模糊数学2009-4(分布函数、贴近度)

A = ( 0.1, B = ( 0.2,
0.5, 0,
0, 0.6) 0.7, 0.3)
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63
内外积的性质2
2. A B A B; A B A B;
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64
内外积的性质3
3. A A A A A A
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65
内外积的性质4
4. ( A B ) A
BF (U ) BF (U )
( A B) A
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66
内外积的性质5
5.A B A B A A B B
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67
内外积的性质6
1 6. A A 2 1 c A A 2
c
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68
内外积的性质7
7.A B A C B C且A C B C

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69
内外积-例

设论域U为实数域，其上有两个正 态模糊集A,B,它们的隶属函数如下， 试求A、B的内外积。
A( x) e B( x) e
59
性质1
( A B) A B
c c

c
( A B) A B
c c

c
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60
性质1证明
证明( A B )c Ac B c ( A B)c 1 A B 1 [ A(u ) B(u )]
uU
[1 A(u ) B(u )] [(1 A(u )) (1 B(u ))]

有时：内积越大，这两个模糊集越 靠近； 有时：外积越小，这两个模糊集越 靠近；
则称N(A,B)为模糊集合A与B的贴近度，N 称为F(U)上的贴近度函数。
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49
常见的贴近度

海明贴近度（距离贴近度） 欧几里德贴近度

测度贴近度
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50
海明贴近度
若U {u1 , u2 ,..., un }, 则 1 n N ( A, B) 1 | A(ui ) B(ui ) | n i 1 当U为实数域上的闭区间[a, b]时，则有 1 b N ( A, B) 1 a | A(u) B(u) | du ba
0, 0.6) 0.7, 0.3)

求向量a和b的内积
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55
模糊集合的内积（任意论域）
设A, B F (U ), 称 A B [ A(u ) B (u )]
uU
为模糊集合A和B的内积
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56
外积（内积对偶运算）
设A, B F (U ), 称 A B [ A(u ) B (u )]
模糊数学
第四讲
孙舒杨 Email. sysun@jlu.edu.cn
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1

设U={1,2,3,4,5,6}，H是 集值映射，且满足下式， A H ( ), 0; 试由H求出相应的模糊 集A, Aλ,Aλ . ∀λ ∈[0,1] A H ( ), 1
uU
为模糊集合A和B的外积
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57
外积例子

A = ( 0.1, B = ( 0.2,
0.5, 0,
0, 0.6) 0.7, 0.3)

求向量a和b的外积
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58
余运算
在闭区间[0,1]上定义余运算： ∀a∈[0,1], ac=1-a
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模糊分布
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什么是模糊分布？

最常见的论域

实数集R

实数集R上的模糊集合的隶属函数 称为模糊分布
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6
模糊分布法的步骤

先假设要建立的隶属函数服从一个 分布（带参数）


然后设法去确定其中参数
参数确定，则隶属函数确定
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19
3. 抛物型
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3. 抛物型（偏小型）
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21
3. 抛物型（偏大型）
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22
3.抛物型（中间型）
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23
4.正态分布
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24
4.正态分布（中间型）
0, A( x) f ( x), 0, xa x [ a, b] xb
11
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1-10 常用的模糊分布
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12
常用的分布类型

矩形 梯形


K次抛物型
正态分布


柯西分布（也称为哥西分布，Cauchy）
岭形分布
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71
A、B的外积是什么？

0
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72
下图的内积表示什么？


两个模糊集A、B交点纵坐标 其值越大，A、B越靠近；
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73
下图的外积表示什么？

两个模糊集A、B交点纵坐标

其值越小，A、B越靠近；
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74
内外积与靠近程度
两个模糊集
35
6. 岭型分布（偏大型）
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36
6. 岭型分布（中间型）
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37
如何选取模糊分布？
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38
选择模糊分布的两种方式

直接根据讨论对象的特点选择 利用模糊统计




通过统计资料得到大致曲线 与模糊分布做比较，选择最相似分布 根据实验确定较符合实际的参数 得到隶属函数表达式
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25
4.正态分布（偏小型）
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26
4.正态分布（偏大型）
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27
4.正态分布（另一种中间型）
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28
5.柯西分布
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29
5.柯西分布（中间型）
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uU uU
[ Ac (u ) B c (u )]
uU c
A B
c
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61
峰值和谷值
对A F (U ), 令 a A(u ), a A(u )
uU uU
称a为模糊集的峰值，称a为模糊集的谷值。
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62
求下例的峰值和谷值
13
1.矩形分布（曲线）
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14
1. 矩形分布（隶属函数）
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15
2. 梯形分布
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16
2. 偏小型梯形分布
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17
2. 偏大型梯形分布
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18
2.中间型梯形分布

请写出中间型的隶属函数
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3
A＝1{5,6} ∪0.8{2,5,6} ∪0.6{2,4,5,6} ∪0.5{1,2,4,5,6} ∪0.2{1,2,3,4,5,6}}
0.5 0.8 0.2 0.6 1 1 A 1 2 3 4 5 6
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4
隶属函数确定方法之二
7
模糊分布的三种类型

偏小型：

小、冷、年轻 大、热、年老 中、暖、中年
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偏大型：


中间型：

8
偏小型模糊分布

偏向小的一方的模糊现象

小、冷、年轻

隶属函数的一般形式如下，其中a 为常数，f (x)为非递增函数
1, A( x) f ( x), xa xa
(
x 1
1
)2
(1 0) ( 2 0)
70
(
x 2
2
)2
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内积
A( x) B( x) (e
xU
(
x 1
1
)
2
e
(
x 2
2
)2
)
A( x) B ( x) e
a2 a1 2 ( ) 1 2
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30
5.柯西分布（偏小型）
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31
5.柯西分布（偏大型）
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32
正态分布与柯西分布
正态分布 柯西分布
柯西分布下降比正态分布下降要慢很多
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33
6.岭型分布
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34
6. 岭型分布（偏小型）
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47
贴近度

贴近度是对两个模糊集合接近程度 的一种度量。
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48
贴近度的定义
设A,B,C∈F(U), 若映射 N:F(U)×F(U)[0,1] 满足条件：


N(A,B)=N(B,A) N(A,A)=1, N(U,Ф)=0 若A⊆B⊆C,则N(A,C)≤N(A,B)∧N(B,C)


将图中离散点用折线连起来，作为 区间v’=[1,15]上的隶属函数曲线
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44
第二章 模糊模式识别
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45
何谓模式识别？

对某个具体对象，识别它属于何类。 这类问题称为模式识别。
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46
2-1 模糊集的贴近度
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39
确定隶属函数的例子

模糊概念：“年轻人” 进行统计，发现曲线与柯西分布的 偏小型相似
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40
确定三个参数

a = 25 β= 2

α =？

考虑最模糊的点（30岁，隶属度应该 是0.5） α =1/25
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{1, 2,3, 4,5, 6}, {1, 2, 4,5, 6}, H ( ) {2, 4,5, 6}, {2,5, 6}, {5, 6},
0 0.2 0.2 0.5 0.5 0.6 0.6 0.8 0.8 1
9
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偏大型模糊分布

偏向大的一方的模糊现象

大、热、年老

隶属函数的一般形式如下，其中a 为常数，f (x)为非递减函数
0, A( x) f ( x), xa xa
10
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中间型模糊分布

处于中间状态的模糊现象

中、暖、中年

隶属函数的一般形式如下，其中a,b 为常数
41
课上作业

在一个荧光屏上，用一个光点的上 下运动快慢代表15种不同的运动速 度，记V={1,2,…,15}，主试者随机 给出15种速率，让被试者按 “快”“中”“慢”进行分类，每 种速率共给出320次，判断结果如下 表：
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42
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43

试用频率作为隶属度，确定模糊概 念“快”“中”“慢”在V中所表 现的模糊集 画出上述概念在V上的隶属函数图
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51
2-2 格贴近度
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52
模糊向量

有限论域上的模糊集合可以表示成 模糊向量的形式

模糊集合的第三种记法

例如：X={x1 , x2 , x3 , x4 ,, x5}上的模 糊集合A=(μ1 , μ2 , μ3 , μ4 ,, μ5)
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模糊向量的内积（有限论域）
设A (a1 , a2 ,...an ), B (b1 , b2 ,...bn ), 称 a b (ai bi )
i 1 n
为模糊集合A和B的内积
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54
内积例子

A = ( 0.1, B = ( 0.2,
0.5, 0,
2
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答案
{1, 2,3, 4,5, 6}, {1, 2, 4,5, 6}, A {2, 4,5, 6}, {2,5, 6}, {5, 6}, {1, 2,3, 4,5, 6}, {1, 2, 4,5, 6}, A {2, 4,5, 6}, {2,5, 6}, {5, 6}, 0 0.2 0.2 0.5 0.5 0.6 0.6 0.8 0.8 1 0 0.2 0.2 0.5 0.5 0.6 0.6 0.8 0.8 1