2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高二(下)第一次月考数学试卷(文科)(有答案解析)
2019-2020学年黑龙江省大庆铁人中学高二下学期3月月考试题(线上考试) 数学(理)
学年 下学期 月考 考试数学 试题考试时间： 年 月 日（第10题图）题（线上考试） 数学（理）试题说明：1.本试题满分 150 分，答题时间120 分钟。
2.请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题 5分，共 70 分。
） 1．设（ ）A ．2B ．C ．D ．12．下列结论错误的是( )A ．命题：“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题是“若2x ≠，则2320x x -+≠” B.“a b >”是“22ac bc >”的充分不必要条件C ．命题：“x R ∃∈， 20x x ->”的否定是“x R ∀∈， 20x x -≤”D ．若“p q ∨”为假命题，则,p q 均为假命题3.已知双曲线22221(0,0)x y C a b a b -=>>：的离心率e =2，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．12y x =±C ．y x =±D ．2y x =±=-+=→hf h f x x f h 3)1()1(21)(.4lim，则处的导数为在设（ ）32A.31B.21C. D.6 5.甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示, 则( )A.甲得分的平均数比乙得分的平均数大B.甲的成绩更稳定C.甲得分的中位数比乙得分的中位数大D.乙的成绩更稳定6. 已知f （x ）＝cos2x +e 2x ，则f ′（x ）＝（ ） A ．-2sins2x +2e2xB ．sin2x +e 2xC ．2sin2x +2e 2xD ．-sin2x +e 2x7.已知函数()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=⋅+，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A. 12e-B. 2e -C. 1-D. 12--e8.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ） A ．31+ B ．31- C ．22D ．51- 9. 某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．10.某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S =（ ） A ．B.74 C ．95 D ．11611.的取值范围数存在单调减区间，则实若函数b bx x x x f -+=221ln )( 为（ ）A ．()∞+，2B ．）（2,2- C ．()),2(2,+∞-∞-Y D ．）（2,0 12.已知抛物线x 2=2py （p>0）和x 22−y 2=1的公切线PQ(P 是PQ 与抛物线切点,未必是PQ 与双曲线的切点)，与抛物线的准线交于Q ,F 为抛物线的焦点，若√2|PQ|=√3|PF|，则抛物线的方程是（ ）A. y x 42= B. y x 322=C. y x 62= D. y x 222=第1页（试卷共2页）2（第5题图）13.如图，在单位正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1AD 上运动，给出以下四个命题：①异面直线1A P 与1BC 间的距离为定值；②三棱锥1D BPC -的体积为定值； ③异面直线1C P 与直线1CB 所成的角为定值；④二面角1P BC D --的大小为定值．其中真命题有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14.已知函数x x g e x ex a x f ln 2)()1()(2=≤≤-=与的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+21,12e B ．[]2,12-eC ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+22,21e eD ．[)+∞-,222e第Ⅱ卷 非选择题部分二、填空题（共5小题，每空 5分，共 30 分。
大庆市铁人中学2019-2020学年高二(下)第一次月考数学试卷(理科)(含答案解析)
大庆市铁人中学2019-2020学年高二(下)第一次月考数学试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在同一平面直角坐标系中，曲线y =3sin2x 经过伸缩变换{x’=2x,y’=3y后，所得曲线为( ) A. y =sinx B. y =9sin4x C. y =sin4x D. y =9sinx2. 高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有( )A. 15种B. 90种C. 120种D. 180种3. 已知(x +2)9=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 9x 9，则(a 1+3a 3+5a 5+7a 7+9a 9)2−(2a 2+4a 4+6a 6+8a 8)2的值为( )A. 39B. 310C. 311D. 3124. 圆ρ=4cosθ−2sinθ的圆心坐标是( )A. (2,1)B. (2,−1)C. (−2,1)D. (−2,1)5. 4男2女排成一排，要求男生必须相邻的不同排法有( )A. 144种B. 120种C. 480种D. 48种 6. 极坐标表示的曲线是( )A. 双曲线B. 椭圆C. 抛物线D. 圆 7. 在(x 2−1x )n 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A. −15B. −30C. 15D. 308. 某校高二学生参加社会实践活动，分乘3辆不同的巴士，共有5名带队教师，要求每车至少有一名带队教师，则不同的分配方案有( )A. 90种B. 150种C. 180种D. 240种9. 某班派出5名选手参加学校举办的中国诗词大赛活动，大赛设有“唐诗”“宋词”和“毛泽东诗词”这三类题型，要求每名选手都要参加，且每类题型至少选派一名进行作答，则不同的分派方法种数为( )A. 150种B. 180种C. 240种D. 540种10. 用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有( )A. 288个B. 306个C. 324个D. 342个11. 某天连续有7节课，其中语文、英语、物理、化学、生物5科各1节，数学2节．在排课时，要求生物课不排第1节，数学课要相邻，英语课与数学课不相邻，则不同排法的种数是( )A. 408B. 480C. 552D. 81612. 从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是( )A. 36B. 42C. 48D. 54二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若从1，2，3，6这四个数中一次随机地取出两个数，则所取这两个数的乘积为6的概率是____．14. 六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有________种(用数字回答)．15. 设a ∈R ，若(2+a x )(1+x)5展开式中x 2的系数为10，则a =______．16. 将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A 班，那么不同的分配方案有________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在平面直角坐标系xOy 中，C 1的参数方程为{x =1−√22t y =1+√22t (t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，C 2的极坐标方程ρ2−2ρcosθ−3=0．(1)求C 1的普通方程；C 2的直角坐标方程；(2)C 1与C 2有两个公共点A 、B ，求线段AB 的长．18. 从4名男教师和2名女教师中任选3人参加岗位技能比赛，设随机变量X 表示所选3人中女教师的人数．(1)求X 的分布列；(2)求“所选3人中女教师人数X ≤1”的概率．19. (1)在(1+x)n 的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则n 等于多少？(2)(x √x √x 3)n的展开式奇数项的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大项．20. 已知曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα，其中α为参数，且α∈[−π2,π2]，在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设T 是曲线C 上的一点，直线OT 与曲线C 截得的弦长为√3，求T 点的极坐标．21.在直角坐标系xOy中，直线l：x=4，M为l上的动点，P在线段OM上，满足|OM|·|OP|=16，记P的轨迹为曲线C；以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求l与C的极坐标方程；)，点B在曲线C上，△OAB的面积为√3，求B点的直角坐标．(2)设A的极坐标为(2,π322.某工厂从一批产品中随机抽取20件进行检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[140,200]，样本数据分组为[140,150)，[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190)，[190,200]．(1)求图中a的值；(2)若频率视为概率，从这批产品中有放回地随机抽取3件，求至少有2件产品的净重在[160,180)中的概率；(3)若产品净重在[150,190)为合格产品，其余为不合格产品，从这20件抽样产品中任取2件，记X表示选到不合格产品的件数，求X的分布列和数学期望．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵伸缩变换{x′=2x y′=3y， ∴x =12x′，y =13y′，代入y =3sin2x ，可得13y′=3sinx′，即y′=9sinx′．故选：D ．把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x ，y ，再代入原方程即可求出．本题考查了伸缩变换，理解其变形方法是解决问题的关键． 2.答案：B解析：【试题解析】本题考查分步计数原理的应用，注意每个小组至多可接收该班2名同学，属于中档题．先将5名同学按照1、2、2分组，再将所得三组进行全排列．解：先将5名同学按照1、2、2分组，共有C 52×C 32×C 112=15种分法，再将三组进行全排列，所以共有15A 33=90，故选：B ．3.答案：D解析：解：∵已知(x +2)9=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 9x 9，两边同时取导数可得9(x +2)8=a 1+2a 2⋅x +3a 3⋅x 2+4a 4⋅x 3+⋯+9a 9x 8．令x =1可得a 1+2a 2+3a 3+4a 4+⋯+9a 9=310．在9(x +2)8=a 1+2a 2⋅x +3a 3⋅x 2+4a 4⋅x 3+⋯+9a 9x 8 中，令x =−1可得得a 1−2a 2+3a 3−4a 4+⋯+9a 9=9．故所求的式子等于(a 1−2a 2+3a 3−4a 4+⋯+9a 9 )(a 1+2a 2+3a 3+4a 4+⋯+9a 9)=9×310=312，故选：D．对于二项展开式两边同时取导数，令x=1可得a1+2a2+3a3+4a4+⋯+9a9=310.令x=−1可得a1−2a2+3a3−4a4+⋯+9a9=9，再由所求的式子等于(a1−2a2+3a3−4a4+⋯+9a9)(a1+ 2a2+3a3+4a4+⋯+9a9)，运算求得结果．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，可以简便的求出答案，属于中档题．4.答案：B解析：解：∵ρ=4cosθ−2sinθ，∴ρ2=4ρcosθ−2ρsinθ，∴x2+y2=4x−2y，∴(x−2)2+(y+1)2=5，∴圆心坐标是(2,−1)，故选B．解析：利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，通过配方即可得出．本题考查了圆的极坐标方程化为直角坐标方程的方法、配方法，属于基础题．5.答案：A解析：根据题意，根据题意，分2步分析：①、将4名男生看成一个整体，考虑其顺序，②、将这个整体与2名女生全排列，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意相邻问题用捆绑法分析，为基础题．解：根据题意，分2步分析：①、将4名男生看成一个整体，考虑其顺序，有A44=24种情况，②、将这个整体与2名女生全排列，有A33=6种排法，则男生必须相邻的排法有6×24=144种；故选：A．6.答案：D解析：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程，是基础题．由条件可得ρ2=ρ(√22cosθ+√22sinθ )，可得x 2+y 2=√2x 2+√2y 2，方程表示一个圆． 解：极坐标方程ρ=cos(θ−π4)，即ρ2=ρ(√22cosθ+√22sinθ )， ∴x 2+y 2=√2x 2+√2y 2，方程表示一个圆， 故选D ． 7.答案：C解析：解：∵展开式中中间项的二项式系数最大又∵第4项的二项式系数最大∴展开式共7项∴n =6∴展开式的通项为T k+1=C 6k (x 2)6−k (−1x )k =(−1)k C 6k x 12−3k 令12−3k =0得k =4展开式中常数项是(−1)4C 64=15故选项为C8.答案：B解析：解：根据题意，分2步进行分析：①、将5名带队教师分成3组，若分成1−2−2的三组：有C 52C 32C 11A 22=15种分组方法， 若分成1−1−3的三组：有C 53C 21C 11A 22=10种分组方法， 则一共有15+10=25种分组方法；②、将分好的三组全排列，对应到3辆不同的巴士，有A 33=6种不同的情况，则有25×6=150种不同的分配方案；故选：B ．根据题意，分2步进行分析：①、将5名带队教师分成3组，分2种分组方法进行讨论，②、将分好的三组全排列，对应到3辆不同的巴士，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，注意要先将教师分为3组，再进行排列，对应到3辆不同的巴士． 9.答案：A解析：本题考查排列、组合的运用，属于中档题．根据题意，分2步分析：先将5人分成3组，有1、2、2和1、1、3两种分组方法，再进行排列即可．解：根据题意，①先将5人分成3组，有1、2、2和1、1、3两种分组方法，若分成1、2、2的三组，有C 51C 42C 22A 22=15种方法， 若分成1、1、3的三组，有C 51C 41C 33A 22=10种方法， 则一共有15+10=25种分组方法；②将分好的3组对应3种题型，有A 33=6种情况，则不同分派方法种数有(15+10)×6=150种；故选A ．10.答案：C解析：本题考查排列与组合问题，是基础题目．由题意知本题需分类求解：当个位、十位、百位全为偶数和个位、十位、百位为两个奇数、一个偶数，根据分类计数原理得到结果．解：当个位、十位、百位全为偶数时，有C 43A 33C 41−A 33=90；当个位、十位、百位为两个奇数、一个偶数时，有C 32C 41A 33A 41−C 32C 31A 33=234，所以共有90+234=324种，故选C ．11.答案：A解析：解：数学在第(1,2)节，从除英语的4门课中选1门安排在第3节，剩下的任意排故有C41A44=96种，数学在第(2,3)节，从除英语，生物外的3门课中选1门安排在第1节，除英语剩下的3门课再选1门安排在第4节，剩下的任意排，故有C31C31A33=54种，数学在(3,4)，(4,5)，(5,6)情况一样，当英语在第一节时，其它任意排，故有A44=24种，当英语不在第1节，从除英语，生物外的3门课中选一门安排在第一节，再从除英语的剩下的3门中选2门放在数学课前1节和后一节，剩下的任意排，有C31A32A22=36种，故有3×(24+36)=180种，数学在第(6,7)节，当英语在第一节时，其它任意排，故有A44=24种，当英语不在第1节，从除英语，生物外的3门课中选一门安排在第一节，再从除英语的剩下的3门中选1门放在第5节，剩下的任意排，有C31C31A33=54种，故有24+54=78种，根据分类计数原理，共有96+54+180+78=408种．故选：A．根据数学课的情况，分4大类，其中数学在(3,4)，(4,5)，(5,6)情况一样算作一类，每一类种根据分步或分类计数原理，求出答案．本题考查了分类和分步计数原理，本题中类中有类，比较复杂，需要认真仔细，属于中档题．12.答案：C解析：本题考查分类、分步计数原理及排列组合，考查先分类后分步的原则；先取后排的原则，既有分类又有分步，是一个排列组合的综合题．首先分类第一类从2，4中任取一个数，同时从1，3，5中取两个数字，再把三个数全排列．第二类从0，2，4中取出0，从1，3，5三个数字中取出两个数字，然后把两个非0的数字中的一个先安排在首位，剩下的两个数字全排列，写出排列数，再根据分类加法得到结果．解：若从0，2，4中取一个数字是“0”，则“0”不放百位，有C 21种放法，再从1，3，5中取两个数字放在其他两位，有A 32种放法，共组成C 21·A 32=12个三位数；若从0，2，4中取的一个数字不是“0”，则有C 21种取法，再从1，3，5中取两个数字有C 32种取法，共组成C 21C 32·A 33=36个三位数．所以所有不同的三位数有12+36=48(个)．13.答案：13解析：本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件，属于基础题．首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可．解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(3,6)共6个，所取2个数的乘积为6的基本事件有(1,6)，(2,3)共2个，故所求概率P=26=13．故答案为13.14.答案：135解析：本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．根据题意，分2步进行分析：①、在六位同学中任选2人，坐自己原来的位置，②、分析剩下4人不坐自己位置的情况数目，由分步计数原理计算可得．解：根据题意，分2步进行分析：①、在六位同学中任选2人，坐自己原来的位置，有C62=15种情况，②、假设不坐自己位置的4人为A、B、C、D，A不坐自己的位置，有3种坐法，假设A坐在了B的位置，B有3种坐法，剩下C、D，只有一种坐法，则剩下4人不坐自己的位置，有3×3=9种情况，故恰有两位同学坐自己原来的位置的坐法有15×9=135种；故答案为135．15.答案：−1解析：解：∴(2+a x )(1+x)5=(2+a x )(1+5x +10x 2+10x 3+5x 4+x 5)，故x 2的系数为20+10a =10，∴a =−1，故答案为：−1．把(1+x)5按照二项式定理展开，可得x 2的系数，再根据x 2的系数为10，求得实数a 的值． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 16.答案：24解析：本题是一个考查排列组合及简单计数原理的问题，解题的关键是优先分析约束条件多的元素．根据题意，首先分析甲，易得甲可以放在B 、C 班，有2种情况，再分两种情况讨论其他三名同学，即①A 、B 、C 每班一人，②A 、B 、C 中一个班1人，另一个班2人，分别求出其情况数目，即可得其他三人的情况数目，再由分步计数原理计算可得答案．解：甲同学不能分配到A 班，则甲可以放在B 、C 班，有A 21种方法，另外三个同学有2种情况：①三人中，有1个人与A 共同分配一个班，即A 、B 、C 每班一人，即在三个班级全排列为A 33， ②三人中，没有人与甲共同参加一个班，这三人都被分配到甲没有分配的2个班，则这三人中一个班1人，另一个班2人，可以从3人中选2个为一组，与另一人对应2个班，进行全排列，有C 32A 22种情况，∴另外三个同学有A 33+C 32A 22种安排方法，∴不同的分配方案有A 21(A 33+C 32A 22)=24，故答案为24．17.答案：解：(1)∵C 1的参数方程为{x =1−√22t y =1+√22t(t 为参数)， ∴C 1的普通方程是：x +y =2，由C 2的极坐标方程ρ2−2ρcosθ−3=0，化为普通方程：x 2+y 2−2x −3=0；(2)的极坐标平面直角坐标为在直线C 1上，将C 1的参数方程{x =1−√22t y =1+√22t (t 为参数)，代入x 2+y 2−2x −3=0中，得：(1−√22t)2+(1+√22t)2−2(1−√22t)−3=0，化简得：t2+√2t−3=0，Δ=2+12=14>0，设两根分别为t1，t2，由韦达定理知：t1+t2=−√2，t1t2=−3，所以AB的长|AB|=√(t1+t2)2−4t1t2=√14．解析：本题考查圆、直线方程、极坐标方程、直角坐标方程、参数方程、韦达定理等基础知识，是中档题．(1)消去参数t，求出C1的普通方程即可，根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2求出C2的直角坐标方程即可；(2)将C1的参数方程代入x2+y2−2x−3=0中，得：t2+√2t−3=0，由韦达定理能求出线段AB 的长即可．18.答案：解：(1)由题意知本题是一个超几何分布，X可能取的值为0，1，2，P(X=k)=C2k·C43−kC63，k=0，1，2，∴X的分布列为:(2)由(1)知“所选3人中女教师人数X≤1”的概率为：P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=45．解析：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是基础题．(1)本题是一个超几何分布，X可能取的值为0，1，2，结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列；(2)所选3人中女教师人数X≤1，表示女教师有1个人，或者没有女教师，根据第一问求出的概率值，根据互斥事件的概率公式得到结果．19.答案：解：(1)由已知得C n2=C n5⇒n=7(2)由已知得C n 1+C n 3+C n 5+⋯=128，∴2n−1=128∴n =8，而展开式中二项式系数最大项是T 5=C 84(x √x) 4(x 3)4=70x 4√x 23．解析：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题；本题考查二项式系数的性质．(1)利用二项展开式的通项求出展开式的第3项与第6项系数，列出方程解出n ．(2)利用展开式的二项式系数性质列出方程求出n ，利用二项展开式的二项式系数的性质中间项的二项式系数最大，再利用二项展开式的通项公式求出展开式中二项式系数最大项．20.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα，其中α为参数，且α∈[−π2,π2]，转化为直角坐标方程为：x 2+(y −1)2=1(0≤x ≤1)．所以曲线C 的极坐标方程为：ρ=2sinθ，(θ∈[0,π2]) (2)由题意知：OT =√3．令√3=2sinθ，解得：θ=π3， 所以：点T 的极坐标为：(√3,π3).解析：(1)直接利用已知条件，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用极坐标方程求出点的极坐标．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直接利用极坐标方程求出点的坐标．21.答案：解：(1)∵在直角坐标系xOy 中，直线l ：x =4，∴直线l 的极坐标方程为l ：ρcosθ=4，设P(ρ,θ)，(ρ>0)，M(ρ1,θ)，(ρ1>0)，则ρ1cosθ=4，∵M 为l 上的动点，P 在线段OM 上，满足|OM|·|OP|=16，∴|OM|·|OP|=ρρ1=16，∴ρ=4cosθ，ρ>0，∴C的极坐标方程为ρ=4cosθ，ρ>0；(2)依题意设B点极坐标为(4cosα,α)，−π2<α<π2，则S△ABO=12|AO|·|BO|sin∠AOB=2|sin(2α−π3)−√32|=√3，即sin(2α−π3)=0或sin(2α−π3)=√3(舍去)，即2α−π3=kπ，即，解得α=π6或α=−π3，此时B(2√3,π6)或B(2,−π3)，化为直角坐标为B(3,√3)或B(1,−√3).解析：本题考查直线和曲线的极坐标方程的求法，考查点的直角坐标的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程互化等基础知识，是中档题．(1)由直线l：x=4，能求出直线l的极坐标方程；设P(ρ,θ)，(ρ>0)，M(ρ1,θ)，(ρ1>0)，则ρ1cosθ=4，由|OM|·|OP|=16，得|OM|·|OP|=ρρ1=16，由此能求出C的极坐标方程．(2)设B点极坐标为(4cosα,α)，则S△ABO=12|AO|·|BO|sin∠AOB=2|sin(2α−π3)−√32|=√3，由此能求出点B直角坐标．22.答案：解：(1)由频率分布直方图知：(a+0.005+0.020+0.040+0.020+0.005)×10=1，解得a=0.010；(2)净重在[160,180)内的频率为(0.020+0.040)×10=0.6，将频率视为概率，从这批产品中有放回地随机抽取3件，至少有2件产品的净重在[160,180)中的概率为P =C 32⋅0.62⋅0.4+C 33⋅0.63=0.648；(3)这20件产品中，不合格产品有20×(0.05+0.05)=2件，合格产品有18件； ∴X 的可能取值为0，1，2；计算P(X =0)=C 182C 202=153190， P(X =1)=C 181⋅C 21C 202=36190， P(X =2)=C 22C 202=1190；∴随机变量X 的分布列为数学期望为E(X)=0×153190+1×36190+2×1190=15．解析：(1)由频率和为1，列方程求得a 的值；(2)根据频率分布直方图求出频率，利用互斥事件的概率公式求出所求的概率值；(3)由题意求出随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列和数学期望值． 本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列及数学期望的计算问题，是基础题．。
2019-2020学年高二下学期第一次月考数学(理)试题 Word版含解析
大庆四中2019～2020学年度第二学期第一次检测高二年级数学（理科）试题 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数12z i =-的虚部是（ ） A. 1B. -2C. -2iD. 2【★答案★】B 【解析】 【分析】根据虚部的定义直接辨析即可. 【详解】复数12z i =-的虚部是2-. 故选：B【点睛】本题主要考查了复数虚部的辨析，复数(),,z a bi a b R =+∈的虚部为b ， 属于基础题. 2.已知随机变量ξ服从正态分布()21,σN ，若()20.15ξP >=，则()01ξP ≤≤=（ ）A. 0.85B. 0.70C. 0.35D. 0.15【★答案★】C 【解析】试题分析：根据题意可得：(01)(12)0.5(2)0.35P P P ξξξ≤≤=≤≤=->=. 故选C. 考点：正态分布的概念3.下列四个命题正确的是（ ）①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；③用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小，说明模型的拟合的效果越好； ④随机误差e 是衡量预报精确度的一个量，它满足()0E e =. A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④【★答案★】D 【解析】 【分析】根据线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越大，说明模拟的拟合效果越好以及根据对于随机误差的理解即可得到★答案★.【详解】解：线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；故①不正确. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；故②正确.用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越大，说明模拟的拟合效果越好；故③不正确. 随机误差e 是衡量预报精确度的一个量，它满足()0E e =.故④正确. 故选：D.【点睛】本题主要考查两个变量的线性相关和回归方程，解题关键是理解对于拟合效果好坏的几个量的大小反映的拟合效果的好坏，属于基础题.4.某种家用电器能使用三年的概率为0.8，能使用四年的概率为0.4，已知某一这种家用电器已经使用了三年，则它能够使用到四年的概率为（ ） A. 0.32 B. 0.4C. 0.5D. 0.6【★答案★】C 【解析】 【分析】记“家用电器能使用三年”为事件A ，记“家用电器能使用四年”为事件B ，由题意可得()()=0.8=0.4P A P B ，则()=0.4P AB ，然后可算出★答案★.【详解】记“家用电器能使用三年”为事件A ，记“家用电器能使用四年”为事件B 由题意可得()()=0.8=0.4P A P B ， 则()=0.4P AB由条件概率的计算方法可得()0.4==0.50.8P B A 故选：C【点睛】本题考查的是条件概率，较简单.5.某市选派6名主任医生，3名护士，组成三个医疗小组分配到甲、乙、丙三地进行医疗支援，每个小组包括两名主任医生和1名护士，则不同的分配方案有（ ） A. 60种 B. 300种 C. 150种 D. 540种【★答案★】D【解析】【分析】根据题意，分2步，先把医生分3组，每组2人，有22264233C C CA种方法，护士分3组，每组1人，有1种方法，再将分好的三组医生、护士分配到三地即可. 【详解】根据题意，分2步进行分析：①，将6名主任医生分成3组，每组2人，有22264233C C CA种分组方法，将3名护士分成3组，每组1人，有1种方法；②，将分好的三组医生、护士全排列，对应甲、乙、丙，有A33种情况，则有22264233C C CA⨯A33×A33＝540种，故选：D.【点睛】本题考查了排列组合，考查了分组分配法，其指导思想是先分组后分配，有整体均分、部分均分和不等分组三种，无论分成几组，应注意如果一些组中元素的个数相等，就存在均分现象，需消序，本题属于平均分组，属于中档题.6.执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A.14- B.45C. 4D. 5【★答案★】B【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得★答案★． 【详解】解：由题可知，输入45a =， 当1n =时，满足执行循环的条件，故14a =-，2n =， 当2n =时，满足执行循环的条件，故5a =，3n =，当3n =时，满足执行循环的条件，故45a =，4n =， 当4n =时，满足执行循环的条件，故14a =-，5n =，⋯当2015n =时，满足执行循环的条件，故5a =，2016n =， 当2016n =时，满足执行循环的条件，故45a =，2017n = 当2017n =时，不满足执行循环的条件， 故输出的a 值为45， 故选：B ．【点睛】本题考查根据循环结构程序框图求输出结果，当循环的次数不多或有规律时，常采用模拟循环的方法，考查理解和计算能力．7.在1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，如果第32项的系数与第72项的系数相等，则展开式的中间一项可用组合数表示为（ ） A. 52104C B. 52103CC. 52102CD. 51102C【★答案★】D 【解析】 【分析】先由第32项的系数与第72项的系数相等,再结合二项式的通项公式可得n 的值，从而可求得其中间项【详解】解：二项式1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项公式为211rr n r r n rr n n T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为第32项的系数与第72项的系数相等，所以3171n n T T =，所以3171102n =+=，所以展开式的中间一项可用组合数表示为51102C 故选：D【点睛】此题考查的是二项式展开式的系数问题，属于基础题8.将,,,,A B C D E 排成一列，要求,,A B C 在排列中顺序为“,,A B C ”或“,,C B A ”（ ,,A B C 可以不相邻），这样的排列数有（ ） A. 12种 B. 20种 C. 40种 D. 60种【★答案★】C 【解析】5533240A A ⨯= 9.某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有( )A. 1242610()C AB. 242610A A 个C. 12426()10C 个D. 242610A 个【★答案★】A 【解析】试题分析：第一步先排两个英文字母，可以重复，所以方法数有()2126C 种；第二步排4个数字，数字要互不相同，方法数有410A 种，按照分步计数原理，放法数一共有1242610()C A 种.考点：1、排列组合；2、分步计数原理． 10.1021001210(1)x a a x a x a x -=++++，则13579a a a a a ++++=（ ）A. 512B. 1024C. 1024-D. 512-【★答案★】D 【解析】 【分析】根据题意分别令1x =和1x =-得到的两个式子相减即可得到结论. 【详解】解：令1x =，得0123100a a a a a =+++++；令1x =-，得100123102a a a a a =-+-++；两式相减得，()101357922a a a a a -=++++，所以10913579225122a a a a a -++++==-=-.故选：D.【点睛】本题主要考查二项式定理，考查学生的计算能力，属于基础题. 11.随机变量ξ的分布列如下，且满足()2E ξ=，则()E a b ξ+的值（ ）ξ1 2 3PabcA. 0B. 1C. 2D. 无法确定，与a ，b 有关【★答案★】B 【解析】 【分析】根据数学期望定义得到一个等式，概率和为1得到一个等式.计算()E a b ξ+代入前面关系式，化简得到★答案★. 【详解】()2E ξ=由随机变量ξ的分布列得到：232a b c ++=， 又1a b c ++=，解得a c =，∴21a b +=，∴()2(1)E a b aE b a b ξξ+=+=+=． 故选B ．【点睛】本题考查了数学期望的计算，意在考查学生的计算能力.12.设45123451010,10x x x x x ≤<<<≤=. 随机变量1ξ取值12345,,,,x x x x x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值2334455112,,,,22222x x x x x x x x x x +++++的概率也为0.2.若记1D ξ、2D ξ分别为1ξ、2ξ的方差，则 （ ）A. 1D ξ＞2D ξB. 1D ξ＝2D ξ.C. 1D ξ＜2D ξ.D. 1D ξ与2D ξ的大小关系与1234,,,x x x x 的取值有关. 【★答案★】A 【解析】 【详解】由已知条件可得12E E ξξ=,又4523345145121234510101022222x x x x x x x x x x x x x x x +++++≤<<<<<<≤<<<=，所以变量1ξ比变量2ξ的波动大，即12D D ξξ>. 故本题正确★答案★为A.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13.设m R ∈，复数22(21)(23)z m m m m i =+-+-++，若z 为纯虚数，则m =_____.【★答案★】12【解析】 【分析】直接由纯虚数的定义，得出z 实部为0且虚部不为0，从而求得实数m 的值． 【详解】解：复数22(21)(23)z m m m m i =+-+---为纯虚数，∴22210230m m m m ⎧+-=⎨---≠⎩，解得：12m =．故★答案★为：12． 【点睛】本题考查复数的基本概念，考查由复数为纯虚数求参数值，属于基础题． 14.随机变量X 服从二项分布134B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，若随机变量42X ξ=+，则()D ξ=________. 【★答案★】9 【解析】 【分析】先求解()D X ，再根据二项分布的方差性质求解即可. 【详解】由题，()119314416D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故()29424916D X +=⨯=.故★答案★为：9【点睛】本题主要考查了二项分布的方差与方差的性质以及计算，属于基础题.15.61x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式中的常数项为______．（用数字作答） 【★答案★】-20 【解析】 【分析】直接利用二项式定理计算得到★答案★.【详解】61x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式的通项为：()()6316611rrr rrr r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 取3r =得到常数项为：3620C -=-.故★答案★为：20-.【点睛】本题考查了二项式定理求常数项，意在考查学生的计算能力和应用能力.16.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）. 【★答案★】：35【解析】 【分析】三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为32332A A ⨯，若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为31133233()216A A A A =，三门文化课中相邻排列，则排法种数为3434144A A =，而所有的排法共有66720A =种，由此求得所求事件的概率．【详解】解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有33A 种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为32133272A A A =， ②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为31133233()216A A A A =， ③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为一个整体， 然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为3434144A A =，而所有的排法共有66720A =种，故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为7221614437205++=，故★答案★为：35． 【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.） 17.在甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于120分为优秀，120分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的2×2列联表．已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为27． 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 合计（1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，若按95%的可能性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？ P （K 2≥x 0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001x 0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式及数据：K 2=()()()()2n(ad bc)a b c d a c b d -++++．【★答案★】（1） 优秀 非优秀 总计 甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 合计 3075105； （2）按95%的可能性要求，可以认为“成绩与班级有关系”. 【解析】 【分析】（1）根据随机抽取1人为优秀的概率为27，得出优秀的总人数，从而得出乙班优秀人数，同时也能得出甲班非优秀的人数，其余数据进而可求；（2）根据公式K 2=()()()()2n(ad bc)a b c d a c b d -++++，求出相关指数k 的值，然后进行对比临界值，即可得出结果.【详解】解：（1）优秀人数为105×27=30， ∴乙班优秀人数为30-10=20（人）， 甲班非优秀人数为105-30-30=45（人）， 故列联表如下： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 合计 3075105（2）根据列联表中的数据，2105(10302045)k 6.109 3.84155503075＞⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯所以若按95%的可能性要求，可以认为“成绩与班级有关系”.【点睛】本题考查了古典概型、列联表及利用列联表进行独立性检验的思想方法，熟练掌握独立性检验的思想方法是解题的关键.18.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,2322t x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是23sin ρθ=. （1）求出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求||AB 的值.【★答案★】（1）l 普通方程为3230x y -+-=，曲线C 的直角坐标方程为22(3)3x y +-=；（2）2231- 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法消去参数t ，得到直线l 的普通方程，将极坐标方程两边同乘ρ，再利用互化公式转换，即可得到曲线C 的直角坐标方程； （2）由（1）知曲线C 的圆心为(0,3)，半径3r =，求出曲线C 的圆心到直线l 的距离d ，最后利用垂径定理求出||AB ．【详解】解：（1）12322t x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数），∴332x y -=-，即直线l 的普通方程为3230x y -+-=，由23sin ρθ=得223sin ρρθ=，即2223x y y +=，∴曲线C 的直角坐标方程为2223x y y +=，即22(3)3x y +-=．（2）由（1）知曲线C 的圆心为(0,3)，半径3r =，∴曲线C 的圆心(0,3)到直线l ：3230x y -+-=的距离为：()()22303232323123+-1d ⨯-+--===-， 222||223(31)2231AB r d ∴=-=--=-．【点睛】本题考查利用消参法将参数方程转化为普通方程，利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程，以及点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系和圆的弦长问题，考查化简计算能力． 19.某单位利用周末时间组织职工进行一次“健康之路、携手共筑”徒步走健身活动，有n 人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为[25,30),[30,35),[35,40),[40,45)，[45,50),[50,55]六组，其频率分布直方图如图所示，已知[35,40)岁年龄段中的参加者有8人.（1）求n 的值并补全频率分布直方图；（2）从[30,40)岁年龄段中采用分层抽样的方法抽取5人作为活动的组织者，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[30,35)岁的人数为ξ，求ξ的分布列. 【★答案★】（1）40；见解析（2）见解析 【解析】 【分析】(1)根据[35,40)岁年龄段中的参加者有8人，再结合频率计算总人数，再根据频率之和为1求解第二组的频率，算出矩形的高补全即可.(2)根据分层抽样的性质可得[30,35)岁中有3人，[35,40)岁中有2人，再根据超几何分布的方法列出分布列即可.【详解】解：（1）年龄在[35,40)之间的频率为004502..⨯=，∵80.2n =，∴8400.2n ==. ∵第二组的频率为：1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，∴矩形高为0.30.065=.所以频率分布直方图如图所示.（2）由（1）知，[30,35)之间的人数为0.0654012⨯⨯=，又[35,40)之间的人数为8， 因为[30,35)岁年龄段人数与[35,40)岁年龄段人数的比值为12:83:2=，所以采用分层抽样抽取5人，其中[30,35)岁中有3人，[35,40)岁中有2人.由题意，随机变量ξ的所有可能取值为1,2,3.1232353(1)10C C P C ξ===，2132353(2)5C C P C ξ===，3335(3)110C P C ξ===. 所以随机变量ξ的分布列为：ξ1 2 3P310 35 110【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用、分层抽样以及超几何分布，属于基础题. 20.德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立， 课 程初等代数初等几何初等数论微积分初步合格的概率34232312（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（2）记表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望．【★答案★】(1)512;(2) 见解析. 【解析】 【分析】(1)先将合格事件标记，然后根据题目给出的条件求出复赛的资格的概率. (2)直接根据离散型随机变量的概率计算方法解答.【详解】（1） 分别记甲对这四门课程考试合格为事件,,,A B C D ,则“甲能修得该课程学分”的概率为()()()P ABCD P ABCD P ABCD ++,事件,,,A B C D 相互独立，3221322132115()()()43324332433212P ABCD P ABCD P ABCD ++=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=. (2)0337(0)()12P C ξ==，12357(1)()()1212P C ξ==，22357(2)()()1212P C ξ==,3335(3)()12P C ξ==因此，ξ的分布列如下：ξ123P0337()12C12357()()1212C 22357()()1212C3335()12C因为ξ～53,12B ⎛⎫⎪⎝⎭所以553.124E ξ=⨯= 考点：1.离散型随机变量的分布列；2.数学期望；3.相互独立事件的概率.21.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结束相互独立，第1局甲当裁判. （Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望. 【★答案★】（Ⅰ）14（Ⅱ）98【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率公式求解，关键是明确A 表示事件“第4局甲当裁判”和1A 表示事件“第2局结果为甲胜”，2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”之间个独立关系；（2）明确X 的可能取值，然后利用独立事件和互斥事件的公式逐一求解.因当x=1时较为复杂，故采用对立事件概率问题进行求解，即(1)1(0)(2).P X P X P X ==-=-= 【详解】（Ⅰ）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”，2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”. 则12=?A A A .12121()=P(?)()()4P A A A P A P A ==. （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2.记3A 表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，1B 表示事件“第1局结果为乙胜丙”，2B 表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，3B 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”.则1231231(0)(?•)()()()8P X P B B A P B P B P A ====13131(2)(?)()=4P X P B B P B P B ===（），115(1)1-(0)(2)1848P X P X P X ===-==--=，9()0?(0)1?(=1)+2?(2)8E X P X P X P X ==+==.【点睛】本题考查独立事件和互斥事件的概率问题已经离散型数学期望，考查分析问题和计算能力.22.某商店每天（开始营业时）以每件15元的价格购入A 商品若干（A 商品在商店的保鲜时间为8小时，该商店的营业时间也恰好为8小时），并开始以每件30元的价格出售，若前6小时内所购进的A 商品没有售完，则商店对没卖出的A 商品将以每件10元的价格低价处理完毕（根据经验，2小时内完全能够把A 商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进A 商品）.该商店统计了100天A 商品在每天的前6小时内的销售量，由于某种原因销售量频数表中的部分数据被污损而不能看清，制成如下表格（注：视频率为概率）. 前6小时内的销售量X（单位：件）34 5频数 30xy（1）若某天商店购进A 商品4件，试求商店该天销售A 商品获取利润ξ的分布列和期望；（2）若商店每天在购进4件A 商品时所获得的平均利润最大，求x 的取值集合. 【★答案★】（1）见解析（2）[45,70]，*x N ∈. 【解析】 【分析】（1）设商店某天销售A 商品获得的利润为ξ，分别可求得当需求量为3，4，5时的利润ξ的值，进而可得分布列和期望；（2）可得商店每天购进的A 商品的件数取值可能为3件，4件，5件．当购进A 商品3件时，45EY =，同理可得当购进A 商品4件时，54EY =，当购进A 商品5件时，630.2EY x =-，结合条件可得出x 的取值范围．【详解】解：（1）设商店某天销售A 商品获得的利润为ξ（单位：元） 当需求量为3时，1535(43)40ξ=⨯-⨯-=， 当需求量为4时，15460ξ=⨯=， 当需求量为5时，15460ξ=⨯=，ξ的分布列为 ξ40 60 p0.30.7则400.3600.754E ξ=⨯+⨯=（元），所以商店该天销售A 商品获得的利润均值为54元. （2）设销售A 商品获得的利润为Y ， 依题意，视频率为概率，为追求更多的利润，则商店每天购进的A 商品的件数取值可能为3件，4件，5件, 当购进A 商品3件时，(3015)30.3(3015)30.4(3015)30.345EY =-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=，当购进A 商品4件时，70[(3015)3(1510)1]0.3[(3015)4][(3015)4]54100100x xEY -=-⨯--⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=，当购进A 商品5件时，[(3015)3(1510)2]0.3[(3015)4(1510)1]100x EY =-⨯--⨯⨯+-⨯--⨯⨯70[(3015)5]630.2100xx -+-⨯⨯=- 即630.2EY x =-，由题意630.254x -≤，解得45x ≥，又知1003070x ≤-=， 所以x 的取值范围为[45，70]，*x ∈N ．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，以及数学期望的实际应用和不等式的解法，属于中档题．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
铁人中学2019级高二学年月考数学试题
铁人中学2019级高二上学期第一次月考数学试题试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.椭圆2241x y +=的离心率为 （ ）B.34C.2D.232.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,点()2,0A -在C 上,则椭圆的短轴长为（ ）A.1C.2D.3.已知椭圆的左、右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线交椭圆于, A B 两点,交y 轴于点M ,若1F M 、是线段AB 的三等分点,则椭圆的离心率为 （ ） A.12B.2D.54.已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为1(F ,点P 在双曲线上,且线段1PF 的中点坐标为(0,2),则此双曲线的方程是 （ ）A.2214x y -=B.2214y x -= C.22123x y -= D.22132x y -=5.已知12,F F 是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若12PF PF ⊥,2160PF F ∠=︒,则C 的离心率为（ ）A.1B.21 6.设12,F F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点M 的坐标为(6,4),则1||||PM PF +的最大值为 （ ）A.13B.14C.15D.167.设12F F 、是椭圆221164x y +=的两焦点，P 为椭圆上的点，若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为（ ） A.8B. C.4D.8.已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是（ ）A.(1,3)-B.(-C.(0,3)D.9.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，过点5(0,)8的直线交椭圆C 所得的弦的中点坐标为11(,)22，则该椭圆的离心率为 （ ）D.10.椭圆2212x y +=上的点到直线27x y -=距离最近的点的坐标为 （ ）A.41,33⎛⎫-⎪⎝⎭ B. 41,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 417,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 417,33⎛⎫- ⎪⎝⎭11.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为12,,B F F 分别是C 的左、右焦点，且1F ABP 为C 上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为 （ ）A.[]1,2B.C. 4⎤⎦D. []1,412.已知双曲线2222:1x y C a b-=的左、右顶点分别为,A B ,点F 为双曲线C 的左焦点,过点F 作垂直于x 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C 于,P Q 两点,连接PB 交y 轴于点E ,连接AE 交QF 于点M ,若2FM MQ →→=,则双曲线C 的离心率为 （ ）A.3B. 4C. 5D. 6第II 卷 非选择题部分（选择题 满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13.已知椭圆2212516x y +=的两个焦点分别为12,F F ，斜率不为0的直线l 过点1F ，且交椭圆于A B ，两点，则2ABF △的周长为_________.14.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ,点M 是椭圆上一点,1290F MF ∠=,直线1MF 交椭圆于另一点N ,且2245NF MF =,则椭圆的离心率是_________.15.若点O 和点F 分别为椭圆22198x y +=的中心点和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP →→的最小值为_________.16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆C 上一点，且在第一象限，点Q 是点P 关于原点对称的点.当11||2,3PQ c PF QF =时，椭圆C 的离心率的取值范围是_________.三、解答题（本大题共6小题，共70分．)17.(本题10分)已知椭圆的中心在坐标原点O ,长轴长为,离心率2e =,过右焦点F 的直线l 交椭圆于,P Q 两点:（1）求椭圆的方程;（2）当直线l 的斜率为1时,求POQ 的面积. 18.(本题12分)已知两定点())12,F F ,点P 是曲线E 上任意一点,且满足条件212PF PF →→-=.（1）求曲线E 的轨迹方程;（2）若直线1y kx =-与曲线E 交于,A B 两点,求k 的范围.19.(本题12分)已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y=，且双曲线过点（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线右焦点F 作倾斜角为4π的直线交双曲线于,A B 两点，求AB ． 20.(本题12分) 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ,点P 在椭圆上且异于,A B 两点, O 为坐标原点.（1）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-,求椭圆的离心率;（2）若AP OA=,证明直线OP 的斜率k 满足k >21.(本题12分)椭圆()2222:10x y E a b ab +=>>经过点()0,1,2A B ⎛-- ⎝⎭（1）求椭圆E 的方程;（2）经过点()1,1的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q (均异于点A ),则直线AP 与AQ 的斜率之和是否为定值？如果是请求出该定值，如果不是请说明理由.22.(本题12分)椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.AF 的最大值是M ，BF 的最小值是m ，满足234M m a ⋅=.（1）求该椭圆的离心率；（2）设线段AB 的中点为G ，AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，O 是坐标原点.记GFD 的面积为1S ，OED 的面积为2S ，求12S S 的取值范围.。
大庆铁人中学2019_2020学年高二数学下学期期中试题理含解析
【详解】解:（1）因为在点 处的切线方程为 ，
所以切线斜率是
且 ，
求得 ，即点
又函数 ，则
所以依题意得
解得
（2)由（1）知
所以
令 ,解得 或
当 或 ;当
所以函数 的单调递增区间是 ，
单调递减区间是
又 ,
所以当 变化时， 和 变化情况如下表：
【解析】
【分析】
（1）第一步，安排中间2个位置，第二步，安排首尾2个位置，利用乘法原理可得结论．
(2）利用间接法，任意排法，再去掉甲、乙跑中间的安排方法即可得解;
【详解】解：(1）先选跑中间的两人有 种，再从余下的4人中选跑 、 棒的有 ，则共有 种。
（2）用间接法：“不都跑”的否定是“都跑”,所以用任意排法 ，再去掉甲、乙跑中间的安排方法 种，故满足条件的安排方法有 种。
A. 7B。 35C. 48D. 63
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合所给的等式归纳推理得到规律即可确定n的值.
【详解】考查所给的等式的特征，归纳其性质有：
若等式左侧根号外面的数为 ，则根号内部的分子为 ,分母为 ,
据此归纳推理可知: 。
本题选择D选项。
【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理,由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法．
20.已知数列 中， 是 的前 项和且 是 与 的等差中项，其中 是不为 的常数.
（1）求 .
（2）猜想 的表达式，并用数学归纳法进行证明。
【答案】（1） ； ； （2）猜想： ；证明见解析
铁人中学2020届高二学年下学期月考数学试题及答案
铁人中学2020届高二学年下学期月考数学试题（理）一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题 5分，共 70分。
） 1．设（）A ．2B ．C ．D ．12．下列结论错误的是( )A ．命题：“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题是“若2x ≠，则2320x x -+≠” B.“a b >”是“22ac bc >”的充分不必要条件C ．命题：“x R ∃∈， 20x x ->”的否定是“x R ∀∈， 20x x -≤”D ．若“p q ∨”为假命题，则,p q 均为假命题3.已知双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的离心率e =2，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．3y x =±B ．12y x =±C ．y x =±D ．2y x =± =-+=→hf h f x x f h 3)1()1(21)(.4lim，则处的导数为在设（ ）32A.31B.21C. D.6 5.甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示, 则( )A.甲得分的平均数比乙得分的平均数大B.甲的成绩更稳定C.甲得分的中位数比乙得分的中位数大D.乙的成绩更稳定6. 已知f （x ）＝cos2x +e 2x ，则f ′（x ）＝（ ） A ．-2sins2x +2e 2x B ．sin2x +e 2xC ．2sin2x +2e 2xD ．-sin2x +e 2x2（第5题图）（第10题图）7.已知函数()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=⋅+，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A.12e- B. 2e - C. 1- D. 12--e8.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ） A ．312+ B ．31- C ．22D ．512- 9.某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）A ．13B ．23C ．12D ．3410.某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S =（ ） A ．B.74C ．95 D ．11611.的取值范围数存在单调减区间，则实若函数b bx x x x f -+=221ln )( 为（ ）A ．()∞+，2B ．）（2,2- C ．()),2(2,+∞-∞-Y D ．）（2,0 12.已知抛物线（p>0）和的公切线是PQ 与抛物线切点,未必是PQ 与双曲线的切点，与抛物线的准线交于Q ,F 为抛物线的焦点，若，则抛物线的方程是（ ）A.y x 42= B.y x 322=C.y x 62= D.y x 222=13.如图，在单位正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1AD 上运动，给出以下四个命题：①异面直线1A P 与1BC 间的距离为定值；②三棱锥1D BPC -的体积为定值；③异面直线1C P 与直线1CB 所成的角为定值； ④二面角1P BC D --的大小为定值．其中真命题有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14.已知函数x x g e x ex a x f ln 2)()1()(2=≤≤-=与的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+21,12e B ．[]2,12-eC ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+22,21e e D ．[)+∞-,222e第Ⅱ卷 非选择题部分二、填空题（共5小题，每空 5分，共 30 分。
2019黑龙江大庆铁人中学高二(下)数学(文科)期中考试试卷(含解析)
2019黑龙江大庆铁人中学高二（下）数学（文科）期中考试试卷（含解析）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1.复数12ii+的模是（ ）A.3 D.5【答案】D 【解析】 【分析】先将复数化成(,)a bi a b R +∈形式，再求模。
【详解】()()()()2212222=12121255512i i i i i i i i i i i --+===+++--故选D.【点睛】本题考查复数的计算，解题的关键是将复数化成(,)a bi a b R +∈形式，属于简单题。
2.用反证法证明命题：“若0a b +>，则,a b 至少有一个大于0.”下列假设中正确的是（ ） A. 假设,a b 都不大于0 B. 假设,a b 都小于0 C. 假设,a b 至多有一个大于0 D. 假设,a b 至少有一个小于0【答案】A 【解析】 【分析】根据反证法的概念，利用命题的否定，即可求解．【详解】根据反证法的概念，可得用反证法证明命题：“若0a b +>，则,a b 至少有一个大于0.”中假设应为“假设,a b 都不大于0”，故选A ．【点睛】本题主要考查了反证的概念的辨析，其中熟记反证法的概念，利用命题的否定，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.若P =，0)Q a =≥，则,P Q 的大小关系是（ ）A. P Q =B. P Q >C. P Q <D. 无法确定【答案】B 【解析】 【分析】由题意，求得2P 和2Q ，得出22P Q >，即可比较,P Q 的大小关系，得到答案．【详解】由P Q ==可得2213213P a a =++=++，2213213Q a a =++=++，>22P Q >，且0,0P Q >>， 所以P Q >，故选B ．【点睛】本题主要考查了分析法的判定及应用去，其中解答中正确确定2P 和2Q 的大小关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4. 执行如图所示的程序框图，若输出的S=48，则输入k 的值可以为（ ）A. 6B. 10C. 4D. 8【答案】D 【解析】试题分析：第一次进入循环，，第二次进入循环，，第三次进入循环，，所以得到所以可能的值是8，故选D ．考点：循环结构5.函数()sin ,,22f x x x x ππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦的最大值是（ ） A. 12π-+B. 2πC. 54±D. 21π-【答案】A 【解析】 【分析】先利用导数判断函数的单调性，再利用函数的单调性求最大值.【详解】由题得01cos )(≤-='x x f ，所以函数f(x)在,22ππ轾犏-犏臌上单调递减， 所以max ()()sin()()12222f x f ππππ=-=---=-+，故选：A【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（ ） A. 两条相交直线 B. 极轴 C. 一条直线 D. 极点【答案】A 【解析】 【分析】根据极坐标与直角坐标的互化公式，化简极坐标方程为y x =±，即可得到答案．【详解】由题意，极坐标方程cos 20ρθ=，可得22(cos sin )0ρθθ-=，即222(cos sin )0ρθθ-=，可得2222cos sin ρθρθ=，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入可得22y x =，即y x =±，所以表示的曲线为两条相交直线，故选A ．【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，准确化简是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7.已知点P 在曲线35y x x =-+上移动，设曲线在点P 处的切线斜率为k ，则k 的取值范围是（ ） A. (,1]-∞- B. [1,)-+∞ C. (,1)-∞- D. (1,)-+∞【答案】B 【解析】 【分析】点P 在函数图像上移动即表示函数P 为函数图像上任意一点，所以直接对函数求导，然后找到导数的取值范围即为切线斜率的取值范围。
2019-2020学年高二下学期第一次月考数学(文)试题 Word版含解析
大庆四中2019～2020学年度第二学期第一次检测高二年级数学（文科）试题考试时间：120分钟分值：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分注意事项：每小题选出★答案★后，用铅笔把答题卡上对应题目的★答案★标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它★答案★标号．不能答在试题卷上．作图时先用铅笔定型，再用黑色签字笔描绘.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据如表：平均气温（℃）－2 －3 －5 －6销售额（万元）20 23 27 30则该商品销售额与平均气温有（）A. 确定性关系B. 正相关关系C. 负相关关系D. 函数关系【★答案★】C【解析】【分析】根据表中数据，结合y随x的变化情况，由正负相关的定义求解.【详解】由表中数据可知：y随x的减小而增大，是负相关关系，故选：C【点睛】本题主要考查相关关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2. “因为四边形ABCD是菱形，所以四边形ABCD的对角线互相垂直”，补充以上推理的大前提正确的是（）A. 菱形都是四边形B. 四边形的对角线都互相垂直C. 菱形的对角线互相垂直D. 对角线互相垂直的四边形是菱形【★答案★】C【解析】【分析】根据三段论的知识确定正确选项.【详解】根据小前提和结论可知，大前提为菱形的对角线互相垂直. 故选：C【点睛】本小题主要考查三段论的理解，属于基础题. 3.曲线3231y x x =-+在点()1,1-处的切线方程为( )A. 34y x =-B. 45y x =-C. 43y x =-+D. 32y x =-+【★答案★】D 【解析】试题分析：由曲线y ＝x 3－3x 2＋1，所以，曲线在点处的切线的斜率为：，此处的切线方程为：，即.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．点评：本题考查导数的几何意义、关键是求出直线的斜率，正确利用直线的点斜式方程，考查计算能力．4.在用反证法证明命题:“若0a b c ++>,则a ,b ,c 三个数中至少有一个大于0”时,正确的反设为:设a ,b ,c 三个数( ) A. 都小于0 B. 都小于等于0 C. 最多1个小于0 D. 最多1个小于等于0【★答案★】B 【解析】 【分析】由命题的否定形式，即可得出反设形式.【详解】“a ,b ,c 三个数中至少有一个大于0”反设为 “a ,b ,c 三个数中都小于等于0”. 故选:B.【点睛】本题考查反证法的证明过程，属于基础题. 5.若复数z 满足2iz i i-+=，其中i 为虚数单位，则复数z 等于（ ） A. 31i --B. 31i -+C. 31i -D. 31i +【★答案★】C 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算求出z ，进而可得复数z . 【详解】解：21213iz i i i i i-=-=---=--， 则13z i =-+. 故选：C.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的求解，是基础题.6.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：“我没有偷”；乙：“丙是小偷”；丙：“丁是小偷”；丁：“我没有偷”．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（ ） A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁【★答案★】A 【解析】【详解】试题分析：若甲说的是真话，则乙、丙、丁都是说假话，所以丁偷了珠宝，所以，丙说的也是真话，与只有一个人说真话相矛盾，所以甲说的假话，偷珠宝的人是甲． 考点：推理与证明．7.如果函数()y f x =的图象如图所示，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ）A. B.C. D.【★答案★】A【解析】【分析】由函数()f x的图象可知其单调性情况，再由导函数与原函数的关系即可得解.【详解】由函数()f x的图象可知，函数()f x的单调性为：增—减—增—减，故导函数()f x'的情况为：先大于0，然后小于0，再大于0，再小于0，即导函数()f x'的图象可能是选项A.故选：A【点睛】本题考查导函数与原函数的关系，考查识图能力，属于基础题．8. 有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( ).A. 26B. 31C. 32D. 36【★答案★】B【解析】有菱形纹的正六边形个数如下表:图案 1 2 3 …个数 6 11 16 …由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项,以5为公差的等差数列,所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6+5×(6-1)=31.故选B．9.若函数()xf x e mx=+有极值，则实数m的取值范围( )A. 0m> B. 0m< C. 1m D. 1m<【★答案★】B【解析】分析：先求导数，函数有极值，则说明'0f x=（）有解，然后适当对参数进行检验．详解：函数()xf x e mx =+的导数为'x f x e m =+（），由'0xf x e m =+=（），得m=-e x ，因为e x＞0，所以0x m e =-＜ ，即实数m 的取值范围是0m ＜． 故选B ．点睛：本题考查函数的极值与导数之间的关系，若函数取得极值，则在极值点的导数'0f x =（）．注意进行转化．10.函数()f x 在定义域R 内可导，若()()2f x f x =-，且当(),1x ∈-∞时，()()10x f x '-<，设()0a f =，12b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3c f =，则（ ） A . a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b c a <<【★答案★】C 【解析】 【分析】先由()()2f x f x =-，确定()()31f f =-，再由(),1x ∈-∞时，()()10x f x '-<得到()f x 在(),1-∞上单调递增，进而可判断出结果.【详解】因为()()2f x f x =-，所以()()31f f =-； 又当(),1x ∈-∞时，()()10x f x '-<，所以()0f x '>， 即函数()f x 在(),1-∞上单调递增； 所以()()()03121f f f f ⎛⎫=<< ⎝-⎪⎭，即c a b <<. 故选：C .【点睛】本题主要考查根据函数单调性与周期性比较大小，涉及导数的方法判断函数单调性，属于常考题型.11.已知函数()f x 的导数3()44f x x x '=-，且()f x 的图像过点(0,5)-，当函数()f x 取得极大值-5时，x 的值应为（ ）A. -1B. 0C. 1D. ±1【★答案★】B 【解析】 【分析】由函数3()44f x x x '=-，根据求导法则，得到()422f x x x c =-+，再根据函数()f x 过点(0,5)-，求得函数的解析式，进而求得函数的极大值，得到★答案★.【详解】由题意，函数()f x 的导数3()44f x x x '=-，所以()422f x x x c =-+，其中c 为常数，又由函数()f x 过点(0,5)-，所以5c =-，即()4225f x x x =--，令()0f x '=，即3440x x -=，解得0x =或1x =±， 当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以当0x =时，函数()f x 取得极大值，且极大值()05f =-， 函数()f x 取得极大值时5-时，x 的值应为0，故选B.【点睛】本题主要考查了导数的运算法则，以及利用导数求解函数的极值的方法，其中解答中熟记导数的求导法则，以及正确求得函数的单调性和极值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12.已知()f x 为R 的可导函数，且对任意的x ∈R ，均有()()f x f x '>，则有（ ）A. 2012(2012)(0)e f f -<，2012(2012)(0)f e f < B. 2012(2012)(0)e f f -<，2012(2012)(0)f e f > C. 2012(2012)(0)e f f ->，2012(2012)(0)f e f < D. 2012(2012)(0)ef f ->，2012(2012)(0)f e f >【★答案★】C【解析】 【分析】构造函数()()xf xg x e=，再求导分析()g x 的单调性，再根据选项分析()()()0,2012,2012g g g -的大小关系求解即可. 【详解】构造函数()()x f x g x e =，则()()()0x f x f x g x e '-'=<，故()()xf xg x e=为减函数. 故()()2012020120f f e e -->，()()2012020120f f e e<， 即2012(2012)(0)ef f ->，2012(2012)(0)f e f <.故选：C【点睛】本题主要考查了构造函数求解函数式大小的关系，需要熟悉常见的构造函数，并根据选项中的自变量得出所构造函数的大小关系进行求解.属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =__________． 【★答案★】1-. 【解析】试题分析：由题意得(1)()1(1)1i a i a a i R a ++=-++∈⇒=-. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.14.下列关于回归分析的说法中错误的序号为_______（1）残差图中残差点所在水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高． （2）回归直线一定过样本中心点(),x y ．（3）两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好．（4）甲、乙两个模型的2R 分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好．【★答案★】（1）（4） 【解析】 【分析】根据“线性回归方程一定过样本中心点；在一组模型中残差平方和越小，拟合效果越好；相关指数表示拟合效果的好坏，指数越小，相关性越强”，对选项中的命题逐一判断真假即可.【详解】解：对于（1），残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，∴（1）错误；对于（2），回归直线一定过样本中心点(),x y ，正确；对于（3），两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，正确；对于（4），甲、乙两个模型的2R 分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好，∴（4）错误； 综上，错误的命题是（1）、（4）共2个. 故★答案★为：（1）（4）.【点睛】本题考查了回归分析知识的应用问题，是基础题. 15.已知321(2)33y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是______. 【★答案★】12b -≤≤ 【解析】 【分析】先求导函数2'22y x bx b =+++，利用导数与函数单调性的关系和二次函数的性质，即可求解. 【详解】已知()321233y x bx b x =++++, 2'22y x bx b ∴=+++，()321233y x bx b x =++++是R 上的单调增函数， 2'220y x bx b ∴=+++≥恒成立， 24480b b ∴=--≤，解得12b -≤≤.b ∴的取值范围是[]1,2-故★答案★为[]1,2-.【点睛】本题考查函数的单调性，利用导数解决含有参数的函数单调性问题，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.16.已知函数()2016cos xf x x ex -=++，()()1f x f x '=，()()'21f x f x =，()()'32f x f x =，…，()()()'*1n n f x f x n N -=∈，按此规律，则()2017f x =_______【★答案★】sin x x e --- 【解析】 【分析】先写出前几项()1f x ，()2f x ，()3f x ，()4f x ，分析得出求导的周期规律即可. 【详解】因为()2016cos xf x x ex -=++，故()20151sin 2016x f x x e x -=--+， ()20142cos 20162015x f x x e x -=-++⨯， ()20133sin 201620152014x f x x e x -=-+⨯⨯， ()20124cos 2016201520142013x f x x e x -=++⨯⨯⨯…易得()2016cos xf x x ex -=++中cos x x e -+的导数以4为周期，故()2016cos 20162015 (21x)f x x e-=++⨯⨯⨯.所以()2017sin x f x x e -=--故★答案★为：sin x x e ---【点睛】本题主要考查了导函数的求解运用，可先写出前几项进行分析得出周期的规律，属于基础题.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17.已知0,0a b >>，且1a b +=，求证：11(1)(1)9a b++≥ 【★答案★】见解析 【解析】 【分析】利用a+b ＝1，代入化简可知（1+1a ）（1+1b ）＝5+2（b a +a b ），进而利用基本不等式计算即得结论； 【详解】因为a+b ＝1，所以（1+1a ）（1+1b ）＝1+1a +1b +1ab ＝1+1a +1b +a b ab +＝1+2a +2b＝1+2（a b a ++a b b +）＝5+2（b a +a b ）≥5+2×2b aa b⨯＝9（当且仅当b a ＝a b 即a ＝b ＝12时取等号） 【点睛】本题考查不等式的证明和基本不等式的应用，‘1’的利用是解决本题的关键，属于基础题．18.已知函数3()(0)f x ax bx c a =++≠为奇函数，其图象在点()()1,1f 处的切线与直线670x y --=垂直，导函数()f x '的最小值为—12.（1）求a ，b ，c 的值； （2）求函数()f x 的极值.【★答案★】（1）2a =，12b =-，0c （2）极大值是82，极小值是82-【解析】 【分析】(1)根据奇函数()()f x f x -=-可得0c ，再根据导数的几何意义、二次函数的最值联立求解可得2a =，12b =-即可.(2) 由(1)知()3212f x x x =-，再求出导函数，进而求得单调区间与极值即可.【详解】解：（1）∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即0c∵()23f x ax b '=+的最小值为－12，∴0a >，12b =-又直线670x y --=的斜率为16，∴()136f a b '=+=- ∴2a =，12b =-，0c（2）由(1)知()3212f x x x =-，∴()()()26126220f x x x x '=-=+-=解得：2x =± 列表如下：x(),2-∞-2-()2,2-2()2,+∞()f x '+－+()f x增 极大 减 极小 增∴()f x 的极大值是()282f -=，极小值是()282f=-【点睛】本题主要考查了根据导数的几何意义与函数的性质求解参数的问题，同时也考查了函数极值的求解，属于中档题.19.某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8 y3040605070（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程； （2）预测当广告费支出为9百万元时的销售额.最小二乘法：ˆˆˆy bx a =+，附：回归方程ˆˆˆy bx a =+中1111222()(),().i i i i i i nn i i i i n n x x y y x y nxy b x x x nx a y b x ==∧==∧∧⎧∑--∑-⎪==⎪⎨∑-∑-⎪⎪=-⎩【★答案★】（1） 6.517.5y x ∧=+；（2）76百万元 【解析】 【分析】（1）分别求出x ，y ，521ii x=∑，521ii y=∑，51i ii x y =∑，代入公式即可；（2）将9x =代入回归方程即可.【详解】解：（1）设回归直线方程为y b x a ∧∧∧=+，由题意可得， ∵2456855x ++++==，3040605070505y ++++==，521145ii x==∑，52113500i i y ==∑，511380i i i x y ==∑；∴552225138055506.5145555i iii ix y xyb x x∧--⨯⨯===-⨯-∑∑， 17.5a y b x ∧∧=-=，∴线性回归方程为 6.517.5y x ∧=+； （2）当9x =时， 6.5917.576y ∧=⨯+=；即预测当广告费支出为9百万元时的销售额为76百万元.【点睛】本题考查最小二乘法求线性回归方程以及利用回归方程对数据进行预测，考查学生计算能力，是基础题.20.某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集200位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这200个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有40位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95％的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．（把表简要画在答题卡上）男生 女生 总计每周平均体育运动时间不超过4小时每周平均体育运动时间超过4小时总计附：20()P K k ≥ 0.100.05 0.010 0.0050k2.7063.841 6.635 7.87922()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【★答案★】（1）60位（2）0.75.（3）见解析，没有95％的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”． 【解析】 【分析】（1）由样本容量、频率和频数的关系求得应收集女生的样本数据； （2）由频率分布直方图求得对应的概率值；（3）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论． 【详解】（1）45002006015000⨯＝，所以应收集60位女生的样本数据． （2）由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为120.1000.025()0.75⨯－＋＝， 所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.（3）由（2）知，200位学生中有2000.75150⨯＝(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，50人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有140份是关于男生的，60份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：男生 女生 总计 每周平均体育运动时间不超过4小时 30 20 50 每周平均体育运动时间超过4小时 110 40 150 总计 14060200结合列联表可算得：()22200304011020200 3.175 3.841501506014063K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯所以，没有95％的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，属于基础题. 21.设函数221()ln f x x a x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，a R ∈. （1）当2a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性；【★答案★】（1）340x y +-=（2）见解析 【解析】 【分析】（1）把2a =代入原函数解析式中，求出函数在1x =时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的定义域，对函数进行求导，分为0a ≤和0a >两种情形，讨论导数与0的关系可得结果.【详解】（1）()f x 的定义域是()0,∞+ 当2a =时，23224()1f x x x x '=+--，224(1)13111f '=+--=- 当1x =时，(1)122(ln11)1f =---=，切点为()1,1，斜率为－3. 切线方程为13(1)y x -=--，整理得：340x y +-= ∴()f x 在1x =处的切线方程为340x y +-=（2）()f x 的定义域为()0,∞+，()()()223322121x x a f x a x x x x +-⎛⎫'=+-+= ⎪⎝⎭. 当0a ≤时，()0f x '>，()f x ()0,∞+上单调递增；当0a >时，当()0,x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减 当(),x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增； 综上，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增.【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论得数学思想，属中档题.22.已知函数1ln ()xf x x+=， （1）设0a >，若函数在区间1,2a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上不单调，求实数a 的取值范围；（2）若当1x ≥时，不等式2()1k kf x x -≥+恒成立，求实数k 的取值范围.【★答案★】（1）112a <<（2）12k -≤≤ 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的极值点，再将函数在区间1,2a a ⎛⎫+⎪⎝⎭上不单调，转化为函数在区间1,2a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上无极值即可得到结果；（2）将不等式化为2(1)(1ln )x x k k x++≥-，再构造函数，利用导数求出函数的最小值可解得★答案★.【详解】（1）∵1ln ()x f x x +=，则2ln ()x f x x'=-，0x >， 当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<. ∴()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上递减 ∴函数()f x 在1x =处取得极大值. 因为函数在区间1,2a a ⎛⎫+⎪⎝⎭上不单调， 所以函数()f x 在1,2a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0a >存在极值， ∴112a a <<+，解得112a <<. （2）不等式2()1k kf x x -≥+，即为2(1)(1ln )x x k k x ++≥-， 记(1)(1ln )()x x g x x ++=，∴2ln ()x x g x x '-=，令()ln h x x x =-，则1()1h x x'=-， ∵1x ≥，∴()0h x '≥.∴[)()1h x +∞在，上单调递增， ∴()(1)10h x h ≥=>，()0g x '>∴[)g()1x +∞在，上递增，所以()g x 在[1,)+∞上的最小值为(1)2g =.∴22k k -≤，解得12k -≤≤.【点睛】本题考查了由导数研究函数的极值点和最值，考查了利用导数处理不等式恒成立，属于中档题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
黑龙江省大庆铁人中学2019-2020学年高二下学期3月月考试题(线上考试) 数学(文) Word版含答案
铁人中学2018级高二学年下学期月考考试数学文科试题出题人：赵倩楠 审题人：苏杰试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。
）1.在复平面内，复数i i(11+是虚数单位)对应的点位于 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2．双曲线121022=-y x 的焦距为（ ） A ．22B ．24C ．32D ．343．在回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和( ) A ．越大 B ．越小 C ．可能大也可能小 D ．以上均错4．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：千瓦·时）与气温x （单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：x （单位：℃）171410 1-y （单位：千瓦·时） 24 343864由表中数据得线性回归方程：∧∧+-=a x y 2，则由此估计：当某天气温为2℃时，当天用电量约为（ ）A ．56千瓦·时B ．62千瓦·时C ．64千瓦·时D ．68千瓦·时5.若抛物线)0(22>=p px y 的准线经过双曲线13422=-y x 的一个焦点，则=p ( ) A. 2 B.10 C. 7 D. 726. 已知m x x x f +-=2362)((m 为常数)在[－2, 2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是 ( )A.－37 B ．－29C ．－5D ．以上都不对7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则M 处可填入的条件为( ) A. k≥31 B. k≥15 C. k>31 D. k>158．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P (A ∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4（7题图）9.设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图像如图所示，则)(x f y =的图像最有可能是（ ）)(x f y '=10．方程22142x y m m+=+-表示椭圆的必要不充分条件是（ ）A ．m ∈（﹣1，2）B ．m ∈（﹣4，2）C ．m ∈（﹣4，﹣1）∪（﹣1，2）D ．m ∈（﹣1，+∞）11．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以710为概率的事件是( ) A ．恰有1件一等品 B ．至少有一件一等品 C ．至多有一件一等品 D ．都不是一等品12．已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．23 D ．43第Ⅱ卷 非选择题部分二、填空题(每小题5分，共20分)13．用秦九韶算法计算多项式f (x )＝x 6－12x 5＋60x 4－160x 3＋240x 2－192x ＋64当x ＝2时的值时，v 4的值为__________．14．设抛物线22y x =-上一点P 到x 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是______.15.在体积为4π3的球内随机取一点，则该点到球心距离不超过12的概率为__________． 16．已知函数21()ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不相等的正实数1x ，2x ，1212()()2f x f x x x -≥-恒成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：男 女 需要 40 30 不需要160270（1（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？参考公式和数据：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++． 20()P K k ≥0.10 0.05 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 6.635 7.879 10.82818．已知直线112:36x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（1）设l 与1C 相交于A ，B 两点，求AB ； （2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵坐标压缩为原来的32倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最大时，点P 的坐标．19.某公司为了解所经销商品的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率布直方图，其统计数据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求频率分布直方图中a 的值； （2）求这50名问卷评分数据的中位数；（3）从评分在[40，60）的问卷者中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60）的概率．20.已知函数()ln f x x x ax b =++在()()1,1f 处的切线为2210x y --=. （1）求实数,a b 的值； （2）求()f x 的单调区间.21.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在x 轴上，抛物线C 上一点()4,P m 到焦点F 的距离为92． (1)求抛物线C 的标准方程；(2)设点()2,1M -，过点()2,0N 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，记直线MA 与直线MB的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k +为定值．22．（12分）已知函数21()ln 12a f x a x x +=++． （1）当12a =-时，求函数()f x 在区间1[,]e e上的最值； （2）讨论()f x 的单调性．1-5 DDBAD 6-10 ABABB 11.12 CD13. 80 14. 338 15.1816.[1,+)∞17． 【答案】（1）14%；（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．解析（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助， 因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为70100%14%500⨯=． （2）由题可得K2的观测值2500(4027030160)9.96720030070430k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， 由于9.967>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．18. （1）l 的普通方程)313y x =-， 1C 的普通方程221x y +=，联立方程组)22311y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩解得l 与1C 的交点为()1,0A ， 13,22B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则3AB = （2）2C 的参数方程为1232x cos y sin θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数），故点P 的坐标是13cos 2θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，从而点P到直线l的距离是()1013sin1cos sin12222θϕθθ-+--=，由此当()sin1θϕ-=时，d取得最大值，且最大值为1012+.此时，点P坐标为10330—（，）19.(12分)（Ⅰ）由频率分布直方图，可得（0.004+a+0.0156+0.0232+0.0232+0.028）×10＝1，解得a＝0.006．（Ⅱ）由频率分布直方图，可设中位数为m，则有（0.004+0.006+0.0232）×10+（m﹣70）×0.028＝0.5，解得中位数m＝76．（Ⅲ）由频率分布直方图，可知在[40，50）内的人数：0.004×10×50＝2，在[50，60）内的人数：0.006×10×50＝3．设在[40，50）内的2人分别为a1，a2，在[50，60）内的3人分别为B1，B2，B3，则从[40，60）的问卷者中随机抽取2人，基本事件有10种，分别为：（a1，a2），（a1，B1），（a1，B2），（a1，B3），（a2，B1），（a2，B2），（a2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），其中2人评分都在[50，60）内的基本事件有（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）共3种，故此2人评分都在[50，60）的概率为．20.（1）依题意可得：1 22(1)10(1)2f f--==即()lnf x x x ax b=++ Q'()ln1f x x a∴=++又Q函数()f x在(1,(1))f处的切线为2210x y--=，1(1)2f=(1)111(1)2f af a b=+=⎧⎪∴⎨=+'=⎪⎩解得：12ab=⎧⎪⎨=⎪⎩（2）由（1）可得：f'（x）＝1+lnx，当1xe⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，f'（x）≤0，f（x）单调递减；当1xe⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴()f x的单调减区间为1(0,),e()f x的单调增区间为1e⎛⎫+∞⎪⎝⎭，.21. (Ⅰ)由题意，可设抛物线C：22y px=，焦点,02pF⎛⎫⎪⎝⎭，则9422pPF=+=，解得1p=，因此，抛物线C的标准方程为22y x=；(Ⅱ)证明：设过点()2,0N的直线l：()2x ty t R=+∈，设点()11,A x y、()22,B x y，联立222x tyy x=+⎧=⎨⎩，消去x，得2240y ty--=，QV>，由韦达定理可得122y y t+=，124y y=-．()()()121212121221212121224811112244416ty y t y yy y y yk kx x ty ty t y y t y y+-+-----∴+=+=+=+++++++222814162tt--==-+，因此，12k k+为定值12-．22．【答案】（1）2max1()24e f x =+，min 5()4f x =；（2）见解析．【解析】（1）当12a =-时，21()ln 124x f x x =-++，所以211()222x x f x x x-'=-+=，因为()f x 的定义域为(0,)+∞，所以由()0f x '=，可得1x =．因为5(1)4f =，2131()24f e e =+，21()24e f e =+，所以在1[,]e e 上，2max 1()()24e f x f e ==+，min 5()(1)4f x f ==． （2）由题可得2(1)()a x af x x++'=，(0,)x ∈+∞，①当10a +≤，即1a ≤-时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减； ②当0a ≥时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；③当10a -<<时，由()0f x '>可得21ax a ->+，即1ax a ->+ 由()0f x '<可得21a x a -<+，即01ax a -<<+ 所以()f x 在)1a a -+上单调递减，在(,)1a a -+∞+上单调递增． 综上：当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当10a -<<时，()f x 在)1a a -+上单调递减，在,)1aa -+∞+上单调递增； 当1a ≤-时，()f x 在(0,)+∞上单调递减．。
黑龙江省大庆市铁人中学-高二下学期第一次月考数学(文)试题 Word版含答案
铁人中学20XX 级高二学年下学期月考数学试题（文）试鹿说明：I 、本试题总分值150分，答题时间150分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第I 卷（选择题总分值60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.）1 .己知 /（.v ） = -,那么广（3） = （）xA.-lB.-iC.L3992 .曲线y = 2A-lnx 在点（1,2）处的切线方程为（ ） A. y = -v-lB. y = T +3c. y = " 13 .函数 /（A ）= sinx-x,XG[--.-]的最大值是〈）2 2 A ・・1 + —B•—C. -----2224.函数/⑴=。
Inx + F 在x = 1处取得极值，那么。
等（） A. 2B. -2C.-45 .在以下结论中，正确结论的个数是（）① 两个夏数不能比拟大小：② 假设z,和弓都是虚数.11它们的虚部相等.那么与=习； ③ 假设M 是两个相等的实数.那么（“M ） +（Q + b ）i 必为纯虚数.A.OB.lC.26. 己知i 是虚数单位，复数z =—,那么；在复平面内对应的点位于（）3-i A.第•象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7. 假设对于函数/（x ） = a?-3f+x+l,存在3个不同的心弓％.使得/（也）= /（.） =/（.,），那么实数a的取值范围是（）D.y = A-lD.4D.3A. （f ,3）B.（-00.3）C. （*,0） 50,3]D. （*,0） u（0.3）8 .设函数/（x）在R上可导，其导函数为/'J）,假设函数/（.（）在】=1处取得极小值，那么函数-矿⑴的图象可能是（）eR '使/'（5）= g'（弓）'那么实数”的取值范围为（A・[OJ] B [TO] C・[0,2]10.函数/（x）的定义为 H）= e，假设对任意实数x都有广⑴x,那么不等式f{x}>ex^2e的解集是（）A.(-oo.-l)B.(-k-Kc) D.(L+»)11.假设存在实数x. y 满足hix - .v + 3..e y + e~y > 那么x + y = (A. -1 C. 1 D. e12.假设对于任意的都有玉（2 +心）< %（2 + 】n"那么。
黑龙江省大庆铁人中学高二数学下学期第一次阶段考试 文【会员独享】
大庆铁人中学高二年级下学期第一次阶段考试数学试题（文科）时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1． 已知复数12z i =+，21z i =-，则12z z z =⋅在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．函数x x x f cos )(2=的导数为 （ ） A ．x x x x x f sin cos 2)(2-='B ．x x x x x f sin cos 2)(2+='C ． x x x x x f s i n 2c o s )(2-=' D．xx x x x f sin cos )(2-='3．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ） Ａ．有两个内角是钝角 Ｂ．有三个内角是钝角 Ｃ．至少有两个内角是钝角Ｄ．没有一个内角是钝角4． 已知函数()f x 的图像如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则（ ） A.()()()()02332f f f f ''<<<-B.()()()()03322f f f f ''<<-<C.()()()()03232f f f f ''<<<-D.()()()()03223f f f f ''<-<<5．函数2()2ln f x x x =-的递增区间是 （ ）A.1(0,)2 B.11(,0)(,)22-+∞及 C.1(,)2+∞ D.11(,)(0,)22-∞-及6.函数a x x y +-=2332的极大值是6，那么a 等于 （ ） A ．6 B ．0 C ．5 D ．17．点P 是曲线0ln 2=--x y x 上任意一点，则点P 到直线2-=x y 的距离最短时的坐标为 （ ） A ． （22,2ln ） B. （1，-1） C.（22ln 21,22-） D. （1,1） 8. 设)('x f 是函数)(x f 的导函数，将)(x f y =和)('x f y =的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 （ ）9.以长为10的线段AB 为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为（ ） A ．10 B.15 C.25 D. 5010.设方程k x x =-33有三个不等的实根，则常数k 的取值范围是 （ ）A ．(-2,2) B.[-2,2] C.(-1,1) D.[-1,1]11.设0>>a b ，且xxx f +=1)(，则下列大小关系式成立的是 （ ） A. )()2()(ab f b a f a f <+< B. )()()2(ab f b f ba f <<+ C. )()2()(a f b a f ab f <+< D. )()2()(ab f ba fb f <+< 12.已知函数c bx ax x x f +++=2213)(23的两个极值点分别为1x ，2x ，若1x ，2x 分别在区间（0,1）与（1,2）内，则a b 2-的取值范围是 （ ）A.（-4，-2）B. ),7()2,(+∞⋃-∞C.（2,7）D.（-5，-2） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20 分） 13． 若x e x x f ⋅=)(，则0(12)(1)limt f t f t→--=___________.14．曲线2-=x xy 在点（1，-1）处的切线方程为_____________________. 15．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是_______.16． 下列不等式恒成立的是____________. ①1xe x ≥+②],0[,sin π∈<x x x ③()11,nn nn n N +*<+∈④()2ln 1,02xx x x +>->三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余各题12分，共70分）17．设复数ii i z +-++=2)1(3)1(2，若i b az z +=++12，求实数b a ,的值。
黑龙江省大庆市第四中学2019-2020学年高二数学下学期第一次月考试题文【含答案】
黑龙江省大庆市第四中学2019-2020学年高二数学下学期第一次月考试题 文考试时间：120分钟 分值：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．作图时先用铅笔定型，再用黑色签字笔描绘。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.有人收集了春节期间平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据如表：平均气温（℃） ﹣2 ﹣3 ﹣5 ﹣6 销售额（万元）20232730则该商品销售额与平均气温有（ ）A ．确定性关系B ．正相关关系C ．负相关关系D ．函数关系2． “因为四边形ABCD 是菱形，所以四边形ABCD 的对角线互相垂直”，补充以上推理的大前提，正确的是（）A ．菱形都是四边形B ．四边形的对角线都互相垂直C ．菱形的对角线互相垂直D ．对角线互相垂直的四边形是菱形3. 曲线3231y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为（）A .32y x =-+B . 34y x =-C .43y x =-+D .45y x =-4.在用反证法证明命题：“若0a b c ++>，则,,a b c 三个数中至少有一个大于0”时，正确的反设为：设,,a b c 三个数（）A . 都小于0B . 都小于等于0C . 最多1个小于0D . 最多1个小于等于05. 若复数z 满足i ii z -=+2，其中i 为虚数单位，则复数z 等于（）A ．13--iB ．13+-iC ．13-iD ．13+i6. 某珠宝店丢了一件珍贵珠宝,以下四人中只有一人说真话,只有一人偷了珠宝. 甲:我没有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;丁:我没有偷. 根据以上条件,可以判断偷珠宝的人是（）A .甲B .乙C .丙D .丁7. 如果函数y =f (x )的图象如右图所示，那么导函数y =f ′(x )的图象可能是( )8.有两种花色的正六边形地板砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有条纹的正六边形的个数是()A .26B .31C .32D .369.若函数y=e x+mx 有极值,则实数m 的取值范围是( )A.m>0B.m<0C.m>1D.m<110．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f '(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝)21(f ，c ＝f (3)，则（ ）A ． c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．a c b <<11．已知函数f (x )的导数为)(x f '＝4x 3－4x ，且f (x )的图象过点(0，－5)，当函数f (x )取得极大值－5时，x 的值应为（）A ．－1B ．0C ．1D ．±112．已知)(x f 为R 的可导函数，且对任意的R x ∈，均有)()(x f x f '>，则有（）A ．)0()2012(,)0()2012(20122012f e f f f e <<-B ．)0()2012(,)0()2012(20122012f e f f f e ><-C ．)0()2012(,)0()2012(20122012f e f f f e <>-D ．)0()2012(,)0()2012(20122012f e f f f e >>-第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.设R a ∈，若复数(1i)(i)a ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =________.14．下列关于回归分析的说法中错误的序号为_________________（1）残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高． （2）回归直线一定过样本中心),(y x ．（3）两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好．（4）甲、乙两个模型的R 2分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好． 15.已知3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是______ 16.2016cos )(x ex x f x++=-已知函数,)()(1x f x f '=，)()(),...,()(),()(12312x f x f x f x f x f x f n n '='='=-)(*N n ∈按此规律，则=)(2017x f _________________三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17.(本题满分10分)设x ＞0，y ＞0，且x +y ＝1，求证：911)11(≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x18、（本小题满分12分） 已知函数)0()(3≠++=a cbx ax x f 为奇函数，其图象在点))1(,1(f 处的切线与直线076=--y x 垂直，导函数)(x f '的最小值为—12.（I ）求c b a ,,的值；（II ）求函数)(x f 的极值.19.（本小题满分12分）某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8 y3040605070（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程； （Ⅱ）预测当广告费支出为9百万元时的销售额．最小二乘法：ˆˆˆybx a =+附：回归方程ˆˆˆybx a =+中1122211()(),().n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnxa y bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑20.（本小题满分12分）某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集200位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)． （I ）应收集多少位女生的样本数据？(II)根据这200个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图14所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．(III)在样本数据中，有40位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．（把表简要画在答题卡上）^ ^^附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=21.（本小题满分12分）设函数)1(ln 2)(2xx a x x x f ---=，∈a R . （I ）当a =2时，求f （x ）在x =1处的切线方程； （II ）讨论函数)(x f 的单调性；22.（本小题满分12分）已知函数.ln 1)(xxx f +=（I ）设0>a ，若函数在区间)21,(+a a 上不单调，求实数a 的取值范围；（II ）若当1≥x 时，不等式1)(2+-≥x kk x f 恒成立，求实数k 的取值范围.大庆四中2019～2020学年度第二学期第一次检测高二年级数学（文科）试题答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分） 题号 123456789101112答案C C A B C A A B B C B C二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.-1 14.（1）（4） 15. . 21≤≤-b 16.x e x ---sin 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分） 17.(本题满分10分)18.（本小题满分12分）解：（1）0),()()(=-=-∴c x f x f x f 即为奇函数，12,012-3)(2-=>∴+='b a b ax x f ，的最小值为 61076的斜率为又直线=--y x ，63)1(-=+='∴b a f0,12,2=-==∴c b a -----------------------------------------5分(1) 由(1)知f (x )=23x −12x ,∴f ′(x )=62x −12=6(x +2)(x −2)=0，解得：2±=x 列表如下： x−∞,−2) −2 (−2,2)2 (2,+∞)f ′(x ) + 0 − 0 + f (x )增极大减极小增∴f (x )的极大值是f (-2)=82,极小值是f (2)=−8.2-----------------------10分 19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设回归直线方程为∧∧∧+=a x b y ，由题意可得， ∵==5，==50，=145，=13500，x i y i =1380；∴∧b ===6.5，x b y a ∧∧-==17.5； ∴线性回归方程为=6.5x +17.5；（Ⅱ）当x =9时，=6.5×9+17.5=76；即预测当广告费支出为9百万元时的销售额为76百万元 20.（本小题满分12分）解： (1)200×450015 000＝60，所以应收集60位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，200位学生中有200×0.75＝150(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，50人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有140份是关于男生的，60份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：结合列联表可算得：()841.3175.363200140601505020110403020022<≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K所以，没有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．21：（本小题满分12分）解：（1）），的定义域（∞+0)(x f当a =2时,324221)('x x x x f --+=,31412121)1('-=--+=f 1)11(ln 221)1(1=---==f x 时，当3-,11斜率为），切点为（切线方程为)1(31--=-x y ，整理得：043=-+y x ∴f（x ）在x =1处的切线方程为43=-+y x（2）22.（本小题满分12分） （1）0,ln )(,ln 1)(2>-='+=x xxx f x x x f 则 ----------------------------------1分 当0)(1,0)(10<'>>'<<x f x x f x 时，当时，.上递减上单调递增，在在),1()1,0()(+∞∴x f处取得极大值在函数1)(=∴x x f .-------------------------------------3分因为不单调，即存在极值在函数)0)(21,()(>+a a a x f 211+<<∴a a 解得121<<a .--------------------------------------------------6分 (2) 不等式1)(2+-≥x k k x f ，即为kk xx x -≥++2)ln 1)(1(，记x x x x g )ln 1)(1()(++=-------------7分2ln )(x xx x g -='∴,令x x x h ln )(-=， (3) 则)(1,11)(≥'∴≥-='x h x xx h ， ，[)∞+∴，在1)(x h 上单调递增0)(,01)1()(>'>=≥∴x g h x h 从而，[).2)(1)(min =∞+∴x g x g 上递增，，在---------------------------10分21-,22≤≤≤-∴k k k 解得----------------------------------------12分。
铁人中学2019级高二学年数学月考试题答案
铁人中学2019级高二上学期第一次月考数学答案一、选择题1.答案:A 解析:2241x y +=即22114y x +=,故11,2a b ==,故222234a b e a -==,所以. 2.答案：C解析：因为c a =,2a =,所以c =,所以1b =,选C ． 3.答案：D 解析：由已知可知，A 点的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c 2,，⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b M 202，，易知B 点坐标⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c 2,22， 将其代入椭圆方程得225c a =，所以离心率为55，故选D. 4.答案：B解析：由双曲线的焦点可知c =线段1PF 的中点坐标为(0,2),所以P .设右焦点为2F ,则有2||4PF =,且2PF x ⊥轴,点P 在双曲线的右支上,所以1||6PF ===,所以12||||6422PF PF a -=-==,所以1a =,2224b c a =-=,所以双曲线的方程为2214y x -=,故选B.5.答案：D 解析：由题设知12211290,60,2F PF PF F F F c ∠=︒∠=︒=,所以21,PF c PF ==.由椭圆的定义得122PF PF a +=,2c a +=,所以1)2c a =,故椭圆C的离心率1c e a =. 6.答案：C7.答案：C 解析：由椭圆221164x y +=,可知4,2a b ==,可得22212c a b =-=,即c =12,PF m PF n ==，由椭圆的定义可知：28m n a +==，∵12PF PF ⊥,得1290F PF ∠=︒，由勾股定理可知：()2222m n c +=，∴()2224m n mn c +-=，则64248mn -=解得：8mn =，∴128PF PF ⋅=.∴12PF F △的面积12118422S PF PF =⋅=⨯=. 8.答案：A 双曲线的焦点在x 轴上，所以2234m n m n ++-=，解得21m =，因为方程22113x y n n -=+-表示双曲线，所以1030n n +>⎧⎨->⎩，解得13n n >-⎧⎨<⎩，所以n 的取值范围是()1,3-， 9.答案：B 10.答案：B11.答案：D 解析：由已知的22b =，故1b =.∵1F AB △的面积为22，∴1()2a c b -=∴2a c -=-又∵222()()1a c a c a c b -=-+==，∴2,3a c ==，∴122121211111124(4)4PF PF a PF PF PF PF PF PF PF PF ++===--+.又12323PF -≤≤+,∴211144PF PF ≤-+≤,∴121114PF PF ≤+≤.∴1211PF PF +的取值范围为[]1,4.12.答案：C解析：根据题意,作出如图所示的双曲线的草图,由题意得P Q x x c ==-,将x c =-代入双曲线的方程,可得22,P Q b b y y a a ==-,则2b PF FQ a==.由//OE PM ,得EOB PFB △△,则有EO BO PFBF=,则EO c a =-,而EOA MFA △△,则有MF EO FA AO=,即223b c aa c a a -=-,所以5c a =,则5e =,故双曲线的离心率为5. 二、填空题13.解析：由题意得5a =，2ABF △周长：()()2211221212420C AB AF BF AF BF AF BF AF AF BF BF a =++=+++=+++==14.答案：5解析：设2(0)MF m m =>,由2245NF MF =,得254NF m =,由1290F MF ︒∠=,得22222222259||1616MN NF MF m m m =-=-=,所以3||4MN m =,又221122||4MN MF NF MF NF MF NF a ++=+++=,即35444m m m a ++=,化简得43m a =,即243MF a =,根据122MF MF a +=,得123MF a =,又2221212F F MF MF =+,所以222416499c a a =+,所以椭圆的离心率5c e a ==. 15.解析：点P 为椭圆22198x y +=上的任意一点，设(,)(33,2222)P x y x y -≤≤-≤≤，依题意得左焦点(1,0)F -，∴(,),(1,)OP x y FP x y ==+，∴2227281(1)99x OP FP x x y x x -⋅=++=++=.292324x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.∵33x -≤≤，∴3915222x ≤+≤，∴299225424x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，∴2119254924x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，∴21923612924x ⎛⎫≤⋅++≤ ⎪⎝⎭，即612OP FP ≤⋅≤.故OP FP ⋅的最小值为6.16.解析：点P 与点Q 关于原点对称，且12||2,||||,PQ c OP OQ OF OF c =∴====∴四边形12PFQF 是矩形，12PF F ∴△为直角三角形（12F PF ∠为直角）.设1122,PF r PF r ==，则122221224r r a r r c +=⎧⎨+=⎩，()22221212222221212241,14r r r r c e a er r r r +∴==∴=+++， 11123,PF QF QF PF =，123r r .点P在第一象限，11212122122212221122122,313r r r r r r r r r r r r r r r r rr r ⎛∴>∴<⇒<⇒+∈⇒=∈ +⎝+212222122112111223r r e e e r r ⎫⎡⎫⎛⇒=+∈+⇒∈⇒<==⎪⎪⎢ ⎪⎪++⎝⎣⎭⎣⎭.三、解答题17.解析： 试题分析:(Ⅰ)由已知,椭圆方程可设为 ∵长轴长为,心率,∴,所求椭圆方程为:.(Ⅱ)因为直线 过椭圆右焦点 ,且斜率为 ,所以直线 的方程为.设,由 得,解得.∴.18答案： 解:①由双曲线的定义可知, 曲线E 是以 ,为焦点的双曲线的左支, 且,a=1, ∴b==1 故曲线E 的方程为:x 2﹣y 2=1(x<0 )②设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 由题意建立方程组 消去y,得(1﹣k 2)x 2+2kx ﹣2=0 已知直线与双曲线左支交于两点A,B,有解得:19.解析：试题解析：(1)设双曲线方程为： ，点代入得：， 所以所求双曲线方程为2213y x -=（2）直线的方程为：， 由得：，．20.解析： (1)解:设点P 的坐标为 .由题意,有①由,得, 由,可得,代入①并整理得 由于,故 .于是,所以椭圆的离心率(2)证明:(方法一) 依题意,直线OP 的方程为,设点P 的坐标为. 由条件得消去并整理得 ② 由, 及 , 得 . 整理得.而,于是 ,代入②,整理得由,故,因此. 所以.(方法二) 依题意,直线OP 的方程为,设点P 的坐标为 . 由P 在椭圆上,有因为,,所以,即③由 , ,得 整理得 .于是 ,代入③, 整理得 解得 , 所以 .21.答案：（1）由题意知2c a =,1b =,综合222a b c =+,解得a =所以,椭圆E 的方程为2212x y +=. （2）由题设知,直线 P Q 、的方程为()()11,2y k x k =-+≠,代入2212x y +=, 得 ()()()221241220k x k k x k k +--+-=,由已知0∆>,设()11,P x y ,()22,Q x y ,120x x ≠则()1224112k k x x k -+=+,()1222212k k x x k-=+, 从而直线AP 与AQ 的斜率之和121211AP AQy y k k x x +++=+121222kx k kx k x x +-+-=+()()121212112222x xk k k k x x x x ⎛⎫+=+-+=+- ⎪⎝⎭()()()412222k k k k k k -=+--()2212k k =--=. 22. 试题解析：(1) 设，则根据椭圆性质得 而，所以有， 即，，因此椭圆的离心率为.(2) 由(1)可知 ，，椭圆的方程为.根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为，并设 则由 消去 并整理得从而有，.因为 ，所以 ， .由与相似，所以.。
黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高二数学下学期第一次月考学试题理含解析
【详解】根据导数定义，
1 C. 3
1 D. 2
f (1 x) f (1)
lim
x0
3x
1 lim f (1 x) f (1)
3 x0
x
12 2 33
所以选 A
【点睛】本题考查了导数定义的简单应用，属于基础题．
5.甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示,则（ ）
A. 甲得分的平均数比乙的大
1223
5 6 6.
故选：D
【点睛】本题主要考查程序框图的 循环结构，还考查了数列裂项相消法求和，属于基础题.
f (x) ln x 1 x2 bx
11.若函数
2
存在单调递减区间，则实数 b 的取值范围是（ ）
2，
A. 【答案】A 【解析】 【分析】
B. （-2,2）
, 2 (2, )
C.
D. （0.2）
6.已知 f（x）＝cos2x+e2x，则 f ′（x）＝（ ）
A. -2sins2x+2e2x
B. sin2x+e2x
C. 2sin2x+2e2x
D. -
sin2x+e2x
【答案】A
【解析】
【分析】
根据 f（x）＝cos2x+e2x，利用复合函数求导和导数的运算法则求解.
【详解】已知 f（x）＝cos2x+e2x，
【答案】B
B. 3 1
2 C. 2
5 1 D. 2
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义可知| PF1 | | PF2 | 2a ，又 PF1 恰好与圆 F2 相切于点 P，可知| PF2 | c 且 PF1 PF2 ，即可列出方程求椭圆的离心率.
2019-2020学年大庆市铁人中学高二下学期期末数学试卷(文科)
2019-2020学年大庆市铁人中学高二下学期期末数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.设集合A ={x||x|≤1}，集合B ={y|y =x 2}，则A ∩B =( )A. [−1,1]B. [−1,2]C. [0,2]D. [0,1]2.已知π3<α<π，则“α=π2”是“sin(α+π6)=√32”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知命题p ：“a >b >0”是“1a <1b ”成立的必要不充分条件；命题q ：若函数y =f(x −1)为偶函数，则函数y =f(x)的图象关于直线x =1对称， 则下列命题为真命题的是( )A. p ∨qB. p ∧qC. ￢p ∧qD. p ∨￢q4.已知函数f(x)={|x +1|(x ≤0)|log 3x|(x >0)，若方程f(x)=a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4且x 1<x 2<x 3<x 4，则x 3(x 1+x 2)+1x 32x 4的取值范围是( )A. (−1,+∞)B. [−1,73)C. (−∞,73)D. (−1,73]5.若a =log 23，b =log π3，c =log b 3，则下列结论正确的是( )A. c <a <bB. b <a <cC. b <c <aD. c <b <a6.已知函数f(x)={x 2+1, x ≤0,−2x,x >0,若f(x 0)=5，则x 0的取值集合是( )A. {−2}B. {−52,2}C. {−2,2}D. {−2,2,−52}7.要得到函数y =cos (x2−π4)的图象，只需将函数y =sin x2的图象上所有点( )A. 向左平移π2个单位纵坐标不变 B. 向左平移π4个单位纵坐标不变 C. 向右平移π2个单位纵坐标不变D. 向右平移π4个单位纵坐标不变8.已知函数f(x)=(13)x 和函数g(x)=log 13x ，则函数f(x)与g(x)的图象关于( ) A. x 轴对称 B. y 轴对称 C. 原点对称D. 直线y =x 对称9.下列命题中是假命题的是( )A. ;B. 使得函数是偶函数；C. 使得；D.是幂函数，且在上递减；10. 定义“正对数”：ln +x ={0,0<x <1lnx,x ≥1，现有四个命题：①若a >0，b >0，则ln +(a b )=bln +a ②若a >0，b >0，则ln +(ab)=ln +a +ln +b ③若a >0，b >0，则ln +(ab )≥ln +a −ln +b ④若a >0，b >0，则ln +(a +b)≤ln +a +ln +b +ln2 其中正确的命题有( )A. ①③④B. ①②③C. ①②④D. ②③④11. 下列函数满足f(x)+f(−x)=0的是( )A. f(x)=√xB. f(x)=ln|x|C. f(x)=1x−1D. f(x)=xcosx12. 方程的实数解所在的区间是( )A.B.C.D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱的高为______ ． 14. 对于下列命题：①在△ABC 中，若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；②已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若a =2，b =5，A =π6，则△ABC 有两组解； ③设a =sin2012π3，b =cos2012π3，c =tan2012π3，则a >b >c ；④将函数y =2sin(3x +π6)图象向左平移π6个单位，得到函数y =2cos(3x +π6)图象． 其中正确命题的序号是______．15. 若二次函数的图象过点A(−1,0)，B(2,0)，C(3,8)，则该二次函数的表达式为______．16.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，∀x∈R，f(x−1)=f(x+1)成立，当x∈(0,1)且x1≠x2时，有f(x2)−f(x1)x2−x1<0.给出下列命题：①f(1)=0；②f(x)在[−2,2]上有5个零点；③直线x=2 016是函数y=f(x)图象的一条对称轴．④点(2 016，0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心；则正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=12x2−alnx(a>0)(Ⅰ)若f(x)在x=2处的切线与直线3x−2y+1=0平行，求f(x)的单调区间；(Ⅱ)求f(x)在区间[1,e]上的最小值．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。
【精准解析】黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高二下学期第一次月考学数学(文)试题
铁人中学2018级高二学年下学期月考考试数学文科试题第Ⅰ卷选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分.） 1.在复平面内,复数1(1i i+是虚数单位)对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简复数11i +，求出复数11i+在复平面内对应的点的坐标，则答案可求． 【详解】解：111111(1)(1)222i i i i i i --===-++-， ∴复数11i +在复平面内对应的点的坐标为：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 位于第四象限． 故选：D ．【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.双曲线221102x y -=的焦距为（ ）． A. 2 B. 2C. 23D. 43【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程找出a b 、，再根据222c b a =+求出c ，即可求出焦距2c 。
【详解】由题意得222221023a b c c a b ⎧=⎪=⇒=⎨⎪=+⎩所以焦距243c =【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题。
3.在回归分析中，2R 的值越大，说明残差平方和（ ） A. 越小 B. 越大C. 可能大也可能小D. 以上都不对 【答案】A 【解析】分析：根据2R 的公式和性质，并结合残差平方和的意义可得结论．详解：用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果时，当2R 的值越大时，模型的拟合效果越好，此时说明残差平方和越小；当2R 的值越小时，模型的拟合效果越差，此时说明残差平方和越大． 故选A ．点睛：主要考查对回归分析的基本思想及其初步应用等知识的理解，解题的关键是熟知有关的概念和性质，并结合条件得到答案．4.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：千瓦·时）与气温x （单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：由表中数据得线性回归方程：2ˆˆyx a =-+，则由此估计：当某天气温为2℃时，当天用电量约为（ ） A. 56千瓦·时 B. 62千瓦·时 C. 64千瓦·时 D. 68千瓦·时【答案】A 【解析】根据回归直线方程经过样本中心点，求得(),x y ，代入回归直线可求得a ；代入回归方程后，可预报当气温为2℃时，当天的用电量． 【详解】171410+-1)104x ++==（243438+64404y ++==代入回归直线方程，求得4010260a =+⨯=所以回归直线方程为2ˆ60yx =-+ 当温度2℃时，代入求得22ˆ6056y=-⨯+=千瓦·时 所以选A【点睛】本题考查了回归方程的简单应用，注意回归直线方程一定经过样本的中心点，而不是样本的某个点，属于基础题．5.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线22143x y -=的一个焦点,则p =（ ）A. 2B. 10D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出22143x y -=的左焦点，得到抛物线22y px =的准线，依据p 的意义求出它的值． 【详解】解：因为抛物线22(0)y px p =>焦点在x 轴上，开口为正方向，故准线在y 轴左侧，双曲线22143x y -=的左焦点为(，0)，故抛物线22y px =的准线为x =∴2pp = 故选：D ．【点睛】本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程22y px =中p 的意义．6.已知()3226f x x x m =-+（m 为常数）在区间[]22-,上有最大值3，那么此函数在[]22-,上的最小值是（ ） A. 37-B. 29-C. 5-D. 以上都不对 【答案】A 【解析】f′(x)＝6x 2－12x ＝6x(x －2)．当－2<x<0时，f′(x)>0，∴f(x)在(－2,0)上为增函数； 当0<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(0,2)上为减函数， f(0)为极大值且f(0)＝m ，∴f(x)max ＝m ＝3，此时f(2)＝－5，f(－2)＝－37. ∴f(x)在[－2,2]上的最小值为－37.7.执行图所示的程序框图，若输出的结果为11，则M 处可填入的条件为( )A. k≥31B. k≥15C. k>31D. k>15【答案】B 【解析】 【分析】根据所给的程序框图，按照输入的值依次进行计算，直到满足条件为止 【详解】依题意10k S ==，，进入循环， 循环过程依次为：01121131342317471127115S k S k S k =+==⨯+==+==⨯+==+==⨯+=，；，；，，终止循环，输出11S =. 结合选项知，M 处可填k 15≥. 故选B【点睛】本题主要考查了补全程序图，解答此类题目需要执行程序图，直到满足条件为止，较为基础． 8.下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件．其中正确命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A 【解析】 【分析】根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．【详解】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A 与B 是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A ，B 满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A ＝{摸到红球或黄球}，事件B ＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A 与B 不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．9.设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象可能是( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数图像的正负得到函数在各个区间的单调性，结合图像判断正确选项.【详解】由导函数图像可知函数()f x 在(,1)-∞-单调递减，在(1,1)-单调递增，在(1,+)∞单调递增，结合A ，B ，C ，D ，只有选项B 中的图像满足条件. 故选：B【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的应用，考查了学生数形结合的能力，属于基础题.10.方程22142x y m m+=+-表示椭圆的必要不充分条件是（ ）A. ()1,2m ∈-B. ()4,2m ∈-C. ()()4,11,2m ∈--⋃-D. ()1,+m ∈-∞【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得，所选择的“正确选项”是方程22142x y m m +=+-表示椭圆的必要不充分条件；再把方程22142x y m m+=+-表示椭圆的充要条件求出，再根据集合间的关系，即可得到答案.【详解】方程22142x ym m +=+-表示椭圆的充要分条件是402042m m m m+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，解得：(4m ∈-，1)(1--⋃，2)，所以(4m ∈-，1)(1--⋃，2)是正确选项的真子集， 对照四个选项，只有()4,2-符合. 故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，充分条件、必要条件的定义，属于中档题． 11.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是( ) A. 恰有1件一等品 B. 至少有一件一等品 C. 至多有一件一等品 D. 都不是一等品【答案】C 【解析】 【分析】将3件一等品编号为1,2,3，2件二等品的编号为4,5，列举出从中任取2件的所有基本事件的总数，分别计算选项的概率，即可得到答案．【详解】将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5，从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P 1＝，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率为P 2＝，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P 3＝1－P 2＝1－＝.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中明确古典概型的基本概念，以及古典的概型及概率的计算公式，合理作出计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．12.已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A. 2 B. 4 2343【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．【详解】设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为1a ()1a a >，半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可知，设1PF m =，2PF n =，122FF c =， 椭圆和双曲线的离心率分别为1c e a=，21c e a =，因P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则由余弦定理可得：22242cos3c m n mn π=+-……①在椭圆中，由定义知2m n a +=，①式化简为：22443c a mn =-……②在双曲线中，由定义知12m n a -=，①式化简为：22144c a mn =+……③由②③两式消去mn 得：222116412c a a =+，等式两边同除2c 得2212234a ac c=+，即2212134e e =+，由柯西不等式得2221212131113e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，1211e e ∴+≤. 故选：D.【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键，属于难题．第Ⅱ卷非选择题部分二、填空题（每小题5分，共20分）13.用秦九韶算法计算多项式f (x )＝x 6－12x 5＋60x 4－160x 3＋240x 2－192x ＋64当x ＝2时的值时，v 4的值为____. 【答案】80 【解析】由秦九韶算法计算多项式()65432126016024019264f x x x x x x x =-+-+-+126016024019264x x x x x x =-+-+-+（（（（（）））））．∴当2x =时的值时，01V =，1121210V =⨯-=-，21026040V =-⨯+=，340216080V =⨯-=-，480224080V =-⨯+=，故答案为80.14.设抛物线22y x =-上一点P 到x 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是______.【答案】338【解析】 【分析】将抛物线的方程化为标准形式，得到抛物线准线方程，再利用抛物线上点到焦点距离与到准线的距离相等，求得点P 到该抛物线焦点的距离.【详解】抛物线方程的标准形式为：22y x =-，准线方程为18y =，由抛物线的定义得：点P 到该抛物线焦点的距离等于点P 到准线18y =的距离d ，因为点P 到x 轴的距离是4，所以133488d =+=，故填：338.【点睛】本题考查抛物线的标准方程的形式、抛物线的焦半径，考查基本运算求解能力. 15.在体积为43π的球内随机取一点，则该点到球心距离不超过12的概率为______． 【答案】18． 【解析】 【分析】首先明确这是一个几何概型的体积模型，先求以12为半径的球的体积，再代入概率公式求解. 【详解】根据题意：以12为半径的球的体积为3414383r V ππ==， 所以该点到球心距离不超过12的概率14183483p ππ==.故答案为：18【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法，还考查运算求解的能力，属于基础题.16.已知函数21()ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不相等的正实数1x ，2x ，1212()()2f x f x x x -≥-恒成立，则实数a 的取值范围是______________．【答案】[1,)+∞ 【解析】 【分析】 由1212()()2f x f x x x -≥-可判断函数应在()0,x ∈+∞对应的导数值()'2f x ≥恒成立【详解】由()()21()ln '02af x a x x f x x a x=+⇒=+>，要使()'2f x ≥在()0,x ∈+∞恒成立，由基本不等式得()'a f x x x =+≥=2≥，[)1,a ∈+∞ 故答案为[1,)+∞【点睛】本题考查函数导数的求解，由基本不等式求解参数范围，属于基础题 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例．（2）能否在犯错误的概率不超过百分之一的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【答案】（1）14%；（2）在犯错误的概率不超过百分之一的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关． 【解析】 【分析】（1）由频率估计概率，求出需要志愿者提供帮助的老人频率即可； （2）将数据代入公式，求出2K ，与6.635作比较，若大于6.635则可以.【详解】（1）调查的500名老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为70100500⨯%=14% （2）()250040270301609.96720030070430k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由于9.967>6.635,所以可以在犯错误的概率不超过百分之一的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．【点睛】本题考查频率估计概率与独立性检验，熟练掌握公式的代入方法，并且要注意求值时的计算准确性，注意保留三位小数.18.已知直线112:6x t l y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（1）设l 与1C 相交于A ，B 两点，求AB ； （2）若把曲线1C上各点的横坐标压缩为原来的12倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最大时，点P 的坐标．【答案】（1；（2）—（． 【解析】 试题分析：（1）把两个方程都化为直角坐标方程，然后联立方程组求出两交点,A B 坐标，由两点间距离公式可得距离；（2）由图象变换可得曲线2C 上点13(cos ,sin )2P θθ，由点到直线距离公式求出P 到直线l 的距离为1013sin()1cos sin 12222d θϕθθ----==，由正弦函数的性质可得最大值． 试题解析：（1）l 的普通方程()31y x =-， 1C 的普通方程221x y +=，联立方程组()223131y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩解得l 与1C 的交点为()1,0A ， 13,2B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则3AB = （2）2C 的参数方程为123x cos y sin θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数），故点P 的坐标是13cos ,sin 22θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，从而点P 到直线l 的距离是()1013sin 1cos sin 12222θϕθθ-+--=，由此当()sin 1θϕ-=时， d 取得最大值，且最大值为10142+.此时，点P 坐标为10330—2020（，）19.某公司为了解所经销商品的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率布直方图，其统计数据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求频率分布直方图中a 的值并估计这50名使用者问卷评分数据的中位数；（2）从评分在[40，60）的问卷者中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60）的概率． 【答案】（1）a ＝0.006；76； （2）310【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，由概率之和为1求解a ，设中位数为m ，根据中位数平分直方图的面积求解.（2）由频率分布直方图，可知在[40，50）内的人数：0.004×10×50＝2，在[50，60）内的人数：0.006×10×50＝3．设在[40，50）内的2人分别为a 1，a 2，在[50，60）内的3人分别为B 1，B 2，B 3，列举出[40，60）的问卷者中随机抽取2人，基本事件的种数，再找出其中2人评分都在[50，60）内的基本事件的种数，利用古典概型的概率公式求解.【详解】（1）由频率分布直方图，可得（0.004+a +0.0156+0.0232+0.0232+0.028）×10＝1， 解得a ＝0.006．由频率分布直方图，可设中位数为m ，则有（0.004+0.006+0.0232）×10+（m ﹣70）×0.028＝0.5，解得中位数m ＝76．（2）由频率分布直方图，可知在[40，50）内的人数：0.004×10×50＝2， 在[50，60）内的人数：0.006×10×50＝3．设在[40，50）内的2人分别为a 1，a 2，在[50，60）内的3人分别为B 1，B 2，B 3， 则从[40，60）的问卷者中随机抽取2人，基本事件有10种，分别为： （a 1，a 2），（a 1，B 1），（a 1，B 2），（a 1，B 3），（a 2，B 1）， （a 2，B 2），（a 2，B 3），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 2，B 3），其中2人评分都在[50，60）内的基本事件有（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 2，B 3）共3种， 故此2人评分都在[50，60）的概率为310P =． 【点睛】本题主要考查样本估计总体和古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.已知函数()ln f x x x ax b =++在()()1,1f 处的切线为2210x y --=. （1）求实数,a b 的值； （2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）012a b =⎧⎪⎨=⎪⎩（2）减区间为1(0,),e 增区间为1(,)e +∞【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，计算f ′（1），f （1）可求出a ，b 的值；（2）求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； 【详解】（1）依题意可得：122(1)10(1)2f f --==即 ()ln f x x x ax b =++'()ln 1f x x a ∴=++又函数()f x 在(1,(1))f 处的切线为2210x y --=，1(1)2f =(1)111(1)2f a f a b =+=⎧⎪∴⎨=+'=⎪⎩解得：012a b =⎧⎪⎨=⎪⎩（2）由（1）可得：f '（x ）＝1+lnx ，当10x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，f '（x ）≤0，f （x ）单调递减；当1x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增， ∴()f x 的单调减区间为1(0,),e ()f x 的单调增区间为1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，. 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于基础题．21.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在x 轴上，抛物线C 上一点()4,P m 到焦点F 的距离为92． (Ⅰ)求抛物线C 的标准方程；(Ⅱ)设点()2,1M -，过点()2,0N 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，记直线MA 与直线MB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k +为定值．【答案】（Ⅰ）22y x =；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)设抛物线C 的标准方程为22(0)y px p =>，利用抛物线的定义求出p 的值，即可得出抛物线C 的标准方程；(Ⅱ)设直线ll 的方程为2x ty =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式并代入韦达定理可计算出12k k +的值，从而证明结论成立．【详解】(Ⅰ)由题意，可设抛物线C ：22y px =，焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则9422p PF =+=，解得1p =，因此，抛物线C 的标准方程为22y x =；(Ⅱ)证明：设过点()2,0N 的直线l ：()2x ty t R =+∈，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立222x ty y x =+⎧=⎨⎩，消去x ，得2240y ty --=，0>，由韦达定理可得122y y t +=，124y y =-．()()()121212121221212121224811112244416ty y t y y y y y y k k x x ty ty t y y t y y +-+-----∴+=+=+=+++++++222814162t t --==-+， 因此，12k k +为定值12-． 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理在抛物线综合问题的应用，解决本题的关键在于灵活使用相应公式，考查计算能力，属于中等题．韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 22.已知函数21()ln 12a f x a x x +=++. （1）当12a =-时，求函数()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值； （2）讨论()f x 的单调性. 【答案】（1）2max1()24e f x =+，min 5()4f x =；（2）当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当10a -<<时，()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增；当1a ≤-时，()f x 在(0,)+∞上单调递减. 【解析】 【分析】（1）求导()f x 的定义域，求导函数，利用函数的最值在极值处与端点处取得，即可求得()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值；（2）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性；【详解】解：（1）当12a =-时，21()ln 124x f x x =-++，所以211()222x x f x x x-'=-+=， 因为()f x 的定义域为(0,)+∞， 所以由()0f x '=，可得1x =.因为5(1)4f =，213124f e e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，21()24e f e =+，所以在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，2max 1()()24e f x f e ==+，min 5()(1)4f x f ==.（2）由题可得2(1)()a x af x x++'=，(0,)x ∈+∞，①当10a +≤，即1a ≤-时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减；②当0a ≥时，()0f x '>， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；③当10a -<<时，由()0f x '>可得21a x a ->+，即x >由()0f x '<可得21ax a -<+，即0x <<所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. 综上：当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当10a -<<时，()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增； 当1a ≤-时，()f x 在(0,)+∞上单调递减.【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，确定函数的单调性，求函数的最值是关键，属于中档题．。
黑龙江省大庆市铁人中学2019_2020学年高二数学下学期期中试题文 (1)
........................ 优质文档..........................黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题文试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。
）1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．已知命题，则命题为（）A．B．C．D．3.三个数，，的大小顺序为（）A．B．C ．D ．4．下列命题错误的是（ ）A ．命题“若x 2﹣3x +2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2﹣3x +2≠0”B ．若p ：∀x ≥0，1sin ≤x ，则￢p ：∃x 0≥0，1sin 0>xC ．若复合命题：“p ∧q ”为假命题，则p ，q 均为假命题D ．“x ＞2”是x 2﹣3x +2＞0”的充分不必要条件5．设,则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（）A．B．C．D ．7.函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ．B ．C ．D ．8.以下说法：①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位；③线性回归方程必过点；④设具有相关关系的两个变量的相关系数为，那么越接近于0，之间的线性相关程度越高；⑤在一个列联表中，由计算得的值，那么的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大。
其中错误．．的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39.若函数a ax x x f -+-=12)(2在上最小值为-1，则=a （ ）A ．1或2B ．1C ．1或D ．-210.已知函数是幂函数，且在上为增函数，若且则的值（）A．恒等于B．恒小于C ．恒大于D ．无法判断11．若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]0,1x ∈时，()f x x =，则方程5()log f x x =的零点个数是（ ） A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个12.已知，且，若函数在上是增函数，则实数的取值范围为（）A．B．C．D ．第Ⅱ卷 非选择题部分二、填空题(每小题5分，共20分)13.函数的单调递增区间为 .14．曲线ln y x x =⋅在点(1,0)处的切线的方程为__________．15.是函数为偶函数的______条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）16.设函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f （x +1）＝f （x ﹣1），已知当x ∈[0，1]时，xx f -=1)21()(，则①2是函数f （x ）的一个周期；②函数f （x ）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数； ③函数f （x ）的最大值是1，最小值是0； ④x ＝1是函数f （x ）的一个对称轴； 其中所有正确命题的序号是三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(10分）计算： (1)214303125.016)81(064.0++---(2)2log 72lg 225lg 27log 42log 37+-++18．（12分）已知命题p ：m 满足，命题q ：，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围.19．（12分）为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为10的样本，则抽到喜好体育运动的人数为6．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你的理由；（3）在上述喜好体育运动的6人中随机抽取两人，求恰好抽到一男一女的概率．参考公式：．独立性检验临界值表：20．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数，当时，.（1）求的值；（2）用函数单调性的定义证明：函数在上单调递增；（3）求函数在上的解析式.21.（12分）已知斜率为1的直线与椭圆交于P，Q两点，且线段PQ的中点为，椭圆C的上顶点为.（1）求椭圆C的离心率；（2）设直线与椭圆C交于M，N两点，若直线BM与BN的斜率之和为2，证明：过定点. 22．（12分）已知函数（是自然对数的底数）. （1）求证：；（2）若不等式在上恒成立，求正实数的取值范围.铁人中学2018级高二学年下学期期中考试数学试题(文)答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C BDCAABCBCDB二、填空题13.14．10x y --=. 15．充要16.①②④ 三、解答题17. (1)10 (2)2 18．【答案】m ≤﹣2或2≤m ＜5若p真：，即：；若q真：，，；∵p∨q为真，p∧q为假，∴①当p真q假时：或，即或；②当p假q真时：，即；∴综上得：或.19．【答案】（1）列联表见解析；（2）能，理由见解析；（3）.（1）喜好体育运动的人数为：，列联表补充如下：（2）∵．∴能在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关．（3）6人中有男生4人，设为，，，，女生2人，设为，，随机抽取两人所有的情况为：，，，，，，，，，，，，，，，共15种．其中一男一女包含8种情况，故概率为．20．【答案】（1）（2）证明见解析（3）（1）因为当时，。
黑龙江省大庆铁人中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
铁人中学2018级高二学年下学期期中考试数学(理)试题一、选择题1.已知函数()sin f x x x =，则2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为（ ） A.2πB. 0C. 1-D. 1【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法求出函数的导数，再代入计算即可； 【详解】解：因为()sin f x x x =所以()()sin sin sin cos f x x x x x x x x '''=+=+ 所以sin cos 12222f ππππ⎛⎫'=+=⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题考查基本初等函数的导数计算，属于基础题.2.用反证法证明命题：“,,,a b c d R ∈，1a b +=，1c d +=，且1ac bd +>，则a b c d ,,,中至少有一个负数”时的假设为A. a b c d ,,,全都大于等于0 B. a b c d ,,,全为正数 C .a b c d ,,,中至少有一个正数 D. a b c d ,,,中至多有一个负数 【答案】A 【解析】 【分析】根据含有量词的否定，可知“至少”对应“全都”，即可得答案．【详解】因为原结论为“a b c d ,,,中至少有一个负数” 所以其否定为“a b c d ,,,中全都大于等于0” 所以选A【点睛】本题考查了反证法的概念和应用，属于基础题．3.622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为（ ）A. 90B. 160C. 160-D. 120-【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式可求3x 的系数. 【详解】因为622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()6212316622rrr rrr r T Cx C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令1233r -=可得3r =，所以3x 的系数为()3361026C =--.故选：C.【点睛】本题主要考查二项式定理，利用二项式定理求解特定项的系数一般是利用通项公式求解，侧重考查数学运算的核心素养.4.有一段“三段论”，其推理是这样的：对于可导函数()f x ，若()0'0f x =，则0x x =是函数()f x 的极值点,因为函数()3f x x =满足()'00f =，所以0x =是函数()3f x x =的极值点”，结论以上推理( ) A. 大前提错误 B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 没有错误【答案】A 【解析】 【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析其大前提的形式：“对于可导函数f （x ），如果f '（x 0）＝0，那么x ＝x 0是函数f （x ）的极值点”，不难得到结论．【详解】对于可导函数f （x ），如果f '（x 0）＝0，且满足当x ＞x 0时和当x ＜x 0时的导函数值异号时，那么x ＝x 0是函数f （x ）的极值点，而大前提是：“对于可导函数f （x ），如果f '（x 0）＝0，那么x ＝x 0是函数f （x ）的极值点”，不是真命题， ∴大前提错误，故选A ．【点睛】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论． 5.若直线2y kx =-与曲线2ln y x =相切，则k =（ ） A. 3 B.13C. 2D.12【答案】C 【解析】 【分析】首先求出函数的导数，设切点坐标为()00,x y ，则得到方程组00022ln 2kx x kx ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得即可；【详解】解：因为2ln y x =，所以2y x'=，又因为直线2y kx =-与曲线2ln y x =相切，设切点坐标为()00,x y ，则00022ln 2kx x kx ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得012x k =⎧⎨=⎩故选：C【点睛】本题考查导数的几何意义，导数的计算，属于基础题.6.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223344552,33,44,55338815152424==== .则按照以上规律，若8888n n=n=（ ） A. 7 B. 35C. 48D. 63【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合所给的等式归纳推理得到规律即可确定n 的值.【详解】考查所给的等式的特征，归纳其性质有：若等式左侧根号外面的数为m ，则根号内部的分子为m ，分母为21m -， 据此归纳推理可知：28163n =-=. 本题选择D 选项.【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法． 7.()()122011d x x x --⎰的值是（ ）A.π143- B.π14- C.π123- D.π12- 【答案】A 【解析】【详解】因为定积分()()111222200011d 11)(x d x x x x dx x ⎫⎫--=---⎪⎪⎭⎭⎰⎰⎰，结合定积分的几何意义可知,原式等于圆心为（1,1），半径为1的四分之一个圆的面积减去13得到，即为143-π，选A. 8.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A. 48 B. 72 C. 90 D. 96【答案】D 【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有13C •34A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有44A =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种 故答案为96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．9.已知a R ∈,函数()32113f x x ax ax =-++的导函数()f x '在(),1-∞上有最小值,若函数()()f x g x x'=,则（ ）A. ()g x 在()1,+∞上有最大值B. ()g x 在()1,+∞上有最小值C. ()g x 在()1,+∞上为减函数D. ()g x 在()1,+∞上为增函数【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数()f x '在(),1-∞上有最小值可根据区间端点与对称轴的关系列式,进而得到1a <,再求导分析()g x 的单调性即可.【详解】由题, ()22f x x ax a '=-+,对称轴为x a =,因为导函数()f x '在(),1-∞上有最小值,故()f x '的对称轴1a <.又函数()()2f x a g x x a x x '==+-,故()2221a x ax x g x -=-=',因为()1,x ∈+∞,1a <. 故()220x ag x x-'=>,所以()0g x '>. 故()g x 在()1,+∞上为增函数. 故选：D【点睛】本题主要考查了根据导数求解函数单调性的问题,同时也考查了根据函数的最值求解参数范围的问题.属于中档题.10.某校高二年级共有六个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（ ） A. 2264A C B. 22642A CC. 2264A AD. 262A【答案】B【解析】 【分析】先将4名学生均分成两组，注意重合的部分要去掉，再从6个班级中选出2个班进行排列，最后根据分步计数原理得到合要求的安排方法数． 【详解】解：先将4名学生均分成两组方法数为2412C ， 再分配给6个年级中的2个分配方法数为26A ，∴根据分步计数原理合要求的安排方法数为224612C A ．故选：B ．【点睛】本题先考查的是平均分组问题，是一个易出错的问题，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．11.设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，则△ABC 的内切圆半径为2Sb cr a =++.将此结论类比到空间四面体：设四面体S ABC -的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，体积为V ，则四面体的内切球半径为r ＝（ ） A.1234VS S S S +++B.12342VS S S S +++C. 12343VS S S S +++D. 12344VS S S S +++【答案】C 【解析】 【分析】由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可.【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为：()123413V S S S S r =+++，所以12343V S S S S r =+++. 故选：C【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，属于中档题.12.若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ） A. 11f k k⎛⎫<⎪⎝⎭ B. 111f k k ⎛⎫>⎪-⎝⎭C. 1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D. 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C 【解析】【详解】试题分析：令()g()x f x kx =-，则()'()0g x f x k '=->，因此1111g()(0)(0)1111111k k g f f f k k k k k k ⎛⎫⎛⎫>⇒->⇒>-= ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭，所以选C. 考点：利用导数研究不等式【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等二、填空题13.从集合{}1,2,3,4,5中任取2个不同的数，作为直线0Ax By +=的系数，则最多形成不同的直线的条数为______. 【答案】18 【解析】 【分析】利用排列组合知识，从集合{}1,2,3,4,5中任取2个不同的数，共25A 种结果，根据条件需减去重复的结果，即可得到答案.【详解】由题意知本题是一个排列组合问题，从1，2，3，4，5这五个数中取两个不同的数作为,A B 的值有2520A =种结果，因为在这些直线中有重复的直线，当1,2A B ==时和当2,4A B ==时，结果相同， 把,A B 交换位置又有一组相同的结果， 所以所得不同直线的条数是20218-=， 故答案为：18.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，注意利用排列组合解题的时候，要遵循不重不漏的原则.14.用数学归纳法证明*(1)(2)()213(21)()n n n n n n n N +++=⋅⋅⋅-∈时，从“n k =到1n k =+”，左边需增乘的代数式是___________.【答案】2(21)k ⋅+. 【解析】 【分析】从n k =到1n k =+时左边需增乘的代数式是(1)(11)1k k k k k ++++++，化简即可得出．【详解】假设n k =时命题成立，则(1)(2)(3)()2135(21)k k k k k k k ++++=⋅⋅⋅⋯-，当1n k =+时，1(2)(3)(11)2135(21)k k k k k k ++++++=⋅⋅⋅⋯+从n k =到1n k =+时左边需增乘的代数式是(1)(11)2(21)1k k k k k k +++++=++．故答案为2(21)k ⋅+.【点睛】本题考查数学归纳法的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 15.若函数()2xf x x e a =-恰有三个零点，则实数a 的取值范围是______.【答案】240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，即可求实数a 的取值范围．【详解】解：函数2xy x e=的导数为22(2)x x x y xe x e xe x '=+=+，令0y '=，则0x =或2-，可得函数在()2,0-上单调递减，(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增，0∴或2-是函数y 的极值点，函数的极值为：(0)0f =，224(2)4f e e --==． 函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，则实数a 的取值范围是：240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于中档题．16.已知多项式()()522701272312...x x x a a x a x a x ++-=++++，则765432a a a a a a -+-+-=______.【答案】16- 【解析】 【分析】利用赋值法，令1x =-，得出765432100a a a a a a a a -+-+-+-=，令0x =时，求出0a ，再根据二项展开式的通项公式求出1a ，从而可求得结果.【详解】解：根据题意，令1x =-时，则()()()()552231223130x x x ++-=-+⨯-=，即012345670a a a a a a a a -+-+-+-=， 所以765432100a a a a a a a a -+-+-+-=， 得76543201a a a a a a a a -+-+-=-， 令0x =时，()50232a =-=-，由于()()522312x x x ++-，1a 为展开式中x 项的系数，对于()52x -，由二项展开式的通项公式得：()552rrr C x -⋅-⋅，则()()54011553212968016a C C =⨯⋅-+⨯⋅-=-+=-，所以()76543201321616a a a a a a a a -+-+-=-=---=-， 即76543216a a a a a a -+-+-=-. 故答案为：-16.【点睛】本题考查二项式定理的应用和二项展开式的通项公式，以及利用赋值法解决项的系数问题，考查化简运算能力. 三、解答题17.从6名运动员中选出4人参加4100⨯接力赛，分别求满足下列条件的安排方法种数： （1）甲、乙两人都不跑中间两棒； （2）甲、乙二人不都跑中间两棒. 【答案】（1）144（2）336 【解析】 【分析】（1）第一步，安排中间2个位置，第二步，安排首尾2个位置，利用乘法原理可得结论． （2）利用间接法，任意排法，再去掉甲、乙跑中间的安排方法即可得解；【详解】解：（1）先选跑中间的两人有24A 种，再从余下的4人中选跑1、4棒的有24A ，则共有2244144A A =种.（2）用间接法：“不都跑”的否定是“都跑”，所以用任意排法46A ，再去掉甲、乙跑中间的安排方法2224A A 种，故满足条件的安排方法有246224336A A A =-种.【点睛】本题考查计数原理的运用问题，解题的关键是正确分步．注意甲乙都不跑中间，包括了甲乙可能都不上场的情形． 18.已知函数31()3f x x ax b =-+，在点()()1,1M f 处的切线方程为93100x y +-=，求： （1）实数,a b 的值；（2）函数()f x 在区间[]0,3上的最值.【答案】（1）44a b =⎧⎨=⎩；（2）()max 4f x =，()min 43f x =-.【解析】 【分析】（1）求出曲线的斜率，切点坐标，求出函数的导数，利用导函数值域斜率的关系，即可求出a ，b ．（2）求出导函数的符号，判断函数的单调性以及求解闭区间的函数的最值． 【详解】解：（1）因为在点()()1,1M f 处的切线方程为93100x y +-=， 所以切线斜率是3k =- 且()9131100f ⨯+-=， 求得1(1)3f =，即点11,3M ⎛⎫⎪⎝⎭又函数31()3f x x ax b =-+，则2()f x x a '=- 所以依题意得(1)1311(1)33f a f a b =-=-⎧⎪⎨=-+='⎪⎩解得44a b =⎧⎨=⎩（2）由（1）知31()443f x x x =-+ 所以2()4(2)(2)f x x x x '=-=+- 令()0f x '=，解得2x =或2x =-当()02f x x '>⇒>或2x <-；当()022f x x '<⇒-<< 所以函数()f x 的单调递增区间是(,2)-∞，(2,)+∞ 单调递减区间是(2,2)- 又[0x ∈，3]所以当x 变化时，()f x 和()f x '变化情况如下表：X(0,2)2(2,3)3()f x '-0 +()f x4极小值43- 1所以当[0x ∈，3]时，()(0)4max f x f ==， 4()(2)3min f x f ==-【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及闭区间上函数的最值求法，考查转化思想以及计算能力．19.在二项式332nx x 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. （1）求n 的值；（2）求展开式中系数最大的项.【答案】（1）8n =.（2）4337T x =，2347T x =.【解析】 【分析】（1）写出展开式通项公式，得前3项系数，由等差数列的性质求出n ；（2）设第k 项系数最大，由第k 项系数不小于第1k -项和第1k +项系数，列不等式组解之可得项数，然后再得项．【详解】（1）展开式通项公式为233131)()22n rrn rrr r r nn T C x C x x --+==，由题意1022112()22n n n C C C ⨯=+，解得8n =（1n =舍去）．（2）由（1）展开式第1r +项系数为81()2r rC ，设第k 项系数最大，则112288118811()()2211()()22k k k k k k k kC C C C ------⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得34k ≤≤，∴3k =或4，∴系数最大的项为：82242233381()72T C x x -⨯==，82323333481()72T C x x -⨯==．【点睛】本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项式展开式通项公式．由通项公式得出前3项系数，从而求得n ，求系数最大的项，一般可设第k 项系数最大，由第k 项系数不小于第1k -项和第1k +项系数，列不等式组解之得项数．20.已知数列{}n a 中，n S 是{}n a 的前n 项和且n S 是2a 与2n na -的等差中项，其中a 是不为0的常数.（1）求123,,a a a .（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法进行证明. 【答案】（1）12a a =；26a a =；312a a =（2）猜想：()()*1n a a n N n n =∈+；证明见解析 【解析】 【分析】(1) 由已知条件可得到n n S a na =-，再把1n =、2n =、3n =代入即可求出123,,a a a ； (2) 根据(1)的123,,a a a 猜想出n a 的表达式，然后利用数学归纳法证明猜想的结论是正确的. 【详解】解：（1）由题意知：222n n S a na =- 即n n S a na =-，当1n =时，111S a a a ==-，解得12aa =. 当2n =时，21222S a a a a =+=-，解得26a a =. 当3n =时，312333S a a a a a =++=-，解得312a a =. （2）猜想：()()*1n aa n N n n =∈+ 证明：①当1n =时，由（1）知等式成立.②假设当()*1,n k k k N =≥∈时等式成立，即()1k aa k k =+，则当1n k =+时，又n n S a na =- 则k k S a ka =-，11k k S a ka ++=-，∴()()1111k k k k k a S S a k a a ka +++=-=-+--， 即()()1211k k a ak a ka k k k k ++==⨯=++所以()()()()112111k aaa k k k k +==+++++⎡⎤⎣⎦，即当1n k =+时，等式成立. 结合①②得()1n aa n n =+对任意*n N ∈均成立.【点睛】本题考查了归纳推理猜想n a 的表达式，并利用数学归纳法证明猜想，属于一般题. 21.已知函数()()ln 1xf x xe x x =-+-．(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)证明：函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点． 【答案】（1）y x =-；（2）见解析 【解析】 【分析】 (1)求出()()1111xf x ex x =+--+' 得到()0k f =' ，从而得到切线方程；(2) 在区间()0,1内必存在ε，()f x 在()0,ε上单调递减，在(),1ε上单调递增，结合零点存在定理即可得到结果.详解】（1）当0x =时()00f =. 由()()1xf x xe In x x =-+-，得()()1111xf x ex x =+--+'.所以斜率()()10e011101xk f ==+--=-+'， 所以切线方程为y x =-.（2）由题可知，函数的定义域为()1,-+∞， 由（1）知，()()1111xf x ex x =+--+' ()121zx e x x x +--=+.记()()212x g x e x x =+--， 所以()()2431xg x exx =++-，易知()0,x ∈+∞时，()0g x '>， 所以()g x 在区间()0,+∞上单调递增， 所以()()01g x g >=-.又因为()()2111112430g e e =+--=->， 所以在区间()0,1内必存在ε.使()0g ε=， 所以当()0,x ε∈时，()0g x <，即()0f x '<， 所以()f x 单调递减；当(),1x ε∈时，()0g x >，即()0f x '>， 所以()f x 单调递增，所以当x ε=时，()f x 有极小值且为()fε.因为()()000e 0100f In =⨯-+-=， 所以()()00ff ε<=而()()11e 111210f I In e ln =⨯-+-=-->， 所以在区间(),1ε内必存在唯一零点，所以函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点.【点睛】（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理． 22.已知函数()()21ln 22f x m x x x m =+-∈R . （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <且()120f x ax -≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）()f x 的定义域为0,，对()f x 求导，分0m ≤、01m <<和1m ≥三种情况，分别讨论，可求得函数的单调递增区间；（2）由（1）知()f x 有两个极值点()1212,x x x x <时，等价于方程2x 2x m 0-+=有两个不等正根，可求得212x x =-，()112m x x =-，及101x <<，212x <<，由()120f x ax -≥恒成立，可得111112ln 122a x x x x ≤+---恒成立，构造函数()()121,0,1l 2n 2g x x x x x x=+--∈-，求导并判断单调性可知()()1g x g >，令()1a g ≤即可.【详解】（1）()f x 的定义域为0,，求导得()222m x x mf x x x x-+'=+-=，令0fx，得2x 2x m 0-+=，()4441m m ∆=-=-，若1m ≥时，0∆≤，0fx在0,上恒成立，()f x 单调递增；若1m <时，>0∆，方程2x 2x m 0-+=的两根为111x m =-211x m =-.当0m ≤时，10x <，20x >，则()2,x x ∈+∞时，0f x，故()f x 在()2,x +∞单调递增；当01m <<时，120x x <<，则()10,x x ∈或()2,x x ∈+∞时，0f x，故()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递增.综上，当0m ≤时，()f x 的单调递增区间为()11,m -+∞；当01m <<时，()f x 的单调递增区间为(0,11m -，()11,m -+∞；当1m ≥时，()f x 的单调递增区间为0,.（2）由（1）知()f x 有两个极值点()1212,x x x x <时，等价于方程2x 2x m 0-+=的有两个不等正根()121241020m x x x x m ⎧∆=->⎪∴+=⎨⎪=>⎩，()112m x x ∴=-，101x <<，212x <<， 此时不等式()120f x ax -≥恒成立，等价于()()211111112l 2202n x x x x x x a -+---≥对()10,1x ∈恒成立，可化为()2111111111112ln 2122ln 1222x x x x x a x x x x x -+-≤=+----恒成立， 令()()121,0,1l 2n 2g x x x x x x=+--∈-， 则()()()()22241212()1ln ln ln 222222x x g x x x x x x x -'=+--=+-=+---，()0,1x ∈，ln 0x ∴<，()40x x -<，()0g x '∴<在0,1恒成立，()g x ∴在0,1上单调递减，()()12310112212g x g >=+-⨯-=--∴，32a ∴≤-.故实数a 的取值范围是3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查函数的单调性，考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于难题.。
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2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，与复数是虚数单位对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.双曲线的焦距为A. B. C. D.3.回归分析中，相关指数的值越大，说明残差平方和A. 越小B. 越大C. 可能大也可能小D. 以上都不对4.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量单位：千瓦时与气温单位：之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：单位：171410单位：千瓦时24343864由表中数据得线性回归方程：，则由此估计：当某天气温为时，当天用电量约为A. 56千瓦时B. 62千瓦时C. 64千瓦时D. 68千瓦时5.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则A. 2B. 10C.D.6.已知为常数在上有最大值3，那么此函数在上的最小值是A. B. C. D. 以上都不对7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则M处可填入的条件为A.B.C.D.8.下列命题：对立事件一定是互斥事件；若A，B为两个随机事件，则；若事件A，B，C彼此互斥，则；若事件A，B满足，则A与B是对立事件．其中正确命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 49.已知是函数的导数，的图象如图所示，则的图象最有可能是图中A.B.C.D.10.方程表示椭圆的必要不充分条件是A. B.C. D.11.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是A. 都不是一等品B. 恰有一件一等品C. 至少有一件一等品D. 至多一件一等品12.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为A. B. C. 3 D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.用秦九韶算法计算多项式当时的值时，的值为______ ．14.设抛物线上一点P到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是______．15.在体积为的球内随机取一点，则该点到球心距离不超过的概率为______．16.已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：是否需要志愿性别南女需要4030不需要160270估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？参考公式：k18.已知直线l：为参数，曲线：为参数．设l与相交于A，B两点，求；若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点P是曲线上的一个动点，求它到直线l的距离的最大时，点P的坐标．19.某公司为了解所经销商品的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率分布直方图，其统计数据分组区间为，，，，，．Ⅰ求频率分布直方图中a的值；Ⅱ求这50名问卷评分数据的中位数；Ⅲ从评分在的问卷者中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．20.已知函数在处的切线为．求实数a，b的值；求的单调区间．21.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，抛物线C上一点到焦点F的距离为．Ⅰ求抛物线C的标准方程；Ⅱ设点，过点的直线l与抛物线C相交于A，B两点记直线MA与直线MB 的斜率分别为，，证明：为定值．22.已知函数．当时，求在区间上的最值；讨论函数的单调性．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．直接由复数代数形式的除法运算化简复数，求出复数在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．解析：解：，复数在复平面内对应的点的坐标为：，位于第四象限．故选：D．2.答案：D解析：解：双曲线，可知，，，，．双曲线的焦距为：．故选：D．直接利用双曲线方程，求出c，即可得到双曲线的焦距．本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．3.答案：A解析：【分析】本题考查回归分析，属于基础题．【解答】解：用指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好，说明残差平方和越小．故选：A．4.答案：A解析：解：，40，，代入：，得，线性回归方程为，取，得千瓦时．故选：A．求出样本点的中心的坐标，代入回归方程求得a，在线性回归方程中，取求得y值即可．本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．5.答案：D解析：【分析】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得抛物线的准线方程和双曲线的焦点坐标，可得p的值．解析：解：抛物线的准线为，双曲线的焦点为，，由题意可得，解得，故选：D．6.答案：A解析：【分析】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间上的最大值与最小值是通过比较函数在内所有极值与端点函数，比较而得到的，属于基础题．先求导数，根据单调性研究函数的极值点，在开区间上只有一极大值则就是最大值，从而求出m，通过比较两个端点和2的函数值的大小从而确定出最小值，得到结论．解析：解：，在上为增函数，在上为减函数，当时，最大，，从而，．最小值为．故选：A．7.答案：B解析：解：模拟程序的运行，可得不满足判断框内的条件，执行循环体，，不满足判断框内的条件，执行循环体，，不满足判断框内的条件，执行循环体，，由题意，此时应该满足判断框内的条件，退出循环，输出的结果为11，可得M处可填入的条件为？由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.答案：A解析：解：对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故正确；、B为两个互斥事件，则，故不正确；若事件A、B、C两两互斥，则，故不正确；若事件A、B是独立事件，且满足，则A，B是对立事件，故不正确．故选：A．对四个命题分别进行判断得出正确选项即可．本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，注意互斥事件、对立事件的灵活运用．9.答案：B解析：解：根据导函数可知函数在上单调减，在上单调增，在上单调减，结合图象可知的图象最有可能是图中B故选B．根据导函数图象可确定函数的单调性，由此可得函数的图象．本题考查导函数与原函数的关系，解题的关键是利用导函数看正负，原函数看增减，属于基础题．10.答案：B解析：【分析】本题主要考查椭圆的标准方程，充分条件、必要条件，充要条件的定义，属于基础题．由条件根据椭圆的标准方程，求得方程表示椭圆的充要条件所对应的m的范围，根据必要不充分条件的定义，结合所给的选项，得出结论．【解答】解：方程表示椭圆的充要分条件是即．由题意可得，所求的m的范围包含集合，选项中满足必要不充分条件的只有B，故选B．11.答案：D解析：【分析】从5件产品中任取2件，有种结果，通过所给的条件可以做出都不是一等品有1种结果，恰有一件一等品有种结果，至少有一件一等品有种结果，至多有一件一等品有种结果，做比值得到概率．本题考查古典概型，是一个由概率来对应事件的问题，需要把选项中的所有事件都作出概率，解题过程比较麻烦．解：5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，从5件产品中任取2件，有种结果，都不是一等品有1种结果，概率是，恰有一件一等品有种结果，概率是，至少有一件一等品有种结果，概率是，至多有一件一等品有种结果，概率是，是至多有一件一等品的概率，故选：D．12.答案：A解析：【分析】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和配方法是解决本题的关键，属于较难题．根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．【解答】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，，半焦距为c，设，，，椭圆和双曲线的离心率分别为，，由余弦定理可得，不妨设，由椭圆和双曲线的定义可知，得，，令，当时，，，即的最大值为，故选A．13.答案：80解析：解：由秦九韶算法计算多项式．当时的值时，，，，，．故答案为：80．由秦九韶算法计算多项式即可得出．本题考查了秦九韶算法的应用，属于基础题．14.答案：解析：解：抛物线上一点P到x轴的距离是4，即点P到x轴的距离则点P的坐标的纵坐标为．代入，解得，所以点或，抛物线的焦点坐标为，所以．故答案为：．首先求出点P的坐标，进一步利用点到焦点的距离等于点到准线的距离的相等关系求出结果．本题考查的知识要点：点到直线的距离公式的应用，点的坐标的确定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.答案：解析：解：依题意，因为球的体积为，所以设其半径为R，则，所以，点到球心距离不超过则点在以的同心球内，所以该点到球心距离不超过的概率，故答案为：．因为球的体积为，所以设其半径为R，则，所以，点到球心距离不超过则点在以的同心球内，代入公式求概率即可．本题考查了体积有关的几何概型问题，属于基础题．16.答案：解析：【分析】考查基本初等函数导数的求法，函数导数的几何意义，直线斜率的计算公式，以及熟悉二次函数的图象．根据题意便可得出对于任意都成立，这样便可得出对任意恒成立，从而有二次函数的最小值，从而可求出a的取值范围．解析：解：定义域为，，由题则恒成立；整理成，在上恒成立；；；的取值范围是．故答案为：．17.答案：解：调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为---------------------------------------分．由于，所以在犯错误的概率不超过的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．-------------分解析：由列联表可知调查的500位老年人中有位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值．根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．本题主要考查统计学知识，考查独立性检验的思想，考查利用数学知识研究实际问题的能力以及相应的运算能力．18.答案：解：的普通方程，的普通方程，联立方程组解得l与的交点为，，则的参数方程为为参数，故点P的坐标是，从而点P到直线l的距离是，由此当时，d取得最大值，且最大值为．此时，点P坐标为．解析：联立方程求得交点坐标，然后求解弦长即可；由题意得到距离函数，然后讨论距离的最大值和点的坐标即可．本题考查极坐标方程及其应用，点到直线距离公式等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．19.答案：解：Ⅰ由频率分布直方图，可得，解得．Ⅱ由频率分布直方图，可设中位数为m，则有，解得中位数．Ⅲ由频率分布直方图，可知在内的人数：，在内的人数：．设在内的2人分别为，，在内的3人分别为，，，则从的问卷者中随机抽取2人，基本事件有10种，分别为：，，，，，，，，，，其中2人评分都在内的基本事件有，，，共3种，故此2人评分都在的概率为．解析：Ⅰ由频率分布直方图，能求出a．Ⅱ由频率分布直方图，可设中位数为m，则，由此能求出中位数．Ⅲ由频率分布直方图，可知在内的人数：，在内的人数：设在内的2人分别为，，在内的3人分别为，，，从的问卷者中随机抽取2人，利用列举法能求出此2人评分都在的概率．本题考查频率分布直方图、古典概型的概率计算公式、中位数的求法、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20.答案：依题意可得：，即，，，又函数在处的切线为，，，解得：．由可得：，当时，，单调递减；当时，，单调递增，的单调减区间为，的单调增区间为．解析：首先对求导，求出点处的切线方程与相等即可；结合然后利用导数求解函数的单调区间即可．题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性的求法，以及计算能力21.答案：解：Ⅰ由题意，可设抛物线C：，焦点，则，解得，因此，抛物线C的标准方程为；Ⅱ证明：设过点的直线l：，设点、，联立，消去x，得，，由韦达定理可得，．，因此，为定值．解析：Ⅰ设抛物线C的标准方程为，利用抛物线的定义求出p的值，即可得出抛物线C的标准方程；Ⅱ设直线ll的方程为，设点、，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式并代入韦达定理可计算出的值，从而证明结论成立．本题考查直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理在抛物线综合问题的应用，解决本题的关键在于灵活使用相应公式，考查计算能力，属于中等题．22.答案：解：当时，，，的定义域为，由得，在区间上的最值只可能在，，取到，而，，，，．，．当，即时，，在单调递减；当时，，在单调递增；当时，由得，或舍去在单调递增，在上单调递减；综上，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减；当时，在单调递减．解析：确定的定义域，求导数，确定在区间上的最值只可能在，，取到，即可求得结论；求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可确定函数的单调性．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．。