8导数的计算及其几何意义 - 难 -讲义

导数的计算及其几何意义知识讲解一、导数的概念及其几何意义1.函数的平均变化率：定义：已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=- 10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x ∆≠时，商00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）的平均变化率． 注意：这里x ∆，y ∆可为正值，也可为负值．但0x ∆≠，y ∆可以为0．2.函数的瞬时变化率、函数的导数：定义：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．“当x ∆趋近于零时，00()()f x x f x x+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '．这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x+∆-'→∆”或 “0000()()lim ()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆”．注：0'()f x 是个数．3.可导与导函数：定义：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）． 注意：导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．4.导数的几何意义：内容：设函数()y f x =的图象如图所示：AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即000()()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆切线AD 的斜率． 由导数的几何意义可知，曲线()y f x =在点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．5.在点00(())x f x ，处的切线方程与过点()a b ，的切线方程 1）函数()y f x =在点00(())x f x ，处的切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-； 2）函数()y f x =过点()a b ，的切线方程 此时()a b ，可能是切点，也可能不是切点； 因此设切点为(())t f t ，，求出在(())t f t ，处切线方程()'()()y f t f t x t -=- 代入()a b ，，得()'()()b f t f t a t -=-，解出t ，再代入()'()()y f t f t x t -=-即可． 注意：①过点00(())x f x ，的切线方程与在点00(())x f x ，处切线方程不同，应按（2）的做法进 行；②函数()y f x =“在点00(())x f x ，处切线方程”与“在0x x =处的切线方程”表达相同的意思；③“函数()y f x =在点00(())x f x ，处切线方程是y b =”00'()0()f x f x b =⎧⇒⎨=⎩． 二、导数的运算1.导数公式表注意：211()'xx =-，=这两个经常在考试中碰到，可当成公式记忆． 2.复合函数的导数复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量的导数的乘积．即 设()()y f u u g x ==，，则''()'()x y f u g x =⋅．注意：为了便于理解，记0'limx x y dyy x dx ∆→∆==∆，（这里x d 表示x ∆趋于0的自变量的改变量，yd 表示x ∆趋于0的因变量的改变量），因此'x dy dy duy dx du dx ==⋅，即复合函数求导法则．3.导数的四则运算1）(()())()()f x g x f x g x '''+=+，即两个函数和的导数，等于两个函数的导数的和．2）(()())()()f x g x f x g x '''-=-，即两个函数差的导数，等于两个函数的导数的差． 3）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+，即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．4）2()()()()()(()0)()()f x g x f x f x g x g x g x g x '''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦，即两个可导函数商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方． 注意：①[()]''()C f x Cf x ⋅=，这里C 为常数； ②21'()[]'(()0)()()g x g x g x g x =-≠． ③12121212[()()()]''()()()()'()()()()'()n n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x =+++经典例题一．选择题（共10小题）1．（2018•海南三模）已知函数f（x）=﹣x4+2ax2+（a﹣1）x为偶函数，则f（x）的导函数f′（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=﹣x4+2ax2+（a﹣1）x为偶函数，则a﹣1=0，解得a=1，∴f（x）=﹣x4+2x2，∴f′（x）=﹣4x3+4x；设g（x）=f′（x），则g′（x）=﹣12x2+4，令g′（x）=0，解得x=±，∴当0＜x＜时，g′（x）＜0，当x＞时，g′（x）＜0；∴g（x）在x=时取得极大值为g（）=﹣4×+4×=＜2，∴导函数f′（x）的图象大致为选项A所示．故选：A．2．（2018•邵阳三模）已知函数f（x）=f′（﹣2）e x﹣x2，则f′（﹣2）=（）A．B．C．D．【解答】解：f′（x）=f′（﹣2）e x﹣2x；∴f′（﹣2）=f′（﹣2）•e﹣2﹣2•（﹣2）；解得．故选：D．3．（2017秋•高安市校级期末）已知f'（x）为f（x）的导函数，若f（x）=ln，且b dx=2f'（a）+﹣1，则a+b的最小值为（）A． B． C．D．【解答】解：由b dx=2f'（a）+﹣1，得到b（﹣x﹣2）|=+﹣1，即=1，且a，b＞0，所以a+b=（a+b）（）=；当且仅当时等号成立；故选：C．4．（2018春•薛城区期中）以下式子正确的个数是（）①（）′=②（cosx）′=﹣sinx ③（2x）′=2x ln2 ④（lgx）′=．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：根据题意，依次分析四个式子：对于①、=x﹣1，则（）′=（x﹣1）′=﹣，故①错误；对于②、（cosx）′=﹣sinx 正确；对于③、（2x）′=2x ln2，正确；对于④、（lgx）′=，故④错误；综合可得：②③正确；5．（2018春•福州期中）函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣lnx]=e+1，则方程f（x）﹣f′（x）=e（其中e为自然对数的底数）的解所在的区间是（）A．（0，） B．（，1） C．（1，2） D．（2，3）【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣lnx为定值，设t=f（x）﹣lnx，则f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，即lnt+t=e+1，解得：t=e，则f（x）=lnx+e，f′（x）=，∴f（x）﹣f′（x）=lnx+e﹣=e，即lnx﹣=0，则方程f（x）﹣f′（x）=e的解可转化成方程lnx﹣=0的解，令h（x）=lnx﹣，而h（2）=ln2﹣＞0，h（1）=ln1﹣＜0，∴方程lnx﹣=0的解所在区间为（1，2），∴方程f（x）﹣f′（x）=e的解所在区间为（1，2），6．（2017秋•定州市校级月考）设f′（x）为定义在R*上的函数f（x）的导函数，且＞恒成立，则（）A．3f（4）＞4f（3）B．3f（4）＜4f（3）C．3f（3）＞4f（4）D．3f （3）＜4f（4）【解答】解：＞，即＞0设g（x）=，则g′（x）=，当x＞0时，g′（x）＞0恒成立，即g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（4）＞g（3）∴＞∴3f（4）＞4f（3），故选：A．7．（2013春•嘉兴期末）设函数f（x）的导数f′（x），且f（x）=f′（）cosx+sinx，则f′（）=（）A．1 B．0 C．D．【解答】解：由f（x）=f′（）cosx+sinx，得f′（x）=﹣f′（）sinx+cosx，则f′（）=﹣f′（）•sin+cos，解得f′（）=，所以f′（）=﹣f′（）sin+cos=﹣+=0，故选：B．8．（2013春•抚顺县期中）在等比数列{a n}中，a1=2，a4=8，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a4），则f′（0）=（）A．0 B．20C．24D．28【解答】解：在等比数列{a n}中，a1=2，a4=8，∴a1a4=a2a3=16．函数f（x）展开式是一个关于x的多项式，共有9项，x的幂指数最高为5，x 的幂指数最低为1，且含x的系数为a1a2 (4)故f′（0）=a1a2a3a4==162=28，故选：D．9．（2016•海南校级模拟）已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且（a＞0，且a≠1），f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），，则a的值为（）A．2 B．C．D．【解答】解：∵又∵f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），＜∴为减函数∴0＜a＜1∵即解得故选：B．10．（2015•锦州一模）已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a x•g（x）（a＞0，且a≠1），，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），∴f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，∴＞，从而可得单调递增，从而可得a＞1，∵，∴a=2．故=2+22+…+2n=＞．∴2n+1＞64，即n+1＞6，n＞5，n∈N*．∴n=6．故选：A．二．填空题（共4小题）11．（2018•焦作四模）已知，则f'（1）=．【解答】解：f′（x）=lnx+x﹣，令x=1，则f′（1）=1﹣f′（1），解得f′（1）=，故应填．12．（2018•岳阳二模）已知f（x）=f（4﹣x），当x≤2时，f（x）=e x，f′（3）+f （3）=0．【解答】解：由f（x）=f（4﹣x）可得，函数f（x）的图象关于直线x=2对称，当x≤2时，f（x）=e x，f′（x）=e x，∴f（3）=f（1）=e，f′（3）=﹣f′（1）=﹣e，故f′（3）+f（3）=0，故答案为：0．13．（2017秋•黄陵县校级期末）已知f（x）=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x ﹣5），则f′（1）=24．【解答】解：∵f（x）=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5），∴令g（x）=（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5），则f（x）=（x﹣1）g（x）∴f′（x）=（x﹣1）′g（x）+（x﹣1）g′（x）=g（x）+（x﹣1）g′（x），则f′（1）=g（1）+（1﹣1）g′（1）=g（1），∵g（1）=（1﹣2）（1﹣3）（1﹣4）（1﹣5）=24，∴f′（1）=g（1）=24，故答案为：24．14．（2018春•菏泽期中）如图，函数y=f（x）的图象在点P（4，f（4））处的切线方程是y=﹣2x+9，则f（4）+f′（4）的值为﹣1．【解答】解：由图可知，f′（4）=﹣2，且f（4）=﹣2×4+9=1，∴f（4）+f′（4）=1﹣2=﹣1．故答案为：﹣1．三．解答题（共4小题）15．（2012•桂林一模）已知函数，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）当a=1，且x≥2时，证明：f（x﹣1）≤2x﹣5．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，．又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，所以f'（1）=a+1=2，即a=1．（Ⅱ）由于．当a≥0时，对于x∈（0，+∞），有f'（x）＞0在定义域上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．当a＜0时，由f'（x）=0，得，．当，时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当，时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．（Ⅲ）当a=1时，x∈[2，+∞）．令．．当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）单调递减．又g（2）=0，所以g（x）在（2，+∞）恒为负．所以当x∈[2，+∞）时，g（x）≤0．即．故当a=1，且x≥2时，f（x﹣1）≤2x﹣5成立．16．（2018•江苏）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．【解答】解：（1）证明：f′（x）=1，g′（x）=2x+2，则由定义得，得方程无解，则f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）f′（x）=2ax，g′（x）=，x＞0，由f′（x）=g′（x）得=2ax，得x=，f（）=﹣=g（）=﹣lna2，得a=；（3）f′（x）=﹣2x，g′（x）=，（x≠0），由f′（x0）=g′（x0），假设b＞0，得b=﹣＞0，得0＜x0＜1，由f（x0）=g（x0），得﹣x02+a==﹣，得a=x02﹣，令h（x）=x2﹣﹣a=，（a＞0，0＜x＜1），设m（x）=﹣x3+3x2+ax﹣a，（a＞0，0＜x＜1），则m（0）=﹣a＜0，m（1）=2＞0，得m（0）m（1）＜0，又m（x）的图象在（0，1）上不间断，则m（x）在（0，1）上有零点，则h（x）在（0，1）上有零点，则存在b＞0，使f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S”点．17．（2017秋•定边县校级期末）求下列函数的导数：（1）y=x2（lnx+sinx）；（2）（3）（4）y=2 x5+3 x4﹣4 x3+7．【解答】解：（1）函数的导数y′=2x（lnx+sinx）+x2（+cosx）=2xlnx+2xsinx+x+x2cosx；（2）y′==，（3）y′=（）lnx+=，（4）y′=10 x4+12 x3﹣12 x2．18．（2017春•诸暨市校级期中）求下列函数的导数．（1）；（2）y=（2x2﹣1）（3x+1）；（3）．【解答】解（1）．（2）因为y=（2x2﹣1）（3x+1）=6x3+2x2﹣3x﹣1，所以y'=（6x3+2x2﹣3x﹣1）′=（6x3）′+（2x2）′﹣（3x）′﹣（1）′=18x2+4x﹣3．（3）函数y=sin（x+1）看作y=sinu和u=x+1的复合函数，，同样的可以求出的导数，所以题中函数的导数为．。