辽宁省六校协作体2020-2021学年高一上学期第一次联考数学试题
2021届辽宁省六校协作体高三第一次联考数学试题(解析版)
解：第一空：当 时， ，
则 或 ．
即不等式 的解集为 ；
第二空：将 在平面直角坐标系内作出两函数 与 的图象如图，
由图可知，当 时， 与 有两个交点，
即函数 有两个零点，
∴实数 的取值范围是 ．
故答案为： ； ．
【点睛】
本题考查分段函数的应用，考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法与分类讨论的数学思想方法，是中档题．
【答案】0.4
【解析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，结合 ，求得 ，则 可求．
【详解】
随机变量 服从正态分布 ， 其对称轴方程为 ，
又 ， ，
则 ．
故答案为：0.4．
【点睛】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 和 的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
14． 的展开式中 的系数为__________.
本题考查诱导公式，倍角公式在三角运算中的应用，考查了学生计算能力，是中档题．
18．设函数 ，其中 ．
（1）若 ， 且 为R上偶函数，求实数m的值；
（2）若 ， 且 在R上有最小值，求实数m的取值范围；
（3） ， ，解关于x的不等式 ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）答案见解析.
【解析】（1）先由 求得 的值，再根据偶函数的定义验证，得到答案；
【详解】
因为 ，
所以
．
故选： ．
【点睛】
本题考查分段函数的解析式的应用，函数值的求法，考查计算能力．
6．已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函数图象关于原点对称，排除AC，再根据当 从正数趋近于 时，函数值为负数排除D，进而得答案.
辽宁省六校2020-2021学年高三上学期期中联考数学试题
2020-2021学年度（上）省六校高三期中联考数学试题一、单项选择题1. 已知,a b ∈R ，则“20a b +=”是“2ab=-”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件B根据充分条件、必要条件的定义判断即可． 当20a b +=成立时，不妨设0a b ，此时不满足2ab=-， 所以，“20a b +=”不能推出“2ab=-”； 当2ab=-，则有2a b =-，即20a b +=， 所以，“2ab=-”能推出“20a b +=”．因此，“20a b +=”是“2ab=-”成立的必要不充分条件．故选：B ．2. 已知函数()x131f x x 2⎛⎫=- ⎪⎝⎭,那么在下列区间中含有函数()f x 零点的是（ ）A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B由根的存在性定理求端点值的正负性，可知零点所在区间．因为函数()x131f x x 2⎛⎫=- ⎪⎝⎭,是连续单调函数，且()1133111f 010,f 0,323⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 112311111f 0,f f 022232⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴函数f(x)在区间11,32⎛⎫⎪⎝⎭必有零点，故选B ．3. 8122x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项是（ ） A. 235x B. 220x C. 470x D. 435xC根据二项式系数的性质，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值，再根据通项公式可求得结果.由二项式系数的性质，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值，所以二项式系数最大的项是()44445812702T C x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选：C.4. 数列{}n a 满足11a =，对任意*n N ∈，都有11n n a a n +=++，则1299111a a a ++=（ ） A. 9998B. 2C.9950D.99100C首先根据题设条件可得11n n a a n +-=+，然后利用累加法可得(1)2n n n a +=，所以()122211n a n n n n ==-++，最后利用裂项相消法求和即可. 由11n n a a n +=++，得11n n a a n +-=+，则()()()()()1122111112n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-++=，所以1222(1)1n a n n n n ==-++， 12991111111119921212239910010055a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C . 5. 设函数()()2log 1,04,0x x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()()23log 3f f -+=（ ）A. 9B. 11C. 13D. 15B首先根据自变量所属的范围，结合题中所给分段函数的解析式，代入求得结果.∵函数2log (1),0()4,0xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩， ∴()223l log 22og 9(3)log 3log 4224f f ++=-+==2+9=11．故选B ．6. 设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（ ） A. B.C.D.B根据函数为偶函数排除,A C ，再计算11()22ln 30f =>排除D 得到答案.1()ln 1xf x x x +=-定义域为：(1,1)-11()ln ln ()11x xf x x x f x x x-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C11()22ln 30f => ，排除D 故选B 7. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，512BC AC -=.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A. 14-B. 38+-C. 14-D. 48-C先求出1cos 4ACB ∠=，再根据二倍角余弦公式求出cos144，然后根据诱导公式求出sin 234.由题意可得：72ACB ︒∠=，且112cos 4BCACB AC ∠==，所以2211cos1442cos 7212144︒︒⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()sin 234sin 14490cos144︒︒︒︒=+==，故选：C 8. 若23121==>x y z ，则48++x yz xy的取值范围是（ ） A. []1,4 B. [)1,+∞C. ()+∞D. [)4,+∞D首先利用指对互化，得到211x y z +=，变形48++x yz xy后，利用基本不等式求最值.设23121x y x k ===>，所以2log 0x k =>，3log 0y k =>，12log 0z k =>，1log 2k x =，1log 3k y =，1log 12k z=，所以211x y z +=，所以12444z z y x z ⎛⎫++=+≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2z =时，等号成立.故选：D二、多项选择题9. 已知复数()()()32=-+∈z a i i a R 的实部为1-，则下列说法正确的是（ ） A. 复数z 的虚部为5- B. 复数z 的共轭复数15=-z iC. z =D. z 在复平面内对应的点位于第三象限ACD首先化简复数z ，根据实部为-1，求a ，再根据复数的概念，判断选项.()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i =-+=+--=++-， 因为复数的实部是-1，所以321a +=-，解得：1a =-， 所以15z i =--，A.复数z 的虚部是-5，正确；B.复数z 的共轭复数15z i =-+，不正确；C.()()221526z =-+-=，正确；D.z 在复平面内对应的点是()1,5--，位于第三象限，正确.故选：ACD10. 南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”．下图是一种变异的杨辉三角，它是将数列{}n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中{}n a 是集合{220s ts t +≤<，且s ，}t Z ∈中所有的数从小到大排列的数列，13a =，25a =，36a =，49a =，510a =…下列结论正确的是（ ）A. 第四行的数是17，18，20，24B. ()11232-+=⋅n n n aC.()11221-+=+n n a n D. 10016640a =ABD采用逐一验证的方法，利用(,)s t 来表示每一项，寻找规律，可得结果 对于A ：用(,)s t 来表示每一项，则 第一行：3(0,1)， 第二行：5(0,2),6(1,2)， 第三行：9(0,3),10(1,3),12(2,3)，第四行：17(0,4),18(1,4),20(2,4),24(3,4)，故A 正确； 对于B ：()12n n a +表示第n 项第n 列，则()11122232n n n n n a -+-=+=⋅，故B 正确； 对于C ：()112n n a -+表示第n 项第1项，则()10122212n n nn a -+=+=+，故C 错误；对于D ：100a 第14行第9项，所以1100842216640=+=a ，故D 正确，故选：ABD.11. 一组数据12321,21,21,,21n x x x x +++⋯+的平均值为7，方差为4，记12332,32,32,,32n x x x x +++⋯+的平均值为a ，方差为b ，则（ ）A. a =7B. a =11C. b =12D. b =9BD根据所给平均数与方差，可由随机变量均值与方差公式求得E (X )，D (X )，进而求得平均值a ，方差b .12321,21,21,,21n x x x x +++⋯+的平均值为7，方差为4，设()123,,,,n X x x x x =⋯，∴(21)2()17E X E X +=+=，得E (X )=3，D (2X +1)=4D (X )=4，则D (X )=1，12332,32,32,,32n x x x x +++⋯+的平均值为a ，方差为b ， ∴a =E (3X +2)=3E (X )+2=11，b =D (3X +2)=9D (X )=9.故选：BD .12. 在单位圆O ：x 2+y 2＝1上任取一点P （x ，y ），圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记x ，y 关于θ的表达式分别为x ＝f （θ），y ＝g （θ），则下列说法正确的是（ ）A. x ＝f （θ）是偶函数，y ＝g （θ）是奇函数B. x ＝f （θ）在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，为增函数，y ＝g （θ）在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，为减函数 C. f （θ）+g （θ）≥1对于02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立D. 函数t ＝2f （θ）+g （2θ）的最大值为2ACA ，由题可知，()cos x f θθ==，()sin y g θθ==，根据正弦函数和余弦函数的奇偶性，可判断选项A ；B ，根据正弦函数和余弦函数的单调性，可判断选项B ；C ，先利用辅助角公式可得()())4f g πθθθ+=+，再结合正弦函数的值域即可得解；D ，2cos sin2t θθ=+，[0θ∈，2]π，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 解：由题可知，()cos x f θθ==，()sin y g θθ==，即A 正确；()cos x f θθ==在[,0)2π-上为增函数，在[0,]2π上为减函数；()sin y g θθ==在[,]22ππ-上为增函数，即B 错误；()()cos sin )4f g πθθθθθ+=+=+，[0,]2πθ∈，∴3[,]444πππθ+∈)4πθ+∈，即C 正确；函数2()(2)2cos sin 2t f g θθθθ=+=+，[0,2]θπ∈则22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+，令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<，∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，cos θ=时，函数t 取得极大值，为1222t =⨯=又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数t 的最大值为2，即D 错误．故选：AC ． 三、填空题 13. 设随机变量()2,N ξμσ，且()()310.2P P ξξ<-=>=，则()11P ξ-<<=______.0.3.本题首先可根据()()31P P ξξ<-=>得出1μ=-，然后根据正态分布的对称性即可得出结果. 因为()2,N ξμσ，且()()310.2P P ξξ<-=>=，所以1μ=-，()110.50.20.3P ξ-<<=-=， 故答案为：0.3.14. 将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，清华大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有______种 150每所大学至少保送一人，可以分类来解，当5名学生分成2，2，1时，当5名学生分成3，1，1时，根据分类计数原理得到结果． 当5名学生分成2，2，1或3，1，1两种形式，当5名学生分成2，2，1时，共有2235331902C C A =种结果，当5名学生分成3，1，1时，共有3135231602C C A =种结果，∴根据分类计数原理知共有9060150+=种.故答案为：150．15. 已知0a >，1a ≠，若函数()()2log a f x ax x =-在[]3,4是增函数，则a 的取值范围是______．()1,+∞对参数a 分类讨论，结合对数函数单调性和二次函数单调性，即可列出不等式求得结果，注意函数定义域即可.当1a >时，log a y x =是单调增函数，要满足题意， 则有：2t ax x =-在[]3,4是单调增函数，且其最小值大于零.故132a≤且930a ， 解得13a >，又1a >，故此时()1,a ∈+∞；当01a <<时，log a y x =是单调减函数，要满足题意， 则须：2t ax x =-在[]3,4是单调减函数，且其最小值大于零. 故142a≥，且1640a ->， 不等式无解.综上所述，()1,a ∈+∞. 故答案为：()1,+∞.16. 设m ，n R ∈，那么22()()n m m e n e -+-的最小值是__________． 2由题意，令ln n t =，原式可化为22()(ln )m m t e t -+-，其几何意义是动点(,)m m e 和(,ln )t t 的距离的平方，分别曲解曲线x y e =和曲线ln y x =上的切线方程，根据两平行线之间的距离公式，即可求解．由题意，令ln n t =，原式可化为22()(ln )m m t e t -+-，其几何意义是动点(,)m m e 和(,ln )t t 的距离的平方，又曲线x y e =与曲线ln y x =关于直线y x =对称，过曲线x y e =上的点且平行于直线y x =的切线为1y x =+，过曲线ln y x =上的点且平行于直线y x =的切线为1y x =-，则两切，故22()()n m m e n e -+-的最小值是2. 四、解答题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知函数21()cos sin ()2f x x x x x R =++∈．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()2c f C ==，向量(1,)m a =与向量(2,)n b =共线，求,a b 的值．（1）,,63k -k k Z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦；（2）1,2a b ==.（1）应用二倍角公式、两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质可得增区间；（2）由()2f C =求得C ，再由向量共线得,a b 关系同，然后由余弦定理可得,a b 值．（1）∵函数21()cos sin ,2f x x x x x R =++∈，12cos 21sin(2)126f x x x x π∴-+=-+（） 令222,,26263k x k k -x k πππππππππ-≤-≤+≤≤+解得所以函数的单调递增区间为,,63k -k k Z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ （开闭区间都可以） （2）C =sin(2)126f C π-+=（），sin(2)16C π-=，∵110,2,266662C C C ππππππ<<∴-<-=-=，解得3C π= ∵向量(1,),(2,)m a n b ==共线，∴2b a =①由余弦定理，得222222cos,33c a b ab a b ab π=+-∴+-=，②由①②得1,2a b ==．18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 是等腰梯形，(6,0),(1,3)A C ，点M满足12OM OA =，点P 在线段BC 上运动（包括端点）.（1）求OCM ∠的余弦值；（2）是否存在实数λ，使()OA OP CM λ-⊥，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由. （17；（2）12(,12][,)7λ∈-∞-+∞．（1）由题意求得(2,3),(1,3)CM CO =-=- ，再根据cos cos ,||||CO CMOCM CO CM CO CM ⋅∠=<>=，运算即求得结果；（2）设(3)P t ，其中15t ≤≤，由()OA OP CM λ-⊥ ，得=0()OA OP CM λ-⋅ ，可得(23)12t λ=﹣．再根据33[1,)(,5]22t ∈，求得实数λ的取值范围：．（1）由题意可得1(6,0),(1,3),(3,0)2OM OA OC OA ====，(2,3),(1,3)CM CO =-=-，故7cos cos ,=||||CO CM OCM CO CM CO CM ⋅∠=<>=； （2）设(3)P t ，其中15,(3)t OP t λλλ≤≤=，(6,3),(2,3)OA OP t CM λλλ-=--=，若()OA OP CM λ-⊥ ，则=0()OA OP CM λ-⋅ ，即12230t λλ-+=，可得(23)12t λ=﹣， 若32t =，则λ不存在，若32t ≠，则1233=,[1,)(,5]2322t t λ∈-， 故12(,12][,)7λ∈-∞-+∞.19. 我市今年参加高考的考生是首次取消文理科后的新高考考生，新高考实行“321++”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在[)15,45称为中青年，年龄在[)45,75称为中老年），并把调查结果制成下表：（1）请根据上表完成下面22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.（2）现采用分层抽样的方法从中老年人中抽取8人，再从这8人中随机抽取2人进行深入调查，求事件A ：“恰有一人年龄在[)45,55”发生的概率.（1）填表见解析；有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联；（2）47. （1）根据调查结果填写列联表即可（其中频数指各年龄段调查人数），利用卡方检验公式求卡方值，并与参考表的值比较即可确定是否有95%的把握认为对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关；（2）由分层抽样概念知8人中年龄在[)45,55中的有4人，年龄在[)55,65中的有2人，年龄在[)65,75中的有2人，结合古典概型的概率公式求概率即可； 解：（1）依题意，22⨯列联表如图所示，所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联.（2）由表格数据得到抽取的8人中：年龄在[)45,55中的有4人，年龄在[)55,65中的有2人，年龄在[)65,75中的有2人.从8人中抽取2人的方法有2828C =种，其中恰有一人年龄在[)45,55被抽中的方法有114416C C ⨯=种.所以()164287P A ==. 20. 已知数列{}n a 的各项均为正数，13a = ，且对任意*n N ∈ ，2n a 为213n a ++ 和1的等比中项，数列{}n b 满足()2*1n n b a n N =-∈.（1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求{}n a 通项公式；（2）若2log n n c b =，{}n c 的前n 项和为n T ，求使n T 不小于360的n 的最小值.（1）证明见解析，n a =；（2）18.（1）根据等比中项的定义列方程并化简，从而判断{}n b 为等比数列，写出{}n b 的通项公式，由此求得数列{}n a 的通项公式；（2）写出数列{}n c 的通项公式与前n 项和公式n T ，计算n T 不小于360时n 的取值范围，从而求得n 的最小值．（1）证明：对任意*n N ∈，2n a 都为213n a ++和1的等比中项， 所以221(2)(3)1n n a a +=+⨯，即221(2)(3)1n n a a +=+⨯，也即22143+=-n n a a ；所以222211431444(1)n n n n a a a a +-=--=-=-，因为21=-n n b a ，所以14n n b b +=，所以数列{}n b 成等比数列，首项为21118=-=b a ，公比为4，所以122211·4822n n n n b b --+==⨯=； 所以22112+-=n n a ，又{}n a 为正项数列，所以n a =（2）解：由2122log log 221n n n c b n +===+， 所以12(211)(221)(21)n n T c c c n =++⋯+=⨯++⨯++⋯++2(123)n n =+++⋯++(1)22n n n +=⨯+ 22n n =+；由n T 不小于360，即22360n T n n =+，即223600n n +-， 也即(20)(18)0n n +-，解得18n 或20n -（不合题意，舍去）； 所以n T 不小于360的n 的最小值为1821. 为了解某地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：（1）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱（已知：0.751r≤≤，则认为y与x线性相关性很强；0.30.75x≤≤，则认为y与x线性相关性一般，0.25r≤，则认为y与x线性相关性较弱）（2）求y与x的线性回归方程，并预测该地区2019年足球特色学校的个数（精确到个位）参考公式：()()ni ix x y yr--=∑()()2211,10, 3.6056n ni ii ix x y y==-=-=≈∑∑；()()()121,ni iiniix x y yb a y bxx x==--==--∑∑（1）3.63.6056r=；y与x的线性相关性很强；（2）线性回归方程y=0.36x-724.76，预测A地区2019年特色学校208个（1）求出,x y，代入公式计算即可；（2）根据公式求出回归方程，根据回归方程计算预测结果.解：（1）2016521120.30.61 1.4 1.72016,155x y⨯--++++++====，()()3.60.753.6056ni ix x y yr--===>∑所以y与x线性相关很强；（2）5151()()(2)(0.7)(1)(0.4)10.420.70.3641014()iii i i x x y y b x x ==---⨯-+-⨯-+⨯+⨯===++++-∑∑，120160.36724.76a y bx =-=-⨯=-， y 关于x 的线性回归方程y =0.36x -724.76， 当x =2019时，y =2.08，即A 地区2019年特色学校208个. 22. 已知函数2()8ln ().f x x x a x a R =-+∈（1）当1x =时，()f x 取得极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点； （2）当函数()f x 有两个极值点1212,(),x x x x <且11x ≠时，总有21111ln (43)1a x t x x x >+--成立，求t 的取值范围．（Ⅰ）6a =，1x =为极大值点（Ⅱ）1t ≤-.（Ⅰ）求出函数的导数，求出a 的值，得到函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（Ⅱ）求出函数极值点，问题转化为111x x -[2lnx 1211(1)t x x -+]＞0，根据0＜x 1＜1时，111x x -＞0.1＜x 1＜2时，111x x -＜0．即h （x ）＝2lnx 2(1)t x x-+（0＜x ＜2），通过讨论t 的范围求出函数的单调性，从而确定t 的范围即可．（Ⅰ）()228(0)x x af x x x-+=>'，()10f '=，则6a = 从而()()()213(0)x x f x x x--=>'，所以()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数；()1,3x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，所以1x =为极大值点. （Ⅱ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，有两个极值点1x ，212()x x x <，则()2280t x x x a =-+=在()0,+∞上有两个不等的正实根，所以08a <<，由12121242x x a x x x x +=⎧⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩可得()1110224x a x x <<⎧⎨=-⎩从而问题转化为在102x <<，且11x ≠时()21111ln 431a x t x x x >+--成立. 即证()()111211124ln 431x x x t x x x ->+--成立.即证()11112ln 11x x t x x >+- 即证()11112ln 101x xt x x -+>- 亦即证 ()21111112ln 01t x x x x x ⎡⎤-⎢⎥+>-⎢⎥⎣⎦. ①令()()212ln (02)t x h x x x x-=+<<则()222(02)txx th x x x++<<'= 1)当0t ≥时，()0h x '>，则()h x 在()0,2上为增函数且()10h =，①式在()1,2上不成立. 2)当0t <时，244t ∆=-若0∆≤，即1t ≤-时，()0h x '≤，所以()h x 在()0,2上为减函数且()10h =，111x x -、()211112ln t x x x -+在区间()0,1及()1,2上同号，故①式成立. 若0∆>，即10t -<<时，22y tx x t =++的对称轴11x t =->，令1min ,2a t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则1x a <<时，()0h x >，不合题意.综上可知：1t ≤-满足题意.。
精品解析：辽宁省实验中学2020-2021学年上学期高一数学联考试题(解析版)
2020-2021学年度上学期期末考试高一年级数学科试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知{}0,1,2A =，{}2|0B x R x x =∈+=，则A B 为（ ）A. {}0B. {}1,2C. {}1,0,1-D. 1,0,1,2 【答案】D【解析】【分析】先化简集合B ，再利用并集运算求解.【详解】因为{}0,1,2A =，{}{}2|01,0B x R x x =∈+==-，所以{}1,0,1,2A B ⋃=-，故选：D2. 记21log 3a =，0.12b =，3log 2c =，则 （ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. c b a << 【答案】B【解析】【分析】利用指对数的性质，比较a 、b 、c 的大小. 【详解】230.11log 0log 2123b a c ==<<=<<∴a c b <<.故选：B.3. 函数21()log f x x x =-的零点所在的区间为（ ）A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,4【答案】B【解析】【分析】判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理，判断选项.【详解】()10110f =-=-<，()1121022f =-=>，且函数()21log f x x x =-的定义域是()0,∞+，定义域内2log y x =是增函数，1y x=-也是增函数，所以()f x 是增函数，且()()120f f <， 所以函数21()log f x x x=-的零点所在的区间为()1,2. 故选：B【点睛】方法点睛：一般函数零点所在区间的判断方法是：1.利用函数零点存在性定理判断，判断区间端点值所对应函数值的正负；2.画出函数的图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或是转化为两个函数的图象交点判断.4. ()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x x =-，则0x <时，()f x =（ ） A. 2x x --B. 2x x -+C. 2x x -D. 2x x +【答案】A【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和题设条件，得到()()f x f x =--，即可 求解.【详解】设0x <，则0x ->，因为函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且0x >时，()2f x x x =-， 可得()()22[()()]f x f x x x x x =--=----=--， 即当0x <时，()2f x x x =--. 故选：A.5. 已知函数2()2(1)1f x x a x =+-+在(,1]-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. (,1]-∞B. [1,)+∞C. (,0]-∞D. [0,)+∞【答案】C【解析】【分析】判断函数的对称轴与开口方向，根据函数()f x 的单调性列不等式求解.【详解】由题意，函数2()2(1)1f x x a x =+-+的对称轴为1x a =-，开口向上，因为函数()f x 在(,1]-∞上是减函数，所以11a -≥，得0a ≤.故选：C.6. 已知函数()()ln 1,0,l (,0)n 1,f x x x x x +≥-<⎧⎪=⎨⎪⎩，则不等式()()2f x f x ->的解集为（ ）A. ()1,-+∞B. 1,C. (),1-∞-D. (),1-∞【答案】D【解析】 【分析】由解析式知()f x 关于y 轴对称且在(,0)-∞上递减，[0,)+∞上递增，根据已知不等式，利用对称性有|2|||x x ->，即可求解集.【详解】由函数解析式知：()f x 关于y 轴对称，且在(,0)-∞上递减，[0,)+∞上递增，∴()()2f x f x ->，则有|2|||x x ->即可，当0x <时，有2x x ->-恒成立；当 02x ≤≤时，有2x x ->即01x ≤<；当2x >时，有2x x ->不成立；∴不等式解集(),1x ∈-∞. 故选：D.【点睛】关键点点睛：由解析式判断函数的对称性，利用对称性，应用分类讨论法求绝对值不等式的解集. 7. 已知数据12,,,,n x x x t ，平均数为t ，方差为21s ，数据12,,,n x x x 的方差为22s ，则（ ） A. 2212s s >B. 2212s s =C. 2212s s <D. 21s 与22s 的大小关系无法判断 【答案】C【解析】【分析】分别表示出两组数据的平均数，从而求出方差2212,s s ，通过比较判断即可.【详解】由121++++=+n x x x t t n ，得12(1)++++=+n x x x t t n ，即12+++=n x x x tn ，所以12+++=n x x x t n，可知两组数据的平均数都为t ，则()()()()222221121...1⎡⎤=-+-++-+-⎣⎦+n s x t x t x t t t n ，()()()22222121...⎡⎤=-+-++-⎣⎦n s x t x t x t n ，因为111<+n n，所以2212s s <. 故选：C8. 设函数()f x 的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =-对称，若，2020m n +=，()()222m n f f -+-=，则a =（ ）A. 1011B. 1009C. 1009-D. 1011- 【答案】A【解析】【分析】在函数y ＝f （x ）的图象上取点（x ，y ），则关于直线y ＝﹣x 对称点为（﹣y ，﹣x ），代入y ＝2x +a ，结合题目条件可得答案．【详解】因为函数y ＝f （x ）的图象与y ＝2x +a 的图象关于直线y ＝﹣x 对称，令f （﹣2m ）＝p ，f （﹣2n ）＝q ，则p +q ＝2；故（﹣p ，2m ），（﹣q ，2n ）在y ＝2x +a 的图象上，所以2m ＝2﹣p +a ，2n ＝2﹣q +a ，即m p a n q a =-+⎧⎨=-+⎩， 两式相加得m +n ＝﹣（p +q ）+2a ，所以2a ＝m +n +p +q ＝2020+2＝2022，解得a ＝1011，故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的对称性的应用，本题的关键是理解点(),x y 关于y x =-的对称点是(),y x --.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9. 已知甲运动员的投篮命中率是0.7，乙运动员的投篮命中率是0.8，若甲、乙各投篮一次，则（ ）A. 都命中的概率是0.56B. 恰有一人命中的概率是0.42C. 恰有一人没命中的概率是0.38D. 至少一人命中的概率是0.94【答案】ACD【解析】【分析】A. 由独立事件的概率求解判断；B.分甲命中乙没命中和甲没命中乙命中两类求解判断；C. 分甲命中乙没命中和甲没命中乙命中两类求解判断；D.利用对立事件的概率求解判断.【详解】因为甲运动员的投篮命中率是0.7，乙运动员的投篮命中率是0.8，A.都命中的概率是0.70.80.56p =⨯=，故正确；B.恰有一人命中的概率是()()0.710.80.810.70.38p =⨯-+⨯-=，故错误；C.恰有一人没命中的概率是()()0.710.80.810.70.38p =⨯-+⨯-=，故正确；D.至少一人命中的概率是()()110.810.70.94p =--⨯-=，故正确；故选：ACD10. 已知O 为坐标原点，()2,1A -，()1,2B ，则（ ）A. 与AB 同方向的单位向量为1010⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B. 若2AP PB =，则点P 的坐标为5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 若()1,3a =-，则//a ABD. 若()1,3C -，则四边形OBAC 为平行四边形【答案】ACD【解析】【分析】利用单位向量的定义、向量共线的判定及性质，判断各选项的正误.【详解】A ：(2,1),(1,2)OA OB =-=，则(1,3)AB OB OA =-=-，所以与AB 同方向的单位向量为(||AB e AB ==，正确； B ：由2AP PB =知：22,33B A B A P P x x y y x y ++==，即4(,1)3P ，错误； C ：由()1,3a =-，(1,3)AB =-，有13(3)(1)0⨯--⨯-=，即//a AB ，正确；D ：(1,2)OB =，(1,2)CA =，则有//OB CA 且||||OB CA =，即四边形OBAC 为平行四边形，正确； 故选：ACD.11. 已知0a >，0b >，1a b +=，则（ ）A. 的最大值为1B. ()4b aC. ()222log a b+的最小值为0 D. 2212a ab+1 【答案】BD【解析】 【分析】A ；利用22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，判断B ；利用22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭判断选项C ，首先变形()22222122a a b a ab ab +++=，展开后，利用基本不等式求最值. 【详解】A.22≤=≤，当且仅当a b =的，故A 不正确；B.()21244444a b b a ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭=≤==a b =时等号成立，所以()4b a，故B 正确； C.2222214a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝=⎭，2212a b ∴+≥，()22221log log 12a b ∴+≥=-，当且仅当a b =时等号成立，所以()222log a b +的最小值是1-，故C 不正确；D.()2222222132311122222a a b a a b ab a b ab ab ab b a +++++===++≥=， 当322a bb a=时，即b =时，等号成立， 10,0a b ba b +=⎧⎪=⎨⎪>>⎩，解得：a =，b =2212a ab +1，故D 正确. 故选：BD【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式求最值，本题的关键是熟练掌握基本不等式的变形应用，22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭2a b +≥，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，以及“1”的妙用解题. 12. []x 表示不大于x 的最大整数，设函数()[][]f x x x =--（ ）A. ()f x 为增函数B. ()f x 为奇函数C. ()()f x f x =⎡⎤⎣⎦D. ()()12f x f x +-= 【答案】BCD【解析】【分析】由题设，2,()()21,1()k x k k Z f x k k x k k Z =∈⎧=⎨+<<+∈⎩即知A 、C 、D 的正误，利用奇偶性定义判断B 的正误.【详解】由题意，1k x k <<+时，[],[]1x k x k =-=--，得()21f x k =+；x k =时，[],[]x k x k =-=-，得()2f x k =，()k ∈Z∴2,()()21,1()k x k k Z f x k k x k k Z =∈⎧=⎨+<<+∈⎩， ∴()f x 不是增函数，故A 错误，()[][]([][])()f x x x x x f x -=--=---=-，即()f x 为奇函数，故B 正确；由解析式知[()]()f x f x =，故C 正确；(1)()[1][1][][]1(1)2f x f x x x x x +-=+----+-=--=，故D 正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若()1g x x =-，()()22x f g x x =+，则()1f =________ 【答案】1.【解析】【分析】令()1g x =，求得2x =，根据()()()12f f g =，即可求解.【详解】由题意，函数()1g x x =-，()()22x f g x x =+， 令()1g x =，可得11x -=，解得2x =，则()()()2212122f fg ⨯===+. 故答案为：1. 14. 甲、乙两位同学高三8次物理模拟考试成绩如图所示，甲同学的平均成绩与乙同学的众数相等，则m =______【答案】5.【解析】【分析】根据数据的平均数和众数的概念和计算，列出方程，即可求解.【详解】由茎叶图和众数的概念，可得乙的众数为84，因为甲同学的平均成绩与乙同学的众数相等， 所以11(73798285(80)839293)848x m =++++++++=，解得5m =. 故答案为：5. 15. 2log 3a c =，1log 2ab c =，则log b c =________ 【答案】2【解析】 【分析】根据2log 3a c =，1log 2ab c =，找到a 、b 、c 的关系，计算log b c . 【详解】∵2log 3a c =，1log 2ab c =， ∴()2132a c ab c ==，, ∴()2132=a ab ， 化简得：1162=a b ，即3=a b ，∴2=c b ，∴2log log 2b b c b ==.故答案为：2【点睛】对数运算技巧：(1)应用常用对数值；(2)灵活应用对数的运算性质；(3) 逆用法则、公式；(4) 应用换底公式，化为同底结构．16. 对任意[2,)x ∈+∞kx ≠，则实数k 的取值范围是________【答案】(]102⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，， 【解析】 【分析】先用分离参数法，再求)2y x x=≥的值域，从而得到k的取值范围. 【详解】对任意[2,)x ∈+∞kx ≠，∴k x≠对任意[2,)x ∈+∞恒成立. 令)2y x =≥，设)1t t =≥， 则()21111t y t t t t ==≥++， ∵在t ≥1上，11=2t tt +≥， ∴21012t y t ⎛⎤=∈ ⎥+⎝⎦，， ∴实数k 的取值范围是(]102⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，. 故答案为：(]102⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，， 【点睛】求参数的取值范围常用分离参数法.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤． 17. 已知集合{}2|11A x m x m =-<<+，{}2|40B x x =-<.（1）若A B =∅，求实数m 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）[3,)+∞；（2）(]1,1-.【解析】【分析】由集合A 的描述知A ≠∅，求出集合B ，（1）由交集的结果列不等式，求m 的范围；（2）根据充分不必要条件有A B ≠⊂，结合集合A 、B 列不等式组，求m 的范围，注意验证结果是否符合要求. 【详解】由22171(1)024m m m ⎛⎫+--=-+> ⎪⎝⎭，则A ≠∅，而{|22}B x x ，（1）由已知，212m +≤-或12m -≥，解得3m ≥，所以[3,)m ∈+∞；（2）由题设知A B ≠⊂，即21212m m ⎧+≤⎨-≥-⎩，解得11m -≤≤， ∵1m =-时，有A B =，不合题意，故11m -<≤，∴(1,1]m ∈-.18. 已知幂函数()223m m f x x -++=，()m Z ∈为偶函数，且在区间()0,∞+上是增函数.函数()()224log log m g x x x =-，x ⎡∈⎣（1）求m 的值；（2）求()g x 的最小值.【答案】（1）1m =；（2）116-. 【解析】【分析】（1）根据幂函数的性质直接求出m ；（2）用换元法，求21()2h t t t =-的最小值即可. 【详解】解：（1）∵()f x 在区间(0,)+∞上是增函数，∴2230m m -++>解得13m -<<，∴0m =或1m =或2m =∵()f x 为偶函数，∴1m =（2）由（1）()()2224221()log log log log 2g x x x x x =-=-令2log x t =，21()2h t t t =-，∵1x ≤≤102t ≤≤ ∴221111()241616h t t t t ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭∴最小值为116-，当且仅当14t =即142x =时等号成立.所以()g x 的最小值为116-. 【点睛】(1)根据性质求幂函数的解析式通常要注意：①由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式，x 前的系数为1；②函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用． (2)复合函数的值域相当于求外函数的值域.19. 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组:每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒;第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒;……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）估计此次百米测试成绩的中位数(精确到0.01);（2）为了尽快提高学生的体育成绩，对此次百米测试成绩不小于17秒的两组同学进行特训，特训一段时间后有两位同学成绩符合要求，求这两位同学来自同一组的概率. 【答案】（1）15.83；（2）25【解析】【分析】（1）利用中位数左边的频率和为0.5，计算中位数；（2）首先分别求这两个组的频数，再通过编号，列举的方法，求概率.【详解】（1）前两组的概率和为0.020.180.2+= 前三组的概率和为0.020.180.360.56++= ∵0.50.20.3-= ∴中位数为0.31515.830.36+≈；（2）由已知记第五组的频数为500.0613⨯⨯=，同理第六组的频数为2 记第五组的学生为123,,a a a ，第六组的学生为12,b b ， 则样本空间为()()()()()()()()()(){}12131112232122313212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b Ω=共10个样本点记事件A ：两位同学来自同一组，则()()()(){}12132312,,,,,,,A a a a a a a b b =共4个样本点 ∴42()105P A ==.20. 如图，平行四边形ABCD 中，12BM MC =，N 为线段CD 的中点，E 为线段MN 上的点且2M E E N =.（1）若λμ=+AE AB AD ，求λμ的值；（2）延长MN 、AD 交于点P ，F 在线段NP 上（包含端点），若()1t AM AF t AN =+-，求t 的取值范围. 【答案】（1）1427；（2）[1,0]- 【解析】【分析】（1）由题意可得1233AE AM AN =+，11,32AM AB AD AN AD AB =+=+，进而可得结果. （2）设MF k MN =，则12k ≤≤，则(1)AF k AM k AN =-+(1)t AM t AN =+-，1k t =-，由12k ≤≤，即可得出结果.【详解】（1）∵2ME EN =∴2()AE AM AN AE -=-∴1233AE AM AN =+ 由已知11,32AM AB AD AN AD AB =+=+ ∴2739AE AB AD =+，∴23λ=，79μ=∴1427λμ=（2）∵//DP MC ，N 为CD 的中点， 易证DNP 与CNM 全等，则NM PN =，设MF k MN =，则12k ≤≤∵(),(1)AF AM k AN AM AF k AM k AN -=-=-+ ∵(1)AF t AM t AN =+-∴1,1k t k t -==-112,10t t ∴≤-≤∴-≤≤∴t [1,0]∈-21. 已知函数()22xxf x a -=-⋅.（1）若()f x 为偶函数，求()f x 的最小值；（2）当0a >时，判断()f x 的单调性（不用证明），并借助判断的结论求关于x 的不等式()()22log 20f a x f x -+->的解集.【答案】（1）2；（2）{|21}x x -<<. 【解析】【分析】（1）根据()f x 为偶函数，由()()f x f x =-恒成立求得1a =-，然后利用基本不等式求函数的最小值；（2）易知0a >时，()f x 在R 上为单调递增函数，然后指数和对数运算，得到()2log f a x -()f x =-，然后将问题转化为()22()f xf x ->，利用函数的单调性求解.【详解】（1）()f x 的定义域为R ，,x R x R ∀∈-∈， ∵()f x 为偶函数，∴()()f x f x =-恒成立，∴2222x x x x a a ---⋅=-⋅恒成立， 整理得()22(1)0x xa --+=恒成立，∴1a =-∴()222x x f x -=+≥=，当且仅当22-=x x 即0x =时等号成立． ∴()f x 的最小值为2.（2）0a >时，()f x 在R 上为单调递增函数， ∵()2222log log log log 2log 222222a xx a a a x x f a x a a -----=-⋅=⋅-⋅⋅，12222()x x x x a a a f x a--=⋅-⋅⋅=⋅-=-， 则()22()f xf x ->，∴22x x ->， 即220x x +-<， 解得21x -<<， ∴解集为{|21}x x -<<.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用指数和对数运算化简()2log f a x -.22. 已知函数())2log f x ax =，()()223g x mx m x m =--+ .（1）若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若0a >，函数()y f x =为奇函数，且对任意()10,x ∈+∞，存在[]20,1x ∈，使得()()21f x g x <，求实数m取值范围.【答案】（1）[1,1]-； （2）[0,3). 【解析】【分析】（1）由函数()f x 的定义域为R 0ax ≥恒成立，即ax -≤讨论，即可求解.（2）根据题意，转化为mi in n m ()()f g x x <，利用单调性的定义，得到()f x 在R 上单调递增，求得min ()(0)0f x f ==，得出()0>g x 恒成立，得出213m x m x ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭恒成立，分类讨论，即可求解.【详解】（1）由函数())2log f x ax =的定义域为R ，0ax ≥恒成立，即ax -≤当0x >时，a -≤1>，所以1a -≤，即1a ≥-； 当0x =时，显然成立； 当0x >时，a ≤1>，所以1a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围[1,1]-.（2）由对任意()10,x ∈+∞，存在[]20,1x ∈，使得()()21f x g x <，可得mi in n m ()()f g x x <，设12x x <1110x x x >-≥10x >，20x >，)1212x x x x -=-+(2212120x x x x =-+=-<，12x x +<，可得))2122log log x x <，即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上单调递增，所以min ()(0)0f x f ==， 则min 0()g x <，即()0>g x 恒成立， 因为0x >，所以213m x m x ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭恒成立， 当0m >时，213m x x m-+>恒成立，因为122x x +≥=，当且仅当1x =时等号成立，所以232m m-<，所以2230m m --<，解得13m -<<，所以03m <<； 当0m =时，显然成立；当0m <时，213m x x m-+<恒成立，1x x +没有最大值，不合题意，综上，实数m 的取值范围[0,3).【点睛】利用函数求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略：1、利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程()0f x =的根就是函数()f x 与x 轴的交点的横坐标，方程()()f x g x =的根据就是函数()f x 和()g x 图象的交点的横坐标；2、利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.。
辽宁省六校协作体高一数学上学期11月月考试题(含解析)
（3）因为方程 的根为3，则有 ，
所以 是 的充要条件.
【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断，考查根据充分必要条件求参数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
.
（1）求 ；
（2）用列举法表示集合 ，并求 .
【答案】（1） ， ；（2） ， .
【解析】
【分析】
（1）直接求 得解；（2）用列举法表示集合 ，再求 .
【详解】（1）由题得 ， ；
（2）由题得 ， 或
所以 .
【点睛】本题主要考查集合的交并补运算，考查集合的表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
.
（1）当 时，比较 的大小；
（2）当 时，比较 的大小.
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】
【答案】（1） ；（2）61
【解析】
分析】
（1）先解方程组，再把解写成集合；（2）解方程组 即得解.
【详解】（1）由 得
所以所求方程组的解集为 .
（2）因为 ，所以 ，
所以
解得 ，
所以 .
【点睛】本题主要考查集合的表示，考查元素与集合的关系和集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
（ ）.
所以 的最大值为 ，
此时 .
（2）由 ，得 ，
由一元二次方程根与系数的关系，得 ，且 ，
所以 .
所以 ，故 的取值范围为 .
【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查一元二次方程根与系数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21.（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 （ ），求最新 的不等式 的解集.
对于D，因为 ，所以 等价于 ，由 ，可得 ，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以D正确.
辽宁省六校协作体2021~2022学年高一上学期第一次联考数学试卷
高一数学，共6页，第1页2021—2022学年度（上）省六校协作体高一年级第一次考试数学试卷考试时间：120分钟满分150分第一命题校：东港市第二中学第二命题校：东港市第二中学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、下列关系式中，正确的是（）A ．{}321，，∈φB ．{}），（212∈C ．Q ∈πD ．N∈02、已知命题p ：∃∈−∞,0,2−2−3>0.那么命题p 的否定是()A .∃∈(0,+∞),2−2−3≤0. B.∀∈−∞,0,2−2−3≤0.C.∀∈−∞,0,2−2−3>0.D.∃∈(0,+∞),2−2−3>0.3、设全集{}32,≥-≤==x x x A R U 或，{}61<<-=x x B ，则集合{}31<<-x x 是（）A ．)()(BC A C U U B ．)(B A C U C ．B A C U )(D ．B A 4、下列命题是假命题的有（）A ．若A x ∈，那么B A x ∈.B ．若B A x ∈，那么A x ∈.C ．若B A x ∈，那么B A x ∈.D ．若A x ∈，那么B A x ∈.5、已知21,x x 是方程02=++n mx x 的两个实根。
221=⋅x x 是2=n 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件高一数学，共6页，第2页6、已知集合]1,],3,1[+=-=m m B A （，若R B C A R = ，那么实数m 的取值范围是（）A ．21<<-mB ．21≤≤-mC ．21<≤-m ．D 21≤<-m 7、已知命题02(2,2<-++∈∃）a x x R x 为假命题的充要条件是（）A ．3<a B ．3≤a C ．3>a D ．3≥a 8、已知方程0322=++m x x 有两个实根)(,2121x x x x <，方程01322=-++m x x 有两个实根)(,4343x x x x <，那么4321,,,x x x x 的大小关系为（）A ．4321x x x x <<<B ．4231x x x x <<<C ．4213x x x x <<<D ．2431x x x x <<<二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，计20分。
辽宁省六校协作体2021届高三第一次联考数学试卷
数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“{1,2}m ∈”是“ln 1m <”成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．函数1()lg 2x f x x =-的零点所在区间为（ ）A ． (0,1)B ．(1,2)C ． (2,3)D ． (3,4)3．某医院拟派甲、乙、丙、丁四位专家到3所乡镇卫生院进行对口支援，若每所乡镇卫生院至少派1位专家，每位专家对口支援一所医院，则选派方案有（ ） A.18种B.24种C.36种D.48种4．若R x ∃∈，使得(2)a x x ≤-成立，则实数a 的最大值为（ ）A．B ．2C ．1D ．05．已知cos (0)()(1)1(0)x x f x f x x π≤⎧=⎨-+>⎩，则44()()33f f +-的值为（ ）A ．1-B ．12-C ．0D ．16．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．sin ||()2cos x f x x =+ B ．sin ln ||()2cos x x f x x⋅=+C ．cos ln ||()2cos x x f x x ⋅=+ D ．cos ()xf x x=7．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如下：设得分的中位数e m ，众数0m ，平均数x ，下列关系正确的是（ ）A ．0e m m x ==B ．0e m m x =<C ．0e m m x <<D ．0e m m x <<8．已知函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +是偶函数，(1)f x -是奇函数，()f x 在[1,1]-上单调递增，则（ ） A ．(0)(2020)(2019)f f f >> B ．(0)(2019)(2020)f f f >> C ．(2020)(2019)(0)f f f >>D ．(2020)(0)(2019)f f f >>二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年辽宁省高考数学一模试卷（理科）及答案解析
2020-2021学年辽宁省⾼考数学⼀模试卷（理科）及答案解析辽宁省⾼考数学⼀模试卷（理科）⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．已知集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2﹣2x≥0}，若U=R，则P∪?U Q=（）A．[0，2] B．（0，2] C．（1，2] D．[1，2]2．已知复数z满⾜z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i3．等差数列{a n}中，a2=5，a4=9，则{a n}的前5项和S5=（）A．14 B．25 C．35 D．404．在平⾯直⾓坐标系中，O为坐标原点，直线l：x﹣ky+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，=+．若点M在圆C上，则实数k=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．15．若x，y满⾜约束条件，则z=2x﹣y的最⼤值为（）A．B．﹣1 C．2 D．﹣36．运⾏如图所⽰的程序框图后，输出的m值是（）A．﹣3 B． C．D．27．如图，⼀个摩天轮的半径为18m，12分钟旋转⼀周，它的最低点P0离地⾯2m，∠P0OP1=15°，摩天轮上的⼀个点P从P1开始按逆时针⽅向旋转，则点P离地⾯距离y（m）与时间x（分钟）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．8．随机变量a服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜a＜1）=0.3000．已知a＞0，a≠1，则函数y=a x+1﹣a图象不经过第⼆象限的概率为（）A．0.3750 B．0.3000 C．0.2500 D．0.20009．某空间⼏何体的三视图如图所⽰，则此⼏何体的体积是（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=﹣x2+ax﹣1﹣a，若函数f（x）为R上的单调减函数，则a的取值范围是（）A．a≥﹣1 B．﹣1≤a≤0C．a≤0 D．a≤﹣111．点S，A，B，C在半径为的同⼀球⾯上，△ABC是边长为的正三⾓形，若点S到平⾯ABC的距离为，则点S与△ABC中⼼的距离为（）A．B．C．D．112．若存在x0∈（0，1），使得（2﹣x0）e≥2+x0，则实数a的取值范围是（）A．（ln3，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（0，+∞）⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分．13．若cos2（α+）=，则sin2α= ．14．平⾯向量与的夹⾓为60°，=（0，3），||=2，若λ∈R，则|λ+|的最⼩值是．15．如图，F1，F2是双曲线C：的左右焦点，过F1的直线l与C的左、右两⽀分别交于B，A两点．若△ABF2为等边三⾓形，则双曲线的离⼼率为．16．在正项等⽐数列{a n}中，，a6+a7=3，则满⾜a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最⼤正整数n的值为．三、解答题：解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，⾓A、B、C分别是边a、b、c的对⾓，且3a=2b，（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求cosC的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底⾯ABCD是矩形，PA⊥平⾯ABCD，AD=2，AB=1，E、F分别是线段AB、BC的中点．（Ⅰ）证明：PF⊥FD；（Ⅱ）若PB与平⾯ABCD所成的⾓为45°，求⼆⾯⾓A﹣PD﹣F的余弦值；．19．某⼯⼚新研发的⼀种产品的成本价是4元/件，为了对该产品进⾏合理定价，将该产品按事先拟定的价格进⾏试销，得到如下6组数据：单价x（元）8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量y（件）90 84 83 80 75 68（Ⅰ）若90≤x+y＜100，就说产品“定价合理”，现从这6组数据中任意抽取2组数据，2组数据中“定价合理”的个数记为X，求X的数学期望；（Ⅱ）求y关于x的线性回归⽅程，并⽤回归⽅程预测在今后的销售中，为使⼯⼚获得最⼤利润，该产品的单价应定为多少元？（利润L=销售收⼊﹣成本）附：线性回归⽅程中系数计算公式：，，其中、表⽰样本均值．20．已知中⼼在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离⼼率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点F1，F2构成的三⾓形中⾯积的最⼤值为．（Ⅰ）求椭圆M的标准⽅程；（Ⅱ）若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF2与椭圆的另⼀交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求的取值范围．21．已知函数f（x）=2e x﹣（x﹣a）2+3，g（x）=f′（x）．（Ⅰ）当a为何值时，x轴是曲线y=g（x）的切线？（Ⅱ）当a＜﹣1时，证明：g（x）在[0，+∞）有唯⼀零点；（Ⅲ）当x≥0时，f（x）≥0，求实数a的取值范围．请考⽣在第22、23、24题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分．作答时请写清题号．[选修4-1：⼏何证明选讲]22．如图，正⽅形ABCD边长为2，以D为圆⼼、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．（1）求证：AE=EB；（2）求EF?FC的值．[选修4-4：坐标系与参数⽅程]23．在平⾯直⾓坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的⾮负半轴为极轴建⽴极坐标系，直线l 的极坐标⽅程是，圆C的极坐标⽅程是ρ=4sinθ．（Ⅰ）求l与C交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C的圆⼼，Q为l与C交点连线的中点，已知直线PQ的参数⽅程是（t 为参数），求a，b的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数a，b，c满⾜a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1．（Ⅰ）证明：（1+a）（1+b）（1+c）≥8；（Ⅱ）证明：．参考答案与试题解析⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．已知集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2﹣2x≥0}，若U=R，则P∪?U Q=（）A．[0，2] B．（0，2] C．（1，2] D．[1，2]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进⾏求解即可．【解答】解：Q={x|x2﹣2x≥0}={x|x≥2或x≤0}，U Q={x|0＜x＜2}，则P∪?U Q={x|0＜x≤2}，故选：B．2．已知复数z满⾜z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i【考点】复数的基本概念．【分析】把等式z（1+i）=1两边同时乘以，然后利⽤复数的除法运算化简复数z，求出z后可得z的共轭复数．【解答】解：由z（1+i）=1，得，∴=．故选：A．3．等差数列{a n}中，a2=5，a4=9，则{a n}的前5项和S5=（）A．14 B．25 C．35 D．40【考点】等差数列的前n项和．【分析】利⽤等差数列的通项公式及前n项和公式求解．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2=5，a4=9，∴{a n}的前5项和：S5====35．故选：C．4．在平⾯直⾓坐标系中，O为坐标原点，直线l：x﹣ky+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，=+．若点M在圆C上，则实数k=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】直线与圆相交的性质；平⾯向量的基本定理及其意义．【分析】设AB的中点为D，有=+=2，即圆⼼到直线的距离等于半径的⼀半，由点到直线的距离公式列⽅程解出实数k的值．【解答】解：设AB的中点为D，有=+=2，∴||=2||=R=2，∴||=1．由点到直线的距离公式得1=，解得k=0，故选：C．5．若x，y满⾜约束条件，则z=2x﹣y的最⼤值为（）A．B．﹣1 C．2 D．﹣3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平⾯区域，利⽤⽬标函数的⼏何意义，利⽤数形结合确定z的最⼤值．【解答】解：作出不等式组对应的平⾯区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最⼩，此时z最⼤．由，解得，即C（1，）将C的坐标代⼊⽬标函数z=2x﹣y，得z=2﹣=．即z=2x﹣y的最⼤值为．故选：A．6．运⾏如图所⽰的程序框图后，输出的m值是（）A．﹣3 B． C．D．2【考点】程序框图．【分析】模拟执⾏程序，依次写出前⼏次循环得到的m，i的值，观察规律可知，m的取值周期为4，由于2016=504×4，可得当i=2017时不满⾜条件i≤2016，退出循环，输出m的值为2．【解答】解：模拟执⾏程序，可得m=2，i=1满⾜条件i≤2016，m=﹣3，i=2满⾜条件i≤2016，m=﹣，i=3满⾜条件i≤2016，m=，i=4满⾜条件i≤2016，m=2，i=5…观察规律可知，m的取值周期为4，由于2016=504×4，可得满⾜条件i≤2016，m=，i=2016满⾜条件i≤2016，m=2，i=2017不满⾜条件i≤2016，退出循环，输出m的值为2．故选：D．7．如图，⼀个摩天轮的半径为18m，12分钟旋转⼀周，它的最低点P0离地⾯2m，∠P0OP1=15°，摩天轮上的⼀个点P从P1开始按逆时针⽅向旋转，则点P离地⾯距离y（m）与时间x（分钟）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．【考点】在实际问题中建⽴三⾓函数模型．【分析】根据选择项设出函数的解析式，利⽤待定系数法结合三⾓函数的图象和性质求出A，ω和φ的值即可．【解答】解：由选项设y=﹣Acos（ωx+φ）+k．摩天轮12分钟旋转⼀周，则函数的周期T=12，即=12，则ω=，排除A，B最⼩值2，最⼤值为36+2=38，即A+k=38，﹣A+k=2，得k=20，A=18，即y=﹣18cos（x+φ）+20，当∠P0OP1=15°，对应的时间x==，函数取得最⼩值2，即﹣18cos（×+φ）+20=2，cos（+φ）=1，则+φ=2kπ，则φ=2kπ﹣，k∈Z，则当k=0时，φ=﹣，即y=﹣18cos（x﹣）+20=﹣18cos（x﹣）+20，故选：D8．随机变量a服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜a＜1）=0.3000．已知a＞0，a≠1，则函数y=a x+1﹣a图象不经过第⼆象限的概率为（）A．0.3750 B．0.3000 C．0.2500 D．0.2000【考点】列举法计算基本事件数及事件发⽣的概率；正态分布曲线的特点及曲线所表⽰的意义．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到⼤于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．【解答】解：∵y=a x+1﹣a图象不经过第⼆象限，∴1﹣a≤﹣1，∴a≥2，随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜a＜1）=0.3000，∴P（1＜a＜2）=0.3000，∴P（a＞2）=0.2000，∴函数y=a x+1﹣a图象不经过第⼆象限的概率为=0.2500，故选：C9．某空间⼏何体的三视图如图所⽰，则此⼏何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求⾯积、体积．【分析】由三视图知该⼏何体⼀个直三棱柱截去⼀个三棱锥所得的组合体，由三视图求出⼏何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出⼏何体的体积．【解答】解：由三视图得该⼏何体是⼀个直三棱柱截去⼀个三棱锥所得的组合体，其中截⾯是平⾯ABC，且棱柱和棱锥底⾯是俯视图：等腰直⾓三⾓形，两条直⾓边是2，棱柱⾼为2，棱锥的⾼是2，∴底⾯⾯积S=×2×2=2，∴⼏何体的体积V==，故选：C．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=﹣x2+ax﹣1﹣a，若函数f（x）为R上的单调减函数，则a的取值范围是（）A．a≥﹣1 B．﹣1≤a≤0C．a≤0 D．a≤﹣1【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性的性质，结合函数单调性的关系进⾏求解即可．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（0）=0，若函数f（x）为R上的单调减函数，则满⾜当x＞0时，函数为减函数，且当x=0时，﹣1﹣a≤0，此时，即，即﹣1≤a≤0，故选：B11．点S，A，B，C在半径为的同⼀球⾯上，△ABC是边长为的正三⾓形，若点S到平⾯ABC的距离为，则点S与△ABC中⼼的距离为（）A．B．C．D．1【考点】点、线、⾯间的距离计算．【分析】设△ABC的外接圆的圆⼼为M，协S作SD⊥平⾯ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，由题意求出MC=MO=1，从⽽得到ME=SD=，进⽽求出MD=SE=，由此能求出点S与△ABC中⼼的距离．【解答】解：如图，∵点S、A、B、C在半径为的同⼀球⾯上，点S到平⾯ABC的距离为，AB=BC=CA=，设△ABC的外接圆的圆⼼为M，过S作SD⊥平⾯ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，∴半径r=MC==1，∴MO===1，∵SD⊥MC，ME⊥MC，∴MESD是矩形，∴ME=SD=，∴MD=SE===，∴SM===．故选：B．12．若存在x0∈（0，1），使得（2﹣x0）e≥2+x0，则实数a的取值范围是（）A．（ln3，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（0，+∞）【考点】函数单调性的性质．【分析】由存在x0∈（0，1），使ax≥ln（2+x）﹣ln（2﹣x）能成⽴，0＜x＜1．令f（x）=ln（2+x）﹣ln（2﹣x），则ax≥f（x）能成⽴，故a⼤于或等于f′（x），再根据f′（x）的单调递增，且f′（0）=1，从⽽求得a的范围．【解答】解：∵存在x0∈（0，1），使得（2﹣x0）e≥2+x0，∴≥＞1，∴ax0≥ln（2+x0）﹣ln（2﹣x0），即ax≥ln（2+x）﹣ln（2﹣x）能成⽴，0＜x＜1．令f（x）=ln（2+x）﹣ln（2﹣x），则ax≥f（x）能成⽴（0＜x＜1），故直线y=ax不能恒在函数y=f（x）的下⽅，故直线y=ax的斜率a⼤于或等于f′（x）．则f′（x）=+=＞1，f（x）在（0，1）上单调递增．∵x∈（0，1），∴f′（x）是增函数，⼜f′（0）=1，∴f′（x）＞0，故a＞1，故选：B．⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分．13．若cos2（α+）=，则sin2α= ．【考点】⼆倍⾓的正弦．【分析】由条件利⽤半⾓公式求得sin2α的值．【解答】解：∵cos2（α+）==﹣sin2α=，则sin2α=，故答案为：．14．平⾯向量与的夹⾓为60°，=（0，3），||=2，若λ∈R，则|λ+|的最⼩值是．【考点】平⾯向量数量积的运算．【分析】对|λ+|取平⽅，将问题转化为求关于λ的⼆次函数得最值问题解决．【解答】解：=3，=3×2×cos60°=3．∴|λ+|2==9λ2+6λ+4=9（λ+）2+3．∴当时，|λ+|2取得最⼩值3．∴|λ+|的最⼩值为．故答案为：．15．如图，F1，F2是双曲线C：的左右焦点，过F1的直线l与C的左、右两⽀分别交于B，A两点．若△ABF2为等边三⾓形，则双曲线的离⼼率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，△ABF2为等边三⾓形，可求m的值，在△AF1F2中，由余弦定理，可得结论．【解答】解：设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，可得|BF1|=m﹣2a∴|AF1|=2m﹣2a∵|AF1|﹣|AF2|=2a∴2m﹣2a﹣m=2a∴m=4a在△AF1F2中，|AF1|=6a，|AF2|=4a，|F1F2|=2c，∠F1AF2=60°∴由余弦定理可得4c2=（6a）2+（4a）2﹣2?6a?4a?∴c= a∴=故答案为：．16．在正项等⽐数列{a n}中，，a6+a7=3，则满⾜a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最⼤正整数n的值为12 ．【考点】等⽐数列的前n项和；⼀元⼆次不等式的解法；数列的函数特性；等差数列的前n项和．【分析】设正项等⽐数列{a n}⾸项为a1，公⽐为q，由题意可得关于这两个量的⽅程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+a n及a1a2…a n的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案．【解答】解：设正项等⽐数列{a n}⾸项为a1，公⽐为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为a n==2n﹣6．记T n=a1+a2+…+a n==，S n=a1a2…a n=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=．由题意可得T n＞S n，即＞，化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n为正整数，因此n最⼤为的整数部分，也就是12．故答案为：12三、解答题：解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，⾓A、B、C分别是边a、b、c的对⾓，且3a=2b，（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求cosC的值．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）利⽤正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利⽤⼤边对⼤⾓可得A为锐⾓，可求cosA，利⽤三⾓形内⾓和定理，两⾓和的正弦函数公式即可求sinC的值．（Ⅱ）设a=2t，b=3t，由已知可求，利⽤余弦定理即可得解cosC的值．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB⼜∵B=60°，代⼊得3sinA=2sin60°，解得．∵a：b=2：3，∴A＜B，即∴．…（Ⅱ）设a=2t，b=3t，则，则．…18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底⾯ABCD是矩形，PA⊥平⾯ABCD，AD=2，AB=1，E、F分别是线段AB、BC的中点．（Ⅰ）证明：PF⊥FD；（Ⅱ）若PB与平⾯ABCD所成的⾓为45°，求⼆⾯⾓A﹣PD﹣F的余弦值；．【考点】⼆⾯⾓的平⾯⾓及求法；直线与平⾯垂直的性质．【分析】（I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平⾯ABCD，由线⾯垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线⾯垂直的判定定理得到DF⊥平⾯PAF，再由线⾯垂直的性质定理得到PF⊥FD；（Ⅱ）由PA⊥平⾯ABCD，可得∠PBA是PB与平⾯ABCD所成的⾓，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平⾯PAD，在平⾯PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平⾯FMN，则∠MNF即为⼆⾯⾓A﹣PD﹣F的平⾯⾓，解三⾓形MNF可得答案．【解答】（Ⅰ）证明：连接AF，则，⼜AD=2，∴DF2+AF2=AD2，∴DF⊥AF⼜PA⊥平⾯ABCD，∴DF⊥PA，⼜PA∩AF=A，∴（Ⅱ）∵PA⊥平⾯ABCD，∴∠PBA是PB与平⾯ABCD所成的⾓，且∠PBA=45°．∴PA=AB=1取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平⾯PAD，在平⾯PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平⾯FMN，则∠MNF即为⼆⾯⾓A﹣PD ﹣F的平⾯⾓∵Rt△MND∽Rt△PAD，∴，∵，且∠FMN=90°∴，，∴19．某⼯⼚新研发的⼀种产品的成本价是4元/件，为了对该产品进⾏合理定价，将该产品按事先拟定的价格进⾏试销，得到如下6组数据：单价x（元）8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量y（件）90 84 83 80 75 68（Ⅰ）若90≤x+y＜100，就说产品“定价合理”，现从这6组数据中任意抽取2组数据，2组数据中“定价合理”的个数记为X，求X的数学期望；（Ⅱ）求y关于x的线性回归⽅程，并⽤回归⽅程预测在今后的销售中，为使⼯⼚获得最⼤利润，该产品的单价应定为多少元？（利润L=销售收⼊﹣成本）附：线性回归⽅程中系数计算公式：，，其中、表⽰样本均值．【考点】线性回归⽅程；离散型随机变量的期望与⽅差．【分析】（Ⅰ）根据题意，得出X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列与数学期望EX；（Ⅱ）计算、，求出、，写出y关于x的线性回归⽅程，得出利润函数L（x）的解析式，利⽤⼆次函数的性质求出L（x）的最⼤值与对应x的值．【解答】解：（Ⅰ）X的可能取值为0，1，2；满⾜90≤x+y＜100的有3组，所以P（X=0）==，P（X=1）==，。
辽宁六校协作体2021届高三第一次联考数学试题(含答案和解析)(2020.09)
数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
L "£{1,2）“是成立的（）A.充分非必要条件C.充要条件2 .困数/"） = lgx-J 的零点所在区间为（人. （0,1）B. （1,2）3 .某医院拟派甲、乙、丙、丁四位专家到3所乡镇卫生院进行对口支援，若每所乡镇卫生 院至少派1位专冢，每位专家对口支援一所医院，则选派方案有（）A.18 种B.24 种 C36 种 D.48 种4 . S3A G R,使得〃 £工（2-犬）成立，则实数〃的最大值为（）A. 26氏 2C, I D. 0° cos ax （.vWO ） 「-4 .4、5 .已知"i ）= ,则/（）*/（_）的值为（）[/（.v-l ） + l （A > 0） 3 3A- -I«• --CO D. 126 .已知函数/（M 的部分图象如图所示，则/小）的解析式可能为（）B.必要非充分条件 D,既非充分也非必要条件 ）C. （2,3）D.“、sin|x| A "小bR ・ /") =sin .V • In | x| 2 + cos.v/.，、COS.v Ill Ixl //、COSH c D・仆)=丁7 .为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（2设得分的中位数〃小众数"％,平均数x,下列关系正确的是（）B.叫="八 < xC.? < < xD.川。
< 叫 < x8 .已知困故/。
）的定义域为R,且/住于1）是偶函故./GT ）是奇的数，/（K ）在上单调递增，则（）二、多项选择题；本大题共4小题，每小题5分+共20分&在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求°全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。
精品解析：辽宁省六校协作体2021-2022学年高一上学期第一次考试数学试题(解析版)
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 充要条件是 ，
所以 ， 或 ，
对于A， 或 ，所以A错误，
对于B，因 或 ，所以 ，所以B错误，
对于C， ，所以C正确，
对于D， ，所以D错误，
故选：C
4.下列命题是假命题的有（）
A.若 ，那么 .
B.若 ，那么 .
C.若 ，那么 .
D.若 ，那么 .
【答案】A
【解析】
【分析】根据 和 的性质，依次判断选项即可.
A.
B.
C.若整数 、 属于同一“类”，则
D.若 ，则整数 、 属于同一“类”
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用题中定义可判断AB选项的正误；设 ， ， 、 ， ，利用“类”的定义可判断C选项的正误；设 ， ， 、 ， 、 ，推出 ，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项， ，故 ，A对；
对于B选项， ，故 ，B错；
【答案】D
【解析】
【分析】利用元素与集合间的关系分析判断即可
【详解】对于A，因为 是集合，集合与集合间的关系是包含关系，不是属于关系，所以A错误，
对于B，因为 表示的是点集，所以 ，所以B错误，
对于C，因为 是无理数，所以 ，所以C错误，
对于D，因为0是自然数，所以 ，所以D正确，
故选：D
2.已知命题 的否定是（）
选项C，若三角形的外心在某条边上，则这条边所对的圆周角为直角，故一定是直角三角形，正确；
选项D，当 时， 能被 整除，但 不能被 整除，错误.
故选：AC
10.已知集合A= ，B ，下列说法正确的是（）
A.不存在实数 使得
B.当 时， .
辽宁省抚顺市六校协作体2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题【含答案解析】
2020-2021学年度上学期“抚顺六校协作体”期末考试试题高一数学考试时间:120分钟 试卷满分:150分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{},01A x x B x x =>=<，则A B ⋂=（ ）A ．()0,+∞B ．(),1-∞C ．()0,1D ．()(),01,-∞⋃+∞2. 命题“2,20x R x x ∈-+>”的否定是（ ）A ．2,20x R x x ∀∈-+>B ．2,20x R x x ∃∈-+≤C ．2,20x R x x ∀∈-+<D ．2,20x R x x ∀∈-+≤ 3. 已知2:210p x x --=，:1,q x p =是q 的（ ）条件.A ．必要不充分B ．充分不必要C ．充要D ．既不充分也不必要4. 函数()()1g x ln x =-的定义域为（ ）A ．()1,+∞B ．[)2,1-C ．[)2,-+∞D ．(]2,1-5. 已知()()10,120(),x f x a a a f -=>≠<，则()11f x -+的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．6. 已知100.90.90.9,10,10a b c log ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．b c a >>7. 已知向量()(),1,2 2.a b y =-=，若//a b ，则34a b +=（ ）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()5,10-D ．()5,10--8.设()551x g x a =-+是奇函数，则（ ） A ．52a =，()g x 是增函数 B ．32a =，()g x 是增函数 C ．52a =，()g x 是减函数 D ．32a =，()g x 是减函数 二、选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. ,,,a b c d 均为实数，且0,0a b c d >>>>，则下列结论正确的是（ ）A ．ac bd >B ．a c b d ->-C ．a c b d +>+D ．a b d c> 10. 下列计算正确的有（ ） A ．120318202072-⎛⎫++= ⎪⎝⎭B ．5225450log lg lg +-=C ．()20.50.51log log =D ．20= 11. 若函数()2(10x x f x aa a =+->且1a ≠)在区间[]2,1-上最大值为19，则a 的可能值为（ ） A ．14 B ．4 C ．12D ．2 12.已知()f x 是偶函数，对任意的x 都有()()()423f x f x f +=-+，且()52f =当[]12,0,3x x ∈，且12x x ≠时，()()12120f x f x x x ->-恒成立，则（ ）A ．()20212f =B ．直线3x =-是()f x 图像的对称轴C ．()f x 在[]8,10上是增函数D ．方程()20f x -=在()7,7-上有4个实根.第Ⅱ卷三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知不等式20x ax b --+≥的解集为[]2,3-，则不等式5ax b +<的解集为_ .14.已知12,,,n x x x ⋯的平均数为10，标准差为3，且21i i y x =+，其中1,2,,i n =⋯.则12,,,n y y y ⋯的平均数与方差的和为__ .15.甲乙丙三人进行射击训练，他们每次射击命中目标的概率依次为0.7,0.8和0.6，若他们各向目标射击一次，则恰有两人击中目标的概率为__ .16.若函数()()22f x ln x ax a =--在(],2-∞-上为减函数，则a 的取值范围为_ . 四、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知命题:①关于()f x x a =-在()1,1-上有两个零点；②关于x 的不等式0,)1(1xa a a >>≠的解集是{}0x x <；()()0,1a f x log x a a =>≠③在定义域内是减函数.从以上三个命题中任选一个作为命题p ，命题q :函数()2y lg ax x a =-+的定义域为R ，为了使p ，q 有且只有一个是真命题，求实数a 的取值范围.18.已知关于x 的一元二次不等式2220x mx m +++≥的解集为R . ()1求函数()()322f m m m =-++的最小值: ()2解关于x 的一元二次不等式()2330x m x m +--<.19.某玩具厂生产玩具，每个玩具的成本为60元，出厂单价定为80元，该厂为了鼓励各商场销售商订购，决定每一次订购量超过100个玩具时，每多订购一个，多订购的全部玩具的出厂单价就降0.02元，但实际出厂单价不能低于71元.()1当一次订购量为多少个时，玩具的实际出厂单价恰降为71元？()2设一次订购量为x 个，玩具的实际出厂单价为P 元，写出函数()P f x =的表达式，()3当某商场销售商一次订购500个玩具时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？20.如图所示，在ABCD 中，21,,,35AB a AD b BM BC AN AB ====.()1试用向量,a b 来表示,DN AM ;()2AM 交DN 于O 点，求:AO OM 的值.21.某市从2019年参加高三学业水平考试的学生中随机抽取80名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[)[)90,100100,110，，…，[]140,150后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题:()1求分数在[)120,130内的频数;()2若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如:组区间[)100,110的中点值为1001101052+=)，作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分; ()3用分层抽样的方法在分数段为[)110,130的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段[)120,130内的概率.22.若函数()f x 满足()2211a a f log x x a x =--⎛⎫ ⎪⎝⎭(其中0a >且1a ≠). ()1求函数()f x 的解析式，并判断其奇偶性和单调性;()2当(),2x ∈-∞时，()6f x -的值恒为负数，求a 的取值范围.2020-2021学年度上学期“抚顺六校协作体”期末考试高一数学试题答案一、选择题1.C2.D3.A 2:210,1p x x x --==或12x =-， :1,q x =p 不能推出q ，但q 能推出p ，故p 是q 的必要不充分条件，故选A .4.B 函数定义域满足2010x x +≥⎧⎨->⎩， 故21x -≤<，故选B .5.A 由()(0),1x f x a a a =>≠知()1(0a f x log x a -=>且1a ≠)，因为()120f -<，所以01a <<，()11fx -+是将()1f x -的图像向左平移1个单位，故选A . 6.B 由指数函数和对数函数的图像及性质可知100.900.91101a b <=<=>，，0.9 100c log =< 则b a c >>，故选B .7. C 已知向量()()1,2,,2/,/a b y a b =-=，则4,y =-则()345,10a b +=-.8.A ()551x g x a =-+是奇函数， 则()00g =， 故52a =， 又5x y =是增函数51x y =+是增函数.551x y =+是减函数()551x g x =-+是增函数所以()55152x x g -+=是增函数，也可以用函数单调性的定义进行证明. 二、多选题9.ACD 因为,,,a b c d 均为实数，且0,0a b c d >>>>，由不等式的性质易得,A C 正确，B 不正确，又因为0c d >>，则110d c>>， 又0a b >>，故D 也正确.综上可知正确答案为ACD .10.AB 120318202024172-⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭，A 正确 52254525421002220log lg lg lg lg lg +-=+-=-=-=，B 正确 ()20.50.510log log log ==，C 不正确21122a a a +=-+-=-，D 不正确，综上可知正确答案是AB .(其中D 由已知算式可得10a ->) 11.BC ()2215124x x x f x a a a ⎛⎫ ⎪⎝-⎭=+=+- 若1a >，当1x =时x a 最大，此时()f x 取得最大值，即()2119,119f a a =+-=， 解得4a =或5a =-（舍去），故4a =;若01a <<，当2x =-时x a 最大，此时()f x 取得最大值，即()219f -=，42119a a --+-=，解得24a-=或25a -=-（舍去）， 故12a = 综上可知正确答案为BC .12.ABD 对任意的x 都有()()(42)3f x f x f +=-+，令1x =-，则()()()333f f f =+故()30f =，即()(2)4f x f x +=-，[0，3]可知3x =是函数()f x 的对称轴，又()f x 为偶函数，故3x =-也是()f x 的对称轴，故选项B 是正确的;因为()f x 是偶函数()42 )2()(f x f x f x +=-=-，即()()6f x f x +=，()()()()2021336 6 20213366552()f f f f f =⨯=⨯+==故A 正确;由[]12,0,3x x ∈，且12x x ≠时，()()12120f x f x x x ->-恒成立知()f x 在[]0,3为增函数， 3x =是函数()f x 的对称轴，则可得()f x 在[]3,6为减函数，由()()6f x f x +=可得()f x 在[]6,9为增函数，在[]9,12是减函数，故C 不正确;已知()52f =，则()()()12,52,12f f f =-=-=，故D 正确.综上可知正确答案为ABD .三、填空题13.()1,11 由不等式20x ax b --+≥的解集为[]2,3-可知2,3-是方程20x ax b --+=的两个根， 所以1,6a b =-=. 解不等式65x -+<得565x -<-<，111x <<，即所求的解集为()1,11.14.57 已知210,9x x s ==，则21210121y x =+=⨯+=，2244936y x s s ==⨯= 则2213657y y s +=+=15.0.452 0.70.80.40.70.20.60.30.80.60.452⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=16.4,3⎛-+∞⎫ ⎪⎝⎭函数()()22f x ln x ax a =--在(],2-∞-上为减函数，a 需要满足以下条件: ()22 240a a a ≥⎧--+->⎪⎨⎪⎩ 即243a a ≥->-⎧⎪⎨⎪⎩， 故43a >- 四、解答题17.解:选③作为命题p(选（1）（2）(3）中任意一个都对）若p 为真命题，则01a <<:q 函数()2y lg ax x a =-+的定义域为R ，知不等式20ax x a -+>的解集为R则20140a a >⎧⎨-<⎩ 若q 为真命题，12a > 当p 假，q 真时，由112a a ⎧>>⎪⎨⎪⎩，可得1a >; 当p 真，q 假时，由0112a a <<⎧⎪⎨≤⎪⎩，可得102a <≤ 综上可知实数a 的取值范围是()10,1,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦18.解:因为2220x mx m +++≥的解集为R ，所以()24420m m ∆=-+≤， 解得:12m -≤≤.∴实数m 的取值范围:[]1,2-.因为12,m -≤≤所以12 4.m ≤+≤()()()332244422f m m m m m =-+=++-≥=++ 当且仅当322m m+=+，即2m =时取等号， 所以函数()()322f m m m =-++的最小值为4; ()()22330x m x m +--<可化为()0)3(x m x +-<，因为12,m -≤≤所以213m -≤-≤<故不等式的解集为(),3m -.19.解:()1设每个玩具的实际出厂价格恰好降为71元时，一次订购量为0x 个， 则080711005500.02x -=+= 因此，当一次订购量为550个时，每个玩具的实际出厂价降为71元. ()2当0100x <≤时，80P =;当100550x <<时，()800.021008250x P x =--=-当550x ≥时，71P =. 所以()80,0100,82,1005505071,550,x x N x P f x x x N x x N<≤∈⎧⎪⎪==-<<∈⎨⎪≥∈⎪⎩, ()3设销售商的一次订购量为x 个玩具时，工厂获得的利润为L 元，则()220,0100,6022,100550,5011,550,x x x N x L P x x x x N x x x N<≤∈⎧⎪⎪=-=-<<∈⎨⎪≥∈⎪⎩ 当500x =时，250022500600050L =⨯-=;当1000x =时，11100011000L =⨯=.因此，当销售商一次订购500个玩具时，该厂获得的利润是6000元; 如果订购1000个玩具，利润是11000元.20.解:()1因为15AN AB =， 所以1155AN AB a ==， 所以15DN AN AD a b =-=- 因为23BM BC =， 所以222333BM BC AD b ===， 所以23AM AB BM a b =+=+. ()2因为,,A O M 三点共线，所以//AO AM ，设AO AM λ=， 则22133DO AO AD AM AD a b b a b λλλλ=-=-=⎛⎫⎛⎫- ⎪+= ⎪⎝⎭⎝⎭+-. 因为,,D O N 三点共线，所以//,DO DN存在实数μ使1155DO DN a b a b μμμμ==-⎛⎫ ⎪⎝⎭=-， 21135a b a b λλμμ⎛⎫ ⎪⎝⎭+-=-由于向量,a b 不共线，则15213λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ 解得3171517λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以314,1717AO AM OM AM ==， 所以:3:14AO OM =.21.解: ()1分数在[)120,130内的频率为()1?0.10.150.150.250.0510.70.3++++=-=故频数为800.324⨯=()2估计平均分为950.11050.151150.151250.31350.251450.05121x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ()3由题意，[)110,120分数段的人数为800.1512⨯=(人).[)120,130分数段的人数为800.324⨯=(人).用分层抽样的方法在分数段为[)110,130的学生中抽取一个容量为6的样本，所以需在[)110,120分数段内抽取2人，分别记为12,A A ﹔在[)120,130分数段内抽取4人，分别记为1234,B B B B ;设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段[)120,130内”为事件A ，则样本空间{}121112131421222324121314232434,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B A B A B B B B B B B B B B B B B Ω= 共包含15个样本点 事件A :“从样本中任取2人，2人都不在在分数段[)120,130内”{}12A A A =，只有1个样本点， 所以()115p A = ()()114111515p A p A =-=-= 22.解:()1令()a log x t t R =∈，则()()22,,1tt t a x a f t a a a -==--， 所以()()()22,1x x a f x a a x R a -=-∈- 所以()()()()222211x x x x a a f x a a a a f x a a ---=-=--=---，故()f x 为奇函数当1a >时，x y a =为增函数，xy a -=-为增函数，且2201a a >-， 所以()f x 为增函数．当01a <<时，x y a =为减函数，xy a -=-为减函数，且2201a a <-， 所以()f x 为增函数.综上可知()f x 在R 上为增函数．(利用定义证明也给分） ()2因为()f x 是R 上的增函数，所以()6y f x =-也是R 上的增函数.由2x <，得()()2f x f <，要使()6f x -在(2),-∞上恒为负数，只需()260f -≤，即:()222261a a a a --≤- 2422161a a a a -∴⋅≤-2216,5,a a a ∴+≤<≤≤又已知0a >且1a ≠因此a 的取值范围为()(,10⋃。
2023届辽宁省重点六校协作体高一数学第一学期期末经典试题含解析
x
图象的相邻两对称轴
间的距离为 . 2
（1）求 f x 的解析式与单调递减区间；
（2）已知
f
x在
6
,
5 6
时，求方程 2
f
2
x
3 f x 3 0的所有根的和.
21．设 A 是实数集的非空子集，称集合 B uv | u,v A且 u v为集合 A 的生成集
（1）当 A 2,3,5时，写出集合 A 的生成集 B；
A.125
B.135
C.165
D.170
.2．下列函数中，是奇函数且在区间(0,)上单调递减的是（ ）
A. y x2
1
B. y x2
C. y x1
D. y x3
3．已知三棱锥 P ABC 的三条棱 PA , PB , PC 长分别是 3、4、5，三条棱 PA , PB , PC 两两垂直，且该棱锥 4 个顶
故选：D. 10、C
【解析】从 960 人中用系统抽样方法抽取 32 人，则抽样距为 k＝
，
因为第一组号码为 9，则第二组号码为 9＋1×30＝39，…，
第 n 组号码为 9＋(n－1)×30＝30n－21，由 451≤30n－21≤750，
得
，所以 n＝16,17，…，25，共有 25－16＋1＝10(人)
42 1 4
2 5
故选：C
【点睛】易错点睛：本题如果利用 tan 2 ，求出 sin , cos 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处
理，可以避开了这一讨论 7、D
【解析】如图所示：
当直线过（1,0）时，将（1,0）代入直线方程得：m= 3 ；
当直线与圆相切时，圆心到切线的距离 d=r，即 |m | =1 ， 1+3
2020-2021学年辽南协作体高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年辽南协作体高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x2−x>0}，则图中的阴影部分表示的集合为()A. (−∞,1]U(2，+∞)B. (−∞,0)∪(1,2)C. [1,2)D. (1,2]2.2008年某市有23000名初中毕业生参加了升学考试，为了解23000名考生的升学成绩，从中抽取了200名考生的试卷进行统计分析，以下说法不正确的是()A. 23000名考生的成绩是总体B. 每名考生是个体C. 200名考生的成绩是总体的一个样本D. 每名考生的成绩是个体3.命题p:0<x<1，命题q:x2<2x，命题p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件4.若a，b均为正实数，且4a +3b=1，则a+b的最小值是()A. 6+2√3B. 7+2√3C. 6+4√3D. 7+4√35.将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为()A. 310B. 25C. 320D. 146.已知函数f(x)=(m2−m−1)x m3−1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0,+∞)且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2>0，则m的值为()A. −1B. 2C. 0D. 17. 小赵到哈尔滨南岗区7个小区和道里区8个小区调查空置房情况，将调查得到的小区空置房的套数绘成了如图所示的茎叶图，则调查中的南岗区空置房套数的中位数与道里区空置房套数的中位数之差为( )A. 4B. 3C. 2D. 18.已知定义域为R 的奇函数f(x)满足f(x +2)=f(x)，且当0≤x ≤1时，f(x)=x 3，则f(−52)=( )A. −278B. −18C. 18D. 2789.已知正项等比数列{a n }满足a 7−a 6=2a 5，若存在两项a m ，a n 使得√a m a n =4a 1，则n+9m mn的最小值为( )A. 83B. 114C. 145D. 17610. 已知函数f(x)={110x +1,x ≤1lnx −1,x >1，则方程f(x)=ax 恰有一个实根时，实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−1]∪[1.1,+∞)∪{1e 2} B. (−1,110) C. (−1,0]∪(110,1e 2)D. (−1,1e 2)11. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 为单位向量，a ⃗ ⋅b ⃗ =12，向量c ⃗ 满足a ⃗ −c ⃗ 与b ⃗ −c ⃗ 的夹角为π6，则|a ⃗ −c ⃗ |的最大值为( )A. 32B. 4C. 52D. 212. 函数的定义域是：( ) A.B.C. ∪D. ∪二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 令lg2=a ，则用a 表示lg 85+31g 12的结果为______14. 某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘制成频率分布直方图如图所示，若要从成绩在[85,90)，[90,95)，[95,100]三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取12人参加面试，则成绩在[90,100]内的学生应抽取的人数为______ ．15. 在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BO 的中点，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ为实数)，则λμ=_______．16. 已知a >b >0，那么，当代数式a 2+16b(a−b)取最小值时，点P(a,b)的坐标为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合P 的元素个数为3n(n ∈N ∗)个且元素为正整数，将集合P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，即P =A ∪B ∪C ，A ∩B =⌀，A ∩C =⌀，B ∩C =⌀，其中A ={a 1,a 2,…,a n }，B ={b 1,b 2,…b n }，C ={c 1,c 2,…,c n }.若集合A 、B 、C 中的元素满足c 1<c 2<⋯<c a ，a k +b k =c k ，k =1，2，…n ，则称集合P 为“完美集合”．(1)若集合P ={1,2,3}，Q ={1,2,3,4,5,6}，判断集合P 和集合Q 是否为“完美集合”？并说明理由； (2)已知集合P ={1,x,3,4,5,6}为“完美集合”，求正整数x 的值； (3)设集合P ={x|1≤x ≤3n,n ≥2,n ∈N ∗}①证明：集合P 为“完美集合”的一个必要条件是n =4k 或n =4k +1(k ∈N ∗)②判断当n =4时，集合P 是否为“完美集合”，如果是，求出所有符合条件的集合C ；如果不是，请说明理由．18. 已知函数f(x)=log a 1−kx x−1(a >1)是奇函数，(1)求k 的值；(2)在(1)的条件下判断f(x)在(1,+∞)上的单调性，并运用单调性的定义予以证明．19. 已知两个非零向量a ⃗ ，b ⃗ ．(Ⅰ)若向量a ⃗ ，b ⃗ 是夹角为120°的单位向量，试确定实数k ，使k a ⃗ +b ⃗ 和a ⃗ −b ⃗ 垂直； (Ⅱ)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +6b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(a ⃗ −b ⃗ )，求证：A,B,D 三点共线．20. 甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求： (1)2个人都译出密码的概率；(2)2个人都译不出密码的概率；(3)恰有1个人译出密码的概率；(4)至多1个人译出密码的概率；(5)至少1个人译出密码的概率．21.已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1，及f(x+1)−f(x)=2x．(I)求函数f(x)的解析式；(II)在区间[−1 , 1]上，函数y=f(x)的图象恒在y=3x+m的图象上方，试确定实数m的取值范围(x>0)．22. 已知二次函数f(x)=ax2+2x+c的对称轴为x=1，g(x)=x+1x(1)求函数g(x)的最小值及取得最小值时x的值；(2)试确定c的取值范围，使g(x)−f(x)=0至少有一个实根；(3)当c=m−3时，F(x)=f(x)−(m+2)x，对任意x∈(1,2]有F(x)≤0恒成立，求实数m的取值范围．参考答案及解析1.答案：A解析：本题主要考查集合的基本运算，利用阴影部分表示出集合关系是解决本题的关键．根据阴影部分对应的集合为∁U(A∩B)∩(A∪B)，然后根据集合的基本运算进行求解即可．解：B={x|x2−x>0}={x|x>1或x<0}，由题意可知阴影部分对应的集合为∁U(A∩B)∩(A∪B)，∴A∩B={x|1<x≤2}，A∪B=R，即∁U(A∩B)={x|x≤1或x>2}，∴∁U(A∩B)∩(A∪B)={x|x≤1或x>2}=(−∞,1]U(2，+∞)故选：A．2.答案：B解析：解：A、23000名考生的成绩是总体，故本选项正确；B、每名考生的成绩是个体，而不是每名考生是个体，故本选项错误；C、200名考生的成绩是总体的一个样本，故本选项正确；D、每名考生的成绩是个体，故本选项正确；故选B．本题考查的是确定总体.解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物.”.我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象，考查的对象是考生的升学成绩，即可确定总体、个体、样本，进而确定样本容量．本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象.总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小.样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．3.答案：A解析：本题考查了不等式的解法、充分条件，必要条件的判断，属于基础题．对于命题q：不等式x2−2x<0成立，解出即可判断出结论．解：对于命题q：不等式x2−2x<0成立，解得：0<x<2，而命题p，0<x<1；则命题p是命题q的充分不必要条件．故选：A．4.答案：D解析：解：∵a，b均为正实数，且4a +3b=1，∴a+b=(a+b)(4a +3b)=7+4ba+3ab≥7+2√4ba⋅3ab=7+4√3，当且仅当2b=√3a=6+4√3．∴a+b的最小值是7+4√3．故选：D．利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．5.答案：C解析：解：将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，基本事件总数n=C63=20，甲盒中恰好有3个小球有m=C32=3种放法，∴结合古典概型计算公式可得甲盒中恰好有3个小球的概率为p=mn =320．故选：C．基本事件总数n=C63=20，甲盒中恰好有3个小球有m=C32=3种放法，由此能求出甲盒中恰好有3个小球的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：B解析：解：由已知函数f(x)=(m2−m−1)x m3−1是幂函数，可得m2−m−1=1，解得m=2或m=−1，当m=2时，f(x)=x7；当m=−1时，f(x)=x−2．对任意的x1、x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2>0，故函数是单调增函数，∴m=2，f(x)=x7．故选：B．利用幂函数的定义和性质即可求出m．本题考查幂函数的性质以及幂函数的定义的应用，考查计算能力．7.答案：D解析：解：因为南岗区空置房套数有7套，则其中位数是79；道里区空置房套数有8套，则其中位数为76+802=78，所以两中位数之差是79−78=1． 故选：D ．由茎叶图分别求出两区的中位数，相减即可． 本题通过茎叶图考查中位数的求法，属于基础题．8.答案：B解析：解：根据题意，函数f(x)为奇函数且满足f(x +2)=f(x)， 则f(−52)=f(−12)=−f(12)， 又由当0≤x ≤1时，f(x)=x 3， 则f(12)=(12)3=18； 则有f(−52)=−f(12)=−18， 故选：B ．根据题意，由函数的奇偶性和周期性分析可得f(−52)=f(−12)=−f(12)，结合函数的解析式求出f(12)的值，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质应用，涉及函数的周期，属于基础题．9.答案：B解析：解：设等比数列的公比为q(q >0)， ∵a 7−a 6=2a 5， ∴a 5q 2−a 5q =2a 5， ∴q =2，∵存在两项a m ，a n 使得√a m a n =4a 1，∴a m a n =16a 12， ∴q m+n−2=16， ∴m +n =6， ∴n+9m mn=1m +9n =16(m +n)(1m +9n )=16(10+n m +9m n)≥16(10+2√n m ⋅9m n)=83，当且仅当“m=32,n=92”时取等号，但此时与题设不成立．由m，n∈N⋅，经验算可知，当“m=2，n=4”时，n+9mmn 取得最小值114．故选：B．由已知条件可求得等比数列的公比为2，进而求得m+n=6，结合m，n∈N⋅，经验算即可求得答案．本题考查等比数列与基本不等式的综合问题，考查运算求解及化简变形能力，注意基本不等式的运用条件：一正二定三相等，本题属于易错题，难度不大．10.答案：A解析：解：当x≤1时f(x)=110x+1，∴110x+1=ax，∴a=110+1x，令g(x)=110+1x，∵x≤1又g(x)在(−∞,0)和(0,1)上都是单调递减的，∴g(x)在x≤1上的值域是(−∞,0)∪[1.1，+∞)，当x>1时，f(x)=lnx−1=ax，得到a=lnx−1x，令ℎ(x)=lnx−1x，∵x>1，∴ℎ′(x)=2−lnxx2，令ℎ′(x)=0，得到2−lnx=0得到x=e2，∴ℎ(x)在(1,e2)上单调增，在(e2,+∞)上单调减，∴ℎ(x)的最大值为ℎ(e2)=1e2，∵当x<e时，lnx−1<0，而x趋向正无穷时，ℎ(x)趋向0，∴ℎ(x)>ℎ(1)=−1，∴ℎ(x)的值域是(−1,1e2)，∵f(x)=ax恰有一个实根，∴a∈(−∞,−1]∪[1.1,+∞)∪{1e2}，故选：A由题意，方程f(x)=ax 恰有一个实根，等价于y =f(x)与y =ax 有1个交点，求出a 的取值范围． 本题考查了函数的图象与性质的应用问题，以及分类讨论的思想，以及函导数数与函数最值问题，进行解答，是易错题．11.答案：D解析：解：∵a ⃗ ⋅b ⃗ =12，向量a ⃗ ，b ⃗ 为单位向量， ∴1×1×cos <a ⃗ ,b ⃗ >=12，∴<a ⃗ ,b ⃗ >=π3．设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ． ∵向量c ⃗ 满足a ⃗ −c ⃗ 与b ⃗ −c ⃗ 的夹角为π6， ∴∠ACB =π6．由等边三角形OAB ，点C 在AB 外且∠ACB 为定值，可得C 的轨迹是两段圆弧，∠ACB 是AB 所对的圆周角．可知：当AC 时是弧A ̂B 所在圆(上述圆弧)的直径时，|a ⃗ −c ⃗ |取得最大值|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 在△ABC 中，由正弦定理可得：AC =ABsin30°=2． ∴|a ⃗ −c ⃗ |取得最大值是2． 故选：D ．由a ⃗ ⋅b ⃗ =12，向量a ⃗ ，b ⃗ 为单位向量，可得<a ⃗ ,b ⃗ >=π3.设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ .由向量c ⃗ 满足a ⃗ −c ⃗ 与b ⃗ −c ⃗ 的夹角为π6，可得∠ACB =π6.由等边三角形OAB ，点C 在AB 外且∠ACB 为定值，可得C 的轨迹是两段圆弧，∠ACB 是AB 所对的圆周角．因此：当AC 时是弧A ̂B 所在圆(上述圆弧)的直径时，|a ⃗ −c ⃗ |取得最大值|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |． 本题考查了向量的数量积运算性质、向量的减法运算及其几何意义、圆的性质、直角三角形的边角关系，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．12.答案：D .解析：试题分析：函数的定义域是使得整个解析式有意义的取值范围.函数的定义域一般保证①偶次方根下被开方数大于等于0②分母不为0③对数的真数大于0④中的项.在本题中，要使得函数解析式有意义，须满足，从而得到．考点：命题的否定;充要条件：特称命题与全称命题;四种命题的关系．13.答案：a −1解析：解：lg 85+31g 12=lg8−lg5−3lg2=3lg2−(1−lg2)−3lg2=lg2−1=a −1， 故答案为：a −1．利用对数的运算性质化简即可．本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．14.答案：6解析：解：由频率分布直方图，得：(0.016+0.064+0.06+a +0.02)×5=1，解得a =0.040． 第3组的人数为0.060×5×50=15， 第4组的人数为0.040×5×50=10， 第5组的人数为0.020×5×50=5，所以利用分层抽样在30名学生中抽取12名学生， 第4组应抽取1030×12=4人，第5组应抽取530×12=2人． 则成绩在[90,100]内的学生应抽取的人数为6． 故答案为：6．由频率分布直方图，先求出a =0.040.再求出第3组、第4组和第5组的人数，由此能求出利用分层抽样在30名学生中抽取12名学生，成绩在[90,100]内的学生应抽取的人数．本题考查分层抽样方法的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．15.答案：316解析：本题考查了平面向量基本定理，属于基础题．由平面向量基本定理得AE ⃗⃗⃗⃗⃗=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .代入求值即可． 解：AE ⃗⃗⃗⃗⃗=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∴λ=34,μ=14，∴λμ=316．故答案为316．16.答案：(2√2,√2)解析：解：因为a>b>0：∴b(a−b)≤(b+a−b2)2=a24；所以a2+16b(a−b)≥a2+64a2≥2√64=16.当且仅当{a4=64b=a−b⇒{a=2√2b=√2时取等号，此时P(a,b)的坐标为：(2√2,√2).故答案为：(2√2,√2).先根据基本不等式得到b(a−b)≤(b+a−b2)2=a24；再利用一次基本不等式即可求解．本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题型．17.答案：解：(1)集合P={1,2,3}为“完美集合”，令A={1}，B={2}，C={3}．则集合A、B、C中的元素满足a k+b k=c k，集合Q={1,2,3,4,5,6}不是“完美集合”，若集合Q为“完美集合”，则C中元素最小为3，若C的最小元素为3，则a1+b1=1+2=3，a2+b2=4+5=c2=6不可能成立，若C的最小元素为4，则a1+b1=1+3=4，a2+b2=2+5=c2=6不可能成立，若C的最小元素为5，则a1+b1=1+4=5，a2+b2=2+3=c2=6不可能成立，综上可得集合Q={1,2,3,4,5,6}不是“完美集合”(2)由(1)可得x≠2，若A={1,3}，4∈B，则5∈C，6∈B，x=3+6=9∈C满足“完美集合”的定义；若A={1,3}，5∈B，则6∈C，5∈B，x=3+5=8∈C满足“完美集合”的定义；解析：讨论集合A与集合B，根据完美集合的概念知集合C，根据a k+b k=c k.建立等式求x的值本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：(1)f(x)是奇函数，则f(−x)=−f(x)．由f(−x)=−f(x)⇒1+kx−x−1=x−11−kx⇒1−k2x2=1−x2⇔k2=1⇔k=1或k=−1.(2分)当k=1时，f(x)=log a1−xx−1=log a(−1)，这与题设矛盾，当k=−1时，f(x)=log a x+1x−1为奇函数，满足题设条件．(4分)(2)在(1)的条件下，f(x)=log a x+1x−1在(1,+∞)上是减函数，证明如下：设x1，x2∈(1,+∞)，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=log a(x1+1)(x2−1)(x1−1)(x2+1)=log a x1x2−x1+x2−1x1x2−x2+x1−1，(6分)∵x2>x1>1∴x1x2−x1+x2−1>x1x2−x2+x1−1>0，即x1x2−x1+x2−1x1x2−x2+x1−1>1，(7分)又a>1，∴f(x1)−f(x2)>log a1=0即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(1,+∞)上是减函数．(8分)解析：(1)由已知中函数f(x)=log a1−kxx−1(a>1)是奇函数，根据奇函数的定义，我们可构造一个关于k的方程，解方程即可得到答案．但由于对数要求真数部分大于0，故还要对k值进行判断，以去除增根．(2)利用定义法(作差法)，任取x1，x2∈(1,+∞)，且x1<x2，确定f(x1)−f(x2)的符号，即可根据单调性的定义得到结论．本题考查的知识点是奇函数、函数单调性的判断与证明，对数运算性质，是必须一难点的集中考查，熟练掌握函数单调性、奇偶性的定义及对数的运算性质是解答的关键．19.答案：(Ⅰ)解：∵向量a⃗,b⃗ 是夹角为120°的单位向量；∴a⃗⋅b⃗ =1×1×cos120°=−12；∵k a⃗+b⃗ 与a⃗−b⃗ 垂直；∴(k a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=0；∴k a⃗2−k a⃗⋅b⃗ +a⃗⋅b⃗ −b⃗ 2=0，即32k−32=0，∴k=1；(Ⅱ)证明：∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +6b ⃗ +2(a ⃗ −b ⃗ )=4(a ⃗ +b ⃗ )， 且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ； ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线； 又∵BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点B ； ∴A,B,D 三点共线．解析：本题考查单位向量的概念，向量数量积的计算公式及数量积的运算，向量垂直的充要条件，以及共线向量基本定理．(Ⅰ)根据条件可求出a ⃗ ⋅b ⃗ =−12，根据k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 垂直，即可得出(k a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=0，进行数量积的运算即可求出k 的值；(Ⅱ)可求出BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4(a ⃗ +b ⃗ )，从而得出BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即得出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，从而得出A,B,D 三点共线． 20.答案：解：记“甲译出密码”为事件A ，“乙译出密码”为事件B ，“两人都译出密码”为事件C ，“两人都译不出密码”为事件D ，“恰有一人译出密码”为事件E ，“至多一个人译出密码”为事件F ，“至少1个人译出密码“为G ， (1)P(C)=P(A ∩B)=P(A)⋅P(B)=13×14=112，即2个人都译出密码的概率为112．(2)P(D)=P(A −∩B −)=P(A −)⋅P(B −)=(1−13)×(1−14)=12，即2个人都译不出密码的概率为12．(3)P(E)=P[(A ∩B −)∪(A⃗ ∩B)]=P(A ∩B −)+P(A ⃗ ∩B)=13×(1−14)+(1−13)×14=512，即恰有一个人译出密码的概率为512．(4)利用事件的对立事件求得P(F)=1−P(C)=1−112=1112，即至多有一个人译出密码的概率为1112． (5)利用事件的对立事件求得P(G)=1−P(D)=1−12=12，即至少1个人译出密码的概率为12． 解析：(1)利用相互独立事件的概率乘法公式求得两个人都能译出密码的概率． (2)利用相互独立事件的概率乘法公式求得两个人都能译不出密码的概率．(3)求出甲能译出密码而乙不能译出密码的概率、甲不能译出密码而乙能译出密码的概率，相加即得所求．(4)用1减去甲乙都能译出密码的概率，即为至多有一个人译出密码的概率． (5)用1减去甲乙都能译不出密码的概率，即为至少1个人译出密码的概率．本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，事件与它的对立事件概率间的关系，属于中档题．21.答案：解：(I)设二次函数解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由已知：f(0)=c=1，f(x+1)−f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+1−ax2−bx−1=2ax+a+b=2x，所以a=1，b=−1，则函数f(x)的解析式为f(x)=x2−x+1．(II)在区间[−1,1]上，y=f(x)的图象恒在直线y=3x+m上方，所以x2−x+1>3x+m在区间[−1，1]恒成立，则m<x2−4x+1，因为y=x2−4x+1在[−1,1]单调递减，所以(x2−4x+1)min=1−4+1=−2，则m的取值范围为(−∞,−2)．解析：本题考查利用待定系数求二次函数的解析式，及利用不等式恒成立研究函数的图象关系．(I)设二次函数的解析式，利用已知列方程，得a、b、c的值；(II)因为函数图象的关系得不等式恒成立，由二次函数的单调性，得出m的取值范围．22.答案：解：(1)∵x>0，∴1x>0，∴x+1x ≥2，当且仅当x=1x，即x=1时“=”成立，即g(x)min=2，此时x=1．(2)∵f(x)=ax2+2x+c的对称轴为x=1，∴a=−1，∴f(x)=−x2+2x+c，当x∈(0,+∞)时，g(x)−f(x)=0至少有一个实根⇔g(x)=f(x)至少有一个实根．即y=g(x)与y=f(x)的图象在(0,+∞)上至少有一个交点，f(x)=−(x−1)2+1+c，∴f(x)max=1+c，g(x)min=2，∴1+c≥2，∴c≥1，∴c的取值范围为[1,+∞)．(3)∵c=m−3，∴F(x)=−x2+2x+m−3−(m+2)x=−x2−mx+m−3，∴对任意x∈(1,2]有−x2−mx+m−3≤0恒成立，∴m≥−x2−3x−1，令t=x−1，t∈(0,1]，∴x=t+1，∴m≥−(t+1)2−3t =−t−4t−2，令G(t)=−t−4t−2，设t1，t2为(0,1]上任意两不等实数，且t2>t1，∴G(t2)−G(t1)=−t2−4t2−2−(−t1−4t1−2)=t1−t2+4t1−4t2=(t1−t2)(1−4t1t2)，∵0<t1<t2≤1，∴t1−t2<0，1−4t1t2<0，∴G(t2)−G(t1)>0，∴G(t)在(0,1]上单调递增，∴G(t)max=G(1)=−1−4−2=−7，∴m≥−7．∴实数m的取值范围为[−7,+∞)．解析：(1)g(x)=x+1x(x>0)，运用基本不等式即可求得函数g(x)的最小值及取得最小值时x的值；(2)依题意，可得f(x)=−x2+2x+c，当x∈(0,+∞)时，g(x)−f(x)=0至少有一个实根⇔g(x)= f(x)至少有一个实根，即y=g(x)与y=f(x)的图象在(0,+∞)上至少有一个交点，可求得f(x)max= 1+c，g(x)min=2，利用1+c≥2，可求得c的取值范围；(3)由c=m−3时，F(x)=f(x)−(m+2)x，对任意x∈(1,2]有F(x)≤0恒成立，分离参数m可得不等式：m≥−x2−3x−1，再将右端的部分分离出常数，利用“对勾”函数的单调性质即可求得实数m的取值范围．本题考查函数恒成立问题，突出考查二次函数的对称性与单调性及“对勾函数”的单调性质，考查等价转化思想与运算求解能力，属于难题．。
2020-2021学年辽宁省抚顺六校协作体高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年辽宁省抚顺六校协作体高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|x >0}，B ={x|x <1}，则A ∩B =( )A. (0,+∞)B. (−∞,1)C. (0,1)D. (−∞,0)∪(1,+∞)2. 命题“∃x ∈R ，x 2−x +2>0”的否定是( )A. ∀x ∈R ，x 2−x +2>0B. ∃x ∈R ，x 2−x +2≤0C. ∀x ∈R ，x 2−x +2<0D. ∀x ∈R ，x 2−x +2≤0 3. 已知p ：2x 2−x −1=0，q ：x =1，p 是q 的( )条件．A. 必要不充分B. 充分不必要C. 充要D. 既不充分也不必要4. 函数g(x)=√2+x +ln(1−x)的定义域为( )A. (1,+∞)B. [−2,1)C. [−2,+∞)D. (−2,1] 5. 已知f(x)=a x (a >0)且a ≠1)，f −1(2)<0，则f −1(x +1)的图象是( )A.B.C.D.6. 已知a =0.910，b =100.9，c =log 0.910，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. b >a >cC. c >b >aD. b >c >a7. 已知向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(2,y)，若a ⃗ //b ⃗ ，则3a ⃗ +4b ⃗ =( )A. (1,−2)B. (1,2)C. (5,−10)D. (−10,−5) 8. 设g(x)=a −55x +1是奇函数，则( )A. a =52，g(x)是增函数 B. a =32，g(x)是增函数 C. a =52，g(x)是减函数D. a =32，g(x)是减函数二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. a ，b ，c ，d 均为实数，且a >b >0，c >d >0，则下列结论正确的是( )A. ac >bdB. a −c >b −dC. a +c >b +dD. a d >bc10. 下列计算正确的有( )A. (12)−1+823+20200=7 B. 2lg5+lg4−5log52=0C. log2(log0.50.5)=1D. (√a−1)2+√(1−a)2=011.若函数f(x)=a2x+a x−1(a>0且a≠1)在区间[−2,1]上最大值为19，则a的可能值为()A. 14B. 4 C. 12D. 212.已知f(x)是偶函数，对任意的x都有f(x+4)=f(2−x)+f(3)，且f(5)=2，当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，f(x1)−f(x2)x1−x2>0恒成立，则()A. f(2021)=2B. 直线x=−3是f(x)图象的对称轴C. f(x)在[8,10]上是增函数D. 方程f(x)−2=0在(−7,7)上有4个实根三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知不等式−x2−ax+b≥0的解集为[−2,3]，则不等式|ax+b|<5的解集为______ ．14.已知x1，x2，…，x n的平均数为10，标准差为3，且y i=2x i+1，其中i=1，2，…，n.则y1，y2，…，y n的平均数与方差的和为______ ．15.甲乙丙三人进行射击训练，他们每次射击命中目标的概率依次为0.7，0.8和0.6，若他们各向目标射击一次，则恰有两人击中目标的概率为______ ．16.若函数f(x)=ln(x2−2ax−a)在(−∞,−2]上为减函数，则a的取值范围为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知命题：①关于f(x)=|x|−a在(−1,1)上有两个零点；②关于x的不等式a x>1(a>0,a≠1)的解集是{x|x<0}；③f(x)=log a x(a>0,a≠1)在定义域内是减函数．从以上三个命题中任选一个作为命题p，命题q：函数y=lg(ax2−x+a)的定义域为R，为了使p，q 有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围．18.已知关于x的一元二次不等式x2+2mx+m+2≥0的解集为R．(1)求函数f(m)=(m−2)+3m+2的最小值；(2)解关于x的一元二次不等式x2+(m−3)x−3m<0．19.某玩具厂生产玩具，每个玩具的成本为60元，出厂单价定为80元，该厂为了鼓励各商场销售商订购，决定每一次订购量超过100个玩具时，每多订购一个，多订购的全部玩具的出厂单价就降0.02元，但实际出厂单价不能低于71元．(1)当一次订购量为多少个时，玩具的实际出厂单价恰降为71元？(2)设一次订购量为x 个，玩具的实际出厂单价为P 元，写出函数P =f(x)的表达式；(3)当某商场销售商一次订购500个玩具时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？20. 如图所示，在▱ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，BM =23BC ，AN =15AB ．(1)试用向量a ⃗ ,b ⃗ 来表示DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)AM 交DN 于O 点，求AO ：OM 的值．21. 某市从2019年参加高三学业水平考试的学生中随机抽取80名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)，…，[140,150]后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在[120,130)内的频数；(2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如：组区间[100,110)的中点值为100+1102=105)，作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段[120,130)内的概率．22.若函数f(x)满足f(log a x)=a2a2−1(x−1x)(其中a>0且a≠1)．(1)求函数f(x)的解析式，并判断其奇偶性和单调性；(2)当x∈(−∞,2)时，f(x)−6的值恒为负数，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A ={x|x >0}，B ={x|x <1}， ∴A ∩B =(0,1)． 故选：C ．直接进行交集的运算即可．本题考查了交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.【答案】D【解析】解：命题“∃x ∈R ，x 2−x +2>0”为特称命题，它的否定是∀x ∈R ，x 2−x +2≤0， 故选：D ．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 3.【答案】A【解析】解：2x 2−x −1=0⇔(x −1)(2x +1)=0，所以方程解为：x =1或x =−12， 命题p ：2x 2−x −1=0等价化为p ：x =1或x =−12，命题q ：x =1， 显然，p 推不出q ，q 推出p ，所以p 是q 的必要不充分条件， 故选：A ．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题考查了充分条件和必要条件，考查解二元一次方程问题，属基础题． 4.【答案】B【解析】解：由题意，得{2+x ≥01−x >0，所以−2≤x <1，所以g(x)的定义域为[−2,1)． 故选：B ．根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查对数的性质，是一道基础题． 5.【答案】A【解析】解：①当0<a <1，f −1(x)=log a x 函数的图象在(0,+∞)为单调减，f −1(1)=0，符合f −1(2)<0，而f −1(x +1)相当于把图象向左平移1个单位故 A 满足条件 ②当a >1，f −1(x)=log a x 函数的图象在(0,+∞)为单调增，f −1(1)=0，不符合f −1(2)<0，故舍 故选：A ．根据原函数与反函数图象间的关系(若两个函数的图象关于直线y =x 对称)对a 进行分类讨论．①当0<a <1，f −1(x)=log a x 函数的图象在(0,+∞)为单调减，f −1(1)=0，符合f −1(2)<0，而f −1(x +1)相当于把图象向左平移1个单位故 A 满足条件②当a >1，f −1(x)=log a x 函数的图象在(0,+∞)为单调增，f −1(1)=0，不符合f −1(2)<0，故舍本题考查了对数函数的图象与性质，反函数与原函数间的关系及分类讨论的思想，属于基础题． 6.【答案】B【解析】解：由指数函数和对数函数的图象及性质可知0<a =0.910<1，b =100.9>1，c =log 0.910<0， 则b >a >c ， 故选：B ．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．7.【答案】C【解析】解：∵向量a ⃗ =(−1,2),b ⃗ =(2,y),a ⃗ //b ⃗ ， ∴−1·y =2×2，解得y =−4， 则3a ⃗ +4b ⃗ =(5,−10)． 故选：C ．利用向量共线的充要条件列方程，求出y ，再利用平面向量坐标运算法则能求出结果． 本题考查平面向量的求法，考查向量平行的性质、平面向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8.【答案】A【解析】解：因为g(x)=a −55x +1的定义域是R ，且为奇函数， 所以g(0)=0，即a −52=0，故a =52，又y =5x 是增函数，则y =5x +1是增函数，则y =55+1是减函数，y =−55+1是增函数， 所以g(x)=52−55x +1是增函数，也可以用函数单调性的定义进行证明．故选：A ．求出函数的定义域为R ，由奇函数的性质g(0)=0，即可求得a 值，由指数函数的单调性及复合函数的单调性即可求得g(x)的单调性，从而可得结论．本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，掌握奇函数的性质以及复合函数单调性的求法是解题的关键，属于基础题． 9.【答案】ACD【解析】解：因为a ，b ，c ，d 均为实数，且a >b >0，c >d >0， 由不等式的性质易得ac >bd ，a +c >b +d ，故A ，C 正确；取a =2，b =1，c =3，d =2，可得a −c =b −d ，故B 不正确， 又因为c >d >0，则1d >1c >0，又a >b >0，故D 正确． 故选：ACD ．由不等式的基本性质逐一判断即可．本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题． 10.【答案】AB【解析】解：因为(12)−1+823+20200=2+4+1=7，故选项A 正确；因为2lg5+lg4−5log 52=lg25+lg4−2=lg100−2=2−2=0，故选项B 正确； 因为log 2(log 0.50.5)=log1=0，故选项C 不正确；因为(√a −1)2+√(1−a)2=a −1+a −1=2a −2，故选项D 不正确． 故选：AB ．直接利用有理指数幂及根式的性质，对数的运算法则和运算性质对四个选项逐一判断即可．本题考查了指数式与对数式的运算，涉及了根式的化简计算，解题的关键是熟练掌握对数式与指数式的运算性质与运算法则，属基础题． 11.【答案】BC【解析】解：f(x)=a 2x +a x −1=(a x +12)2−54， 若a >1，当x =1时a x 最大，此时f(x)取得最大值， 即f(1)=19，a 2+a −1=19， 解得a =4或a =−5(舍去)， 故a =4；若0<a <1，当x =−2时a x 最大，此时f(x)取得最大值， 即f(−2)=19，a −4+a −2−1=19， 解得a −2=4或a −2=−5(舍去)， 故a =12，故选：BC ．通过讨论a 的范围，得到函数f(x)取最大值时对应x 的值，得到关于a 的方程，解出即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查指数函数以及二次函数的性质，考查转化思想，分类讨论思想，是一道基础题． 12.【答案】ABD【解析】解：对于A ，对任意的x 都有f(x +4)=f(2−x)+f(3)，令x =−1，则f(3)=f(3)+f(3) 故f(3)=0，即f(x +4)=f(2−x)，因为f(x)是偶函数f(x +4)=f(2−x)=f(x −2)， 即f(x +6)=f(x)，f(2021)=f(336×6+5)=f(5)=2，故A 正确；对于B ，由A 可得f(x +4)=f(2−x)，可知x =3是函数f(x)的对称轴，又f(x)为偶函数，故x =−3也是f(x)的对称轴，故选项B 是正确的； 对于C ，由x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0恒成立知f(x)在[0,3]为增函数，x =3是函数f(x)的对称轴，则可得f(x)在[3,6]为减函数，由f(x +6)=f(x)可得f(x)在[6,9]为增函数，在[9,12]是减函数，故C 不正确；对于不D ，已知f(5)=2，则f(1)=2，f(−5)=2，f(−1)=2，故D 正确． 故选：ABD ．由f(x)是偶函数f(x +4)=f(2−x)=f(x −2)，即f(x +6)=f(x)，从而判断选项A ；由f(x +5)=f(1−x)，可得f(x)的图象关于直线x =3对称，再由函数的周期可判断选项B ；根据已知和周期即可判断选项C ；由f(5)=−2，函数的周期性和奇偶性即可判断选项D ．本题主要考查函数的单调性、奇偶性和周期性的综合运用，考查函数的对称性和函数零点的个数的求法，属于中档题．13.【答案】(1,11)【解析】解：由不等式−x 2−ax +b ≥0的解集为[−2,3]，可知−2，3是方程−x 2−ax +b =0的两个根， 所以a =−1，b =6． 解不等式|−x +6|<5，得−5<x −6<5，解得1<x <11， 即所求不等式的解集为(1,11)． 故答案为：(1,11)．根据题意可知，−2和3为方程−x 2−ax +b =0的两个根，利用根与系数的关系，可求得a 和b 的值，从而代入到不等式|ax +b|<5中，解绝对值不等式即可得解．本题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式与方程根的关系，属于基础题． 14.【答案】57【解析】解：已知x −=10,s x 2=9，则y −=2x −+1=2×10+1=21， s y 2=4s x 2=4×9=36， 故y −+s y 2=21+36=57． 故答案为：57．直接利用新数据与旧数据的平均数和方差的关系求出新数据的平均数和方差，从而得到答案， 本题考查了平均数与方差的求解，知道新数据和旧数据的平均数与方差的关系是解题的关键． 15.【答案】0.452【解析】解：甲乙丙三人进行射击训练，他们每次射击命中目标的概率依次为0.7，0.8和0.6， 若他们各向目标射击一次，则恰有两人击中目标的概率为： P =0.7×0.8×0.4+0.7×0.2×0.6+0.3×0.8×0.6=0.452． 故答案为：0.452．利用相互独立事件概率乘法公式直接求解．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】(−43,+∞)【解析】解：函数f(x)=ln(x 2−2ax −a)在(−∞,−2]上为减函数，a 需要满足以下条件：{a ≥−2(−2)2+4a −a >0，解得{a ≥−2a >−43，故a >−43， ∴a 的取值范围为(−43,+∞)． 故答案为：(−43,+∞)．由题意，可得{a ≥−2(−2)2+4a −a >0，再求出a 的取值范围．本题考查复合函数的单调性，考查转化思想和运算求解能力，是中档题． 17.【答案】解：选①作为命题p ： 若p 为真命题，则0<a <1，若q 为真命题：函数y =lg(ax 2−x +a)的定义域为R ， 则不等式ax 2−x +a >0的解集为R ，显然a =0不成立， 则{a >01−4a 2<0，解得a >12，当p 假，q 真时，由{a >1a >12，可得a >1； 当p 真，q 假时，由{0<a <1a ≤12，可得0<a ≤12，综上可知实数a 的取值范围是(0,12]∪(1,+∞),分别选②和③作为命题p ，命题p 为真命题时，0<a <1，所以结论同上， 综上可知实数a 的取值范围是(0,12]∪(1,+∞)．【解析】各选①②③作为命题p ，然后分别以命题p ，q 为真命题求出a 的范围，再讨论p ，q 中一真一假a 的范围，从而可以求解．本题考查了命题真假的判断，涉及到对数函数的单调性以及二次函数的恒成立问题，属于中档题． 18.【答案】解：(1)因为x 2+2mx +m +2≥0的解集为R ， 所以△=4m 2−4(m +2)≤0，解得：−1≤m ≤2， ∴实数m 的取值范围：[−1,2]，因为−1≤m ≤2，所以1≤m +2≤4，f(m)=(m −2)+3m+2=(m +2)+3m+2−4≥2√(m +2)3m+2−4=2√3−4， 当且仅当m +2=3m+2，即m =√3−2时取等号， 所以函数f(m)=(m −2)+3m+2的最小值为2√3−4；(2)x 2+(m −3)x −3m <0可化为(x +m)(x −3)<0， 因为−1≤m ≤2，所以−2≤−m ≤1<3， 故不等式的解集为(−m,3)．【解析】(1)根据二次函数的性质求出m +2的范围，再根据基本不等式的性质求出f(m)的最小值即可； (2)求出−m 的范围，求出不等式的解集即可．本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质的应用以及二次不等式的解法，是一道基础题． 19.【答案】解：(1)设每个玩具的实际出厂价格恰好降为71元时，一次订购量为x 0个， 则x 0=100+80−710.02=550，因此，当一次订购量为550个时，每个玩具的实际出厂价降为71元； (2)当0<x ≤100时，P =80；当100<x <550时，P =80−0.02(x −100)=82−x50， 当x ≥550时，P =71．∴P =f(x)={80,0<x ≤100,x ∈N82−x50,100<x <550,x ∈N 71,x ≥550,x ∈N；(3)设销售商的一次订购量为x 个玩具时，工厂获得的利润为L 元，则L =(P −60)x ={20x,0<x ≤100,x ∈N22x −x 250,100<x <550,x ∈N 11x,x ≥550,x ∈N，当x =500时，L =22×500−500250=6000；当x =1000时，L =11×1000=11000．因此，当销售商一次订购500个玩具时，该厂获得的利润是6000元； 如果订购1000个玩具，利润是11000元．【解析】(1)设每个玩具的实际出厂价格恰好降为71元时，一次订购量为x 0个，可得x 0=100+80−710.02，由此求得x 0即可；(2)直接由题意分段写出函数P =f(x)的表达式； (3)直接由(2)中的分段函数解析式求解即可．本题考查函数模型的性质及应用，考查函数值的求法，正确理解题意是关键，是基础题． 20.【答案】解：(1)因为AN =15AB ，所以AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15a ⃗ ， 所以DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15a ⃗ −b ⃗ ， 因为BM =23BC ，所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ⃗ ， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +23b ⃗ ． (2)因为A ，O ，M 三点共线，所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ //AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(a ⃗ +23b ⃗ )−b ⃗ =λa ⃗ +(23λ−1)b ⃗ ． 因为D ，O ，N 三点共线，所以DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 存在实数μ使DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μDN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μ(15a ⃗ −b ⃗ )=15μa ⃗ −μb ⃗ ，λa ⃗ +(23λ−1)b ⃗ =15μa ⃗ −μb ⃗ ， 由于向量a ⃗ ,b ⃗ 不共线，则{λ=15μ23λ−1=−μ，解得{λ=317μ=1517， 所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =317AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1417AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AO ：OM =3：14．【解析】(1)根据条件便可得到AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15a ⃗ ，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ⃗ ，再用向量a ⃗ ,b ⃗ 来表示DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可； (2)由D ，O ，N 三点共线，则存在实数μ使DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μDN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μ(15a ⃗ −b ⃗ )=15μa ⃗ −μb ⃗ ，同理可得DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(a ⃗ +23b ⃗ )−b ⃗ =λa ⃗ +(23λ−1)b ⃗ ，解出λ，μ，这样便能得出AO ：OM 的值．本题主要考查共线向量基本定理，向量加法、减法的几何意义，以及平面向量基本定理，数乘的几何意义．21.【答案】解：(1)分数在[120,130)内的频率为：1−(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1−0.7=0.3故频数为80×0.3=24．(2)估计平均分为x −=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121．(3)由题意，[110,120)分数段的人数为80×0.15=12(人)．[120,130)分数段的人数为80×0.3=24(人)．用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，所以需在[110,120)分数段内抽取2人，分别记为A 1，A 2，在[120,130)分数段内抽取4人，分别记为B 1B 2，B 3B 4，设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段[120,130)内”为事件A ，则样本空间：Ω={A 1A 2,A 1B 1,A 1B 2,A 1B 3,A 1B 4,A 2B 1,A 2B 2,A 2B 3,A 2B 4,B 1B 2,B 1B 3,B 1B 4,B 2B 3,B 2B 4,B 3B 4}，共包含15个样本点事件A −：“从样本中任取2人，2人都不在在分数段[120,130)内”A −={A 1A 2}，只有1个样本点， 所以至少有1人在分数段[120,130)内的概率为：p(A −)=115p(A)=1−p(A −)=1−115=1415．【解析】(1)先求出分数在[120,130)内的频率，由此能求出分数在[120,130)内的频数．(2)利用频率分布直方图能估计平均分．(3)由题意，[110,120)分数段的人数为12人，[120,130)分数段的人数为24人．用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，需在[110,120)分数段内抽取2人，分别记为A 1，A 2，在[120,130)分数段内抽取4人，分别记为B 1B 2，B 3B 4，设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段[120,130)内”为事件A ，利用列举法能求出至少有1人在分数段[120,130)内的概率．本题考查频数、平均分、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22.【答案】解：(1)令t =log a x(t ∈R)，则x =a t ,f(t)=a 2a 2−1(a t −a −t )， 所以f(x)=a 2a 2−1(a x −a −x )(x ∈R)， 所以f(−x)=a 2a 2−1(a −x −a x )=−a 2a 2−1(a x −a −x )=−f(x)， 故f(x)为奇函数，当a >1时，y =a x 为增函数，y =−a −x 为增函数，且a 2a 2−1>0， 所以f(x)为增函数．当0<a <1时，y =a x 为减函数，y =−a −x 为减函数，且a 2a 2−1<0， 所以f(x)为增函数．综上可知f(x)在R 上为增函数．(2)因为f(x)是R 上的增函数，所以y =f(x)−6也是R 上的增函数．由x <2，得f(x)<f(2)，要使f(x)−6在(−∞,2)上恒为负数，只需f(2)−6≤0，即a 2a 2−1(a 2−a −2)≤6，所以a 2a 2−1⋅a 4−1a 2≤6，所以a 2+1≤6,a 2≤5,−√5≤a ≤√5，又已知a>0且a≠1，因此a的取值范围为(0,1)∪(1,√5]．【解析】(1)利用换元法令t=log a x(t∈R)，可求得f(x)，利用函数奇偶性的定义即可判断函数为奇函数，由指数函数的单调性即可判断函数f(x)的单调性；(2)利用函数f(x)的单调性可将f(x)−6的值恒为负数转化为f(2)−6≤0，可得关于a的不等式，即可求解．本题主要考查函数解析式的求法，函数单调性与奇偶性的判断与应用，属于中档题．。
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2020-2021学年度（上）省六校协作体高一第一次联考数学试题命题人：北镇高中 刘春辉校对人：北镇高中 丁红一、单选题（共8道题，每题5分，共40分） 1．已知{}215A x x =->，{}3,4,5,6B =，则A B =（ ）A ．{}3B ．∅C ．{}3,4,5,6D ．{}4,5,62．命题2:2,10p x x ∀>->，则p ⌝是（ ） A ．22,10x x ∀>-≤ B ．22,10x x ∀≤-> C ．22,10x x ∃>-≤D ．22,10x x ∃≤-≤3．已知a ∈R ,则2a >是22a a >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．关于x 的一元二次方程2310kx x +-=有实根，则k 的取值范围是（ ）A ．94k ≤-B ．94k ≥-且0k ≠ C ．94k ≥-D ．94k >-且0k ≠5．有3个房间需要粉刷，粉刷方案为：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜料的粉刷费用（单位：元2/m ）分别为：a ，b ，c ，且a b c <<．在不同方案中，最低费用（单位：元）是（ ） A ．ax by cz ++ B ．ay bx cz ++ C ．zy bz cx ++D ．az by cx ++6．已知函数()21 2f x x -=-，则()2f 的值为（ ） A ．1- B ．7C ．2D ．17．若102x <<，则y = ） A ．1B ．12C ．14D ．188．已知集合{}1,2,3,4,5,6S =，对于它的任一非空子集A ，可以将A 中的每一个元素k 都乘以()1k-再求和，例如{}2,3,5A =，则可求得和为235(1)2(1)3(1)56-⋅+-⋅+-⋅=-，对S 的所有非空子集，这些和的总和为（ ） A ．92B ．96C ．100D ．192二、多选题（共4道题，每题5分，共20分，每题4个选项中，有多个正确选项，全部选对得5分，选对但不全得2分，有错误选项得0分）9．已知集合{}21,2,4M m m =++，且5M ∈，则m 的可能取值有（ ）A ．1B ．1-C ．3D ．210．对于实数a ，b ，c 下列说法正确的是（ ）A ．若a b =，则a c b c +=+B ．若a c b c +=+，则a b =C ．若a b =，则ac bc =D ．若ac bc =，则a b =11．已知a 、b 、c 、d 是实数，则下列一定正确的有（ ）A ．222()2a b a b ++≥B ．12a a+≥ C ．若11a b>，则a b < D ．若0a b <<，0c d <<，则ac bd >12．对于实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数()[]f x x x =-，则下列命题中正确的是（ ） A ．()()3.9 4.1f f -= B ．函数()f x 的最大值为1 C ．函数()f x 的最小值为0D ．方程()102f x -=有无数个根 三、填空（共4道题，每题5分，共20分，其中13题第一个空2分，第二个空3分） 13．关于x 的方程2410x x --=的两个根分别为1x ，2x ，则1211x x +=__________，12x x -=__________． 14．已知14a b ≤+≤，12a b -≤-<，则42a b -的取值范围是__________． 15．已知函数()f x 的定义域为[]2,1-，函数()1f x g x -=，则()g x 的定义域为__________．16．已知函数()|1|(1)f x x x =-+，[],x a b ∈的值域为[]0,8，则a b +的取值范围是__________． 四、解答题（共6道题，17题10分，其余每题12分，共70分） 17．解下列不等式：（1）|23|2x ->；（2）4293740x x -+<．18．已知集合{}123A x a x a =-<<+，{}24B x x =-≤<．（1）2a =时，求AB ；（2）若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围．19．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元．设该公司的仪器月产量为x 台，当月产量不超过400台时，总收益为214002x x -元，当月产量超过400台时，总收益为80000元．（注：总收益=总成本+利润） （1）将利润表示为月产量x 的函数()f x ；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 20．（1）比较3x 与21x x -+的大小；（2）证明：已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：c ca cb c>--． 21．已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <，或}x b >．（1）求a ，b 的值； （2）当0x >，0y >，且1a bx y+=时，有222x y k k +≥++恒成立，求k 的取值范围． 22．已知函数2()43f x x x a =-++，()52g x mx m =+-．（1）当3a =-，0m =时，求方程()()0f x g x -=的解； （2）若方程()0f x =在[]1,1-上有实数根，求实数a 的取值范围；（3）当0a =时，若对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．数学参考答案及评分标准一、单选题（共8道题，每题5分，共40分）1-4 DCAB5-8 DBCB二、多选题（共4道题，每题5分，共20分，每题4个选项中，有多个正确选项，全部选对得5分，选对但不全得2分，有错误选项得0分） 9．AC10．ABC11．AD12．ACD三、填空（共4道题，每题5分，共20分，其中13题第一个空2分，第二个空3分）13．4-；14．[]2,10-15．1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦16．[]2,417．（1）原不等式可转化为：232x ->或232x -<-，整理得：52x >或12x <， 则原不等式解集为52x x ⎧>⎨⎩或12x <⎫⎬⎭． （2）()()42222193740491049x x x x x -+<⇔--<⇔<<， 所以123x -<<-或123x <<， 则该不等式解集为：123x x ⎧-<<-⎨⎩或123x ⎫<<⎬⎭． 18．（1）2a =时，{}17A x x =<<∣，{}24B x x =-≤≤∣，{}{}{}172427A B x x x x x x =<<-≤≤=-≤<．（2）因为x A ∈是x B ∈的充分条件，所以A B ⊆．①A φ=，123a a -≥+即4a ≤-时满足题意；②A φ≠，则412234a a a >-⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得112a -≤≤．综上所述，4a ≤-或112a -≤≤． 19．（1）由题意得总成本为(20000100)x +元，所以利润2130020000,0400()260000100,400x x x f x x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪->⎩，x ∈N ． （2）当0400x ≤≤时，2211()30020000(300)2500022f x x x x =--=--+， 所以当300x =时，()f x 的最大值为25000；当400x >时，()600001004002000025000f x <-⨯=<,综上，当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25000元．20．（1）()()()323221(1)1(1)x x x x x x x x --+=-+-=+-当1x =时，()21(1)0x x +-=，故321x x x =-+； 当1x >时，()21(1)0x x +->，故321x x x >-+； 当1x <时，()21(1)0x x +-<，故321x x x <-+． （2）因为a b c >>且0a b c ++=，所以0c <．因为a b >，所以0a c b c ->->，两边取到数得：11a cbc <--， 又0c <，所以c ca cb c>--． 21．（1）因为不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <∣或}x b >，所以1和b 是方程2320ax x -+=的两个实数根且0a >所以312b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩．（3）由（1）知12a b =⎧⎨=⎩，于是有121x y +=，故1242(2)448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭（当2x =，4y =时等号成立）依题意有228k k ++≤，即260k k +-≤， 解得32k -≤≤．22．（1）当3a =-，0m =时，方程()()0f x g x -=，化为2450x x --=， 解得1x =-或5x =；（2）由函数()f x 图像可知，当[]1,1x ∈-时，(1)()(1)f f x f ≤≤-，方程()0f x =在[]1,1-上有实数根，则必有(1)0(1)0f f ≤⎧⎨-≥⎩，即080a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得80a -≤≤．（3）当[]11,4x ∈，()[]11,3f x ∈-，[]21,4x ∈，①当0m =时，()[]252,5g x m m ∈+-， 不符合题意，舍去．②当0m >时，()[]252,5g x m m ∈+-，则需有51523m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得6m ≥；③当0m <时，()[]252,5g x m m ∈+-， 则需有53521m m -≥⎧⎨+≤-⎩，解得3m ≤-；综上所述，m 的取值范围是(][),36,-∞-+∞。