固体物理第三章晶格振动与晶体的热力学函数

第三章 晶格振动与晶体的热力学函数

一、 填空体

1. 若在三维空间中，晶体由N 个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的 振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。

2. 体积为V 的ZnS 晶体，如果晶胞的体积为Ω，则晶格振动的模式书为24N/Ω 。

3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 3。

4. 某三维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6N 支光学波。

5. 二维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 2。

6. 一维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 。

7. 三维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 4。

8.二维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 3。

9. 一维绝缘体晶体的低温平均内能温度T 的关系为U~T 2。 10.绝缘体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 。

11.导体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 和 价电子热运动动能 。

12. 某二维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有2个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 4N 支，其中 2N 支声学波，包括 N 支横声学波， N 支纵声学波；另有 2N 支光学波。

13. 某一维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 3N 支，其中 N 支声学波，包括 N 支横声学波， 0 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 14.晶格振动的元激发为 声子 ，其能量为

ω ，准动量为 q

。

15德拜模型的基本假设为：格波作为弹性波、 介质是各向同性介质。 16.对三维体积为V 的晶体，波矢空间中的波矢密度为：

3

)

2(V

π ；对二维面积为S 的晶体，波矢空间中的波矢密度为：2

)2(S π ；对一维长度为L 的晶体，波矢空间中的波矢密度为：

π

2L 。 二、基本概念 1. 声子

晶格振动的能量量子。 2.波恩-卡门条件

即周期性边界条件，设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。 3.波矢密度

波矢空间单位体积内的波矢数目，三维时为3

c

)2(V π，Vc 为晶体体积。

4. 模式密度

单位频率间隔内模式数目。 5.晶格振动。

答：由于晶体内原子间存在着相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波，因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动就叫晶格振动。

6.简谐近似

答：当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。这个近似即称为简谐近似。

7.格波

答：晶格中的原子振动是以角频率为ω的平面波形式存在的，这种波就叫格波。

三、简答题

1.试分析爱因斯坦模型和德拜模型的特点及局限性.

特点：

1）爱因斯坦模型假设晶体中所有原子都以相同的频率作振动；

2）德拜模型的基本思想是把格波作为弹性波来处理。

局限性：

1）在爱因斯坦的假设下，解释了在甚低温时温度的变化趋势，但是不能解释为什么晶体热熔随温度T3的速度变化，这是因为，爱因斯坦模型只考虑了光学支格波，忽略了声学支格波，而在甚低温决定晶体热容的主要是长声学波。爱因斯坦模型过于简化。

2）德拜模型不仅能够很好解释在甚低温时晶体热容随温度的变化趋势，同时得出了在甚低温下，热容与T3成正比的规律。但是德拜模型忽略了晶体的各向异性，即光学波和高频声学波对热容的贡献。

2. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别?

答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.

3. 晶体中声子数目是否守恒?

??答：频率为的格波的(平均) 声子数为

,

即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量.

4. 温度一定，一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多?

答：频率为的格波的(平均) 声子数为

.

因为光学波的频率比声学波的频率高, ( )大于( ), 所以在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.

5. 对同一个振动模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低时的声子数目多?

????答：设温度TH>TL, 由于( )小于( ), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目.

6. 高温时, 频率为的格波的声子数目与温度有何关系?

????答：温度很高时, ?, 频率为的格波的(平均) 声子数为

.

可见高温时, 格波的声子数目与温度近似成正比. 7. 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化?

答：长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此, 长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化.

8. 试定性给出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度。 答：由一维单原子链的色散关系2

sin

2

qa

m

β

ω

= 可求得一维单原子链中振动格波的相速度为2

/2sin

qa

qa m

a

q

p β

ω

υ==

群速度为

9. 周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q 的取值将会怎样？

答：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为Na 的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j 个原子和第Nt+j 个原子的运动情况一样，其中t ＝1，2，3…。

引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q 只能取一些分立的不同值。如果晶体是无限大，波矢

q 的取值将趋于连续。

10. 下图表示一维双原子复式晶格振动的两支格波的色散关系。请简要分析并判断：在长波极限下，图中哪一条曲线反映了初基元胞内两个原子的质心振动？图中哪一条曲线反映了初基元胞内两个原子的相对振动？ 答:

上半部分曲线表示光学支，光学支格波反映了晶体中分子内两个原子的相对振动；下半部分曲线表示声学支，声学支格波反映了晶体中分子的质心振动。

由N 个原胞所组成的复式三维晶格，每个原胞内有r 个原子，试问晶格振动时能得到多少支色散关系？其波矢的取值数和模式的取值数各为多少？

答：共有3r 支色散关系，波矢取值数=原胞数N ，模式取值数=晶体的总自由度数。

11.对于初基晶胞数为N 的二维晶体，基元含有四个原子，声学支震动模式和光学支震动模式的数目各为多少？ 答：2N ，6N 。

12.在三维晶体中，格波独立的点数N ，格波个数，格波总支数，声学波支数分别等于多少？

答：在三维晶格中，格波独立的点数是，格波个数有3Nn ，格波总支数是3nN ，对每个波矢q ，有3支声学波，（3n-3）支光学波。

13.试述长光学波与长声学波的本质区别?

答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数。 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复