第12章 真空中的静电场

思考题12-1. 怎样认识电荷的量子化和宏观带电体电量的连续分布？答：常见的宏观带电体所带的电荷远大于基本电荷量，在一般灵敏度的电学测试仪器中，电荷的量子性是显示不出来的.因此在分析带电情况时，可以认为电荷是连续分布的.这正像人们看到流水时，认为它是连续的，而并不感觉到水是由一个个分子、原子等微观粒子组成的一样.12-2. 两个完全相同的均匀带电小球，分别带电量q1=2C正电荷，q2=4C负电荷，在真空中相距为r且静止，相互作用的静电力为F.（1）今将q1、q2、r都加倍，相互作用力如何变？（2）只改变两电荷电性，相互作用力如何变？（3）只将r增大4倍，相互作用力如何变？（4）将两个小球接触一下后，仍放回原处，相互作用力如何变？（5）接上题，为使接触后，静电力大小不变应如何放置两球？答：（1）作用力不变.（2）作用力不变.（3）作用力变为F／25，方向不变.（4）作用力大小变为F／8，方向由原来的吸引变为推斥（接触后电量先中和，后多余电量等分）.12-3. 若通过一闭合曲面的E通量为零，则此闭合曲面上的E一定是（1）为零，也可能不为零；（2）处处为零.答：为零，也可能不为零, 因为通量除了和电场强度有关，还和电场与曲面的夹角有关.12-4. 比较场与实物的同和异？答：同：都是物质存在的形式，客观存在并能为人所认识；存在的形式都具有多样性；都有质量、能量、动量、角动量；进行的物理过程，也遵从质量守恒、能量守恒、动量守恒和角动量守恒等普遍规律；都不能创生，不能消灭，只能从一种形式转变为另一种形式.异：实物由原子分子组成，具有不可入性.而场所占据的空间能为其他场同时占有，且互不影响；实物的质量密度较大（103千克/米3），场的质量密度很小（10-23千克/米3）；实物不能达到光速，场一般以光速传播，实物受力可产生加速度，场不能被加速；实物可作参考系，场不能当参考系.12-5. 能否单独用电场强度来描述电场的性质？为什么要引入电势？答：可以只用电场强度来描述电场性质.但是，引入电势后，即可从不同角度加深对电场的认识，也可简化运算，因为电势V是标量，一般情况下计算V比计算E方便，求得V后根据E=-grad V，即可得电场强度E了.12-6. 电势零点的选择是完全任意的吗？答：由定义来看，电势只具有相对值，从此意义上说，电势零点选择是完全可以任意的.但在理论研究中，往往要采用一些抽象模型，如无限大带电体、点电荷等，在这种情况下，电势零点就有一定的限制，即必须使得电场中个点的电势具有确定的值，这才有物理意义.例如，无限大均匀带点平面，由于电荷分布在无限范围，就不能选无限远处的电势为零，通常选带电平面本身的电势为零.又如点电荷，因为电荷集中在一个点上，因此不能选点电荷本身作为电势零点，而通常选无限远处为电势零点.无限长带电直线的电势零点，既不能选在其本身上，也不能选无限远处，只能选空间中的其他任意点.实际问题中常以大地或电器的金属外壳为电势零点.另外电势零点选择应尽量使计算简单.12-7. 电势与场强的关系式有积分形式和微分形式.计算时在怎样的情况下使用较方便. 答：电势与场强的关系有 微分形式：V gradV -∇=-=E 积分形式：⎰∞⋅=aa V l E d当场强分布已知或带电系统的电荷分布具有一定对称性，因场强较易用高斯定理求出，用积分形式计算电势方便.当带电系统的电荷分布已知，电荷分布的对称性又不明显时，易用电势叠加法，即⎰⎰==rq V V 04d d πε计算电势，再用微分式计算场强方便.12-8. 假如电场力作功与路径有关，定义电势的公式⎰∞⋅=aa V l E d 还有没有意义？从原则上讲，这时还能不能引入电势的概念？答：加入电场力的功和路径有关，那么积分⎰∞⋅=aa V l E d 在未指明积分路径以前就没有意义，因为它与路径有关，路径不同，积分的结果也不同，相同的初位置，可以有无限多积分值，则⎰∞⋅=aa V l E d 就没有确定的意义，即不能根据它引入电势的概念.12-9. 怎样判断电势能、电势的正负与高低？答：判断正负，必须首先选定参考零点.将给定电荷（可正可负）移至零点，根据电场力做功的正负，决定该电荷在给定点电势能的正负；将单位正电荷（必须是正）从给定点移至零点，电场力做功的正负，决定给定点电势的正负.比较高低，与零点选择无关.将给定电荷（可正可负）从A 点移至B 点，若电场力作正功，则W A >W B ，电场力作负功，W A <W B .将单位正电荷（必须是正）从A 移至B ，电场力作正功，V A >V B ；电场力作负功，V A <V B .12-10、库仑定律与高斯定理、环路定理的关系.答：库仑定律是直接从实验中总结出来的，是整个静电学理论的实验基础.由于它只是从电荷相互作用的角度研究静电现象，局限性较大，只适用于相对静止的点电荷的场.高斯定理和环路定理是库仑定律的推论，由于它们是用场的观点，从两个不同的侧面，对静电场的基本性质给出了完整的描述，适用于一切场源电荷激发的场.当然，从另外一个角度，也可以先从实验中总结出高斯定理和环路定理，再由它们导出库仑定律.比如，可根据实验空腔导体内不带电的实验，得到高斯定理.再把高斯定理用于中心置一点电荷的闭合球面，即可导出库伦定律.因此高斯定理和环路定理又叫做静电场的第一、第二定律，这时库仑定律就只处于一种推论的地位.习题12-1. 一长为L ，电量为q 的均匀带电细棒，其中垂线上置一点电荷q 0，求它们之间的库仑力.解：将该带电细棒分成一系列的线段元，任取一距o 为x ，长为d x 的线段元，则其带电量d q 为：d q =λd x （λ为电荷线密度），它与q 0的库仑力的大小为:)(4d )(4d d 22002200a x xq a x q q F +=+=πελπεd F 的方向如图所示由于对称性, d F x 相互抵消, d F y 相互加强.12-2. 电子所带电量（基本电荷-e ）最先是由密立根通过油滴实验测出的，其实验装置如图所示.一个很小的带电油滴在电场E 内，调节E 的大小，使作用在油滴上的电场力与油滴的质量平衡.如果油滴的半径为41064.1-⨯cm ，平衡时E =51092.1⨯N/C ，油的密度为0.851g/cm 3,求油滴上的电荷.θcos d d ⋅=F F x 22220)(4d sin d d a x aa x x q F F y +⋅+=⋅=πελθ⎰⎰-+==2/2/2/32200)(4d d L L y a x xa q F F πελ22222004L L a x a x a q -+=πελ220)2/(41a L a L-=λπε解：没油滴的电量为Q ，体密度为ρ，半径为R （设油滴所带电量为体分布），这时的电场力和重力分别为F 和G由F =G 得：EQ =mg =g R 334ρπ ()533631092.138.910851.0106.1434⨯⨯⨯⨯⨯⨯==∴-πρπE g R Q 198.0210C -=⨯12-3. 利用带电量为Q 、半径为R 的均匀带电圆环在其轴线上任一点的场强公式()232204xR Qx E +=πε推导一半径为R 、电荷面密度为σ的均匀带电圆盘在其轴线上任一点的场强，并进一步推导电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面的场强.解 设盘心O 点处为原点，x 轴沿轴线方向，如图12-10所示，在任意半径r 处取一宽为d r 的圆环，其电量r r q d 2dπσ=图 12-2题()232204d d x r q x E +=πε()23220d 2x r rr x +⋅=εσ ()⎰⎰+==R x r rr x E E 023220d 2d εσ Rx r x022012⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=εσ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=220112x R x xεσ 当 R →∞时，即为“无限大”带电平面 220εσεσ±==x x E 一半径为R 的均匀带电圆环，电荷总量为q .（1）求轴线上离环中心O 为x 处的场强E ；（2）求O 点及x>>R 处的场强以及最大场强值及其位置12-4. 将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为λ ，四分之一圆弧AB 的半径为R ，试求圆心O 点的场强．解：在O 点建立坐标系如下图所示.OA∞∞图 12-4题半无限长直线A ∞在O 点产生的场强：()j i E -π=R014ελ半无限长直线B ∞在O 点产生的场强：()j i E +π=-402Rελ四分之一圆弧段在O 点产生的场强：()j i E +π=R034ελ由场强叠加原理，O 点合场强为：)(410321j i E E E E +=++=Rπε12-5. 真空中一立方体形的高斯面,边长a ＝0.1 m ，位于图中所示位置．已知空间的场强分布为： E x =bx , E y =0 , E z =0． 常量b ＝1000 N/(C ·m)．试求通过该高斯面的电通量．BA∞图 12-5题解：如下图所示通过x ＝a 处平面1的电场强度通量Φ1 = -E 1 S 1= -b a 3通过x = 2a 处平面2的电场强度通量Φ2 = E 2 S 2 = 2b a 3其它平面的电场强度通量都为零．因而通过该高斯面的总电场强度通量为123321=+-=+=ba ba ΦΦΦ (N ·m 2/C)12-6. 如图所示，有一三棱柱放在电场强度为 i E 200=N/C 的匀强电场中.求通过此三棱柱的电场强度的通量.解：三棱柱的闭合曲面有五个面组成：abcda S ：1，abea S ：2，dcfd S ：3，adfea S ：4，befcb S ：5，通过各个面的电场强度通量为abcda S ：1面： 111cos ES ES Φ-==π abea S ：2面： 02/cos 22==πES Φ图 12-6题dcfd S ：3面： 02/cos 33==πES Φ adfea S ：4面： 02/cos 44==πES Φbefcb S ：5面： 155cos ES ES Φ==θ因而通过闭合三棱柱的电场强度的通量为01154321＝＋＝－＋＋＋＋＝ES ES ΦΦΦΦΦΦ即，在均匀电场中，穿入三棱柱的电场线与穿出三棱柱的电场线相等，故通过闭合三棱柱的电场强度的通量为零.12-7.一带电细线弯成半径为R 的半圆形，其电荷线密度为λ=λ0sin θ，式中θ为半径R 与x 轴所成的夹角，λ 0为一常数，如图12—7所示，试求环心O 处的电场强度.解： 在θ处取电荷元，其电量为l q d d 0λ=θθλd sin 0R =它在O 点处产生的场强为204d d R qE πε=R 004d sin πεθθλ= 在 x 、y 轴上的两个分量θcos d d E E x -=， θsin d E E d y -=⎰=-=πθθθπελ0000d cos sin 4R E x图 12-7题yRR E y 0002008d sin 4ελθθπελπ-=-=⎰ 所以j i E y x E E +=j Rλ008ε-= 12-8. 一对无限长的共轴直圆筒，半径分别为R 1和R 2，筒面上都均匀带电，沿轴线单位长度的电量分别为η1和η2.（1）求各区域内的场强分布；（2）若η1= -η2,则场强的分布情况又如何？画出E -x 曲线.解：如图所示，将空间分成1，2，3三区域（1）1区域内（r<R 1）:01=E2区域（R 1<r <R 2）:rE s E rhh r E q s012022d πεηεηπε==⋅⋅=⋅⎰当1η>0时，2E 的方向与r 方向一致,当1η<0时，2E 的方向与r 方向相反. 3区域（r ＞R 2）:r E r02132πεηη+=当21ηη+>0时，3E 的方向与r 方向一致， 当21ηη+<0时，3E 的方向与r 方向相反.（2）若21ηη-=时，则1E ，2E 不变21ηη+=003=EE-r 曲线如图：12-9. 半径为R 的带电球，其体密度()R r /10-=ρρ，0ρ为常量，r 为球内任意点至球心的距离.试求（1）球内外的场强分布；（2）最大场强的位置与大小.解：（1）()R r /10-=ρρ ，ρ与r 是线性关系，在球内过P 0点做一个半径为r 的带电球同心的球面为高斯面如图所示，根据对称性分析此球面上的场强大小相等，方向与r 的一致由高斯定理：⎪⎭⎫⎝⎛-=∴⎪⎭⎫⎝⎛-=∴⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⋅=⋅⎰⎰⎰R r r E R r r E r R r r rr R r q E r qrSS 431334434d 414d d 000302302002ερεπρππρπρπε内内内S E S E当r >R 时，即在球外过任一点P 仍作球形高斯面, 由高斯定理得0max 02030300230300293202313d )2(1231431d 414d ερερερπρεππρπρπR E R r R r drE r R E R E r R r r R r q E r R ==∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∴=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⋅⎰⎰内外外外S Er 越大，外E 单调减小，因而球外场无极值.12-10. 设有一无限长均匀带电平板，单位面积上的电荷，即电荷面密度为σ，求距离平板为r 处的电场强度.解：由于带电平板无限长，且电荷均匀分布，所以带电平板两侧电场的分布具有对称性，所以场强沿垂直于该平面，而且在距平面等距离的各点的场强的大小相等.如图作圆柱面为高斯面，此圆柱面穿过带电平面，且对带电平面是对称的.其侧面的法线方向与场强垂直，而通过圆柱侧面的电场强度的通量为零；由于场强与两个底面垂直，所以通过圆柱的两个底面的电通量为ES .又此高斯面所包围的电量为σS ，所以根据高斯定理有0/2εσS ES =由此可知，电场强度为2εσ=E 即无限大均匀带电平面的场强与场点到平面的距离无关，而且场强的方向与带电平面垂直.无限大带电平面的电场是匀强电场.12-11. 两个带等量异号电荷的无限大平行平面的电场.解：有题12-10可知，在两平面之外，0＝E在两平面之内，0022εσεσεσ=+=E 方向有带正电的平面指向带负电的平面.12-12. 两平行等大的导体板，面积S 的线度远远大于板的厚度和两板间的距离，两板分别带有电荷Q1、Q2如图所示.求两板各表面的电荷分布.解：设两导体板四个表面的面电荷密度分别为σ1、σ2、σ3、σ4，如图所示.依题意，图 12-12题可视为四个无限大的均匀带电平面.选取水平向右为正方向，根据导体静电平衡时，导体内的场强处处为零的条件及无限大的均匀带电平面的场强公式和场强迭加原理可得左边导体板内任意一点P 1点的场强为.02222040302011=---=εσεσεσεσP E ① 同理可得右边导体板内任意一点P 2点的场强为02222040302012=-++=εσεσεσεσP E ② 根据电荷守恒定律可得　121Q S S =+σσ ③ ２４３Q S S =+σσ ④联立求解③~④式得SQ Q 22141+==σσ ⑤ SQ Q 22132-=-=σσ ⑥ 由此结果可知：两板相对两面总是带等量异号电荷；相背两面总是带等量同号电荷. 讨论：1）当Q 1=-Q 2=Q 时，由⑤、⑥两式可得41σσ==0SQ =-=32σσ 这说明相背两面无电荷分布，两板所带电荷全部集中到相对的两面上. 2）当Q 1=Q 2=Q 时，由⑤、⑥两式得σ1=σ4=SQ σ1=－σ2=0这说明相对面上无电荷分，两板所带电荷全部集中到相背的面上. 3）当Q 2=0时、由⑤、⑥两式得2S 141Q ==σσ 2S132Q=-=σσ在本题己求出电荷分布，读者可用电场线画出电场分布.12-13. 半径为R 、长为τ的均匀带电圆柱体，电荷体密度为0ρ，求圆柱体轴线上O 点的场强.设O 点离圆柱体近端的距离为b ，如图12—13所示.解：用积分法求解这题目时，如取点电荷为积分元，则要用三重积分.但是我们取圆盘为积分元，用圆盘在轴线上一点产生的场强的公式，只要计算定积分就可以求得圆柱体轴线上一点的场强.如图12-13取坐标，距O 点的距离y 处，一厚度为d y 的圆盘在O 点产生的场强的大小02d εσ=E ]1[22yR y+-方向与Y 轴相反，式中σ是厚度为d y 的圆盘上的电荷面密度，σ和圆柱体的电荷密度0ρ图 12-13题的关系=σ220d R yR ππρ=y d 0ρ 所以有dE =⎰=E d ⎰+bby τερ002d ]1[22y R y+-=⎰+-τερb by02d ⎰++τερb byR yy 2002d=2ερ[-τ+++22)(b R τ22b R +]12-14. 如图所示，在电矩为p 的电偶极子的电场中，将一电荷为q 的点电荷从A 点沿半径为R 的圆弧(圆心与电偶极子中心重合，R >>电偶极子正负电荷之间距离)移到B 点，求此过程中电场力所作的功．解：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势()304/r V επ=⋅r p式中r为从电偶极子中心到场点的矢径． 于是知： A 、B 两点电势分别为()204/R p V A επ-=()204/R p V B επ= ()p =pq 从A 移到B 电场力作功(与路径无关)为图 12-14题()()202/R qp V V q A B A επ-=-=12-15. 图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为ρ ，球层内表面半径为R 1，外表面半径为R 2．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势．解： 由高斯定理可知空腔内E ＝0，故带电球层的空腔是等势区，各点电势均为V . 在球层内取半径为r →r ＋d r 的薄球层．其电荷为r r q d 4d 2π=该薄层电荷在球心处产生的电势为 ()00/d 4/d d ερεr r r q V =π= 整个带电球层在球心处产生的电势为 ()21220002d d 21R R r r V V R R -===⎰⎰ερερ因为空腔内为等势区所以空腔内任一点的电势V 为 ()2122002R R V V -==ερ 若根据电势定义⎰⋅=l E d V 计算，也可.12-16.一电量为q =C 105.18-⨯的点电荷，试问；（1）电势为30V 的等势面的半径为多大？（2）电势差为1.0V 的任意两个等势面，其半径之差是否相同？设0U =∞ （8分）图 12-15题解：（1）选无限远为电位参考点，据点电荷电势公式rq V 04πε=得米5.430105.11094890=⨯⨯⨯==-Vq r πε （2）设半径差为r ∆，则r 2-r 1=r ∆ 根据电势差公式得：()()12121010011110444140.1114r q r r q r q r r qr r r rU r r r q U -=∆∴=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆=∆+∆∴=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-=πεπεπεπεπε伏从上式看出，当r 1取不同值时，r ∆值不等.12-17. 图中所示为一沿x 轴放置的长度为l 的不均匀带电细棒，其电荷线密度为λ＝λ0(x -a )，λ0为一常量．取无穷远处为电势零点，求坐标原点O 处的电势．解：在任意位置x处取长度元d x ，其上带有电荷d q = λ0 (x －a )d x ， 它在O 点产生的电势x图 12-17题()xxa x V 004d d ελπ-=O 点总电势⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π==⎰⎰⎰++l a a l a a x x a x V V d d 4d 00ελ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-π=a l a a l ln 40ελ 12-18. 两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为R 1＝0.03 m 和R 2＝0.10 m ．已知两者的电势差为450 V ，求内球面上所带的电荷．解：设内球上所带电荷为Q ，则两球间的电场强度的大小为204r QE επ=(R 1<r<R 2)两球的电势差 ⎰⎰π==21212012d 4d R R R R r r Q r E U ε⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π=210114R R Q ε ∴ 12122104R R U R R Q -π=ε＝2.14×10-9 C12-19、半径为R 的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ.以轴线为电位参考点，求其电位分布.解：用高斯定理求出场强的分布：图 12-19题r r r r R 0022;2ερερ==内外E E以轴线为电位参考点得12-20、如图所示，半径为R 1和R 2的两个同心球面均匀带电，电量分别为Q 1和Q 2.（1）试求区域1，2，3中的电势；（2）讨论Q 1=-Q 2和Q 2=-Q 1R 2/R 1两种情况下各区域中的电势，并画出V -r 曲线.解：（1）利用高斯定理求出： ()()()220213212012114;4;0R r rQ Q R r R r Q R r >+=<<=<=r E r E E πεπε 电势分布：()20212021334d 4d R r r Q Q r r Q Q V rr≥+=+=⋅=⎰⎰∞∞πεπεl E 20201244R Q rQ V πεπε+=()122110323141d d d 1212R r R Q R Q V R rR R R ≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅+⋅+⋅=⎰⎰⎰∞πεl E l E l E ()()R r r R R r R R R r r R R V R r r r r r E V R r rr≥⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=+-=≤-===⎰⎰⎰1ln 24ln 24d 244d 2d 0202020202020ερερερερερερερ外内内图 12-20题当Q 2=-Q 1时：V 3=0；⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210112012114;114R R Q V R r Q V πεπε当Q 2=-12R R Q 1时： ()0;114;411012101213=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--=V R r QV r R R R Q V πεπε在此两种情况下的U-r 曲线如图12-21．在一个平面上各点的电势满足下式：21)()(2222y x by x ax V +++=，x 和y 为这点的直角坐标，a 和b 为常数.求任一点电场强度的E x 和E y 两个分量.解：根据V -∇=E ，知：122222222()();()x dU a x y bx x y E dx x y -++=-=+ 1222222[2()].()y dU y ax b x y E dy x y ++=-=+12-22、一高为h 的直解形光滑斜面，斜面倾角为α.在直角顶点A 处有一电量为-q 的点电荷，另有一质量为m 带电量+q 的小球在斜面的顶点B 由静止下滑.设小球可看作质点，试求小球到达斜面底部C 点时的速率.解：因重力和电场力都是保守力，小球从顶点B 到达C 点过程中能量守恒()2102022022124214⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∴-=+-gh tg m h q hctg q m m gh h q απευαπευπε12-23. 长l 厘米的直导线AB 均匀地分布着线密度为λ的电荷.求： （1）在导线的延长线上与导线一端B 相距R 处P 点的场强； （2）在导线的垂直平分线上与导线中点相距R '处Q 点的场强.解：（1）如图12-23（a ）所示，取A 点为坐标原点，向右为x 轴正方向.直导线上任一d x 线元到A 点距离为x ，其电场强度为20)(d 41d R x l xE +-=λπε而各段在P 处产生场强方向相同（沿x 轴正方向），故总场强为)11(4)(41)(d 41d 00020lR R λR x l λR x l xE E llP +-=+-⋅=+-==⎰⎰πεπελπε方向沿x 轴正方向.（2）若以导线AB 中心为坐标原点，如图8—1（b ）所示.dx 线元在Q 点产生的电场为)(d 41d 220R x xE '+=λπε（方向如图所示）由于对称性，其叠加场强沿y 正方向，水平方向相互抵消.在Q 点的场强为⎰⎰-'+'⋅'+⋅==22212222)()(d 41cos d l l Q R x R R x xE E λπεθ222202023220)(2)(d 42ll x R R xR R x x R +''⋅'='+'=⎰πελπελ ()[]21220214l R R l +'⋅'=πελ方向沿y 轴正方向.当导线l 为无限长时，由上式可求得场强为)2/(0R E '=πελ.12-24. 如图题12-4所示，一厚为a 的无限大带电平板，电荷体密度ρ= kx (0≤x ≤a )， k 为一正值常数.求：（1）板外两侧任一点 M 1、M 2的电场强度大小； （2）板内任一点M 的电场强度； （3）场强最小的点在何处.解：（1）在x 处取厚为d x 的平板，此平板带电量图 12-24题xS x q ⋅=d d ρ电荷面密度为 x Sqd d ρσ==则02d εσ=E 02d ερx =02d εxkx =⎰=ax kx E 00d 2ε024εka =（2）板内任一点M 左侧产生的场强方向沿x 轴正向x kx E ad 2001⎰=ε024εkx =M 右侧产生的场强方向沿x 轴负向x kx E ax d 202⎰=ε()0224εx a k -= 所以()220244εεx a k kx E --=()22024a x k-=ε（3）E = 0 时场强最小，即0222=-a x2ax =12-25. 如图所示，圆锥体底面半径为R ，高为H ，均匀带电，电荷体密度为ρ，求顶点A 处的场强.解：在离顶点A 为x 处选厚为d x 的薄圆盘，此圆盘半径为r .由图知RH r x = 即 x HR r =此薄圆盘的带电量x r V q d d d 2ρπρ==电荷面密度σ=电量/面积=x rxr d d 22ρπρπ= 利用均匀带电圆盘在轴线上任一点的场强结果⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=220112R x x x E εσ 可得此薄圆盘在A 点的场强⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=22012d R r x E εσ ()x R H H d 12 220+-=ερx R H H E H d 122200⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰ερ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=22012H R H H ερA图 12-25题此题也可以在柱面坐标系中用三重积分来计算.12-26.一根长为L 的细棒，弯成半圆形，其上均匀带电，电荷线密度为λ+，试求在圆心O 点的电势.解：半圆形导线半径：πLR =O 点电势由电势迭加原理求解.Rq V 04d d πε=， l q d d λ=所以000444d d ελπελπελ====⎰⎰R L R l V V L12-27. 如图12-27所示，在XY 平面内有与Y 轴平行、位于x = a /2和x= -a /2处的两条无限长平行的均匀带电细线，电荷密度分别为λ和-λ，求Z 轴上任一点的电场强度.解：过Z 轴上任一点(0，0，z )分别以两条带电细线为轴作单位长度的圆柱形高斯面，如下图所示，按高斯定理求出两带电直线分别在该处产生的场强大小为图 12-27题)/(210r E πε±=-+式中正负号分别表示场强方向沿径向朝外和朝里，如图所示，按场强叠加原理，该处合场强的大小为θcos 2+=E E ra r 2/0⋅=πελ )4(2220z a a +=πελ方向如图所示或用矢量表示i E )4(2220z a a +-=πελ12-28. 真空中有一高h =20cm 、底面半径R =10cm 的圆锥体.在其顶点与底面中心的中点上置一q =10-6C 的点电荷，求通过该圆锥体侧面的电场强度通量.解：以顶点与底面圆心的中点为球心，22/2)(h R r +=为半径做一球面如下图所示图 12-28题可以看出，通过圆锥侧面的电通量等于通过整个球面的电通量减去通过以圆锥底面为底的球冠面的电通量.整个球面的电通量为00/εq Φ=通过球冠面的电通量001/S S ΦΦ=24)2/(2r h r r qππε-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=220)2/(2/12h R h q ε式中S 为球冠面面积)(2rhr r S -=π，S 0为整球面积. 通过圆锥侧面的电通量102 ΦΦΦ-=22000)2/(42h R qhq q++-=εεε ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=220/2)(2/12h R h q ε/C m N 100.624⋅⨯=12-29.一厚度为d 的无限大平板，均匀带电，电荷体密度为ρ，求空间场强分布. 解：由于电荷分布对无限大平板的中央平面（即图中在x = 0处）而言具有面对称性，因此电场分布对中央平面也具面对性，同时也不难得出在中央平面上各点的场强为零.作如图所示的圆柱形高斯面：圆柱面侧面与中央面垂直，左底面△S 左在中央面上，右底面△S 右与中央面平行，且距离为x ，因电场强度的方向与x 轴平行，所以通过圆柱面的电通量为：(22d x d ≤≤-) (x ≥2d) (r ≤ 2d -)⎰⎰⎰⎰∆∆∆++=⋅右侧左S S S d S E S E S E S E Sd ·d ·d ·=右右S E S E ∆=∆++00而圆柱面所包围的电荷右S x qii∆=∑ρ.根据高斯定理得右右S x S E ∆=∆ρε01x E 0ερ=∴在无限大平板之外，同理可得右右S dS E S∆=∆=⎰21d ·ρεS E ∴ d E 02ερ=综上所述，空间电场的分布为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=i i i E d d x 00022ερερερ用高斯定理求电场的分布，分析电场分布的对称性是关键，但适当选取高斯面也重要，须知，不是选取任意高斯面都能求出具有对称性分布的电场之场强.12-30. 如图所示，AB =2R ，ocd 是以B 点为中心，R 为半径的半圆，A 点有正电荷+q , B 点有负电荷-q .(1) 将正电荷q 0从O 点沿ocd 移到D 点，电场力作功多少？(2) 将负电荷-q 0从D 点沿AB 的延长线移到无穷远点电场力作功多少？电势改变多少？解：由静电场力作功与路径无关的性质，根据静电场力作功与电势差的关系计算之)(0b a ab U U q A -=. (1) 由点电荷的电势公式和电势迭加原理得 O 点的电势：044000=-=Rq Rq V πεπεD 点的电势：Rq Rq Rq V D 0006434πεπεπε-=-=将电荷q 0从D 点沿ocd 移到D 点电场力所作的功为Rqq V V q A D O D 00006)(πε=-=(2) 同理可得将-q 从D 点沿AB 的延长线移到无穷远点，电场力所作的功为C图 12-30题Rqq Rq q V V q A D 0000006)06()(πεπε=---=--=∞∞电势能的改变为Rqq A W W W D D 006πε-=-=-=∆∞∞12-31. 一环形薄片由细绳悬吊着，环的外半径为R ，内半径为R /2，并有电荷Q 均匀分布在环面上．细绳长3R ，也有电荷Q 均匀分布在绳上，如图所示,试求圆环中心O 处的电场强度(圆环中心在细绳延长线上)．解：先计算细绳上的电荷在O 点产生的场强．选细绳顶端作坐标原点O ，x 轴向下为正如下图所示．在x 处取一电荷元 d q = λd x = Q dx/(3R ) 它在环心处的场强为 ()20144d d x R qE -π=ε图 12-31题R3x x()20412d x R R x Q -π=ε整个细绳上的电荷在环心处的场强()2030201164d 12R Qx R x R Q E R εεπ=-π=⎰ 圆环上的电荷分布对环心对称，它在环心处的场强 E 2=0 由此，合场强 i i E 20116RQE επ== 方向竖直向下．12-32．一球体内均匀分布着电荷体密度为 的正电荷,若保持电荷分布不变,在该球体挖去半径为r 的一个小球体,球心为O ',两球心间距离d O O =',如图所示. 求:在球形空腔内,球心O '处的电场强度0E .在球体内P 点处的电场强度E.设O '、O 、P 三点在同一直径上，且d OP =.解：挖去电荷体密度为ρ的小球，以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电场E 1，而另在挖去处放上电荷体密度为-ρ的同样大小的球体，求出电场E 2，并令任意点的场强为此二者的叠加，即可得：210E E E +=在图(a)中，以O 点为球心，d 为半径作球面为高斯面S ，可求出O '与P 处场强的大小.P ρrO O/dd 图 12-32题ρε32113414d d d E Sπ⋅=π⋅=⋅⎰S E 有： E 1O’＝E 1P =d E 013ερ= 方向分别如图所示.在图(b)中，以O '点为小球体的球心，可知在O '点E 2=0. 又以O ' 为心，2d 为半径作球面为高斯面S ' 可求得P 点场强E 2P()032223/)(4)(24d ερ-π=π⋅='⋅⎰'r d E S S E203212dr E Pερ-= (1) 求O '点的场强E O ’, 由图(a)、(b)可得E O ’ = E 1O’ =3ερd方向如图(c)所示.(2)求P 点的场强E P .由图(a)、(b)可得图(d)图(c)2O’=0图(b)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=2302143d r d E E E PP P ερ 方向如(d)图所示.12-33．如图所示，半径为R 的均匀带电球面，带有电荷q ．沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为λ ，长度为l ，细线左端离球心距离为r 0．设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)．解：设x轴沿细线方向，原点在球心处，在x 处取线元d x ，其上电荷为x q d d λ='，该线元在带电球面的电场中所受电场力为：204d d xx q F πελ=整个细线所受电场力为：()l r r lq x x q F l r r +π=π=⎰+000204d 400ελελ 方向沿x 正方向．电荷元在球面电荷电场中具有电势能：xxq dW 04d πελ=x图 12-33题整个线电荷在电场中具有电势能：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+π=π=⎰+0000ln 4d 400r l r q x x q W l r r ελελ。