《圆的一般方程》教学设计与反思

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《圆的一般方程》教学设计

《圆的一般方程》教学设计●教学目标1．掌握圆的一般方程的形式特点及与标准方程互化；2．掌握二元二次方程表示圆的充要条件；3．进一步熟悉并掌握待定系数法.●教学重点圆的一般方程应用●教学难点待定系数法教学过程一、设置情境：1、求下列各圆的标准方程⑴圆心在直线y ＝－x 上，且过两点(2,0),(0,－4)；⑵圆心在直线2x ＋y ＝0上，且与直线x ＋y －1＝0相切于点(2，－1)； ⑶圆心在直线5x －3y ＝8上，且与坐标轴相切。

⑴(x －3)2＋(y ＋3)2＝10；⑵(x －1)2＋(y ＋2)2＝2；⑶(x －4)2＋(y －4)2＝162、已知圆x 2＋y 2＝25，求：⑴过点A(4，－3)的切线方程； 4x －3y －25＝0⑵过点B(－5，2)的切线方程。

21x －20y ＋145＝0或x ＝－52、圆的标准方程及其应用回顾：(x ―a)2＋(y ―b)2＝r 2 其中圆心坐标为（a,b ），半径为r变形圆的标准方程x 2＋y 2―2ax ―2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0由此可见，任一个圆的方程都可以写成下面的形式：x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ①反过来，我们研究形如①的方程的曲线是不是圆。

将①的左边配方，整理得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② ⑴当D 2+E 2－4F ＞0时，比较方程②和圆的标准方程，可以看出方程①表示以(―D/2,―E/2)为圆心，半径为F E D 42122-+的圆； ⑵当D 2+E 2－4F ＝0时，方程①只有实数解x ＝―D/2,y ＝―E/2，所以表示一个点(―D/2,―E/2)；⑶当D 2+E 2－4F ＜0时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形。

二、解决问题1、圆的一般方程：x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0(D 2+E 2－4F ＞0)，其中圆心(―D/2,―E/2)，半径为F E D 42122-+。

高中数学_圆的一般方程教学设计学情分析教材分析课后反思

青春寄语：将青春握在手中，将希望铭记心头，带着希望与梦想，去追求，去奋斗！《圆的一般方程》学情分析对于直线和圆的标准方程，学生已经非常熟悉，在经历直线、圆的标准方程学习后，学生已经具备了一定的用方程研究几何对象的能力，本节课，学生将进一步挖掘圆的一般方程并与圆的标准方程对比，找出不同点，学会从不同角度分析思考问题，为后续学习打下基础。

另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识及反思总结等方面有待加强。

因此，在教学中通过提供的丰富的数学学习环境，创设便于观察和思考的情境，给他们提供自主探究的空间，使学生经历完整的数学学习过程，引导学生在已有数学认知结构的基础上，通过积极主动的思维而将新知识内化到自己的认知结构中去．同时为他们施展创造才华搭建一个合理的平台，使他们感知学习数学的快乐。

高中数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯。

根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：知识与技能目标：（1）圆的一般方程的代数特征，圆的标准方程与一般方程间的转化;（2）对圆的一般方程的认识、掌握和运用;（3）用相关点法求轨迹方程.过程与方法目标：（1）通过对圆的一般方程的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习方式。

（2）强化学生用坐标法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力。

情感、态度与价值观目标：通过对本节课知识的探究活动，加深学生对坐标法解决几何问题的认识，从而领悟其中所蕴涵的数学思想，体验探索中成功的喜悦，激发学习热情，养成良好的学习习惯和品质，培养学生的创新意识和科学精神。

《圆的一般方程》效果分析学生是课堂的主体，通过学生表情的变化、思维的速度，回答问题、练习、测试、动手操作的准确性等信息反馈，可获知教学信息的传输是否畅通，亦可看出新知识新技能的掌握情况。

《圆的一般方程》教学设计与反思教学提纲

《圆的一般方程》教学设计与反思《圆的一般方程》教学设计与反思一、教学基本信息课题：本课选自《中等职业教育课程改革国家规划新教材数学（基础模块）下册》，第八章直线和圆的方程第七节圆的方程的第二课时§8.7.2圆的一般方程。

二、指导思想与理论依据随着《普通高中数学课程标准》（实验）的实施，新课程标准中提出了许多先进的教育理念，这些理念对职业高中的数学课程改革和课堂教学具有极强的指导作用。

然而由于职业教育对象的复杂性，在具体的数学课堂教学中应考虑职业学校学生的心理特点和不同水平、不同学生的兴趣需要，体现“以人为本”教学理念，把“过程与方法”作为与“知识与技能”、“情感态度与价值观”同等重要的目标维度，倡导学生“主动参与、乐于探索、勤于思考”，培养学生“获取新知识”、“分析和解决问题”的能力。

三、教材分析：《圆的一般方程》是解析几何的内容，是在学习了直线方程后，继圆的标准方程之后学习的，圆是一种特殊的曲线。

在现行职业学校的教材中，圆是唯一一种必修的曲线，也是职业学校学生认识曲线和方程的途径，在解析几何中占有重要的地位。

四、学情分析：对于职业学校的学生来说，数学属于“难攻”的科目，基础差，学习兴趣不高，缺乏主动性。

因此在教学设计上要多考虑学生的实际因素，由易到难，层层递进，激发并引导学生自主学习是教师教学的主要目的之一。

五、教学目标：（一）知识与技能：1 •理解并掌握圆的一般方程的形式，会将圆的标准方程化为一般方程；2•明确圆的标准方程和一般方程的常数之间的关系，会用这种关系求圆的圆心坐标和半径；3 •逐步学会用配方法将圆的一般方程表示为标准方程.（二）过程与方法：1. 从不同的角度得出圆的方程表示形式，培养学生从多角度认识事物、研究问题的习惯和能力；2. 随着探索研究的不断推进，逐步让学生发现圆的一般方程的特点，培养学生观察、归纳能力；3 •通过一题多解，培养学生发散思维；4•在合作交流中采用问题呈现的方式，引导学生积极探索，主动学习，培养合作精神.（三）情感态度与价值观：借助于多媒体课件，让学生感受数与式之间的内部的和谐美，提高学习数学的兴趣.六、教学重点：1. 圆的一般方程的形式；2. 在圆的一般方程中，求圆心坐标和半径.七、教学难点：用配方法求圆心坐标和半径.八、教学流程：知识回顾一探索研究-合作交流一知识应用一课堂小结一布置作业一课后反思九、教学过程：（2）（x-2）+y=9;（3）x2+（y-1）2=3; ____ （4）x 2+y2=5;问题二：下列二元二次方程是否表示圆？（1）2x2+y2-2x+3y-6=0; ____2 2（2）x +2xy+y -3x+5y-1=0;（3）x2+y2-2x+4y+5=0; _____ （4）3x2+3y2-6x+12y=0; _____ 问题三：（1）圆的方程一定是二元二次方程吗？（2）二元二次方程一定表示圆吗？问题四：已知圆的一般方程，如何求圆心坐标和半径？多媒体呈现问题，根据学生的回答情况分析讲评学生分组讨论，每组委派一名代表回答采用问题串呈现的方式，引导学生积极探索，主动学习，培养合作精神.四.知识应用：1.例题讲解：例4.求下列各圆的圆心坐标和半径：（1）x 2+y2-6y=0;（2）2x 2+2y2+8x-10y=0. 解：（1）解法一设圆心的坐标为（a, b）,半径为r,由圆的一般方程得：D=0, E=-6, F=0而a D 0, b 旦 3,2 2r2=a2+b2-F=32所以，圆心坐标为（0, 3）,半径为3(2)解法二(配方法)2 2 2 22x +2y +8x-10y= x +y +4x- 5y=0 (x2+4x)+(y2-5y)=0(x2+4x+2)+[y 2-5y+ 弓)2]- 22-(5)2=0 (x+2)2+(y-5)2=412 2 4 从而得出圆心坐标为(-2, 第（1）小题用常数D E、F与a、b、r之间的关系：r2=a2+b2-F 来解；第（2）小题用配方法来解.出示练习题，讲通过一题多解，培养学生发散思维.学生讨论，分别选用另一种方法来解答，选两名学生板演.学生解答，订巩固所学知识，在练习中添加圆周长和面积的计算，紧密联系实十、课后反思:1. 针对教材内容和学生学情，采用发现式教学法，由具体的圆的标准方程展开整理,让学生从感性上认识圆的一般方程的形式，再进行一般情况下的探索研究，随着研究的不断推进，引导学生逐步发现圆的一般方程的特点，教学气氛活跃，学生积极参与，培养了学生观察、归纳的能力，也激发了学习兴趣。

(完整word版)《圆的一般方程》教学设计与反思

《圆的一般方程》教学设计与反思一、教材分析：《圆的一般方程》是解析几何的内容，是在学习了直线方程后，继圆的标准方程之后学习的，圆是一种特殊的曲线。

在现行职业学校的教材中，圆是唯一一种必修的曲线，也是职业学校学生认识曲线和方程的途径，在解析几何中占有重要的地位。

二、学情分析：对于职业学校的学生来说，数学属于“难攻”的科目，基础差，学习兴趣不高，缺乏主动性。

因此在教学设计上要多考虑学生的实际因素，由易到难，层层递进，激发并引导学生自主学习是教师教学的主要目的之一。

三、教学目标：（一）知识与技能：1．理解并掌握圆的一般方程的形式，会将圆的标准方程化为一般方程；2．明确圆的标准方程和一般方程的常数之间的关系，会用这种关系求圆的圆心坐标和半径；3．逐步学会用配方法将圆的一般方程表示为标准方程．（二）过程与方法：1.从不同的角度得出圆的方程表示形式，培养学生从多角度认识事物、研究问题的习惯和能力；2.随着探索研究的不断推进，逐步让学生发现圆的一般方程的特点，培养学生观察、归纳能力；3．通过一题多解，培养学生发散思维；4．在合作交流中采用问题呈现的方式，引导学生积极探索，主动学习，培养合作精神．（三）情感态度与价值观：借助于多媒体课件，让学生感受数与式之间的内部的和谐美，提高学习数学的兴趣．四、教学重点：1.圆的一般方程的形式；2.在圆的一般方程中，求圆心坐标和半径.五、教学难点：用配方法求圆心坐标和半径.六、教学过程：教学环节教师活动预设学生活动设计意图一、复习回顾： 1．圆的标准方程 2．写出圆心为（2，-1），半径为3的圆的标准方程二．探索研究： 1.问题引入：方程(x-2)2+(y+1)2=9为几元几次方程？（展开整理） 2．将圆的标准方程展开整理： (x-a)2+(y-b)2=r 2⇒x 2+y 2-2ax-2by+(a 2+b 2-r 2)=0 令D=-2a ，E=-2b ，F= a 2+b 2-r 2，则 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 注意： ①圆的方程是二元二次方程； ②x 2、y 2的系数相等；③不含xy 项。

圆的一般方程教学反思

圆的一般方程教学反思圆的一般方程教学反思1成功之处：“圆的一般方程”一节课是高二数学中圆锥曲线的一个重要内容。

通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解圆的一般方程的求法及圆的一般方程圆的特点,又可使学生加深对圆的一般方程同圆的标准方程间的相互转化，还为日后解决解析几何综合题的教学做好准备,起到承上启下的重要作用。

根据本节课的内容及学生的`实际水平，我采取提出问题引导发现式教学方法,提出问题让学生思考得出答案,并让学生自己动手操作解决问题。

教学过程中，教师采用点拨的方法，启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”和接受，进而完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。

课堂不再成为“一言堂”，学生也不会变成教师注入知识的“容器”，通过自己动脑和动手解决了问题,体验到成功的快乐和喜悦.采取这种形式，可以极大提高学生的学习兴趣，使教学目标更完美地体现。

不足之处：本节课教学内容上主要是强调圆的一般方程的判别式,用其判断曲线是否是圆,应该同时指点学生将方程配方也可以.而这一点能很好的树立学生对立统一的辩证思维观点。

总之，在整个教学过程中，我抓住学生的“主体”作用作文章，不浪费任何一个促使学生“自省”的机会，以积极的双边活动使学生主动自觉地发现结果、发现方法。

培养了学生的观察分析能力和思维的全面性。

具体教学中，教师创设问题情境，学生在这一情境中去讨论分析、探究发现，以符合学生思维的形式发展了学生的能力，达到了教学目标，优化了整个教学。

<圆的一般方程教学反思2数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。

这是对数学与生活的精彩描述。

数学是生活的组成部分，数学问题来源于生活，而应用于生活。

生活中常用的各种知识像按比例分配水电费、计算储蓄利息、日常购物问题均发生在身边，我们买东西、做衣服、外出旅游，都离不开数学。

既然如此，那么，数学教师能否布置让学生写日记或周记之类的“数学生活”手记呢?让学生把用数学知识解决生活中实际问题的事例、感受或自己的独特想法记录下来，让他们体验到生活须臾离不开数学，从而增强他们对数学的应用意识，使其对数学产生亲切感和浓厚的兴趣，并且养成事事、时时、处处吸收运用数学知识的习惯，调动他们主动学习数学、创新性运用数学的积极性。

圆的一般方程教学设计

这节课主要采用讲练结合的方法．首先由圆的标准方程展开得到圆的一般方程，然后讨论一个二元二次方程满足什么样的条件才能表示圆．最后通过例题，让学生初步感悟待定系数法和求曲线方程的一般步骤．
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
引
入
1.圆心为C(a，b)，半径为r(r＞0)的圆的标准方程是什么？
2.回答下列问题
表示圆？
将方程配方，得
(x＋)2＋0时，方程①表示以(－，－)为圆心，且半径为的圆；
（2）当D2＋E2－4F＝0时，方程①表示点(－，－)；
（3）当D2＋E2－4F<0时，方程①
不表示任何图形．
圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
（1）以原点为圆心，半径为3的圆的方程是；
（2）圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的圆心坐标是，半径是．
3.直线方程有多种形式，圆的方程是否还有其他的形式？
师：上节课我们学习了圆的标准方程，请同学们回顾一下，圆心坐标为(a，b)，半径为r的圆的方程是什么？
学生回答教师提出的问题．
学生口答，教师点评．
师：将方程②同圆的标准方程比较，如果方程②表示圆，必须满足怎样的条件？
此时圆的圆心坐标是多少？圆的半径呢？
学生回答，教师点评．
师：由以上探究可知，只有当D2＋E2－4F>0时，方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
才表示一个圆．
师：圆的标准方程指明了圆的圆心和半径，圆的一般方程表明了圆的方程形式是二元二次方程．
8.3.2圆的一般方程
【教学目标】
1．掌握圆的一般方程，能判断一个二元二次方程是否是圆的方程．

【教案】圆的一般方程(教学设计) (人教A版2019选择性必修第一册

2.4.2 圆的一般方程教学设计本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《直线和圆的方程》的第四节《圆的方程》。

以下是本单元的课时安排：第二章直线和圆的方程课时内容 2.4圆的方程 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系所在位置教材第82页教材第91页新教材内容分析圆是学生熟悉的基本平面图形，在初中阶段学习过圆的一些性质，现在在平面直角坐标系中研究院，根据确立圆的几何要素建立圆的方程，通过圆的方程，运用坐标法解决一些与圆有关的简单问题。

圆的方程的知识是平面解析几何的基础知识，圆的方程具有广泛的应用。

运用直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系，并解决简单的问题，在教学过程中，应引导学生根据初中学习图形与几何的经验，类比用哪个直线的方程研究两条直线的位置关系，研究运用直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系。

核心素养培养通过圆的标准方程、一般方程的求解，培养数学运算的核心素养；通过圆的一般方程的理解，培养数学抽象的核心素养。

通过直线与圆、圆与圆的位置关系的判断，培养逻辑推理的核心素养；通过直线与圆的综合问题，提升数学运算的核心素养。

教学主线圆的方程的应用在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前一章内容的基础上，在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，它与其他图形的位置关系及其应用。

在这一过程中，进一步体会数形结合的思想，形成用代数的方法解决几何问题的能力。

1.理解圆的一般方程及其特点，培养数学抽象的核心素养.2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化，培养数学运算的核心素养.3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题，提升逻辑推理的核心素养.重点：掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程难点：与圆有关的简单的轨迹方程问题（一）新知导入《古朗月行》唐·李白小时不识月，呼作白玉盘。

又疑瑶台镜，飞在青云端。

月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写、如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示?（二）圆的一般方程【思考1】圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)展开可得到一个什么式子？【提示】x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.【思考2】把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方后，将得到怎样的方程？这个方程是不是就一定表示圆？【提示】得到的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，以12D 2＋E 2－4F 为半径的圆；当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E2，它表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2；当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．◆圆的一般方程当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程，其中圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径为12 D 2＋E 2－4F .【做一做1】 (教材P88练习2改编)若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则k 的取值范围是( )A ．k >1B ．k <1C ．k ≥1D ．k ≤1解析：由题意得(－4)2＋22－4×5k >0，k <1. 答案：B【做一做2】 (教材P88练习1改编)已知圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0，则圆心坐标、半径的长分别是( )A ．(2，－1)，3B ．(－2,1)，3C ．(－2，－1)，3D ．(2，－1)，9解析：圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.故其圆心坐标为(2，－1)，半径的长为3. 答案：A（三）典型例题 1.圆的一般方程的识别例1.判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径．(1)3x 2＋y 2＋2x ＋1＝0；(2)x 2＋y 2＋xy ＋1＝0； (3)x 2＋y 2＋x ＋2y ＋1＝0；(4)x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0.【分析】利用圆的一般方程的特点解题．【解析】(1)由于x 2，y 2的系数不相等，∴该二元二次方程表示的不是圆．(2)由于该二次方程中含有xy 项，∴该二元二次方程表示的不是圆． (3)由于D 2＋E 2－4F ＝1＋4－4＞0，∴该二元二次方程表示的是圆．又x 2＋y 2＋x ＋2y ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2－14＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋12＋(y ＋1)2＝14， ∴它表示以⎝⎛⎭⎫－12，－1为圆心，以12为半径的圆． (4)法一：∵D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2，当m ＝2时，它表示一个点；当m ≠2时，原方程表示圆，此时圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝12 D 2＋E 2－4F ＝5|m－2|.法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2，当m ＝2时，它表示一个点；当m ≠2时，原方程表示一个圆，其圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|.【类题通法】二元二次方程表示圆的判断方法任何一个圆的方程都可化为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法:(1)计算D 2+E 2-4F ,若其值为正,则表示圆;若其值为0,则表示一个点;若其值为负,则不表示任何图形.(2)将该方程配方为(x+D 2)2+(y+E2)2=D 2+E 2-4F4,根据圆的标准方程来判断. 【巩固练习1】已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆． (1)求实数m 的取值范围； (2)求该圆半径的取值范围．【解析】(1)方程化为[x －(m ＋3)]2＋[y ＋(1－4m 2)]2＝－7m 2＋6m ＋1，∴－7m 2＋6m ＋1＞0，－17＜m ＜1，∴方程表示圆时m 的取值范围为－17＜m ＜1.(2)r ＝－7m 2＋6m ＋1＝－7(m －37)2＋1＋97≤477，∴圆的半径r 的取值范围为0＜r ≤477.2.圆的方程的求法例2.已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)，求△ABC 外接圆的方程．【分析】欲求圆的方程可先将圆的方程设出来，将条件代入求得．【解析】设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎨⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，得⎩⎨⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12.∴△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.【变式探究】若本例改为：已知圆过A (2,2)，C (3，－1)，且圆关于直线y ＝x 对称，求圆的一般方程．【解析】设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 22＋22＋2D ＋2E ＋F ＝0，9＋1＋3D －E ＋F ＝0，－D 2＝－E 2，得⎩⎨⎧D ＝1，E ＝1，F ＝－12.∴所求的圆的方程为x 2＋y 2＋x ＋y －12＝0.【类题通法】用待定系数法求圆的方程时一般方程和标准方程的选择(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出参数D ，E ，F .【巩固练习2】已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程．【解析】圆心C ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2，因为圆心在直线x ＋y －1＝0上，所以－D 2－E2－1＝0，即D ＋E ＝－2，① 又r ＝D 2＋E 2－122＝2，所以D 2＋E 2＝20，② 由①②可得⎩⎨⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎨⎧D ＝－4，E ＝2.又圆心在第二象限，所以－D2<0，即D >0，所以⎩⎨⎧D ＝2，E ＝－4，所以圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.3.求轨迹方程例3.已知直角△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 中点M 的轨迹方程．【分析】只需寻求动点与定点之间的关系，然后化简方程即可，不过要注意动点与定点间的约束条件．【解析】(1)法一：设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.又k AC ＝y x ＋1.k BC ＝y x －3，且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)．法二：同法一得x ≠3且x ≠－1. 由勾股定理得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．法三：设AB 中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知，|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点),所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)． (2)设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0) ，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32(x ≠3且x ≠－1)，y ＝y 0＋02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y . 由(1)知，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)上运动，将x 0，y 0代入该方程得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1，因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．【类题通法】求动点的轨迹方程的常用方法1.直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程;2.代入法:找到所求动点与已知动点的关系,代入已知动点所在的方程.【巩固练习3】已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半．(1)求动点M的轨迹方程；(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．【解析】(1)设动点M的坐标为(x，y)，∵A(2,0)，B(8,0)，|MA|＝12|MB|，∴(x－2)2＋y2＝14[(x－8)2＋y2]．化简得x2＋y2＝16，即动点M的轨迹方程为x2＋y2＝16.(2)设点N的坐标为(x，y)，∵A(2,0)，N为线段AM的中点，∴点M的坐标为(2x－2,2y)．又点M在圆x2＋y2＝16上，∴(2x－2)2＋4y2＝16，即(x－1)2＋y2＝4.∴点N的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．（四）操作演练素养提升1.若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是()A．m<12B．m<0C．m>12D．m≤122.若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为() A．－1 B．1C．3 D．－33.当点P在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝14.已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A．π B．4πC．8π D．9π答案：1.A 2.B 3.C 4.B【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

《圆的一般方程》优质课比赛教案

《圆的一般方程》教案一．教学目标1.使学生掌握圆的一般方程和圆的一般方程的特点2.能熟练掌握圆的一般方程与圆的标准方程的互化3.灵活应用待定系数法求圆的方程二．教学重点1.圆的一般方程的特征及其应用2.由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；3.能用待定系数法，由已知条件求出圆的方程．三.教学难点圆的一般方程的特征及应用四.教学过程 1、新课引入：上一节学习了圆的标准方程: (x －a)2＋(y －b)2=r 2，圆心(a ，b)，半径r ．提问：已知圆心为(1,-2)、半径为2的圆的方程是什么？（生答）(x －1)2＋(y+2)2=4将它展开得014222=++-+y x y x ，这是一个二元二次方程。

任何圆的方程都是这样的二元二次方程吗？把圆的标准方程展开，并整理：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0．可见任何一个圆的方程都可以写成下面的形式022=++++F Ey Dx y x ① 这说明圆的方程就是一个二元二次方程。

反过来，形如022=++++F Ey Dx y x 的方程一定表示圆吗？这就是今天所要探讨的内容:圆的一般方程.(书写课题) 2、讲授新课：我们先来判断两个具体的方程是否表示圆？（师生互动）642)2(0142)1(2222=+--+=++-+y x y x y x y x结论：不一定表示圆（通过此例分析引导学生使用配方法）追问:022=++++F Ey Dx y x 满足什么条件时表示圆? （让学生相互讨论后,由学生总结）将 022=++++F Ey Dx y x 配方得44)2()2(2222FE D E y D x -+=+++(1)当0422>-+F E D 时，此方程表示以（-2D，-2E ）为圆心,FE D 42122-+为半径的圆；（2）当0422=-+F E D 时，此方程只有实数解2D x -=，2Ey -=，即只表示一个点（-2D ，-2E ）;（3）当0422<-+F E D 时，此方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆,只有当0422>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把方程022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D )称为圆的一般方程与一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 比较我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)①x 2和y 2的系数相同，不等于0．（举例：091244422=++-+y x y x ） ②没有xy 这样的二次项请学生思考并回答:二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是040022>-+=≠=AF E D B C A 且且问题:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?3、例题讲练例1：求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

数学课堂上生生互动的预设与生成——圆的一般方程教学反思

数学课堂上生生互动的预设与生成——圆的一般方程教学反思数学课堂是培养学生数学思维和解决问题能力的重要场所。

在教学过程中，教师需要激发学生的兴趣和参与度，使课堂充满生生互动的氛围。

本文将探讨如何通过预设和生成方法在圆的一般方程教学中实现课堂的生生互动。

一、激发兴趣：引导学生思考在引入圆的一般方程的概念时，教师可以通过提问来引导学生思考。

比如，可以问学生：“圆的一般方程是什么？如何表示一个圆？”。

这样的引导性问题可以激发学生的兴趣，促使他们积极思考并进行探索。

二、情境设定：引导学生发现规律在教学过程中，可以设计一系列的情境，引导学生进行观察和探索，并从中总结出圆的一般方程的规律。

例如，给学生展示不同半径和圆心的圆，并让他们观察半径和圆心对圆的一般方程的影响。

通过观察，学生可以发现圆的一般方程由圆心坐标和半径决定，并总结出具体的表达式。

三、案例分析：运用实例巩固知识在教学过程中，可以运用一些具体的案例来帮助学生巩固对圆的一般方程的理解和运用。

教师可以给学生提供一些实际问题，让学生尝试运用圆的一般方程进行求解。

通过解决实际问题，学生能够更好地理解圆的一般方程在现实生活中的应用价值。

四、合作探究：促进学生互动在教学中，教师可以设计一些合作学习的活动，鼓励学生之间的互动和合作。

例如，可以将学生分成小组，让每个小组设计一个问题，让其他小组成员运用圆的一般方程进行解答。

通过合作探究，学生之间可以相互交流和学习，激发出更多的灵感和思考。

五、拓展应用：引导学生思考延伸问题在教学的最后阶段，教师可以引导学生思考一些拓展应用的问题，以培养学生的创新和批判思维能力。

例如，可以让学生思考如何应用圆的一般方程来解决实际工程问题，或者进行进一步的扩展研究。

这样的思考延伸可以让学生在课堂之外继续深化和拓展所学知识。

六、诊断评价：及时发现问题并进行反馈在教学的过程中，教师需要及时发现学生的问题并进行适时的反馈。

可以通过布置小测验、课堂讨论、学生展示等方式进行诊断评价。

〖2021年整理〗《圆的一般方程》优秀教案

圆的一般方程（熊用兵）一、教学目标（一）核心素养通过本节内容的学习，掌握圆的一般方程，能利用各种条件求出圆的一般方程（二）学习目标1掌握圆的一般方程，理解二元二次方程表示圆的条件；2能够熟练进行圆的一般方程和标准方程之间的转换；3能够在各种条件下求圆的一般方程（三）学习重点1圆的一般方程和标准方程之间的转换；2在不同条件下求圆的一般方程（四）学习难点1理解二元二次方程表示圆的条件；2在不同条件下求圆的一般方程二、教学设计（一）课前设计1预习任务读一读阅读教材第121页到122页，填空：（1）关于的二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=表示一个圆的条件是2240D E F +->；其圆心坐标为(,)22D E -- （2）求圆的方程常用的方法是待定系数法2预习自测（1）若圆的方程为22210230x y x y +-++=，则该圆的圆心坐标和半径分别为（）A (1,5),-(1,5),- C (1,5),3- D (1,5),3-【知识点】圆的一般方程【解题过程】方程配方得222(1)(5)x y -++=，故圆心和半径为(1,5)-【思路点拨】一般方程通常通过配方成标准方程，从而方便找出圆心和半径【答案】B（2）关于的方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的条件是（） A 114m << B 14m <或 C 14m < D 【知识点】二元二次方程表示圆的条件【解题过程】由2240D E F +->得：22(4)(2)450m m +--⨯>，解得14m <或【思路点拨】形如220x y Dx Ey F ++++=的方程表示一个圆的条件是2240D E F +->【答案】B（3）过三点(00),(11),(42)O M N ，，，的圆的方程为（） A 2286250x y x y ++--= B 2286250x y x y +-+-=C 22860x y x y ++-=D 22860x y x y +-+=【知识点】圆的一般方程【解题过程】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则代入三点的坐标得：0811061444200F D D E F E D E F F ==-⎧⎧⎪⎪++++=⇒=⎨⎨⎪⎪++++==⎩⎩，故圆的方程为22860x y x y +-+= 【思路点拨】待定系数法求圆的一般方程【答案】D（二）课堂设计1知识回顾：（1）确定圆的基本要素是：圆心位置和半径大小；（2）圆心为点a,b ，半径为r 的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=2问题探究探究一二元二次方程表示的图形活动① 分别研究方程222410x y x y +-++=……①，222450x y x y +-++=……②，222460x y x y +-++=……③表示什么图形？对方程①配方的：22(1)(2)4x y -++=，由圆的标准方程可知它表示一个圆心为1,-2，半径为2的圆；对方程②配方的：22(1)(2)0x y -++=，显然只有一个点1,-2满足这个方程，所以这个方程只表示一个点1,-2；对方程③配方的：22(1)(2)1x y -++=-，显然没有任何的点,满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形【设计意图】让学生了解形如220x y Dx Ey F ++++=的方程可能表示不同的图形活动② 形如220x y Dx Ey F ++++=的方程表示一个圆的条件将方程220x y Dx Ey F ++++=配方得22224()()224D E D E F x y +--+-=，比较圆的标准方程222()()x a y b r -+-=可知：当2240D E F +->时方程表示一个圆，且圆心为(,)22D E --；当2240D E F +-=时方程表示一个点；当2240D E F +-<时方程不表示任何一个图形【设计意图】通过配方并与圆的标准方程比较得出形如220x y Dx Ey F ++++=的方程表示一个圆的条件探究二圆的一般方程•活动① 圆的方程是不是都能表示成形如220x y Dx Ey F ++++=的方程？所有圆都是由圆心和半径决定，而且圆心为点a,b ，半径为r 的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，展开可得：22222220x y ax by a b r +--++-=，令2222,2,D a E b F a b r =-=-=+-，则得：220x y Dx Ey F ++++=故所有的圆的方程都可以表示为形如220x y Dx Ey F ++++=的方程【设计意图】让学生了解圆的方程与形如220x y Dx Ey F ++++=的方程之间的充要关系 •活动② 圆的一般方程由以上的探究可知：方程220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）表示一个圆心为(,)22D E --的圆，我们称之为圆的一般方程【设计意图】明确掌握圆的一般方程的形式和条件，以及该圆的圆心和半径巩固基础，检查反馈例1 若方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则实数的取值范围是（）A 223a a <->或B 223a -<<C 20a -<<D 223a -<< 【知识点】一般方程表示圆的条件【解题过程】由条件知222(2)4(21)0a a a a +-+->，解得223a -<< 【思路点拨】方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件为2240D E F +->【答案】D同类训练已知方程22242(3)2(14)1690x y t x t y a +-++-++=表示的图形是一个圆，则实数的取值范围是____________；【知识点】一般方程表示圆的条件【解题过程】由一般方程表示圆的条件可知：2224[2(3)][2(14)]4(169)0t t t -++--+>，解得117t -<< 【思路点拨】方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件为2240D E F +-> 【答案】117t -<< 例2、已知ABC ∆的三个顶点分别为(15),(22),(55)A B C ---，，，，则ABC ∆的外接圆的一般方程为____________________【知识点】圆的一般方程的求法【解题过程】设外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将,,A B C 的坐标代入得：52604228025550020D E F D D E F E D E F F -+++==-⎧⎧⎪⎪--++=⇒=-⎨⎨⎪⎪+++==-⎩⎩，所以所求方程为2242200x y x y +---= 【思路点拨】待定系数法求圆的一般方程【答案】2242200x y x y +---=同类训练经过点(1(2,A B -、，且圆心在轴上的圆的方程为_____________【知识点】圆的一般方程的求法【数学思想】【解题过程】设所求方程为220x y Dx Ey F ++++=，则圆心为(,)22D E --，所以0E =，即方程为220x y Dx F +++=，将坐标代入得60612200D F D D F F ++==-⎧⎧⇒⎨⎨++==⎩⎩，所以圆的方程为2260x y x +-=【思路点拨】待定系数法求圆的一般方程【答案】2260x y x +-=强化提升、灵活应用例3、已知直角ABC ∆的斜边为AB ，且(10),(30)A B -，，，则直角顶点C 的轨迹方程为（） A 22230x y x +--= B 22230(1,3)x y x x +--=≠-C 22230x y x ++-=D 22230(1,3)x y x x ++-=≠-【知识点】轨迹方程问题【解题过程】设顶点C,，∵AC ⊥BC 且A,B,C 不共线，1AC BC k k ⋅=-∴且≠-1,3，又113AC BC y y k k x x ⋅=⋅=-+-，化简得22230(1,3)x y x x +--=≠- 另解：由几何关系可知，点C 的轨迹方程为以线段AB 为直径的圆去掉两个端点A 、B ，易求得方程为22230(1,3)x y x x +--=≠-【思路点拨】求轨迹方程注意事项：1根据题目的条件，运用适当的求轨迹的方法；2要看是求轨迹还是轨迹方程，轨迹是图形，轨迹方程是方程；3注意轨迹方程中的限制条件常用方法：直接法、几何法、相关点法等等【答案】B同类训练已知(10)A ，为定圆22230x y x ++-=上一定点，为该圆上一动点，为弦的中点，则点的轨迹方程为_______________【知识点】轨迹方程问题【解题过程】设动点00(,),(,)M x y B x y ，因为为弦的中点，所以，即00212x x y y =-⎧⎨=⎩，将点坐标00(,)x y 代入定圆方程得22(21)(2)2(21)30x y x -++--=，化简得：221(1)x y x +=≠【思路点拨】相关点法求动点的轨迹方程【答案】221(1)x y x +=≠3课堂总结知识梳理（1）圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->），其圆心为(,)22D E --，半径（2）求动点轨迹的常用方法有：直接法、几何法（定义法）、相关点法等重难点归纳（1）方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆时要注意符合条件2240D E F +->；（2）要能够在圆的标准方程和一般方程之间熟练进行转换；（3）求轨迹方程时要注意限制条件的考察（三）课后作业基础性自主突破1圆224630x y x y ++--=的圆心和半径分别为（）A (4,6),16-B (2,3),4-C (2,3),4-D (2,3),16-【知识点】一般方程转化为标准方程【解题过程】配方的22(2)(3)16x y ++-=，所以圆心和半径分别为(2,3),4-【思路点拨】一般方程配方成标准方程找圆心和半径【答案】C2若方程220x y x y m +-++=表示圆，则实数的取值范围是（） A 12m < B 0m < C 12m > D 12m ≤ 【知识点】二元二次方程表示圆的条件【解题过程】由2240D E F +->得221(1)1402m m -+->⇒< 【思路点拨】方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆时要注意符合条件2240D E F +->【答案】A3圆22210x y x +--=关于直线230x y -+=对称的圆的方程为（） A 221(3)(2)2x y ++-= B 221(3)(2)2x y -++=C 22(3)(2)2x y ++-=D 22(3)(2)2x y -++=【知识点】圆关于直线的对称圆【解题过程】圆22210x y x +--=的圆心为，半径为，设关于直线230x y -+=对称的点为，则131********b a a b a b ⎧=-⎪=-⎧⎪-⇒⎨⎨=+⎩⎪-+=⎪⎩，即对称圆的圆心(3,2)-，半径为，故所求圆的方程为22(3)(2)2x y ++-=【思路点拨】利用点关于直线的对称点的刻画方法，即中点和斜率，求出圆心的对称点【答案】C4若直线240mx ny +-=始终平分圆224240x y x y +---=的周长，则的取值范围是（）A B C (,1)-∞ D (,1]-∞【知识点】直线平分周长即直线过圆心以及二次函数的最值【解题过程】由条件可知直线240mx ny +-=过圆心，即2240m n +-=，即2n m =-，所以2(2)(1)11mn m m m =-=--+≤【思路点拨】直线平分圆的周长、面积等都说明直线过圆心【答案】D5已知M N 、是圆22240x y kx y ++++=上的两点，且M N 、关于直线10x y -+=对称，则该圆的半径为（）A B【知识点】圆的一般方程和圆上的对称点【解题过程】由条件可知直线10x y -+=过圆心(,1)2k --，所以1102k -++=，即，所以半径1r == 【思路点拨】圆上有点关于直线对称即表示直线过圆心【答案】C6若点(2,1)a a -在圆2222450x y y a +---=的内部，则实数的取值范围是（） A 1(,)4-∞ B 1(,)4+∞ C 1(,)4-∞- D 1(,)4-+∞ 【知识点】圆的一般方程和点与圆的位置关系【解题过程】由条件有2222220(2)4(45)0(2)(1)2(1)450a a a a a ⎧+---->⎨+-----<⎩，解得14a >- 【思路点拨】要注意考察方程表示圆的条件2240D E F +->，点与圆的位置关系的刻化：设点00(,)x y 和圆：220x y Dx Ey F ++++=（1）点在圆上等价于2200000x y Dx Ey F ++++=；（2）点在圆内等价于2200000x y Dx Ey F ++++<；（3）点在圆外等价于2200000x y Dx Ey F ++++>；【答案】D能力型师生共研7已知为圆22:16O x y +=上的两点，且6||=AB 若以为直径的圆恰好经过点(1,1)C -，则圆心的轨迹方程为（）A 22(1)(1)9x y ++-=B 22(1)(1)9x y -++=C 22(1)(1)3x y ++-=D 22(1)(1)3x y -++=【知识点】圆的基本性质：弦心距、半弦长、半径成勾股关系【数学思想】【解题过程】设圆心(,)M x y ，由6||=AB 16AB =知圆的半径为3，则3MC =，即3=，故22(1)(1)9x y -++=【思路点拨】涉及到圆的弦长、弦心距问题要注意勾股关系的应用【答案】B8已知点(2,0),(0,2)A B -，点为圆2220x y x +-=上任意一点，则ABC ∆的面积的最小值为（）A 3B 3C 3【知识点】圆上有关距离的问题【解题过程】直线的方程为20x y -+=，圆心到直线的距离为d ，所以圆上的点1-，所以ABC ∆的最小面积为11)32AB ⨯=- 【思路点拨】圆上有关点的距离问题应该考虑转化到与圆心有关的距离问题【答案】A探究型多维突破9在圆22260x y x y +--=内，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为和，则四边形ABCD 的面积为__________【知识点】圆的方程和圆的性质【解题过程】圆即为22(1)(3)10x y -+-=，圆心为(1,3)M ，半径r =，由圆的性质知：最长弦为直径，即AC =，最短弦以(0,1)E 为中点且BD AC ⊥，由垂径定理有BD =，所以四边形ABCD 的面积为12AC BD ⋅=【思路点拨】由圆的性质分析出最长弦和最短弦分的性质是关键【答案】10已知圆：2246120x y x y +--+=，圆：2268160x y x y +--+=，,N M 分别为圆、上的动点，为轴上的动点，求PM PN +的最小值【知识点】对称圆问题和圆中距离的最值问题【解题过程】圆即22(2)(3)1x y -+-=，作圆关于轴的对称圆：22(2)(3)1x y -++=，点在圆上，且与点关于轴对称，则PM PN PM PN '+=+，数形结合易知当点21,,,,C M P N C '共线时，PM PN '+最小，即为12134C C '--=【思路点拨】圆中的最值问题要想办法转化到圆心，同时注意对称性的应用【答案】4-自助餐1圆心在直线230x y --=上，且经过点(23),(25)A B ---，，的圆的方程为（） A 222450x y x y +---= B 222450x y x y +--+=C 222450x y x y +++-=D 222450x y x y ++++=【知识点】待定系数法求圆的一般方程【解题过程】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆心为(,)22D E --，由条件有：()2()302224923044252505D E D D E F E D E F F ⎧----=⎪=⎧⎪⎪++-+=⇒=⎨⎨⎪⎪+--+==-⎩⎪⎩，即圆的方程为222450x y x y +++-= 【思路点拨】不能直接确定圆心和半径的圆的方程可以用待定系数法求解【答案】C2若方程2240x y x y m +--+=表示的曲线是圆，则实数的取值范围是（） A 18m < B 18m ≤ C 12m < D 12m ≤ 【知识点】二元二次方程表示圆的条件【数学思想】【解题过程】由22224(1)(1)440D E F m +-=-+--⨯>解得：18m < 【思路点拨】方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件是2240D E F +->【答案】A3已知点(12)M ，在圆22220x y kx y k ++++=的外部，则实数的取值范围是（） A B (0)+∞，CD ( 【知识点】二元二次方程表示圆的条件以及点与圆的位置关系【解题过程】将方程配方的22243()(1)24k k x y -+++=，所以由条件有：2222430443(1)(21)24k k k k ⎧->⎪⎪⇒<<⎨-⎪+++>⎪⎩ 【思路点拨】用圆的一般方程解决问题是一定要注意考察方程表示圆的条件【答案】D4若圆：224210x y x y ++++=上的任意一点关于直线：10ax by ++=的对称点都在圆上，则22(2)(2)a b -+-的最小值为（）A C【知识点】圆的对称性和二次函数的最值【数学思想】【解题过程】由条件知直线过圆心(2,1)M --，所以210a b --+=，即21b a =-+，故22222(2)(2)(2)(212)555a b a a a -+-=-+-+-=+≥【思路点拨】圆上的点关于直线对称即表示直线过圆心【答案】B5已知圆224x y +=上有且只有四个点到直线:1250l x y c -+=的距离为1，则实数的取值范围是______________【知识点】圆的性质和点到直线的距离/【数学思想】【解题过程】圆的半径为2，由条件可知圆心到直线的距离113o l c d -==<，即1313c -<<【思路点拨】圆上有关点的距离问题常常需要转化到与圆心有关的距离问题【答案】1313c -<<。

圆的一般方程教案

圆的一般方程教案一、教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握圆的一般方程的基本概念和推导过程；能够根据已知条件，确定圆的一般方程。

2.过程与方法目标：通过引入问题，激发学生的探究兴趣，培养学生的思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察力和分析问题的能力，培养学生认真负责的学习态度。

二、教学重难点1.教学重点：圆的一般方程的基本概念，圆的一般方程的推导过程。

2.教学难点：通过引导学生分析，理解圆的一般方程的推导过程。

三、教学过程1.导入（5分钟）老师在黑板上画一个圆，问学生：你们对圆的一般方程有了解吗？有什么想法？2.引入问题（5分钟）老师出示一张图片，画有一个坐标系和一个圆，问学生：如何确定这个圆的方程？请你们思考一下。

3.讲解圆的一般方程的基本概念（10分钟）a.老师引导学生思考：圆的一般方程是什么意思？它包括哪些内容？b.学生回答：圆的一般方程是指坐标系中，所有满足其方程的点的集合。

它包括圆心、半径的信息。

c.老师给出圆的一般方程的定义：圆的一般方程是指平面直角坐标系中，满足方程的所有点的集合。

4.推导圆的一般方程（20分钟）a.老师先引导学生思考：圆的特点是什么？如何用代数表示？b.学生回答：圆的特点是所有到圆心距离等于半径的点。

可以用勾股定理表示。

c.老师给出推导圆的一般方程的步骤：-假设圆心坐标为(x0,y0)，半径为r。

-任取圆上一点P(x,y)，根据勾股定理，有(x-x0)²+(y-y0)²=r²。

-展开可得到一般方程：x²+y²+Ax+By+C=0。

其中A=-2x0，B=-2y0，C=x0²+y0²-r²。

d.老师给出实例，通过具体计算，将圆的一般方程推导出来。

5.圆的一般方程的应用（15分钟）a.老师出示一道问题：圆心在原点，且与x轴和y轴的交点分别为(5,0)和(0,3)的圆的方程是什么？b.学生通过对问题分析，发现可以利用已知条件得到方程的三个参数：圆心坐标和半径。

圆的一般方程实践反思08

3．通过对圆的一般方程的特点的讨论，培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度；通过例题的分析讲解，培养学生分析问题的能力．
通过研修，在课堂上能充分利用信息技术，能够提高课堂教学效果，一些难以用语言描述的知识通过信息技术展示变得简单明了，易于理解，便于操作，使学生学得更有味道，难以理解的知识变得简单易接受，图形更易于形象掌握
问题建议
信息技术教学应用实践中的主要问题、困惑与建议。
圆的一般方程的探求过程的素材有点少，多媒体技术掌握的还不够熟练，对备课的速度有所滞后，建议给一些简易模板，只要输入数据，就可以操作的软件能多一点
证明材料
教师在培训期间进行课堂实践、线下研修等的照片、活动记录等证明材料。
备注：本模板仅供参考，参训教师可根据实际情况，自来自修改创新。实践反思模板
实践收获
通过研修所学，学着将信息技术与我任教的数学结合，追求教学的网络效果，以期能体现学生学习的主体地位，让学生有主动寻找资源的欲望，激发学生寻找资源的动机和热情。并能完成以下三点：
1．讨论并掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径．
2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题，解题过程中能分析和运用圆的几何性质．

对“圆的一般方程”的教学反思

对“圆的一般方程”的教学反思“圆的一般方程”一直是高中生学习的难点和重点，此部分知识具有一定的抽象性，使得高中生在学习中经常出现吃力的状况，甚至产生厌学心理，无法激发高中生的数学潜能。

基于此，本文就“圆的一般方程”的教学设计展开探讨，供广大教师参考。

标签：苏教版高中数学圆的一般方程教学设计教学案例引言圆的一般方程（x2+y2+Dx+Ey+F=0且D2+E2-4F〉0），高中生要想快速掌握，需要具备一定的基础知识。

教师在“圆的一般方程”授课阶段，需要结合高中生的学习特点，以高中生为主体，合理设置教学问题，严格做好教学设计，确保高中生能够主动探究，高效学习。

一、“圆的一般方程”教学要注重推导过程的详细讲解众所周知，圆的标准方程为（x-a）+（y-b）=r2，高中生对圆的标准方程都有非常细致的了解。

在此种情况下，教师就可以通过圆的标准方程推导圆的一般方程，将圆的标准方程（x-a）+（y-b）=r2的左边展开，整理得到圆的一般方程。

然后教师还要利用配方法，将一般方程化为标准方程的形式，从而让学生在对比中了解半径、圆心坐标的求法。

圆的标准方程的优点在于它明确指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程式的特点，便于区分曲线的形状。

在标准方程和一般方程的互化过程中，每位学生对圆的一般方程有了更加准确的了解，为后续的教学奠定了坚实的基础。

二、“圆的一般方程”教学要注重问题引导问题训练对培养高中生发散思维，数学思维能力等多要素有着非常重要的意义，在苏教版高中数学课本中，涉及“圆的一般方程”的数学习题非常多。

教师要引导高中生探索一些与圆有关的数学习题，帮助高中生锻炼数学思维能力，提升高中生的数学综合素养。

又因为x+y+3x+1=（x+1）+（y+2）x+1=1+y+2x+1，所以题目转化为求y+2x+1的最小值，令k=y+2x+1，则k表示半圆上的点和点P（-1，-2）连线的斜率，当这条直线与圆相切时斜率最小，设切点为Q，分别连接OQ、OP，设直线的方程为y+2=k（x+1），即kx-y+k-2=0，所以|OQ|=|k-2|1+k2=1，解得k=34，所以原式的最小值为1+34=74。

圆方程教学设计(精选4篇)_圆的方程教学设计

圆方程教学设计（精选4篇）_圆的方程教学设计圆方程教学设计（精选4篇）由作者整理，希望给你工作、学习、生活带来方便。

第1篇：圆的一般方程教学设计一、学习目标知识与技能：在熟练记忆圆的标准方程的基础上，能通过配方法将方程配方，从而得出此方程表示圆的条件，记住此条件，并会求圆心和半径；熟练进行标准方程和一般方程之间的互化；通过比较得出求圆方程的两种方法（待定系数法和几何性质法）。

过程与方法：通过对方程表示圆的条件的探究，培圆的一般方程教学设计养学生探索发现和解决问题的能力，通过比较例题，感悟归纳和总结的学习方法。

情感态度与价值观：通过对数学思想和方法的渗透，让学生感受解决问题的不同思考角度和过程，激励学生积极思考，勇于探索的精神。

二、重点难点：探究方程的两种方法（待定系数法和几何性质法）。

三、学法提示：探究式；比较归纳式四、学习过程：包括相关预习、学习探究、反馈和展示、启发点拨、归纳小结、释疑答难、训练巩固、点拨校正、作业等。

1、自主预习（用10分钟时间阅读教材内容，勾勒自己的疑惑，查阅相关的资料辅助解决疑惑，记录自己一些独特的见解，完成学业质量模块测评的环节1，包括基础知识的记忆、思维提升的判断及A、B、C不同层级的练习）2、思考探究（引入）：问题1：圆的标准方程是什么？你能正确展开吗？此时重点观察和发现后进生的练习过程，及时地予以真诚的语言鼓励或者一个肯定的眼神、一个手势，让这些学生从一开始投入到我能学会的自信心当中来。

问题2：方程方程表示圆的条件；求圆方程在解决这两个问题之前老师紧接着问：由问题1你能想到解决这两个问题的办法吗？或者由这两个方程的形式特点你想到了什么方法来处理这两个方程？这样培养学生善于发现问题之间的内在联系的意识，也培养学生观察分析问题的能力。

这样学生自然采用配方法处理，第一个表示一个圆，第二个不表示任何图形。

问题3：将问题2一般化，方程都表示圆吗？在什么条件下表示圆？3、小组展示先给学生5分钟自主探究（因为涉及到分情况讨论，可能有一半学生会出错），而后各个小组在小组长的展示下相互完善，达成共识。

2.3.2圆的一般方程教学设计2023-2024学年高二上学期数学人教B版(2019)选择性必修一

《圆的一般方程》教学设计教材处理与课程资源开发教材分析：本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，是在学生学习了圆的标准方程之后，初步具备了数形结合思想及数学运算能力的基础上学习的，并为以后学习圆锥曲线问题奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用。

本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。

课程资源开发：利用网络等资源，搜集与课程相关的考纲、课标、高考真题、模拟题等，进行整理、归纳。

注意教研与教学的结合，注重生生资源的开发，激发学生学习兴趣。

姓名学段及学科高三数学课题圆的一般方程学情分析本节内容是学生在学生学习了圆的标准方程之后进行研究的，但由于学生学习解析几何的时间还不长，学习程度较浅，且对坐标法的运算还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。

另外，学生在探究问题的能力、合作交流的意识等方面还有待加强。

教学目标1、通过师生及小组合作探究，对圆的标准方程进行展开，从二元二次方程的结构入手，抽象出圆的一般方程结构形式，并对其进行讨论，培养我们数学抽象核心素养以及严密的逻辑思维和严谨的科学态度；2、通过探求点与圆的位置关系，渗透数形结合及几何问题代数化的解析几何思想，培养学生严谨的逻辑思维及全面看待事物的意识；3、通过对圆的方程求解训练，培养我们分析问题的能力，提升我们数学运算核心素养，树立优选方程结构形式、简化计算量的数学意识，进而引导我们对所学知识进行初步整合，以形成网络体系。

重点圆的一般方程的探求过程及其特点，圆的一般方程与标准方程的互化难点根据具体条件，选用圆的一般方程解决有关问题课型“发现—探究—归纳”型教学媒体利用PowerPoint课件以及交互式希沃白板辅助教学，讲课过程中会利用几何画板作动态图的演示。

教学策略教法选择：游戏激趣、情境创设、探索发现、几何画板、思维导图总结归纳。

学法引导：以学生发现探究，自主合作交流为主，教师点拨指导为辅。

《圆的一般方程》教学设计和教案

《圆的一般方程》教学设计和教案教学设计：圆的一般方程一、教学目标1.理解圆的定义以及圆的性质。

2.掌握圆的一般方程的表示方法以及解题方法。

3.能够运用圆的一般方程解决问题。

二、教学内容1.圆的定义和性质概述。

2.圆的一般方程的推导。

3.圆的一般方程的示例题和解题方法。

三、教学过程教学环节教学步骤教学方法时间安排引入1.引入圆的定义和性质。

教师讲解，提问10分钟2.提问：如何用方程表示一个圆？讲解1.提供一个圆的示例图，解释圆的一般教师讲解，举例20分钟方程的表示方法。

2.分析圆的一般方程的推导过程。

实例1.给出一些圆的一般方程的示例题，学生个人思考，讨论，教师点评30分钟解题让学生自己试着解答。

2.展示解题过程，并扩展其他解题方法。

练习1.分组小组合作，让学生互相出题、解题。

学生合作，教师辅导20分钟2.教师进行现场点评和总结。

四、教学重点和难点1.掌握圆的一般方程的表示方法和解题方法。

2.能够应用圆的一般方程解决相关问题。

五、教学资源和学具1.教科书或教学课件。

2.圆的示例图。

3.计算器、白板、黑板、粉笔。

六、教学评价和反思1.观察学生对圆的一般方程的理解程度，解题情况和解题方法的运用能力。

2.查看学生的笔记及练习题，分析学生的掌握程度，针对性地进行补充和巩固。

3.对教学设计的有效性进行评估，总结可借鉴部分，并进行个人教学反思，寻找改进点。

教案：圆的一般方程一、教学目标1.理解圆的定义以及圆的性质。

2.掌握圆的一般方程的表示方法以及解题方法。

3.能够运用圆的一般方程解决问题。

二、教学内容1.圆的定义和性质概述。

2.圆的一般方程的推导。

3.圆的一般方程的示例题和解题方法。

三、教学步骤步骤一：引入（10分钟）1.教师引入圆的定义和性质，可示意图和实例说明。

2.提问：如何用方程表示一个圆？步骤二：讲解（20分钟）1.教师提供一个圆的示例图，解释圆的一般方程的表示方法。

2.分析圆的一般方程的推导过程，引导学生根据半径和圆心坐标的关系推导出圆的一般方程。

圆的一般方程(教学设计)

《圆的一般方程》教案设计一、学情分析:圆的一般方程是学生在掌握了求曲线方程一般方法的基础上，在学习过圆的标准方程之后进行研究的，是研究二次曲线的开始。

这里主要是用解析法研究它的方程及与其它图形的位置和应用。

但由于学生学习解析几何的时间还不长，学习程度较浅，对坐标法的运用还不够熟练，学生在探究问题的能力方面比较薄弱。

因此，根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认识结构，我特制定如下教学目标。

二、教学目标： 1、知识与技能目标：（1）将圆的标准方程(x –a)2+(y –b)2=r 2，展开得x 2+y 2–2ax –2by+a 2+b 2–r 2=0——①令D=–2a ，E=–2b ，F=a 2+b 2–r 2，则①式可写成x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，从而得到圆的一般方程及其方程特点，同时也让学生掌握了这一知识点。

（2）通过设问：是不是任何一个形如x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线都是圆？将方程配方得(x+D 2)2+(y+E 2)2=D 2+E 2–4F 4，对比圆的标准方程：(x –a)2+(y –b)2=r 2，让学生学会能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出其圆心(–D 2，–E2)，r=D 2+E 2–4F 2。

（3）通过例2，培养学生能用待定系数法来求圆的方程。

（4）通过例3，提高学生用坐标法求动点轨迹方程的通知。

2、过程与方法目标：通过展开圆的标准方程(x –a)2+(y –b)2=r 2导出圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0这一过程加深了学生在研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，培养了学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度，通过例1、例3补充题的练习，培养学生数形结合思想、方程思想，提高学生分析问题和解决问题的能力，同时学生用代数方法研究几何问题的能力也得到了一定的提高。

3、情感、态度与价值目标：由学生动手，展开圆的标准方程：(x–a)2+(y–b)2=r2得x2+y2–2ax–2by+a2+b2–r2=0中令D=–2a，E=–2b，F=a2+b2–r2得x2+y2+Dx+Ey+F=0——①，由学生分组讨论得出方程①表示圆的条件，圆的一般方程形式以及圆的一般方程与标准方程的转化和关系，培养了学生勇于思考问题，主动探究知识和合作交流的价值，同时在探讨中也激发了学生的学习兴趣，因此这一过程体现了情感、态度和价值目标。

3.2 圆的一般方程一等奖创新教学设计

3.2 圆的一般方程一等奖创新教学设计2.3.2圆的一般方程一、教材内容分析本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课主要学习圆的一般方程。

本节内容是在学生学习了圆的标准方程基础上，进一步研究圆的一般方程，发现圆的方程特点，即为特殊的二元二次方程。

明确圆的一般方程的特点，掌握圆的方程的算法。

在这一过程中，进一步体会数形结合的思想和方程思想，形成用代数的方法解决几何问题的能力。

同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础。

也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位。

坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。

通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。

二、教学目标1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程.3.能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.4.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方程,并能解决相关实际问题.5.结合具体实例,初步了解二元二次方程、圆的标准方程和圆的一般方程之间的关系.三、教学重点、难点重点：圆的一般方程及其特点难点：能根据条件求出圆的一般方程四、教学方法小组合作，教师主导，学生主体。

2.3.2圆的一般方程一、知识点复习：1、圆的定义：平面内到一的距离等于的点的轨迹是。

其中，定点是，定长是圆的。

2、圆心在点M，半径为的圆的标准方程：3、点P和圆的位置关系：（1）点P在圆上：___；（2）点P在圆内：（3）点P在圆外：二、圆的一般方程：圆的一般方程：____________ 。

例1 已知三点A(0,5)，B(1,-2)，C(-3,-4)是⊙P上的三点，求这个圆的方程。

【针对性练习】求经过三点，，的圆的方程。

三、由圆的一般方程求圆心和半径：1. 圆的一般方程()，则（1）圆心坐标：___；（2）半径：2.把圆的一般方程()化为标准方程:二、例题部分：例2 判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆心坐标与半径；如果不是，说明理由。