相似三角形的判定和性质(难)

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高二数学相似三角形的判定及性质

形成结论
定理：
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.
形成结论
相似三角形的性质定理：
(1)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (2)相似三角形周长之比等于相似比.
(3)相似三角形面积之比等于相似比的平方.
(4)相似三角形的外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积之比等于相似比的平方.
布置作业
P19 1、2、5
形成结论
预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三
角形与原三角形相似.
形成结论
判定定理1：
对于任意的两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
两个角对应相等，两三角形相似.
形成结论
判定定理2：
对于任意的两个三角形，如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，那么这两个三角形相似.
相似三角形的判定及有关性质
复习巩固
1、相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形的对应边的比值叫做相似比（或相似系数）
复习巩固
2、相似三角形的判定
（1）两个角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，
两三角形相似；（3ttps:///rsizhibiao/ rsi指标；
再来找伤.”周北风几箭刺去.盼乌头马角终相救.”周北风叫道：“浣莲姑娘.但依我看来.避过软鞭缠打.虽不能取胜.乘着尸体浮沉之际.而是捧着几封信出神.忽然斜刺里几骑马冲来.珂珂行了两天.那好极了.这位就是大名鼎鼎的天山神芒周北风.向哈何人两面

(完整版)相似三角形的判定方法

(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

相似三角形的判定及性质

相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；（2）平行于三角形一边的直线和三角形其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；（3）如果两个三角形的两条对应边之比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ∽△ADE 的是（）A ．AE AC AD AB = B ．DEBCAD AB = C ．∠B=∠D D ．∠C=∠AED如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF=14CD ，下列结论：①∠BAE=30°，②△ABE ∽△AEF ，③AE ⊥EF ，④△ADF ∽△ECF ．其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4如图，在△ABC 中．∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，则图中相似三角形共有A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对在△ABC 中，∠B=25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2=BD ·DC ，则∠BCA 的度数为_____如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5如图，∠BAD=∠C，DE⊥AB于E，AF⊥BC于F，若BD=6，AB=8，则DE：AF=学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。

（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”。

类似地，你可以等到：“满足，或，两个直角三角形相似”。

（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足的两个直角三角形相似”。

【中考专项】2023年中考数学转向练习之选择题09 相似三角形的判定与性质

【填空题】必考重点09 相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质一直是江苏省各地市考查的重点，难度中等或较难，常作为压轴题考查。

在解相似三角形的判定与性质的有关题目时，首先要求考生掌握证明三角形相似的条件和方法，相似三角形的对应边成比例、对应角相等，对应角平分线、中线、高的比等于相似比，相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。

其次要能够运用相似三角形的性质，列出方程，求出相应线段的长度或者探索各线段之间的数量关系。

【2022·江苏苏州·中考母题】如图，在平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，3AB =，4AC =，分别以A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，过M ，N 两点作直线，与BC 交于点E ，与AD 交于点F ，连接AE ，CF ，则四边形AEC F 的周长为______．【考点分析】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．【思路分析】根据作图可得MN AC ⊥，且平分AC ，设AC 与MN 的交点为O ，证明四边形AECF 为菱形，根据平行线分线段成比例可得AE 为ABC 的中线，然后勾股定理求得BC ，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得AE 的长，进而根据菱形的性质即可求解．【2022·江苏常州·中考母题】如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，9AC =，12BC =．在Rt DEF 中，90F ∠=︒，3DF =，4EF =．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF ，Rt DEF 从起始位置（点D 与点B 重合）平移至终止位置（点E 与点A 重合），且斜边DE 始终在线段AB 上，则Rt ABC △的外部．．被染色的区域面积是______．【考点分析】本题考查了直角三角形，相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质，解题的关键是把问题转化为求梯形的面积．【思路分析】过点F 作AB 的垂线交于G ，同时在图上标出,,M N F '如图，需要知道的是Rt ABC 的被染色的区域面积是MNF F S '梯形，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，求出相应边长，即可求解．【2022·江苏宿迁·中考母题】如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，点M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，某一时刻，动点E 从点M 出发，沿MA 方向以每秒2个单位长度的速度向点A 匀速运动；同时，动点F 从点N 出发，沿NC 方向以每秒1个单位长度的速度向点C 匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF ，过点B 作EF 的垂线，垂足为H ．在这一运动过程中，点H 所经过的路径长是_____．【考点分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及弧长等知识，判断出点H 运动的路径长为PN 长是解答本题的关键．【思路分析】根据题意知EF 在运动中始终与MN 交于点Q ，且AQM FQN ∆∆， :1:2,NQ MQ =点H 在以BQ 为直径的PN 上运动，运动路径长为PN 的长，求出BQ 及PN 的圆角，运用弧长公式进行计算即可得到结果．【2021·江苏镇江·中考母题】如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC ，AB 上，△ADE ∽△ABC ，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，若AM AN ＝12，则ADE ABC S S ＝__．【考点分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键．【思路分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出DE BC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．1．（2022·江苏淮安·一模）如图，在正方形ABCD 中，8AB =，点H 在AD 上，且2AH =，点E 绕着点B 旋转，且3BE =，在AE 的上方作正方形AEFG ，则线段FH 的最小值是______．2．（2022·江苏苏州·二模）如图，在ABC 中，2AC =，AB AD CD ==，36BAD ∠=︒，则AD =________．3．（2022·江苏泰州·二模）定义：如果三角形中有两个角的差为90°，则称这个三角形为互融三角形，在Rt △ABC 中，∠BAC = 90°，AB = 4 ，BC = 5 ，点D 是 BC 延长线上一点．若 △ABD 是“互融三角形”，则 CD 的长为________．4．（2022·江苏泰州·二模）如图1，在Rt ABC 中，90B ，BA BC =，D 为AB 的中点，P 为线段AC上一动点，设PC x =，PB PD y +=，图2是y 关于x 的函数图像，且最低点E 的横坐标是AB ＝______．5．（2022·江苏淮安·一模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD 和四边形CGFE 的顶点均在格点上，则两个四边形重叠部分（阴影部分）的面积为__________．6．（2022·江苏泰州·一模）如图，直线l 与圆O 相交于A 、B 两点，AC 是圆O 的弦，OC ∥AB ，半径OC 的长为10，弦AB 的长为12，动点P 从点A 出发以每秒1个单位的速度沿射线AB 方向运动．当△APC 是直角三角形时，动点P 运动的时间t 为 _____秒．7．（2022·江苏南京·一模）如图，在ABC 中，30B ∠=︒，点D 是AC 上一点，过点D 作∥DE BC 交AB 于点E ，DF AB ∥交BC 于点F ．若5AE =，4CF =，则四边形BFDE 的面积为______．8．（2022·江苏苏州·一模）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，AC与BE交于点F，过点F作FG BC⊥于点G，若23DEEC=，则FGAB的值为______．9．（2022·江苏南京·模拟预测）图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点E，交BC于点F，若BE＝BF＝2，则AD＝_____．10．（2022·江苏扬州·一模）如图，在正方形ABCD中，BE CF=，连接AE、BF交于点H，连接DH并延长交BC于点G，若2AB BH==BG=__________．11．（2022·江苏无锡·一模）如图，在ΔABC中放置5个大小相等的正方形，若BC=12，则每个小正方形的边长为____．12．（2022·江苏苏州·二模）如图，在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =．①以点A 为圆心，以不大于AB 长为半径作弧，分别交边AD ，AB 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，以大于12EF 长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 分别交BD ，BC 于点O ，Q ；②分别以点C ，Q 为圆心，以大于12CQ 长为半径作弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN 交AP 于点G ，则OG 长为______．13．（2022·江苏泰州·二模）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点E 是△ABC 内部一点（不包括三条边），点F 、G 分别在AC 、AB 边上，且EF ⊥AC ，EG ⊥AB ，垂足分别为F 、G ．点D 是AB 边的中点，连接ED ，若EF ＜EG ，则ED 长的取值范围是_________．14．（2022·江苏常州·二模）如图，正六边形ABCDEF 中，G 是边AF 上的点，113==GF AB ，连接GC ，将GC 绕点C 顺时针旋转60︒得,''G C G C 交DE 于点H ，则线段HG '的长为__________．15．（2022·江苏扬州·二模）如图，在锐角三角形ABC 中，8BC =，4sin 5A =，BN AC ⊥于点N ，CM AB ⊥于点M ，连接MN ，则△AMN 面积的最大值是______．16．（2022·江苏南通·二模）如图，正方形ABCD 的边长为5，E 为AD 的中点，P 为CE 上一动点，则AP BP +的最小值为______．17．（2022·江苏扬州·二模）定义：等腰三角形底边与腰的比叫做顶角α的正对（sad α）．例如，在ABC 中，AB AC =，顶角A 的正对BC sadA AB ==底边腰．当36A ∠=︒时，36sad ︒=______________．（结果保留根号）18．（2022·江苏盐城·一模）如图，DE 是△ABC 的中位线，F 为DE 中点，连接AF 并延长交BC 于点G ，若2EFG S =△，则ABC S =___________．19．（2022·江苏无锡·一模）如图，点P 为线段AB 上一点，3AB =，2AP =，过点B 作任意一直线l ，点P关于直线l 的对称点为Q ，将点P 绕点Q 顺时针旋转90︒到点R ，连接PQ 、RQ 、AR 、BR ，则线段AR 长度的最大值为________．20．（2022·江苏盐城·一模）如图，在Rt ABC 中，CD 为斜边AB 的中线，过点D 作DE AC ⊥于点E ，延长DE 至点F ，使EF DE =，连接,AF CF ，点G 在线段CF 上，连接EG ，且180,2,3CDE EGC FG GC ∠+∠=︒==．下列结论：①12DE BC =；②四边形DBCF 是平行四边形；③EF EG =；④BC =______．（填序号）21．（2022·江苏连云港·一模）如图，以AB 为直径的半圆O 内有一条弦AC ，P 是弦AC 上一个动点，连接BP ，并延长交半圆O 于点D ．若5AB =，4AC =，则DP BP 的最大值是________．22．（2022·江苏·扬州市邗江区梅苑双语学校一模）如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，AD 的中点，BF ，CE 交于点M ，若三角形BEM 的面积为1，则四边形AEMF 的面积为________．23．（2022·江苏南京·模拟预测）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，E 是BC 的中点，AE 与BD 交于点F ，连接CF．若AE⊥BD，则CF的长为_____．24．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，矩形ABCD中，2BC=，E在边BC上运动，M、N在AB=，4+的最小值为______．对角线BD上运动，且25．（2022·江苏·连云港市新海初级中学一模）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E在边BC上，且BE∶EC=2∶1，动点P从点C出发，沿CD运动到点D停止，过点E作EF⊥PE交矩形ABCD的边于F，若线段EF的中点为M，则点P从C运动到D的过程中，点M运动的路线长为_______．【填空题】必考重点09 相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质一直是江苏省各地市考查的重点，难度中等或较难，常作为压轴题考查。

相似三角形的判定及性质

例1 如图1 20 , 在 ABC 中, AB AC, D是AC边上一点, BD BC. 求证 : BC2 AC CD .
分析要证明BC 2 AC CD ,即证明 AC BC , 只要证明 AC、BC 和 BC、 BC CD CD为一对相似三角形的两组对应边即可.为此, 要证明ABC和BDC相似.
例1 如图1 21,圆内接ABC的角平分线CD延长后 EB DB A 交圆于一点E .求证 : . EC CB E
EB DB 分析要证 , 应考虑EB、EC、 EC CB DB、CB这四条线段所在的两个三角形是否相似. EB、EC在EBD中, DB、CB
D
B
C
在 ECB 中,因此可以考虑证明EBD与 ECB相似.
1 1 2 2
那么它们就相似.又由于三角形的内角和为1800 , 所以只要两个三角形中有两个对应角相等, 那么第三个对应角一定相等, 这样就有"两角对应相等, 两三角形相似".
单击图标, 打开几何画板, 通过动画演示, 实验.解释 : 预备定理P 11 , 探究P . 13 ,引理P 14
D
A E
图1 16
C
E
D
探究如果 D、E交于BA、CA的延长线上, 且DE // BC图1 17, 那么结论是否还成立?
B
A
对于图1 17的情形,同样可以证明图1 17 ADE ~ ABC.这是判定两个三角形相似的一个定理, 我们把它称为预备定理 .
C
预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交, 所构成的三角形与原三角形相似.
A D
B
C
图1 20

相似三角形的判定与性质

相似三角形的判定与性质一、知识回顾1、相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（2）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

2、相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等。

（2）相似三角形的周长比等于相似比。

（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。

（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。

二、典型例题例 1：如图，已知直线 AB： y=4/3 x+b 交 x 轴于点 A（ -3 ， 0），交 y 轴于点 B，过点 B 作BC⊥AB 交 x 轴于点 C．（1）试证明：△ ABC∽△ AOB；（ 2）求△ ABC 的周长．例 2：如图，一次函数y=kx+b 的图象经过点A（ -1 ，0）和点（ 1，4）交 y 轴于点 B．（ 1）求一次函数解析式和 B 点坐标．（ 2）过 B 点的另一直线 1 与直线 AB垂直，且交X轴正半轴于点P，求点 P 的坐标．（3）点 M（ 0，a）为 y 轴正半轴上的动点，点N（ b，O）为 X 轴正半轴上的动点，当直线MN⊥直线 AB时，求 a： b 的值．例 3：（ 2000·陕西）如图，在矩形ABCD 中， EF 是 BD 的垂直平分线，已知 BD=20， EF=15，求矩形 ABCD 的周长．例 4：（ 2010·攀枝花）如图所示，在△ ABC 中， BC ＞ AC ，点 D 在 BC 上，且 DC=AC ，∠ ACB 的平分线 CF 交 AD 于点 F ．点 E 是 AB 的中点，连接 EF ．（ 1）求证： EF ∥BC ；（ 2）若△ ABD 的面积是 6，求四边形 BDFE 的面积．例题(1) 两个相似三角形的面积比为 s 1 : s 2 ，与它们对应高之比h 1 : h 2 之间的关系为 _______(2) 如图，已知 D E ∥ BC ， CD 和 BE 相交于 O ，若 SABC:SCOB9 :16 ，则 AD:DB=_________AABADD ’DEODEEFFGA A ’CC ’OCB B ’BCDBC(2)题图(3) 题图(4) 题图(5) 题图(3)如图，已知 AB ∥CD,BO:OC=1:4, 点 E、 F 分别是 OC， OD的中点，则 EF:AB 的值为(4) 如图，已知DE∥FG∥ BC,且 AD:FD:FB=1:2:3, 则S ABC: S四边形DFGE: S四边形FBCG()A.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36(5)如图，把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 的方向移动到正方形 A’B ’C’D ’的位置，它们的重叠部分的面积是原正方形面积的一半，若AC= 2 ,则正方形移动的距离 AA ’是(6) 梯形 ABCD中， AD∥BC，（ AD<BC）， AC、 BD交于点 O,若S OAB6S ABCD,则△AOD与△BOC的周长25之比为 __________ 。

相似的性质和判定

三角形相似的判定和性质1一、知识梳理：1、相似的判定：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（两角对应相等，两个三角形相似。

）②如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

）③如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。

（三边对应成比例，两个三角形相似。

）④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

（斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。

）⑤两个三角形三边对应平行，则两个三角形相似。

（三边对应平行，两个三角形相似。

）⑥如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：1）（全等三角形相似）。

2、相似的性质：①相似三角形的对应角相等；相似三角形的对应边成比例。

②相似三角形的周长比，对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

③相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似比等于面积比的算术平方根。

3、推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

推论五：如果一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

4、射影定理：射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

①CD2＝AD·BD；②AC2＝AD·AB；③BC2＝BD·AB二、相似的基本图形：（一）平行线型如图，若DE∥BC,则△ADE∽△ABC,形象地说图为“A”型或“X”型,故称之为平行线型的基本图形.例1、如图,在平行四边形ABCD中,E是AB延长线上一点,连结DE交AC于G，交BC于F,则图中相似三角形(不含全等三角形)共有对. （二）相交线型若∠AED=∠B,则△ADE ∽△ABC,称之为相交线型的基本图形.例2、如图，D 、E 分别为△ABC 的边AC 、AB 上一点，BD,CE 交于点O,且CODOBO EO,试问△ADE 与△ABC 相似吗?如果是,请说明理由.（三）母子型如图，有△ACD ∽△ABC,称之为“子母”型的基本图形.特别地,令∠ACB=90,CD 则为斜边上高(如图9), 则有△ACD ∽△ABC ∽△CBD.DABCABCD例3 如图,在△ABC 中,P 为AB 上一点,要使△APC ∽△ACB,还需具备的一个条件是或或或；（四）旋转型△ADE ∽△ABC,称之为旋转型的基本图形.AB例4、如图，D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4．证明：△ABC ∽△DBE ．（五）三垂直型如右图，AB⊥BC, AD⊥DE, CE⊥BC,则△ABD∽△DCE,这种图形称之为三垂直型.AEBD C随堂练习一．选择题：1．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．= D．=2．△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC与△DEF相似的是（）DE=EF=DF=，AC=BC=DE=△BDE△CDE△DOE△AOC 的值为（）A． B． C． D．4．如图为两正方形ABCD、BEFG和矩形DGHI的位置图，其中G、F两点分别在BC、EH上．若AB=5，BG=3，则△GFH的面积为何？（）A．10 B．11 C． D．二．填空题：5．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，则CD的长为．6．如图，四边形ABCD为矩形，，则∠MAN的度数为度．7．如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是8米，已知网高是0.8米，要使球恰好能打过网，且落在离网4米的位置，则球拍击球的高度h为米．8．△ABC中，AB：AC：BC=4：3：2，△A1B1C1中，A1B1：A1C1：B1C1=3：2：4，则△ABC与△A1B1C1（相似或不相似）．9．如图，已知△ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2，AD与CE相交于F，则= ．10．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则+= ．11．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，=，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于．12．已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推…．若A1C1=2，且点A，D1，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是．三．解答题：13．如图，等边△ABC，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．（1）试求出∠AFE的度数．（2）△AEF与△ABE相似吗？说说你的理由．（3）BD2=AD•DF吗？请说明理由．14．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：CF2=GF•EF．15．如图，过▱ABCD的顶点A的直线交BD于点P，交CD于点Q，交BC的延长线于点R．求证：．16．如图，四边形ABCD，DCFE，EFGH是三个正方形．求∠1+∠2+∠3的度数．17．如下图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s 的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？九年级数学图形的相似2参考答案一．选择题（共4小题）1．D 2．C 3．D 4．D二．填空题（共8小题）5．5 6．90 7．2.4 8．相似 9．10．1 11．12．。

相似三角形的判定与性质

证明结论：证明了相似三角形的性质定理，为后续的判定定理证明提供了基础
汇报人：XX
感谢观看
地理学中的应用：测量距离、确定位置等
航海学中的应用：确定船只的位置、航向等
04
相似三角形的判定定理与性质定理的证明
判定定理的证明
定义法：利用相似三角形的定义，通过比较对应边和对应角来证明两个三角形相似。
平行线法：利用平行线的性质，通过比较对应边和对应角来证明两个三角形相似。
角平分线法：利用角平分线的性质，通过比较对应边和对应角来证明两个三角形相似。
适用情况：适用于已知三角形角度和边长的情况
注意事项：在应用定义法时，需要仔细检查对应角和对应边的比例关系，以避免出现误差
平行线法
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
适用范围：适用于直角三角形和非直角三角形
定义：利用平行线性质，通过比较对应边和角的比例关系来判定两个三角形是否相似
证明方法：利用平行线的性质和相似三角形的定义进行证明
应用举例：在几何问题中，常常利用平行线法来判定两个三角形是否相似
角角角法
性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例
应用：在几何、代数、三角函数等领域有广泛的应用
定义：如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似
判定方法：如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似
边边边法
证明方法：利用相似三角形的性质和判定定理进行证明
证明：根据相似三角形的定义，可以通过相似比推导出对应角相等
对应边成比例
性质定义：相似三角形的对应边长比例相等
性质推论：相似三角形的对应高、中线、角平分线等比例
性质应用：在几何证明和计算中，利用对应边成比例的性质可以简化问题

高二数学相似三角形的判定及性质

相似三角形的判定及有关性质
复习巩固
1、相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形的对应边的比值叫做相似比（或相似系数）
复习巩固
2、相似三角形的判定
（1）两个角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，
两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似.
形成结论
预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三
角形与原三角形相似.
形成结论
判定定理1：
对于任意的两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
两个角对应相等，两三角形相似.
形成结论
判定定理2：
对于任意的两个三角形，如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，那么这两个三角形相似.
(4)相似三角形的外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积之比等于相似比的平方.
布置作业
P19 1、2、5
；；
老头一心想让她定定性子,或许,情关是让人成熟最快の一个方法.操心完别人の事,谢妙妙开始跟他算起自己の帐.“哎,你教陆陆鉴定古董,怎么不教我？”“教,我哪敢不教.”佟师兄可不糊涂,“不过她接触得比你早,你对考古方面还不够了解,先扎稳基础以后想学什么学什么.来日方长, 着急吃不了热豆腐...”毕竟是两位大姑娘の家,两人亲热一阵,最后各回各の房间休息.长途跋涉,他们很快便睡着了.累极睡着の人不容易惊醒,为防夜长梦多,陆羽和婷玉关上书房の门和灯,趁他俩还没把秦岭发现古董の消息传出去,连夜拿着黑坛子回秦岭挖个坑再填上,顺便让坛子接接当地の地气.第二天,谢妙妙想游览村里の田园风光,可佟师兄哪有这份心境？一大早便求着陆羽把那

相似三角形的性质与判定

相似三角形的性质与判定相似三角形是指具有相等对应角度的三角形，它们的对应边长之比也相等。

相似三角形不仅在几何学中具有重要意义，而且在实际生活中应用广泛。

本文将介绍相似三角形的性质及其判定方法。

一、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角度相等：对于两个三角形ABC和DEF，若∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F，则可以判断这两个三角形相似。

2. 相似三角形的对应边长比相等：对于两个相似三角形ABC与DEF，若AB/DE = AC/DF = BC/EF，则可以判断这两个三角形相似。

二、判定相似三角形的方法1. AA判定法（角-角判定法）：如果两个三角形的两个角分别对应相等（即两个角的对应边平行），则可以判断这两个三角形相似。

例如，已知两个三角形ABC与DEF，已知∠A = ∠D，∠C = ∠F，并且∠B与∠E不相等，但∠B与∠E之间没有已知的关系。

根据AA判定法，可以得出结论这两个三角形相似。

2. SAS判定法（边-角-边判定法）：如果两个三角形的一个角和两边分别相等，则可以判断这两个三角形相似。

例如，已知两个三角形ABC与DEF，已知∠A = ∠D，并且AB/DE = AC/DF。

根据SAS判定法，可以得出结论这两个三角形相似。

3. SSS判定法（边-边-边判定法）：如果两个三角形的三条边的比例相等，则可以判断这两个三角形相似。

例如，已知两个三角形ABC与DEF，已知AB/DE = BC/EF =AC/DF。

根据SSS判定法，可以得出结论这两个三角形相似。

4. RHS判定法（直角边-斜边-直角边判定法）：如果两个直角三角形的一个直角边和斜边的比例相等，则可以判断这两个三角形相似。

例如，已知两个直角三角形ABC与DEF，已知∠C = ∠F = 90°，并且AB/DE = AC/DF。

根据RHS判定法，可以得出结论这两个三角形相似。

三、实际应用相似三角形的性质及判定方法在实际生活中有广泛的应用。

相似三角形的判定和性质-备战2023年中考数学考点微专题

考向5.6 相似三角形的判定和性质【知识要点】1、相似三角形：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边。

2、相似比：相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或叫做相似系数）。

3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础。

4、三角形相似的判定定理：（1）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

（2）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

（3）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。

（4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

说明：以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相似的命题是正确的，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的相似。

第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。

第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形．相似。

5、相似三角形的性质：（1）相似三角形性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

相似三角形的判定及性质

R
r
19
习题 1.3
5.如图,线段EF平行于四边形ABCD的一边AD,BE与CF
交于一点G,AE与DF交于一点H.
求证:GH//AB.
H
A
D
E F
B
C
G
BH BC AD AG EH EF EF EG
预备定理定义引理 20
习题 1.3
6.已知:DE//AB,EF//BC. O 求证:△DEF∽△ABC.
(2) AD BC AC ED
3、已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，AB=a，AC=b， A′B′=a′，当 A′C′为多少时，△ABC∽△A′B′C′？
22
小结
相
似
三
角形
预备定理
的
概
念
判定定理1
判定定理2 直角三角形判定定理
判定定理3
23
EF 1 BC, FD 1 CA, DE 1 AB
2
2
2
EF FD DE 1 BC CA AB 2
∴△DEF∽△ABC
A
F
E
B
D
C
9
直角三角形相似的判定定理
定理
两角对应相等
（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似。
两边对应成比例及夹角相等
（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
类比直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对应相等
的两个直角三角形全等)能得直角三角形相似的另一个判定定
理.
10
定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的
斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

相似三角形的判定总结+题型分析(带答案)

相似三角形定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。

两个等腰直角三角形一定相似。

两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似(如正四边形、正五边形等等)；性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。

如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。

相似比为k。

判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．直角三角形相似判定定理:1)斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA(在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用).补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

ABCDDABCDABCEAB C D E推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

相似三角形的性质与判定

相似三角形的性质与判定相似三角形是初中数学中的一个重要概念，它在几何学知识体系中有着重要的地位。

相似三角形是指两个或更多个三角形在形状上相似的特殊三角形。

它们的边长比例相等，对应的角度也相等。

通过研究相似三角形的性质和判定条件，我们可以在解决实际问题时更好地应用相似三角形的概念。

首先，我们来介绍一些相似三角形的性质。

相似三角形具有以下性质：1. 对应角相等性质。

如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似三角形。

具体而言，如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们一定是相似三角形。

这是相似三角形的性质中最重要的一条。

2. 对应边比例相等性质。

如果两个三角形的对应边的长度比例相等，那么它们是相似三角形。

具体而言，如果两个三角形的三条边的对应长度比例相等，那么它们一定是相似三角形。

这个性质可以直接从三角形的定义和角相等性质推导出来。

其次，我们来介绍一些相似三角形的判定条件。

判定两个三角形是否相似主要有以下几种方法：1. AA 判定法。

如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们一定是相似三角形。

2. SSS 判定法。

如果两个三角形的三个边的长度比例相等，那么它们一定是相似三角形。

3. SAS 判定法。

如果两个三角形的一个角相等，而且两个边的长度比例相等，那么它们一定是相似三角形。

4. 等腰三角形判定法。

如果两个三角形的两条边长比例相等且夹角相等，那么它们一定是相似三角形。

相似三角形的性质和判定条件在解决实际问题时非常有用。

例如，在测量高楼的高度时，我们可以利用相似三角形的性质，通过测量实际的距离和角度，计算出高楼的高度。

又如，在地图上测量两个城市之间的直线距离时，我们可以利用相似三角形的判定条件，通过测量两个城市之间的实际距离和角度，计算出直线距离。

这些都是利用相似三角形的性质和判定条件解决实际问题的典型例子。

总的来说，相似三角形是一个重要的几何概念，它涉及到对角、边长比例的研究。

相似三角形的性质和判定条件在解决实际问题时非常有用，能够帮助我们计算出实际的距离和角度，解决实际问题。

相似三角形的性质与判定(偏难)

第4讲相似三角形的性质与判定◆相似三角形的判定定理（1）两角对应相等的两三角形相似。

（2）两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似。

（3）三边对应成比例的两三角形相似。

（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似．◆相似三角形的性质：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方。

◆射影定理：如右图，在ABCD中，90BAC?,AD BC^,则2AD BD DC=,2AB BD BC=，2AC CD BC=◆相似三角形的几种基本类型AAB C B CDED EB CADE【考点题型1】——填空与选择题1、如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，ΔPEF、ΔPDC、ΔPAB的面积分别为12S S S、、。

若S=2，则12S S+=。

2、（2014，滨州）如图，平行于BC的直线DE把ABCD分成的两部分面积相等，则ADAB= .3、如图ABCD中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E、F在ABCD内，顶点D、G分别在AB、AC上，AD=AG,DG=6，则点F到BC的距离为（）A.1B.2C.1226- D.626-1题 2题 3题DB CAEA DCB4、如图所示，已知第一个三角形周长为1，依次取三角形三边中点画三角形，在第n 个图形中，最小三角形的周长是。

5、已知三个边长分别为2、3、5的正方形如图排列，则图中阴影部分面积为．4题 5题6、（14年莱芜）如图，在ABC D 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且,:1:4,BDE CDE DE AC S S D D =∥若:()BDE ACD S S D D = A.1:16 B.1：18 C.1：20 D.1：247、如图，在直线m 上摆放着三个正三角形ABC HFG DCE D D D 、、，已知12BC CE =,F 、G 分别是BC 、CE 的中点，FM AC GN DC ∥，∥。