二次函数的四种表达式求法推导

二次函数的四种表达式求法推导
（1）如果二次函数的图像经过已知三点，则设表达式为c bx ax y ++=2
，把已知三点坐标代入其中构造三元一次方程组求a 、b 、c 。

（2）二次函数顶点式：如果二次函数的顶点坐标为（h ，k ），则二次函数的表达式为：
k h x a y +-=2)( 推导如下：
a b ac a b x a a b ac a b x a a c
a
b a b x a a
c
a b a b x a b x a a c
x a b x a c
bx ax y 44)2(]44)2[(]
4)2[(]
)2()2([)(2
22
2
222222222-+
+=-++=+-+=+-++=++
=++= 则a
b a
c k a b h 44,22
-=-=
顶点式的变形：
设二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的图像交x 轴于点A ),(1o x 和B )0,(2x ，则a
b x x -
=+21 ，a
c x x =
•21 点A 、B 的距离为d ，
a
ac b a ac b a c a b x x x x x x x x d 444)(4)()(22222
12212
1212-=
-=--=•-+=-=-= 2
2222
22222222224
1
)2(]41)2[(]44)2[(]4)2[(])2()2([)(ad a b x a d a b x a a
ac
b a b x a a
c a
b a b x a a
c
a b a b x a b x a a c x a b x a c bx ax y -+=-+=--+=+-+=+-++=++
=++= 已知二次函数与x 轴两个交点间的距离d ，则设二次函数的表达式为：)]()[(00d x x x x y +--= （3）二次函数两根式：如果二次函数的图像与x 轴交于点)0,()0,.(21x x 和，则二次函数的表达式为：
))((21x x x x a y --= 推导如下：
设二次函数的图像交x )0(2
≠++=a c bx ax y 于点),(1o x 和)0,(2x ， 则21,x x 和是一元二次方程
)0(02≠=++a c x ax 的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系得：a b x x -=+21 ，a
c
x x =•21
所以，
)
)((])([)
(212121222x x x x a x x x x x a a
c
x a b x a c
bx ax y --=•++-=++=++=
（4）二次函数对称点式：
如果二次函数的图像过点),(),(21m x m x 和（它们关于抛物线对称轴2
2
1x x x +=对称），则可以得到二次函数的表达式对称点式：)0())((21≠+--=a m x x x x y ，推导如下：
方法1 二次函数的图像过点),(),(21m x m x 和，那么21x x 和是x 的一元二次方程
m c bx ax =++2（即02=-+m c bx ax ）的两根，则有 ))((212x x x x a m c bx ax --=-++
∴))((212
m x x x x a c bx ax +--=++ 即 m x x x x a y +--=))((21
方法2 二次函数c bx ax y ++=2
的图像经过点),(),(21m x m x 和，则有
⎩
⎨⎧++=++=c
bx ax m c bx ax m 12122
2 解得
{
)(2121x x a b m
x ax c +-=+=
代入c bx ax y ++=2
中，得
m
x x x x a m
x x x x x a m
x ax x x a ax y +--=+++-=+++-=))((])([)(212121221221。