第三章模糊推理1
3模糊逻辑与推理
X为A X为非常A X为非常A X为差不多A
X为差不多A
X非A X非A
y为B
y不定 y非B
广义拒式推理中，前提2给定，与前提1和结论有关的直觉判据
y为B’(前提1）
X为A’(结论）
x非A x为非(非常A) x为非差不多A x未知
判据5 判据6 判据7 判据8-1 判据8-2
y非B y为非(非常) y为非差不多B y为B
yV
(1) 模糊蕴含最小运算(Mamdani)玛达尼 (2)模糊蕴含积运算(Larsen) (3)模糊蕴含算术运算(Lukasiewicz)
(4) 模糊蕴含的最大最小运算(Zadeh)
(5)模糊蕴含的布尔运算
(6)模糊蕴含的标准算法(1)
(7) 模糊蕴含的标准算法(2)
4 近似推理
对于广义肯定式推理
(1) A A B A RP A RP [0.2 0.4 0.5 0.8 1] (2) A A2 B A RP A2 RP [0.2 0.4 0.5 0.8 1] (3) A A0.5 B A RP A0.5 RP [0.2 0.4 0.5 0.8 1] (4) A 非A=A B A RP A RP [0.16 0.24 0.36 0.4 0.4]
AB ( x, y) min[ A ( x), B ( y)] ˆ AB ( x, y) [ A ( x) B ( y)] ˆ
这二种计算并不是基于因果关系，是出于计算的简单性，但保留了 因果关系，与传统的命题逻辑推理不符。 称为工程隐含
用真值表表示：(精确隐含)
只有第四项的推理结果不太符合直觉判据 Rc、Rp一般称为“工程蕴含”，其它的形式如下为传统蕴 含（基于传统的逻辑推理）
模糊推理课件
模糊逻辑
一切具有模糊性的语言都称为模糊语言 ， 它是一种广泛使用的自然语言，如何将模 糊语言表达出来，使计算机能够模拟人的 思维去推理和判断，这就引出了语言变量 这一概念 。语言变量是以自然语言中的词、 词组或句子作为变量 。语言变量的值称为 语言值，一般也是由自然语言中的词、词 组或句子构成。语言变量的语言值通常用 模糊集合来描述，该模糊集合对应的数值 变量称作基础变量。
首先求系统的模糊关系矩阵 R
R ( A B) ( A C)
由玛达尼(Mamdani)法得
0.8 A B A B ( x, y ) 0.4 0.1 0 A C AC ( x, y ) 0.5 0.5
0.5 0.2 0.4 0.2 0.1 0.1 0 0 0.6 0.6 0.6 0.7
(6) 复原律
(7) 补余律 （模糊逻辑运算不符合） (8) av1=1 av0=a a∧1=a a ∧0=0
模糊逻辑对应于模糊集合论，模糊逻辑运算除了不满
足布尔代数里的补余律外，布尔代数的其它运算性质它都 适用。除此之外，模糊逻辑运算满足De-Morgan代数，即
对于补余运算，De-Morgan代数中是这样定义的：
于是，当x”较小“时的推理结果
B' ( y) A' ( x) R
即：
0 0 B ' ( y ) 1 0.6 0.4 0.2 0 0 0 0 1 0 0.4 0.7 0.7 0 0.3 0.3 0.3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.4 0.7
模糊推理系统
模糊逻辑 模糊命题 模糊推理规则 模糊推理系统
模糊逻辑
语言是一种符号系统，通常包括自然语言和人工 语言两种。自然语言是指人类交流信息时使用的 语言，它可以表示主、客观世界的各种事物、观 念、行为、情感等。自然语言具有相当的不确定 性，其主要特征就是模糊性，这种模糊性主要是 由于自然语言中经常用到大量的模糊词(如黎明、 模范、优美、拥护等)。人工语言主要是指程序设 计语言，如我们熟悉的C语言、汇编语言等。人工 语言的格式是非常严密、且概念十分清晰。
3-3 模糊逻辑及不精确推理方法
3-3 模糊逻辑及不精确推理方法3-3-1 模糊逻辑3-3-1-1 模糊、概率和传统精确逻辑之间的关系传统逻辑：强调精确性、严格性。
概率事件的结局是：非此即彼。
模糊事件的结局是：亦此亦彼。
另外，处理概率问题和模糊问题的具体方法也不一样。
3-3-1-2 模糊逻辑的历史100多年前，Peirce 指出了模糊性在思维中的重要作用； 1923年Russel 再次指出这一点；1937年美国哲学家Black 首先对“模糊符号”进行了研究； 1940年德国数学家Weyl 开始研究模糊谓词；1951年法国数学家Menger 第一个使用“模糊集”术语（但解释仅在概率意义上）；1965年Zadeh 发表了著名的“模糊集”论文。
模糊术语或模糊现象：“年轻”、“派头大”“一般”“可接受”“舒服”等。
3-3-1-3 模糊集合论一. 引入传统集合论中，一个对象是否属于一个集合是界线分明的。
可以用其特征函数⎩⎨⎧∉∈=A x Ax x C A ,0,1)(表示。
)(x C A 定义在某集合B 上，则称A 是B 的一个分明子集。
在模糊集理论中，)(x C A 仍然定义在B 上，但取值是0到1之间的任何实数（包含0和1）。
此时，A 是模糊子集。
B 的元素x 可以： 属于A （即)(x C A =1）； 或不属于A （即)(x C A =0）；或“在一定程度上”属于A （即0<)(x C A <1）。
一般，称模糊子集A 的特征函数)(x C A 为隶属函数，表示其在B 元素x 上的取值对A 的隶属度，用)(x A μ表示。
B 的模糊子集A 可表示为：}|))(,{(B x x x A A ∈=μ。
注：非空集合B 可以有无穷多个互不相同的模糊子集。
而空集只有一个模糊子集。
例子：各年龄阶段的人的集合。
则如果用B ：表示各种年龄人的集合（实际上是一个小于人类最大岁数的整数集合）；青年集合A 是B 的一个子集。
则一个人属于青年的程度随其年龄而不同。
模糊推理课件讲解
模糊逻辑 模糊命题 模糊推理规则 模糊推理系统
模糊逻辑
语言是一种符号系统，通常包括自然语言和人工 语言两种。自然语言是指人类交流信息时使用的 语言，它可以表示主、客观世界的各种事物、观 念、行为、情感等。自然语言具有相当的不确定 性，其主要特征就是模糊性，这种模糊性主要是 由于自然语言中经常用到大量的模糊词(如黎明、 模范、优美、拥护等)。人工语言主要是指程序设 计语言，如我们熟悉的C语言、汇编语言等。人工 语言的格式是非常严密、且概念十分清晰。
(X , T (X ), U, G, M )
模糊逻辑
一个完整的语言变量可定义为一个五元体 （X,T(X),U,G,M) 其中X——语言变量的名称； T(X)——语言变量的语言值； U ——论域； G ——语法规则； M ——语义规则。
实例
以“年龄”作为语言变量X，该语言变 量的论域U取[0, ∞)。根据语法规则可知， 描述语言变量“年龄”的语言值有“年 青”、“中年”、“年老”几种，那么T(X) 可表示为
模糊逻辑
一切具有模糊性的语言都称为模糊语言 ， 它是一种广泛使用的自然语言，如何将模 糊语言表达出来，使计算机能够模拟人的 思维去推理和判断，这就引出了语言变量 这一概念 。语言变量是以自然语言中的词、 词组或句子作为变量 。语言变量的值称为 语言值，一般也是由自然语言中的词、词 组或句子构成。语言变量的语言值通常用 模糊集合来描述，该模糊集合对应的数值 变量称作基础变量。
T(X)＝年青＋中年＋年老
语义规则主要是用来反映实际论域中的岁 数与模糊集合“年青”、“中年”、“年 老”之间的关系。模糊语言变量的完整描 述见 后图
年青 1.0
年龄 中“年年龄”语言变量的五年元老体
第3章 模糊逻辑
为什么需要模糊逻辑
著名的沙堆问题： “从一个沙堆里拿走一粒沙子，这还是一个沙堆吗？”
常识告诉我们应该回答“是”。然而，如果回答 “是”，这样顺推下去就会掉入陷阱：从上次剩下的 沙堆里再拿走一粒沙子，剩下的还是一个沙堆，那么， 如此反复，直到只剩下两三粒沙子甚至没有一粒沙子 时，这也还是一个沙堆了。
or
An inexact ellipse
模糊集合与隶属度函数 古典集合：对于任意一个集合A，论域中的任何 一个元素x，或者属于A，或者不属于A。集合A 也可以由其特征函数定义：
1 , x A f A ( x) 0 , x A
模糊集合：论域上的元素可以“部分地属于”集 合A 。一个元素属于集合A的程度称为隶属度， 模糊集合可用隶属度函数定义。
美国加州大学伯克 莱分校的L. Zadeh 教授于1965年提出 了模糊集合（fuzzy sets）[1]。 1973年又提出了模 糊逻辑（fuzzy logic）[2]。
1974年，第一个模糊控制 蒸汽引擎系统和第一个模 糊交通指挥系统诞生。 1980年，丹麦的史密斯公 司开始使用模糊控制操作 水泥旋转窑。 1987年，模糊控制应用于 仙台市地铁的自动驾驶。
1965年发表关于模糊集合理论的论文。 1966年马里诺斯（Marinos）发表关于模糊逻辑的研究报告。 以后，扎德（L.A.Zadeh）又提出关于模糊语言变量的概念。 1974年扎德（L.A.Zadeh）进行有关模糊逻辑推理的研究。 扎德的重要贡献在于将模糊和数学统一在一起。
History
4
为什么需要模糊逻辑 在企图用数学处理生活中的问题时，精确的数学 语言和模糊的思维习惯产生了矛盾。
传统的数学方法常常试图进行精确定义，而人关于真实世界中事物 的概念往往是模糊的，没有精确的界限和定义。在处理一些问题时， 精确性和有效性形成了矛盾，诉诸精确性的传统数学方法变得无效， 而具有模糊性的人类思维却能轻易解决。例如人脸识别a 20% chance to rain. ( probability & objectiveness ，客观) It’s a light rain. ( fuzziness & subjectiveness，主观)
模糊推理方法
模糊推理方法模糊推理方法是一种基于模糊逻辑的推理方法，它不同于传统的二值逻辑推理，而是考虑了事物之间的不确定性和模糊性。
在现实生活中，我们经常面对各种模糊的问题，例如天气预报、医学诊断、金融风险评估等等，这些问题都存在一定的模糊性和不确定性。
而模糊推理方法正是为了解决这些模糊问题而被提出的。
模糊推理方法的核心是模糊集合理论，它将模糊性作为一个数学概念进行描述。
在模糊集合理论中，每个元素都可以具有一定的隶属度，表示该元素属于该模糊集合的程度。
通过模糊集合的隶属度，我们可以对事物进行模糊分类和模糊推理。
模糊推理方法主要包括模糊逻辑推理和模糊数学推理两种形式。
模糊逻辑推理是通过对模糊命题的模糊逻辑运算，推导出模糊结论的过程。
模糊数学推理则是利用模糊数学的方法，通过模糊关系的运算，得出模糊结论的过程。
在模糊推理方法中，常用的推理规则包括模糊蕴涵规则、模糊合取规则、模糊析取规则等。
这些推理规则可以根据具体的问题和需求进行选择和组合，以实现对模糊问题的推理和决策。
模糊推理方法的应用非常广泛。
在天气预报中，由于气象数据的不确定性和模糊性，传统的二值逻辑推理往往无法准确预测天气情况。
而模糊推理方法可以通过对多个气象数据的模糊运算，得出更准确的天气预报结果。
在医学诊断中，由于病情的复杂性和多样性，传统的二值逻辑推理往往无法全面考虑各种可能性。
而模糊推理方法可以通过对病情特征的模糊分类和模糊推理，提供更全面的医学诊断结果。
除了天气预报和医学诊断，模糊推理方法还广泛应用于金融风险评估、交通流量预测、工程管理等领域。
在金融风险评估中，由于金融市场的不确定性和复杂性，传统的二值逻辑推理往往无法准确评估风险。
而模糊推理方法可以通过对各种金融指标的模糊运算，得出更准确的风险评估结果。
在交通流量预测中，由于交通数据的不确定性和随机性，传统的二值逻辑推理往往无法准确预测交通流量。
而模糊推理方法可以通过对多个交通数据的模糊运算，得出更准确的交通流量预测结果。
第三章 模糊认知图
第三章模糊认知图3.1认知图因果知识通常涉及许多相互作用的事物及其关系，由于缺乏有力的分析工具，因此，对这类知识的处理显得比较困难。
在这种情况下，一些其它技术包括定性推理技术就被应用到因果知识的处理中。
认知图就是这种定性推理技术的一种。
认知图是一个新兴的研究领域，它是一种计算智能，提供了一个有效的软计算工具来支持基于先验知识的自适应行为。
对它的研究涉及到模糊数学、模糊推理、不确定性理论及神经网络等诸多学科。
认知图的显著特点就是可利用系统的先验知识、并对复杂系统的子系统具有简单的可加性，能表示出用树结构、Bayes网络及Markov模型等很难表示的具有反馈的动态因果系统。
在认知图中很容易鸟瞰系统中各事物间如何相互作用，每个事物与那些事物具有因果关系。
认知图通常由概念(concept)与概念间的关系(relations of concepts)组成。
概念(用节点表示)可以表示系统的动作、原因、结果、目的、感情、倾向及趋势等，它反映系统的属性、性能与品质。
概念间的关系表示概念间的因果关系(用带箭头的弧表示，箭头的方向表示因果联系的方向)。
3.2认知图的发展简史认知图首先由Tloman于1948年在 Cognitive Maps in Rats and Men一文中提出的，其最初目的是想为心理学建立一个模型，此后认知图便被应用到其他方向和领域中。
人们把认知图描述为有向图，认为认知图是由一些弧连接起来节点的集合，但不同的学者对弧与节点赋予不同的含义。
1955年Kelly依据个人构造理论(Personal construct theory)提出了认知图，概念间的关系是三值的，即利用“+”、“-"表示概念间不同方向因果关系的影响效果，“O”表示概念间不具有因果关系。
1976年Axelord在 structure of Decision –The Cognitive Maps of Political Elites 中提出的认知图比Kelly的更接近于动态系统。
模糊逻辑推理
模糊推理
• 模糊推理问题的解决思路
– 第1步.将已知的规则归纳为前因与结果两论域 间的模糊关系。 – 第2步.将前因论域的现有知识与归纳得到的模 糊关系进行合成运算，推出当前知识下的结论。
模糊推理
由规则得到模糊关系的常用方法 规则：IF X=A THEN Y=B
Mamdani方法（最小运算）
R C A B A B
模糊推理
合成运算方法的选择
最大-最小合成法（Zadeh）
B ( y) A ( x ) R ( x, y ) x X
' '
最大-代数积合成法（Kaufmann）
B ( y) A ( x ) R ( x, y ) x X
' '
举例：货车倒车
装卸站台
x=10,
90
[90， 270 ]
[40， 40 ]
x,y
x [0,20]
货车终点位置 ( x f , f ) (10,90)
x=20
x=0
规则：
R (1, 2 ) : if 是S 3和x是S1 , then 是S 3 ; R
★非单点模糊化
输入模糊集合 A是非单点模糊器， 即：x x时， A ( x) 1; x x时， A ( x) 0， 随x的变化（偏离 x）， A ( x)逐渐减小。
2 x
k
mx
k
2. 规则库
一般情况下，规则 R l 可以表示如下：
l l R l : if u1是A1 , u2 是A2 , ，u p 是Alp , then v是G l
• 特点：知识满足规则与否是确定的，因此 结论也是确定的
第三章-模糊逻辑和模糊逻辑推理
广义角度来讲，一切具有模糊性的语言都称为模糊语 言。我们知道，人们在日常生活中交流信息时，常常使用 模糊语言来表达具有模糊性的现象和事物。可见，模糊语 言可以对自然语言的模糊性进行分析和处理。另外，需要 指出的是模糊语言又具有灵活性，在不同的场合，某一模 糊概念可以代表不同的含义。如“高个子”，在中国，把 大约在1.75 —1.85 m之间的人归结于“高个子”模糊概念 里，而在欧洲，大约在1.80一1.90 m之间的人才能算作 “高个子”。
如果对数字进行作用就意味着把精确数转化为模糊数. 例如数字“5”是一个精确数，而如果将模糊化算子“F”作 用于“5”这个精确数就变成“F(5)”这一模糊数。若模糊 化算子“F”是“大约”，则“F(5)”就是“大约5”这样一 个模在糊模数糊。控制中，实际系统的输入采样值一般总是精确 量，要采用模糊逻辑推理方法进行模糊控制，就必须首先 把精确量进行模糊化处理，而模糊化的过程实质上就是使 用模糊化算子来实现的。可见模糊化算子的重要性。
四、语言变量
所谓语言变量是以自然语言中的字或句作为变量，而不 是以数值作为变量。
语言变量是用一个五元素的集合来表征的：
其中：
(X , T (X ), U, G, M )
X —— 语言变量名（如速度、年龄、颜色）； T（X） —— 语言变量名的集合；
U —— 语言变量 x 的论域； G —— 语法规则（用于产生语言变量 x的值）； M —— 算法规则（与每个语言变量含义相联系）。
辑运算规律的数学，又称逻辑代数。若、、 {0，1}，
则布尔代数具有如下的运算性质：
1) 幂等律 α
α V
2) 交换律 α
α V V
3) 结合律 (α ) α ( )
模糊推理
•
•
(1) 离散且为有限论域的表示方法
为离散论域， 设论域 U={u1, u2, … , un}为离散论域，则其模糊集可表示为： 为离散论域 则其模糊集可表示为：
•
•
F={ µ F (u1 ) , µ F (u 2 ) , … ,
µ
F
(u n )
}
为了能够表示出论域中的元素与其隶属度之间的对应关系， 为了能够表示出论域中的元素与其隶属度之间的对应关系，扎德 引入了一种模糊集的表示方式： 引入了一种模糊集的表示方式：先为论域中的每个元素都标上其隶 属度，然后再用“+”号把它们连接起来 号把它们连接起来， 属度，然后再用“+”号把它们连接起来，即
µ µ
F F
( 20 ) = 1 , µ
F
( 30 ) = 0 . 8 , µ
F
F
( 40 ) = 0 . 4 ,
( 50 ) = 0 . 1 , µ
( 60 ) = 0
则可得到刻画模糊概念“年轻”的模糊集 则可得到刻画模糊概念“年轻” F={ 1, 0.8, 0.4, 0.1, 0} 说明其含义。 说明其含义。
0 µ 年老 (u ) = 5 2 −1 [1 + ( u − 50 ) ] 当0 ≤ u ≤ 50 当50 < u ≤ 100
1 µ 年轻 (u ) = u − 25 2 −1 [1 + ( 5 ) ]
当0 ≤ u ≤ 25 当25 < u ≤ 100
(3) 一般表示方法 不管论域U是有限的还是无限的 是连续的还是离散的， 是有限的还是无限的， 不管论域 是有限的还是无限的，是连续的还是离散的，扎德又给出了一种类似于 积分的一般表示形式： 积分的一般表示形式：
智能控制03-模糊关系和模糊推理
~
R(x2, yn)
S (y1, z1)
~
S (y2, z1)
~
S ~
~
R(xm,
~
yn)
S~ (yn, z1)
S (y1, z2)
~
S (y2, z2)
~
S (yn, z2)
~
S(y1,zl )
~
S(y2,zl )
~
S
~
(yn,
zl
)
则R和S可以合成为论域U×W上的一个新的模糊关系C，记做
的模糊关系R为： R(AB)(AV)
~ ~~ ~
式中，A×B称作A和B的笛卡儿乘积，其隶属度运算法则为：
A B(u,v)A(u)B(v)
~~
~
~
所以，R的运算法则为：
R ( u ,v ) [A ( u ) B ( v ) ] { 1 [A ( u ) ] 1 }
~
~
~
~
[A(u)B(v) ][1A(u)]}
在 ， 也 不 会 那么纠 缠不清 呢？ 18、 荏 苒 岁 月覆盖
0.8
0.3
0.3
0.6
R
~ (子，父 (子） ，母 (女） ，父 (女） ，母
模糊关系的表示
a1 a2 a3 a4
R
b1
b2
b3
RR R((b b1 2,,a a1 1))
R(b1,a2) R(b2,a2)
R(b1,a3) R(b2,a3)
S ~
s s
11
21
:
s 12
s 22 :
... ...
s s
1n 2n
: :
s m1 s m2 ... s mn
模糊推理规则
i
i
B ( y ) [ Bi ( y ) Ci ( z )]
y
x A
( x) Ai ( x) Ci ( z )
( Ai Ci ( z )) ( Bi Ci ( z )) ( Ai Bi ) Ci ( z )
y
B
R ( x, y) AB AC
于是，当输入为 A 时，就可以根据模 糊推理合成规则，得到模糊推理输出：
B A R A ( A B) ( A C)
例：对于一个系统，当输入A时，输出为B，否 则为C，且有
1 0 .4 0 .1 A u1 u2 u3 0 . 8 0 .5 0 . 2 B v1 v2 v3 0 .5 0 . 6 0 .7 C v1 v2 v3
“如果A且B，那么C”的隶属度函数表达式 就是：
A ( x) B ( y) C ( z)
其模糊关系矩阵 R AB C ，矩阵的计算 就变成：
[ A ( x) B ( y)] C ( z)
于是，规则的推理结果为：
C ( A B) [( A B) C ] [ A ( A C )] [ B ( B C )]
可以得到由“小”到“大”的模糊关系矩阵：
0 0 Rmin 0 0 0
1 0 0 .4 0 .7 0 . 7 0 0 .3 0 .3 0 . 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .4 0 .7
于是，当x”较小“时的推理结果
lb ( y) ls ( x) Rmin
其隶属度函数为：
C ( z ) A ( x) [ A ( x) C ( z )]
模糊推理方法
模糊推理方法
模糊推理方法是一种基于非确定证据的推断方法，它是集合概念和统
计推理相结合的结果，由著名的模糊理论创始人洛洛·塔夫斯基在1965
年提出。
其基本思想是基于模糊集合的本质，建立了对普通语言的数学模型，使我们能够从有限的观测集合中提取出更多的有价值的信息，从而更
好地支持现有的决策。
模糊推理方法的主要过程可以分为三步：
（1）提出假设。
首先，在假设的基础上，需要把系统划分为若干假
设集，让假设集内的每一种情况都有一定权重，根据权重来控制假设的实现，以及概率对应权重的变化。
（2）分析和推断。
根据提出的假设和假设集，根据概率和统计原理，对系统事件进行分析推断，运用模糊变量和模糊模型，分析其内在规律，
从而推断出系统动态的变化情况。
（3）多模态决策。
最后，根据前两步推断出的结果，运用模糊语言，把推断出来的决策转换为多模态决策。
模糊推理方法，有三种重要的技术，分别为模糊规则，模糊数学和模
糊统计。
1.模糊规则：即把模糊规则作为系统推理过程的调控工具。
模糊推理ppt课件
A(
x)
e
xx* 2
a
三角形模糊化:
A( x)
1
|
x
b
x*
|
| x x* | b
0
其它
19
若认为x * 直接可用，则不进行模糊化， 相当于取
A(
x)
1 0
x x* 否则
2. 去(解)模糊(Defuzzification )
将一个模糊集转化为一个数,用该数代替模糊集, 称之为去模糊.
重心去模糊:
10
模糊拒式推理（Modus Tollens) A B B' C
模糊三段论（Fuzzy Hypothetical Syllogism) A B B' C A C'
11
三、 模糊推理的Mamdani方法 由于在Mamdani 方法中，A B用R(x, y) A(x) B( y)来描述，三种推理方法的结果 分别计算为：
A(x) C(z) [ (B( y) B'( y))] yY
A(x) C(z) B B'
注: 一个推理中可能存在多个IF-THEN规则 A1 B1, A2 B2, , An Bn ,
17
则利用下列关系R进行描述:
R(x, y) n ( Ai Bi )(x, y) i1 n ( Ai (x) Bi ( y)) i1
x为非A : B(x) 1 A(x)
(x为A且y为非B)或( z为C) :
R(x, y, z) (A(x) 1 B( y)) C(z)
5
• IF-THEN规则
形如“如果x是A，则 y是B”的模糊命题称为IF-THEN 规则，记为 A B. 例子：如果西红柿红了，则西红柿熟了；
模糊推理的简单例子(一)
总结
模糊推理是一种在处理模糊或者不确定信息时非常实用的推理方法。它适应人类的思维方式，能够根据不完全或者模糊的数据做出合理的推理和决策。虽然模糊推理存在一些限制，但在实际应用中仍然具有广泛的潜力和价值。不断研究和应用模糊推理，可以帮助我们更好地处理复杂的问题，提高决策的准确性和效率。
例子二：餐厅评分
假设我们要对一个餐厅的服务质量进行评分，可用以下规则：
•如果服务态度差，且食物质量差，则评分为1（很差）
•如果服务态度一般，且食物质量差，则评分为2（较差）
•如果服务态度一般，且食物质量一般，则分为3（一般）
•如果服务态度好，且食物质量好，则评分为5（很好）
假设该餐厅的服务态度为一般，食物质量也为一般，根据以上规则，我们可以推断出评分为3（一般）。
模糊推理的简单例子(一)
模糊推理的简单
引言
在日常生活中，我们经常需要根据一些不完全的或者模糊的信息进行推理和决策。这种推理方式被称为模糊推理（Fuzzy Reasoning），它允许我们基于不准确或者不完整的数据做出合理的判断。
什么是模糊推理
模糊推理是一种基于模糊逻辑的推理方法，它允许我们处理模糊或者不确定的信息。传统的逻辑推理是基于二值逻辑的，即某个陈述要么是对的（True），要么是错的（False）。而模糊逻辑允许一个陈述同时具有多个可能的取值，比如可以是“有点冷”、“有些冷”、“正好”、“有些热”、“有点热”等。通过这种方式，模糊推理能够更好地反映人们的思维方式。
模糊推理虽然具有很多优点，但也存在一些限制：
4.结果不唯一：由于模糊推理中涉及到模糊集合和模糊规则，推理结果可能不是唯一的。同样的输入可能会得到不同的输出，这给实际应用带来一定的不确定性。
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第三章 模糊推理 §3.1 模糊推理一、模糊条件语句 （一）模糊语言 1．模糊语言定义带有模糊性的语言。
如“小王很年轻”、“今天是个好天气”等。
定义：由4个参数U 、T 、E 、N 描述的系统，即L=（U ，T ，E ，N ）其中：U ——语言主体的全体，即论域。
T ——词或项的模糊集合，称为项集合，分为原子词与合成词，原子词如：人、狗，黑，快、美丽等不可再分解；合成词如：红花，可分解成“红”、“花”两个原子词。
E ——名词记号间的连接总和，称其为对T 的嵌入集合。
T 是E 的模糊子集。
E 对T 有：]1,0[:→E T μ即词)(E x x ∈对T 的隶属函数)(x T μ定义在闭区间[0，1]之内。
N ——是E 对U 的模糊关系。
称其为命名关系，有：]1,0[:→⨯U E N μ即隶属函数]1,0[),(∈y x N μ是U y E x ∈∈,两个变量的函数。
例：设x 为单词“高个子”，y 为成年男子的身高（cm ），则有：）高个，155(N μ=0.2）高个，163(N μ=0.5 ）高个，177(N μ=0.9 ）高个，190(N μ=1 2．语言变量以自然语言中的字或句，而不是以数做值的变量，如：年龄、大小、高低、快慢等。
定义：语言变量由一个五元体（N ，U ，T （N ）、G ，M ）来表征，其中：（1）N 是语言变量名称，如年龄、大小等。
（2）U 是N 的论域。
（3）T （N ）是语言变量值X 的集合，其中每个X 都是论域U 上的模糊集合，如：T （N ）=T （年龄）=“很年轻”+“年轻”+“中年”+“较老”+“很老” =54321X X X X X ++++（4）G 是语法规则，用于产生语言变量N 的值X 的名称，研究原子词构成合成词后词义的变化，并求取其隶属函数，如：否定词“非”的隶属函数：A A ~~1μμ-= 连结词“或”的隶属函数：B A B A ~~~~μμμ∨= 连结词“与”的隶属函数：B AB A ~~~~μμμ∧= 修饰词“极”、“非常”、“相当”、“比较”、“略”、“稍微”的隶属函数：4~~A Aμμ=极、2~~A A μμ=非常、25.1~~A A μμ=相当、75.0~~A A μμ=比较、5.0~~A A μμ=略、25.0~~AA μμ=稍微 上述加重或减弱语气的词可视为一种模糊算子，其中“极”、“非常”、“相当”称为集中化算子，“比较”、“略”、“稍微” 称为散漫化算子，二者统称为语气算子。
例：查德在论域U=[0，100]岁内给出了“年龄”的语言变量值“老”的模糊子集隶属函数为：⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<=-50,)550(1150,0)(2~x x x x 老μ现以60岁为例，通过隶属函数分别计算它属于“极老”、“非常老”、“相当老”、“比较老”、“略老”、“稍微老”的程度为：4~~]60[60）（）（老老极μμ==48.0）（=0.41 2~~]60[60）（）（老老非常μμ==28.0）（=0.64 25.1~]60[60）（）（老相当老μμ==25.18.0）（=0.757 75.0~~]60[60）（）（老老比较μμ==75.08.0）（=0.845 5.0~~]60[60）（）（老老略μμ==5.08.0）（=0.89 25.0~~]60[60）（）（老老稍微μμ==25.08.0）（=0.946 （5）M 是语义规则，根据语义规则给出模糊子集X 的隶属函数。
（二）模糊语句 1．模糊直言语句句型：“A ~是1~A ”A ~是对象的名称。
1~A 是论域U 上的一个模糊子集。
例：“A ~是非常小”是一个模糊直言语句，其中模糊子集“非常小”可由论域U=｛1，2，3，4，5｝上的模糊子集52.044.036.028.011~++++=小求得，即： 2~~~~）小（小常非==504.0416.0336.0264.011~++++=小 2．模糊条件语句 常用句型：（1）若“A ~则B ~”型，记为if A ~then B ~。
例如：对加热炉的炉温控制者，控制策略为“若温度偏低，则增加燃料量”。
A ~和B ~为不同论域上的模糊集合。
（2）若“A ~则B ~否则C ~”型，记为if A ~ then B ~ else C ~。
例如：控制策略为“若温度偏低，则增加燃料量, 否则减少燃料量”。
B ~和C ~为同一论域上的模糊集合，A ~与B ~、C ~的论域不同。
（3）若“A ~且B ~则C ~”型，记为if A ~ and B ~ then C ~。
反映双输入单输出的一种控制策略。
例如：控制策略为“若温度偏低（A ~），且温度有继续下降趋势（B ~），则增加燃料量”（C ~）。
A ~、B ~、C ~分属三个不同的论域。
（4）复杂控制策略双输入双输出：若“A ~且B ~则C ~则D ~”if A ~ and B ~ then C ~ else D ~双输入三输出:若“A ~且B ~则C ~则D ~则E ~”if A ~ and B ~ then C ~ else D ~ else E ~二、模糊推理推理方式：直接推理、演绎推理、归纳推理、类比推理等。
（一）假言推理假言推理属于演绎推理，是最常用的一种方法。
基本规则： 若A ，则B ； 如今A ； 结论B 。
例：A 为“小王住院”，B 为“小王生病”，如今“小王住院”为真，结论“小王生病”也真。
（二）模糊推理 1．模糊假言推理上述命题A 、B 是指精确事件，若在模糊情况下，A ~与B ~为模糊命题，代表模糊事件，不能用传统的形式逻辑中的假言推理方法进行推理，查德提出了以下近似推理理论。
若“A ~则B ~”型，记为if A ~then B ~设X 和Y 是两个各自具有基础变量x 和y 的论域，其中模糊集合X A ∈~及Y B ∈~的隶属函数分别为)(~x A μ及)(~y B μ。
又设BA R ~~~→是Y X ⨯论域上描述模糊条件语句“若A ~则B ~”的模糊关系，其隶属函数为：)](1[)]()([),(~~~~~x y x y x AB A B Aμμμμ-∨∧=→ 模糊关系BA R ~~~→可写成： ]~[]~~[~~~E A B A R BA ⨯⨯=→ 其中E 为代表全域的全称矩阵。
近似推理情况下的假言推理逻辑结构：若A ~则B ~；如今1~A ；结论BA R AB ~~11~~~→= 。
其中BA R AB ~~11~~~→= 表征合成推理规则，算符“ ”代表合成运算。
推理合成规则是假言推理的近视推广。
例：设论域X =54321a a a a a ++++和Y =54321b b b b b ++++上的模糊子集A ~=小~=215.01a a +及B ~=大~=5411b b +，Y X ⨯上的模糊关系为“若x 小，则y 大”（即若A ~则B ~）。
求通过模糊假言推理确定，与“x 为较小”即与模糊集合1~A =小较~~=3212.04.01a a a ++对应的模糊集合1~B 。
解：（1）计算模糊关系BA R ~~~→，即： ]~[]~~[~~~E A B A R ⨯⨯=→ 大小=[][]111111115.0015.00000005.01⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∨⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∨⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111111111111115.05.05.05.05.0000000000000000000005.05.000015.0000=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111111111111115.05.05.05.05.015.0000（2）由已知1~A 及模糊关系BA R ~~~→的合成运算，求1~B ： 大小~~11~~~→=R A B =[][]15.04.04.04.01111111111111115.05.05.05.05.015.0000002.04.01=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡与大~=[0 0 0 0.5 1]相比较，可得出： 1~B =大较~~。
2．模糊条件推理（1）若“A ~则B ~”型，模糊条件语句“if A ~then B ~” 的模糊条件推理即为上述推理过程。
（2）若“A ~则B ~否则C ~”型，模糊条件语句“if A ~ then B ~ else C ~”的模糊条件推理设A ~是论域X 上的模糊子集，B ~及C ~是论域Y 上的模糊子集，则“if A ~then B ~ else C ~”在论域Y X ⨯上的模糊关系R ~为：]~~[]~~[~C A B A R ⨯⨯=基于推理合成规则，根据模糊关系R ~求得与已知模糊集合1~A 对应的模糊集合1~B 为：R A B ~~~11 =（3）若“A ~且B ~则C ~”型，模糊条件语句“if A ~ and B ~ then C ~” 的模糊条件推理设A ~、B ~和C ~分别是论域X 、Y 和Z 上的模糊子集（一般A ~、B ~是模糊控制器的输入模糊集合，C ~是其输出模糊集合，双输入单输出系统，常用，如图。
例如A ~是过程误差信号论域上的模糊子集,E ~、B ~是其误A 双输入单输出系统（E）差变化率信号论域上的模糊子集C E ~、C ~是其模糊控制器输出信号论域上的模糊子集U ~），则“if A ~and B ~then C ~”所决定的为三元模糊关系R ~，即：C B A R T ~]~~[~1⨯⨯=其中1]~~[T B A ⨯为由模糊关系矩阵m n B A ⨯⨯]~~[构成的nm 维列向量，n 和m 分别为模糊集合1~A 和1~B 的论域元素数目。
（注意： 1T 是变成nm 维列向量符号）基于推理合成规则，根据模糊关系R ~求得与给定输入模糊集合1~A 及1~B 对应的输出模糊集合1~C ，即为：R B A C T ~]~~[~2111 ⨯=其中2]~~[11T B A ⨯为由模糊关系矩阵m n B A ⨯⨯]~~[11构成的nm 维行向量。
（注意： 2T 是变成nm 维行向量符号）例：设论域X ={}321,,a a a 、Y ={}321,,b b b 、Z ={}21,c c ，已知模糊集合：A ~=3211.015.0a a a ++，X A ∈~ B ~=3216.011.0b b b ++，Y B ∈~ C ~=2114.0c c +， Z C ∈~试确定模糊条件语句“if A ~ and B ~ then C ~”所决定的模糊关系R ~，并计算由给定输入模糊集合：1~A =3211.05.01a a a ++及1~B =32115.01.0b b b ++决定的输出模糊集合1~C 。