材料力学第六章弯曲时的变形

ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
q
wmax B
边界条件为 :
x l ,时 w 0
A
梁的转角方程和挠曲线方程分 别为:
A
x
B
l
q (6lx 2 4 x 3 l 3 ) 24 EI
( F1 , F2 , , Fn ) 1 ( F1 ) 2 ( F2 ) n ( Fn )
w( F1 , F2 , , Fn ) w1 ( F1 ) w2 ( F2 ) wn ( Fn )
2、结构形式叠加（逐段刚化法）
F q
1、积分一次得转角方程
EIw M ( x )d x C1
2、再积分一次, 得挠度方程
EIw M ( x )dxdx C1 x C 2
二、积分常数的确定
1、边界条件
2、连续条件
在简支梁中, 左右两铰支座处的 挠度 w A 和 w B 都等于0.
A B
wA 0
在悬臂梁中,固定端处的挠度 和转角 A 都应等于零.
形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆
受到的冲击和振动作用.
F 2
F 2
F
二、基本概念
1、挠度 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x 轴方向的线位 移,称为该截面的挠度.用w表示.
w
A C B x w挠度 C'
B'
2、转角 横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角. 用 表示
最大转角和最大挠度分别为:
RA
RB
qx w (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
max
ql A B 24 EI
x l 2
3
在梁跨中点 处有最大挠度值 wmax w
5ql 384 EI
4
例题3:图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中 力F的作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大 挠度和最大转角. F
3 ml ( ql 24 EI 6 EI 3

Aq
C l
B

Bq
wCq
) m
(c) A B

Bm
)

Am
C l
wCm
例题6:试利用叠加法,求图 所示抗弯刚度为EI的简支
A
q C B
梁跨中点的挠度 wC 和两端
截面的转角 A , B .
A C
l/2 l
q/2
解:可视为正对称荷载与反
第六章
§6–1 §6–2 §6–3 §6–4 §6–5 §6–6
弯曲变形
基本概念及工程实例 挠曲线的微分方程 用积分法求弯曲变形 用叠加法求弯曲变形 静不定梁的解法 提高弯曲刚度的措施
§6–1 基本概念及工程实例
一. 工程实例
(Deflection of Beams)
A
B
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变
就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加. 当
每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿v 轴方向), 其转角 是在同一平面内(如均在 xy 平面内)时,则叠加就是代数和. 这就 是叠加原理.
1、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形
等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和.
B
x
C C'
转角
w挠度
挠曲线

B
5、挠度和转角符号的规定 挠度:向上为正,向下为负.
转角:自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负.
w
A
C C'
B
x
w挠度
挠曲线

转角
B
§6–2 挠曲线的微分方程
一、推导公式
1、纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影响, 则:
将 x = 0 和 x = l 分别代入转角方程左右两支座处截面的转角
Pab( l b ) A 1 | x 0 6lEI Pab( l a ) B 2 | x l 6lEI
当 a > b 时, 右支座处截面的转角绝对值为最大
max
Pab( l a ) B 6lEI
m
q A C l B
解：将梁上荷载分为两项简单 的荷载,如图所示
m
A
q C B
w C w Cq w Cm
5ql ml ( 384 EI 16 EI
4 2
(a)
l
)
(b) A
q
θ A θ Aq θ Am
ml ql ( )( 24 EI 3 EI θ B θ Bq θ Bm
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程
(6.5)
近似原因 : (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了 w2项;
(3) tg w w( x )
§6–3 用积分法求弯曲变形
一、微分方程的积分
M ( x) w EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M ( x )
wB 0
wA
A B
wA 0
A 0
例题1:图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一
集中力 F 作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其
最大挠度 w 和最大转角 w
A
max
max
F
B x
l
w
F
A B
x
解： (1) 弯矩方程为
x
M ( x ) F (l x )
积分法的原则 对各段梁,都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上 的外力来写弯矩方程的.所以后一段梁的弯矩方程包含 前一段梁的弯矩方程.只增加了(x-a)的项. 对(x-a)的项作积分时，应该将(x-a)项作为积分变量.从
而简化了确定积分常数的工作.
§6–4 用叠加法求弯曲变形
一、叠加原理 ：
梁的变形微小, 且梁在线弹性范围内工作时, 梁在几项荷载 (可以是集中力, 集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角，
梁中点 C 处的挠度为
2 Fb Fbl wC (3l 2 4b 2 ) 0.0625 48 EI EI
2 Fb Fbl 2 2 3 y | ( l b ) 0.0642 w max x x1 EI 9 3lEI
结论: 在简支梁中, 不论它受什么荷载作用, 只要挠曲线上无 拐点, 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替, 其精 确度是能满足工程要求的.
w
A C' C B x w挠度（

B
转角
3、挠曲线 :梁变形后的轴线称为挠曲线 .
挠曲线方程为:
w f ( x)
式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度. w
A C'
挠曲线
C
B
x w挠度（

B
转角
4、挠度与转角的关系：
w
A
tg w ' w '( x )
2 2
转角方程
挠度方程
b x F ( x a) C 2x D 2 EIw 2 F l 6 6
3
3
D点的连续条件: 在x=a处
w2 w1 w1 w2
F
RA
A
1
D
2
RB
B
边界条件: 在 x = 0 处， w1 0 在 x = l 处， w2 0 代入方程可解得:
A D B b
a l
解: 梁的两个支反力为
x
b RA F l a RB F l
两段梁的弯矩方程分别为
F RA
A x l 1 D 2
RB
B
a
b
b M 1 RA x F x l
(0 x a ) (a x l )
b M2 F x F ( x a) l
两段梁的挠曲线方程分别为： 1 ( 0 x a) 挠曲线方程
qa 3 3 EI
2
w PC
Fa 3 6 EI
C a a
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wqC
F
A
5qa 4 24 EI
=
B
(3)叠加
A PA qA
q A B
a (3 F 4qa ) 12 EI
5qa 4 Fa 3 wC ( ) 24 EI 6 EI
2
+
例题5:一抗弯刚度为 EI 的简支梁受荷载如图 所示.试按叠加原 理求梁跨中点的挠度 wC 和支座处横截面的转角 A , B 。
a
b
l
D1 D 2 0
Fb 2 2 (l b ) C1 C 2 6l
1
(0 x a )
Fb 2 2 2 ( 1 w1 l b 3x ) 6lEI Fbx 2 2 [ l b x 2] w1 6lEI
2
(a x l )
Fb l 1 2 2 2 2 [ ( x a ) x ( l b )] 2 w 2' 2lEI b 3 Fb l 3 3 2 2 [ ( ( x a ) w2 x l b ) x] 6lEI b
例题2:图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为q 的
均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其
max 和 wmax
q A B
l
q
解: 由对称性可知，梁的 两个支反力为
A x
B
ql RA RB 2
RA
l
RB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql q 2 M ( x) x x 2 2 ql q 2 EIw x x 2 2
x 0,
将边界条件代入(3)
(4)
w 0
(4)两式中,可得：
C1 0
2 3
C2 0
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
Fx 2 EIw Flx 2
Flx Fx EIw 2 6
y A
F
B x
wmax
l
max
max 和 wmax都发生在自由端截面处
Fl 2 Fl 2 Fl 2 （ ） max | x l EI 2 EI 2 EI Pl 3 wmax w | x l （ ） 3 EI
A
C a a
B
1、 按叠加原理求A点转角和C点挠 度. 解:(1)载荷分解如图
F
A
=
B
(2)由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形.
q
A B
PA
Fa 4 EI
qa 3 3 EI
2
w PC
Fa 3 6 EI
+
qA
wqC
5qa 4 24 EI
F q
A
B
PA
Fa 4 EI
(1)
l
(2) 挠曲线的近似微分方程为
EIw '' M ( x ) Fl Fx (2)
对挠曲线近似微分方程进行积分
Fx 2 EIw ' Flx C1 (3) 2 2 3 Flx Fx EIw C 1x C 2 2 6
(4)
Fx 2 EIw Flx C1 (3) 2 2 3 EIw Flx Fx C 1x C 2 2 6 边界条件为 : x 0, w 0
1
1 M ( x) ( x) EI
2、由数学得到平面曲线的曲率
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w ) | w | (1 w )
2 3 2

M ( x) EI
在规定的坐标系中,x 轴水平向右
为正, w轴竖直向上为正. 曲线向下凸时: 曲线向上凸时,
w
M
M
w 0 M 0
M 0 w 0
M M
w
因此,
w 与 M 的正负号相同
O
M 0 w 0
x x
O
w 0 M 0
w (1 w )
2
2
3
2
M ( x) EI
v' 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
M ( x) w" EI
b EIw 1 M 1 F x l
b x2 EIw F C1 l 2 b x EIw1 F C1 x D1 l 6
3
转角方程
挠度方程
2 (axl )
挠曲线方程
b EIw 2 M 2 F x F ( x a ) l
b x F ( x a) C2 EIw 2' F l 2 2
简支梁的最大挠度应在
w' 0 处
先研究第一段梁,令 w1 0 得
Fb 2 2 (l b 3 x 2) 0 1 w 1' 6lEI
l 2 b2 a (a 2b ) x1 3 3
当 a > b时, x1 < a 最大挠度确实在第一段梁中
2 Fb Pbl 2 2 3 w | ( l b ) 0.0642 w max x x1 EI 9 3lEI