二维玻尔兹曼方程的不可压缩极限

定义 2.2：设 (t, x,v) 是任意一点，且 ( x,v) ∉γ 0 ，令 (t0, x0,v0 ) = (t, x,v ) ，我们有如下定义：
( ) ( ) tk +1, xk +1,vk +1= tk − tb ( xk ,vk ), xb ( xk ,vk ),vk +1 ,
{ } ∑ X= cl (s;t, x,v ) ( ) ( ) 1[tk+1,tk ) s xk + s − tk vk , k
Pure Mathematics 理论数学, 2020, 10(2), 128-138 Published Online February 2020 in Hans. /journal/pm https:///10.12677/pm.2020.102019
Incompressible Limit of the Two Dimensional Boltzmann Equation
Tingting Gao
School of Mathematics, South China University of Technology, Guangzhou Guangdong
本文主要结果如下：
定理 1.1：设 Ω 是 2 中的有界开集，边界 ∂Ω 属于 C3 ，若 Φ ∈C1 (Ω) ，且 Φ L2 (Ω) 1 ，则
对于 0 < ε 1 ，(1)存在唯一解 F= µ + ε µ f ，f 满足
v ⋅∇x f + ε2
1 µ
Φ
⋅
∇v
µ f + ε −1Lf = Γ( f , f ) + εΦ ⋅ v
定常数。
估计(7)的右边需要下列 Sobolev-Gagliardo-Nirenberg 不等式：
对 于 1 ≤ p ≤ N 和 有 界 1 区 域 Ω ⊂ N ， 若 u ∈W 1, p (Ω) ， 则 对 任 意 的 p ≤ p* =Np ， 有
N−p
1
∫ ( )
u
p*
p*
≤C
N, P,Ω
= u ( x) 0= ,θ ( x) 0 ，在 ∂Ω 上，其中 u = (u1,u2 ) 。
2. 预备知识和主要引理
首先引进一些基本记号：
1
(∫ ) ( ) 我们定义下列范数： ⋅ ≡ ν 1 2 ⋅ =
ν
2
( ) ν 1 2 ⋅ L2 Ω×3
；= f p,±
= f 1γ ± p
f
γ
x,v 1± p dγ
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1. 引言
本文考虑如下玻尔兹曼方程的不可压缩极限：
ε −1v ⋅ ∇xF + εΦ ⋅ ∇vF =ε −2Q ( F, F ) , ( x,v) ∈ Ω × 3 ,
{ } ∫ ( ) F x,v n(x)⋅v <0 ( = 2πµ n(x)⋅u >0 F x,u) n ( x) ⋅ u du , x ∈ ∂Ω ,
γ+
fψ −
γ−
fψ .
(7)
∫∫ ( = −ε −1τ Ω ψ ×3 L I − P) f ∫∫ + ψ Ω×3 g
令a−
f
= a ，则 P f =
a
+
v⋅b
+
c
v
2 −3 2
µ ，分以下三步证明。
第一步 估计 c，对于足够小的 ε > 0 ，我们将证明如下结论：
( ) c 4 < o(1) Pf
2
定义 2.1：记 Ω × 3 的边界为 γ = ∂Ω × 3 ，我们将 γ 分为以下三种情况：
{ } = γ + ( x,v) ∈∂Ω × 3 : n ( x) ⋅ v > 0 ,
{ } = γ − ( x,v) ∈∂Ω × 3 : n ( x) ⋅ v < 0 ,
{ } = γ 0 ( x,v) ∈∂Ω × 3 : n (= x) ⋅ v 0 .
其中，对于 ( x,v) ∈ Ω × 3 ， tb ( x= ,v) inf {t > 0 : x − tv ∉ Ω} ， xb ( x,v)= x − tb ( x,v)v ∉ Ω 。
( ) ( ) 引理 2.3：假设 Φ ∈ L∞ Ω × 3 ，存在 g ∈ L2 Ω × 3 使得
∫∫Ω×3 g ( x,v) µdxdv = 0 ,
Ω
u W1,p (Ω) ，
并且 W 1, p (Ω N = 2 时，我们想要 p* = 2 ，所以由 1 − 1 ≤ 1 ，得 p ≥ 1 ，这里我们取 p = 4 ，则对于任意的
(2)
且 f 是下述方程在分布意义下的解：
λ
+ (1 −τ )ε −1ν
−
1 2
ε
2Φ
⋅
v
f
+ v ⋅∇x f
+ ε 2Φ ⋅ ∇v f
+ ε −1τ Lf
= g ，在 Ω × 3 上，
(3)
f− = Pγ f ，在 γ − 上，
则对足够小的 λ ≥ 0 以及趋于 1 的τ ∈[0,1] ，
( )
2
{ } { } ∫∫ ∫ ∫ Ω×3 v ⋅ ∇x f + ε 2Φ ⋅ ∇v f ψ + v ⋅ ∇xψ + ε 2Φ ⋅ ∇v= ψ f γ + fψ − γ − fψ .
结合上式以及 LPf = 0 ，由(3)得到
∫∫ ∫ ∫ ω Ω×3 τ fψ − v ⋅ f ∇xψ − ε 2 f Φ ⋅ ∇vψ +
Keywords
Boltzmann Equation, Navier-Stokes-Fourier Equation, Hydrodynamic Limit
二维玻尔兹曼方程的不可压缩极限
高婷婷
华南理工大学，数学学院，广东 广州
收稿日期：2020年1月29日；录用日期：2020年2月17日；发布日期：2020年2月24日
DOI: 10.12677/pm.2020.102019
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理论数学
高婷婷
( ) ( ) 最后，当 ε → 0 ，f在 L2 Ω × 3 上弱收敛于 f1 = u ⋅ v + θ v 2 − 5 2 µ ，而 ( p,u,θ ) 是具有狄利克
雷边界条件以及外力场 Φ 的稳态INFS方程的唯一弱解： u ⋅ ∇xu + ∇x p = σ∆u + Φ ， ∇x ⋅ u =0 ，在 Ω 上， u ⋅ ∇xθ = κ∆θ ，在 Ω 上，
v ∈ 2,vˆ ∈ 。定义 µ =
1
− |v|2
3e 2
，B (V ,ω=)
V ⋅ω 。Φ ( x) = (Φ1,Φ2,0) 表示给定的外力，F 是稀薄
(2π)2
气体分子的分布函数， ε 表示气体分子的平均自由程。
文献[2] [3]在一些先验假设下研究了玻尔兹曼方程的不可压缩的 Navier-Stokes-Fourier (简称 INFS)极 限。对于重整化解的收敛极限，完整证明由[4]给出。对于稳态 Boltzmann 的研究则比较少，正如文献[5] 所指 出 ， 尽管 稳态 Navier-Stokes-Fourier 方 程在 应 用中 很 重 要， 但 从稳 态 Boltzmann 推 导出 稳态 Navier-Stokes-Fourier 方程一直是一个待解决的重要问题。最近文献[6]通过 L2-L∞方法结合 L6 估计证明了 三维稳态玻尔兹曼方程的不可压缩极限。在此基础上我们研究二维稳态玻尔兹曼方程的不可压缩极限。 需要指出，相比于三维情形，对于二维稳态玻尔兹曼方程，我们需要 L2-L∞方法结合新的 L4 估计来研究， 由此导致了不同估计和困难。
µ ，在 Ω 上，
f = Pγ f ，在 γ − 上，
并且
( ) f
+
2
Pf
+ ε −1
4
(I − P) f
ν
+ ε −1 2
1 − Pγ
f
+ε1 2
2,+
wf
∞ 1,
其中 Pγ f = 2π µ (v) ∫n(x)⋅u>0 f (u) µ (u){n ( x) ⋅ u}du ， w(v) = eβ v 2 ， 0 < β 1 。
p，
( ) ( ) = dγ
n(x)⋅v
dS ( x)dv ；⋅
表示
∞
L∞
Ω × 3
范数或者 L∞ (Ω) 范数；⋅ ∞ 表示 L∞
∂Ω × 3
范数或者 L∞ (∂Ω)
范数。
X < Y 等价于 X < CY ，C 是与 X ,Y 无关的常数；定义 P=f a µ + v ⋅ b µ + c v 2 − 3 µ 。
4 + ε −1 ( I − P) f
+
ν
(1 − P) f
+
4
1 − Pγ
f+ 2,+
g. ν2
(8)
( ) 这里择测试函数= ψ ψ c,4 ≡ v − βc µv ⋅ ∇ ϕx c,4 ( x) ，其中 −∆xϕc,4 ( x ) = c3 ( x ) ，ϕc,4 ∂Ω = 0 ，βc 是一待
文章引用: 高婷婷. 二维玻尔兹曼方程的不可压缩极限[J]. 理论数学, 2020, 10(2): 128-138. DOI: 10.12677/pm.2020.102019
关键词
玻尔兹曼方程，Navier-Stokes-Fourier方程，流体动力学极限
高婷婷
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