第一讲行列式与矩阵

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矩阵与行列式解析矩阵与行列式的性质与运算规律

矩阵与行列式解析矩阵与行列式的性质与运算规律矩阵和行列式是线性代数中重要的概念和工具。

它们在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

本文将详细解析矩阵与行列式的性质和运算规律。

一、矩阵的性质与运算规律1. 矩阵的定义矩阵是一个按照长方阵列排列的数。

它由m行n列元素组成，记作A=(a_ij),其中1≤i≤m，1≤j≤n。

矩阵的行数和列数分别称为矩阵的阶数或维数。

2. 矩阵的运算规律2.1 矩阵的加法和减法设A=(a_ij)和B=(b_ij)是两个同阶矩阵，则它们的和C=A+B的定义为C=(c_ij)，其中c_ij=a_ij+b_ij。

矩阵的减法定义类似。

2.2 矩阵的数乘设A=(a_ij)是一个矩阵，k是一个数，则kA的定义为kA=(ka_ij)，其中ka_ij=ka_ij。

2.3 矩阵的乘法设A=(a_ij)是一个m行n列的矩阵，B=(b_ij)是一个n行p列的矩阵，则它们的乘积C=AB的定义为C=(c_ij)，其中c_ij=a_i1b_1j+...+a_inb_nj。

3. 矩阵的性质3.1 矩阵的转置设A=(a_ij)是一个m行n列的矩阵，A的转置记作A^T，定义为A^T=(a_ji)是一个n行m列的矩阵。

3.2 矩阵的逆设A是一个n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称矩阵A可逆，B为A的逆矩阵。

若A不可逆，则称为奇异矩阵。

3.3 矩阵的行列式矩阵A的行列式记作|A|，行列式是一个标量，它由矩阵元素按一定规则计算而得。

行列式的性质包括行列式的加法性、数乘性、转置性等。

二、行列式的性质与运算规律1. 行列式的定义行列式是一个方阵的特征值之一。

设A=(a_ij)是一个n阶方阵，行列式的定义为|A|=a_11a_22...a_nn-a_11a_23...a_n(n-1)-...-a_1n-1a_2n...a_n。

2. 行列式的运算规律2.1 行列式的数乘若k是数，A是n阶方阵，则kA的行列式等于k的n次方乘以A 的行列式，即|kA|=k^n|A|。

总复习-1矩阵与行列式

I 矩阵、行列式一、矩阵的概念及其初等变换矩阵概念矩阵与行列式的区别：矩阵（数表）行列式（数）记号：1111n m n m a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭m n A ⨯ ()ij m n a ⨯1111n m nn a a a a n Aij na 化简：1111m n m n a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪→⎝⎭1111nm nn a a a a =矩阵的初等变换理论定义：（看书）结论一对任一m n ⨯矩阵A ，设()R A r =，有1,11,1000000000110r n r r rn m n c c c c A A ++⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪−−−→ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭行变（的行最简形矩阵）应用1 高斯消元法解线性方程组增广矩阵A −−−→行变行最简形矩阵（可直接写出解）应用2 列摆行变法判定向量组的线性相关性及求最大无关组、秩和线性表示式1,1111,12100(,,,)(,,,)0000000011,,r n r r r n r n r n c c c c J J εαααε+++⎛⎫⎪⎪ ⎪−−−→=⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭行变设则12,,,n ααα 与11,,,,,r r n J J εε+ 有相同的线性相关性。

应用3 行初等变换法求逆矩阵A -1、A -1B1(,)(,)A E E A -−−−→行变1(,)(,)A B E A B -−−−→行变结论二对任一m n ⨯矩阵A ，设()R A r =，有000r m n E A A ⨯⎛⎫−−−−→ ⎪⎝⎭列行变和变（的相抵标准形）应用1 初等变换法求矩阵的秩（可作列变）应用2 标准形思路：,,000rEA P Q P Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中是可逆矩阵. 结论三初等变换与初等矩阵的转化关系：箭号等号关系（“左行右列”）二、矩阵的运算加法、数乘、乘法、转置关于矩阵乘法，注意：（1）矩阵乘法与数的乘法不同之处不满足交换律AB BA ≠222()2A B A AB B +≠++ 22()()A B A B A B -≠+- ()k k k AB A B ≠注意：,A B 设均为方阵，则错误！未找到引用源。

线性代数各章要点整理

第一章行列式主要知识点一、行列式的定义和性质1.余子式和代数余子式的定义2.行列式按一行或一列展开的公式1）2）3.行列式的性质1）2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k倍. 推论3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.二、行列式的计算1.二阶行列式和三角形行列式的计算.2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形（或对角形）行列式的计算.3.对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.4.行列式中各行元素之和为一个常数的类型.5.范德蒙行列式的计算公式第二章矩阵主要知识点一、矩阵的概念1.要分清矩阵与行列式的区别2.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算1.矩阵A , B的加、减、乘有意义的充分必要条件2.矩阵运算的性质比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法、乘法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点）.3.转置对称阵和反对称阵1）转置的性质2）若A T=A （A T= - A），则称A为对称（反对称）阵4.逆矩阵1）方阵A可逆（也称非异，非奇异，满秩）的充分必要条件是.当A可逆时，.2）方阵A的伴随阵的定义。

重要公式；与A -1的关系（当方阵A可逆时，）3）重要结论：若n阶方阵A,B满足AB=E，则A,B都可逆，且A-1=B ，B-1=A.4）逆矩阵的性质：; ; .5）消去律：设方阵A可逆，且AB=AC（BA=CA），则必有B=C。

（若不知A可逆，仅知A≠0结论不一定成立。

矩阵与行列式的运算与应用

矩阵与行列式的运算与应用矩阵与行列式是线性代数中的重要概念和工具，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

本文将探讨矩阵与行列式的运算规则及其在实际问题中的应用。

一、矩阵的定义与基本运算矩阵是由m行n列的数按一定顺序排列而成的矩形阵列。

其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

矩阵的元素可以是实数、复数或其他数域中的元素。

矩阵的加法定义为：若A和B是同型矩阵（即行数和列数相等），则它们的和A + B是一个同型矩阵，其元素由对应位置的元素相加得到。

矩阵的乘法定义为：若A是m行n列的矩阵，B是n行p列的矩阵，则它们的乘积AB是一个m行p列的矩阵，其元素由A的第i行与B的第j列的元素按一定规则相乘再相加得到。

矩阵的转置定义为：若A是一个m行n列的矩阵，其转置记作A^T，即将A 的行变为列，列变为行。

矩阵的逆定义为：若A是一个n阶方阵（即行数等于列数），且存在一个n阶方阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵，则称A是可逆的，B为A的逆矩阵，记作A^(-1)。

二、行列式的定义与性质行列式是一个与方阵相关的数值函数，用于刻画方阵的性质。

一个n阶方阵A 的行列式记作det(A)或|A|。

行列式的定义为：对于2阶方阵A = [[a, b], [c, d]]，其行列式定义为|A| = ad - bc。

对于n阶方阵A，其行列式的计算可以通过代数余子式和代数余子式构成的代数余子式矩阵进行。

行列式的性质包括：1. 行列式的值与方阵的行列互换无关，即|A| = |A^T|。

2. 行列式的值与方阵的某一行（列）成比例，即若方阵的某一行（列）元素都乘以一个常数k，则行列式的值也乘以k。

3. 行列式的值与方阵的两行（列）交换符号相反，即若方阵的两行（列）交换，则行列式的值取相反数。

4. 行列式的值与方阵的某一行（列）的线性组合无关，即若方阵的某一行（列）是另外两行（列）的线性组合，则行列式的值为0。

三、矩阵与行列式的应用矩阵与行列式作为线性代数的基本工具，在实际问题中有着广泛的应用。

第一章行列式与矩阵

《工程数学》教案第一章行列式与矩阵一、教学目标与基本要求：1．掌握n阶行列式的定义和行列式的性质。

2．掌握n阶行列式按行或列展开定理。

3．利用行列式的性质和展开定理计算n阶行列式。

4．掌握矩阵的定义及矩阵的加减、数乘及矩阵的乘法。

5．掌握矩阵转置、对称及反对称矩阵、矩阵的行列式。

6．了解分块矩阵的定义及其运算规律。

7．掌握逆阵的定义及求法。

8．了解初等变换和初等矩阵的概念，会利用初等变换求矩阵的逆矩阵。

二、教学内容及学时分配：1、教学内容1．1 行列式1．2 矩阵1．3 矩阵的运算1．4 几类特殊的矩阵1．5 矩阵的初等变换1．6 逆矩阵2、学时分配：22学时三、本章教学内容的重点和难点：1、本章重点：（1）、n阶行列式的概念和性质。

（2）、利用行列式的性质和按行（列）展开定理计算行列式。

（3）、矩阵的概念及其运算。

（4）、矩阵的初等变换与矩阵的标准型。

（5）、矩阵秩的概念及其求法。

（6）、逆矩阵的概念及其求法。

（7）、矩阵方程的求解。

2、本章难点：1．n阶行列式的计算方法的掌握。

2．逆矩阵的性质及相关问题的证明。

四、本章教学内容的深化和拓宽1．n阶行列式的计算方法。

2．方阵的高次幂运算五、教学过程中应注意的问题1、行列式中某一项的正负号的确定。

2、代数余子式的重要性质的应用。

3、一般情况下AB BA，即矩阵乘法不满足交换律。

4、特殊矩阵的性质与初等方程的作用。

5、分块矩阵的运算性质须满足相应的分块原则。

六、本章的习题和思考题1、习题：1（1）（2）（3）（4）（5）（7）（8），2，3（1）（2），4，5（1）（3）（4），6，7，8，9（1），（3），（5），（7），10，11，12，17，18，19，20（1），（3），（5），（7），21，22，23，24，272、思考题：1（6），3（3），5（2），9（2），（4），（6），（8），13，14，25，26，28，29。

习题课一：1、讲评第一章的作业。

第一讲行列式与矩阵

推论1 行列式中某一行（列）的元素的公因数可以提到行列式符号的外面。推论2 如果行列式中有一行（或列）的元素全为零，那么此行列式的值为零. 推论3 如果行列式其中有两行（或列）元素对应成比例，那么行列式等于零.
性质四：
如果行列式的某一行（列）的元素都是两项的和，则可以把该行列式拆成两个行列式之和。如：
b a a b c
b a b a d c d c d
35 1 22 3 12 2 3 1 2 1 2 12 1 2
性质五：
把行列式的某一行（列）的元素都乘以同一个数k后，加到另一行（列）的对应元素上去，则行列式的值不变。
如：
a a a a 1 a 2 a 3 1 2 3 b k a k a k a 1 b 2 b 3 b 1 1 b 2 2 b 3 3 c c c c c 1 c 2 3 1 2 3
我们知道，二、三元线性方程组的解可以用行列式表示，那么含有 n 个未知数 x1 , x2 , … , xn 的 n 个线性方程的方程组
x a x a b , a 11 1 12 2 1 nx n 1 a x a x a b 21 1 22 2 2 nx n 2, , a x a a x b n 1 1 n 2x 2 nn n n,
计算行列式的另一种基本方法是:选择零元素最多的行（或列）展开；也可以先利用性质把某一行（或列）的元素化为仅有一个非零元素，再按这一行（或列）展开.这种方法称为降阶法.
思考题：
1-1 1-2 1-3
返回啦！
1.3 Cramer法则
学习重点
克拉默法则利用克拉默法则解方程组齐次线性方程组解的判定

矩阵与行列式的计算与性质

矩阵与行列式的计算与性质矩阵与行列式是线性代数中重要的数学概念，对于许多数学和工程问题的建模与求解都非常关键。

本文将介绍矩阵与行列式的基本概念，以及它们的计算方法和一些常见的性质。

一、矩阵的定义与基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一种按照行和列排列的数表。

一个m行n列的矩阵常记作A=[a_ij]，其中a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

1.2 矩阵的分类根据矩阵的特点，可以将其分为以下几种类型：1）零矩阵：所有元素都为0的矩阵。

2）对角矩阵：只有主对角线上的元素不为零，其余元素都为零的矩阵。

3）上三角矩阵：主对角线以下的元素都为零的矩阵。

4）下三角矩阵：主对角线以上的元素都为零的矩阵。

5）方阵：行数等于列数的矩阵。

6）转置矩阵：将矩阵的行与列对换得到的新矩阵。

二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法和减法给定两个相同大小的矩阵A和B，它们的和（差）矩阵记作C=A±B，即C=[c_ij]，其中c_ij=a_ij±b_ij。

2.2 矩阵的数乘给定一个矩阵A和一个标量k，它们的数乘记作B=kA，即矩阵B 的每个元素等于k乘以矩阵A对应元素。

2.3 矩阵的乘法给定一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积矩阵C=A*B是一个m行p列的矩阵。

矩阵C的第i行第j列的元素c_ij等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列元素对应乘积的和。

三、行列式的定义与性质3.1 行列式的定义对于一个n阶方阵A=[a_ij]，其中a_ij是方阵A中第i行第j列的元素，方阵A的行列式记作det(A)或|A|，计算方法如下：1）当n=1时，det(A)=a_11；2）当n>1时，det(A)=a_11*A_11+a_12*A_12+...+a_1n*A_1n，其中A_11、A_12、...、A_1n是n-1阶子矩阵的行列式。

3.2 行列式的性质行列式具有以下几个重要的性质：1）行列式与转置：det(A)=det(A^T)，其中A^T表示矩阵A的转置矩阵。

矩阵和行列式知识要点

矩阵和行列式知识要点一、矩阵（Matrix）1.定义矩阵是按照一定规则排列的数（或变量）的矩形阵列。

一般用大写字母表示，如A、B，其元素用小写字母表示并用下标表示元素的位置。

2.类型根据矩阵的元素可以分为实矩阵（元素为实数）、复矩阵（元素为复数）、数值矩阵（元素为纯数值而不是变量）等。

3.运算(1)矩阵的加法：对应元素相加。

(2)矩阵的数乘：矩阵的每个元素乘以相同的数。

(3)矩阵的乘法：矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，A乘以B的结果是一个新的矩阵C，C的第i行第j列的元素是A的第i行与B的第j列元素的乘积之和。

4.逆矩阵如果一个方阵A存在逆矩阵A-1，使得A与A-1相乘等于单位矩阵I，即A·A-1=I，那么称A为可逆矩阵或非奇异矩阵，A-1为A的逆矩阵。

5.矩阵的转置将一个矩阵的行变为同序数的列，列变为同序数的行，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。

二、行列式（Determinant）1.定义行列式是一个表示线性变换对坐标的拉伸或者压缩程度的标量值。

一般用竖线“，，”或者方括号“[]”表示。

2.性质(1)行列式的值等于其转置矩阵的值。

(2)行列式对换两行（列）变号。

(3)行列式中如果有两行（列）相同，则行列式的值为0。

(4)行列式其中一行（列）的元素都是两数之和，行列式的值可以分开计算。

3.行列式的计算方法(1)拉普拉斯展开法：取行（列）进行展开，将问题逐步转化为计算较小规模的子行列式。

(2)数学归纳法：将行列式的展开按照第一行（列）来进行，用递归的方法逐步减小行列式的规模。

4.逆矩阵与行列式的关系若矩阵A可逆，则A的逆矩阵A-1的值等于A的行列式的倒数，即A-1=1/，A。

三、矩阵和行列式的应用1.线性方程组2.线性变换矩阵可以表示线性变换，通过矩阵与向量的乘法，可以实现向量的旋转、缩放等操作。

3.特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵在线性变换下的固有性质，通过计算矩阵的特征值和特征向量，可以得到矩阵的重要信息，如对称矩阵的主对角线元素就是其特征值。

线性代数下的行列式和矩阵

线性代数下的行列式和矩阵线性方程组一般有 m 个常数项，n 个未知数，m * n 个系数。

若常数项全为 0 ，则为齐次线性方程组；若未知数全为0 ，则称为零解。

于是我们考虑的问题是：齐次方程组：1.是否存在非零解，以及存在的条件2.通解的结构与性质3.解法非齐次方程组：1.是否有解，以及有解的条件是什么2.有多少解以及对应解数量的条件是什么3.多解的结构与性质4.解法行列式二，三阶行列式行列式的初始作用是解线性方程组！例如：最简单的二元线性方程组\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{aligned} \right.\Rightarrow 消元 \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}x_1 = \frac{b_1a_{22} - b_2a_{12}}{a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21}} \\ x_1 = \frac{b_2a_{21} -b_1a_{21}}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \end{aligned} \right.可以得出结论，答案是由方程的四个系数和常数决定的。

所以记住四个系数作为行列式，指定行列式的值是上式的分母:\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}于是有了这么一个行列式之后，我们就可以得到：D = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \ D_1 = \begin{bmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{bmatrix} \ D_2 = \begin{bmatrix}a_{21} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{bmatrix} \\Rightarrow \\ x_1 = \frac{D_1}D, x_2 = \frac{D_2}D同理可以推广到三元线性方程组，定义三阶行列式。

线性代数讲义1矩阵与行列式

逆矩阵的求法
01
02
03
高斯-约旦消元法
通过行变换将矩阵变为行阶梯形，然后回代求解。
伴随矩阵法
先求出矩阵的伴随矩阵，然后利用公式$A^{-1} = frac{1}{|A|} * adj(A)$求出逆矩阵。
分解法
将矩阵分解为若干个简单的矩阵的乘积，然后利用这些简单的矩阵求逆，最后再求出原矩阵的逆。
CHAPTER
高斯消元法的原理与步骤
高斯消元法的原理是通过一系列行变换将增广矩阵转换为上三角矩阵，从而求解线性方程组。
步骤包括：将增广矩阵的系数矩阵进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵，然后继续进行行变换，将其化为上三角矩阵，最后求解未知数。
高斯消元法的应用场景
解决线性方程组
高斯消元法是解决线性方程组的一种常用方法，适用于系数矩阵为方阵且系数矩阵可逆的情况。
数。
01
1. r(A) ≤ min(m, n)，其中m和n分别是矩阵A
的行数和列数。
03
3. r(A) = r(AA^T)，即矩阵的秩等于其与自身转置相乘后的矩阵的秩。
05
性质：矩阵的秩是唯一的，且满足以下性质
02
2. r(A) = r(A^T)，即矩阵的秩等于其转置矩阵
的秩。
04
秩的计算方法与性质
高斯消元法的优缺点分析
优点
高斯消元法是一种稳定可靠的方法，能够得到线性方程组的精确解。它具有较高的数值稳定性，适用于大规模问题。此外，高斯消元法还可以用于求解特征值和特征向量等问
题。
缺点
高斯消元法需要手动操作，对于大规模问题需要消耗大量的计算资源和时间。同时，对于病态问题或者系数矩阵接近奇异的情况，高斯消元法可能会失去数值稳定性，导致求

矩阵与行列式的性质

矩阵与行列式的性质矩阵和行列式是数学中重要的概念，它们在线性代数、微积分、概率论等领域都有广泛的应用。

本文将探讨矩阵和行列式的性质，以及它们在实际问题中的运用。

1. 矩阵的定义及基本性质矩阵是一个按照矩形排列的数，可以看作是数的矩形排列。

矩阵常用大写字母表示，如A、B等。

一个m×n的矩阵有m行n列，其中每个元素可以用a_ij表示，其中i为行号，j为列号。

矩阵的基本运算包括矩阵的加法和数乘，满足交换律、结合律和分配律。

2. 矩阵的转置与逆矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行变成列，列变成行。

如果A是一个m×n 的矩阵，那么其转置记作A^T。

矩阵的逆是指存在一个与A相乘等于单位矩阵的矩阵B，记作A^-1。

逆矩阵的存在条件是矩阵A的行列式不为0。

3. 行列式的定义及性质行列式是一个用来描述矩阵特征的数值。

行列式常用竖线表示，如|A|或det(A)。

对于一个n阶方阵A，其行列式的计算可以使用拉普拉斯展开定理，其中第i行第j列元素的代数余子式记作A_ij，定义为将第i行和第j列划去后所得到的(n-1)阶子式的行列式。

行列式具有性质：行列式的转置等于行列式本身；行列式互换两行（列）的符号改变；如果行列式中有两行（列）相同，则行列式的值为0。

4. 矩阵的秩与线性方程组矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数。

矩阵的秩与线性方程组的解的存在性及唯一性相关。

如果矩阵A的秩等于其列数n，那么A是一个满秩矩阵，其线性方程组有唯一解。

如果矩阵A的秩小于其列数n，那么A是一个秩亏矩阵，其线性方程组有无穷多解。

5. 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值是指使得矩阵与一个非零向量的乘积等于特征值乘以该向量的特征向量存在的数值。

特征值与特征向量在求解矩阵的平衡状态、震动频率等问题中有广泛的应用。

特征值可以通过求解矩阵A 减去特征值乘以单位矩阵后的行列式为0的特征方程得到，特征向量通过解特征方程所得的齐次线性方程组得到。

6. 矩阵的特征分解与奇异值分解矩阵的特征分解是将一个方阵分解为特征值和特征向量的乘积的形式。

矩阵与行列式基本概念与性质

矩阵与行列式基本概念与性质矩阵与行列式是线性代数中的基本概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。

本文将介绍矩阵与行列式的基本概念和性质，并通过具体例子来帮助读者更好地理解和掌握它们。

一、矩阵的基本概念矩阵是由数个数排列成的矩形阵列。

我们用大写字母表示矩阵，例如A。

一个m行n列的矩阵可以表示为A = [a_ij]，其中i表示行标，j 表示列标，a_ij表示第i行第j列上的元素。

矩阵的元素可以是实数或复数。

矩阵可以进行加法和数乘运算。

两个矩阵A和B，只有当它们的行数和列数都相等时，才可以进行加法运算。

加法运算的结果是另一个矩阵C，其元素由对应位置的元素之和组成。

数乘运算是指一个矩阵乘以一个实数或复数，其结果是一个矩阵，其中的每个元素都乘以这个实数或复数。

二、矩阵的性质1. 矩阵的转置矩阵A的转置记作A^T，表示将矩阵A的行与列对换而得到的矩阵。

即，如果A = [a_ij]，则A^T = [a_ji]。

矩阵的转置有以下性质：- (A^T)^T = A，即矩阵的转置再转置等于原矩阵。

- (A + B)^T = A^T + B^T，即矩阵的转置和的转置等于两个矩阵的转置和。

- (kA)^T = kA^T，其中k是实数或复数。

2. 矩阵的乘法两个矩阵A和B的乘积记作C = AB。

如果A是一个m行n列的矩阵，B是一个n行p列的矩阵，则乘积C是一个m行p列的矩阵。

矩阵的乘法有以下性质：- 结合律：(AB)C = A(BC)，即矩阵乘法满足结合律。

- 分配律：A(B + C) = AB + AC，即矩阵乘法对加法满足分配律。

- 没有交换律：一般情况下，AB ≠ BA，即矩阵乘法不满足交换律。

三、行列式的基本概念行列式是一个与矩阵相关的标量值。

行列式的值可以通过递归定义来计算。

给定一个n阶方阵A = [a_ij]，其中i表示行标，j表示列标，行列式的值记作|A|或det(A)。

行列式的计算需要用到代数余子式和代数余子式所对应的代数余子式矩阵。

矩阵与行列式

矩阵与行列式在数学中，矩阵与行列式是两个基本的概念，它们被广泛用于线性代数、微积分、物理学、工程学和计算机科学等等领域。

本文将介绍矩阵和行列式的概念、性质和应用，并探讨它们之间的关系。

矩阵矩阵可以看作是一个按照规律排列的矩形表格，其中每个元素都是一个实数或复数。

矩阵一般用大写字母表示，其中第i行第j 列的元素记作$a_{ij}$。

例如，一个$3\times 4$的矩阵可以表示为：$\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\\end{bmatrix}$矩阵可以进行加法、减法和数乘等基本运算，也可以进行矩阵乘法。

两个矩阵相乘需要满足左矩阵的列数等于右矩阵的行数，结果得到的是一个行数等于左矩阵的行数、列数等于右矩阵的列数的矩阵。

例如，两个$3\times 3$的矩阵相乘：$\begin{bmatrix}1 &2 & 3\\4 &5 & 6\\7 & 8 & 9\\\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}-1 & 2 & 1\\0 & 5 & 2\\3 & -2 & -1\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10 & 1 & 2\\25 & 16 & 5\\40 & 31 & 8\\\end{bmatrix}$矩阵也可以转置，即将行变为列，列变为行。

一个矩阵的转置记作$A^T$，其中$(A^T)_{ij}=A_{ji}$。

行列式行列式是一个将矩阵转化为单个数的运算。

矩阵与行列式的基本运算与性质

矩阵与行列式的基本运算与性质矩阵和行列式是线性代数中重要的数学工具，它们在各个领域都有广泛的应用。

本文将探讨矩阵与行列式的基本运算和性质，帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、矩阵的定义与基本运算矩阵是由m行n列元素组成的矩形数组，通常用大写字母表示。

矩阵中的元素可以是实数或复数。

一个m×n的矩阵可以表示为：A = [aij]m×n其中，aij表示第i行第j列的元素。

矩阵的基本运算包括加法、减法和数乘。

对于两个相同维度的矩阵A和B，它们的加法和减法定义如下：A +B = [aij + bij]m×nA -B = [aij - bij]m×n对于一个矩阵A和一个实数k，数乘定义如下：kA = [kaij]m×n二、矩阵的乘法与转置矩阵的乘法是一种比较复杂的运算，需要符合一定的规则。

对于一个m×n的矩阵A和一个n×k的矩阵B，它们的乘积AB定义如下：AB = [cij]m×k其中，cij = a1j*b1i + a2j*b2i + ... + anj*bni。

需要注意的是，矩阵的乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。

矩阵的转置是指将矩阵的行变为列，列变为行。

一个m×n的矩阵A 的转置记为AT，其定义如下：(A^T)ij = Aji转置操作可以改变矩阵的维度，即如果A是一个m×n的矩阵，则AT是一个n×m的矩阵。

三、行列式的定义与性质行列式是一个与矩阵相关的数值。

对于一个n阶方阵A，其行列式记为|A|或det(A)，它的定义如下：|A| = a11a22...ann + a12a23...a(n-1)n + ... + (－1)^(n+1)an1a2...a(n-1)行列式有一些基本的性质，包括以下几点：性质1：如果矩阵的某一行或某一列都是0，则其行列式的值为0。

性质2：如果矩阵的两行或两列相等，则其行列式的值为0。

矩阵与行列式的运算与应用

矩阵与行列式的运算与应用矩阵与行列式是线性代数中的重要概念，在数学和工程学科中得到广泛应用。

本文将重点讨论矩阵与行列式的运算规则以及它们在实际问题中的应用。

一、矩阵的定义与基本运算1.1 矩阵的定义矩阵是由一组数按照矩形排列形成的二维数据表，通常用大写字母表示。

一个矩阵由行和列组成，行数与列数分别称为矩阵的行数和列数。

例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：A = [a11 a12a21 a22a31 a32]其中aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

1.2 矩阵的基本运算矩阵之间可以进行加法和数乘两种基本运算。

1.2.1 矩阵的加法两个具有相同行数和列数的矩阵可以进行加法运算。

对应位置的元素相加得到结果矩阵。

例如，对于矩阵A和矩阵B：A = [a11 a12a21 a22a31 a32]B = [b11 b12b21 b22b31 b32]它们的和矩阵C为：C = [a11+b11 a12+b12a21+b21 a22+b22a31+b31 a32+b32]1.2.2 矩阵的数乘矩阵与一个数相乘，即将矩阵的每个元素与该数相乘。

例如，对于矩阵A和一个数k，它们的积矩阵D为：D = [k*a11 k*a12k*a21 k*a22k*a31 k*a32]二、行列式的定义与性质2.1 行列式的定义行列式是一个数，用于描述一个方阵的某些性质。

对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|。

2.2 行列式的性质行列式具有以下性质：2.2.1 行列式与矩阵的转置若A为一个n阶方阵，则det(A) = det(A^T)，即行列式与矩阵的转置结果相等。

2.2.2 行列式与矩阵的乘法若A、B是两个同阶矩阵，则有det(AB) = det(A) * det(B)，即两个矩阵的乘积的行列式等于两个矩阵的行列式的乘积。

2.2.3 行列式的行列互换对于n阶方阵A，若交换A中两行（或两列），则行列式的符号改变。

三、矩阵与行列式的应用3.1 线性方程组的求解利用矩阵与行列式的运算方法，可以简化线性方程组的求解过程。

第一讲行列式与矩阵

第一讲行列式与矩阵一、内容提要（一）n 阶行列式的定义∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn j j j njn j j j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a D 21212211)(212222111211)1(τ（二）行列式的性质1．行列式与它的转置行列式相等，即T D D =； 2．交换行列式的两行（列），行列式变号；3．行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来； 4．行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零；5．行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零； 6．若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即nm n n in in i i i i na a ab a b a b a a a a D21221111211+++=，则nnn n in i nnn n n in i na a ab b b a a a a a a a a a a a a D21121112112112111211+=7．将行列式某行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。

（三）行列式依行（列）展开 1．余子式与代数余子式（1）余子式的定义去掉n 阶行列式D 中元素ij a 所在的第i 行和第j 列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的n-1阶行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M（2）代数余子式的定义ij a 的代数余子式的记为ij j i ij ij M A A +-=)1(, 2．n 阶行列式D 依行（列）展开（1）按行展开公式∑=⎩⎨⎧≠==nj kj ij k i ki DA a 10 （2）按列展开公式∑=⎩⎨⎧≠==ni is ij sj sj DA a 10 （四）范德蒙行列式∏≤<≤----==nj i i jn nn n nnx xx x x x x x x x x D 1112112222121)(111（五）矩阵的概念1．矩阵的定义由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ⨯=)(2．特殊的矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ；（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。

第一讲行列与矩阵

第一讲行列式与矩阵一、内容提要（一）n 阶行列式的定义∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn j j j njn j j j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21212211)(212222111211)1(τ（二）行列式的性质1．行列式与它的转置行列式相等，即T D D =； 2．交换行列式的两行（列），行列式变号；3．行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来； 4．行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零；5．行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零； 6．若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即nm n n in in i i i i na a ab a b a b a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21221111211+++=，则nnn n in i n nnn n in i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21121112112112111211+= 7．将行列式某行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。

（三）行列式依行（列）展开 1．余子式与代数余子式（1）余子式的定义去掉n 阶行列式D 中元素ij a 所在的第i 行和第j 列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的n-1阶行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M（2）代数余子式的定义ij a 的代数余子式的记为ij j i ij ij M A A +-=)1(, 2．n 阶行列式D 依行（列）展开（1）按行展开公式∑=⎩⎨⎧≠==nj kj ij k i ki DA a 10 （2）按列展开公式∑=⎩⎨⎧≠==ni is ij sj sj DA a 10 （四）范德蒙行列式∏≤<≤----==nj i i jn nn n nnx xx x x x x x x x x D 1112112222121)(111ΛΛΛΛΛΛΛ（五）矩阵的概念1．矩阵的定义由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ΛΛ==组成的m 行n 列的矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛ212222111211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ⨯=)(2．特殊的矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ；（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。

线性代数讲座_1,2章

IO
P T A* A A 0
Q A T A1 b A 0
Q可逆 Q 0 T A1 b 0 T A1 b
例4. 设
A, B 均为 2 阶矩阵, 若
A
2,
B
3,
O
则
B
A O
*
=
A
O 2A*
3B*
O
B
O 3A*
2B*
O
C
O 2B*
3A*
a122
a123
3a121 1
a11 3 3
例3. 设 A 为 n 阶可逆矩阵, α 为 n 维列向量, b 为常数, 记
I O A
P
T
A*
A
,
Q
T
b
.
(1) 计算并化简 PQ. (2) 证明矩阵 Q可逆 T A1 b.
分析:
I O A
PQ
T
A*
A
标准方法: 利用行列式性质直接计算:
A 2B 1, 2, 3, 1 23, 1, 2, 2
1 23 , 2 21 , 3 22 , 1 22
A 2B 1 23 , 2 21, 3 22 , 1
1 23 , 2 21 , 3 22 , 22
1 2 0 0
按第一行(列)展开, 直接求得;
(3) 三线型:
按第一行(列)或最后一行(列)展开, 得
递推关系式, 解递推关系式;
(4) “爪”型(箭型) 行列式: 用中间的“爪”消去某条 “爪”;
(5) 计算某行(列)元的(代数)余子式的线性组合：
构造“新行列式”;
知识点2: 行列式计算
(6) 抽象行列式 |A| = |α, β, γ|的计算:

矩阵与行列式

第一章矩阵与行列式释疑解惑 1．关于矩阵的概念：最难理解的是：矩阵它是一个“数表”，应当整体地去看它，不要与行列式实际上仅是一个用特殊形式定义的数的概念相混淆；只有这样，才不会把用中括号或小括号所表示的矩阵如a c b d ⎛⎫ ⎪⎝⎭写成两边各划一竖线的行列式如a c b d ，或把行列式写成矩阵等。

还要注意，矩阵可有(1)m ≥行和(1)n ≥列，不一定m n =；但行列式只有n 行n 列。

n 阶行列式是2n 个数（元素）按特定法则对应的一个值，它可看成n 阶方阵 111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 的所有元素保持原位置而将两边的括号换成两竖线时由行列式定义确定的一个新的对象：特定的一个数值，记作det A 、A 或n D ，即111det nij k k k A A a a A ====∑（如二阶方阵a d A b c ⎛⎫= ⎪⎝⎭所对应的行列式是这样一个新的对象：a d ac bd b c =-）。

也正因为于此，必须注意二者的本质区别，如当A 为n 阶方阵时，不可把A λ与A λ等同起来，而是n A A λλ=，等等。

2．关于矩阵的运算：矩阵的加（减）法只对同形矩阵有意义；数λ乘矩阵m n A ⨯是用数λ乘矩阵m n A ⨯中每一个元素得到的新的m n ⨯矩阵；二矩阵相乘与前述这两种线性运算有着实质上的不同，它不仅要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数，而且积的元素有其特定的算法（即所谓行乘列），乘法的性质与前者的性质更有质的不同（如交换律与消去律不成立），对此要特别加以注意，也不要与数的乘法的性质相混淆。

3．关于逆阵：逆阵是由线性变换引入的，它可只由AB E =来定义（A 与B 互为逆阵），这是应用的基础。

要记住方阵可逆的充要条件为0A ≠以及关系式*AA A E =，二者有着重要与广泛的应用。

要弄清A 的伴随方阵是矩阵()ij A a =的各元素代数余子式为元素的矩阵的转置，否则会出错。

线性代数课件第1章：矩阵与行列式

0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
这个数表反映了四城市间交通联接情况.
矩阵的定义
由 m n 个数 aij i 1,2,,m; j 1,2,,n
排成的 m行 n列的数表
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 am2 amn
称为 m n矩阵. 记作
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
二、数与矩阵相乘
1、定义
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
am1 am1 amn
2、数乘矩阵的运算规律（设 A、B为 m n 矩阵， ,为数）
1 A A;
2 A A A;
3 A B A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.
a12b1 a22b2 a32b3
b1 a13b1 a23b2 a33b3） b2
b3
a11b12 a22b22 a33b32 2a12b1b2 2a13b1b3 2a23b2b3 .
例4
设A
0
1
0 1
求Ak
.
0 0
1 0 1 0
解
A2 0 1 0 1
表示一个从变量x1, x2,, xn 到变量 y1, y2,, ym的线性变换. 其中aij为常数.
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .

第一讲 行列式与矩阵

矩阵与行列式解析矩阵与行列式的性质与运算规律

总复习-1矩阵与行列式

线性代数各章要点整理

矩阵与行列式的运算与应用

第一章 行列式与矩阵

第一讲 行列式与矩阵

矩阵与行列式的计算与性质

矩阵和行列式知识要点

线性代数下的行列式和矩阵

线性代数讲义1矩阵与行列式

矩阵与行列式的性质

矩阵与行列式基本概念与性质

矩阵与行列式

矩阵与行列式的基本运算与性质

矩阵与行列式的运算与应用

第一讲行列式与矩阵

第一讲行列与矩阵

线性代数讲座_1,2章

矩阵与行列式

线性代数课件第1章：矩阵与行列式

第一讲行列式与矩阵

第一章行列式与矩阵

第一讲行列式与矩阵