2020届浙江省杭州二中高三3月月考数学试题

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2020届浙江省杭州二中高三3月月考数学试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1．已知集合M ＝{x |1≤x ≤3}，N ＝{x |x >2}，则集合M ∩(∁R N )等于( )
A ．{x |1≤x ≤2}
B ．{x |x ≥1}
C ．{x |1≤x <2}
D ．{x |2<x ≤3}
2．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为( )
A.35
B.4
5 C.5
4 D.5
3
3．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，若a >b >1，则一定有( )
A ．log a x >log b y
B ．sin a x >sin b y
C ．ay >bx
D ．a x >b y
4．将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π
3个单位长度，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为(
) A.π
12 B.π
6 C.π
3 D.5π
6
5．函数f (x )＝e |x －1|－2cos(x －1)的部分图象可能是( )
6．随机变量ξ的分布列如下：
ξ －1 0 1
P a b c
其中a ，b ，c 成等差数列，则D
A.23
B.59
C.29
D.34 7．已知单位向量e 1，e 2，且e 1·e 2＝－12，若向量a 满足(a －e 1)·(a －e 2)＝54
，则|a |的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤2－32，2＋32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－12，2＋12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2＋12 D.⎝
⎛
⎦⎥⎤0，2＋32 8.在等腰梯形ABCD 中，已知AB ＝AD ＝CD ＝1，BC ＝2，将△ABD 沿直线BD 翻折成△A ′BD ，如图，则直线BA ′与CD 所成角的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π3 9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ 2x －x 2，0≤x <2，2f (x －2)，x ≥2， g (x )＝kx ＋2，若函数F (x )＝f (x )－g (x )在[0，＋∞)上只有
两个零点，则实数k 的值不可能为( )
A ．－23
B ．－12
C ．－34
D ．－1 10．已知数列满足，a 1＝1，a 2＝12
，且[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *，记T 2n 为数列{a n }的前2n 项和，数列{b n }是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2n ＋1b n ·1b n
<1成立的最小整数n 为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)
11．若⎝ ⎛⎭
⎪⎫3x －1x n 的展开式中所有项的系数的绝对值之和为64，则n ＝________；该展开式中的常数项是____________．
12．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x －2y ＋1≤0，
x ＋y ≤m ，若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则m 的取值范
围为_______，如果目标函数z ＝2x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.
13．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是23，则a ＝________，该几何体的表面积为________．
14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 若a ＝7，c ＝3，A ＝60°，则b ＝________，△ABC 的面积S ＝________.
15.如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，中心位置4个点在某圆内，其余12个点在圆外．从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有____个．
16．若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是________．
17．设点P 是△ABC 所在平面内一动点，满足CP →＝λCA →＋μCB →，3λ＋4μ＝2(λ，μ∈R)，|PA →|＝|PB →|＝|PC
→|.若
|A B →
|＝3，则△ABC 面积的最大值是________．
三、解答题(本大题共5小题，共74分．)
18．(14分) 已知函数2()3sin cos cos (0)f x x x x ωωωω=->的最小正周期为π， (1)求ω的值；
(2)若07[,]412x ππ∈且031()32
f x =-，求0cos 2x 的值。

19．(15分)如图，已知四边形ABCD 是正方形，AE ⊥平面ABCD ，PD ∥AE ，PD ＝AD ＝2EA ＝2，G ，F ，H 分别为BE ，BP ，PC 的中点．
(1)求证：平面ABE ⊥平面GHF ；
(2)求直线GH 与平面PBC 所成的角θ的正弦值．
20．(15分)已知数列{a n }满足：a 1＝12
，a n ＋1＝1e n a －(n ∈N *)．(其中e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…) (1)证明：a n ＋1>a n (n ∈N *
)；
(2)设b n ＝1－a n ，是否存在实数M >0，使得b 1＋b 2＋…＋b n ≤M 对任意n ∈N *成立？若存在，求出M 的一个值；若不存在，请说明理由．
21．(15分)如图，O 为坐标原点，点F 为抛物线21:2,(0)C x py p =>的焦点，且抛物线1C 上点P 处的切
线与圆22:1O x y +=相切于点Q,
（1）当直线PQ 的方程为20x y --=时，求抛物线1C 的方程；
（2）当正数p 变化时，记12,S S 分别为,FPQ FOQ ∆∆的面积， 求12
S S 的最小值。

22．(15分)已知函数f (x )＝e x －e x sin x ，x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2(e 为自然对数的底数)． (1)求函数f (x )的值域；
(2)若不等式f (x )≥k (x －1)(1－sin x )对任意x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2恒成立，求实数k 的取值范围； (3)证明：e x －1＞－12(x －32
)2＋1.
杭州二中高三三月月考数学卷参考答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1．答案 A
2．答案 C
3．答案 D
4．答案 B
5．答案 A
6．答案 A
7．答案 B
8.答案 A
9．答案 A
10．答案 C
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11．答案 3 －27
12．答案(2，＋∞) 4
13．答案 1 3＋ 5
14．答案1或2 33
4
或
33
2
15. 答案312 16．答案 3 17．答案9
解析由3λ＋4μ＝2，得3
2
λ＋2μ＝1，所以CP→＝λCA→＋μCB→＝
3
2
λ·
2
3
CA→＋2μ·
1
2
CB→.
设23CA →＝CM →，12
CB →＝CN →， 则由平面向量基本定理知点P ，M ，N 在同一直线上，又|PA →|＝|PB →|＝|PC →|，
所以P 为△ABC 的外心，且∠ACB 为锐角，PN ⊥BC ，由此可作图，如图所示，
设∠ACB ＝θ，CN ＝x ，则BC ＝2x ，CM ＝x cos θ，CA ＝3x 2cos θ
， 所以S △ABC ＝12AC ·BC sin θ＝12·3x 2cos θ·2x ·sin θ＝3tan θ2
x 2， 在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos θ，即4x 2＋9x 2
4cos 2θ－2·2x ·3x 2cos θ·cos θ＝9， 所以x 2＝36cos 2θ9－8cos 2θ，所以S △ABC ＝3tan θ2·36cos 2θ9－8cos 2θ＝54sin θcos θ9sin 2θ＋cos 2θ＝54tan θ9tan 2θ＋1＝549tan θ＋1tan θ≤9.
当且仅当9tan θ＝
1tan θ，即tan θ＝13时等号成立，所以△ABC 面积的最大值是9. 三、解答题(本大题共5小题，共74分．)
18．。