流体力学：第5章 势流理论-上

5.4.1 均匀流和点源的叠加
m V0 r cos ln r 2 W ( z ) V0 z m ln z 2
+
dW m x m y V0 i dz 2 x 2 y 2 2 x 2 y 2
5.4.1 均匀流和点源的叠加 流体速度：
u V0
m x m cos V 0 2 x 2 y 2 2 r m y m sin v 2 2 2 x y 2 r
2 2 2
vb
— 物面运动速度
v
— 流体质点的速度
n — 物面的单位外法向量
v n vb n
（on S）
n
F F
vb n n
5.1.1 基本方程——Laplace Equition
v n vb n
F v b F （on S）
m xb x b u V0 2 ( x b) 2 y 2 ( x b) 2 y 2 m y m y v 2 2 2 2 2 ( x b) y 2 ( x b) y
5.4.2 均匀流和一对等强度源汇的叠加
驻点位置：
4)
dw Ql I m dz l dz
W ( z) c1 ic2
c1
c2
5.2.1 复势的可叠加性 解析函数 的线性组合
W1 ( z) 1 i 1
W2 ( z) 2 i 2 ,
W ( z) W1 ( z) W2 ( z)
=0 时：
V0 x, V0 y, W ( z) V0 z
5.3.2 平面点源、点汇 (source and sink)
源强：源点注入流场的体积流量 m。m 0 点源，m 0 点汇。 点源位于（0，0）：
m 2 rvr
vr
m , 2 r
v 0
m vr d r v r d ln r 2
W i ( i ln r ) ln z 2 2
v

Γ顺时针方向，若逆时针，上式加负号。
不难验证，上述基本解满足 Laplace 方程和相应的无穷远条件的。 另外，在源、涡和偶极的位置上存在奇异性（奇点）。可见，点源 （汇）、偶极以及点涡都是奇点，均匀流是一个特殊的奇点。
作业
流体力学 第5章 势流理论 (Chapter 5. Potential Flow Theory)
本章内容： 研究不可压理想流体无旋运动流场的 速度分布、压力分布及作用于物体上的力。
Background：
Aviation, ship & ocean eng. water waves.
5.1 势流问题的基本方程和边界条件
v d r vr r d
W ( z)
y
m 2
r
x
m m m ln r i ln z 2 2 2
ψ=const φ=const
5.3.2 平面点源、点汇 (source and sink)
点源位于（x0，y0）：

m ln ( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2 2
y
V V0e
i
u V0 cos , v V0 sin
o
平板
V0
u d x v d y V0 x cos V0 y sin
v d x u d y V0 x sin V0 y cos

x
W ( z) V0 z cos iV0 z sin V0 ze i
R( M )
5.1.2 边界条件(Boundary Condition)
——速度势在流体域边界面上满足的条件
1)物面边界条件：物面不可穿透
n
V0
S ： F ( x, y, z, t ) 0
F F F i j k x y z F F F x y z
x y
y x
(C-R 条件)
5.2.1 复势与复速度（复平面）
1)复势函数： W ( z) 解析函数
( x, y) i ( x, y)
平面势流
2)复速度（导数）与流体速度的关系： d W W W i i u iv Ve i dz x (iy ) x x y y

W ( z)
M 2z
位于（0，0）偶极：
M x M cos 2 x 2 y 2 2 r
M y M sin 2 x 2 y 2 2 r


W ( z)
M 2z
5.3.4 平面点涡 (vortex)
位于（0，0）点涡：
2 ln r 2
dW u iv dz
z x iy
dW u2 v2 v V dz
5.2.1 复势与复速度（复平面）
3)复速度的环路积分与速度环量和流量的关系：

l
dw dz dw d id l iQl l l dz
dw l Re l dz
仍然是解析函数，仍然代表某一种流动的复势。简单 流动组合成复杂流动——叠加法
5.3 平面势流的基本解
目的：求解最简单的流动，为解决复杂势流奠定基础。 内容：均匀流、点源、点涡、偶极。 方法：利用已知流动的特征，“凑”。
V0
m

M
5.3.1 均匀流 (uniform stream)
≠ 0 时：
y x
V0
m
2 a
均匀流和源叠加可模拟绕弹形物体的流动。调整源强m和速度V0， 改变流线的形状。
5.4.1 均匀流和点源的叠加 流场中压力分布
p ( p0 1 2 1 v0 ) V 2 2 2
压力系数
V 2 p p0 cp 1 v2 1 2 0 v0 2
z
解 : 取静坐标系o - xyz
2 0 （在流体中）
内边界条件：小球表面方程为
o
y
x
Ｖ(t) x0
F ( x x0 ) 2 y 2 z 2 a 2
( x x0 )V (t ) ( x x0 ) y z 0 x y z
外边界条件：大球面方程为 F x 2 y 2 z 2 R 2 ，得
而流体从无穷远处以-V0 流来 —— 绕流问题。
v 0
( R )
5.1.3 初始条件（initial condition)
初始时刻 t 0 速度势 (或 )在流 体域内或边界上满足的条件。
例5-1
半径为R 的固定大球壳中充满不可压缩理想流体，半径为a 的小球以速度V(t) 在其中运动。试建立速度势定解问题。
F F 0 t
若物面静止不动： v b 0 ，则物面边界条件简化为
0 n
F F F 0 （ on S ） x x y y z z
2) 无穷远边界条件
（1）大地坐标系：
v0
( R )
0
（2）随体坐标系：若物体以V0 运动，则问题转化为物体不动，
x y z 0 x y z
5.1.4 势流问题的求解方法
定解问题： 2 0
（in fluid） （on S）
vb n n
寻求速度势满足边界条件 和初始条件的Laplace 方程 的解 ( x, y, z; t ) 。
0
解析解：简单边界问题。
位于(x0，y0），沿 -x 轴方向：点源
( x0 , y0 ) ，点汇 ( x0 x0 , y0 )
m m 2 2 ln{( x x0 ) ( y y0 ) } ln{[ x ( x0 x0 )]2 ( y y0 ) 2} 4 4

x x0 M 2 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
驻点位置
m x a, y 0 或 2V0
r a
5.4.1 均匀流和点源的叠加 过驻点(a, 0)流线方程：
v0 y
m C v 0 a 2
y a( )
y a
。
r 时， 0 ，流线Ⅰ在无穷远处的半宽为
5-4
W ( z ) (1 i ) z
补充题:已知复势为:
z 1) w ( z ) (1 i ) ln z4
试分析以上流动的组成,绘出流线图.
5.4 平面势流基本解的叠加
1. 由基本解构造复杂流动的解 —— 基本解（奇点）叠加法。 2. 基本解叠加 代表何种物理流动？
sin 2 sin surface
2
5.4.2 均匀流和一对等强度源汇的叠加
x方向均匀流
+
等强度源汇：源(-b,0）、汇(b,0）
2b
＋
V0
m
m
＋
V0 x
m m ln ( x b) 2 y 2 ln ( x b) 2 y 2 2 2
势流问题的数学描述—— Mathematical Model 5.1.1 基本方程——Laplace Equition
v 0 v 0 v
2 0 （in fluid）
Laplace方程是线性方程。要使 v 解唯一，需给出边界条件、初 始条件。
p( x, y, z, t )
( R )

v
p
F
奇点叠加法；保角变换法（平面流）。 数值解：复杂边界问题。
CFD — Computational Fluid Dynamics
5.2 复势（complex potential ）
借助复变函数数学工具解平面势流问题。
平面势流:φ和ψ都是调和函数， 2 0, 2 0，且满足

y y0 m arcg 2 x x0
W ( z)
m ln( z z 0 ) 2
5.3.3 平面偶极 (dipole)
偶极强度：设强度为m 的源和汇相距 x0
x0 0
lim m x0 M
x
+m
-m
这对源汇构成一新的奇点为偶极，方向由汇指向源。 偶极既有大小，又有方向。
若物面运动：对 F ( x, y, z, t ) 0 求全（物质）导数
dF F F dx F dy F dz F v b F 0 dt t x dt y dt z dt t
F F F F 0 t x x y y z z
x m 2b b2 , 2 v0 y0
过驻点流线： m 1 2by vo y tg ( 2 )0 2 2 2 x y b
Baidu Nhomakorabea
V0
o
＋
y
x
2v0 y 2by tg ( ) 2 m x y 2 b2
点源推开流线，点汇收回流线。
将流线替换成物面，该解模拟流体绕卵形体的外部流动。
5.4.3
沿轴正向均匀流与偶极的叠加
偶极位于（0，0），方向沿 - 轴：
M cos 2 r M sin V0 r sin 2 r
V0 r cos
W ( z ) V0 z
M 2z
速度分布： vr V0 cos (1
x0 0
M 1 y y0 M W ( z) 2 2 2 z z 0 2 ( x x0 ) ( y y0 )
5.3.3 平面偶极 (dipole)
位于（0，0）偶极：

M x M cos 2 x 2 y 2 2 r
M y M sin 2 x 2 y 2 2 r