分析系统零、极点与系统时域指标的关系；典型二阶系统极点或和n与时域指标tp、和t、tr及稳态误差等的关系，及高阶系统的近似指标计算；第四章，根轨迹分析，研究系统某一个参数变化对系统闭环极点的影响；本章讨论系统零、极点对系统频率域指标的关系，频域指标又分开环频域指标和闭环频域指标，它们都是在频域上评价系统性能的参数。
频域分析是控制理论的一个重要分析方法。
5-2频率特性1．频率特性的基本概念理论依据定理：设线性定常系统G()的输入信号是正弦信号某(t)某int，在过度过程结束后，系统的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相角都是频率的函数，即为c(t)Y()in[t()]。
自动控制原理-第五章-频域分析法
式中: Ac (j)Ar
(j)
结论:线性定常系统在正弦信号作用下,输出稳态
分量是和输入同频率的正弦信号。
9
二、频率特性的定义及求取方法
线性定常系统,在正弦信号作用下，输出
的稳态分量与输入的复数比，称为系统的频率 特性（即为幅相频率特性，简称幅相特性）。 频率特性表达式为:
(s)|s j(j) | (j)|ej (j)
差最大值为-3dB 。
41
五、一阶微分环节
G(s)s1
G (j )j 1( )2 1ejta 1 n
42
六、振荡环节（二阶系统）
传递函数
G(s)s2
n2 2 nsn2
频率 特性
G( j)
n2
( j)2 2n j n2
(n2
n2 2)
j2n
43
G (j)s22 nn 2sn2sj( sn)21 2 sn1sj
G (j ) 1 1 ej(ta 1n (T)) Tj1 (T)21
∞
56
非最小相位环节
• 定义:传递函数中有右极点、右零点的环节
（或系统）,称为非最小相位环节（或系统）。
• 一阶不稳定环节的幅频与惯性环节的幅频完全 相同，但是相频大不一样。相位的绝对值大，
故一阶不稳定环节又称非最小相位环节。
G( j )
1
(1 2 ) 2 4 2 2
2 n
2 n
2
G( j) arctg n
1
2 n2
44
令无因次频率 u/n为参变量
G(ju)
1
(1u2)242u2
2u
G(ju)arc1tgu2
若 u1 G (ju) arctg1 2 u u 2 90
(j)
结论:线性定常系统在正弦信号作用下,输出稳态
分量是和输入同频率的正弦信号。
9
二、频率特性的定义及求取方法
线性定常系统,在正弦信号作用下，输出
的稳态分量与输入的复数比，称为系统的频率 特性（即为幅相频率特性，简称幅相特性）。 频率特性表达式为:
(s)|s j(j) | (j)|ej (j)
差最大值为-3dB 。
41
五、一阶微分环节
G(s)s1
G (j )j 1( )2 1ejta 1 n
42
六、振荡环节（二阶系统）
传递函数
G(s)s2
n2 2 nsn2
频率 特性
G( j)
n2
( j)2 2n j n2
(n2
n2 2)
j2n
43
G (j)s22 nn 2sn2sj( sn)21 2 sn1sj
G (j ) 1 1 ej(ta 1n (T)) Tj1 (T)21
∞
56
非最小相位环节
• 定义:传递函数中有右极点、右零点的环节
（或系统）,称为非最小相位环节（或系统）。
• 一阶不稳定环节的幅频与惯性环节的幅频完全 相同，但是相频大不一样。相位的绝对值大，
故一阶不稳定环节又称非最小相位环节。
G( j )
1
(1 2 ) 2 4 2 2
2 n
2 n
2
G( j) arctg n
1
2 n2
44
令无因次频率 u/n为参变量
G(ju)
1
(1u2)242u2
2u
G(ju)arc1tgu2
若 u1 G (ju) arctg1 2 u u 2 90
自动控制原理第五章线性系统的频域分析
1 a
AT 2
a
Ts 1 s2
2
(Ts 1)
s 1
T
1 T 2 2
U0 (t)
e a
t
T
T
d1e jt
d 2e jt
lim
t
U
0
(t
)
d1e jt
d 2e jt
A sin( t arctgT)
1T2 2
这里应用欧拉公式 sin e j e j
2j
说明:
1.网络的稳态输出仍是正弦电压, 其频率与输入电压相同,
(1,j0)
8.延时环节
G(S) e-s
G(j) e-j cos - jsin
=0
u() cos v() -sin
| G(j) | 1 G(j) -
u 2 () v2 () 1
极坐标图为一 9.不稳定环节
单位圆, 端点在单
位圆上无
限循环
Im
G(S)
1 TS -1
G(j
) 1 jT-1
G(s)
(1) 向量作图法
C( j ) G( j ) A( )e j () R( j) 1 G( j)
在开环频率响应G( j)Nyquist图中
G( j1 ) (1 )
QA 1 G( j1 ) [1 G( j1 )] (1 )
Im
A(1 )
G( j1 ) 1 G( j1 )
OA QA
幅值是输入电压的1 1T 22 (幅频特性), 相角比输入电压
滞后- arctgT (相频特性).
2. e e 1
- jarctgT
1T2 2
1
j 1(1 jT )
1 jT
AT 2
a
Ts 1 s2
2
(Ts 1)
s 1
T
1 T 2 2
U0 (t)
e a
t
T
T
d1e jt
d 2e jt
lim
t
U
0
(t
)
d1e jt
d 2e jt
A sin( t arctgT)
1T2 2
这里应用欧拉公式 sin e j e j
2j
说明:
1.网络的稳态输出仍是正弦电压, 其频率与输入电压相同,
(1,j0)
8.延时环节
G(S) e-s
G(j) e-j cos - jsin
=0
u() cos v() -sin
| G(j) | 1 G(j) -
u 2 () v2 () 1
极坐标图为一 9.不稳定环节
单位圆, 端点在单
位圆上无
限循环
Im
G(S)
1 TS -1
G(j
) 1 jT-1
G(s)
(1) 向量作图法
C( j ) G( j ) A( )e j () R( j) 1 G( j)
在开环频率响应G( j)Nyquist图中
G( j1 ) (1 )
QA 1 G( j1 ) [1 G( j1 )] (1 )
Im
A(1 )
G( j1 ) 1 G( j1 )
OA QA
幅值是输入电压的1 1T 22 (幅频特性), 相角比输入电压
滞后- arctgT (相频特性).
2. e e 1
- jarctgT
1T2 2
1
j 1(1 jT )
1 jT
自动控制原理第五章
第五章 频域分析法目的：①直观，对高频干扰的抑制能力。
对快(高频)、慢(低频)信号的跟踪能力。
②便于系统的分析与设计。
③易于用实验法定传函。
§5.1 频率特性一. 定义)()()()(1n p s p s s s G +⋅⋅⋅+=θ在系统输入端加一个正弦信号：t R t r m ωsin )(⋅=))(()(22ωωωωωj s j s R s R s R m m -+⋅=+⋅=↔ 系统输出：))(()()()()(1ωωωθj s j s R p s p s s s Y m n-+⋅⋅+⋅⋅⋅+=t j t j e A e A t y t y ωω⋅+⋅+=↔-瞬态响应)()(1若系统稳定，即)(s G 的极点全位于s 左半平面，则 0)(l i m 1=∞→t y t稳态响应为：tj tj ss eA eA t y ωω⋅+⋅=-)(而)(21)()(22ωωωωωj G R jj s s R s G A m j s m -⋅-=+⋅+⋅⋅=-=)(21)()(22ωωωωωj G R jj s s R s G A m j s m ⋅=-⋅+⋅⋅== ∴t j m tj m ss e j G R je j G R j t y ωωωω⋅⋅+⋅-⋅-=-)(21)(21)( =])()([21t j t j m e j G e j G R jωωωω-⋅--⋅⋅ 又)(s G 为s 的有理函数，故)()(*ωωj G j G -=，即φωωj e j G j G )()(= φωωj e j G j G -=-)()(∴][)(21)()()(φωφωω+-+--⋅=t j t j mss e e j G R jt y =)sin()(φωω+⋅⋅t j G R m =)sin(φω+⋅t Y m可见：对稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，其稳态响应也是一个同频率的正弦信号。
其幅值是输入正弦信号幅值的)(ωj G 倍，其相移为)(ωφj G ∠=。
胡寿松自动控制原理第五版
-
执行元件
扰动
控制对象 C(t)
输 出
主 反 馈
并联校正元件
局部反馈
信
号
测量元件
主反馈
反馈控制系统基本组成
介绍各种元件、外作用的两种类型
17
1-1 自动控制的基本原理与方式
测量元件—用以测量被控的物理量，量并将其转换成与 输入量同一物理量后，再反馈到输入端以作比较。如果 这个物理量是非电量，一般转换为电量。 给定元件— 其职能是给出与期望的被控量相对应的系统 输入量。 比较元件—其职能是把测量元件检测的被控量实际值与 给定元件给出的输入量进行比较，求出它们的偏差。 放大元件—其职能是将比较元件给出的偏差信号进行放 大，用来推动执行元件去控制被控对象。 执行元件— 其职能是直接推动被控对象，使其被控量发 生变化。 校正元件— 也叫补偿元件，它是结构或参数便于调整的 元部件，用串联或反馈的方式连接在系统中，以改善系 统的性能。
27
1-4 对自动控制系统的基本要求
１.基本要求的提法
稳定性、快速性、准确性，即稳、快、准。 • 稳定性
稳定性是指系统重新恢复平衡状态的能力，任何一 个正常工作的系统首先必须是稳定的。
稳：指动态过程的平稳性
控制系统动态过程曲线
如左图所示，系统在外力 作用下，输出逐渐与期望 值一致，则系统是稳定的， 如曲线①所示；反之，输 出如曲线②所示，则系统 是不稳定的。
1.自动控制技术及其应用
无论是人们的日常生活、工业生产，还是空间探索、 导弹制导等尖端科技领域中，自动控制技术无所不在、无 所不能。自动控制理论和技术已经渗透到社会、经济和科 学研究的各个方面。
1954年第一台工业机器人 3
1-1 自动控制的基本原理与方式
胡寿松《自动控制原理》(第7版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第5~6章)【圣才出品】
第5章线性系统的频域分析法5.1复习笔记本章考点：幅相特性曲线、伯德图的绘制，奈奎斯特稳定判据，稳定裕度计算。
一、频率特性1．定义幅频特性：稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比A（ω）。
相频特性：稳态响应与正弦输入信号的相位差φ（ω）。
频率特性：幅频特性和相频特性在复平面上构成的一个完整向量G（jω）＝A（ω）e jφ（ω）。
2．频率特性的几何表示法（重点）（1）幅相频率特性曲线（幅相曲线或极坐标图），横坐标为开环频率特性的实部，纵坐标为虚部， 为参变量。
（2）对数频率特性曲线（伯德图），由对数幅频特性曲线、对数幅相频特性曲线两幅图组成：①对数幅频特性曲线的纵坐标表示L（ω）＝20lgA（ω），单位是分贝，记作dB；②对数相频特性曲线的纵坐标为φ（ω），单位为度“°”。
（3）对数幅相曲线（尼科尔斯图），横坐标表示频率特性的相角φ（ω），纵坐标表示频率特性的幅值的分贝数L（ω）＝20lgA（ω）。
二、典型环节与开环系统的频率特性1．典型环节的频率特性一些主要典型环节的频率特性曲线总结如表5-1-1所示。
表5-1-1典型环节频率特性曲线总结2．开环幅相曲线绘制步骤（1）确定开环幅相曲线的起点（ω＝0＋）和终点（ω＝∞），确定幅值变化与相角变化。
（2）计算开环幅相曲线与实轴的交点。
令Im[G（jωx）H（jωx）]＝0或φ（ωx）＝∠G（jωx）H（jωx）＝kπ（k＝0，±1，…）称ωx为穿越频率，而开环频率特性曲线与实轴交点的坐标值为Re[G（jωx）H（jωx）]＝G（jωx）H（jωx）。
（3）分析开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性）。
3．开环对数频率特性曲线绘制步骤（1）开环传递函数典型环节分解并确定一阶环节、二阶环节的交接频率；（2）绘制低频段渐近特性线：在ω＜ωmin频段内，直线斜率为－20vdB/dec；（3）作ω≥ωmin频段渐近特性线，交接频率点处斜率变化表如表5-1-2所示。
自动控制原理 第五章 控制系统的频域分析法
则
uos (t) = A ⋅ A(ω)sin[ω t + ϕ(ω)]
(5.2)
结论：
(1) 稳态解与输入信号为同一频率的正弦量；
(2) 当ω 从 0 向∞变化时，其幅值之比 A(ω) 和相位差ϕ(ω) 也将随之变化，其变化规
律由系统的固有参数 RC 决定； (3) 系统稳态解的幅值之比 A(ω) 是ω 的函数，其比值为
三角函数形式： G( jω) = A(ω)[cosϕ(ω) + jsinϕ(ω)] 。
式中 A(ω) = G( jω) 是幅值比，为ω 的函数，称为幅频特性；
ϕ(ω) = ∠G( jω) 是相位差，为ω 的函数，称为相频特性； U (ω) 是 G( jω) 的实部，为ω 的函数，称为实频特性； V (ω) 是 G( jω) 的虚部，为ω 的函数，称为虚频特性。
s + p1 s + p2
s + pn s + jω s − jω
∑n
=
Ci
+
B
+
D
i=1 s + pi s + jω s − jω
(5.4)
式中 Ci , B , D 均为待定系数。
将(5.4)式进行拉氏反变换，得系统的输出响应为
n
∑ c(t) = Cie− pi t + (Be− jω t + Dejω t ) = ct (t) + cs (t) i =1
C( jω) = G( jω)R( jω)
因而，得
G( jω) = C( jω) R( jω)
(5.11)
事实上，当ω 从 0 向∞变化时， G( jω) 将对不同的ω 作出反映，这种反映是由系统自
自动控制原理：第五章 线性系统的频域分析法
对不同频率正弦信号的跟踪能力或复现能力； G(jw)只与系统或环节本身的结构参数有关,是 系统或环节本身的属性； 与输入信号和初始条件无关。
『例1』某系统结构图如图，求 rt作 用下的稳态输出 c;t
(1) rt 3cos 2t 30
(2) rt 3sin 8t 20
r(t)
6
c(t)
L 20lg 1 20lg
L
0.1
20
1
0
10
-20
每增加十倍时， L减少20dB
积分环节的对数幅频曲线是一条斜率为－20dB/dec的直 线，该直线与零分贝线相交于w=1的地方。
b) 微分环节
传递函数 频率特性 幅频特性 相频特性 对数幅频特性
Gs s G j j
A
90
L 20 lg
二. 频率特性的几何表示方法
常用的频率特性图有极坐标图与伯德图。 1. 幅相频率特性曲线(极坐标图)
G(jw)为复数, 在坐标图中，它是一个矢量, 既可用模值和 幅角表示,也可在直角坐标中用实部和虚部表示。即:
G j A e j Re G j jI mG j
当输入正弦信号频率从0变到+∞,矢量 A 的e j终
G j 1
jRC 1
A G j 1
T 2 2 1
arctan RC
『注』幅频特性是w的偶函数，相频特性是w的奇函数，
故w从0到-∞的极坐标图与w从0到+∞的极坐标图对称 于实轴，因此通常只需绘制w从0到∞时的极坐标图。
Im
0 0 Re
2. 对数频率特性曲线 (伯德图)
rt A1 sin(t 时1)
系统稳态输出为同频率的正弦信号 ct A2 sin(t 2 ) 。
『例1』某系统结构图如图，求 rt作 用下的稳态输出 c;t
(1) rt 3cos 2t 30
(2) rt 3sin 8t 20
r(t)
6
c(t)
L 20lg 1 20lg
L
0.1
20
1
0
10
-20
每增加十倍时， L减少20dB
积分环节的对数幅频曲线是一条斜率为－20dB/dec的直 线，该直线与零分贝线相交于w=1的地方。
b) 微分环节
传递函数 频率特性 幅频特性 相频特性 对数幅频特性
Gs s G j j
A
90
L 20 lg
二. 频率特性的几何表示方法
常用的频率特性图有极坐标图与伯德图。 1. 幅相频率特性曲线(极坐标图)
G(jw)为复数, 在坐标图中，它是一个矢量, 既可用模值和 幅角表示,也可在直角坐标中用实部和虚部表示。即:
G j A e j Re G j jI mG j
当输入正弦信号频率从0变到+∞,矢量 A 的e j终
G j 1
jRC 1
A G j 1
T 2 2 1
arctan RC
『注』幅频特性是w的偶函数，相频特性是w的奇函数，
故w从0到-∞的极坐标图与w从0到+∞的极坐标图对称 于实轴，因此通常只需绘制w从0到∞时的极坐标图。
Im
0 0 Re
2. 对数频率特性曲线 (伯德图)
rt A1 sin(t 时1)
系统稳态输出为同频率的正弦信号 ct A2 sin(t 2 ) 。
《自动控制原理》 胡寿松 第05#1章 线性系统的频域分析法
用，它也是经典控制理论中的重点内容。
本章主要学习内容如下： 5.1 频率特性
5.2 典型环节和开环系统频率特性
5.3 频域稳定判据
5.4频域稳定裕度
5.5 闭环系统的频域性能指标
5.1 频率特性的一般概念
1 频率特性的基本概念
首先我们以图示的RC滤波网络为例，建立频
率特性的基本概念。
R i(t) C
②实验方法
(原理后续介绍)
三种数学模型之间的关系
频率特性也是描述系统的一种动态数学模型。
与微分方程和传递函数一样，也表征了系统的运动
规律。
例1 已知系统传递函数 G ( s)
1 ，输入正弦信号 s 1 r (t ) 3sin(2t 30) ，求稳态输出响应 Css (t ) ?
G ( j ) G ( j ) e jG ( j ) 指数形式：
G ( j ) G ( j ) e jG ( j ) U ( ) jV ( ) 实部和虚部形式：
实频特性: 虚频特性:
U () A() cos () V () A( ) sin ( )
（1）频率特性的定义
频率特性：零初始条件下，输出信号与输入信 号的傅氏变换之比，用 G( j) 表示。
C ( j ) G ( j ) G ( s) |s j R( j )
A( ) G ( j ) C ( j ) R ( j )
—幅频特性 —相频特性
( ) G( j )
率的关系曲线；对数相频特性则是相角∠ G(j)
和频率的关系曲线。
伯德图是在半对数坐标纸上绘制出来的。横坐
标采用对数刻度，纵坐标采用线性的均匀刻度。
在绘制伯德图时，为了作图和读数方便，常将
《自动控制原理》 胡寿松 第05#6章 频域稳定裕度.ppt
?
0.69
?b
上升时间：
tr
?
2 .202 T
?
2.202
?b
调节时间：
ts
?
3T
?
3
?b
说明 ? b和延迟
时间、上升时间、 调节时间也成反比。
（2）二阶系统带宽 ? b
设二阶系统的闭环传递函数为
? (s) ?
s2
?
?
2 n
2??
n
s
?
?
2 n
故有 | ? ( j0) |? 1。
系统的幅频特性： |? ( j? ) |?
贝时，对应的频率 ? b称为带宽频率， 即带宽频率 ? b为 满足下列方程的解：
20 lg ? ( j? b ) ? 20 lg ? ( j0) ? 3
对于Ⅰ型和Ⅰ型以上系统，由于 ? ( j0) ? 1 故有：
20 lg ? ( j? b ) ? ? 3(dB )
显然，当 ? >? b时，有 20 lg ? ( j? ) ? 20 lg ? ( j0) ? 3
③物理意义： 稳定系统在 截止频率 ωc处若相角再迟 后一个γ角度，则系统处于 临界状态 ；若相角迟后 大于γ ，系统将变成不稳定。
j
-1 ωx
1
γ ωc
0
∠G(jω c)Ｈ(jω c) G(jω)Ｈ(jωc)
上述两图中， γ均为正值
（2）幅值裕度
①在开环幅相频率特性曲线中定义
幅值裕度 是指在(-1,j0)点处的幅值1与开环幅相
d? (1? 2? 2 )2 ? 1
即A与ζ成反比关系，根据假设，又 A与? b成正比 关系，故可得， ? b与阻尼比 ζ成反比关系 。
自动控制原理(胡寿松) 第五章
26
27
（2）相频特性
()arct1a 2T n T2 2
可知，当ω=0时，()=0；ω=1/T时，()=-90°；ω→∞时，()→ -
180°。与惯性环节相似，振荡环节的对数相频特性曲线将对应于ω=1/T及
() =-90°这一点斜对称。
振荡环节具有 相位滞后的作用， 输出滞后于输入的 范围为0º→-180º；
10
5.1 频率特性的基本概念
G(jω)C R • • A Acr 1 2 A(ω) (ω)
R 表示输入正弦量的相量 C 表示输出正弦量的相量
G(jω)称为系统的频率特性，它表示了系统在正弦作用下， 稳态输出的振幅，相位随频率变化的关系。
A()AcG(j) 称为系统的幅频特性
Ar
φ(ω)= ∠G(jω) 称为系统的相频特性
=0+3=3dB。
24
6．二阶振荡环节
1
T2s2 2Ts 1
（1）对数幅频特性
L
20lg
T2
j2
1
j2T
1
20lg 12T2 2 2T2
1.低频段
T<<1(或<<1/T)时，L() 20lg1=0dB，低频渐近线与0dB线
重合。 0≤≤1
25
L 2 0 l g1 2 T 22 2T 2
13
Bode图
5.1 频率特性的基本概念
也称对数频率特性，就是将A(ω)和φ(ω)分别表示在两 个图上，横坐标采用对数刻度。
L(ω)
对数频率特性定义为：
L(ω)=20lgA(ω) dB L(ω)的图形就是Bode图
G(s) 1 Ts1
Bode图
对数相频特 性：纵轴均 匀刻度，标 以φ(ω)值 (单位为度)； 横轴刻度及 标值方法与 幅频特性相 同。
27
（2）相频特性
()arct1a 2T n T2 2
可知，当ω=0时，()=0；ω=1/T时，()=-90°；ω→∞时，()→ -
180°。与惯性环节相似，振荡环节的对数相频特性曲线将对应于ω=1/T及
() =-90°这一点斜对称。
振荡环节具有 相位滞后的作用， 输出滞后于输入的 范围为0º→-180º；
10
5.1 频率特性的基本概念
G(jω)C R • • A Acr 1 2 A(ω) (ω)
R 表示输入正弦量的相量 C 表示输出正弦量的相量
G(jω)称为系统的频率特性，它表示了系统在正弦作用下， 稳态输出的振幅，相位随频率变化的关系。
A()AcG(j) 称为系统的幅频特性
Ar
φ(ω)= ∠G(jω) 称为系统的相频特性
=0+3=3dB。
24
6．二阶振荡环节
1
T2s2 2Ts 1
（1）对数幅频特性
L
20lg
T2
j2
1
j2T
1
20lg 12T2 2 2T2
1.低频段
T<<1(或<<1/T)时，L() 20lg1=0dB，低频渐近线与0dB线
重合。 0≤≤1
25
L 2 0 l g1 2 T 22 2T 2
13
Bode图
5.1 频率特性的基本概念
也称对数频率特性，就是将A(ω)和φ(ω)分别表示在两 个图上，横坐标采用对数刻度。
L(ω)
对数频率特性定义为：
L(ω)=20lgA(ω) dB L(ω)的图形就是Bode图
G(s) 1 Ts1
Bode图
对数相频特 性：纵轴均 匀刻度，标 以φ(ω)值 (单位为度)； 横轴刻度及 标值方法与 幅频特性相 同。
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ys (t) X G( j) sin[t G( j)] XA() sin[t ()]
对于一般的n阶线性定常系统中，若输入 x(t) X sint ，则输出的稳态值为
ys (t) X G( j) sin[t G( j)] XA() sin[t ()]
的幅频特性
和相频特性
曲线拟合
。这种通过实验确定系统
P189，图5-3 5、频率特性一般针对稳定的线性定常系统而言。
Hale Waihona Puke 用频率特性求取正弦输入稳态误差的方法：
正弦输入稳态误差求法总结： 1.定义法，求拉式反变换（不能 用终值定理） 2.动态误差系数法
2.频率特性的几何表示法（图示法）（重点）
仅从G( j) 的表达式中看出的信息不直观，在工程分析和设计中，通 常把线性系统的频率特性画成曲线，观察其在不同频率段上的变换，再 运用图解法进行研究（包括稳态性能、暂态性能等）。常用的频率特性 曲线有三种：
也就是说， 对于稳定的线性系统，由谐波输入（正弦输入）产生的稳 态分量仍然是与输入同频率的谐波函数，只是幅值和相位产生了变化，并 且这种变化是频率的函数，这个函数与系统数学模型相关。
频率特性的定义 （重要概念）
获取系统频率特性的途径有两个:
1. 分析法 当已知系统的传递函数时，用s j 代入s 传j 递函数可得到系统的频率特性G(jω)。因此，频率特性是
那么该性质是否具有一般性，即能否推广到一般的n阶线性定常系统中？
x(t) X sint
证明：
ys (t) X G( j) sin[t G( j)] 其中， G( j) G(s) s j
对于一般的n阶线性定常系统中，若输入 x(t) X sint ，则输出的稳态值为
教材这一章写的？？
5-1 频率特性
1.频域特性的基本概念（这种数学模型是怎样的？） 2.频率特性的几何表示（这种数学模型怎样表示？）
1.频域特性的基本概念
L[sin t]
s2
2
首先以RC滤波网络为例，引出频率特性的基本概念。
那么该性质是否具有一般性，即能否推广到一般的n阶线性定常系统中？
反映频率特性的变化情况。对数幅频特性采用
()
相频特性 U ()
实频特性 V ()
虚频特性
20 lg A()
以上对特数性幅，频在特频性率特性的几何表示中，经常用到，通常都 需要事先计算出来，再绘图。
例 RC网络的奈奎斯特图
P190页证明
见图5-5（规范）
单位：弧度/秒
半对数坐标系的优点：
对数频率特性采用 的对数分度实现了横坐标2的0lg非A线(性) 压缩，便于在较大频率范围内
本章内容
5-1 频率特性（数学模型） 5-2 典型环节与开环系统的频率特性（系统建模） 5-3 频率域稳定判据（稳定性问题） 5-4 Matlab在频率响应法中的应用 5-5 稳定欲度（相对稳定性问题） 5-6闭环系统的频率特性 是本5-质频7是域频统分域一析响的法。与应时和域时分析域法响是应截之然不间同的的关两种系分析和设计系统的方法，但 5-8 控制系统频域设计
（极坐标图，奈奎斯特图，奈氏图，幅相曲线） （伯德曲线或伯德图，波特图） （尼克尔斯曲线或尼克尔斯图）
Bode 图是重点，Nyquist图次重点。（考试、考研必考）
本教材，写的跳跃性过大，也太难，建议参考其他作者书。
Remark:
给定一个环节或者系统的传递函数G(s) ，可以马上得到：
频率特性 G( j) 幅频特性 A()
x(t) X sint
ys (t) X G( j) sin[t G( j)] 其中， G( j) G(s) s j
该结论成立的意义：
如果该结论成立，我们知道，控制系统中的信号均可以 表示为不同频率正弦信号的合成。那么我们将各种不同频率 的输入正弦信号对应该线性系统的响应情况都求出来，那么 任何一种控制信号对系统的响应就可以通过叠加相应的正弦 信号响应而得到。（《信号与系统》傅里叶变换。）这也是 频率分析法的根本思想所在附。录A 傅里叶变换和拉普拉斯变换P630
频域分析法的基本介绍 •控制系统的频率特性反映正弦信号作用下系统响应的性能， 是系统的一种数学模型。
•应用频率特性来研究线性系统的经典方法称为频域分析法。
频域分析法具有以下特点：
1.控制系统及其元部件的频率特性可以运用分析法或者实验 法获得，并可用多种形式的曲线来表示，因而系统分析和控 制器设计可以应用图解法进行。
第五章 线性系统的频域分析法
频域分析法的由来：
工程技术上常采用傅里叶分析法来分析线性系统（《信 号与系统》）。
因为任何周期函数都可以展开为含有许多正弦分量或者余 弦分量的傅里叶级数；而任何非周期函数都可表示为傅里叶 积分，从而可将一个时间域的函数变换为频率域的函数。
在我们研究输入为非正弦函数的线性系统时，应用傅里叶 级数和傅里叶变换的这个性质，可以通过研究对各种频率正 弦波的响应特性来了解系统对非正弦输入参见的《响信应号特与性系统。》
特定情况下的传递函数。它和传递函数一样，反映了系统的内
在联系。这种通过传递函数确定频率特性的方法是求取频率特
性的分析法（解析法）。
X (t) XSint
2. 实验法 当系统已经建立，尚不知道其内部结构或传
递函数时，在YX系(统)的输入端输入一(正)弦信号
，
测出不同频率时系统稳态输出的振幅Y和相移φ，便可得到它
2.频率特性的物理意义明确。频域性能指标和时域性能指标 之间有相应的对应关系。
时域分析法与频域分析法比较：
时域分析法是分析控制系统的直接方法，比较直观、 精确。当往往需要求解复杂的微分方程。
频域分析法是一种图解分析法。它依据系统的又一种 数学模型——频率特性，利用频域指标和时域指标之间的 对应关系，间接地揭示系统的暂态特性和稳态特性，简单 迅速地判断某些环节或者参数对系统的暂态特性和稳态特 性的影响，并能指明改进系统的方向。也是一种工程上常 用的方复域法分。析法（根轨迹法），根轨迹法与时域分析法联系较为紧密。
对于一般的n阶线性定常系统中，若输入 x(t) X sint ，则输出的稳态值为
ys (t) X G( j) sin[t G( j)] XA() sin[t ()]
的幅频特性
和相频特性
曲线拟合
。这种通过实验确定系统
P189，图5-3 5、频率特性一般针对稳定的线性定常系统而言。
Hale Waihona Puke 用频率特性求取正弦输入稳态误差的方法：
正弦输入稳态误差求法总结： 1.定义法，求拉式反变换（不能 用终值定理） 2.动态误差系数法
2.频率特性的几何表示法（图示法）（重点）
仅从G( j) 的表达式中看出的信息不直观，在工程分析和设计中，通 常把线性系统的频率特性画成曲线，观察其在不同频率段上的变换，再 运用图解法进行研究（包括稳态性能、暂态性能等）。常用的频率特性 曲线有三种：
也就是说， 对于稳定的线性系统，由谐波输入（正弦输入）产生的稳 态分量仍然是与输入同频率的谐波函数，只是幅值和相位产生了变化，并 且这种变化是频率的函数，这个函数与系统数学模型相关。
频率特性的定义 （重要概念）
获取系统频率特性的途径有两个:
1. 分析法 当已知系统的传递函数时，用s j 代入s 传j 递函数可得到系统的频率特性G(jω)。因此，频率特性是
那么该性质是否具有一般性，即能否推广到一般的n阶线性定常系统中？
x(t) X sint
证明：
ys (t) X G( j) sin[t G( j)] 其中， G( j) G(s) s j
对于一般的n阶线性定常系统中，若输入 x(t) X sint ，则输出的稳态值为
教材这一章写的？？
5-1 频率特性
1.频域特性的基本概念（这种数学模型是怎样的？） 2.频率特性的几何表示（这种数学模型怎样表示？）
1.频域特性的基本概念
L[sin t]
s2
2
首先以RC滤波网络为例，引出频率特性的基本概念。
那么该性质是否具有一般性，即能否推广到一般的n阶线性定常系统中？
反映频率特性的变化情况。对数幅频特性采用
()
相频特性 U ()
实频特性 V ()
虚频特性
20 lg A()
以上对特数性幅，频在特频性率特性的几何表示中，经常用到，通常都 需要事先计算出来，再绘图。
例 RC网络的奈奎斯特图
P190页证明
见图5-5（规范）
单位：弧度/秒
半对数坐标系的优点：
对数频率特性采用 的对数分度实现了横坐标2的0lg非A线(性) 压缩，便于在较大频率范围内
本章内容
5-1 频率特性（数学模型） 5-2 典型环节与开环系统的频率特性（系统建模） 5-3 频率域稳定判据（稳定性问题） 5-4 Matlab在频率响应法中的应用 5-5 稳定欲度（相对稳定性问题） 5-6闭环系统的频率特性 是本5-质频7是域频统分域一析响的法。与应时和域时分析域法响是应截之然不间同的的关两种系分析和设计系统的方法，但 5-8 控制系统频域设计
（极坐标图，奈奎斯特图，奈氏图，幅相曲线） （伯德曲线或伯德图，波特图） （尼克尔斯曲线或尼克尔斯图）
Bode 图是重点，Nyquist图次重点。（考试、考研必考）
本教材，写的跳跃性过大，也太难，建议参考其他作者书。
Remark:
给定一个环节或者系统的传递函数G(s) ，可以马上得到：
频率特性 G( j) 幅频特性 A()
x(t) X sint
ys (t) X G( j) sin[t G( j)] 其中， G( j) G(s) s j
该结论成立的意义：
如果该结论成立，我们知道，控制系统中的信号均可以 表示为不同频率正弦信号的合成。那么我们将各种不同频率 的输入正弦信号对应该线性系统的响应情况都求出来，那么 任何一种控制信号对系统的响应就可以通过叠加相应的正弦 信号响应而得到。（《信号与系统》傅里叶变换。）这也是 频率分析法的根本思想所在附。录A 傅里叶变换和拉普拉斯变换P630
频域分析法的基本介绍 •控制系统的频率特性反映正弦信号作用下系统响应的性能， 是系统的一种数学模型。
•应用频率特性来研究线性系统的经典方法称为频域分析法。
频域分析法具有以下特点：
1.控制系统及其元部件的频率特性可以运用分析法或者实验 法获得，并可用多种形式的曲线来表示，因而系统分析和控 制器设计可以应用图解法进行。
第五章 线性系统的频域分析法
频域分析法的由来：
工程技术上常采用傅里叶分析法来分析线性系统（《信 号与系统》）。
因为任何周期函数都可以展开为含有许多正弦分量或者余 弦分量的傅里叶级数；而任何非周期函数都可表示为傅里叶 积分，从而可将一个时间域的函数变换为频率域的函数。
在我们研究输入为非正弦函数的线性系统时，应用傅里叶 级数和傅里叶变换的这个性质，可以通过研究对各种频率正 弦波的响应特性来了解系统对非正弦输入参见的《响信应号特与性系统。》
特定情况下的传递函数。它和传递函数一样，反映了系统的内
在联系。这种通过传递函数确定频率特性的方法是求取频率特
性的分析法（解析法）。
X (t) XSint
2. 实验法 当系统已经建立，尚不知道其内部结构或传
递函数时，在YX系(统)的输入端输入一(正)弦信号
，
测出不同频率时系统稳态输出的振幅Y和相移φ，便可得到它
2.频率特性的物理意义明确。频域性能指标和时域性能指标 之间有相应的对应关系。
时域分析法与频域分析法比较：
时域分析法是分析控制系统的直接方法，比较直观、 精确。当往往需要求解复杂的微分方程。
频域分析法是一种图解分析法。它依据系统的又一种 数学模型——频率特性，利用频域指标和时域指标之间的 对应关系，间接地揭示系统的暂态特性和稳态特性，简单 迅速地判断某些环节或者参数对系统的暂态特性和稳态特 性的影响，并能指明改进系统的方向。也是一种工程上常 用的方复域法分。析法（根轨迹法），根轨迹法与时域分析法联系较为紧密。