双曲线的简单几何性质 (第二课时) 教案 2

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2.2.2(二)双曲线的简单几何性质(二)

2.2.2(二)
跟踪训练 3 设 A、B 分别是双曲线xa22－yb22＝1(a，b>0)的左、
右顶点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离为 3.
(1)求此双曲线的方程；
(2)已知直线 y＝ 33x－2 与双曲线的右支交于 D、E 两点，
本讲栏
且在双曲线的右支上存在点 C，使得O→D＋O→E＝mO→C，求
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.2(二)
2.已知双曲线xa22－by22＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1、
F2，过 F2 的直线交双曲线右支于 A，B 两点.若△ABF1
是以 B 为顶点的等腰三角形，且△AF1F2，△BF1F2 的面
本讲
积之比 S△AF1F2∶S△BF1F2＝2∶1，则双曲线的离心率
本
讲
A.(x－5)2＋y2＝36
B.(x＋5)2＋y2＝36
栏目
C.(x－5)2＋y2＝9
D.(x＋5)2＋y2＝9
开关
解析由双曲线ax22－y92＝1(a>0)得渐近线方程为 y＝±3ax，即
3x±ay＝0，∴a＝4，
∴c2＝a2＋9＝25，∴右焦点为(5,0). 又∵b2＝9，∴虚轴长 2b＝6. ∴所求圆的方程为(x－5)2＋y2＝36.
2.2.2(二)
题型一直线与双曲线的位置关系
例 1 已知直线 y＝kx－1 与双曲线 x2－y2＝1 有且仅有一个
公共点，k 为何值？
本讲栏
解由yx＝2－kyx2－＝11， ⇒(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
目开
当 1－k2≠0 时，即 k≠±1 时，
关 ∵直线和双曲线只有一个交点，

双曲线的简单几何性质精品教案

双曲线的简单几何性质章节名称双曲线的简单几何性质（第二课时）本节（课）教课内容剖析数学发展观以为：数学好像其余事物同样，是不停在运动、变化中发展的，又在不停发展中显现新的活力与生命。

学生在学习一个数学新知识时，若能鉴于数学发展观，从问题的本质下手，对问题的条件、结论及结题方法等方面进行商讨，在相对完好的运动发展的过程中领会到新知识的应用价值，那么这样的学习不不过深刻有效的，并且是风趣的。

鉴于以上考虑，在教课上做了以下设计：在网络环境下，以网页为载体，借助《几何画板》强盛的动向演示功能，经过大批自主实验（包含察看实验、考证明验、研究实验等）让学生认识圆锥曲线定义的本质，熟习圆锥曲线的性质，掌握直线与圆锥曲线地点关系的要点。

本节课是在学生借助图象用类比法学习了双曲线的简单几何性质的基础上的一节以复习和研究为主的课。

依照的课程标准1．认识圆锥曲线的本质背景，感觉圆锥曲线在刻画现实世界和解决本质问题中的作用。

2．经历从详细情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握他们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。

3．认识双曲线的定义、几何图形和标准方策还可以够，指导双曲线的有关性质。

4．能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的地点关系）和本质问题。

5．经过圆锥曲线的学习，进一步领会数形联合的思想。

本节（课）教课目的1．知识与技术（ 1）类比椭圆的几何性质，复习稳固双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、极点、渐近线和离心率等；（ 2）能娴熟运用双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程、极点、离心率等性质解题；（3）经过数学实验，研究直线与双曲线的交点个数问题，掌握用方程与不等式思想解决分析几何问题。

2．过程与方法（1）运用类比复习法，复习稳固椭圆和双曲线的几何性质，并学会划分它们的异同，培育学生独立研究、贯通融会的能力；（2）联合双曲线的图形特色，娴熟运用双曲线的几何性质解题，感悟数与形的交融，掌握数形联合思想；（3）先利用数学软件研究直线与双曲线的地点关系，从而用方程与不等式的方法求解，考证察看结果，培育学生的发现问题、解决问题的能力，掌握方程与不等式相联合解决分析几何问题的方法。

3.2.2 双曲线的简单几何性质(第2课时)直线与双曲线的位置关系

第12页
探究1
解直线和双曲线的位置关系的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于 x 或 y 的一元二次方程.再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系.这时首先要看二次项的系数是否等于 0.当二次项系数等于 0 时，就转化成 x 或 y 的一元一次方程，只有一个解.这时直线与双曲线相交且只有一个交点.当二次项系数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位置关系.
∴|MN|＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2＝ 1＋k2·
＝6（|3k－2＋k21|）＝4.解得 k＝± 515.
∴直线 l 的方程为 y＝± 515(x－2).
－ 3－4kk222＋4（43－k2＋k23）
第15页
题型二弦长问题
例 2 (1)求直线 y＝x＋1 被双曲线 x2－y42＝1 截得的弦长. 【解析】由x2－y42＝1，得 4x2－(x＋1)2－4＝0.
y＝x＋1，
即 3x2－2x－5＝0.①
设方程①的解为 x1，x2， ∴x1＋x2＝32，x1x2＝－53.
∴弦长 d＝ 2|x1－x2|＝ 2· （x1＋x2）2－4x1x2＝ 2×
第7页
知识点二直线与双曲线相交所得弦长的两种求法方法一：利用距离公式. 求出直线和双曲线的两个交点坐标，利用两点间距离公式求弦长. 方法二：利用弦长公式. 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与双曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ 1＋k2·|x1－x2|＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2 ＝ 1＋k12·|y1－y2| ＝ 1＋k12· （y1＋y2）2－4y1y2.
第5页
(2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠±ba时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2).

2.3.2双曲线的简单几何性质教学设计(优秀教案)

双曲线的简单几何性质教案一、学习目标知识目标: 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。

能力目标: 通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力. 情感目标: 使学生在合作探究活动中体验成功, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系.二、学习重点、难点1. 教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质；2. 教学难点：双曲线的渐近线.三、学习过程：（一）复习式导入：在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。

那么，你认为应该研究双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的哪些性质呢？范围、对称性、顶点、离心率等.这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质（二）新课：我们先来研究一下焦点坐标在x 轴上的双曲线的简单几何性质。

1双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的简单几何性质（1）范围从图形看，x 的取值范围是什么？师生：从标准方程能否得出这个结论呢？ y 的范围呢？R y ∈（2）对称性从图形看，双曲线关于什么对称性？生：关于x 轴、y 轴和原点都是对称的那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？提示：用y -代替原方程中的y ，若方程不变，则该曲线……关于x 轴对称。

同理，若用x -代替原方程中的x ，若方程不变，则该曲线关于y 轴对称。

若用y x --,分别代替原方程中的y x ,，若方程不变，则该曲线关于原点对称。

所以，双曲线是关于x 轴、y 轴和原点都是对称的。

x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。

（3）顶点椭圆的顶点有几个？（4个）它是如何定义的？（椭圆与对称轴的交点）类比椭圆顶点的定义，我们把双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。

由图形可以看到，双曲a x a x -≤≥或012222≥-=ax b y 2222,1a x ax≥≥∴即ax a x -≤≥∴或线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点有几个？顶点坐标是？(,0)a ± 虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但我们仍然把(0,)b ±标在图形上。

《2.2.2 双曲线的简单几何性质》教案

《2.2.2 双曲线的简单几何性质》教案【教材分析】由曲线方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何所研究的主要问题之一，本课就是根据前节导出的双曲线标准方程来进一步研究它的几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.本节课的主要内容是由椭圆的几何性质通过类比联想，归纳出类似于椭圆几何性质的双曲线的几何性质，（这样，学生会感到容易接受）.【教学目标】1.知识与技能(1)给定双曲线方程，能正确写出有关几何元素，包括顶点、焦点、实轴虚轴长、离心率、渐近线方程等，认识相关元素的内在联系.(2)给定相关几何元素，正确得出相应的双曲线方程.(3)理解离心率、渐近线对双曲线张口大小的影响，能正确说出其中的规律.2.过程与方法(1)在经历一个较完整的数学问题探求过程中，提高学生的观察猜想和验证能力.(2)在椭圆与双曲线性质的类比过程中，提高学生的归纳能力.(3)在几何性质探求过程中，培养学生曲线方程思想和意识.3.情感、态度与价值观培养学生主动探求知识、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念.【教学重点】双曲线的离心率和渐近线.【教学难点】双曲线的离心率对双曲线的刻画，渐近线的含义及离心率与渐近线斜率间的联系. 【教学方法】启发式、发现法.【教学准备】多媒体【教学课时】1课时【教学过程】1.创设情境，引入课题（1）问题情景师问1：首先请同学们回忆一下我们是从哪些方面研究椭圆的？学生答：首先研究了椭圆的标准方程，接着研究了椭圆的几何性质.师问2：很好，那么类似地双曲线是否也具有一些几何性质呢？（引出本节课的内容）注：本节课主要是由椭圆的几何性质通过类比联想，归纳出类似于椭圆几何性质的双曲线的几何性质，故进行下面的复习回顾.（2）复习回顾复习1:双曲线的概念及标准方程，(其中）（让学生适当举例）复习2:椭圆的几何性质标准方程范围对称性关于坐标轴对称，关于原点中心对称顶点离心率a ce =刻画椭圆扁平程度的几何量2.活动探究，认识性质(1)范围、对称性、顶点的探求结合椭圆的性质，让学生类比猜想得出双曲线的相关性质（范围此阶段限于ax ≥），并结合方程加以数学的验证.(2)双曲线的渐近线师问3:根据椭圆的上述四个性质，能较为准确地把 191622=+y x 画出来吗？学生答：能，确定椭圆的四个顶点然后用光滑的曲线连起来。

《双曲线的简单几何性质》第二课时示范公开课教学设计【高中数学人教版】

《双曲线的简单几何性质》第2课时教学设计学生已经经历了根据椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质的方法，并已学过了双曲线的定义及标准方程．类比椭圆的简单几何性质的推导过程，利用双曲线的标准方程，通过学生自我思考，得出结论，同学交流展示，得出与椭圆相近的几何性质．在整个过程中教师的作用仅是启发诱导，点拨释疑，补充完善．让学生不断地通过思考，动手，发现新知的同时，体会到学习中的成功感．课时分配本节内容分两课时完成．第1课时讲解双曲线的简单几何性质，要求学生类比椭圆简单几何性质的研究方法来研究双曲线的简单几何性质；第2课时讲解运用双曲线的简单几何性质解题以及应用于实际生活中．1．能应用双曲线的几何性质求双曲线方程；2．应用双曲线知识解决生产中的实际问题．教学重点：利用双曲线的性质求双曲线的标准方程．教学难点：由渐近线求双曲线方程．引入新课复习回顾(1)9y 2－16x 2＝144；(2) y 225－x 2144＝－1. 方程(1)的焦距为______；虚轴长为______；渐近线方程是________________；方程(2)的焦点坐标为__________；实半轴长为______；渐近线方程是________________．活动设计：学生独立完成．活动成果：10 6 y ＝±43x (±13,0) 12 y ＝±512x 设计意图：由题带出相应的知识点，既可以复习相关知识，又可以增加学生的成就感．达到了检测的目的，节省了时间，提高了课堂效率．例题研讨，变式精析1双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55 m ．选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1 m )．解：如图，建立直角坐标系xOy ，使小圆的直径AA ′在x 轴上，圆心与原点重合．这时，上下口的直径CC ′，BB ′都平行于x 轴，且|CC ′|＝13×2, |BB ′|＝25×2. 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，令点C 的坐标为(13，y )，则点B 的坐标为(25，y －55)．因为点B ，C 在双曲线上，所以由方程②得y ＝5b 12(负值舍去)，代入方程①，得 252122－5b 12－552b 2＝1，化简得19b 2＋275b －18 150＝0.③用计算器解方程③，得b ≈25.所以，所求双曲线方程为x 2144－y 2625＝1. 点评：此题既说明了双曲线的应用，同时又学习了如何根据条件确定双曲线标准方程中的a ，b ，从而得到双曲线的标准方程．2点M (x ，y )与定点F (5,0)的距离和它到定直线l ：x ＝165的距离的比是常数54，求点M 的轨迹．解：设d 是点M 到直线l ：x ＝165的距离，根据题意，点M 的轨迹就是集合P ＝{M ||MF|d ＝54}，由此得x －5＋y 2|165－x|＝54. 将上式两边平方，并化简，得9x 2－16y 2＝144，即x 216－y 29＝1. 所以，点M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线．变式：动点M (x ，y )与定点F (c ,0)(c >0)的距离和它到定直线l ：x ＝a 2c 的距离的比是常数c a(c a>1)，求点M 的轨迹方程．解：∵点M (x ，y )到定直线l ：x ＝a 2c 的距离d ＝|x －a 2c|， |MF |＝x －c 2＋y 2，依题意|MF|d ＝c a ，∴x －c 2＋y 2|x －a 2c|＝c a .① 方程①两边平方化简整理得x 2a 2－y 2c 2－a2＝1② 令c 2－a 2＝b 2，方程②化为x 2a 2－y 2b 2＝1，这就是所求的轨迹方程． ∴点M 的轨迹是实轴长为2a 、虚轴长为2b 的双曲线．点评：与课本2.2.2节例6对应，此题是通过一个具体的例题说明双曲线的另一种定义，通过变式得以升华推广，教学过程可以与椭圆的例6类比．3如图所示，过双曲线x 23－y 26＝1的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，求|AB |.分析：求弦长问题有两种方法：法一：如果交点坐标易求，可直接用两点间距离公式代入求弦长；法二：为了简化计算，常设而不求，运用韦达定理来处理．解：法一：直线AB 的方程为y ＝33(x －3)，与双曲线方程联立解得A 、B 的坐标分别为(－3，－23)，(95，－235)．由两点间的距离公式得|AB |＝165 3. 法二：直线AB 的方程为y ＝33(x －3)．与双曲线方程联立消去y 得5x 2＋6x －27＝0.设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1) 、(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－65，x 1·x 2＝－275. 由弦长公式得 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2x 1x 22－4x 1x 2＝1＋13－652－4－275＝163 3. 提出问题：你能求出△AF 1B 的周长吗？解：|AF 1|＝－3＋32＋－232＝23， |BF 1|＝95＋32＋－2532＝1453，又|AB |＝1653，所以△AF 1B 的周长是|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝1653＋23＋1453＝8 3. 变练演编 1.8＜k ＜17，双曲线x 217－k ＋y 28－k＝1的焦点坐标为__________． 2．与双曲线y 216－x 29＝1有相同渐近线，且经过点A (－3,23)的双曲线方程为______________．3．双曲线的离心率为52，且与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，则双曲线方程为______________．答案：1.(±3,0) 2.x 294－y 24＝1 3.x 24－y 2＝1 达标检测1．过双曲线x 29－y 216＝1的左焦点F 1作倾角为π4的直线与双曲线交于A 、B 两点，则|AB |＝__________.2．双曲线的两条渐近线方程为x ±2y ＝0，且截直线x －y －3＝0所得弦长为833，则该双曲线的方程为( )A .x 22－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．x 2－y 22＝1D .x 24－y 2＝13．已知双曲线与椭圆x 2＋4y 2＝64有公共焦点，它的一条渐近线方程为x －3y ＝0，双曲线的方程为____________．4．已知双曲线 x 2－y 24＝1，过点P (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则直线l 的斜率为____________．答案：1.1927 2.D 3.x 236－y 212＝1 4.±2 课堂小结1．求双曲线方程要根据具体条件具体对待，确定焦点的位置很重要．2．由例2及其变式可以简单给学生介绍第二定义．3．注意解决实际问题时条件的转化，建立好适当的数学模型．作业布置课本习题2.3 B 组第4题．补充练习基础练习1．过点P (2，－2)且与x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( ) A .y 22－x 24＝1 B .x 24－y 22＝1 C .y 24－x 22＝1 D .x 22－y 24＝1 2．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB |＝4，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是________________． 4．双曲线x 2－y 24＝1截直线y ＝x ＋1所得弦长是________________________．答案：1.A 2.C 3.8 4.832 拓展练习当渐近线的方程为y ＝±b a x 时，双曲线的标准方程一定是：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)吗？如果不一定，举出一个反例．解析：不一定是．反例：双曲线x 22a 2－y 22b 2＝1的准线方程为y ＝±b ax .点评：本题反例很多，可以让学生任意举出，然后分组讨论举出例子的共性，教师结合备选例题，归纳出共渐近线的双曲线系问题．本节主要还是解决课本上的例题，结合练习，重实际，重归纳，重提升，例题和练习的设计循序渐进注重提升．由于高考考纲对这部分的要求较低，对于直线与双曲线牵涉较少，只是课本上的例6涉及弦长．后续的习题课应以求双曲线方程及相应的几何性质，尤其是离心率为主．。

高中数学教案——双曲线的简单几何性质第二课时

课题：8．4双曲线的简单几何性质（二）教学目的：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质2．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题4．通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养教学重点：双曲线的渐近线、离心率教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A -特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异3．渐近线过双曲线12222=-by a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形矩形的两条对角线所在直线方程是x a b y ±=（0=±bya x ），这两条直线就是双曲线的渐近线 4．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率=e等轴双曲线可以设为：)0(22≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x kakb，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222b y a x6．双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线二、讲解新课： 7．离心率概念：双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率范围：1>e双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ，因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。

【新教材精创】3.2.2 双曲线的简单几何性质(2) 教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册

3.2.2双曲线的简单几何性质 (2)本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》,本节课主要学习双曲线的简单几何性质学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后,反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。

它是教学大纲要求学生必须掌握的内容,也是高考的一个考点,是深入研究双曲线,灵活运用双曲线的定细解析几何观念,提高学生的数学素质。

坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章, 运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现,重点:直线与双曲线的位置关系. 难点:直线与双曲线的位置关系.多媒体x≤-a或x≥a y∈R例4．如图,双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的一部分,已知塔的总高度为137.5m ,塔顶直径为90m ,塔的最小直径(喉部直径)为60m ,喉部标高112.5m ,试建立适当的坐标系,求出此双曲线的标准方程（精确到1m ）解:设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>,如图所示: AB 为喉部直径,故30a m =,故双曲线方程为2221900x y b -=. 而M 的横坐标为塔顶直径的一半即45m ,其纵坐标为塔的总高度与喉部标高的差即137.5112.525m -=, 故()45,25M , 故22245251900b-=,所以2500b =,故双曲线方程为221900500x y -=. 例5．已知点(,)M x y 到定点()5,0F 的距离和它到定直线l:165x =的距离的比是54,则点M 的轨迹方程为? 解:设点(,)M x y ,由题知45=MF d,22(5)41655x y x -+=-, 即222(5)161625()5x y x -+=-.整理得:221169x y -=.请你将例5与椭圆一节中的例最窄处即双曲线两顶点间221x y -=引导学生类比直线与椭圆位置关系的判断,让学生自主探究直线与双曲线的位置关系,凡是难度不大,经过学习学生自己能解决的问题,应该让学生自己解决,这样有利于调动学生学习的积极性,激发他们的学习积极性,同时也有利于学习建立信心,使他们的主动性得到充分发挥,从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。

人教版高中数学选修(2-1)-2.3《双曲线的简单几何性质(第2课时)》教学设计

2.3.2 双曲线的简单几何性质（第2课时）（杨军君）一、教学目标（一）学习目标1.掌握双曲线的几何性质，能利用几何性质解决实际问题；2.掌握直线与双曲线的位置关系的判断.（二）学习重点1.双曲线的几何性质；2.双曲线各元素之间的相互依存关系.（三）学习难点1.双曲线的离心率、渐近线问题；2.直线与双曲线位置关系.二、教学设计（一）预习任务设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第59页至第61页.（2）想一想：直线与双曲线的问题关系有哪些？如何判定？（3）写一写：与22221(0,0)x y a b a b-=>>共焦点的双曲线方程：22221()()x y a b λλ-=+-. 与22221(0,0)x y a b a b-=>>共渐近线的双曲线方程：2222x y a b λλ-=≠（0）. 2.预习自测1.下面说法正确的是（）A.若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切.B.过点(1,0)A 作直线l 与双曲线221x y -=只有一个公共点，这样的直线可作2条.C.直线:l y x =与双曲线22:12y C x -=有两个公共点.D.过双曲线外一点可以作双曲线的两条不同切线.答案：C解析：【知识点】直线与双曲线的位置关系【解题过程】直线与双曲线交于一点，两者可能是相切，也可能是相交，故A 错误；过(10)A ，且与渐近线平行的直线也与双曲线221x y -=只有一个交点，故B 错误；过原点不能作任何直线与双曲线相切，故D 错误.点拨：直线与双曲线问题需注意考虑特殊情况，比如与渐近线平行的直线等等.（二）课堂设计1.知识回顾复习双曲线的几何性质：（1）范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥.这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；（2）对称性：由以-x 代x ，以-y 代y 和-x 代x ，且以-y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；（3）顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；（4）渐近线：直线b y x a =±叫做双曲线22221x y a b-=的渐近线；（5）离心率：双曲线的焦距与实轴长的比ac e =叫做双曲线的离心率（e >1）. 【设计意图】为准确地运用新知，作必要的铺垫.2.新知讲解探究一：方程与几何性质●活动① 师生互动，深入理解问题1：椭圆22464x y +=的焦点是？问题2：双曲线的一条渐近线方程是0x =，则可设双曲线方程为？问题3：若双曲线与22464x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线方程是。

高中数学《双曲线的简单几何性质第二课时》(导学案)

第二章圆锥曲线与方程2.2.2 双曲线的简单几何性质(第二课时)一、学习目标1．掌握双曲线的简单的几何性质．2．掌握直线与双曲线的位置关系．【重点、难点】1.了解双曲线的几何性质，并会应用于实际问题之中.（重点）2.会利用双曲线的定义、标准方程、几何性质及图形四者之间的内在联系，分析和解决实际问题.(难点)二、学习过程【复习引入】复习 1：直线与椭圆有哪些位置关系:复习2: 判断直线与椭圆位置关系的方法:【导入新课】直线与双曲线的位置关系(1)一般地，设直线l ：y ＝kx ＋m ，①双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)．② 把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.①当b 2－a 2k 2＝0时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C 相交于一点．②当b 2－a 2k 2≠0时，Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．注意：直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点．(2)弦长公式：斜率为k 的直线l 与双曲线相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2.【典型例题】例1．若直线y=kx-1与双曲线122=-y x 有且只有一个交点,则k 的值为__________ .例2.过点(0,1)且斜率为1的直线交双曲线x 2-错误!未找到引用源。

=1于A,B 两点,则|AB|= .例3.过点P(8,1)的直线与双曲线x 2-4y 2=4相交于A,B 两点,且P 是线段AB 的中点,求直线AB 的方程.【变式拓展】1 直线2x-y-10=0与双曲线152022=-y x 的交点是 ____________ .2.双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±2x ，且经过点(3，－23)．(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点F 且倾斜角为60°的直线交双曲线于A 、B 两点，求|AB|.3.双曲线中心在原点，一个焦点坐标为F(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则双曲线的方程为________．三、总结反思1.求弦长的两种方法(1)距离公式法:当弦的两端点坐标易求时,可直接求出交点坐标,再利用两点间距离公式求弦长.(2)弦长公式法:当弦的两端点坐标不易求时,可利用弦长公式求解,即若直线l:y=kx+b(k ≠0)与双曲线C:12222=-b y a x (a>0,b>0)交于A(11,y x ),B(22,y x )两点,则|AB|= ||1||1211212y y x x k k -+=-+ 提醒:若直线方程涉及斜率,要注意讨论斜率不存在的情况.2.中点弦问题与弦中点有关的问题主要用点差法,根与系数的关系解决.另外,要注意灵活转化,如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长等问题解决.四、随堂检测1．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P(1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( ) A ．4 B ．3C ．2D ．12．若直线x ＝a 与双曲线x 24－y 2＝1有两个交点，则a 的值可以是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．－23.直线y=x+4与双曲线x 2-y 2=1的交点坐标为 .4.过点(0,1)且斜率为1的直线交双曲线x 2-错误!未找到引用源。

理科县优质课教案 §2.3.2 双曲线的简单性质

〖思考〗
x2 y2 1 的离心率为 2，则 k _____ （自主探究）若双曲线 k 4 9
四、例题讲解
x 例 3、点 M（x,y）与定点 F（5,0），的距离和它到定直线 l： 16 的距 5
离的比是常数 4 ,求点 M 的轨迹。
5
四、课堂小结
1.已知双曲线的方程，熟练的写出相应的几何性质。 2.已知双曲线几何性质，如何求方程。 3.双曲线还有另外的给出方式。
图形
标准方程范围对称性顶点焦点轴长渐近线离心率 a,b,c 的关系
三、讲授新课
1．已知双曲线方程，写出几何性质。例 1.求下列双曲线焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程，并由几何性质画出图像。
1).9 y 2 16x 2 144
2).9 y 2 16x 2 144
五、布置作业课本 P61 课外练习 3,4 P61 习题 2.3A 组第 3，4 题 P62 习题 2.3 B 组第 1,3 题六、课后反思：
双曲线的简单几何性质 (第 2 课时)
伟单位授课时间武山二中 2015 年 12 月 10 日
高二（7）班
教学过程
一、情景导入
先创设情景“悲伤的双曲线” ，再通过介绍双曲线的应用“双曲线远程导航定位系统”导入本节新课，即采用提问学生做答）焦点位置 X轴 Y轴
选修 2-1 第 2.3.2 节
双曲线的简单几何性质 (第 2 课时)
教学设计
课题教师授课年级学习目标：知识与技能：理解并熟练掌握双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）应用。过程与方法：通过观察、类比、合作探究引导学生应用双曲线的简单几何性质解题。情感、态度、价值观：通过介绍双曲线在实际中的广泛应用，培养学生探求知识的欲望，增强学生学习数学的兴趣。学习重点：双曲线的简单几何性质的应用，双曲线的各个元素之间的相互关系。学习难点：双曲线的离心率和渐近线问题授课类型：新授课课时安排：第二课时教具：多媒体、三角板杜

高二数学《双曲线的简单几何性质》教案

2.3.2双曲线的简单几何性质数学组邵丽霞一、课标要求：知道双曲线的有关性质。

二、学习目标：1.通过双曲线的方程和几何图形，了解双曲线的对称性、范围、顶点、离心率等简单几何性质2.了解双曲线的渐进性，并能解决一些简单的问题。

3.进一步体会数形结合的思想。

三、自主学习：问题1：类比椭圆几何性质的研究方法，如何得出双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质？（以焦点在x 轴上的双曲线为例）1. 范围①双曲线在不等式 x ≤－a 与 x ≥a 所表示的区域内.②怎么由双曲线方程求出它的范围？（即从代数的角度验证结论）2. 对称性①双曲线关于x 轴对称，关于y 轴对称，关于原点对称。

②如何用定义证明双曲线的这种对称性？3.顶点实轴：x 轴实轴长：2a 实半轴长：a虚轴：y 轴虚轴长：2b 虚半轴长：b4.渐近线①渐近线,思考：由双曲线标准方程如何求渐近线方程？ ②等轴双曲线5.离心率①离心率的概念②离心率的范围③离心率刻画双曲线的什么特征？问题2:等轴双曲线的渐近线、离心率：四、典型例题例1:求双曲线 14416922=-x y 的范围、实半轴长与虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程.变式题：求双曲线14416922-=-x y 的范围、实半轴长与虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程，并画出草图例2．已知双曲线的渐近线是 02=±y x ，并且双曲线过点 )3,4(M ，求双曲线方程.变式题：已知双曲线渐近线是 04=±y x ，并且双曲线过点)5,4(N ，求双曲线方程. 例3．已知双曲线的焦距为16，离心率是34，求双曲线的标准方程。

例4:求下列双曲线的标准方程：(1)与双曲线221916x y -=有共同渐近线，且过点(-；(2)与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点五、课堂练习：1．下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是（）12)(12)(1164)(1416)(22222222=-=-=-=-y x D y x C y x B y x A 2.中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是___________3.双曲线2kx 2-ky 2=1的一焦点是F(0，4)，则k 等于4.与双曲线x y 22916-=λ有共同的渐近线，且一顶点为(0，9)的双曲线的方程为____________六、我的课堂小结：双曲线的简单性质及应用。

《2.3.2双曲线的简单几何性质》教学案2

《双曲线的简单几何性质》教学案教学目标了解平面解析几何研究的主要问题：(1)根据条件，求出表示曲线的方程；(2)通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义．教学重点与难点重点：(1)根据条件，求出表示曲线的方程；(2)通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；难点：掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义．教学过程(1)复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养．①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过56P 的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．2．2双曲线的简单几何性质．(2)新课讲授过程(i )通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质．提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质．(ii )双曲线的简单几何性质①范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴； ④渐近线：直线b y x a =±叫做双曲线22221x y a b-=的渐近线； ⑤离心率：双曲线的焦距与实轴长的比a c e =叫做双曲线的离心率(1e >)． (iii )例题讲解与引申、扩展例3 求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y 轴上的渐近线是a y x b=±．扩展：求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．解法剖析：双曲线221169x y -=的渐近线方程为34y x =±．①焦点在x 轴上时，设所求的双曲线为22221169x y k k -=，∵()23,3A -点在双曲线上，∴214k =-，无解；②焦点在y 轴上时，设所求的双曲线为22221169x y k k -+=，∵()23,3A -点在双曲线上，∴214k =，因此，所求双曲线的标准方程为221944y x -=，离心率53e =．这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为()22,0169x y m m R m -=∈≠．例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图(1)，它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程(各长度量精确到1m )．解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，算出,,a b c 的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于,,a b c 的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．引申：如图所示，在P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路PA 或PB 送到呈矩形的足球场ABCD 中去铺垫，已知150AP m =，100BP m =，60BC m =，60APB ∠=o ．能否在足球场上画一条“等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由．解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点，则PA AM PB BM +=+，即50BM AM AP BP -=-=(定值)，∴“等距离”线是以A 、B 为焦点的双曲线的左支上的一部分，容易“等距离”线方程为()2213525,0606253750x y x y -=-≤≤-≤≤．理由略．例5 如图，设(),M x y 与定点()5,0F 的距离和它到直线l ：165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹方程．分析：若设点(),M x y ，则()225MF x y =-+，到直线l ：165x =的距离165d x =-，则容易得点M 的轨迹方程．引申：用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线若点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它到定直线l ：2a x c=的距离比是常数c e a=()0c a >>，则点M 的轨迹方程是双曲线．其中定点(),0F c 是焦点，定直线l ：2a x c =相应于F 的准线；另一焦点(),0F c '-，相应于F '的准线l '：2a x c=-．情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．能力目标(1) 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究，培养学生的分析问题和解决问题的能力．(2) 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．(3) 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．(4) 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．练习：第66页1、2、3、4、5作业：第3、4、6。