第一讲 行列式与矩阵
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i行第 j列 的元素； 表示 第 a a a a 11 22 12 21叫做二阶行列式的展开式；
二阶行列式常用符号D2表示。
因此：根据二阶行列式的定义，二元一次方程组的解又可记作：
b 1 b x 2 1 a 1 1 a 2 1 a 1 2 a D 2 2 1, a D 1 2 a 2 2 a 1 1 a 1 x 2 2 a 1 1 a 2 1 b 1 b D 2 2 a D 1 2 a 2 2
推论 如果行列式其中有两行（或列）完全相同，那么行 列式的值为零. D 事实上．交换相同的两行，由性质2得， D ， D0
性质三：
行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数 ，等 于用数 乘此行列式 。
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
a A a A a A 11 11 12 12 13 13
例4 写出四阶行列式的元素 a 32 的余子式和代数余子式.
2 14 8 1 5 9 12 2 1 6 9 4 7 3 13 11
解
M 32
二元线性方程组
当 a a a a 0 时，得 11 22 12 21
•
b a b a b a b 1 22 2a 12 11 2 21 1 ， x x 1 2 a a a a a a a 11 22 12 21 11 22 a 12 21
• 计算 • 为了便于记忆，我们引进二阶行列式的概念.
注意：D
D1
系数行列式
第一未知元行列式 第二未知元行列式
D2
例1
1 5 计算二阶行列式 D 3 4 。
解
由定义知
D 1 4 5 3 11
主对角线元素之积减去 副对角线元素之积 ——对角线法则
x1 x 2 3 例 2 用二阶行列式求解方程组 2 x1 3x 2 4
利用代数余子式 n 阶行列式 D 可以计算得(称作按第一行/列展开)：
D a11 A11 a12 A12 a1n A1n a1 j A1 j
j 1
n
或
a11 A 11 a21 A 21
an1 An1 ai1 Ai1
i 1
n
例3
当 n 3 时，写出其计算公式
显然，
T DD
对于n阶行列式，可以用数学归纳法加以证明。
性质二：
互换行列式的两行（列）的位置，行列式仅改变符号。
例如，二阶行列式
a a D 11 12 a a a a 11 22 12 21 交换两行后得到的行列式 a a 21 22
a 21 a 22 a a a a D 21 12 22 11 a a 11 12
2 1 7 14 6 3 1 4 11
2 1 7 A 1 )32M 14 6 3 32 ( 32 1 4 11
例5
根据定义计算行列式的值
1 2 3 0 0 0 0 1 3 1 0 0 0 0 1 2
a
j 1
n
1j
A1 j
0 1 0 2 0 0 解 D4 1 ( 1)11 0 0 1 3 ( 1)1 3 3 0 1 1 0 2 0 1 2
① aij (i, j 1,2,3,, n) …… n 阶行列式第 i 行第 j 列上的元素； ② M ij ……在 n 阶行列式中划去元素 aij 所在的第 i 行第 j 列后 得到的 (n 1) 行列式，称为元素 aij 的余子式；
i j ③ Aij (1) M ij ……元素 aij 的代数余子式；
第一讲 行列式与矩阵
n阶行列式的概念 行列式的性质与计算 Cramer法则 矩阵及其计算
逆矩阵
矩阵的初等变换及矩阵的秩
1.1
n阶行列式的概念
学习重点
n阶行列式的概念 余子式与代数余子式的概念
一、行列式的引入
• 引例：用加减消元法求解
a x x2 b 11 1 a 12 1 a21x x2 b 1 a 22 2
表明行与列是对等的，行具有 的性质，列也具有
性质：行列式转置后，其值不变。 即： T DD 例如，二阶行列式
a 11 a 12 D a a a a 11 22 12 21 a a 21 22
a 11 a 21 D a a a a 11 22 12 21 a a 12 22
T
解 由于 D
D1 3 4
1 1 5 0 2 3
1 5, 3 D2 1 2 3 10 4
因此
x1
D1 D 1 ， x2 2 2 D D
二、 n 阶行列式
定义 2
n 阶行列式由 n 2 个元素排成 n 行 n 列，记为
a11 D a21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
返回啦！
1.2
行列式的性质与计算
学习重点
n阶行列式的性质 性质的灵活应用
性质一：
a11 a 21 a n1 a12 a 22 an 2 a1 n a2n a nnn
先了解：
D
行与列对调后得
a11 D a12 a1 n
a 21 a 22 a2n
a n1 an 2 a nn
或者记作 DT
T 称 D 为行列式 D 的转置行列式。
二阶行列式的定义 定义1 记号
a 11 a 21
a 12 a 22
叫做二阶行列式，它表示代数式
a a a a 11 22 12 21，即：
a 11 a 21
a 12 a a a a 11 22 12 21 a 22
其中： 横排称行，竖排称列.
a ,a ,a ,a ( i 1 , 2 ;j 1 , 2 ) ij 11 12 21 22称为行列式的元素，一般用 a
132 5
几类特殊的行列式
a11 D a 21 a n1 0 a 22 an2 0 0 a nn
源自文库
a11 D 0 0
a12 a 22 0
a1 n a2n a nn
下三角形行列式
a11 D 0 0 0 a 22 0 0 0 a nn
上三角形行列式
对角行列式
1 a 结果都等于主对角线元 素相乘。Da 12 2 a n n
二阶行列式常用符号D2表示。
因此：根据二阶行列式的定义，二元一次方程组的解又可记作：
b 1 b x 2 1 a 1 1 a 2 1 a 1 2 a D 2 2 1, a D 1 2 a 2 2 a 1 1 a 1 x 2 2 a 1 1 a 2 1 b 1 b D 2 2 a D 1 2 a 2 2
推论 如果行列式其中有两行（或列）完全相同，那么行 列式的值为零. D 事实上．交换相同的两行，由性质2得， D ， D0
性质三：
行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数 ，等 于用数 乘此行列式 。
a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33
a A a A a A 11 11 12 12 13 13
例4 写出四阶行列式的元素 a 32 的余子式和代数余子式.
2 14 8 1 5 9 12 2 1 6 9 4 7 3 13 11
解
M 32
二元线性方程组
当 a a a a 0 时，得 11 22 12 21
•
b a b a b a b 1 22 2a 12 11 2 21 1 ， x x 1 2 a a a a a a a 11 22 12 21 11 22 a 12 21
• 计算 • 为了便于记忆，我们引进二阶行列式的概念.
注意：D
D1
系数行列式
第一未知元行列式 第二未知元行列式
D2
例1
1 5 计算二阶行列式 D 3 4 。
解
由定义知
D 1 4 5 3 11
主对角线元素之积减去 副对角线元素之积 ——对角线法则
x1 x 2 3 例 2 用二阶行列式求解方程组 2 x1 3x 2 4
利用代数余子式 n 阶行列式 D 可以计算得(称作按第一行/列展开)：
D a11 A11 a12 A12 a1n A1n a1 j A1 j
j 1
n
或
a11 A 11 a21 A 21
an1 An1 ai1 Ai1
i 1
n
例3
当 n 3 时，写出其计算公式
显然，
T DD
对于n阶行列式，可以用数学归纳法加以证明。
性质二：
互换行列式的两行（列）的位置，行列式仅改变符号。
例如，二阶行列式
a a D 11 12 a a a a 11 22 12 21 交换两行后得到的行列式 a a 21 22
a 21 a 22 a a a a D 21 12 22 11 a a 11 12
2 1 7 14 6 3 1 4 11
2 1 7 A 1 )32M 14 6 3 32 ( 32 1 4 11
例5
根据定义计算行列式的值
1 2 3 0 0 0 0 1 3 1 0 0 0 0 1 2
a
j 1
n
1j
A1 j
0 1 0 2 0 0 解 D4 1 ( 1)11 0 0 1 3 ( 1)1 3 3 0 1 1 0 2 0 1 2
① aij (i, j 1,2,3,, n) …… n 阶行列式第 i 行第 j 列上的元素； ② M ij ……在 n 阶行列式中划去元素 aij 所在的第 i 行第 j 列后 得到的 (n 1) 行列式，称为元素 aij 的余子式；
i j ③ Aij (1) M ij ……元素 aij 的代数余子式；
第一讲 行列式与矩阵
n阶行列式的概念 行列式的性质与计算 Cramer法则 矩阵及其计算
逆矩阵
矩阵的初等变换及矩阵的秩
1.1
n阶行列式的概念
学习重点
n阶行列式的概念 余子式与代数余子式的概念
一、行列式的引入
• 引例：用加减消元法求解
a x x2 b 11 1 a 12 1 a21x x2 b 1 a 22 2
表明行与列是对等的，行具有 的性质，列也具有
性质：行列式转置后，其值不变。 即： T DD 例如，二阶行列式
a 11 a 12 D a a a a 11 22 12 21 a a 21 22
a 11 a 21 D a a a a 11 22 12 21 a a 12 22
T
解 由于 D
D1 3 4
1 1 5 0 2 3
1 5, 3 D2 1 2 3 10 4
因此
x1
D1 D 1 ， x2 2 2 D D
二、 n 阶行列式
定义 2
n 阶行列式由 n 2 个元素排成 n 行 n 列，记为
a11 D a21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
返回啦！
1.2
行列式的性质与计算
学习重点
n阶行列式的性质 性质的灵活应用
性质一：
a11 a 21 a n1 a12 a 22 an 2 a1 n a2n a nnn
先了解：
D
行与列对调后得
a11 D a12 a1 n
a 21 a 22 a2n
a n1 an 2 a nn
或者记作 DT
T 称 D 为行列式 D 的转置行列式。
二阶行列式的定义 定义1 记号
a 11 a 21
a 12 a 22
叫做二阶行列式，它表示代数式
a a a a 11 22 12 21，即：
a 11 a 21
a 12 a a a a 11 22 12 21 a 22
其中： 横排称行，竖排称列.
a ,a ,a ,a ( i 1 , 2 ;j 1 , 2 ) ij 11 12 21 22称为行列式的元素，一般用 a
132 5
几类特殊的行列式
a11 D a 21 a n1 0 a 22 an2 0 0 a nn
源自文库
a11 D 0 0
a12 a 22 0
a1 n a2n a nn
下三角形行列式
a11 D 0 0 0 a 22 0 0 0 a nn
上三角形行列式
对角行列式
1 a 结果都等于主对角线元 素相乘。Da 12 2 a n n