圆的方程 - 简单 - 讲义

圆的方程

知识讲解

一、圆的标准方程

⑴以点(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的方程：222()()x a y b r -+-=

⑵圆心在原点的圆的标准方程：222x y r +=

二、圆的一般方程

方程：220x y Dx Ey F ++++=，

（2240D E F +->）① 说明：⑴2x 和2y 项的系数相等且都不为零； ⑵没有xy 这样的二次项．

⑶表示以(,)22D E -- a)当2240D E F +-=时，方程①只有实根2D x =-，2

E y =-，方程①表示一个点(,)22D E -- b)当2240D E

F +-<时，方程①没有实根，因而它不表示任何图形

三、圆的参数方程

概念：cos ,(sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数)叫做圆的参数方程．特别地，当0,a b ==即圆心在原点，圆的参数方程式为cos ,(sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩

为参数)．圆的参数方程，其实质是三角换元．当涉及有关最值或取值范围问题时，可设圆上的点参数，这样可把代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识来处理．

四、圆心的三个重要的几何性质 1.圆心在过切点且与切线垂直的直线上．

2.圆心在模一条弦的中垂线上．

3.两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．

五、判断点与圆的位置关系的方法 1. 圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，圆心(,)A a b ，半径r ，若点00(,)M x y 在圆上，则

22200()()x a y b r -+-=；若点00(,)M x y 在圆外，则22200()()x a y b r -+->；若点00(,)

M x y 在圆内，则22200()()x a y b r -+-<．反之，也成立．

2. 利用几何法来判断点与圆的位置关系．当点M 到圆心的距离大于圆的半径，则若点M 在圆外；当点M 到圆心的距离小于圆的半径，则若点M 在圆内；当点M 到圆心的距离等于圆的半径，则若点M 在圆上．即AM r >⇔点M 在圆外；AM r <⇔点M 在圆内；AM r =⇔点M 在圆上

典型例题

一．选择题（共5小题）

1．（2009•辽宁）已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）

A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=2

2．（2016•北京）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）

A．1 B．2 C．D．2

3．（2015•新课标Ⅱ）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）

A．B． C． D．

4．（2015•漳州二模）圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（）

A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y﹣2）2=1 C．（x+2）2+（y﹣1）2=1 D．（x﹣1）2+（y+2）2=1

5．（2015•北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）

A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2

二．填空题（共4小题）

6．（2015•浦东新区一模）若关于x，y的方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是．

7．（2005•上海）直角坐标平面xOy中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足

，则点P的轨迹方程是．

8．（2016春•泉州校级期末）以两点A（﹣3，﹣1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是．

9．（2015•上海学业考试）以（2，6）为圆心，1为半径的圆的标准方程为．

三．解答题（共3小题）

10．已知定点A（1，2）在圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0的外部，求k的取值范围．

11．求出下列圆的方程，并画出图形：

（1）圆心在点C（﹣1，1），过直线x+3y+7=0与3x﹣2y﹣12=0的交点；（2）过点A（﹣1，1）和D（1，3），圆心在x轴上；

（3）已知点A（﹣2，4），B（8，﹣2），且AB为圆的直径．

12．求过三点A（﹣1，0），B（1，﹣2），C（1，0）的圆的方程．