模糊数学2009-4(分布函数、贴近度)
模糊数学2009-4(分布函数、贴近度)讲解
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确定隶属函数的例子
模糊概念：“年轻人” 进行统计，发现曲线与柯西分布的
偏小型相似
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确定三个参数
a = 25 β= 2 α =？
考虑最模糊的点（30岁，隶属度应该 是0.5）
α =1/25
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课上作业
在一个荧光屏上，用一个光点的上 下运动快慢代表15种不同的运动速 度，记V={1,2,…,15}，主试者随机 给出15种速率，让被试者按 “快”“中”“慢”进行分类，每 种速率共给出320次，判断结果如下 表：
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3. 抛物型（偏大型）
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22
3.抛物型（中间型）
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4.正态分布
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4.正态分布（中间型）
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4.正态分布（偏小型）
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4.正态分布（偏大型）
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4.正态分布（另一种中间型）
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5.柯西分布
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5.柯西分布（中间型）
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5.柯西分布（偏小型）
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5.柯西分布（偏大型）
A 0.5 0.8 0.2 0.6 1 1 1 2 3 4 56
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4
模糊数学 (4)
∨ ( A B) = A
B∈F (U )
∧ ( A B) = A
∧
性质4 性质 A ⊆ B ⇒ A B = A A B=B ∧ 1 c 1 性质5 性质 c A A ≥ A A ≤ 2 2 性质6 性质 A ⊆ B ⇒ A C ≤ B C 且 A C≤B C
∧ ∧
由性质1有A B ≤ A ∧ B ≤ A
a b a
b
（4）算术平均最小贴近度 若U={u1,u2,…,un}，则 n
N ( A, B ) =
i =1 n
2∑ ( A(u i ) ∧ B (u i ))
∑ A(u ) + ∑ B(u )
i =1 i i =1 i
n
当U=[a,b]时，有
N ( A, B ) =
2∫ ( A(u ) ∧ B(u ))du
模糊数学及其应用
2010年 2010年5月
模糊模式识别
模式识别基本概念 模式识别的原理 模糊集的贴近度 模糊模式识别的直接方法最大隶属原则 模糊模式识别的间接方法择近原则 多特征模糊模式识别 模糊模式识别的应用
3.1 模式识别基本概念
模式指事物的标准形式、样本。 模式识别是将待识别的对象特征信息与给 定样本特征信息比较、匹配，并给出对象所 属模式类的判断。 读远方家人亲笔信 熟悉一个朋友的面孔 公安人员识别指纹 军用卫星遥感图像识别 人类基因图谱识别
3.2 模式识别的原理
3.2 模式识别的原理
3 特征分析部分 特征分析包括特征标定、特征选择和特征提取三 部分。 特征标定是提出原始特征值的过程，这项工作通 常由专门技术人员根据特定传感器特性和实际测 到的结果进行标定。 特征选择是从原始的p个特征值中选择s个特征值 构成最佳子集的过程。必须选择那些反映待识别 对象的各种最重要而又本质的、可区别于它事物 的特征作为最佳特征子集。
模糊数学
模糊性与随机性的区别
事物 事物分确定性现象与非确定性现象
- 确定性现象：指在一定条件下一定会发生的现象
- 非确定性现象分随机现象与模糊现象
* 随机性是对事件的发生而言，其事件本身有着明确的含义， 只是由于发生的条件不充分，事件的发生与否有多种可能性 * 模糊性是研究处理模糊现象的，它所要处理的事件本身是模 糊的
A : U {0,1} u A ( u),
其中
1, u A A ( u) 0, u A
函数 A 称为集合A的特征函数。
Ⅱ、模糊集合及其运算
美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描述的 “非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数 概念并非都是“非此即彼”那么简单，而概念的差异常以 中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼”的模糊现象。
ab ab a b ,a b 1 ab 1 (1 a )(1 b)
模糊集的并、交、余运算性质 幂等律：A∪A = A， A∩A = A； 交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A； 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)， (A∩B)∩C = A∩(B∩C) ； 吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩( A∪B)= A； 分配律：(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)； (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)； 0-1律： A∪U = U，A∩U = A； A∪ = A，A∩ = ； 还原律： (Ac)c = A ；
模糊集合及其运算
u0 是固定的，而 A* 在随机变动。 特点：在各次试验中，
模糊统计试验过程：
（1）做n次试验，计算出
x 140 A( x) 190 140
也可用Zadeh表示法：
第四章 模糊数学
（可多位专家取其平均值，如体操比赛打分） 3 描点( xi， A ( xi ))，作出 A ( xi )的曲线。
例2：考虑年龄论域X 上的模糊子集A 青年人的年龄， 请专家评定结果如表：
0-14 0
15 18-28 30 35 38 40 45-200 0.5 1 0.9 0.6 0.5 0.3 0
A ( x4 ) 0，则有：
1 0.6 0.1 0 A （最后一项可不写） x1 x2 x3 x4
3、隶属函数的确定 这里介绍两种常用的确定方法，以R1中的模糊 集为例： （1）专家评定法（德尔菲法） 步骤： 1 给定论域X 及其模糊子集A； 2 适当选取X 中若干点xi，请专家评定其 A ( xi )；
第四章 模糊数学(Fuzzy Maths)
第一节 模糊集(Fuzzy Sets)
一、模糊现象与模糊集
有些概念，其外延是清楚的，如男人、女人。
而有些概念，其外延不很清楚，如青年人、老年人。 于是我们有如下定义： 模糊集—边界不清楚的集合。 例如：
雨天是清晰集（普通集），而晴天是模糊集；
青年人、老年人也是模糊集。 事实上，“青年”变为“老年”是一个连续的 过程。因此，处于中间过渡阶段年龄的人，自然就 具有“亦此亦彼”的属性。我们把这种属性称为：
书159～161页给出了一个模糊统计的例子。 有时候我们得到的 A ( x)的图形是不规则的，很难
写出其精确的数学表达式。有时为了计算、编程的需 要，我们希望得到 A的函数表达式，可根据估计的 A
进行适当修正，得到与其最接近的函数表达式。下面 介绍几种常见的模糊分布曲线： 4、几种常见的 A ( x)类型（论域为R1）：
模糊数学模型
第十九章 模糊数学方法模糊数学是研究和处理模糊现象的一种数学方法，它也同其它的学科一样，主要是来源 于实际的需要．在社会实践中，模糊概念（或现象）无处不在．例如：在日常生活中的好与坏、大与小、厚与薄、快与慢、长与短、轻与重、高与低、贵与贱、软与硬、深与浅、美 与丑、黑与白、早与晚、生与熟、动与静、穷与富、疏与密等等都包含着一定的模糊概念．随着科学技术的发展，各学科领域对与这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，因此，这就要求人们研究和处理这些模糊概念（或现象）的数学方法．模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科．统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象．我们知道，在各科学领域中，所涉及到的各种量总是可以分为确定性的和不确定性的两大类，模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法．实际中，我们处理现实对象的数学模型可以分为三大类：第一类是确定性的数学模型，即模型的背景具有确定性，对象之间具有必然的关系．第二类是随机性的数学模型，即模型的背景具有随机性和偶然性．第三类是模糊性模型，即模型的背景及关系都具有模糊性．我们这里所说的模糊数学建模方法就是针对实际中具有模糊性的问题，建立数学模型所需要的模糊数学的理论和知识．19.1 模糊数学的基本概念19.1.1 模糊集与隶属函数１． 模糊集与隶属函数的概念一般说来，我们对通常集合的概念并不陌生，如果将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象全体构成的集合为U ，称之为论域，在此,总是假设问题的论域是非空的．如果U 是论域，则U 的所有子集组成的集合称为U 的幂集，记作)(U F ．例如：},,{c b a U =，则{}},,}{,{},,{},,{},{},{},{,)(c b a c b c a b a c b a U F Φ=．为了与模糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集．对于论域U 的每一个元素U x ∈和某一个子集U A ⊂，有A x ∈，或A x ∉，二者有且仅有一个成立．于是，对于子集A 定义映射{}1,0:→U A μ， 即⎩⎨⎧∉∈=A x Ax x A ,0,1)(μ则称之为集合A 的特征函数，集合A 可以由特征函数唯一确定．所谓论域U 上的模糊集A 是指：对任意U x ∈总以某个程度])1,0[(∈A μ属于A ，而非A x ∈或A x ∉．也可以将普通集的特征函数的概念推广到模糊集，即模糊集的隶属函数．定义19.1 设U 是一个论域，如果给定了一个映射]1,0[)(]1,0[:∈→x x U A A μμ则就确定了一个模糊集A ，其映射A μ称为模糊集A 的隶属函数，)(x A μ称为x 对模糊集A 的隶属度．使5.0)(=x A μ的点0x 称为模糊集A 的过渡点，即是模糊性最大的点．对一个确定的论域U 可以有多个不同的模糊集，记U 上的模糊集的全体为)(U F ，即]}1,0[:|{)(→=U A U F A μ则)(U F 就是论域U 上的模糊幂集，显然)(U F 是一个普通集合，且)(U F U ⊆．２． 模糊集的表示法对于有限的论域},,,{21n x x x U =，A 是U 上的任一个模糊集，其隶属度为)(i A x μ),,2,1(n i =，则模糊集的表示形式有(1) Zadeh 表示法nn A A A ni ii A x x x x x x x x A )()()()(22111μμμμ+++==∑=这里“i i A x x )(μ”不是分数，“＋”也不表示求和，只是符号，它表示点i x 对模糊集A 的隶属度是)(i A x μ．(2) 序偶表示法 {}))(,(,)),(,()),(,(2211n A n A A x x x x x x A μμμ =(3) 向量表示法())(,),(),(21n A A A x x x A μμμ =对于论域U 为无限集的情况，则U 上的模糊集A 可以表示为 ⎰=UA xx A )(μ，这里“⎰”不是积分号，“xx A )(μ”也不是分数.３．模糊集的运算模糊集与普通集有相同的运算和相应的运算规律．定义19.2 设模糊集)(,U F B A ∈，其隶属函数为)(),(x x B A μμ.(1) 若对任意U x ∈，有)()(x x A B μμ≤，则称A 包含B ，记A B ⊆； (2) 若B A ⊆且A B ⊆，则称A 与B 相等，记为A B =．定义19.3 设模糊集)(,U F B A ∈，其隶属函数为)(),(x x B A μμ,则称B A 和BA 为A 与B 的并集和交集；称cA 为A 的补集或余集．它们的隶属函数分别为))(),(max()()()(x x x x x B A B A B A μμμμμ=∨=))(),(min()()()(x x x x x B A B A B A μμμμμ=∧= )(1)(x x A A cμμ-=其中“∨”和“∧”分别表示取大算子和取小算子．并且，并和交运算可以直接推广到任意有限的情况，同时也满足普通集的交换律、结合律、分配律等运算〔1,2,3,4〕．19.1.2 隶属函数的确定方法我们知道，模糊数学的基本思想是隶属程度的思想．应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数．然而，如何确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未完全解决的问题．这里仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法．1. 模糊统计方法模糊统计方法可以算是一种客观方法，主要是基于模糊统计试验的基础上根据隶属度的客观存在性来确定的．所谓的模糊统计试验必须包含下面的四个要素：(1) 论域U ；(2) U 中的一个固定元素0x ；(3) U 中的一个随机变动的集合*A （普通集）；(4) U 中的一个以*A 作为弹性边界的模糊集A ，对*A 的变动起着制约作用．其中*0A x ∈，或*0A x ∈，致使0x 对A 的隶属关系是不确定的．假设我们做n 次模糊统计试验，则可计算出：0x 对A 的隶属频率＝n A x 的次数*0∈事实上，当n 不断增大时，隶属频率趋于稳定，其频率的稳定值称为0x 对A 的隶属度，即∞→=n A x lim)(0μn A x 的次数*0∈2. 指派方法指派方法是一种主观的方法，它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的一种方法．如果模糊集定义在实数域R 上，则模糊集的隶属函数称为模糊分布．所谓的指派方法就是根据问题的性质主观地选用某些形式的模糊分布，再依据实际测量数据确定其中所包含的参数．常用的模糊分布如表19-1所示.实际中，根据问题对研究对象的描述来选择适当的模糊分布．偏小型模糊分布一般适合于描述像“小”、“少”、“浅”、“淡”、“冷”、“疏”、“青年”等偏向小的程度的模糊现象．偏大型模糊分布一般适合于描述像“大”、“多”、“深”、“浓”、“热”、“密”、“老年”等偏向大的程度的模糊现象．而中间型模糊分布一般适合于描述像“中”、“适中”、“不太多”、“不太少”、“不太深”、“不太浓”、“暖和”、“中年”等处于中间状态的模糊现象．但这些方法所给出的隶属函数都是近似的，应用时需要对实际问题进行分析，逐步地进行修改完善，最后得到近似程度更好的隶属函数．表19-1: 常用的模糊分布(a) 偏小型 (b) 中间型 (c) 偏大型矩形分布⎩⎨⎧>≤=a x a x x A ,0,1)(μ⎩⎨⎧><≤≤=b x a x b x a x A 或,0,1)(μ⎩⎨⎧<≥=a x a x x A ,0,1)(μ梯形分布⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<=bxbxaabxbaxxA,0,,1)(μ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<≤--<≤<≤--=dxaxdxccdxdcxbbxaabaxxA,,0,,1,)(μ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<=bxbxaabaxaxxA,1,,)(μ正态分布⎪⎩⎪⎨⎧>≤=⎪⎭⎫⎝⎛--axeaxx a xA,,1)(2σμ2)(⎪⎭⎫⎝⎛--=σμaxAex⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=⎪⎭⎫⎝⎛--axeaxx a xA,1,)(2σμk次抛物型分布⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤⎪⎭⎫⎝⎛--<=bxbxaabxbaxxkA,,,1)(μ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<<≤⎪⎭⎫⎝⎛--<≤<≤⎪⎭⎫⎝⎛--=dxaxdxccdxdcxbbxaabaxxkkA,,,,1,)(μ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤⎪⎭⎫⎝⎛--<=bxbxaabaxaxxkA,1,,)(μГ型分布⎩⎨⎧≥><=--axekaxxaxkA,)0(,1)()(μ⎪⎩⎪⎨⎧≥><≤<=---bxekbxaaxexbxkaxkA,)0(,1,)()()(μ⎩⎨⎧≥-><=--axekaxxaxkA,1)0(,)()(μ柯西型分布⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>>-+≤=)0,0(,)(11,1)(βααμβaxaxaxxA且为偶数）,0()(11)(>>-+=βααμβaxxA⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>>-+≤=-)0,0(,)(11,)(βααμβaxaxaxxA3.其它方法实际中，用来确定模糊集的隶属函数的方法是多种多样的，主要是根据问题的实际意义来确定．譬如，在经济管理、社会管理中，可以直接借助于已有的“客观尺度”作为模糊集的隶属度．如果论域U 表示机器设备，在U 上定义模糊集=A “设备完好”，则可以用“设备完好率”作为A 的隶属度．如果U 表示产品，在U 上定义模糊集=A “质量稳定”，则可用产品的“正品率”作为A 的隶属度．如果U 表示家庭，在U 上定义模糊集A ＝“家庭贫困”，则可以用Engel 系数总消费食品消费＝作为A 的隶属度．另外，对于有些模糊集而言，直接给出隶属度有时是很困难的，但可以利用所谓的“二元对比排序法”来确定，即首先通过两两比较确定两个元素相应隶属度的大小排出顺序，然后用数学方法加工处理得到所需要的隶属函数．19.2 模糊关系与模糊矩阵19.2.1 模糊关系与模糊矩阵的概念定义19.4 设论域V U ,，则称乘积空间V U ⨯上的一个模糊子集)(~V U F R ⨯∈为从U 到V 的模糊关系．如果~R的隶属函数为]1,0[:~→⨯V U R μ),(),(~y x y x R μ则称隶属度),(~y x R μ为),(y x 关于模糊关系~R的相关程度．由于模糊关系就是乘积空间V U ⨯上的一个模糊子集，因此，模糊关系同样具有模糊集的运算及性质．设},,,{},,,,{2121n m y y y V x x x U ==，~R是由U 到V 的模糊关系，其隶属函数 为),(~y x R μ，对任意的V U y x j i ⨯∈),(有),,2,1;,,2,1](1,0[),(~n j m i r y x ij j i R ==∈=μ，记n m ij r R ⨯=)(，则R 就是所谓的模糊矩阵，于是有下面的一般性定义．定义19.5 设矩阵nm ij r R ⨯=)(，且),,2,1;,,2,1](1,0[n j m i r ij ==∈，则称R 为模糊矩阵．特别地，如果),,2,1;,,2,1}(1,0{n j m i r ij ==∈，则称R 为布尔(Bool)矩阵．当1=m ，或1=n 时，则相应的模糊矩阵为),,,(21n r r r R =，或Tm r r r R ),,,(21 =，则分别称为模糊行向量和模糊列向量．19.2.2 模糊等价与模糊相似定义19.6 若模糊关系)(~V U F R ⨯∈，且满足：(1) 自反性：=),(~x x R μ1；(2) 对称性：),(),(~~x y y x R R μμ=；(3)传递性：~~~R R R ⊆ （()),(),(),(),(~~~~~y x y z z x y x RR R V z R R μμμμ≤∧∨=⇔∈ ）．则称~R 是U 上的一个模糊等价关系，其隶属度函数),(~y x R μ表示),(y x 的相关程度．当论域为},,,{21n x x x U =时，U 上的模糊等价关系可表示为n n ⨯阶模糊等价矩阵nn ij r R ⨯=)(．定义19.7 设论域为},,,{21n x x x U =，I 为单位矩阵，如果模糊矩阵n n ij r R ⨯=)(满足：(1) 自反性：),,2,1,1(n i r R I ii ==⇔≤；(2) 对称性：),,2,1,;(n j i r r R R ji ij T ==⇔=；(3)传递性：R R R ≤ （()),,2,1,;1n j i r r r ij kj ik nk =≤∧⇔∨=）．则称R 为模糊等价矩阵．实际中，要建立一个模糊等价关系或模糊等价矩阵往往是困难的，这主要是由于传递性难已满足．但是，对于满足自反性和对称性的模糊关系~R与模糊矩阵R ，则分别称为模糊相似关系与模糊相似矩阵．19.2.3 λ-截矩阵与传递矩阵定义19.8 设nm ij r R ⨯=)(为模糊矩阵，对任意的]1,0[∈λ．(1) 如果令⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎩⎪⎨⎧<≥=n j m i r r r ij ij ij ,,2,1,,2,1,0,1)( λλλ则称()n m ij r R ⨯=)(λλ为R 的λ－截矩阵． (2) 如果令⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎩⎪⎨⎧≤>=n j m i r r r ij ij ij ,,2,1,,2,1,0,1)( λλλ则称()nm ij r R ⨯=)(λλ为R 的λ－强截矩阵．显然，对任意的]1,0[∈λ，λ－截矩阵是布尔矩阵． 定义19.9 设R 是n n ⨯阶的模糊矩阵，如果满足R R R R ≤=2（()),,2,1,;1n j i r r r ij kj ik nk =≤∧⇔∨=则称R 为模糊传递矩阵．将包含R 的最小的模糊传递矩阵称为R 的传递包，记为)(R t ．事实上，对于任意的模糊矩阵n n ij r R ⨯=)(，则n n k ij n k nk kr R R t ⨯==⎪⎭⎫⎝⎛∨==)(11)( ．特别地， 当R 为模糊相似矩阵时，则存在一个最小的自然数)(n k k ≤，使得kR R t =)(，对任意自然数k l >都有kl R R =，此时)(R t 一定为模糊等价矩阵．19.3 模糊聚类分析方法在许多工程技术和经济管理中，常常需要对某些指标按一定的标准（相似的程度、亲疏关系等）进行分类处理．例如，根据生物的某些性态对其进行分类、根据空气的性质对空气质量进行分类，以及工业上对产品质量的分类、工程上对工程规模的分类、图像识别中对图形的分类、地质学中对地质土壤的分类、水资源中的水质分类等等．这种对客观事物按一定标准进行分类的数学方法主要就是聚类分析法，而模糊聚类分析法就是根据事物的某些模糊性质进行分类的一种数学方法．下面给出模糊聚类分析方法的一般步骤.19.3.1 数据标准化(1) 获取数据：设论域},,,{21n x x x U =为所需分类研究的对象，每个对象又由m 个指标表示其性态，即),,2,1}(,,,{21n i x x x x im i i i ==，于是，可以得问题的原始数据矩阵为()mn ij x A ⨯=．(2) 数据的标准化处理：在实际问题中的数据可能有不同的性质和不同的量纲，为了使原始数据能够适合模糊聚类的要求，需要将原始数据矩阵A 做标准化的处理，即通过适当的数据变换和压缩，将其转化为模糊矩阵．常用的方法有以下两种： (ⅰ) 平移－标准差变换如果原始数据之间有不同的量纲，则可以采用这种变换后使每个变量的均值为0，标准差为1，即可以消除量纲的差异的影响．即令),,2,1;,,2,1(m j n i s x x x jjij ij==-='其中),,2,1()(1,121121m j x x n s x n x n i j ij j n i ij j =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑∑==．(ⅱ) 平移－极差变换如果经过平移-标准差变换后还有某些]1,0[∈'ijx ，则还需对其进行平移-极差变换，即令{}{}{}),,2,1(min max min 111m j xx x x x ijni ijni ij ni ijij='-''-'=''≤≤≤≤≤≤显然所有的]1,0[∈''ijx ，且也不存在量纲因素的影响，从而可以得到模糊矩阵()m n ijx R ⨯''=．19.3.2 建立模糊相似矩阵设论域},,,{21n x x x U =，),,2,1}(,,,{21n i x x x x im i i i ==，即数据矩阵为()mn ij x A ⨯=，如果i x 与j x 的相似程度为),,2,1,)(,(~n j i x x R r j i ij ==，则称之为相似系数，确定相似系数ij r有多种不同的方法．(1) 数量积法对于U x x x x im i i i ∈=},,,{21 ，令⎪⎭⎫⎝⎛⋅=∑=≠m k jk ik j i x x M 1max ，则取⎪⎩⎪⎨⎧≠⋅==∑=j i x x M j i r m k jk ik ij ,1,11，显然]1,0[∈ij r ．若出现有某些0<ij r ，可令21+='ij ij r r ，则有]1,0[∈'ijr ．也可以用平移-极差变换将其压缩到]1,0[上，即可以得到模糊相似矩阵()mn ij r R ⨯=．(2) 夹角余弦法: 令),,2,1,(12121n j i xx x xr mk jkmk ikmk jkikij =⋅=∑∑∑===则()nn ij r R ⨯=．(3) 相关系数法: 令()()()()),,2,1,(12121n j i x xx xx x x xr mk jjkmk iikmk j jk i ikij =-⋅---=∑∑∑===其中∑==m k ik i x m x 11，∑==mk jk j x m x 11，则()n n ij r R ⨯=． 注意：},,,{21im i i ix x x x =中的样本ik x 属于同一个样本空间i X ),,2,1(m k =．(4) 指数相似系数法: 令∑=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=m k k jk ik ij s x x m r 122)(43exp 1其中()∑=-=ni k ik k x x n s 121,∑==ni ikk x n x 11),,2,1(m k =.则()n n ij r R ⨯=． 注意：},,,{21im i i i x x x x =中的样本ik x 属于不同的样本空间k X ，即),,2,1(m k X x k ik =∈．(5) 最大最小值法: 令()()),,2,1,;0(11n j i x x xx x r ij mk jkikmk jk ikij =>∨∧=∑∑==则()nn ij r R ⨯=．(6) 算术平均值法: 令()()),,2,1,;0(2111n j i x x x x xr ij mk jk ik mk jk ikij =>+∧=∑∑==则()nn ij r R ⨯=．(7) 几何平均值法：令()),,2,1,;0(11n j i x x x x xr ij mk jkik mk jk ikij =>⋅∧=∑∑==则()nn ij r R ⨯=．(8) 绝对值倒数法：令⎪⎩⎪⎨⎧≠⎪⎭⎫⎝⎛-==-=∑ji x x M j i r m k jk ik ij ,,111其中M 为使得所有),,2,1,](1,0[n j i r ij =∈的确定常数，则()n n ij r R ⨯=．(9) 绝对值指数法：令),,2,1,(exp 1n j i x x r m k jk ik ij =⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=∑=则()nn ij r R ⨯=．(10) 海明距离法：令),,2,1,(),(),(11n j i x x x x d x x d H r m k jkik j i j i ij =⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅-=∑=其中H 为使得所有),,2,1,](1,0[n j i r ij =∈的确定常数．则()nn ij r R ⨯=．(11) 欧氏距离法：令()),,2,1,(),(),(112n j i x x x x d x x d E r m k jk ik j i j i ij =⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅-=∑=其中E 为使得所有),,2,1,](1,0[n j i r ij =∈的确定常数．则()nn ij r R ⨯=．(12) 契比雪夫距离法：令),,2,1,(),(),(11n j i x x x x d x x d Q r jkik m k j i j i ij =⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅-=∨=其中Q 为使得所有),,2,1,](1,0[n j i r ij =∈的确定常数．则()nn ij r R ⨯=．(13) 主观评分法：设有N 个专家组成专家组},,,{21N p p p ，让每一位专家对所研究的对象i x 与j x 相似程度给出评价，并对自己的自信度作出评估．如果第k 位专家k p 关于对象i x 与j x 的相似度评价为)(k r ij ，对自己的自信度评估为),,2,1,)((n j i k a ij =，则相关系数定义为()),,2,1,()()()(11n j i k ak r k ar Nk ijNk ij ijij =⋅=∑∑==则()nn ij r R ⨯=． 综上所述，以上给出了实际中能够使用的一些方法，具体地选择要根据具体问题的性质和使用的方便来确定．19.3.3 聚类所谓的聚类方法就是依据模糊矩阵将所研究的对象进行分类的方法，对于不同的置信水平]1,0[∈λ，可得不同的分类结果，从而可以形成动态聚类图．常用的方法可以分为两类，一类是基于模糊等价矩阵的聚类方法，另一类是直接聚类方法．(1) 传递闭包法用上节的方法所建立的模糊矩阵R 一般只是一个模糊相似矩阵，即R 不一定是模糊等价矩阵．为此，首先需要由R 来构造一个模糊等价矩阵*R ，根据传递闭包的性质，可以用平方法求出R 的传递包*=R R t )(，即为一模糊等价矩阵．然后，由大到小取一组]1,0[∈λ值，确定相应的λ-截矩阵，则可以将其分类，同时也可构成动态聚类图〔1〕．(2) 布尔矩阵法设论域为},,,{21n x x x U =，R 是U 上的模糊相似矩阵，对于确定的λ水平要求U 中元素的分类．首先，由于模糊相似矩阵R 作出其λ-截矩阵))((λλij r R =，即λR 为布尔矩阵．然后，依据λR 中的1元素可以将其分类． 如果λR 为等价矩阵，则R 也为等价矩阵，即可以直接将其分类． 如果λR 不是等价矩阵，则首先按一定的规则将λR 改造成一个等价的布尔矩阵，然后再进行分类．例如：0元素和1元素互换方法等．(3) 直接聚类法所谓直接聚类法是一种直接由模糊相似矩阵，求出聚类图的方法，具体步骤如下：1) 取11=λ（最大值），对每个i x 作相似类：{}1|][==ij j R i r x x ，即将满足1=ij r 的i x 与j x 视为一类，构成相似类．相似类与等价类有所不同，不同的相似类可能有公共元素，即可能有Φ≠R j R i x x ][][ ，实际中，对于这种情况可以将R i x ][与R j x ][合并为一类，即可得到11=λ水平上的等价分类．2) 取)(12λλ<为次大值，从R 中直接找出相似程度为2λ的元素对),(j i x x （即2λ=ij r ），并相应地将对应于11=λ的等价分类中i x 与j x 所在的类合并为一类，即可得到2λ水平上的等价分类．3) 依次取 >>>321λλλ，按第2)步的方法依次类推，直到合并到U 成为一类为止，最后可以得到动态聚类图．19.4 模糊模式识别方法将事物的整体划分为若干类型而得到一组标准模式，对于一个确定的对象识别它属于哪一类的问题称为模式识别．如果整体被划分的类型与被识别的对象之中至少有一个是用模糊集表示的模式识别问题，则称为模糊模式识别．实际中有很多问题都属于这一类问题，例如：像自动分拣机对信件上邮政编码的识别；医生针对病人的主要症状诊断过程；根据学生的德、智、体等因素对学生进行分类；对某种产品等级的分类，以及指纹识别和汽车车牌号码的识别等问题．这里主要介绍两种最基本的模糊模式识别方法――最大隶属原则和择近原则．19.4.1 模式识别中的最大隶属原则定义19.8 设论域},,,{21n x x x U =上的m 个模糊子集m A A A ,,,21 ，其隶属度函数为),,2,1)((m i x iA =μ，而模糊向量集合族),,,(21m A A A A =对于普通向量),,,()0()0(2)0(1)0(m x x x x =，则称{})()()0(1)0(i A mi x x iμμ=∧=为)0(x 对模糊向量集合族A 的隶属度．实际中向量)0(x 对模糊向量集合族A 的隶属度也可以定义为∑==m i i A x n x i 1)0()0()(1)(μμ．1． 最大隶属原则Ⅰ 设在论域},,,{21n x x x U =上有m 个模糊子集m A A A ,,,21 （即m 个模式）一起构成一个标准模式库，若对任一个U x ∈)0(，存在)1(00m k k ≤≤使得{})()()0(1)0(0x x kA mk k μμ=∨=，则可视为)0(x 相对隶属于0k A．2． 最大隶属原则Ⅱ设在论域},,,{21n x x x U =上确定一个标准模式0A ，对于n 个待识别的对象U x x x n ∈,,,21 ，如果有某个k x 满足)1()(1)(00n k i x A mi k x A ≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∨=μμ，则k x 优先隶属于0A ．19.4.2 模式识别中的择近原则设论域},,,{21n x x x U =，由U 上的m 个模糊子集m A A A ,,,21 （即m 个模式）构成一个标准模式库，对U 上的另一个模糊子集0A ，问题是0A 与),,2,1(m i A i=中的哪一个最贴近？这是另一类模式识别问题，主要是研究两个模糊集的贴近程度．1． 贴近度的概念设论域U 上的模糊子集)(,21U F A A ∈，则定义))()((2121x x A A A A Ux μμ∧=∨∈为1A 与2A 的内积；类似的定义 ))()((2121x x A A A A Ux μμ∨=⊗∧∈为1A 与2A 的外积．定义19.9 设有论域U 上的模糊子集)(,21U F A A ∈，则称[])1(21),(212121A A A A A A N ⊗-+=为1A 与2A 的贴近度． 显然的，如果1A 与2A 的贴近度),(21A A N 越大，则说明1A 与2A 越贴近．而且贴近度有下列性质：（1） 1),(021≤≤A A N ；（2） 0),(=ΦU N ，))((1),(U F A A A N ∈∀=．实际中，可以用贴近度来描述模糊集之间的贴近程度，但是，根据所研究问题的性质，还可以给出其它形式的贴近度定义．2． 单个特性的择近原则设论域U 上的m 个模糊子集m A A A ,,,21 (m 个模式)构成一个标准模式库{}m A A A ,,,21 ，模糊子集0A 为待识别的模式，若存在)1(00m k k ≤≤使得),(),(0100A A N A A N k mk k ∨==则0A 与0k A 最贴近，或者说把0A 可归并到0k A类．3． 多个特性的择近原则根据实际问题的需要，依据对象的多个特性的模式识别问题，即要研究两个模糊向量集合族的贴近度问题，可以有多种不同的定义，常用的有以下几种形式：对于论域U 上的两个模糊向量集合族),,,(),,,,(2121m m B B B B A A A A ==，则A 与B 的贴近度可定义为（1） ),(),(1k k mk B A N B A N ∧==； （2）),(),(1k k mk B A N B A N ∨==；（3）),(),(1k k mk k B A N a B A N ∑==,其中]1,0[∈k a ，且11=∑=mk k a ；（4）()),(),(1k k k mk B A N a B A N ⋅=∨=，其中]1,0[∈k a ，且11=∑=mk k a ；（5）()),(),(1k k k mk B A N a B A N ∧=∨=，其中]1,0[∈k a ，且11=∑=mk k a ．实际中，选择哪一种形式，完全根据实际问题的需要确定，也可以用其它更合适的形式． 多个特性的择近原则：设由论域U 上的n 个模糊子集n A A A ,,,21 构成一个标准模式库{}n A A A ,,,21 ，每个模式k A 都可用m 个特性描述，即),,2,1)(,,,(21n k A A A A km k k k ==待识别的模式为),,,(002010m A A A A =．如果两个模糊向量集合族的贴近度最小值为),,2,1)(,(01n k A A N n i ki mi k ==∧=并有自然数)1(00n k k ≤≤使得knk k n n ∧==10，则模式0A 隶属于k A．最后值得我们注意的是模式识别与模糊聚类分析的关系和区别．首先，二者都是研究模糊分类问题的方法，但二者既有关联，又有差别．模糊聚类分析所研究的对象是一组样本，没事先确定的模式标准，只是根据对象的特性进行适当的分类．而模糊模式识别所讨论的问题事先已知若干标准模式，或标准模式库，据此，对要待识别的对象进行识别，看它应属于哪一类．因此，模糊聚类分析是一种无标准模式的分类方法，而模糊模式识别是一种有标准模式的分类方法．另一方面，模糊聚类分析与模糊模式识别也是有关系的．实际中，我们用模糊聚类分析法进行判别、预测的过程，事实上就是模糊聚类与模糊识别综合运用的过程．模糊识别中的标准模式就是在模糊聚类分析过程中得到的，即模糊聚类为模糊识别提供了标准模式库．19.5 模糊综合评判方法模糊综合评判是模糊决策中最常用的一种有效方法．在实际中，常常需要对一个事物做出评价（或评估），一般都涉及到多个因素或多个指标，此时就要求我们根据这些因素对事物做出综合评价，这就是所谓的综合评判，即综合评判就是要对受多个因素影响的事物（或对象）做出全面的评价，故模糊综合评判又称为模糊综合决策或模糊多元决策．传统的评判方法有总评分法和加权评分法．总评分法：根据评判对象的评价项目),,2,1(n i u i =，首先，对每个项目确定出评价的等级和相应的评分数),,2,1(n i s i=，并将所有项目的分数求和∑==ni is S 1，然后，按总分的大小排序，从而确定出方案的优劣．加权评分法：根据评判对象的诸多因素（或指标）),,2,1(n i u i =所处的地位或所起的作用一般不尽相同．因此，引入权重的概念，求其诸多因素（指标）评分),,2,1(n i s i=的加权和∑==ni ii s w S 1．其中i w 为第),,2,1(n i i =个因素（指标）的权值．19.5.1 模糊综合评判的一般方法1. 模糊综合评判的一般提法 设},,,{21n u u u U =为研究对象的n 种因素（或指标），称之为因素集（或指标集）．},,,{21m v v v V =为诸因素（或指标）的m 种评判所构成的评判集（或称语集、评价集、决策集等），它们的元素个数和名称均可根据实际问题的需要和决策人主观确定．实际中，很多问题的因素评判集都是模糊的，因此，综合评判应该是V 上的一个模糊子集)(),,,(21V F b b b B m ∈=其中k b 为评判k v 对模糊子集B 的隶属度：),,,2,1()(m k b v k k B ==μ，即反映了第k 种评判k v 在综合评价中所起的作用．综合评判B 依赖于各因素的权重，即它应该是U 上的模糊子集)(),,,(21U F a a a A n ∈= ，且11=∑=ni ia，其中i a表示第i 种因素的权重．于是，当权重A 给定以后，则相应地就可以给定一个综合评判B ．2. 模糊综合评判的一般步骤(1) 确定因素集},,,{21n u u u U =； (2) 确定评判集},,,{21m v v v V =；(3) 确定模糊评判矩阵mn ij r R ⨯=)(：首先，对每一个因素i u 做一个评判),,2,1)((n i u f i =，则可以得U 到V 的一个模糊映射f ，即)(),,,()()(:21V F r r r u f u U F U f im i i i i ∈=→然后，由模糊映射f 可以诱导出模糊关系)(V U F R f ⨯∈，即),,2,1;,,2,1())((),(m j n i r v u f v u R ij j i j i f ====因此，可以确定出模糊评判矩阵mn ij r R ⨯=)(．而且称),,(R V U 为模糊综合评判模型，R V U ,,称为该模型的三要素．(4) 综合评判：对于权重)(),,,(21U F a a a A n ∈= ，用模型),(∨∧M 取最大－最小合成运算，可以得到综合评判),,2,1),((1m j r a b R A B ij i ni j =∧=⇔=∨=注意到：关于评判集V 的权重),,,(21n a a a A =的确定在综合评判中起重要的作用，通常情况下可以由决策人凭经验给出，但往往带有一定的主观性．要从实际出发，或更客观地反映实际情况可采用专家评估法、加权统计法和频数统计法，或更一般的模糊协调决策法、模糊关系方法等来确定．19.5.2 综合评判模型的构成如果模糊综合评判模型为),,(R V U ,对于权重)(),,,(21U F a a a A n ∈= ，模糊评判矩阵为mn ij r R ⨯=)(，则用模型)(∨∧,M 运算得综合评判为)(),,,(21V F b b b R A B m ∈== ，其中),,2,1()(1m j r a b ij i n i j =∧=∨=．事实上，由于11=∑=ni ia，对于某些情况可能会出现iji r a ≤，即iij i a r a =∧．这样可能导致模糊评判矩阵R 中的许多信息的丢失，即人们对某些因素i u 所作的评判信息在决策中未得到充分的利用．从而导致综合评判结果失真．为此，实际中可以对模型)(∨∧,M 进行改进．(1) 模型)(∨∙,M 法：对于)(),,,(21U F a a a A n ∈= 和m n ij r R ⨯=)(，则用模型)(∨∙,M 运算得R A B *=，即),,2,1()(1m j r a b ij i ni j =∙=∨=．(2) 模型)(+∧,M 法：对于)(),,,(21U F a a a A n ∈= 和m n ij r R ⨯=)(，则用模型)(+∧,M 运算得R A B *=，即),,2,1()(1m j r a b ni ij i j =∧=∑=．(3) 模型)(+∙,M 法：对于)(),,,(21U F a a a A n ∈= 和m n ij r R ⨯=)(，则用模型)(+∙,M 运算得R A B *=，即),,2,1()(1m j r a b ni ij i j =∙=∑=．在实际应用时，主因素（即权重最大的因素）在综合中起主导作用时，则可首选“主因素决定型”模型)(∨∧,M ；当模型)(∨∧,M 失效时，再来选用“主因素突出型”模型)(∨∙,M 和)(+∧,M ；当需要对所有因素的权重均衡时，可选用加权平均模型)(+∙,M ．在模型的选择时，还要特别注意实际问题的需求．19.5.3 多层次模糊综合评判对于实际中的许多问题往往都是涉及因素多，各因素的权重分配较为均衡的情况，此时，可采用将诸因素分为若干个层次进行研究．即首先分别对单层次的各因素进行评判，然后再对所有的各层次因素作综合评判．这里仅就两个层次的情况进行说明，具体方法如下：(1) 将因素集},,,{21n u u u U =分成若干个组)1(,,,21n k U U U k ≤≤ 使得ki iU U 1==，且)(j i U U j i ≠=Φ ，称},,,{21k U U U U =为一级因素集．不妨设);,,2,1}(,,,{1)()(2)(1n n k i u u u U k i i i n i i i i===∑= ，称之为二级因素集．(2) 设评判集},,,{21m v v v V =，对二级因素集},,,{)()(2)(1i n i i i i u u u U =的i n 个因素进行单因素评判，即建立模糊映射),,2,1)(,,,()()(:)()(2)(1)()(i i jm i j i j i j i i j i i n j r r r u f u V F U f ==→于是得到评判矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()(2)(1)(2)(22)(21)(1)(12)(11i m n i n i n i mi i i mi i i i i i r r r r r r r r r R 不妨设},,,{)()(2)(1i n i i i iu u u U =的权重为},,,()()(2)(1i n i i i ia a a A =，则可以求得综合评判为),,2,1)(,,,()()(2)(1k i b b b R A B i m i i i i i ===其中)(i j b 由模型)(∨∧,M ，或)(∨∙,M 、)(+∧,M 、)(+∙,M 确定． (3) 对于一级因素集},,,{21k U U U U =作综合评判，不妨设其权重),,,(21k a a a A =，总评判矩阵为T k B B B R ],,,[21 =．按模型)(∨∧,M ，或)(∨∙,M 、)(+∧,M ，、)(+∙,M 运算得到综合评判)(),,,(21V F b b b R A B m ∈== ．19.6 中介服务机构的信誉评估问题[10]19.6.1问题的提出近年来，社会上出现了很多不同规模、不同性质的中介服务机构，但目前还缺少规范统一管理的政策和法规，有些地方由此产生了许多社会问题．为了加强对这些机构的管理，政府有关部门需要对这些机构的“信誉”做出客观地评价，以便制定相应的政策和法规．表19-1：各级因素及其权值 主要因素二级因素 权 重 模糊矩阵 三 级 因 素权 重 (A) 法 纪 情 况 0.3(A 1)遵纪 守法情况 a 1=0.3 R A1 （A 11）经营活动 a 11=0.5 （A 12）财务制度a 12=0.5 (A 2) 纳 税 情 况 a 2=0.5R A2（A 21）所纳税与应纳税的比率 a 21=0.6 （A 22）逃税次数a 22=0.2 （A 23）逃税罚金与所纳税的比率a 23=0.2 (A 3)奖惩 情 况 a 3=0.1R A3 （A 31）奖励的次数 a 31=0.5 （A 32）惩罚的次数a 32=0.5 (A 4)治安 情 况a 4=0.1R A4 （A 41）发生治安案件的次数 a 41=0.4 （A 42）发生行事案件的次数 a 42=0.6 (B)(B 1)履行 合同情况 b 1=0.2 R B1 （B 11）履行合同与全部合同比率 b 11=0.6 （B 12）主动违约占合同的比率 b 12=0.4 (B 2)（B 21）中介服务的成功率b 21=0.6。
模糊数学方法
模糊数学方法在自然科学或社会科学研究中，存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。
这里所谓的模糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利”；灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重”，等等。
这些通常是本来就属于模糊的概念，为处理分析这些“模糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。
根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。
这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。
为处理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。
模糊数学的理论基础是模糊集。
模糊集的理论是1965年美国自动控制专家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出来的，近10多年来发展很快。
模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。
实践证明，模糊数学在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。
从该学科的发展趋势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。
在侧重于应用的模糊数学分析中，经常应用到聚类分析、模式识别和综合评判等方法。
在DPS系统中，我们将模糊数学的分析方法与一般常规统计方法区别开来，列专章介绍其分析原理及系统设计的有关功能模块程序的操作要领，供用户参考和使用。
第1节模糊聚类分析1. 模糊集的概念对于一个普通的集合A，空间中任一元素x,要么x A,要么x — A,二者必居其一。
这一特征可用一个函数表示为：1 0x三A x三AA(x)即为集合A的特征函数。
将特征函数推广到模糊集，在普通集合中只取0、1两值推广到模糊集中为［0, 1］区间。
定义1设X为全域，若A为X上取值［0, 1］的一个函数，则称A为模糊集。
如给5个同学的性格稳重程度打分，按百分制给分，再除以100,这样给定了一个从域X= { X1 , x2 , X3 , X4, X5}到［0, 1］闭区间的映射。
模糊数学简介
§1.4 模糊等价关系与经典等价关系
模糊等价关系
若模糊关系R是 上各元素之间的模糊关系 模糊关系， 若模糊关系 是X上各元素之间的模糊关系， 且满足： 且满足： (1)自反性 自反性： (1)自反性：R(x, x) =1； I ≤R (⇔ rii =1 ) ； ⇔ (2)对称性 对称性： (2)对称性：R(x, y) =R(y, x)； T=R(⇔ rij= rji) ； R ⇔ (3)传递性 传递性： (3)传递性：R2⊆R, R2≤R. 则称模糊关系 模糊关系R是 上的一个模糊等价关系 模糊等价关系. 则称模糊关系 是X上的一个模糊等价关系.
模糊等价关系与经典等价关系的联系
若R是X 上的模糊等价关系，当且仅当， ∀λ ∈ [0,1], R λ 是X 上的经典等价关系。
第二部分 模糊数学的基本应用
2. 1 模糊聚类分析基础 2.2 模糊模式识别基础 2.3 模糊综合评判基础 2.4 模糊线性规划
y
§2.1 模糊聚类分析
数据标准化
设论域X 为被分类对象, 设论域 = {x1, x2, …, xn}为被分类对象,每个 为被分类对象 对象又由m个指标表示其形状 个指标表示其形状: 对象又由 个指标表示其形状: xi = { xi1, xi2, …, xim}, i = 1, 2, …, n 于是,得到原始数据矩阵为 于是,
, sj = 1 n
1 其中 x j = n
∑x
ij
∑ (x
i =1
n
ij
− xj)
2
平移 • 极差变换 xij − min{ xij | 1 ≤ i ≤ n} ′ xij = max{ xij | 1 ≤ i ≤ n} − min{ xij | 1 ≤ i ≤ n}
模糊数学2009-4(分布函数、贴近度)讲解
{1, 2,3, 4,5, 6}, 0 0.2
H () {{12,,24,,45,,56,}6,},
0.2 0.5 0.5 0.6
{2,5, 6},
0.6 0.8
{5, 6},
0.8 1
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uU
uU
[ Ac (u) Bc (u)] uU
Ac Bc
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峰值和谷值
对A F (U ),令
a A(u), a A(u)
uU
uU
称a为模糊集的峰值，称a为模糊集的谷值。
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求下例的峰值和谷值
A = ( 0.1, 0.5, 0, 0.6) B = ( 0.2, 0, 0.7, 0.3)
A 0.5 0.8 0.2 0.6 1 1 1 2 3 4 56
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4
隶属函数确定方法之二
模糊分布
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5
什么是模糊分布？
最常见的论域
实数集R
实数集R上的模糊集合的隶属函数 称为模糊分布
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海明贴近度
若U {u1, u2 ,..., un},则
N (A, B)
1
1 n
n i 1
|
A(ui )
B(ui ) |
当U为实数域上的闭区间[a, b]时，则有
N ( A, B) 1 1
b
| A(u) B(u) | du
模糊数学04
Ai1 I Ai2 I ... I Aik .
若∨{Ak(x0)| k =1, 2, …, m}＜α,则判决为：不
能识别,应当找原因另作分析.
该方法也适用于判别x0是否隶属于标准模式
Ak.若Ak(x0)≥α,则判决为：x0相对隶属于Ak; 若 Ak(x0)＜α,则判决为： x0相对不隶属于Ak.
X={∆(A,B,C )| A+B+C =180, A≥B≥C}
标准模式库={E(正三角形),R(直角三角形), I(等腰三角形),I∩R(等腰直角三角形),T(任意 三角形)}.
某人在实验中观察到一染色体的几何形状， 测得其三个内角分别为94,50,36,即待识别对象 为x0=(94,50,36).问x0应隶属于哪一种三角形？
模式识别在实际问题中是普遍存在的.例 如，学生到野外采集到一个植物标本，要识别它 属于哪一纲哪一目；投递员(或分拣机)在分拣信 件时要识别邮政编码等等，这些都是模式识别.
模糊模式识别
所谓模糊模式识别,是指在模式识别中,模式 是模糊的.也就是说,标准模式库中提供的模式是 模糊的.
概念的内涵和外延
z 经典集合论 z 内涵和外延一致
通过以上计算,R(x0) = 0.955最大,所以x0应隶 属于直角三角形.
阈值原则
设论域X ={x1, x2, … , xn }上有m个模糊子集 A1, A2, … , Am(即m个模式),构成了一个标准模
式库,若对任一x0∈X,取定水平α∈[0,1].
若存在 i1, i2, … , ik,使Aij(x0)≥α ( j =1, 2, …,
例2 论域 X = {x1(71), x2(74), x3(78)}表示三 个学生的成绩,那一位学生的成绩最差？
模糊贴近度matlab
模糊贴近度matlab模糊贴近度是一种用于衡量两个模糊集之间相似性的方法，它是模糊数学中的一个重要概念。
在实际应用中，模糊贴近度被广泛应用于图像处理、模式识别、数据挖掘等领域。
本文将介绍如何使用MATLAB计算模糊贴近度。
首先，我们需要了解模糊集的基本概念。
模糊集是一种描述不确定性的数学工具，它将一个元素分配给一个模糊集合，而不是一个明确的类别。
模糊集的元素属于集合的程度可以用一个隶属度函数来表示。
模糊集的隶属度函数可以是线性的、非线性的或高斯的等多种形式。
模糊贴近度是衡量两个模糊集之间相似性的一种方法。
给定两个模糊集A和B，它们的模糊贴近度定义为：贴近度(A, B) = min{max(a * b')}其中，a和b分别表示A和B的隶属度函数，'表示取反。
这个公式的意义是，我们计算A和B之间的最大隶属度乘积的最小值，作为它们的贴近度。
接下来，我们将介绍如何使用MATLAB计算模糊贴近度。
首先，我们需要定义两个模糊集的隶属度函数。
这里我们以高斯隶属度函数为例：function [a, b] = gaussian_membership_function(x, mu,sigma)a = exp(-((x - mu).^2) / (2 * sigma^2));b = exp(-((x - mu).^2) / (2 * sigma^2));end然后，我们可以使用这个函数来计算两个模糊集的隶属度函数：mu1 = 0; % 模糊集A的均值sigma1 = 1; % 模糊集A的标准差mu2 = 1; % 模糊集B的均值sigma2 = 1; % 模糊集B的标准差[a, b] = gaussian_membership_function(linspace(-3, 3, 100), mu1, sigma1);[c, d] = gaussian_membership_function(linspace(-3, 3, 100), mu2, sigma2);最后，我们可以计算两个模糊集之间的模糊贴近度：similarity = min([max(a .* c') max(b .* d')]);dissimilarity = 1 - similarity;这样，我们就得到了两个模糊集之间的模糊贴近度。
模糊数学
405 A y1 0.675 , 600 427.4 A y 2 0.712 , 600 399.8 A y 3 0.666 , 600 418.7 A y 4 0.698 . 600
于是这四个考生在“优秀”模糊集中的排
序为：
例: 在论域X=[0,100]分数上建立三个表示学习 成绩的模糊集A=“优”,B =“良”,C =“差”.当一 位同学的成绩为88分时,这个成绩是属于哪一类？
模糊模式识别
例1. 苹果的分级问题 设论域 X = {若干苹果}。苹果被摘下来后要分 级。一般按照苹果的大小、色泽、有无损伤等特征来
分级。于是可以将苹果分级的标准模型库规定为 =
{Ⅰ级，Ⅱ级，Ⅲ级，Ⅳ级}，显然，模型Ⅰ级，Ⅱ级，
Ⅲ级，Ⅳ级是模糊的。当果农拿到一个苹果 x0 后，
到底应将它放到哪个等级的筐里，这就是一个元素
模糊模式识别
而 则因 1 = 0.7， Y(27) = 0.862 > 1， Y(30) = 0.5 < 1 ，
故认为 27 岁的人尚属于“青年人” ，而 30 岁人的
则不属于“青年人” 。 则因 Y(27) = 0.862 > 2, 若取阈值 2 = 0.5， 而 Y(30) = 0.5 = 2 ， 故认为 27 岁和 30 岁的人都属于“青年人” 范畴。
等腰直角三角形的隶属函数 (I∩R)(A,B,C) = I(A,B,C)∧R (A,B,C); (I∩R) (x0)=0.766∧0.955=0.766.
任意三角形的隶属函数
T(A,B,C) = Ic∩Rc∩Ec= (I∪R∪E)c.
T(x0) =(0.766∨0.955∨0.677)c = (0.955)c = 0.045.
第四章 模糊数学
三 模 集 运 、 糊 的 算 由 已 ， 要 定 个 糊 ， 要 给 其 上 知 若 给 一 模 集 主 是 定 隶 属 数 由 两 模 集 运 结 仍 一 模 集 函 。 于 个 糊 的 算 果 为 个 糊 。 因 ， 义 糊 的 算 主 是 明 隶 函 为 。 此 定 模 集 运 ， 要 阐 其 属 数 何 1 运 定 、 算 义 A B 为 域 的 糊 ， 有 列 义 设 、 均 论 X上 模 集 则 下 定 ： % % (1 相 A= B µA(x) = µB(x)， 现 两 曲 重 ； ) 等 ： 表 为 者 线 合 % % % % (2)包 A⊂ B µA(x) ≤ µB(x)， 现 µA处 不 于 B； 含 ： 表 为 处 大 µ % % % % % % (3)并 UB µAUB(x) = m µA(x)， B(x)} µA(x) ∨µB(x)； A ： ax{ µ ∆ % % % % % % % % (4)交 IB µAIB(x) = m µA(x)， B(x)} µA(x) ∧µB(x)； A ： in{ ∆ µ % % % % % % % % (5)补 （ A） µA(x) =1−µA(x)， 集 或c ： A % % % % (6)空 ∅ µ∅(x) ≡ 0 一 x 不 于 ， ∅ 无 素 集 ： ， 个也 属 ∅ 即 中 元 。 % % % %
µA
%
µB
%
0
25
50
% % % %
(2)易 ， AIB(x) ≤ µAUB(x)， 见 µ ∴AIB ⊂ AUB % % % %
2、 算 ： 运 律 设 、 、 均 X上 模 集 A B C 为 的 糊 % % % (1)幂 律 AUA= A AIA= A 等 ： ， % % % % % % (2)交 律 AUB BUA AIB BIA 换 ： ＝ ， ＝ % % % % % % % % (3)结 律 (AUB) UC = AU(BUC)， AIB) IC = AI(BIC) 合 ： ( % % % % % % % % % % % % (4)分 律 AI(BUC) = (AIB) U(AIC) 配 ： % % % % % % % AU(BIC) = (AUB) I(AIC) % % % % % % % (5)吸 律 AI(AUB) = A AU(AIB) = A 收 ： ， % % % % % % % % 证 由 配 ， I(AUB) = (AIA U(AIB) ： 分 律 A ) % % % % % % % ∴µAI(AUB) (x) = (µA(x) ∧µA(x)) ∨(µA(x) ∧µB(x)) = µA(x)
模糊数学
模糊数学结课论文摘要：模糊数学，亦称弗晰数学或模糊性数学。
1965年以后，在模糊集合、模糊逻辑的基础上发展起来的模糊拓扑、模糊测度论等数学领域的统称。
是研究现实世界中许多界限不分明甚至是很模糊的问题的数学工具。
它使过去那些与数学毫不相干或关系不大的学科都有可能永定量化和数学化加以描述和处理。
模糊数学自诞生以来取得迅猛的发展，目前正沿着理论研究和应用研究两个方向迅速发展着。
在模式识别、人工智能等方面有广泛的应用。
关键字：模糊数学内容发展应用实例分析引言：模糊数学作为一种新型学科，在人类的实际生产生活中有着不可磨灭的作用。
生活中存在着一系列抽象的，界限模糊的食物以及概念。
而此类问题用经典数学理论是无法解决的，往往很棘手。
但是在用到这种新型模糊数学理论体系就可以轻轻松松的解决掉他们。
随着计算机和信息技术的高速发展，数学的应用范围急剧扩展，特别是近年来对模糊数学理论的研究，已经渗透到数学以及其他自然科学和社会科学的许多领域。
其应用之广泛已经遍及理工农医各个方面。
正文一、模糊数学的概念的内容及发展1-1定义模糊数学，是用数学方法研究和处理具有“模糊性”现象的数学，是指在模糊集合、模糊逻辑的基础上发展起来的模糊拖扑、模糊测度论等数学领域。
所谓“模糊性”主要指客观事物差异的中间过渡界限的“不分明性”。
在地质学上，如储层的含油气性、油田规模的大小、成油地质条件的优劣等。
这些模糊变量的描述或定义是模糊的，各变量内部分级没有明显界限。
模糊观念的理论强调以模糊逻辑来描述现实生活中实物的等级，以弥补古典逻辑（二值逻辑）无法对不明确定义边界事物描述的缺点。
1-2 产生与发展模糊数学是一门新兴学科，是研究和处理模糊性现象的数学理论和方法，它不是让数学变得模糊，而是让数学研究进入到模糊现象这样的领域。
1965年美国控制论学者扎德发表论文《模糊集合》，标志着这门新学科的诞生。
该学科的发展主流在它的应用方面，由于模糊性的概念已经找到了模糊集的描述方式，人们运用概念进行判断、评价、推理、决策和控制的过程也可以用模糊数学的方法来描述。
模糊数学第四章_OK
2
定义１ 称映射
f :U F(V )
是从Ｕ到Ｖ的映射。或表示为
u f (u) B F(V )
可见，Ｆ映射是这样的一种对应关系：Ｕ上的 任一元素ｕ与ｖ上的唯一确定Ｆ集Ｂ对应。
3
例１ 设
U {u1,u2,u3},V {v1, v2, v3}
(2) 给定U 到V 的一个模糊线性变换T 可 确定U 到V的一个模糊关系 RT .
TR ( A)(v) ( A R)(v) ( A(u) R(u, v))
uU
14
例2 设X ={x1, x2, x3, x4, x5},Y ={y1, y2 , y3 , y4},
0.5 0.2 0 1 1 0.3 0 0.1
样,可用权重A = (a1, a2, … , an )来描述,它是因 素集U 的一个模糊子集.对于每一个因素ui , 单独作出的一个评判 f(ui),可看作是U到V 的 一个模糊映射 f.
25
由 f 可诱导出U 到V 的一个模 糊关系 ,由Rf 可诱R导f 出U 到V 的
一个模糊线性变换
TR =(AA)°R = B, 它是评判集V 的一个模糊子集,即
0.6 0.5 0.7
0.5 0.2 0.5
,
18
例4：设
U (, ), R F(U U )
A(x) exp{4x2}, R(x, y) exp{3(x y)2}, x, y (, ),
试求： TR ( A)
解：
TR ( A)( y) ( A R)( y) ( A(x) R(x, y))
T : F(U ) F(V )
是从Ｕ到Ｖ的变换。或表示为
A F(U), A f (A) B F(V )
模糊数学简介
晰”, 有许多概念没有明确的界限, 特别是在
人类的思维与语言中，例如: 高矮、胖瘦、美 丑等. 模糊数学的出现与计算机智能模拟密切
1965年, 美国加利福尼亚大学自动控制专
家L. A. Zadeh第一次提出了模糊性问题, 从不
同于经典数学的角度, 研究数学的基础集合论,
给出了模糊概念的定量表示方法, 发表了著名
模糊数学简介
模糊数学(Fuzzy mathematics, 弗晰数学 )
是解决模糊性问题的数学分支. 这里所谓的
“模糊”是相对于“明晰”而言的, 而所谓的
“明晰”即非此即彼.明晰数学数学的基础是
经典集合论: 一个元素a, 要么属于集合A, 要么
要么属于A的余集, 二者必居其一. 但是并非
所有的现象和概念都象经典集合论这样“明
R1 R2={(x, z) | x + z = 5}={(2,3), (3,2), (4,1)}.
○
0 0 R1 0 1
0 0 0 1 1 0 0 0
1 0 0 R2 0 1 0 0 0 1
等价关系：设R为 X 上的关系, 如果满足
(1) 自反性： X 中的任何元素都与自己有
关系，即R(x, x) =1；
(2) 对称性：对X中的两个元素x, y, 若x
与y有关系,则y与x有关系,即若R(x, y) =1，则
R(y, x) = 1；
(3) 传递性：对于X中的三个元素x, y, z，
若x与y有关系，y与z有关系，则x与z有关系， 即若R(x, y) = 1,R (y, z) =1，则R(x, z) = 1. 则称R为X上的等价关系.
设 R为 X 上的等价关系. 如果(x, y) R, 即x与y有关系R, 则记为 x y. 集合上的等价类 设 R是X 上的等价关系， xX. 定义x的等价类： [x]R = { y | yX , y x }. 集合的分类 设 X 是非空集合，{Xi }是 X 的 非空子集族，若
(最新)模糊数学方法
∨
n
k =1
( ri k ∧ r k j ) ≤ ri j ; i , j = 1 , 2 , … , n ）
则称R为模糊等价矩阵 模糊等价矩阵。 模糊等价矩阵 注：对于满足自反性和对称性的模糊关系 R 与模糊矩阵R，则
~
分别称为模糊相似关系 模糊相似矩阵 模糊相似关系与模糊相似矩阵 模糊相似关系 模糊相似矩阵。
F (U ) = { A | µ A : U → [0,1]}
注： (U ) 是一个普通集合. F
（2） 模糊集的表示方法 ） 模糊集的表示方法： 对于有限论域 U = {x1 , x2 … xn }，设 A ∈ F (U ) （1）Zadeh表示法： = ∑ µ A ( xi ) = µ A ( x1 ) + µ A ( x2 ) + … + µ A ( xn ) A
第一步. 数据标准化 （1）获取数据: 设论域U＝ {x1 , x2 ,… , xn } 为所需分类研究的 对象，每个对象又由m个指标表示其性态，即
xi = {xi1 , xi 2 , ⋯, xim }(i = 1,2,⋯, n)
于是得到问题的原始数据矩阵为 A = ( xij ) n×m （2）数据的标准化处理：实际中的数据通常具有不同的性质 和量纲，为了使原始数据能够适合模糊聚类的要求，需要将原 始数据矩阵做标准化处理，即通过适当的数据变换和压缩，将 其转化为模糊矩阵。现介绍以下两种常用方法：
第二步. 建立模糊相似矩阵 设论域U= {x1 , x2 , ⋯, xn }, xi = {xi1 , xi 2 , ⋯, xim }(i = 1,2,⋯, n) 即数据矩阵为 A = ( xij ) n×m .如果 xi 与 x j 的相似程度为 相似系数。 相似系数 rij = R( xi , x j )(i, j = 1,2,⋯ , n) ，则称之为相似系数。
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19
3. 抛物型
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20
3. 抛物型（偏小型）
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21
3. 抛物型（偏大型）
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22
3.抛物型（中间型）
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23
4.正态分布
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24
4.正态分布（中间型）
13
1.矩形分布（曲线）
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14
1. 矩形分布（隶属函数）
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15
2. 梯形分布
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16
2. 偏小型梯形分布
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17
2. 偏大型梯形分布
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18
2.中间型梯形分布
请写出中间型的隶属函数
0, 0.6) 0.7, 0.3)
求向量a和b的内积
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55
模糊集合的内积（任意论域）
设A, B F (U ), 称 A B [ A(u ) B (u )]
uU
为模糊集合A和B的内积
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56
外积（内积对偶运算）
设A, B F (U ), 称 A B [ A(u ) B (u )]
模糊分布
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什么是模糊分布？
最常见的论域
实数集R
实数集R上的模糊集合的隶属函数 称为模糊分布
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6
模糊分布法的步骤
先假设要建立的隶属函数服从一个 分布（带参数）
然后设法去确定其中参数
参数确定，则隶属函数确定
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{1, 2,3, 4,5, 6}, {1, 2, 4,5, 6}, H ( ) {2, 4,5, 6}, {2,5, 6}, {5, 6},
0 0.2 0.2 0.5 0.5 0.6 0.6 0.8 0.8 1
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3
A＝1{5,6} ∪0.8{2,5,6} ∪0.6{2,4,5,6} ∪0.5{1,2,4,5,6} ∪0.2{1,2,3,4,5,6}}
0.5 0.8 0.2 0.6 1 1 A 1 2 3 4 5 6
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4
隶属函数确定方法之二
(
x 1
1
)2
(1 0) ( 2 0)
70
(
x 2
2
)2
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内积
A( x) B( x) (e
xU
(
x 1
1
)
2
e
(
x 2
2
)2
)
A( x) B ( x) e
a2 a1 2 ( ) 1 2
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59
性质1
( A B) A B
c c
c
( A B) A B
c c
c
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60
性质1证明
证明( A B )c Ac B c ( A B)c 1 A B 1 [ A(u ) B(u )]
uU
[1 A(u ) B(u )] [(1 A(u )) (1 B(u ))]
65
内外积的性质4
4. ( A B ) A
BF (U ) BF (U )
( A B) A
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66
内外积的性质5
5.A B A B A A B B
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67
内外积的性质6
1 6. A A 2 1 c A A 2
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51
2-2 格贴近度
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52
模糊向量
有限论域上的模糊集合可以表示成 模糊向量的形式
模糊集合的第三种记法
例如：X={x1 , x2 , x3 , x4 ,, x5}上的模 糊集合A=(μ1 , μ2 , μ3 , μ4 ,, μ5)
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c
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68
内外积的性质7
7.A B A C B C且A C B C
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69
内外积-例
设论域U为实数域，其上有两个正 态模糊集A,B,它们的隶属函数如下， 试求A、B的内外积。
A( x) e B( x) e
A = ( 0.1, B = ( 0.2,
0.5, 0,
0, 0.6) 0.7, 0.3)
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内外积的性质2
2. A B A B; A B A B;
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64
内外积的性质3
3. A A A A A A
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35
6. 岭型分布（偏大型）
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36
6. 岭型分布（中间型）
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37
如何选取模糊分布？
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38
选择模糊分布的两种方式
直接根据讨论对象的特点选择 利用模糊统计
通过统计资料得到大致曲线 与模糊分布做比较，选择最相似分布 根据实验确定较符合实际的参数 得到隶属函数表达式
30
5.柯西分布（偏小型）
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31
5.柯西分布（偏大型）
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32
正态分布与柯西分布
正态分布 柯西分布
柯西分布下降比正态分布下降要慢很多
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33
6.岭型分布
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34
6. 岭型分布（偏小型）
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9
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偏大型模糊分布
偏向大的一方的模糊现象
大、热、年老
隶属函数的一般形式如下，其中a 为常数，f (x)为非递减函数
0, A( x) f ( x), xa xa
10
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中间型模糊分布
处于中间状态的模糊现象
中、暖、中年
隶属函数的一般形式如下，其中a,b 为常数
uU
为模糊集合A和B的外积
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外积例子
A = ( 0.1, B = ( 0.2,
0.5, 0,
0, 0.6) 0.7, 0.3)
求向量a和b的外积
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58
余运算
在闭区间[0,1]上定义余运算： ∀a∈[0,1], ac=1-a
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模糊数学
第四讲
孙舒杨 Email. sysun@
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1
设U={1,2,3,4,5,6}，H是 集值映射，且满足下式， A H ( ), 0; 试由H求出相应的模糊 集A, Aλ,Aλ . ∀λ ∈[0,1] A H ( ), 1
2
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答案
{1, 2,3, 4,5, 6}, {1, 2, 4,5, 6}, A {2, 4,5, 6}, {2,5, 6}, {5, 6}, {1, 2,3, 4,5, 6}, {1, 2, 4,5, 6}, A {2, 4,5, 6}, {2,5, 6}, {5, 6}, 0 0.2 0.2 0.5 0.5 0.6 0.6 0.8 0.8 1 0 0.2 0.2 0.5 0.5 0.6 0.6 0.8 0.8 1
有时：内积越大，这两个模糊集越 靠近； 有时：外积越小，这两个模糊集越 靠近；
71
A、B的外积是什么？
0
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72
下图的内积表示什么？
两个模糊集A、B交点纵坐标 其值越大，A、B越靠近；
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73
下图的外积表示什么？
两个模糊集A、B交点纵坐标
其值越小，A、B越靠近；
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74
内外积与靠近程度
两个模糊集
7
模糊分布的三种类型
偏小型：
小、冷、年轻 大、热、年老 中、暖、中年
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偏大型：
中间型：
8
偏小型模糊分布
偏向小的一方的模糊现象
小、冷、年轻
隶属函数的一般形式如下，其中a 为常数，f (x)为非递增函数
1, A( x) f ( x), xa xa
则称N(A,B)为模糊集合A与B的贴近度，N 称为F(U)上的贴近度函数。