江苏省南京外国语学校2020-2021学年高一上学期期中数学试题
2020-2021南京秦淮外国语学校高一数学上期中第一次模拟试卷(带答案)
2020-2021南京秦淮外国语学校高一数学上期中第一次模拟试卷(带答案)一、选择题1．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =I A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅3．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭4．已知函数f (x )＝23,0{log ,0x x x x ≤>那么f 1(())8f 的值为( )A ．27B ．127C ．－27D ．－1275．设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，6．已知函数()245fx x x +=++，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥7．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．8．已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1- 9．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）10．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<12．方程 4log 7x x += 的解所在区间是（ ） A ．(1,2)B ．(3,4)C ．(5,6)D ．(6,7)二、填空题13．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．14．函数的定义域是 .15．己知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，01x <<时，()4xf x =，5()(2019)2f f -+的值是____.16．已知偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则(2)0f x ->的解集为___ ___17．用max{,,}a b c 表示,,a b c 三个数中的最大值，设{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->，则()f x 的最小值为_______.18．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有 人. 19．已知()2x a x af x ++-=，g(x)=ax+1 ，其中0a >，若()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是______________.20．若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.三、解答题21．已知函数f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，其中x ∈[0,3]． (1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若实数a 满足f (x )－a ≥0恒成立，求a 的取值范围． 22．已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且 ．（1）当[]02x ∈，时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围； （2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 23．已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x−1|，x 2−2ax+4a−2}，其中min{p ，q}={,.p p q q p q ，，≤> （Ⅰ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax+4a−2成立的x 的取值范围； （Ⅱ）（ⅰ）求F （x ）的最小值m （a ）； （ⅱ）求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）.24．已知函数()f x 是定义R 的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）画出函数()f x 的简图(不需要作图步骤)，并求其单调递增区间（3）当[]1,1x ∈-时，求关于m 的不等式2(1)(1)0f m f m -+-< 的解集．25．已知函数21()(,,)ax f x a b c Z bx c+=∈+是奇函数，且(1)2,(2)3f f =<（1）求a ，b ，c 的值；（2）判断函数()f x 在[1,)+∞上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）解关于t 的不等式：2(1)(3)0f t f t --++>．26．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】判断函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，求出f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=3＞0，即可判断． 【详解】∵函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f（0）=-4，f （1）=-1，f （2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．2．C解析：C 【解析】【分析】求出集合B 后可得A B I . 【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B =I {}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.3．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.4．B解析：B 【解析】 【分析】利用分段函数先求f （1)8）的值，然后在求出f 1(())8f 的值． 【详解】 f＝log 2＝log 22－3＝－3，f＝f (－3)＝3－3＝.【点睛】本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题．5．D解析：D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.6．B解析：B 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】 2x t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.7．B解析：B 【解析】 【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x-=>，函数有意义，可排除A ； 当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ； 又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.8．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．9．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．10．C【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】()f x Q 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．11．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.12．C解析：C 【解析】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数，根据(5)(6)0f f ⋅<，可得函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6，由此可得方程4log 7x x +=的解所在区间． 【详解】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数.∵(5)0f <，(6)0>f ∴(5)(6)0f f ⋅<∴故函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6∴方程4log 7x x +=的解所在区间是()5,6 故选C. 【点睛】零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.二、填空题13．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,)-??【解析】 【分析】 【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.14．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域解析：[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1- 考点：函数定义域15．【解析】【分析】根据题意由函数的奇偶性与周期性分析可得f （﹣）＝f （﹣）＝﹣f （）结合解析式求出f （）的值又因为f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1）＝0；据此分析可得答案【详解】解：根据 解析：2-【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性与周期性分析可得f （﹣52）＝f （﹣12）＝﹣f （12），结合解析式求出f （12）的值，又因为f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1）＝0；据此分析可得答案． 【详解】解：根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，则f （﹣52）＝f （﹣12）＝﹣f （12），f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1），又由函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，则有f （1）＝f （﹣1）且f （1）＝﹣f （﹣1），故f （1）＝0，则f （2019）＝0 ，又由0＜x ＜l 时，f （x ）＝4x ，则f （12）＝124＝2，则f （﹣52）＝﹣f （12）＝﹣2； 则5f f (2019)2⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝﹣2； 故答案为：﹣2 【点睛】本题考查函数的周期性与函数值的计算，属于基础题．16．【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性增减性就可以解不等式【详解】根据题意可知令则转化为由于偶函数在上为增函数则即即或即或【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性增减性）解不等式意在考查学生的转化能 解析：{|40}x x x ><或【解析】 【分析】通过判断函数的奇偶性，增减性就可以解不等式. 【详解】根据题意可知(2)0f =，令2x t -=，则转化为()(2)f t f >，由于偶函数()f x 在()0,∞+上为增函数，则()(2)f t f >，即2t>，即22x -<-或22x ->，即0x <或4x >.【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性，增减性）解不等式，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.17．0【解析】【分析】将中三个函数的图像均画出来再分析取最大值的函数图像从而求得最小值【详解】分别画出的图象取它们中的最大部分得出的图象如图所示故最小值为0故答案为0【点睛】本题主要考查数形结合的思想与解析：0 【解析】 【分析】将{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->中三个函数的图像均画出来,再分析取最大值的函数图像,从而求得最小值. 【详解】分别画出ln y x =-,1y x =-,24y x x =-的图象,取它们中的最大部分,得出()f x 的图象如图所示,故最小值为0.故答案为0 【点睛】本题主要考查数形结合的思想与常见函数的图像等,需要注意的是在画图过程中需要求解函数之间的交点坐标从而画出准确的图像,属于中等题型.18．【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人所以两种家电至少买一种有人所以两种都没买的有人或根据条件画出韦恩图：(人)考点：元素与集合的关系 解析：【解析】 【分析】 【详解】试题分析：两种都买的有人，所以两种家电至少买一种有人.所以两种都没买的有人.或根据条件画出韦恩图：(人).考点：元素与集合的关系.19．(01)【解析】结合与的图象可得点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化生动化能够变抽象思维为形象思维有助于把握数学问题的本质在运用数形结合思想分析和解决解析：(0,1), 【解析】(),,2x x a x a x af x a x a ≥++-⎧==⎨<⎩， 结合()f x 与()g x 的图象可得()0,1.a ∈点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质. 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围20．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么 解析：02b <<【解析】 【分析】 【详解】函数()22xf x b =--有两个零点，和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么三、解答题21．（1）f (x )min ＝－10，f (x )max ＝26；（2）(－∞，－10].【解析】试题分析：（1）由题意可得，f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，令t=2x ，从而可转化为二次函数在区间[1，8]上的最值的求解（2）由题意可得，a≤f （x ）恒成立⇔a ≤f （x ）min 恒成立，结合（1）可求 试题解析：(1)f (x )＝(2x )2－4·2x －6(0≤x ≤3)． 令t ＝2x ，∵0≤x ≤3，∴1≤t ≤8.则h (t )＝t 2－4t －6＝(t －2)2－10(1≤t ≤8)．当t ∈[1,2]时，h (t )是减函数；当t ∈(2,8]时，h (t )是增函数． ∴f (x )min ＝h (2)＝－10，f (x )max ＝h (8)＝26. (2)∵f (x )－a ≥0恒成立，即a ≤f (x )恒成立， ∴a ≤f (x )min 恒成立．由(1)知f (x )min ＝－10，∴a ≤－10. 故a 的取值范围为(－∞，－10]． 22．（1）3(0,1)(1,)2U ； （2）不存在. 【解析】 【分析】（1）结合题意得到关于实数a 的不等式组，求解不等式，即可求解，得到答案； （2）由题意结合对数函数的图象与性质，即可求得是否存在满足题意的实数a 的值，得到答案． 【详解】（1）由题意，函数()()log 3 (0a f x ax a =->且1)a ≠，设()3g x ax =-，因为当[]0,2x ∈时，函数()f x 恒有意义，即30ax ->对任意[]0,2x ∈时恒成立， 又由0a >，可得函数()3g x ax =-在[]0,2上为单调递减函数， 则满足()2320g a =->，解得32a <， 所以实数a 的取值范围是3(0,1)(1,)2U ． （2）不存在，理由如下：假设存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1， 可得()11f =，即log (3)1a a -=，即3a a -=，解得32a =，即()323log (3) 2f x x =-， 又由当2x =时，33332022x -=-⨯=，此时函数()f x 为意义， 所以这样的实数a 不存在． 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及复数函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理求解函数的最值，列出方程求解是解答的关键，着重考查了对基础概念的理解和计算能力，属于中档试题．23．（Ⅰ）[]2,2a ．（Ⅱ）（ⅰ）()20,32{42,2a m a a a a ≤≤=-+->．（ⅱ）()348,34{2,4a a a a -≤<M =≥．【解析】试题分析：（Ⅰ）分别对1x ≤和1x >两种情况讨论()F x ，进而可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-的最小值，再根据()F x 的定义可得()F x 的最小值()m a ；（Ⅱ）分别对02x ≤≤和26x ≤≤两种情况讨论()F x 的最大值，进而可得()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a ．试题解析：（Ⅰ）由于3a ≥，故当1x ≤时，()()()22242212120x ax a x x a x -+---=+-->，当1x >时，()()()22422122xax a x x x a -+---=--．所以，使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围为[]2,2a ． （Ⅱ）（ⅰ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-， 则()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-，所以，由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，即()20,32{42,2a m a a a a ≤≤+=-+-> （ⅱ）当02x ≤≤时，()()()(){}()max 0,222F x f x f f F ≤≤==，当26x ≤≤时，()()()(){}{}()(){}max 2,6max 2,348max 2,6F x g x g g a F F ≤≤=-=． 所以，()348,34{2,4a a M a a -≤<=≥．【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．【思路点睛】（Ⅰ）根据x 的取值范围化简()F x ，即可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()f x 和()g x 的最小值，再根据()F x 的定义可得()m a ；（Ⅱ）根据x 的取值范围求出()F x 的最大值，进而可得()M a ．24．（1）222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩；（2）图象见解析，(],1-∞-和 [)1,+∞；（3）[)0,1.【解析】 【分析】（1）由函数的奇偶性可求得函数()f x 的解析式；（2）利用二次函数图像可作法可得函数()f x 的图像及单调增区间；（3）利用函数在[]1,1-为减函数且为奇函数，可得22111111(1)(1)0m m m m -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-+->⎩，再求解即可.【详解】解：（1）由函数()f x 是定义R 的奇函数，则(0)0f =， 设0x >，则0x ->，因为函数()f x 是定义R 的奇函数， 所以22()()()2)2(f x f x x x x x ⎡⎤=--=---=-⎦--⎣，综上可得：222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩；（2）函数()f x 的图像如图所示，由图可得函数()f x 单调递增区间为(],1-∞-和[)1,+∞；（3）由（2）可知，函数()f x 在[]1,1-为减函数且为奇函数，当[]1,1x ∈-时，关于m 的不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，即2(1)(1)f m f m -<-，则22111111(1)(1)0m m m m -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-+->⎩，即20202(2)(1)0m m m m ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+-<⎩， 解得01m ≤<，故关于m 的不等式的解集为[)0,1.【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式及利用函数的性质求解不等式，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题. 25．⑴1,0a b c ===⑵增函数⑶22t -<< 【解析】 【分析】 【详解】（1）()f x Q 为奇函数，()()f x f x ∴-=-即2211ax ax bx c bx c++=--++得bx c bx c -+=--解得0c =又1(1)221a f b a b+==⇒=+Q 412(2)32021a a fb a +-=<⇒<+Q 解得1201a a Z a a -<<∈∴==Q 或 当0a =时12b =与b Z ∈矛盾舍，当1a =时1b =综上1,0a b c === ⑵函数()f x 在[1,)+∞上为增函数任取1212,[1,),x x x x ∈+∞<且则2212121212121211()(1)()()x x x x x x f x f x x x x x ++---=-= 1212,[1,),x x x x ∈+∞<Q 且1212(1,),0x x x x ∴⋅∈+∞-<且1212()()0()()f x f x f x f x ∴-<<即得证函数()f x 在[1,)+∞上为增函数⑶222(1)(3)0(3)(1)(1)f t f t f t f t f t --++>∴+>---=+Q211,31t t +≥+>Q ，函数()f x 在[1,)+∞上为增函数 213(1)(2)0t t t t ∴+<+⇒+-<解得222t t <⇒-<<考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明 26．（1）()10f = （2）{|10}x x -≤<． 【解析】 【分析】（1）根据()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，即可得出()1f 的值；（2）由0x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，根据()f x 的单调性，结合函数的定义域，列出不等式解出x 的范围即可. 【详解】（1）令1x y ==，则()()()111f f f =+，()10f =.（2）解法一：由x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，且30x x ->⎧⎨->⎩，即0x <. ∵()()()f xy f x f y =+，(),0,x y ∈+∞且112f ⎛⎫=⎪⎝⎭， ∴()()32f x f x -+-≥-可化为()()1322f x f x f ⎛⎫-+-≥-⎪⎝⎭，即()()113022f x f f x f ⎛⎫⎛⎫-++-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()()()331112222x x x x f f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔-+≥⇔-⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则03122x x x <⎧⎪⎨--⋅≤⎪⎩，解得10x -≤<.∴不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为{|10}x x -≤<． 【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.。
江苏省南京市三校2020-2021学年高一第一学期期中联考数学试卷 含答案
9．设集合 M＝{x|a＜x＜3＋a}，N＝{x|x＜2 或 x＞4}，则下列结论中正确的是 ( )
A．若 a＜－1，则 MN
B．若 a＞4，则 MN
C．若 M∪N＝R，则 1＜a＜2
D．若 M∩N≠，则 1＜a＜2
10．设 a，b，c∈R，则下列说法中正确的是 A．若 ac2＞bc2，则 a＞b C．若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd
C．“函数 f(x)在 R 上是增函数”的含义是“存在 x1，x2∈R，当 x1＜x2 时，f(x1)＜f(x2)”
D．对于非空集合 M，N，“MN”的充要条件是“对任意的 x∈M，都有 x∈N”
三、填空题：本大题共 4 小题；每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡中相应的横线上．
13．函数 y＝ x－1＋x－1 2的定义域为____▲______ ．
8．已知 x，y 满足 x＋y＝2，则下列结论中正确的是
A．xy 的最小值为 1
B．x2＋y2 的最小值为 2
C．x＋4x的最小值为 4
D．1x＋1y的最小值为 2
()
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
14．函数 f (x)＝x22x＋－11，，xx≤＞00，的值域为____▲______．
15．“存在 x∈R，x2＝x”的否定是：____▲______．
16．若定义在 R 上的奇函数 y＝f(x)在区间（0，＋∞）是增函数，且 f(2)＝0，则满足不等式 f(x)＜0 的实数 x 的取值范围是____▲______．
19．(本题满分 12 分)设函数 f(x)＝(k2＋4k－5)x2＋2(1－k)x＋1，若对任意的 x∈R，都有 f(x) ＞0，求实数 k 的取值范围．
2020-2021南京育英外国语学校高一数学上期中模拟试卷(带答案)
2020-2021南京育英外国语学校高一数学上期中模拟试卷(带答案)一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数f (x )＝23,0{log ,0x x x x ≤>那么f 1(())8f 的值为( )A ．27B ．127C ．－27D ．－1273．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数xy a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>4．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)25．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ）A ．50-B ．0C ．2D ．506．设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>7．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．已知函数)245fx x x =+，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥9．已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-10．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数11．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ） A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)212．已知函数()f x =2log (1),(1,3)4,[3,)1x x x x ⎧+∈-⎪⎨∈+∞⎪-⎩，则函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为（ ） A ．1B ．3C ．4D ．6二、填空题13．函数()22()log 23f x x x =+-的单调递减区间是______． 14．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数()g x =的定义域是__________．15．函数()f x 的定义域是__________．16．若函数()f x 满足()3298f x x +=+，则()f x 的解析式是_________. 17．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．18．已知函数()2()lg 2f x x ax =-+在区间(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______.19．某企业去年的年产量为a ，计划从今年起，每年的年产量比上年增加b ﹪，则第x ()x N *∈年的年产量为y =______.20．已知()2x a x af x ++-=，g(x)=ax+1 ，其中0a >，若()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是______________.三、解答题21．2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x （百辆），需另投入成本()f x 万元，且210200,050()100006019000,50x x x f x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2019年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）（2）2019年产量为多少（百辆）时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 22．已知函数())2log f x x =是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.（1）求a 的值；（2）记()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，若对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，求t 的取值范围.23．已知集合A={x|x ＜-1，或x ＞2}，B={x|2p-1≤x≤p+3}． （1）若p=12，求A∩B； （2）若A∩B=B，求实数p 的取值范围．24．设()()()log 1log (30,1)a a f x x x a a =++->≠,且()12f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．25．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，当[)0,x ∈+∞时，()22f x x x =-.(1)写出函数()y f x =的解析式；(2)若方程()f x a =恰3有个不同的解，求a 的取值范围.26．已知集合{|3A x x =≤-或2}x ≥，{|15}B x x =<<，{|12}C x m x m =-≤≤ （1）求A B I ，()R C A B ⋃；（2）若B C C ⋂=，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2．B解析：B 【解析】 【分析】利用分段函数先求f （1)8）的值，然后在求出f 1(())8f 的值． 【详解】 f＝log 2＝log 22－3＝－3，f＝f (－3)＝3－3＝.【点睛】本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题．3．A解析：A 【解析】 【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得3222639b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．B解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.5．C解析：C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．6．C解析：C 【解析】 【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】 由题得21log 3c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.7．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.8．B解析：B 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】 2x t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.9．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1， x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．10．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-， 故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数， 而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增， 故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .11．D解析：D 【解析】试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D.考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.12．C解析：C 【解析】 【分析】令[]()()10g x f f x =-=,可得[]()1f f x =,解方程()1f x =,结合函数()f x 的图象,可求出答案. 【详解】令[]()()10g x f f x =-=,则[]()1f f x =,令()1f x =,若2log (1)1x +=,解得1x =或12x =-,符合(1,3)x ∈-;若411x =-,解得5x =,符合[3,)x ∈+∞.作出函数()f x 的图象,如下图,(]1,0x ∈-时,[)()0,f x ∈+∞;()0,3x ∈时,()()0,2f x ∈;[3,)x ∈+∞时,(]()0,2f x ∈. 结合图象,若()1f x =,有3个解;若1()2f x =-,无解;若()5f x =,有1个解. 所以函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为4个. 故选:C.【点睛】本题考查分段函数的性质,考查了函数的零点,考查了学生的推理能力,属于中档题.二、填空题13．【解析】设（）因为是增函数要求原函数的递减区间只需求（）的递减区间由二次函数知故填解析：()-3∞-，【解析】设2log y t =，223t x x =+-，（0t >）因为2log y t =是增函数，要求原函数的递减区间，只需求223t x x =+-（0t >）的递减区间，由二次函数知(,3)x ∈-∞-，故填(,3)x ∈-∞-．14．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab 则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))解析：3,14⎛⎫⎪⎝⎭【解析】首先要使(2)f x 有意义，则2[0,2]x ∈， 其次0.5log 430x ->，∴0220431x x ≤≤⎧⎨<-<⎩，解得01314x x ≤≤⎧⎪⎨<<⎪⎩，综上3,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为[a ，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．15．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为 解析：(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.16．【解析】【分析】设带入化简得到得到答案【详解】设代入得到故的解析式是故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式属于常用方法需要学生熟练掌握解析：()32f x x =+ 【解析】 【分析】设32t x =+，带入化简得到()32f t t =+得到答案. 【详解】()3298f x x +=+，设32t x =+ 代入得到()32f t t =+故()f x 的解析式是() 32f x x =+ 故答案为：()32f x x =+【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式，属于常用方法，需要学生熟练掌握.17．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值解析：-8 【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,42xx x ππ∴∴Q设2tan t x =()()()2221412222142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立考点：函数单调性与最值18．【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减以及二次函数对称轴列不等式组解不等式组求得实数的取值范围【详解】要使在上递增根据复合函数单调性需二次函数对称轴在的左边并且在时二次函数的函数值为非负数即解得 解析：(],3-∞【解析】 【分析】根据复合函数单调性同增异减，以及二次函数对称轴列不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围. 【详解】要使()f x 在()2,+∞上递增，根据复合函数单调性，需二次函数22y x ax =-+对称轴在2x =的左边，并且在2x =时，二次函数的函数值为非负数，即2222220a a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩，解得3a ≤.即实数a 的取值范围是(],3-∞.【点睛】本小题主要考查复合函数的单调性，考查二次函数的性质，属于中档题.19．y ＝a （1+b ）x （x ∈N*）【解析】【分析】根据条件计算第一年产量第二年产量…根据规律得到答案【详解】设年产量经过x 年增加到y 件第一年为y ＝a （1+b ）第二年为y ＝a （1+b ）（1+b ）＝a （1+解析：y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）【解析】 【分析】根据条件计算第一年产量，第二年产量…根据规律得到答案. 【详解】设年产量经过x 年增加到y 件，第一年为 y ＝a （1+b %）第二年为 y ＝a （1+b %）（1+b %）＝a （1+b %）2，第三年为 y ＝a （1+b %）（1+b %）（1+b %）＝a （1+b %）3，…∴y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）．故答案为：y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）【点睛】本题考查了指数型函数的应用，意在考查学生的应用能力.20．(01)【解析】结合与的图象可得点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化生动化能够变抽象思维为形象思维有助于把握数学问题的本质在运用数形结合思想分析和解决 解析：(0,1),【解析】(),,2x x a x a x af x a x a ≥++-⎧==⎨<⎩， 结合()f x 与()g x 的图象可得()0,1.a ∈点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围三、解答题21．（1）()2104003000,050100006000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩；（2）2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.【解析】【分析】（1）先阅读题意，再分当050x <<时，当50x ≥时，求函数解析式即可；（2）当050x <<时，利用配方法求二次函数的最大值，当50x ≥时，利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，再综合求分段函数的最大值即可.【详解】解：（1）由已知有当050x <<时，()22600(10200)3000104003000L x x x x x x =-+-=-+-当50x ≥时，()1000010000600(6019000)30006000L x x x x x x=-+--=--+， 即()2104003000,050100006000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩， （2）当050x <<时，()2210400300010(20)1000L x x x x =-+-=--+， 当20x =时，()L x 取最大值1000，当50x ≥时，()10000600060005800L x x x =--+≤-+=， 当且仅当10000x x=，即100x =时取等号， 又58001000>故2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了分段函数最值的求法，属中档题.22．(1) 1a = (2) [)4,+∞【解析】【分析】（1）根据函数()f x 是R 上的奇函数，得到()00f = ，即可求得a 的值；（2）由（1）可得函数()g x 的解析式，分别求得函数()f x 和()g x 的单调性与最值，进而得出关于t 的不等式，即可求解.【详解】（1）因为())2log f x x =是R 上的奇函数，所以()00f = ，即log 0=，解得1a =.（2）由（1）可得())2log f x x =，()212121x t g x t x x t -++⎧=--=⎨+-⎩ 1,21,2x x ≥< . 因为奇函数()()2222log 1log 1f x x x x x =+-=++，所以()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为22333log 11444M f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=-=-+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为()2121x t g x x t -++⎧=⎨+-⎩ 1,21,2x x ≥<，所以()g x 在31,42⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上是增函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()g x 的最小值为34g ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2g 中的较小的一个. 因为33521442g t t ⎛⎫⎛⎫-=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22213g t t =-⨯++=-， 所以()()min 23g x g t ==-，因为对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，所以13t ≤-， 解得4t ≥.故t 的取值范围为[)4,+∞.【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，以及恒成立问题的求解，其中解答中熟记函数的基本性质，合理应用奇偶性、单调性和最值列出相应的方程或不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.23．（1）722x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（2）3 4.2p p ><-或 【解析】【分析】(1)根据集合的交集得到结果即可；（2）当A∩B=B 时，可得B ⊆A ，分B 为空集和不为空集两种情况即可.【详解】（1）当时，B={x |0≤x ≤}， ∴A∩B={x |2＜x ≤}；（2）当A∩B=B 时，可得B ⊆A ； 当时，令2p -1＞p +3，解得p ＞4，满足题意； 当时，应满足 解得； 即综上，实数p 的取值范围．【点睛】 与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集;（2）看这些元素满足什么限制条件;（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．24．（1）2a =，定义域为()1,3-；（2）2【解析】【分析】（1）由()12f =,可求得a 的值,结合对数的性质,可求出()f x 的定义域;（2）先求得()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性,进而可求得函数的最大值. 【详解】（1）()1log 2log l 242og a a a f =+==,解得2a =.故()()22log 1)g 3(lo f x x x =++-, 则1030x x +>⎧⎨->⎩,解得13x -<<, 故()f x 的定义域为()1,3-.（2）函数()()()()()222log 1log 3log 31f x x x x x =++-=-+,定义域为()1,3-,()130,2,3⎡⎤⊆⎥-⎢⎣⎦, 由函数2log y x =在()0,∞+上单调递增,函数()()31y x x =-+在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,可得函数()f x 在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 故()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()21log 42f ==. 【点睛】本题考查了函数的定义域,考查了函数的单调性与最值,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.25．(1) ()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩ (2) ()1,1- 【解析】【分析】（1）由奇函数的定义求解析式，即设0x <，则有x -＞0，利用()f x -可求得()f x ，然后写出完整的函数式；（2）作出函数()f x 的图象，确定()f x 的极值和单调性，由图象与直线y a =有三个交点可得a 的范围．【详解】解：(1)当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，()f x Q 是奇函数，()()f x f x ∴=--=-()()2222x x x x ⎡⎤---=--⎣⎦()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥∴=⎨--<⎩. (2)当[)0,x ∈+∞时，()()22211f x x x =-=--，最小值为1-； 当(),0x ∈-∞，()()22211f x x x x =--=-+，最大值为1. 据此可作出函数的图象，如图所示，根据图象得，若方程()f x a =恰有3个不同的解，则a 的取值范围是()1,1-.【点睛】本题考查函数奇偶性，考查函数零点与方程根的关系．在求函数零点个数（或方程解的个数）时，可把问题转化为一个的函数图象和一条直线的交点个数问题，这里函数通常是确定的函数，直线是动直线，由动直线的运动可得参数取值范围．26．(1) {|25}A B x x =≤<I (){|35}R C A B x x ⋃=-<< (2) 5(,1)(2,)2-∞-U【解析】试题分析：（1）根据集合的交集的概念得到{|25}A B x x ⋂=≤<，{|32}R C A x x =-<<，进而得到结果；（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆，分情况列出表达式即可.解析：（1）{|25}A B x x ⋂=≤< {|32}R C A x x =-<< (){|35}R C A B x x ⋃=-<< （2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆ Ⅰ）当C =∅时，∴12m m ->即1m <-Ⅱ）当C ≠∅时，∴121125m m m m -≤⎧⎪->⎨⎪<⎩∴522m << 综上所述：m 的取值范围是()5,12,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭。
2020-2021学年江苏省南京市鼓楼区高一(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷1.已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6}，则图中阴影部分表示的集合为()A. {2,4}B. {2,6}C. {2,4,6}D. {1,2,3,4}2.命题∀x∈R，x2−1<0的否定为()A. ∀x∈R，x2−1≥0B. 不存在x∈R，x2−1≥0C. ∃x∈R，x2−1<0D. ∃x∈R，x2−1≥03.若集合A={x|(x−2)(x−9)<0}，B={x|x<5}，则A∪B=()A. (2,5)B. (2,9)C. (−∞,9)D. (2,+∞)4.下面各组函数中表示同一个函数的是()A. f(x)=x，g(x)=(√x)2B. f(x)=|x|，g(x)=√x2C. f(x)=x2−1x−1，g(x)=x+1D. f(x)=|x|x ，g(x)={1,x≥0,−1,x<0.5.已知m=lg2，n=lg3，用m，n表示lg15=()A. 1+m+nB. 1−m+nC. 1+m−nD. 1−m−n6.平流层是指地球表面以上10km～50km的区域，则在下述不等式中，最适合表示平流层高度的是()A. |x+10|<50B. |x−10|<50C. |x+10|<20D. |x−30|<207.已知函数f(x)=ax2+bx+c，不等式f(x)<0的解集为{x|x<−3或x>1}，则函数y=f(−x)的图象可以为()A. B.C. D.8.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且f(x)在(−∞,0)上是减函数，f(3)=0，则不等式(x−1)f(x+2)≤0的解集是()A. (−∞,−5]∪[−2,+∞)B. (−∞,−2]∪[1,+∞)C. (−∞,−5]∪[1,+∞)D. [−5,−2]∪[1,+∞)9.下列四个命题中，是真命题的是()A. 若x>y，则x2>y2B. 两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件C. 若A∪B=A，则B⊆AD. ∀x∈R,x2+1x2+1≥110.下列各图中，可能是函数图象的是()A. B.C. D.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”如下：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数．例如[−2.1]=−3，[3.1]=3，已知函数f(x)=x 2|x|+1，若函数y= [f(x)]的值域集合为Q，则下列集合是Q的子集的是()A. [0,+∞)B. {0,2}C. {1,2}D. {1,2,3}12.已知函数f(x)满足：∀x∈R，f(x+3)=f(1−x)，且∀x1,x2∈[2,+∞),f(x1)−f(x2)x1−x2< 0(x1≠x2),则()A. f(0)>f(3)B. ∀x∈R，f(x)≤f(2)C. f(−a2+a+1)≤f(54) D. 若f(m)<f(3)，则1<m<313.函数y=√4−x2的定义域是．14.十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即a b=N⇔b=log a N，现在已知a=log48，b=log24，则4a=，a+b=.(用最简结果作答)15.设函数f(x)={x 2+x,x≤0−|x|,x>0，则f(f(−2))=．16.当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称两集合之间构成“偏食”.对于集合A={−1,−12,12,1}，B={x|ax2+1=0,a≤0}，若A与B构成“全食”，或构成“偏食”，则a的取值集合为．17.计算；(1)(279)0.5+2log12√2的值；(2)已知m=lg2，10n=3，计算103m−2n2的值．18.已知f(x)=x2−4ax+3a2，其中a为实数．(1)当a=2时，判断命题p：∃x∈R，f(x)≤0的真假，并说明理由；(2)若∀x∈[1,2]，f(x)≤0，求a的取值范围．19.中华人民共和国第十四届全运会将于2021年在陕西省举办，全运会会徽以及吉祥物已于2019年8月2日晚在西安市对外发布．某公益团队计划联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15−0.1x)万套．为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润=售价−供货价格．(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？20.(1)已知f(x)=(x−a)4+3时，当实数a为何值时，f(x)是偶函数？(2)已知g(x)是偶函数，且g(x)在[0,+∞)是增函数，如果当x∈[1,2]时g(x+a)≤g(x−6)恒成立，求实数a的取值范围．21.已知函数f(x)=|x2−ax|，其中a为实数．(1)当a=2时，画出函数f(x)的图象，并直接写出递增区间；(2)若f(x)在x∈[1,3]时的取值范围为[0,f(3)]，求a的取值范围．+a．22.已知a∈R，f(x)=1x(1)若关于x的方程f(x)=(2−a)x+1的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；,1]，函数f(x)在区间[t,t+1]上最大值不超过最小值的2倍，求a的取(2)若∀t∈[12值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查维恩图，交集定义等基础知识，是基础题．图中阴影部分表示的集合为A∩B，由此能求出阴影部分表示的集合．【解答】解：∵集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6}，∴图中阴影部分表示的集合为：A∩B={2,4}．故选：A．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称量词命题，则命题的否定为：∃x∈R，x2−1≥0，故选：D．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．可以求出集合A，然后进行并集的运算即可．【解答】解：∵A={x|2<x<9}，B={x|x<5}，∴A∪B=(−∞,9)．故选：C．4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查同一函数的判断，结合函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键．分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可求解．【解答】解：A.g(x)的定义域为[0,+∞)，两个函数的定义域不相同，不是相同函数．B.g(x)=|x|，两个函数的定义域，对应法则相同是同一函数．C.f(x)=x+1，(x≠1)，g(x)=x+1的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．D.f(x)的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．故选：B．5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．利用对数的运算性质求解．【解答】解：lg15=lg(3×5)=lg3+lg5=lg3+(1−lg2)=n+(1−m)=1−m+n，故选：B．6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的应用，属于基础题．由题意可得10≤x≤50，即−20≤x−30≤20，即|x−30|≤20，从而得出结论．【解答】解：平流层是指地球表面以上10km到50km的区域，若x能表示平流层高度，则10≤x≤50，所以−20≤x−30≤20，即|x−30|≤20，故选：D．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的图象，二次函数的性质的应用，涉及函数的零点，不等式的解集．利用二次函数与不等式的解集，判断开口方向，利用对称性推出所求函数的图象即可．【解答】解：函数f(x)=ax2+bx+c，不等式f(x)<0的解集为{x|x<−3或x>1}，所以a<0，并且−3，1是函数的零点，函数y=f(−x)的图象与函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数y=f(−x)的图象可以是B．故选：B．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．根据函数奇偶性和单调性之间的关系列不等式，即可求解． 【解答】解：∵定义在R 上的函数f(x)是奇函数，且f(x)在(−∞,0)上是减函数，f(3)=0， ∴f(x)在(0,+∞)上是减函数，f(−3)=0，f(0)=0，∴x <−3或0<x <3时，f(x)>0，当−3<x <0或x >3时，f(x)<0，x =3或−3时f(x)=0，由(x −1)f(x +2)≤0可得，{x >1f(x +2)≤0或{x <1f(x +2)≥0或x =1，即{x >1−3≤x +2≤0或x +2≥3或{x <1x +2≤−3或0≤x +2≤3或x =1， 解得x ≤−5或x ≥−2． 故选：A ．9.【答案】CD【解析】 【分析】本题考查命题的真假的判断，考查充分、必要条件，不等式的性质，基本不等式的应用，是基础题．反例判断A ；充分、必要条件判断三角形面积与全等关系，判断B ；并集的性质判断C ；基本不等式判断D 即可． 【解答】解：对于A ，若x =0>y =−1，则x 2<y 2，所以A 是假命题；对于B ，两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件，所以B 是假命题；对于C ，若A ∪B =A ，则B ⊆A ，是真命题； 对于D ，∀x ∈R ，x 2+1x 2+1=x 2+1+1x 2+1−1≥2√(x 2+1)⋅1x 2+1−1=2−1=1．当且仅当x =0时，取等号，所以D 是真命题． 故选：CD ．10.【答案】ACD【解析】【分析】本题主要考查函数的定义，函数的图象特征，属于基础题．根据函数的定义，当自变量x在定义域内任意取一个值，都有唯一的一个函数值y与之对应，由此可得结论．【解答】解：B选项，x>0时有两个y值与之对应，不为函数，B错误，其它均符合函数的定义，故选：ACD．11.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查了函数奇偶性和基本不等式的应用，还考查了对新定义的正确理解，属于中档题．利用新定义，根据函数的奇偶性及基本不等式求解即可．【解答】解：当x≥0时：f(x)=x21+x =(x+1)2−2(x+1)+11+x=(x+1)+11+x −2≥2√(x+1)×1x+1−2=0，当且仅当x=0时等号成立，即x≥0时，f(x)的值域是：[0,+∞)，又∵f(x)是偶函数，∴f(x)的值域是：[0,+∞)，∴Q=N，故BCD正确，A错误．故选：BCD．12.【答案】BC【解析】【分析】本题考查了函数的单调性，对称性问题，考查转化思想．求出函数的对称轴，根据函数的对称性和单调性判断各个选项即可．【解答】解：由∀x∈R，f(x+3)=f(1−x)，则x+3+1−x2=2，故函数f(x)的图象关于x=2对称，由∀x1,x2∈[2,+∞),f(x1)−f(x2)x1−x2<0(x1≠x2)，可得f(x)在[2,+∞)递减，结合函数的单调性和对称性得距x=2越近函数值越大，则显然A错误，B正确；对于C：|−a2+a+1−2|=|a2−a+1|≥34=|54−2|，故C正确；对于D：f(m)<f(3)时，m距x=2更远，则m>3或m<1，故D错误，故选：BC．13.【答案】[−2,2]【解析】【分析】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意，得4−x2≥0，解得−2≤x≤2，故函数的定义域是[−2,2]，故答案为：[−2,2]．14.【答案】872【解析】【分析】本题考查了对数运算、换底公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用对数运算、换底公式即可得出．【解答】解：a =log 48，b =log 24，则4a =4log 48=8，a +b =log 28log 24+2=32+2=72． 故答案为：8，72．15.【答案】−2【解析】【分析】本题考查函数值的求法，是基础题．推导出f(−2)=(−2)2−2=2，从而f(f(−2))=f(2)，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f(x)={x 2+x,x ≤0−|x|,x >0， ∴f(−2)=(−2)2−2=2，f(f(−2))=f(2)=−|2|=−2．故答案为：−2．16.【答案】{0,−1,−4}【解析】【分析】本题考查了对新定义的理解以及子集的概念，分类讨论的思想，容易忽略B =⌀的情况，但难度不大，属于基础题．理解利用新定义和子集的定义求解即可．【解答】解：(1)B =⌀，则a =0，A 与B 构成“全食”满足题意，(2)B ≠⌀，则a ≠0，B ={−√−1a ,√−1a}，此时应构成“全食”， ∴√−1a =1或12，∴a =−1或−4，综上a 的取值集合为：{0,−1,−4}，故答案为：{0,−1,−4}．17.【答案】解：(1)原式=(259)12+log 122=53−1=23; (2)∵m =lg2，∴10m =2，∴103m−2n 2=1032m−n =1032m10n =[(10m )3(10n )2]12=(89)12=2√23．【解析】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质，是基础题．(1)利用有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解;(2)先由m =lg2得到10m =2，把原式化为103m−2n 2=[(10m )3(10n )2]12，代入即可计算出结果．18.【答案】解：(1)该命题为真命题，当a =2时，f(x)=x 2−8x +12，当x =2时，f(2)=0，则命题p ：∃x ∈R ，f(x)≤0，为真命题；(2)二次函数f(x)关于x =2a 对称，在(−∞,2a)上单调递减，在(2a,+∞)上单调递增， 则当32≤2a 时，f(x)的最大值为f(1)，当32>2a 时，f(x)的最大值为f(2)，则对∀x ∈[1,2]，f(x)≤0恒成立，只需满足{f(1)≤0f(2)≤0，即{3a 2−4a +1≤03a 2−8a +4≤0, 整理得：{13≤a ≤123≤a ≤2，即23≤a ≤1． 故a 的取值范围为[23,1]．【解析】本题考查的知识要点：命题真假的判定，特称量词命题，二次函数性质的应用，恒成立问题和全称量词命题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．(1)直接利用存在性问题的应用求出命题的真假；(2)利用全称量词命题的应用和恒成立问题的应用求出参数的取值范围．19.【答案】解：(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15−0.1×100=5(万套)，供货单价为50+105=52(元)，总利润为5×(100−52)=240(万元)，答：总利润为240万元．(2)销售量为15−0.1x，供货单价为50+1015−0.1x，单套利润为x−50−1015−0.1x =x−50+100x−150，因为15−0.1x>0，所以0<x<150，所以单套利润为y=x−50−1015−0.1x =−[(150−x)+100150−x]+100≤100−2√(150−x)×100150−x =80，当且仅当150−x=100150−x即x=140时，等号成立，所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元．【解析】(1)先求出每套会徽及吉祥物售价为100元时的销售量，再求出供货单价，即可求出总利润．(2)由题意可知销售量为15−0.1x，供货单价为50+1015−0.1x，从而求出单套利润为x−50−1015−0.1x，再利用基本不等式即可求出单套利润的最大值．本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．20.【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=3+x4是偶函数，当a≠0，a≠−a，而f(a)−f(−a)=−(2a)4≠0，此时f(x)不可能是偶函数，所以a=0，(2)由g(x)为偶函数可知g(x+a)=g(|x+a|)，g(x−6)=g(|x−6|)且|x+a|≥0，|x−6|≥0，由g(x)在[0,+∞)上单调递增及g(x+a)≤g(x−6)可知1≤x≤2时，|x+a|≤|x−6|=6−x恒成立，即1≤x≤2时，x−6≤x+a≤6−x恒成立，故−6≤a≤6−2x，又2≤6−2x≤4，所以−6≤a≤2．【解析】本题主要考查了函数奇偶性的判断及利用函数单调性及奇偶性解不等式，属于函数性质的综合应用，属于中档题．(1)由已知及偶函数的定义代入可求a ，(2)结合偶函数的定义及单调性，可列出不等式，求解即可得答案．21.【答案】解：(1)当a =2时，f(x)={x 2−2x,x ≤0或x ≥2−x 2+2x,0<x <2， ∴函数f(x)递增区间为(0,1)和(2,+∞)；(2)解方程f(x)=0，可得x =0或x =a ，结合条件可知a 在[1,3]上，①当a =1时，符合题意，②当a =3时，不符合题意．③当1<a ≤2，f(x)={−x 2+ax,1≤x <a x 2−ax,a ≤x ≤3， f(x)在[1,a)上单调递减，在[a,3]上单调的递增，值需要f(3)≥f(1)，解得a ≤52， 所以1<a ≤2；④当2<a ≤3时，f(x)={−x 2+ax,1≤x <a x 2−ax,a ≤x ≤3， ∴f(x)在[1,a 2)单调递增，在[a 2,a)上单调递减，在[a,3]上单调递增，显然f(1)≥0=f(a)，所以只需要f(3)≥f(a 2)，解得−6−6√2≤a ≤−6+6√2，所以2<a ≤−6+6√2，综上所述a 的取值范围为[1,−6+6√2].【解析】本题考查了分段函数，考查分类讨论思想，是一道拔高题．(1)当a =2时，f(x)={x 2−2x,x ≤0或x ≥2−x 2+2x,0<x <2，画图即可，并由图象可得函数的单调区间，(2)先求出方程的根，再分类讨论，根据函数单调性，即可求出a 的范围．22.【答案】解：(1)方程f(x)=(2−a)x +1，即方程1x +a =(2−a)x +1，其中x ≠0， 整理可得：(2−a)x 2+(1−a)x −1=0，显然x =0不是方程的根，所以方程(2−a)x 2+(1−a)x −1=0在R 上只有一解，当2−a =0即a =2时，符合题意，当2−a ≠0即a ≠2时，Δ=(1−a)2+4(2−a)=0，解得a =3，所以a ∈{2,3}；(2)因为函数f(x)在(0,+∞)是单调递减，而任意t ∈[12,1]，[t,t +1]⊆(0，+∞)， 所以函数f(x)在[t,t +1]上单调递减，所以在[t,t +1]上，f(x)的最大值为f(t)=a +1t ，最小值为f(t +1)=a +1t+1， 由题意可得：任意t ∈[12,1]，a +1t ≤2(a +1t+1)恒成立，即任意t ∈[12,1]，g(t)=1t −2t+1−a ≤0恒成立，下面来说明g(t)的单调性， 任意t 1，t 2∈[12,1]，且t 1<t 2，则g(t 1)−g(t 2)=(1t 1−2t 1+1−a)−(1t 2−2t 2+1−a)=1t 1−1t 2−(2t 1+1−2t 2+1)=(t 2−t 1)(t 1+t 2−t 1t 2+1)t 1t 2(t 1+1)(t 2+1)， 因为12≤t 1<t 2≤1，所以t 1t 2(t 1+1)(t 1+1)>0，t 2−t 1>0，−t 1t 2+t 1+t 2+1>−1+t 1+t 2+1>0，所以g(t 1)−g(t 2)>0，即g(t)在[12,1]上单调递减，所以只需g(t)的最大值即g(12)=2−43−a ≤0，解得a ≥23，故a 的取值范围为[23,+∞)．【解析】本题考查了函数的最值问题以及恒成立问题，涉及到函数的单调性以及一元二次方程根的情况，考查了学生的运算能力，属于拔高题．(1)化简方程，根据二次方程的性质求解即可；(2)先求出函数的最大值和最小值，然后根据已知最值的关系建立不等式，整理化简建立新函数，求出新函数的单调性，利用恒成立思想即可求解．。
2022-2023学年江苏省南京外国语学校高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省南京外国语学校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知A ＝{﹣1，0，1，3，5}，B ＝{x |2x ﹣3＜0}，A ∩∁R B ＝（ ） A ．{0，1}B ．{﹣1，1，3}C ．{﹣1，0，1}D ．{3，5}2．已知集合A ＝{x |x 2﹣4x ＜0}，B ＝{2，m }，且A ∩B 有4个子集，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，4） B ．（0，2）∪（2，4） C ．（0，2）D ．（﹣∞，2）∪（4，+∞）3．荀子曰：“故不积硅步，无以至千里：不积小流，无以成江海”，此名言中的“不积硅步”一定是“至千里”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列四组函数中，f （x ）与g （x ）不是同一函数的是（ ） A ．f （x ）＝|x |与g(x)=√x 2 B ．f （x ）＝x 2+1与g （t ）＝t 2+1 C ．f(x)=|x|x 与g （x ）={1，x ＞0−1，x ＜0D ．f(x)=√(x −1)(x +1)与g(x)=√(x −1)⋅√(x +1) 5．若x ＞0，y ＞0，且x +y ＝18，则√xy 的最大值为（ ） A ．9B ．18C ．36D ．816．高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法．定义：a ↑b =a ⋅a ⋯⋯a ︸b 个a=a b ，a ↑↑b =a ↑a ↑a ↑⋯↑a ︸b 个a（从右往左计算）．已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T 约为1082，则下列各数中与4↑↑3T最接近的是（ ）（参考数据：lg 2≈0.3）A ．1061B ．1064C ．1071D ．10747．已知a ＞1，b ＞1，且lga ＝1﹣2lgb ，则log a 2+log b 4的最小值为（ ） A ．10B ．9C ．9lg 2D ．8lg 28．已知函数y 1＝m （x ﹣2m ）（x +m +3），y 2＝x ﹣1，若它们同时满足：①∀x ∈R ，y 1与y 2中至少有一个小于0；②∃x ∈{x |x ＜﹣4}，y 1•y 2＜0，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣4，0）B ．（﹣∞，0）C ．（﹣∞，﹣2）D ．（﹣4，﹣2）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南京外国语学校2020-2021学年高一上学期期中考试化学试题
江苏省南京外国语学校2020-2021学年高一上学期期中考试化学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．实验室盛装浓硫酸的试剂瓶上贴有的标识是（）A．B．C．D．2．于谦的《石灰吟》，赞颂了石灰石（碳酸钙）“粉骨碎身浑不怕，要留清白在人间”的品格。
碳酸钙属于A．单质B．氧化物C．酸D．盐3．用聚光手电筒照射下列分散系，不能观察到丁达尔效应的是（）A．Fe(OH)3胶体B．蛋白质溶液C．KOH溶液D．淀粉溶液4．下列物质中属于电解质的是（）A．铜B．蔗糖溶液C．氯化钠溶液D．氯化钠晶体5．用固体样品配制一定物质的量浓度的溶液，下列图示对应的有关操作规范的是A．称量B．溶解C．转移D．定容6．高铁的快速发展方便了人们的出行。
工业上利用铝热反应焊接钢轨间的缝隙，反应方程式如下：2Al＋Fe2O3高温2Fe＋Al2O3，其中Fe2O3是（）A．还原剂B．氧化剂C．既是氧化剂又是还原剂D．既不是氧化剂又不是还原剂7．下列各组离子在溶液中能大量共存的是（）A．NH+4、K+、OH-B．Mg2+、Na+、Cl-C．Ag+、Fe3+、Cl-D．Ba2+、CO23、H+8．金属钠分别与下列溶液反应时，既有气体又有沉淀产生的是A．HCl B．NaCl C．FeCl3D．Na2SO4 9．在下列变化中，需要加入合适的还原剂才能实现的是（）A．H2→HCl B．FeCl3→FeCl2C．CO→CO2D．Na→NaOH 10．下列实验方案设计中，正确的是（）A．用溶解、过滤的方法分离KNO3和NaCl固体的混合物B．萃取操作时，应选择有机萃取剂，如酒精等C．分液操作时，分液漏斗里的下层液体从下口放出，上层液体从上口倒出D．蒸发操作时，应使混合物的水分完全蒸干后，才能停止加热11．下列化学方程式不能．．用H++OH-=H2O表示的是A．KOH+HCl=KCl+H2OB．Ba（OH）2+2HCl=BaCl2+2H2OC．2NaOH+H2SO4=Na2SO4+2H2OD．Cu（OH）2+2HNO3=Cu（NO3）2+2H2O12．V mL Al2（SO4）3溶液中含有Al3+a g，取14V mL溶液稀释到4V mL，则稀释后溶液中2-4SO的物质的量浓度是（）A．1259aVmol/L B．125a18Vmol/L C．125a36Vmol/L D．125a54Vmol/L13．用N A表示阿伏加德罗常数的值。
江苏省南京外国语学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题
江苏省南京外国语学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．若函数2231()(69)mm f x m m x -+=-+是幂函数且为奇函数，则m 的值为A ．2B ．3C ．4D ．2或42．已知{}2,|A y y x x ==∈R ，{}2|,R B y y x x ==∈，则A B =I （ ）A ．{}0,2B ．{}(0,0),(2,2)C ．[)0,∞+D ．[]0,23．定义两种运算：a b a b ⊕⊗2()(2)2xf x x ⊕=⊗-为（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇函数且非偶函数4．设,a b c n N >>∈，且11n a b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55．若函数22,0(),0x x x f x x x x ⎧->=⎨--<⎩，若()()f a f a <-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,0)(0,1)-UB ．(,1)(0,1)-∞-⋃C ．(1,0)(1,)-⋃+∞D ．,1(),)1(-∞-⋃+∞6．已知()f x 为偶函数，它在[)0,∞+上是减函数，若有()()lg 1f x f >，则x 的取值范围是（ ） A ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞7．已知函数3()log (31)2x f x kx =++是偶函数，则实数k 的值为（ ） A ．12-B ．13-C ．14-D ．15-8．已知函数())21f x ln x =-，则()133f lg f lg ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．2-二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 是R 上的增函数B ．定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 是R 上不是减函数C ．定义在R 上的函数()f x 在区间(],0-∞上是增函数，在区间[)0,∞+上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数D ．定义在R 上的函数()f x 在区间(],0-∞上是增函数，在区间(0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数10．有下列四种说法，正确的说法有（ ）A ．幂函数的图象一定不过第四象限；B ．奇函数图象一定过坐标原点；C ．命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定是“x ∃∈R ，210x x ++≤”D ．定义在R 上的函数()y f x =对任意两个不等实数a 、b ，总有()()0f a f b a b->-成立，则()y f x =在R 上是增函数 11．某同学在研究函数()()1xf x x x=∈+R 时，分别给出下面几个结论，则正确的结论有（ ） A ．等式()()0f x f x -+=对x ∈R 恒成立； B ．若12()()f x f x ≠，则一定有12x x ≠；C ．若0m >，方程()f x m =有两个不等实数根；D ．函数()()g x f x x =-在R 上有三个零点．12．已知函数()21xf x =-，当a b c <<时，有()()()f a f c f b >>．给出以下命题，则正确命题的有（ ）A ．0a c +<B ．0b c +<C ．222a c +>D ．222b c +>三、填空题13．已知函数4()24xxf x =+，则(2023)(2024)f f -+=． 14．已知实数0x y >>，且111216x y +=+-，则x y -的最小值是．15．已知函数()f x 满足：对任意非零实数x ，均有(2)()(1)2f f x f x x=⋅+-，则()f x 在(0,)+∞上的最小值为． 16．函数1()lg(9)x x f x a a k -=+-的定义域为R （常数0a >，1a ≠），则实数k 的取值范围是．四、解答题17．（1）计算：21ln 233lg25lg2lg50(lg2)0.125e --++++； （2）已知2363412x y ==，求32x y+的值．18．（1）设a ，b ，c ，d 为实数，求证：2222ab bc cd ad a b c d +++≤+++；（2）已知,a b ∈R ，求证：216536163aa b b +≤-++．19．已知奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且当(0,1)x ∈时，()2x f x =． (1)证明：(4)()f x f x +=； (2)求12(log 18)f 的值．20．已知正数a ，b 满足2a b ab +=． (1)求a b +的最小值； (2)求2821a ba b +--的最小值． 21．定义在R 上的函数()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()23f x g x x x +=--． (1)求函数()f x 与()g x 的解析式；(2)求函数()()f x g x +在区间[]0,a 上的最小值．22．已知函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，且()()()f xy f x f y =+．当(0,1)x ∈时，()0f x <． (1)求(1)f ；(2)证明：函数()y f x =在(0,)+∞为增函数； (3)如果112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解不等式1()()32f x f x -≥-．。
2020-2021学年江苏省南京外国语学校高一(上)期中数学试卷及答案
2020-2021学年江苏省南京外国语学校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题,每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（3分）已知集合M＝{x|1＜x＜4}，N＝{1，2，3，4，5}，则M∩N＝（）A．{2，3}B．{1，2，3}C．{1，2，3，4}D．{2，3，6} 2．（3分）“x＞0”是“x2+x＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（3分）下列命题中正确的是（）A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC．若ab＞0，a＞b，则D．若a＞b，c＞d，则4．（3分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y＝x3B．y＝|x|+1C．y＝|x﹣1|2D．y＝2﹣|x|5．（3分）已知a＝，b＝，c＝，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b6．（3分）已知函数f（x）的定义域是[﹣2，3]，则f（2x﹣3）的定义域是（）A．[﹣7，3]B．[﹣3，7]C．[，3]D．[﹣，3] 7．（3分）若log5•log36•log6x＝2，则x等于（）A．9B．C．25D．8．（3分）设偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）＝0，则不等式＞0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，2）二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．（4分）若a＞0，a≠1，则下列说法不正确的是（）A．若log a M＝log a N，则M＝NB．若M＝N，则log a M＝log a NC．若log a M2＝log a N2，则M＝ND．若M＝N，则log a M2＝log a N210．（4分）下列四个命题是真命题的是（）A．函数y＝|x|与函数y＝（）2表示同一个函数B．奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点C．函数y＝3（x﹣1）2的图象可由y＝3x2的图象向右平移1个单位得到D．若函数f（+1）＝x+2，则f（x）＝x2﹣1（x≥1）11．（4分）下列说法正确的是（）A．若x＞0，则函数y＝x+有最小值2B．若x，y＞0，x+y＝2，则2x+2y的最大值为4C．若x，y＞0，x+y+xy＝3，则xy的最大值为1D．若a＞0，b＞0，a+b＝1，则+的最小值为412．（4分）对于定义域为D的函数y＝f（x），若f（x）同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．那把y＝f（x）（x∈D）称为闭函数．下列函数是闭函数的是（）A．y＝x2+1B．y＝﹣x3C．y＝﹣2D．y＝3x三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2+，则f（﹣1）＝．14．（5分）已知函数f（x）＝3+2a x﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是．15．（5分）函数y＝的递减区间是，递增区间是．16．（5分）已知函数f（x）＝2x，x∈R．①若方程|f（x）﹣2|＝m有两个解，则m的取值范围为；②若不等式[f（x）]2+f（x）﹣m＞0在R上恒成立，则m的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共48分，请把答案填写在答题卡相应位置上17．（8分）计算：（1）（）﹣（）0.5+（0.2）﹣2×﹣（0.081）0；（2）（lg2）3+（1g5）3+3lg2•lg5．18．（10分）设命题p：实数满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0．命题q：实数x满足≤0．（1）当a＝1时，命题p，q都为真，求实数x的取值范围；（2）若p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（10分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C （x），当年产量不足80千件时，C（x）＝（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）＝51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20．（10分）已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）＝．（1）求函数f（x）在（﹣1，1）上的解析式；（2）判断并用定义证明f（x）在（0，1）上的单调性；（3）解不等式f（x﹣1）+f（x）＜0．21．（10分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2，（a∈R）．（1）f（x）＜3﹣2x恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a＞0时，求不等式f（x）≥0的解集；（3）若存在m＞0使关于x的方程f（|x|）＝m++1有四个不同的实根，求实数a的取值范围．2020-2021学年江苏省南京外国语学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题,每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（3分）已知集合M＝{x|1＜x＜4}，N＝{1，2，3，4，5}，则M∩N＝（）A．{2，3}B．{1，2，3}C．{1，2，3，4}D．{2，3，6}【分析】由集合M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵集合M＝{x|1＜x＜4}，N＝{1，2，3，4，5}，∴M∩N＝{2，3}．故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（3分）“x＞0”是“x2+x＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由x2+x＞0，解得x范围．即可判断出结论．【解答】解：由x2+x＞0，解得x＞0，或x＜﹣1．∴“x＞0”是“x2+x＞0”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（3分）下列命题中正确的是（）A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC．若ab＞0，a＞b，则D．若a＞b，c＞d，则【分析】利用不等式的性质即可判断出结论．【解答】解：A．c＜0时不成立；B．a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，因此不正确；C．ab＞0，a＞b，则，正确．D．取a＝2，b＝﹣3，c＝3，d＝﹣3，满足条件a＞b，c＞d，但是不成立．故选：C．【点评】本题主要不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（3分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y＝x3B．y＝|x|+1C．y＝|x﹣1|2D．y＝2﹣|x|【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：y＝x3为奇函数，不符合题意；y＝|x|+1为偶函数，当x＞0时y＝x+1单调递增，符合题意；y＝|x﹣1|2＝（x﹣1）2，非奇非偶函数，不符合题意；y＝2﹣|x|＝为偶函数，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．5．（3分）已知a＝，b＝，c＝，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】a＝＝，b＝，c＝＝，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a＝＝，b＝＝（22）＝＜＜a，c＝＝＞＝＝a，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．6．（3分）已知函数f（x）的定义域是[﹣2，3]，则f（2x﹣3）的定义域是（）A．[﹣7，3]B．[﹣3，7]C．[，3]D．[﹣，3]【分析】根据函数f（x）的定义域得出2x﹣3的取值范围，由此求出f（2x﹣3）的定义域．【解答】解：函数f（x）的定义域是[﹣2，3]，令﹣2≤2x﹣3≤3，解得≤x≤3，所以f（2x﹣3）的定义域是[，3]．故选：C．【点评】本题考查了抽象函数的定义域求法问题，解题时应理解函数定义域的概念，是基础题．7．（3分）若log5•log36•log6x＝2，则x等于（）A．9B．C．25D．【分析】利用对数的换底公式、对数运算性质及其单调性即可得出．【解答】解：∵log5•log36•log6x＝2，∴＝2，化为lgx＝﹣2lg5＝，解得x＝．故选：D．【点评】本题考查了对数的换底公式、对数运算性质及其单调性，属于基础题．8．（3分）设偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）＝0，则不等式＞0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，2）【分析】根据函数为偶函数，可将原不等式变形为xf（x）＞0，然后分两种情况讨论：当x＞0时有f（x）＞0，根据函数在（0，+∞）上为减函数，且f（2）＝0，得到0＜x ＜2；当x＜0时有f（x）＜0，结合函数为偶函数的性质与（0，+∞）上的单调性，得x ＜﹣2．【解答】解：∵f（x）是偶函数∴f（﹣x）＝f（x）不等式，即也就是xf（x）＞0①当x＞0时，有f（x）＞0∵f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）＝0∴f（x）＞0即f（x）＞f（2），得0＜x＜2；②当x＜0时，有f（x）＜0∵﹣x＞0，f（x）＝f（﹣x）＜f（2），∴﹣x＞2⇒x＜﹣2综上所述，原不等式的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）故选：B．【点评】本题以函数的单调性和奇偶性为载体，考查了抽象不等式的解法，属于基础题．二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．（4分）若a＞0，a≠1，则下列说法不正确的是（）A．若log a M＝log a N，则M＝NB．若M＝N，则log a M＝log a NC．若log a M2＝log a N2，则M＝ND．若M＝N，则log a M2＝log a N2【分析】分别根据对数的定义和运算性质即可判断．【解答】解：对于A：若log a M＝log a N，则M＝N，故A正确；对于B：若M＝N＜0，则log a M＝log a N不成立，故B不正确；对于C：若log a M2＝log a N2，则M2＝N2，得不到M＝±N，故C不正确；对于D：若M＝N＝0，则不成立，故D不正确；故选：BCD．【点评】本题考查了对数的定义和对数的运算性质，属于基础题．10．（4分）下列四个命题是真命题的是（）A．函数y＝|x|与函数y＝（）2表示同一个函数B．奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点C．函数y＝3（x﹣1）2的图象可由y＝3x2的图象向右平移1个单位得到D．若函数f（+1）＝x+2，则f（x）＝x2﹣1（x≥1）【分析】直接利用函数的定义，函数的值域判定A的结论；利用奇函数的图象判定B的结论，利用函数的图象的平移变换判断C的结论；利用恒等变换的应用求出函数的解析式，主要对定义域进行确定．【解答】解：对于A：函数y＝|x|的定义域为R，函数y＝（）2的定义域为{x|x≥0}，故这两个函数不为示同一个函数，故该命题为假命题；对于B：函数f（x）＝为奇函数，但是函数的图象不经过原点，故B假命题；对于C：函数y＝3（x﹣1）2的图象可由y＝3x2的图象向右平移1个单位得到，符合左加右减的性质，故C为真命题；对于D：函数f（+1）＝x+2＝，所以f（x）＝x2﹣1（x≥1），故D 为真命题．故选：CD．【点评】本题考查的知识要点：函数的解析式，函数的定义，函数的图象的平移变换，奇函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．11．（4分）下列说法正确的是（）A．若x＞0，则函数y＝x+有最小值2B．若x，y＞0，x+y＝2，则2x+2y的最大值为4C．若x，y＞0，x+y+xy＝3，则xy的最大值为1D．若a＞0，b＞0，a+b＝1，则+的最小值为4【分析】利用基本不等式逐个选项验证其正误即可．【解答】解：∵x＞0，∴y＝x+≥2，当且仅当x＝时取“＝“，故选项A正确；∵x，y＞0，x+y＝2，∴2x+2y≥2＝2＝4，当且仅当x＝y＝1时取“＝“，故选项B错误；∵x，y＞0，∴x+y+xy＝3≥2+xy，解得：0＜xy≤1，当且仅当x＝y＝1时取“＝“，故选项C正确；∵a＞0，b＞0，a+b＝1，∴+＝（+）（a+b）＝2++≥2+2＝4，当且仅当a ＝b＝时取“＝“，故选项D正确，【点评】本题主要考查基本不等式的应用及解不等式，属于中档题．12．（4分）对于定义域为D的函数y＝f（x），若f（x）同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．那把y＝f（x）（x∈D）称为闭函数．下列函数是闭函数的是（）A．y＝x2+1B．y＝﹣x3C．y＝﹣2D．y＝3x【分析】结合选项分别判断函数的单调性，然后结合单调性分别求解满足条件的m，n 是否存在，进行检验即可判断．【解答】解：A：若y＝x2+1在[a，b]上单调递减，则，此时a，b不存在，若y＝x2+1在[a，b]上单调递增，则，此时a，b不存在，A不符合题意；B：若f（x）＝﹣x3在[a，b]上单调递减，根据题意可得，且a＜b，解得，a＝﹣1，b＝1，即存在区间[﹣1，1]满足题意，B符合题意；若f（x）＝，，解得，a＝﹣2，b＝﹣1，故此时存在区间[﹣2，﹣1]满足题意；y＝3x在[a，b]上单调递增，则f（a）＝3a＝a，f（n）＝3b＝b，令g（x）＝3x﹣x，则g′（x）＝3x ln3﹣1，当x＞﹣log3ln3，g′（x）＞0，函数单调递增，当x＜﹣log3ln3，g′（x）＜0，函数单调递减，故当x＝﹣log3ln3时，函数取得最小值f（﹣log3ln3）＝+log3ln3＞0，故函数g（x）没有零点，此时a，b不存在，满足题意．【点评】本题以新定义为载体，综合考查了函数单调性的应用，属于综合性试题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2+，则f（﹣1）＝﹣2．【分析】当x＞0时，f（x）＝x2+，可得f（1）．由于函数f（x）为奇函数，可得f（﹣1）＝﹣f（1），即可得出．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）＝x2+，∴f（1）＝1+1＝2．∵函数f（x）为奇函数，∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了函数奇偶性，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）＝3+2a x﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是（1，5）．【分析】令x﹣1＝0求出x的值和此时y的值，从而求出点P的坐标．【解答】解：令x﹣1＝0得：x＝1，此时y＝3+2a0＝3+2＝5，∴函数f（x）的图象恒过定点（1，5），即点P（1，5），故答案为：（1，5）．【点评】本题主要考查了指数型函数过定点问题，令a的指数整体等于0是本题的解题关键，是基础题．15．（5分）函数y＝的递减区间是（﹣∞，﹣1]，递增区间是[3，+∞）．【分析】先求出该函数定义域为{x|x≤﹣1，或x≥3}，可以看出该函数的单调区间和函数y＝x2﹣2x﹣3在定义域上的单调区间一致，根据二次函数单调区间的求法即可得出该函数的单调区间．【解答】解：解x2﹣2x﹣3≥0得，x≤﹣1，或x≥3；函数y＝x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1]上单调递减，在[3，+∞）上单调递增；∴该函数的递减区间为（﹣∞，﹣1]，递增区间为[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]，[3，+∞）．【点评】考查解一元二次不等式，复合函数单调区间的求法，以及二次函数单调区间的求法．16．（5分）已知函数f（x）＝2x，x∈R．①若方程|f（x）﹣2|＝m有两个解，则m的取值范围为（0，2）；②若不等式[f（x）]2+f（x）﹣m＞0在R上恒成立，则m的取值范围为（﹣∞，0]．【分析】①转化为y＝|2x﹣2|的图象与直线y＝m有两个交点，通过图象可得所求范围；②由题意可得m＜（2x）2+2x恒成立，由指数函数的值域和恒成立思想可得m的范围．【解答】解：①若方程|f（x）﹣2|＝m有两个解，即为y＝|2x﹣2|的图象与直线y＝m有两个交点，可得m的范围是（0，2）；②若不等式[f（x）]2+f（x）﹣m＞0在R上恒成立，即为m＜（2x）2+2x恒成立，由2x＞0，（2x）2+2x＝（2x+）2﹣＞0，可得m≤0，即m的取值范围是（﹣∞，0]．故答案为：（0，2）；（﹣∞，0]．【点评】本题考查指数函数的图象和性质，以及不等式恒成立问题解法，考查数形结合思想和转化思想，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共48分，请把答案填写在答题卡相应位置上17．（8分）计算：（1）（）﹣（）0.5+（0.2）﹣2×﹣（0.081）0；（2）（lg2）3+（1g5）3+3lg2•lg5．【分析】（1）根据指数的运算性质即可求出．（2）根据对数的运算性质即可求出．【解答】解：（1）原式＝﹣+25×﹣1＝﹣+2﹣1＝﹣；（2）原式＝（lg2+lg5）（lg22﹣lg2lg5+lg25）+3lg2lg5，＝lg22﹣lg2lg5+lg25+3lg2lg5，＝lg22+lg25+2lg2lg5，＝（lg2+lg5）2，＝1．【点评】本题考查了对数的运算性质和指数的运算性质，属于基础题．18．（10分）设命题p：实数满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0．命题q：实数x满足≤0．（1）当a＝1时，命题p，q都为真，求实数x的取值范围；（2）若p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）p，q均为真命题，把a＝1代入，分别计算范围得到答案．（2）p是￢q的充分不必要条件，根据表示范围关系解得答案．【解答】解：p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a．命题q：实数x满足≤0，解得2＜x≤3．（1）a＝1时，p：1＜x＜3．命题p，q都为真，则，解得2＜x＜3．故实数x的取值范围是（2，3）．（2）∵p是￢q的充分不必要条件，￢q：（﹣∞，2]∪（3，+∞），则3a≤2，或a≥3，解得0＜a≤或a≥3．故实数a的取值范围是（0，]∪[3，+∞）．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，同时考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．19．（10分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）＝（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）＝51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【分析】（Ⅰ）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）＝（万元），根据年利润＝销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）＝51x+，根据年利润＝销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（Ⅱ）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，∴L（x）＝（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250＝﹣+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，∴L（x）＝（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250＝1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，①当0＜x＜80时，L（x）＝﹣+40x﹣250＝﹣，∴当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝950万元；②当x≥80时，L（x）＝1200﹣（x+）≤1200﹣2＝1200﹣200＝1000，当且仅当x＝，即x＝100时，L（x）取得最大值L（100）＝1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．【点评】考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．20．（10分）已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）＝．（1）求函数f（x）在（﹣1，1）上的解析式；（2）判断并用定义证明f（x）在（0，1）上的单调性；（3）解不等式f（x﹣1）+f（x）＜0．【分析】】（1）设x∈（﹣1，0），则﹣x∈（0，1），由函数为奇函数，可求函数的解析式；（2）f（x）在（0，1）上单调递增，利用增函数的定义证明即可；（3）由函数的奇偶性和单调性将不等式转化为﹣1＜x﹣1＜﹣x＜1，解之即可得结论．【解答】解：（1）设x∈（﹣1，0），则﹣x∈（0，1），∵f（x）是奇函数，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣＝﹣，∵f（0）＝0，∴f（x）＝．（2）f（x）在（0，1）上单调递增，证明如下：任取﹣1＜x1＜x2＜1，f（x1）﹣f（x2）＝2﹣＝，∵0＜x1＜x2＜1，∴0＜＜，则，f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故f（x）在（﹣1，1）上单调递增，则f（x）在（0，1）单调递增．（3）由f（x）为奇函数可得f（x）＝﹣f（x），则f（x﹣1）＜f（﹣x），由f（x）在（﹣1，1）上单调递增，可得﹣1＜x﹣1＜﹣x＜1，解得0＜x＜，即不等式的解集为（0，）．【点评】本题考查函数的单调性证明以及利用函数的奇偶性求函数的解析式，属于中档题．21．（10分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2，（a∈R）．（1）f（x）＜3﹣2x恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a＞0时，求不等式f（x）≥0的解集；（3）若存在m＞0使关于x的方程f（|x|）＝m++1有四个不同的实根，求实数a的取值范围．【分析】（1）由f（x）＜3﹣2x恒成立，即ax2﹣（a+2）x+2＜3﹣2x恒成立，转化为二次不等式问题，对a进行讨论可得实数a的取值范围；（2）将f（x）因式分解，对a进行讨论，可得不等式f（x）≥0的解集；（3）令t＝m++1，求解t的最小值，有四个不同的实根，即y＝t与f（|x|）有4个交点，即可求解实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）＜3﹣2x恒成立，即ax2﹣（a+2）x+2＜3﹣2x恒成立，可得ax2﹣ax﹣1＜0恒成立，当a＝0时，﹣1＜0恒成立，满足题意；当a≠0时，要使ax2﹣ax﹣1＜0恒成立，则，即，解得﹣4＜a＜0．综上，可得实数a的取值范围是（﹣4，0]．（2）函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2≥0即（ax﹣2）（x﹣1）≥0当a＝2时，可得（x﹣1）2≥0，不等式的解集为R；当0＜a＜2时，原不等式的解集为（﹣∞，1]∪[，+∞）；当a＞2时，原不等式的解集为（﹣∞，]∪[1，+∞）；（3）令t＝m++1，则t≥3，由方程f（|x|）＝m++1有四个不同的实根，即y＝t与f（|x|）有4个不同的交点，当a＝0，显然y＝t与f（|x|）不能有4个不同的交点，当a＞0，作出f（|x|）的图象（如图），从图象，显然y＝t与f（|x|）不能有4个不同的交点，当a＜0，作出f（|x|）的图象（如图），从图象可得：当x＝±时，f（|x|）取得最大值为，要使y＝t与f（|x|）能有4个不同的交点，则＞3．即（a+2）2＞﹣4a，解得a或，∴综上，可知实数a的取值范围（﹣∞，﹣）∪（2，0）．【点评】本题考查了函数的零点，不等式的解法，讨论思想，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．。
2020-2021南京外国语中学高中必修一数学上期中第一次模拟试卷(附答案)
2020-2021南京外国语中学高中必修一数学上期中第一次模拟试卷(附答案)一、选择题1．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数xy a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>4．设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>5．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2436450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ） A ．315,22⎛⎫⎪⎝⎭ B ．[]28, C ．[)2,8 D ．[]2,76．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．37．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =UA ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，， 8．若函数2()sin ln(14f x x ax x =⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±9．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．10．函数()2log ,0,2,0,xx x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x fx f x =-+的零点个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．611．函数()245f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．[]2,4C ．[]0,4D ．(]2,412．已知函数21,0,()|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩若函数()y f x a =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ，且12x x <3x <4x <，则312342()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(1,0)-C ．(0,1]D ．[1,0)-二、填空题13．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是14．设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是____________.15．若函数()f x 满足()3298f x x +=+，则()f x 的解析式是_________. 16．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．17．函数的定义域为______________．18．如果函数221xx y a a =+-（0a >，且1a ≠）在[]1,1-上的最大值是14，那么a 的值为__________.19．已知函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，则a 取值范围是_________．20．定义在[3,3]-上的奇函数()f x ，已知当[0,3]x ∈时，()34()x x f x a a R =+⋅∈，则()f x 在[3,0]-上的解析式为______．三、解答题21．已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且 ．（1）当[]02x ∈，时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围； （2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 22．已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x−1|，x 2−2ax+4a−2}，其中min{p ，q}={,.p p q q p q ，，≤> （Ⅰ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax+4a−2成立的x 的取值范围； （Ⅱ）（ⅰ）求F （x ）的最小值m （a ）； （ⅱ）求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）.23．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）． （Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?24．设集合222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，若A ∩B=B ，求a 的取值范围．25．已知函数()2(0,)af x x x a R x=+≠∈.（1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在[)2,+∞是增函数，求实数a 的范围. 26．已知集合A={x|x ＜-1，或x ＞2}，B={x|2p-1≤x≤p+3}． （1）若p=12，求A∩B； （2）若A∩B=B，求实数p 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】判断函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，求出f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=3＞0，即可判断． 【详解】∵函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f（0）=-4，f （1）=-1，f （2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．2．C解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ．故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．3．A解析：A 【解析】 【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得3222639b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．A解析：A 【解析】 试题分析：，，即，，．考点：函数的比较大小．5．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先解一元二次不等式得315[]22x <<，再根据[]x 定义求结果. 详解：因为[][]2436450x x -+<，所以315[]22x << 因为[][]2436450x x -+<，所以28x ≤<, 选C.点睛：本题考查一元二次不等式解法以及取整定义的理解，考查基本求解能力.6．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.7．A解析：A 【解析】由题意{1,2,3,4}A B =U ，故选A. 点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．8．B解析：B【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.9．B解析：B 【解析】 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果． 【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．10．A解析：A 【解析】 【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数．函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A . 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．11．B解析：B 【解析】 【分析】由函数的解析式可得函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1，当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5，结合题意求得m 的范围． 【详解】∵函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1， 当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5．且f （x ）＝x 2﹣4x +5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1， ∴实数m 的取值范围是[2，4]， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．12．C解析：C 【解析】作出函数函数()21,0,|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩的图象如图所示，由图象可知，123442,1,12x x x x x +=-=<≤， ∴ ()312334422222x x x x x x x ++=-+=-+， ∵422y x =-+在412x <≤上单调递增， ∴41021x <-+≤，即所求范围为(]0,1。
江苏省2020-2021学年高一上学期数学期中试题汇编04：函数的概念与性质【填选题】(答案版)
8.（江苏省南京市第十二中学2020-2021学年上学期期中4）下面各组函数中表示同个函数的是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】对于A， 的定义域为 ，而 的定义域为 ，两函数的定义域不相同，所以不是同一函数；
对于B，两个函数的定义域都为 ，定义域相同， ，所以这两个函数是同一函数；
A.0B.2
C.4D.-2
【答案】B
【解析】取 ，则 ，
因为函数为奇函数，则 ， 即 ，
整理可得 ，即 .故选：B
10.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中4）已知函数 ，若 ＝10，则实数a的值为（）
A 5B.9C.10D.11
【答案】B
【解析】由 ，令 ，则 .
因为 ，所以a=9.故选：B
A．－4 B．5 C．14 D．23
【答案】C
【解析】由题意可设 ，则当 时， 单调，且 ≥0恒成立，因为 的对称轴方程为 ，则 或 ，解得6≤a≤17或－3≤a≤－2，即 ，则只有14满足题意，故答案选C.
23.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中6）已知 是偶函数，且其定义域为 ，则 的值是（）
【答案】C
【解析】满足条件的函数的定义域为 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 个.故选：C.
18.（江苏省南京市南师附中2020-2021学年上学期期中5）函数 的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
19.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中5）已知函数 的值域是（）
C.[－4，－1]∪[0，2]D.(－∞，－1]∪[0，2]
2021年南京南外高一上数学期中考试真题和答案
2021-2022学年度第一学期期中高一年级数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题,每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1. 已知集合{}25A x x =−≤≤，{}1B x x =≥，则A B =（ ）．A. []1,5B. []2,1−C. [)2,1−D. ()2,1−2. 若,,a b c ∈R ，则下列说法正确的是（ ）A. 若a b >，则22a b >B. 若c a <，则cb ab <C. 若0ab ≠且a b <，则11a b> D. 若a b >，则a c b c +>+3. 已知0a >=（ ）A. aB. 52aC. 54aD. 38a4. 已知正数,a b 满足4a b +=，则ab 的最大值为（ ）．A.B. 1C. 2D. 45. 设:p x a <，:01q x <<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）．A. 0a ≤B. 0a >C. 12a ≥D. 1a ≥6. 下列函数是奇函数且在()0,+∞上是增函数的是（ ）．A. 13y x = B. 1y x x=+C. y x =D. 3y x −=7. 已知偶函数()f x ，当0x ≥时，()22f x x x =−，则不等式()0f x x<的解集是（ ）． A. ()2,2−B. ()(),20,2−∞−C. ()()2,02,−+∞D. ()(),22,−∞−+∞8. 二次函数26y x x m =−+的两个零点都在区间()2,+∞内，则m 的取值范围为（ ）．A. 9m <B. 89m <<C. 09m <<D. 8m ≥二、多项选择题：（本大题共4小题,每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. 下图表示赵红的体重与年龄的关系，下列说法正确的是（ ）．A. 赵红出生时的体重为4kgB. 赵红的体重随年龄的增长而增加C. 赵红25岁之后，体重不变D. 赵红体重增加最快的时期是0-15岁10. 下列说法正确的是（ ）．A. 0y x =与1y =是同一函数B. 若0,0x y >>，则()lg lg lg x y x y +=+C. 当0x <时，12x x+≤− D. 正数,x y 满足1x y +=，则14x y+的最小值为911. 已知函数()[]()22412,2f x x x =+∈−，下列说法正确的是（ ）．A. ()15f =B. ()f x 为偶函数C. ()1f x −的图像关于1x =对称D. ()f x 的定义域为[]1,1−12. 已知函数()f x =，()g x ，下列说法正确的是（ ）．A. ()()f x g x 的最大值为1B. ()()2f x g x −的值域为⎡⎣C. ()()f x g x +的最大值为2D.()()f xg x 在()1,3上单调递减三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 13. 若函数()f x 满足()()(),,x y f xy f x f y ∀∈=R ，写出一个符合要求的解析式()f x = ．14. 设m 为实数，若函数()()22f x x mx m x =−++∈R 是偶函数，则m 的值为 ．15. 已知,a b 是方程()2110lg log 60x x −−=的两个实数根，则log log a b b a += ．16. 函数()33f x x x =+−−是R 上的 函数（用“奇”、“偶”、“非奇非偶”填空），若()()2145f a f a >−，则实数a 的取值范围是 ．年龄/岁40三、解答题：本大题共5小题，共48分，请把答案填写在答题卡相应位置上 17. （本题8分）计算：⑴()2ln 230.125e −++⑵ ()22lg5lg 2lg50lg 2lg 0.1+++．18. （本题10分）已知集合01x a A x x ⎧−⎫=<⎨⎬+⎩⎭，()(){}10B x x t x t =−−−>．⑴ 若集合(),3A b =，求a b +的值； ⑵ 若1a =且A B =R ，求t 的取值范围．19. （本题10分）某兴趣小组开展关于市区道路上车流速度v （单位：千米/小时）与车流密度x （单位：辆/千米）关系的研究，研究表明：当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，当20170x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数，当车流密度为170辆/千米时，车流速度为10千米/小时． ⑴ 当0170x ≤≤时，求函数()v x 的解析式：⑵ 已知车流量()f x vx =（单位时间内通过路上某观察点的车辆数，单位：辆/小时），当车流密度[]()20,170x x ∈为多少时，车流量最小并求出最小值．20. （本题10分）已知函数()f x =A . ⑴当4a =时，写出()f x 单调增区间； ⑵若A =R ，求a 的取值范围； ⑶若[]1,4A ⊆，求a 的取值范围．21. （本题10分）已知函数()1xf x x =+． ⑴ 判断()f x 在[)0,+∞上的单调性并用定义证明；⑵ 判断下列说法的正误：（正确的在括号里打√，错误的在括号里打×）； ① ()f x 是奇函数（ ）； ② ()f x 在R 上单调递增（ ）； ③ ()f x 的值域为R （ ）； ④ 不等式()12f x >的解集为()1,+∞（ ）； ⑤ x ∀∈R ，()()10f x f x +−>（ ）； ⑥ x ∃∈R ，()()32112f x f x x +−−+=（ ）；⑦ 不等式()0f x ax −>有解的充要条件是11a −<<（ ）； ⑧ 关于x 的方程()af x x=在[)1,+∞上有解的充要条件是0a >（ ）．2021-2022数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题,每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1. 已知集合{}25A x x =−≤≤，{}1B x x =≥，则A B =（ ）．A. []1,5B. []2,1−C. [)2,1−D. ()2,1−【答案】A ；【解析】[]1,5A B =，故选A ．2. 若,,a b c ∈R ，则下列说法正确的是（ ）A. 若a b >，则22a b >B. 若c a <，则cb ab <C. 若0ab ≠且a b <，则11a b> D. 若a b >，则a c b c +>+【答案】D ；【解析】根据不等式性质可知只有D 正确．3. 已知0a >=（ ）A. aB. 52aC. 54aD. 38a【答案】C ；135244a a a ⨯=，故选C ．4. 已知正数,a b 满足4a b +=，则ab 的最大值为（ ）．A.B. 1C. 2D. 4【答案】D ； 【解析】()244a b ab +≤=，当且仅当2a b ==时取等，故选D ．5. 设:p x a <，:01q x <<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）．A. 0a ≤B. 0a >C. 12a ≥D. 1a ≥【答案】D ；【解析】由题意得:p a x a −<<，且()()0,1,a a ⊆−，故选D ．6. 下列函数是奇函数且在()0,+∞上是增函数的是（ ）．A. 13y x = B. 1y x x=+C. y x =D. 3y x −=【答案】A ；【解析】ABD 为奇函数，AC 在()0,+∞增，故选A ．7. 已知偶函数()f x ，当0x ≥时，()22f x x x =−，则不等式()0f x x<的解集是（ ）． A. ()2,2−B. ()(),20,2−∞−C. ()()2,02,−+∞D. ()(),22,−∞−+∞【答案】B ；【解析】由题意可知，0x <时，()22f x x x =+，()0f x x<，得()(),20,2x ∈−∞−，故选B ．8. 二次函数26y x x m =−+的两个零点都在区间()2,+∞内，则m 的取值范围为（ ）．A. 9m <B. 89m <<C. 09m <<D. 8m ≥【答案】B ；【解析】依题意可知，023640322120m x m ⎧∆=−>⎪=>⎨⎪−+>⎩，解得89m <<，故选B ．二、多项选择题：（本大题共4小题,每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. 下图表示赵红的体重与年龄的关系，下列说法正确的是（ ）．A. 赵红出生时的体重为4kgB. 赵红的体重随年龄的增长而增加C. 赵红25岁之后，体重不变年龄/岁40D. 赵红体重增加最快的时期是0-15岁 【答案】AD ；【解析】由图可知BC 错误明显，故选AD ．10. 下列说法正确的是（ ）．A. 0y x =与1y =是同一函数B. 若0,0x y >>，则()lg lg lg x y x y +=+C. 当0x <时，12x x+≤− D. 正数,x y 满足1x y +=，则14x y+的最小值为9 【答案】CD ；【解析】A 选项，定义域不同，故A 错误；B 选项，()lg lg lg xy x y =+，故B 错误；C 选项，0x <时，()112x x x x ⎡⎤⎛⎫+=−−+−≤− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，1x =−时取等，故C 正确； D 选项，()14149x y x y x y ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭，1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等，故D 正确， 故选CD ．11. 已知函数()[]()22412,2f x x x =+∈−，下列说法正确的是（ ）．A. ()15f =B. ()f x 为偶函数C. ()1f x −的图像关于1x =对称D. ()f x 的定义域为[]1,1−【答案】BC ；【解析】由题意可知，()[]()214,4f x x x =+∈−，A 选项，()12f =，故A 错误；B 选项，()()f x f x −=，故B 正确；C 选项，()1f x −由偶函数()f x 向右平移1个单位所得，故C 正确；D 选项，()f x 定义域为[]4,4−，故D 错误； 故选BC ．12. 已知函数()1f x x =−，()g x ，下列说法正确的是（ ）．A. ()()f x g x 的最大值为1B. ()()2f x g x −的值域为⎡⎣C. ()()f x g x +的最大值为2D.()()f xg x 在()1,3上单调递减【答案】ABC ；【解析】A 选项，()()[]1,3f x g x x ==∈，故A 正确；B 选项，()()[]21,3f x g x x −=∈，递增，值域⎡⎣，故B 正确；C 选项，()()2f x g x +==，当且仅当2x =时取等，故C 正确；D 选项，()()f xg x ==()1,3递增，故D 错误； 故选ABC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 13. 若函数()f x 满足()()(),,x y f xy f x f y ∀∈=R ，写出一个符合要求的解析式()f x = ． 【答案】x ；【解析】任意R 上幂函数均符合要求．14. 设m 为实数，若函数()()22f x x mx m x =−++∈R 是偶函数，则m 的值为 ． 【答案】0；【解析】偶函数，有()()f x f x −=，即0mx =恒成立，得0m =．15. 已知,a b 是方程()2110lg log 60x x −−=的两个实数根，则log log a b b a += ．【答案】136−； 【解析】()2lg lg 60x x +−=，韦达定理得lg lg 1lg lg 6a b a b +=−⎧⎨=−⎩，则有()2lg lg 2lg lg lg lg 13log log lg lg lg lg 6a b a b a b b a b a a b a b +−+=+==−．16. 函数()33f x x x =+−−是R 上的 函数（用“奇”、“偶”、“非奇非偶”填空），若()()2145f a f a >−，则实数a 的取值范围是 ．【答案】奇函数；115a >； 【解析】由()()3333f x x x x x f x −=−+−−−=−−+=−，可知为奇函数，且()6,3332,336,3x f x x x x x x −<−⎧⎪=+−−=−≤≤⎨⎪>⎩，由()()2145f a f a >−，可知需21451453a a a ⎧−<⎨−<⎩，解得115a >．三、解答题：本大题共5小题，共48分，请把答案填写在答题卡相应位置上 17. （本题8分）计算： ⑴()2ln 230.125e −++⑵ ()22lg5lg 2lg50lg 2lg 0.1+++． 【答案】⑴ 1−；⑵ 1．【解析】⑴ 原式24251=−++−=−；⑵ 原式2lg52lg 211=+−=．18. （本题10分）已知集合01x a A x x ⎧−⎫=<⎨⎬+⎩⎭，()(){}10B x x t x t =−−−>．⑴ 若集合(),3A b =，求a b +的值； ⑵ 若1a =且A B =R ，求t 的取值范围． 【答案】⑴ 2a b +=；⑵ 10t −<<．【解析】⑴ 由()(){}()10,3A x x a x b =−+<=，可知31a b =⎧⎨=−⎩，则有2a b +=；⑵ 由1a =，可知()101,11x A x x ⎧−⎫=<=−⎨⎬+⎩⎭，且()(),1,B t t =−∞++∞，AB =R ，则有111tt −<⎧⎨+<⎩，解得10t −<<．19. （本题10分）某兴趣小组开展关于市区道路上车流速度v （单位：千米/小时）与车流密度x （单位：辆/千米）关系的研究，研究表明：当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，当20170x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数，当车流密度为170辆/千米时，车流速度为10千米/小时． ⑴ 当0170x ≤≤时，求函数()v x 的解析式：⑵ 已知车流量()f x vx =（单位时间内通过路上某观察点的车辆数，单位：辆/小时），当车流密度[]()20,170x x ∈为多少时，车流量最小并求出最小值． 【答案】⑴ ()60,020200,2017033x v x x x ≤<⎧⎪=⎨−+≤≤⎪⎩；⑵ 车流密度20辆/千米时，最小车流量为1200辆/小时．【解析】⑴ 设20170x ≤≤时，()v x kx b =+，由()()20206017017010v k b v k b ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，解得132003k b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故()60,020200,2017033x v x x x ≤<⎧⎪=⎨−+≤≤⎪⎩；⑵ 当[]20,170x ∈时，()220033x xf x vx ==−+，()()min 201200f x f ==，故车流密度20辆/千米时，最小车流量为1200辆/小时．20. （本题10分）已知函数()f x =A.⑴当4a =时，写出()f x 单调增区间；⑵若A =R ，求a 的取值范围；⑶若[]1,4A ⊆，求a 的取值范围．【答案】⑴ 1,2⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭；⑵ 04a ≤≤；⑶ 120a ≥−；【解析】⑴ 4a =，()f x ==，函数在1,2⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭单调递增； ⑵ 依题意可知，210ax ax ++≥对x ∀∈R 恒成立，可知：当0a =时，不等式恒成立，当0a ≠时，有2040a a a >⎧⎨∆=−≤⎩，解得04a <≤， 综上所述，04a ≤≤；⑶ 依题意可知，210ax ax ++≥对[]1,4x ∀∈恒成立，分参得21a x x ≥−+对[]1,4x ∀∈恒成立， 设()21g x x x=−+，函数在[]1,4x ∈递增， 故()()max 1420g x g ==−，可知120a ≥−．21. （本题10分）已知函数()1x f x x =+． ⑴ 判断()f x 在[)0,+∞上的单调性并用定义证明；⑵ 判断下列说法的正误：（正确的在括号里打√，错误的在括号里打×）； ① ()f x 是奇函数（ ）；② ()f x 在R 上单调递增（ ）；③ ()f x 的值域为R （ ）；④ 不等式()12f x >的解集为()1,+∞（ ）；⑤ x ∀∈R ，()()10f x f x +−>（ ）；⑥ x ∃∈R ，()()32112f x f x x +−−+=（ ）；⑦ 不等式()0f x ax −>有解的充要条件是11a −<<（ ）；⑧ 关于x 的方程()a f x x=在[)1,+∞上有解的充要条件是0a >（ ）． 【答案】⑴ 单调递增；⑵ 详见解析；【解析】⑴ 依题意可知()()1x f x f x x −−==−−+，可知函数为奇函数， 考虑0x ≥的单调性，()1111x f x x x ==−++，设120x x ≤<， 则有()()()()212112*********x x f x f x x x x x −−=−=>++++， 可知其在[)0,+∞单调递增；⑵ 函数为奇函数，①正确；R 上单调增，②正确；由0x ≥时()1111f x x =−<+，可知值域为()1,1−，③错误； 由11112x −>+，解得1x >，④正确； 由单调增，可知()()()11f x f x f x >−=−−，⑤正确；值域()1,1−，⑥错误；显然0a <时不等式均有解，⑦错误；13a =时方程在[)1,+∞无解（充要条件为12a ≥），⑧错误； 综上，①②④⑤正确，其余错误．。
2020-2021南京外国语中学高中必修五数学上期中第一次模拟试卷(附答案)
2020-2021南京外国语中学高中必修五数学上期中第一次模拟试卷(附答案)一、选择题1．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--3．若不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U4．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4B ．5C ．6D ．4或56．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．167．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018B ．2019C ．4036D ．40378．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )A ．372B ．34 C ．32或37D ．34或37 9．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．210．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形11．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．5212．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．137二、填空题13．已知对满足4454x y xy ++=的任意正实数x ，y ，都有22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围为______．14．设数列{}()1,n a n n N*≥∈满足122,6aa ==，且()()2112n n n n a a a a +++---=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122019201920192019[]a a a +++=L ____________． 15．已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．16．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为2，则112n na a a a a a a a +=⋅⋅⋅L _______________．17．定义11222n n n a a a H n-+++=L 为数列{}n a 的均值,已知数列{}n b 的均值12n n H +=,记数列{}n b kn -的前n 项和是n S ,若5n S S ≤对于任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围是________．18．在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角的大小．．为________．19．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________．20．在锐角ΔABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC n 的面积取最小值时有2c =__________.三、解答题21．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=（1） 求sin sin CA的值 （2） 若1cos ,24B b == ，求ABC ∆的面积. 22．已知数列{}n a 的首项123a =，且当2n ≥时，满足1231312n n a a a a a -++++=-L ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2n n nb a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ． 23．已知数列{}n a 满足：121n n a a n +=-+，13a =.（1）设数列{}n b 满足：n n b a n =-，求证:数列{}n b 是等比数列； （2）求出数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S .24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n a b na =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 25．已知函数()sin (0)f x m x x m =+>的最大值为2. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间； （Ⅱ）ABC ∆中,()()sin 44f A f B A B ππ-+-=,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且060,3C c ==，求ABC ∆的面积．26．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A -=．（1）求角A 的大小：（2）若a =2b =．求ABC V 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =， ∴112n n a -=， ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．2．B解析：B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率1a -≥-， 01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤….故选：B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.3．D解析：D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a ⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．4．B解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。
2020-2021南京河西外国语学校高中必修一数学上期中试卷附答案
2020-2021南京河西外国语学校高中必修一数学上期中试卷附答案一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件3．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)24．设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>5．函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（1a >且1a ≠），若()12f =，则12f f⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．1-B ．12- C ．12 D 27．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为A ．B ．C ．D ．8．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b a c >> D ．c a b >>9．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,2]-∞-B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)-+∞10．函数()245f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．[]2,4C ．[]0,4D ．(]2,411．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a12．若函数2()sin ln(14)f x x ax x =⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±二、填空题13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元． 14．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += . 15．若函数()f x 满足()3298f x x +=+，则()f x 的解析式是_________. 16．设，则________17．关于下列命题：①若函数2xy =的定义域是{|0}x x ≤，则它的值域是{|1}y y ≤；② 若函数1y x =的定义域是{|2}x x >，则它的值域是1|2y y ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭；③若函数2y x =的值域是{|04}y y ≤≤，则它的定义域一定是{|22}x x -≤≤；④若函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤，则它的定义域是{|08}x x <≤.其中不正确的命题的序号是_____________( 注：把你认为不正确的命题的序号都填上). 18．用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中最小值，则函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+的最大值是 ．19．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间(0)x x ≥的函数关系式分别为1()21x f x =-，22()f x x =，3()f x x =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：①当1x >时，甲走在最前面； ②当1x >时，乙走在最前面；③当01x <<时,丁走在最前面，当1x >时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分）． 20．若点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭）既在()2ax b f x +=图象上，又在其反函数的图象上，则a b +=____三、解答题21．已知函数2()(2)3f x x a x =+--．（1）若函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当5a =，[1,1]x ∈-时，不等式()24f x m x >+-恒成立，求实数m 的范围．22．已知函数()2x f x =，1()22xg x =+．（1）求函数()g x 的值域；（2）求满足方程()()0f x g x -=的x 的值．23．设2{|670},{|24},{|}A x x x B x x C x x a =--≤=-≤=≥ （1）求A B I（2）若A C C =U ，求实数a 的取值范围.24．2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x （百辆），需另投入成本()f x 万元，且210200,050()100006019000,50x x x f x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2019年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）（2）2019年产量为多少（百辆）时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 25．已知函数()22f x ax ax b =-+()0a >在[]2,3上的值域为[]1,4.（1）求a ，b 的值； （2）设函数()()f xg x x=，若存在[]2,4x ∈，使得不等式()22log 2log 0g x k x -≥成立，求k 的取值范围.26．已知函数f (x )=log a (x+1)-log a (1-x ),a>0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域;(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明; (3)当a>1时,求使f (x )>0的解集.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．B解析：B 【解析】 【分析】化简cos cos a A b B =得到A B =或2A B π+=，再判断充分必要性.【详解】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选B 【点睛】本题考查了必要非充分条件，化简得到A B =或2A B π+=是解题的关键，漏解是容易发生的错误.3．B解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.4．C解析：C 【解析】 【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】 由题得21log 3c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.5．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 6．C解析：C 【解析】 【分析】由()12f =，求得2a =，得到函数的解析式，进而可求解1(())2f f 的值，得到答案． 【详解】由题意，函数(),1(1log ,1x aa x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，()12f =， 所以()12f a ==，所以()22,1(1log ,1x x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，所以121()22f ==所以211(())log 22f f f ===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，以及函数值的运算问题，其中解答中根据题意准确求得函数的解析式，合理利用解析式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7．B解析：B 【解析】 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果． 【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．8．B解析：B 【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．9．B解析：B 【解析】由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[)2,+∞ 本题选择B 选项.10．B解析：B 【解析】 【分析】由函数的解析式可得函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1，当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5，结合题意求得m 的范围． 【详解】∵函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1， 当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5．且f （x ）＝x 2﹣4x +5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1， ∴实数m 的取值范围是[2，4]， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．11．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.12．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.二、填空题13．1120【解析】【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式结合y ＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式y ∵y ＝解析：1120 【解析】 【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案． 【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪=-≤⎨⎪-+⎩，＜，＜，＞ ∵y ＝30＞25 ∴x ＞1100∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150，1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．14．【解析】若则在上为增函数所以此方程组无解；若则在上为减函数所以解得所以考点：指数函数的性质解析：32-【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-.考点：指数函数的性质.15．【解析】【分析】设带入化简得到得到答案【详解】设代入得到故的解析式是故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式属于常用方法需要学生熟练掌握解析：()32f x x =+ 【解析】 【分析】设32t x =+，带入化简得到()32f t t =+得到答案. 【详解】()3298f x x +=+，设32t x =+ 代入得到()32f t t =+故()f x 的解析式是() 32f x x =+ 故答案为：()32f x x =+ 【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式，属于常用方法，需要学生熟练掌握.16．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-解析：-1 【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得的值.【详解】， ，所以，故答案为-1. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．17．①②③【解析】【分析】通过定义域和值域的相关定义及函数的增减性即可判断①②③④的正误【详解】对于①当时故①不正确；对于②当时则故②不正确；对于③当时也可能故③不正确；对于④即则故④正确【点睛】本题主解析：①②③ 【解析】 【分析】通过定义域和值域的相关定义，及函数的增减性即可判断①②③④的正误. 【详解】对于①，当0x ≤时，01y <≤，故①不正确；对于②，当2x >时，则1102x <<，故②不正确；对于③，当04y ≤≤时，也可能02x ≤≤，故③不正确；对于④，即2log 3x ≤，则08x <≤，故④正确.【点睛】本题主要考查定义域和值域的相关计算，利用函数的性质解不等式是解决本题的关键，意在考查学生的计算能力.18．6【解析】试题分析：由分别解得则函数则可知当时函数取得最大值为6考点：分段函数的最值问题解析：6 【解析】试题分析：由414,418,48x x x x x x +>++>-++>-+分别解得1, 1.4,2x x x >>>，则函数()8,2{4,1241,1x x f x x x x x -+≥=+<<+≤则可知当2x =时，函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+取得最大值为6 考点：分段函数的最值问题19．③④⑤【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢当x=1时甲乙丙丁四个物体又重合从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快当运动的时间足够长最前面的动物一定是按照指数型函数解析：③④⑤【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知命题④正确．解：路程f i（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系是：，，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型．当x=2时，f1（2）=3，f2（2）=4，∴命题①不正确；当x=4时，f1（5）=31，f2（5）=25，∴命题②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面，命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确．故答案为③④⑤．考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．20．【解析】【分析】由点在函数的反函数的图象上可得点在函数的图象上把点与分别代入函数可得关于的方程组从而可得结果【详解】点在函数的反函数的图象上根据反函数与原函数的对称关系点在函数的图象上把点与分别代入解析：1 3【解析】【分析】由点12,2⎛⎫⎪⎝⎭在函数2ax by+=的反函数的图象上，可得点1,22⎛⎫⎪⎝⎭在函数2ax by+=的图象上，把点12,2⎛⎫⎪⎝⎭与1,22⎛⎫⎪⎝⎭分别代入函数2ax by+=，可得关于,a b的方程组，从而可得结果.【详解】Q点12,2⎛⎫⎪⎝⎭在函数2ax by+=的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系，∴点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数2ax b y +=的图象上， 把点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭分别代入函数2ax b y +=可得， 21a b +=-，①112a b +=，② 解得45,33a b =-=，13a b +=，故答案为13. 【点睛】本题主要考查反函数的定义与性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 三、解答题21．（1）(,6][6,+)∞∞--U ；（2）3(,)4∞-． 【解析】【分析】（1）首先求函数的对称轴22a x -=-，令242a --≥或 222a --≤-，求实数a 的取值范围；（2）不等式等价于21x x m ++>恒成立，令()21g x x x =++，转化为()min g x m >，[]1,1x ∈-恒成立，求m 的取值范围.【详解】解：（1）函数()f x 的对称轴为22a x -=-， 又函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，242a -∴-≥或 222a --≤-， 解得6a ≤-或6a ≥．∴实数a 的取值范围为(,6][6,)-∞-+∞U ； （2）当5a =，[]1,1x ∈-时，()24f x m x >+-恒成立，即21x x m ++>恒成立， 令()21g x x x =++，()min g x m >恒成立， 函数()g x 的对称轴[]11,12x =-∈-，∴()min 1324g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即34m >， m ∴的范围为3(,)4-∞．【点睛】本题考查二次函数单调性，恒成立的的综合问题，属于基础题型.22．（1）(2,3]；（2）2log (1x =．【解析】试题分析：（1）化简函数的解析为||||11()2()222x x g x =+=+，根据||10()12x <≤，即可求解函数的值域；（2）由()()0f x g x -=，得||12202x x --=，整理得到2(2)2210x x -⋅-=，即可求解方程的解．试题解析：（1）||||11()2()222x x g x =+=+， 因为||0x ≥，所以||10()12x <≤，即2()3g x <≤，故()g x 的值域是(2,3]．（2）由()()0f x g x -=，得||12202x x --=， 当0x ≤时，显然不满足方程，即只有0x >时满足12202x x--=，整理得2(2)2210x x -⋅-=，2(21)2x -=，故21x =±因为20x >，所以21x =2log (1x =．考点：指数函数的图象与性质．23．（1）[1,6]-（2）1a ≤-【解析】【分析】（1）化简集合，根据集合的交集运算即可求解（2）由A C C =U 可知A C ⊆，结合数轴求解即可.【详解】（1）由2670x x --≤解得17x -≤≤，故[1,7]A =-， 因为24x -≤，所以26x -≤≤，即[2,6]B =-,所以[1,7][2,6][1,6]A B =--=-I I .（2） 因为A C C =U ，所以A C ⊆，故1a ≤-.【点睛】本题主要考查了集合的交集，并集，子集，涉及一元二次不等式及绝对值不等式，属于中档题.24．（1）()2104003000,050100006000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩；（2）2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.【解析】【分析】（1）先阅读题意，再分当050x <<时，当50x ≥时，求函数解析式即可；（2）当050x <<时，利用配方法求二次函数的最大值，当50x ≥时，利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，再综合求分段函数的最大值即可.【详解】解：（1）由已知有当050x <<时，()22600(10200)3000104003000L x x x x x x =-+-=-+-当50x ≥时，()1000010000600(6019000)30006000L x x x x x x=-+--=--+， 即()2104003000,050100006000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩， （2）当050x <<时，()2210400300010(20)1000L x x x x =-+-=--+， 当20x =时，()L x 取最大值1000，当50x ≥时，()10000600060005800L x x x =--+≤-+=， 当且仅当10000x x=，即100x =时取等号， 又58001000>故2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了分段函数最值的求法，属中档题.25．(1)1,1a b == (2) 1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）先求得函数()f x 的对称轴，然后根据函数()f x 在[]2,3上的单调性列方程组，解方程组求得,a b 的值.（2）由（1）求得函数()f x 的解析式，进而求得()g x 的解析式，将不等式()22log 2log 0g x k x -≥分离常数2k ，利用换元法，结合二次函数的性质，求得k 的取值范围.【详解】（1）由已知可得()()21f x a x b a =-+-，对称轴为1x =.因为0a >，所以()f x 在[]2,3上单调递增， 所以()()21,34,f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1,44,a b a a b a +-=⎧⎨+-=⎩解得1,1,a b =⎧⎨=⎩ （2）由（1）可得()221f x x x =-+，则()()12f x g x x x x==+-. 因为()22log 2log 0g x k x -≥，所以2221log 22log log x k x x +-≥. 又[]2,4x ∈，所以()2221221log log k x x ≤-+. 令21log t x=，则2221k t t ≤-+. 因为[]2,4x ∈，所以1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.记()221h t t t =-+，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以当12t =时，()max 14h t =， 所以124k ≤，解得18k ≤，故k 的取值范围是1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】 本小题主要考查根据二次函数的对称轴、单调性和值域求解析式，考查存在性问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.26．（1）{}11x x -<<（2）函数()f x 为奇函数，证明见解析（3）{}01x x <<【解析】【分析】（1）根据题意，求函数定义域结合对数函数真数大于零得到关于x 的不等式组，求解即可得出答案。
2023-2024学年南京外国语学校高三第一学期期中数学试卷【学生版】
南京外国语学校2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（A 卷）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若，则()A. B.0C. D.2.若对，恒成立，其中，则（）A.3B.2C.0D.3.已知定义在上的函数，记，，则.的大小关系为（）A. B. C. D.4.已知等比数列的前n 项和为且，则（）A.3B.5C.30D.455.阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为暂堵，再沿堑堵的一顶点与相对棱剖开得一四棱锥和一三棱锥，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱雉，称为阳马，余下的三棱锥称为鳖臑.(注:图1由左依次是堑堵、阳马、鳖臑)上图中长方体为正方体，由该正方体得上图阳马和鳖臑，已知鳖臑的外接球的体积为，则鳖臑体积为（）6.在学校春季运动会中，甲、乙、丙、丁4名同学被安排到跳远、跳高、迎面接力这三个比赛()i 11z +=z z --=2-2i2i-x R ∈()55432()(2)5(2)10(2)10(2)521ax b x xx x x ++--=++++++-,a b R ∈a b -=1-R ()e xf x -=()0.5log 3a f =()()2log 5,0b f c f ==,,a b c b a c<<c a b<<a c b<<c b a<<{}n a 341,2,n S S a a =-2415a a +=35=a a +项目参加志愿服务，每个项目至少安排一个人，且每个人只能参与其中一个项目，则在甲不去跳远项目的条件下，乙被安排到跳远项目的概率是（）A.B.C.D.7.已知矩形中，是边的中点.和交于点，将沿折起，在翻折过程中当与垂直时，异面直线和所成角的余弦值为（）A.B.C.D.8.已知，则（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知实数满足，则下列不等式一定正确的是()A. B.C.D.10.设等差数列的前项和为，公差为，下列结论正确的是（）A.B.当时，的最大值为13C.数列为等差数列，且和数列的首项、公差均相同D.数列前项和为最大11.已知函数，则()A.函数在上的单调递减区间是B.函数的图象关于点对称C.函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴对称，则的最小161451229ABCD 1,AB BC E ==BC AE BD M ABE V AE AB MD BA CD 161451223131sin ,ln ,223a b c ===a b c>>b c a>>b a c>>c a b>>,a b 0a b <<21a b -<tan tan a b <11a ab b +<+ln ln b a a b<{}n a n n S 16767,0,0,0d a a a a a >+>⋅<0d <0n S >n n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 12,n T T ()cos f x x x =+()f x 2,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ2,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ()f x ,03⎛⎫- ⎪⎝⎭π()f x (0)m m >y m值是D.若实数使得方程在上恰好有三个实数解，则12.正方体中，是体对角线上的动点，是棱上的动点，则下列说法正确的是()A.异面直线与所成的角的最小值为B.异面直线与所成的角的最大值为C.对于任意的，存在点使得D.对于任意的，存在点使得三、填空题（本大题共4题，每小题5题，共20分）13.某校2023年秋季入学考试，某班数学平均分为125分，方差为.成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误，同学实际成绩137分，被错录为118分;同学实际成绩115分，被错录为103分;同学实际成绩98分，被错录为129分，更正后重新统计，得到方差为，则（填）14.如图，在中，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则的取值范围是3πm ()f x m =[]0,2π123,,x x x 12383x x x ++=π1111ABCD A B C D -P 1AC M 1DD 1B P 1A D 6π1B P 1A D 3πP M 1AM B P ⊥M P 1AM B P⊥21S A B C 22S 21S 22S ,,><=ABC V 4,3,90AB AC A ===o ∠PQ A BP CQ ⋅u u r u u u r15.已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线交于两点，为坐标原点，分别为的中点，且，则双曲线的离心率为.16.已知函数，则数列的通项公式为.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)设，求数列的前项和.F 2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>43y x =E A,B O P,Q ,AF BF 0OP OQ ⋅=u u u r u u u rE ()()()1,111x xe f x g x f x e -==-++()*12321n n a g g g g n N n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L {}n a {}n a ()()114,121n n a na n a n n +=-+=+{}n a 22n n nn b a +={}n b n n T18.在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求.(1)的值.(2)和的面积.条件①:.条件②:.注:如果选择条件(1)和条件(2)分别解答，按第一个解答计分.19.已知函数.(1)时，求的极值;(2)若在区间有2个零点，求的取值范围.ABC V 11a b +=a sin C ABC V 17,cos 7c A ==-19cos ,cos 816A B ==()ln 2f x x mx =-+1m =()f x ()f x 21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦m20.如图，在三棱台中，，侧棱平面，点是棱的中点.(1)证明:平面;(2)求平面与平面的夹角的余弦值.21.在平面直角坐标系中，已知,圆与轴切于点，又过作异于的两切线，设这两切线交于点.(1)求点的轨迹方程;(II)设为坐标原点，是的轨迹上的不同两点且不关于原点对称，若直线的斜率分别为和，若，求的面积。
2020-2021南京玄武外国语中学高中必修一数学上期中试卷(含答案)
2020-2021南京玄武外国语中学高中必修一数学上期中试卷(含答案)一、选择题1．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =IA ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅2．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，，B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 3．已知函数224()(log )log (4)1f x x x =++，则函数()f x 的最小值是A ．2B ．3116C ．158D ．14．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |14x x +-＞0}，那么集合A ∩(∁U B )＝( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x ＜－1}D ．{x |－1≤x ≤3}5．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ） A ．5 B ．5-C ．0D ．20196．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．7．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）8．函数()2log ,0,2,0,x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x f x f x =-+的零点个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．69．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭10．设函数3()f x x x =+ ，. 若当02πθ<< 时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1(,1]2B ．1(,1)2C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞11．若函数2()sin ln(14)f x x ax x =⋅++的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±12．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ） A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<二、填空题13．方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为_________.14．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += .15．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，记2()()g x f x x =-，且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+的解集为_____16．已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a ＞0，且a≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f(x)的零点为x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n= .17．已知偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则(2)0f x ->的解集为___ ___18．函数的定义域为___．19．用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中最小值，则函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+的最大值是 ． 20．已知函数()()2ln11f x x x =+-+，()4f a =，则()f a -=________．三、解答题21．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后，y 与t 之间的函数关系式y ＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？22．已知函数()212ax f x x b +=+是奇函数，且()312f =.（1）求实数a ，b 的值；（2）判断函数()f x 在(],1-∞-上的单调性，并用定义加以证明． （3）若[]2,1x ∈--，求函数的值域 23．已知幂函数2242()(22)m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()(21)1()ag x a x f x =--+在[1,2]-上的值域为 [4,11]-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.24．设集合A ＝{x ∈R|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的值．25．定义在R 上的函数()y f x =对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0.f x >（1）求证:()f x 为奇函数； （2）求证:()f x 为R 上的增函数； （3）若()()327930xxx x f k f ⋅+-+>对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．26．近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P 与投入a (单位:万元)满足6P =,乙城市收益Q 与投入b (单位:万元)满足124Q b =+,设甲城市的投入为x (单位:万元),两个城市的总收益为()f x (单位:万元).(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C【解析】 【分析】求出集合B 后可得A B I . 【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B =I {}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.2．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内3．B解析：B 【解析】 【分析】利用对数的运算法则将函数()()()224log log 41f x x x =++化为()2221log 1log 12x x +++，利用配方法可得结果.【详解】化简()()()224log log 41f x x x =++()2221log 1log 12x x =+++22211131log log 224161616x x ⎛⎫=++-≥-= ⎪⎝⎭，即()f x 的最小值为3116，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.4．D解析：D 【解析】依题意A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，故∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，故A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}，故选D.5．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数；∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5． 故选：A ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．6．C解析：C 【解析】 由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．7．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．8．A解析：A 【解析】 【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】 函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A . 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．9．B解析：B 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以，函数()y f x =为奇函数，由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数， 由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，所以，11112121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.10．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立. 可得11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--， 故选D.11．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.12．B解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.二、填空题13．【解析】【分析】解方程组求出结果即可得答案【详解】由解得或代入解得或所以方程组的解组成的集合为故答案为【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题需要注意的问题是解是二维的再者就是需要写成集合的形式属于 解析：()(){}2,2,2,2--【解析】 【分析】 解方程组240x y x +=⎧⎨-=⎩，求出结果即可得答案.【详解】由240x -=，解得2x =或2x =-，代入0x y +=，解得22x y =⎧⎨=-⎩或22x y =-⎧⎨=⎩，所以方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为{}(2,2),(2,2)--，故答案为{}(2,2),(2,2)--. 【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题，需要注意的问题是解是二维的，再者就是需要写成集合的形式，属于简单题目.14．【解析】若则在上为增函数所以此方程组无解；若则在上为减函数所以解得所以考点：指数函数的性质解析：32-【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-.考点：指数函数的性质.15．【解析】【分析】根据题意分析可得为偶函数进而分析可得原不等式转化为结合函数的奇偶性与单调性分析可得解可得的取值范围【详解】根据题意且是定义在上的偶函数则则函数为偶函数又由为增函数且在区间上是增函数则 解析：()(),40,-∞-+∞U【解析】 【分析】根据题意，分析可得()g x 为偶函数，进而分析可得原不等式转化为()()22g x g +>，结合函数的奇偶性与单调性分析可得22x +>，解可得x 的取值范围． 【详解】根据题意()()2g x f x x =-，且()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-=，则函数()g x 为偶函数，()()()()()()()22224222422f x f x x f x x f g x g +->+⇒+--⇒+>>+，又由()g x 为增函数且在区间[0,)+∞上是增函数，则22x +>， 解可得：4x <-或0x >，即x 的取值范围为()(),40,-∞-+∞U ， 故答案为()(),40,-∞-+∞U ； 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析()g x 的奇偶性与单调性，属于中档题．16．2【解析】【分析】把要求零点的函数变成两个基本初等函数根据所给的ab 的值可以判断两个函数的交点的所在的位置同所给的区间进行比较得到n 的值【详解】设函数y=logaxm=﹣x+b 根据2＜a ＜3＜b ＜4解析：2 【解析】 【分析】把要求零点的函数，变成两个基本初等函数，根据所给的a ，b 的值，可以判断两个函数的交点的所在的位置，同所给的区间进行比较，得到n 的值. 【详解】设函数y=log a x ，m=﹣x+b 根据2＜a ＜3＜b ＜4，对于函数y=log a x 在x=2时，一定得到一个值小于1，而b-2>1，x=3时，对数值在1和2 之间，b-3<1在同一坐标系中画出两个函数的图象， 判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，∴函数f （x ）的零点x 0∈（n ，n+1）时，n=2．故答案为2.考点：二分法求方程的近似解；对数函数的图象与性质．17．【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性增减性就可以解不等式【详解】根据题意可知令则转化为由于偶函数在上为增函数则即即或即或【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性增减性）解不等式意在考查学生的转化能解析：{|40}x x x ><或【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性，增减性就可以解不等式.【详解】根据题意可知(2)0f =，令2x t -=，则转化为()(2)f t f >，由于偶函数()f x 在()0,∞+上为增函数，则()(2)f t f >，即2t>，即22x -<-或22x ->，即0x <或4x >.【点睛】 本题主要考查利用函数的性质（奇偶性，增减性）解不等式，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.18．(-12)∪(2+∞)【解析】【分析】根据式子成立的条件对数式要求真数大于零分式要求分母不等于零即可求得函数的定义域【详解】要使函数有意义则x+1>012-x≠0解得x>-1且x≠2所以函数的定义域解析：【解析】【分析】根据式子成立的条件，对数式要求真数大于零，分式要求分母不等于零，即可求得函数的定义域.【详解】要使函数有意义，则， 解得且，所以函数的定义域为：，故答案是：. 【点睛】该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，在求解的过程中，注意对数式和分式成立的条件即可，属于简单题目.19．6【解析】试题分析：由分别解得则函数则可知当时函数取得最大值为6考点：分段函数的最值问题解析：6【解析】试题分析：由414,418,48x x x x x x +>++>-++>-+分别解得1, 1.4,2x x x >>>，则函数()8,2{4,1241,1x x f x x x x x -+≥=+<<+≤则可知当2x =时，函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+取得最大值为6考点：分段函数的最值问题20．【解析】【分析】发现计算可得结果【详解】因为且则故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质由函数解析式计算发现是关键属于中档题 解析：2-【解析】【分析】发现()()f x f x 2+-=，计算可得结果.【详解】因为()()()()()2222f x f x ln 1x 1ln 1x 1ln 122x x x x +-=+-+++++=+-+=， ()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现()()f x f x 2+-=是关键，属于中档题.三、解答题21．（1）0.8)4,015(,1t t t y t ≤≤⎧=⎨⋅>⎩n ； （2）服药一次后治疗有效的时间是5－＝小时. 【解析】【分析】（1）由函数图象的奥这是一个分段函数，第一段为正比例函数的一段，第二段是指数函数的一段，由于两端函数均过点(1,4)，代入点(1,4)的坐标，求出参数的值，即可得到函数的解析式；（2）由（1）的结论将函数值0.25代入函数的解析式，构造不等式，求出每毫升血液中函数不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，即可得到结论.【详解】（1）由题意，根据给定的函数的图象，可设函数的解析式为1)2,01(,1t a kt t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n ，又由函数的图象经过点(1,4)，则当1t =时，14k ⨯=，解得4k =，又由1t =时，11()42a -=，解得3a =，所以函数的解析式为1)324,01(,1t t t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n . （2）由题意，令0.25y ≥，即当01t ≤<时，40.25t ≥，解得116t ≥， 当1t ≥时，31()0.252t -≥，解得15t ≤≤，综上所述，可得实数t 的取值范围是1516t ≤≤， 所以服药一次后治疗有效的时间是17951616-=小时. 【点睛】本题主要考查了一次函数与指数函数模型的应用，解答中认真审题，合理设出函数的解析式，代入求解是解答的关键，同时应用指数函数模型应注意的问题：(1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决.(2)应用指数函数模型时的关键.关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型.22．（1）2,0a b ==；（2）()f x 在(],1-∞-上为增函数，证明见解析；（3）93,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）由函数为奇函数可得()312f =,()312f -=-，再联立解方程组即可得解； （2）利用定义法证明函数()f x 在(],1-∞-上为增函数即可；（3）由函数()f x 在[]2,1--上为增函数，则可求得函数的值域.【详解】 解：（1）由函数()212ax f x x b+=+是奇函数，且()312f =,则()312f -=-， 即22113212(1)132(1)2a b a b⎧⨯+=⎪⨯+⎪⎨⨯-+⎪=-⎪⨯-+⎩ ，解得：20a b =⎧⎨=⎩ ； （2）由（1）得：()2212x f x x+=， 则函数()f x 在(],1-∞-上为增函数；证明如下：设121x x <≤-，则12()()f x f x -=211212x x +222212x x +-=2212212112222x x x x x x x x +--121212()(21)2x x x x x x --=，又因为121x x <≤-，所以120x x -<，12210x x ->，120x x >，即12())0(f x f x -< ，即12()()f x f x <，故()f x 在(],1-∞-上为增函数；（3）由（2）得：函数()f x 在[]2,1--上为增函数， 所以(2)()(1)f f x f -≤≤-，即93()42f x -≤≤-， 故[]2,1x ∈--，函数的值域为：93,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性及增减性，重点考查了利用函数的性质求函数的值域问题，属中档题.23．（1）1()f x x -=；（2）存在，6a =.【解析】【分析】（1）由幂函数的定义和单调性，可得关于m 的方程与不等式；（2）由（1）得1()f x x -=，从而得到()(1)1g x a x =-+，再对1a -的取值进行分类讨论. 【详解】（1）因为幂函数2242()(22)m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减，所以22221,420,m m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得：3m =或1m =-（舍去）， 所以1()f x x -=.（2）由（1）得1()f x x -=，所以()(1)1g x a x =-+，假设存在0a >使得命题成立，则当10a ->时，即1a >，()g x 在[1,2]-单调递增，所以(1)4,114,6(2)11,22111,g a a g a -=--+=-⎧⎧⇒⇒=⎨⎨=-+=⎩⎩； 当10a -=，即1a =，()1g x =显然不成立；当10a -<，即1a <，()g x 在[1,2]-单调递减，所以(1)11,1111,(2)4,2214,g a g a -=-+=⎧⎧⇒⎨⎨=--+=-⎩⎩a 无解； 综上所述：存在6a =使命题成立.【点睛】本题考查幂函数的概念及解析式、已知一次函数的定义域、值域求参数的取值范围，考查逻辑推理能力和运算求解能力，同时注意分类讨论思想的运用，讨论时要以一次函数的单调性为分类标准.24．a ≤－1或a ＝1.【解析】【分析】先解方程得集合A ，再由 B ⊆A 得B 为A 子集，根据子集四种情况分类讨论，解出实数a 的值．注意对结果要验证【详解】解 ∵A ＝{0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况．(1)当A ＝B 时，B ＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得22(1)410a a -+=-⎧⎨-=⎩解得a ＝1. (2)当B ≠A 时，又可分为两种情况．①当B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}，当x ＝0时，有a ＝±1； 当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1.又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件；②当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.综合(1)(2)知，所求实数a 的取值为a ≤－1或a ＝1.25．（1）详见解析（2）详见解析（3）3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用赋值法与定义判断奇偶性；（2）利用定义证明函数的单调性；（3）利用函数的奇偶性与函数的单调性，可将不等式()()327930x x x x f k f ⋅+-+>具体化，利用换元法，转化为一个关于k 的二次不等式，求最值即可得到k 的取值范围．【详解】(1)证明：令0x y ==，得()()()000f f f =+得()00f =令y x =-，得()()()0f x x f x f x +-=+-=⎡⎤⎣⎦()()f x f x ∴-=-()f x ∴为奇函数（2）任取12,,x x R ∈且12x x <()()()()121211f x f x f x f x x x -=--+⎡⎤⎣⎦()()()()121121f x f x x f x f x x =---=--12x x <Q 210x x ∴->()210f x x ∴->()210f x x ∴--<即()()12f x f x <∴()f x 是R 的增函数…（3）()()327930x x x x f k f ⋅+-+>Q()()32793x x x xf k f ∴⋅>--+ ()f x Q 是奇函数()()32793x x x x f k f ∴⋅>-+-()f x Q 是增函数32793x x x x k ∴⋅>-+-931x x k ∴>-+-令931x xy =-+-，下面求该函数的最大值令()30x t t => 则()210y t t t =-+-> 当12t =时，y 有最大值，最大值为34- 34k ∴>- ∴k 的取值范围是3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的知识点是抽象函数函数值的求法，单调性的判断及单调性的应用，其中抽象函数“凑”的思想是解答的关键．26．（1）43.5（2）当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.【解析】(1)当50x =时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元,所以总收益()50f =167024+⨯+=43.5(万元). (2)由题知,甲城市投资x 万元,乙城市投资()120x -万元,所以()f x =()1612024x +-+=126,4x -+ 依题意得4012040x x ≥⎧⎨-≥⎩,解得4080x ≤≤,故()f x =()12640804x x -+≤≤,令t =,则t ⎡∈⎣,所以y =21264t -++=21(444t --+.当t =,即72x =万元时,y 的最大值为44万元,所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.。
2020-2021学年江苏省南京外国语学校高一第一学期期中数学试题
2020-2021学年江苏省南京外国语学校高一第一学期期中数学试题南京外国语学校2020-2021学年度第一学期期中高一数学一?单项选择题:本大题共8小题,每小题3分,共24分,请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.已知集合A={x|1<xA.{1,2,3}B.{2,3}C.{1,2,3,4}D.{2,3,4} 2.“x>0”是“20x x +>”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列命题中正确的是().A.若a>b,则ac>bcB.若,,a b c d >>则a-c>b-dC.若ab>0,a>b,则11a b <D.若a>b,c>d,则a b c d> 4.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是().3.A y x =B.y=|x|+1 2.|1|C y x =- .2x D y -= 5.已知4213532,4,25,a b c ===则()A.b<a<c< p="">B.a<b<c< p="">C.b<c<a< p="">D.c<a<b< p="">6.已知函数f(x)的定义域是[-2,3],则f(2x-3)的定义域是()A.[-7,3]B.[-3,7] 1.[,3]2C 1.[,3]2D - 7.若5361log log 6log 2,3x ??=,则x 等于() A.9 1.9B C.25 1.25D 8.设偶函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2)=0,则不等式()()0f x f x x+->的解集为().A.(-2,0)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(0,2)C.(-∞,-2)U(2,+∞)D.(-2,0)∪(0,2)二?多项选择题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)9.若a>0,a ≠1,则下列说法不正确的是().A.若log log ,a a M N =则M=NB.若M=N,则log log a a M N =C.若22log log ,a a M N =则M=ND.若M=N 则22log log a a M N =10.下列四个命题是真命题的是()A.函数y=|x|与函数2()y x =表示同一个函数B.奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点C.函数23(1)y x =-的图像可由23y x =的图像向右平移1个单位得到D.若函数(1)2,f x x x +=+则2()1(1)f x x x =-≥11.下列说法正确的是().A.若x>0,则函数2y x x =+有最小值22 B.若,0,2,x y x y >+=则22x y +的最大值为4C.若x,y>0,x+y+xy=3,则xy 的最大值为1D.若a>0,b>0,a+b=1,则11a b+的最小值为4 12.对于定义域为D 的函数y=f(x),若f(x)同时满足下列条件:①在D 内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b]?D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b].那么把y=f(x)(x ∈D)称为闭函数.下列函数是闭函数的是().2.1A y x =+3.B y x =- .22C y x =+- .3x D y =三?填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,21(),f x x x=+则f(-1)=______. 14.已知函数1()32x f x a -=+的图象恒过定点P ,则点P 的坐标是______.15.已知函数()f x =则该函数的单调增区间为______.16.已知函数()2,.x f x x =∈R ①若方程|f(x)-2|=m 有两个解,则的取值范围为_______.②若不等式2[()]()0f x f x m +->在R 上恒成立,则m 的取值范围为______.(第一空1分,第二空2分) 三?解答题:本大题共5小题,共48分,请把答案填写在答题卡相应位置上.17.(本小题满分8分)计算: 20.520327492(1)()()(0.2)(0.081).8925---+?-33(2)(lg 2)(lg 5)3lg 2lg 5++?.18.(本小题满分10分)设命题p:实数满足(x-a)(x-3a)<0,其中a>0.命题q:实数x 满足30.2x x -≤- (1)当a=1时,命题p,q 都为真,求实数x 的取值范围;(2)若p 是?q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.19.(本小题满分10分)某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x 千件,需另投入成本为C(x),当年产量不足80千件时,21()103C x x x =+(万元).当年产量不小于80千件时,10000()511450C x x x=+-(万元),每千件商品售价为50万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?20.(本小题满分10分)已知定义在(-1,1)上的奇函数f(x),且当x ∈(0,1)时,2().21xx f x =+ (1)求函数f(x)在(-1,1)上的解析式;(2)判断并用定义证明f(x)在(0,1)上的单调性;(3)解不等式f(x-1)+f(x)<0.21.(本小题满分10分)已知函数2()(22,())f x ax a x a =-++∈R .(1)f(x)<3-2x 恒成立,求实数a 的取值范围;(2)当a>0时,求不等式f(x)≥0的解集;(3)若存在m>0使关于x 的方程1(||)1f x m m=++有四个不同的实根,求实数a 的取值范围.</a<b<> </c<a<> </b<c<> </a<c<> </x。
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江苏省南京外国语学校2020-2021学年高一上学期
期中数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．
2. “”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3. 下列命题中正确的是（）
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
4. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）A．B．C．D．
5. 已知，，，则（）
A．B．C．D．
6. 已知函数的定义域是，则的定义域是（）
A．B．
C．D．
7. 若，则等于（）
A．
B．
C．
D．
8. 若偶函数在(0，＋∞)上为减函数，且，则不等式
的解集为（）
A．(－2,0)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,0)∪(0,2)
二、多选题
9. 若，，则下列说法不正确的是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10. 下列四个命题是真命题的是（）
A．函数y=|x|与函数表示同一个函数
B．奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点
C．函数的图像可由的图像向右平移1个单位得到D．若函数，则
11. 下列说法正确的是（）
A．若，则函数有最小值
B．若，则的最大值为4
C．若，，则的最大值为1
D．若，，，则的最小值为4
12. 对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单
调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域为.那
么把（）称为闭函数.下列函数是闭函数的是（）A．B．C．D．
三、填空题
13. 已知函数为奇函数，且当时，，则
_________.
14. 已知函数的图象恒过定点，则点的坐标是_________.
15. 函数的单调递增区间为________．
四、双空题
16. 已知函数，.①若方程有两个解，则的取值
范围为_________.
②若不等式在上恒成立，则的取值范围为_________.
五、解答题
17. 计算：
（1）.
（2）.
18. 设命题：实数满足，其中.命题：实数满足
.
（1）当时，命题，都为真，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19. 某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）.当年产量不小于
80千件时，（万元），每千件商品售价为50万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
20. 已知定义在上的奇函数），且当时，.
（1）求函数在上的解析式；
（2）判断并用定义证明在上的单调性；
（3）解不等式.
21. 已知函数，.
（1）恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，求不等式的解集；
（3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围.。