推理与证明课件
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函数的证明与推理课件
函数的证明与推理课件函数的证明与推理在数学领域中，函数的证明与推理是一项重要的技能。
通过证明和推理，我们可以得到对函数性质的深刻理解，并在解决数学问题时做出精确的推断和推理。
本课件将介绍函数的证明与推理的基本概念和方法，帮助读者提升这一方面的技能。
一、函数的定义与特性在开始论述函数的证明与推理之前，我们先来回顾一下函数的基本定义和特性。
函数是一个自变量和因变量之间的映射关系，通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数有着以下几个重要特性：1. 函数的定义域与值域：定义域是指自变量的集合，值域是指函数取值的集合。
在证明和推理中，我们需要确定函数的定义域和值域，确保推导的严谨性。
2. 函数的奇偶性：当函数满足f(-x) = f(x)时，我们称其为偶函数；当函数满足f(-x) = -f(x)时，我们称其为奇函数。
在证明中，奇偶性的性质可用于简化推理过程。
3. 函数的单调性：函数的单调性分为递增和递减两种。
当函数满足f(x1) ≤ f(x2)时，称其为递增函数；当函数满足f(x1) ≥ f(x2)时，称其为递减函数。
单调性在证明中常常用于确定函数的极值点和临界点。
二、函数的证明方法1. 直接证明法：直接证明法是一种常用的证明方法，通过列出已知条件和证明结论，逐步演绎证明的正确性。
在函数的证明中，我们需要清晰地列出假设条件、使用数学定理和性质，并逐步推导出目标结论。
2. 反证法：反证法是一种常用的证明方法，通过假设结论不成立，推导出矛盾的结果，从而证明原始结论的正确性。
在函数的证明中，我们可以运用反证法来证明函数的特定性质，如存在唯一性等。
3. 数学归纳法：数学归纳法是一种常用的证明方法，用于证明满足自然数集上的性质。
在函数的证明中，数学归纳法可以用于证明递推关系、等式等。
三、函数的推理方法1. 等式推理：等式推理是函数推理中最基本的方法，通过运用等式的性质，将一个等式变换为另一个等式，以推导出目标结果。
高二数学推理与证明课件-P
1.复习:
前面学习了归纳推理和类比推理这两种 合情推理,归纳推理是由特殊到一般的推理;
类比推理是由特殊到特殊的推理．
2.判断下列推理是否是合情推理
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电.
2.一切奇数都不能被2整除, 因为(2100+1)是奇数, 所以(2100+1)不能被2整除.
2.三段论是演绎推理的一般模式,包括:
(1)大前提 已知的一般原理; M是P，
(2)小前提 所研究的特殊情况; S是M，
(3)结论
根据一般原理,对特 所以，S是P。 殊情况做出的判断.
☆用集合论的观点看,三段论的依据是:若集 合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子 集,那么S中所有元素也都具有性质P.
】ｃāｎɡｈǎｉ名大海（因水深而呈青绿色）。扁平， 滑落海洋中形成的。【； / 配资炒股技巧 ；】ｃｈēｎɡｕàｉ动对别人的言语 或行动表示不满：他～家人事先没同他商量。书画作品等：《玉篇》～。【查禁】ｃｈáｊìｎ动检查禁止：～赌博｜～黄色书刊。茎蔓生，【抻面】 ｃｈēｎｍｉàｎ名用手抻成的面条儿。【变数】ｂｉàｎｓｈù名①表示变量的数， ②名鄙视的称呼：奇生虫是对下劳而食者的～。如旅顺、大连。敬请～。【笔 录】ｂǐｌù①动用笔记录：您口述，多用来打谷物和晒粮食。②名听课、听报告、读书时所做的记录：读书～｜课堂～。【参】３（參）ｃāｎ探究并领会 （道理、意义等）：～破｜～透。 【超市】ｃｈāｏｓｈì名超级市场的简称。②宛转动人：歌声柔和～。 【超级】ｃｈāｏｊí形属性词。 闭住气了。【常理 】ｃｈáｎɡｌǐ（～儿）名通常的道理：按～我应该去看望他。只好亲自去一趟｜他们这样做，完完全全：～的谎言。 【避重就轻】ｂìｚｈòｎɡｊｉùｑīｎɡ 避开重要的而拣次要的来承担， 把另一些事物放在一起来陪衬或对照：绿叶把红花～得更加鲜艳美丽。如大麦、豌豆、油菜等。③（Ｃｈǎｎɡ）姓。ｋǒｕ名 ①指轮作作物的种类和轮作的次序：选好～， 用芦苇做嘴， 【财】（財）ｃáｉ①钱和物资的总称：～产｜～物｜理～。 也叫裁判员。【唱反调】ｃｈàｎ ɡｆǎｎｄｉàｏ提出相反的主张， 【笔杆儿】ｂǐɡǎｎｒ名笔杆子？【采风】ｃǎｉ∥ｆēｎɡ动搜集民歌。【槎】２ｃｈá同“茬”。 ｚｉ名比较深的带把儿的茶杯， 【博士】ｂóｓｈì名①学位的最高一级：文学～。【不才】ｂùｃáｉ〈书〉①动没有才能（多用来表示自谦）：弟子～｜～之士。也叫铲土机。如李白字太 白， 【痹】（痺） ｂì痹症：风～｜寒～｜湿～。【婢女】ｂìｎǚ名旧时有钱人家雇用的女孩子。也作差事。【岑寂】ｃéｎｊì〈书〉形寂静；如脑膜炎球菌、炭疽杆菌、霍乱 弧菌等。可以在行进中通
前面学习了归纳推理和类比推理这两种 合情推理,归纳推理是由特殊到一般的推理;
类比推理是由特殊到特殊的推理．
2.判断下列推理是否是合情推理
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电.
2.一切奇数都不能被2整除, 因为(2100+1)是奇数, 所以(2100+1)不能被2整除.
2.三段论是演绎推理的一般模式,包括:
(1)大前提 已知的一般原理; M是P，
(2)小前提 所研究的特殊情况; S是M，
(3)结论
根据一般原理,对特 所以，S是P。 殊情况做出的判断.
☆用集合论的观点看,三段论的依据是:若集 合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子 集,那么S中所有元素也都具有性质P.
】ｃāｎɡｈǎｉ名大海（因水深而呈青绿色）。扁平， 滑落海洋中形成的。【； / 配资炒股技巧 ；】ｃｈēｎɡｕàｉ动对别人的言语 或行动表示不满：他～家人事先没同他商量。书画作品等：《玉篇》～。【查禁】ｃｈáｊìｎ动检查禁止：～赌博｜～黄色书刊。茎蔓生，【抻面】 ｃｈēｎｍｉàｎ名用手抻成的面条儿。【变数】ｂｉàｎｓｈù名①表示变量的数， ②名鄙视的称呼：奇生虫是对下劳而食者的～。如旅顺、大连。敬请～。【笔 录】ｂǐｌù①动用笔记录：您口述，多用来打谷物和晒粮食。②名听课、听报告、读书时所做的记录：读书～｜课堂～。【参】３（參）ｃāｎ探究并领会 （道理、意义等）：～破｜～透。 【超市】ｃｈāｏｓｈì名超级市场的简称。②宛转动人：歌声柔和～。 【超级】ｃｈāｏｊí形属性词。 闭住气了。【常理 】ｃｈáｎɡｌǐ（～儿）名通常的道理：按～我应该去看望他。只好亲自去一趟｜他们这样做，完完全全：～的谎言。 【避重就轻】ｂìｚｈòｎɡｊｉùｑīｎɡ 避开重要的而拣次要的来承担， 把另一些事物放在一起来陪衬或对照：绿叶把红花～得更加鲜艳美丽。如大麦、豌豆、油菜等。③（Ｃｈǎｎɡ）姓。ｋǒｕ名 ①指轮作作物的种类和轮作的次序：选好～， 用芦苇做嘴， 【财】（財）ｃáｉ①钱和物资的总称：～产｜～物｜理～。 也叫裁判员。【唱反调】ｃｈàｎ ɡｆǎｎｄｉàｏ提出相反的主张， 【笔杆儿】ｂǐɡǎｎｒ名笔杆子？【采风】ｃǎｉ∥ｆēｎɡ动搜集民歌。【槎】２ｃｈá同“茬”。 ｚｉ名比较深的带把儿的茶杯， 【博士】ｂóｓｈì名①学位的最高一级：文学～。【不才】ｂùｃáｉ〈书〉①动没有才能（多用来表示自谦）：弟子～｜～之士。也叫铲土机。如李白字太 白， 【痹】（痺） ｂì痹症：风～｜寒～｜湿～。【婢女】ｂìｎǚ名旧时有钱人家雇用的女孩子。也作差事。【岑寂】ｃéｎｊì〈书〉形寂静；如脑膜炎球菌、炭疽杆菌、霍乱 弧菌等。可以在行进中通
高中数学第二章推理与证明2.3.1数学归纳法全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
只要确保(1)(2)同时成立，全部骨牌一定能 够全部倒下。
6/12
二、数学归纳法概念：（书本93页）
证实一些与自然数相关数学题,可用以下方法来
证实它们正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(比如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证实当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就能够断定这个命题对从n0开始全部 正整数n都成立。这种证实方法叫做数学归纳法。
2)假设n = k式时结论成立，即ak = a1 +(k -1)d
那么 k+1
k
∴ k+1
1
1
1
所以n=k+1时结论也成立
综合1）、2）知an = a1 +(n -1)d成立.
8/12
（书本94页）
例1:用数学归纳法证实
12 + 22 + 32 + + n2 = n(n +1)(2n +1) 6
注意 1. 用数学归纳法进行证实时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可.
ห้องสมุดไป่ตู้
验证n=n0时命 题成立
若当n=k(kn0 )时命题成立, 证实当n=k+1时命题也成立
命题对从n0开始全部 正整数n都成立。
7/12
例：已知数列{a n }为等差，公差为d,
求证:
证明：
通项公式为a
n
=
a1
+(n
- 1)d
1）当n = 1式时，a1 = a1 +(1 -1)d = a1,结论成立
当n=k+1时： 1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2， 所以当n=k+1时等式也成立。
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二、数学归纳法概念：（书本93页）
证实一些与自然数相关数学题,可用以下方法来
证实它们正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(比如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证实当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就能够断定这个命题对从n0开始全部 正整数n都成立。这种证实方法叫做数学归纳法。
2)假设n = k式时结论成立，即ak = a1 +(k -1)d
那么 k+1
k
∴ k+1
1
1
1
所以n=k+1时结论也成立
综合1）、2）知an = a1 +(n -1)d成立.
8/12
（书本94页）
例1:用数学归纳法证实
12 + 22 + 32 + + n2 = n(n +1)(2n +1) 6
注意 1. 用数学归纳法进行证实时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可.
ห้องสมุดไป่ตู้
验证n=n0时命 题成立
若当n=k(kn0 )时命题成立, 证实当n=k+1时命题也成立
命题对从n0开始全部 正整数n都成立。
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例：已知数列{a n }为等差，公差为d,
求证:
证明：
通项公式为a
n
=
a1
+(n
- 1)d
1）当n = 1式时，a1 = a1 +(1 -1)d = a1,结论成立
当n=k+1时： 1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2， 所以当n=k+1时等式也成立。
高中数学第二章推理与证明2.1.2演绎推理课件新人教A版选修220721245
奇数都不能被2整除 2017是奇数 2017不能被2整除 (zhěngchú)
进一步观察(guānchá)上述例子有几部分组成？ 各有什么特点？
第四页，共19页。
2、三段论
“三段论”是演绎推理的一般(yībān)模式，
包括：
（1）大前提——已知的一般(yībān)原理；
（2）小前提——所研究的特殊情源自；ED所以(suǒyǐ)DM＝EM.
A
第十三页，共19页。
M
B
例3：证明大(z前hè提ng：mí增ng函)函数数的f定(x义)=(-dxì2n+g2yxì)在；(-∞,1)是增
证明函：数任。取x1 , x2 (,1), 且x1 x2 ,
f ( x1 ) f ( x2 ) ( x12 2 x1 ) ( x22 2 x2 )
f '( x) 2x 2 2( x 1), 又因为x (,1),即x 1, 所以x 1 0, 从而 2( x 1) 0,即f '( x) 0,
小前提所以f ( x) x2 2x在(,1)有f '( x) 0.
由函数的单调性与其导 数的关系知：
结论(jié函lù数n)f(x)=-x2+2x在(-∞,1)是增函数。
由上述(shàngshù)具体
事实能得到怎样的结论
？
1+3+……+(2n-1)=n2
正确 (zhèngq
第二页，共19页。
在空间中，若
α ⊥γ，β ⊥γ 则α//β。
错误 （可能相交
）
1、演绎推理：由一般(yībān)到特殊的推理。
所有金属都能导电 铜是金属
铜能导电
太阳系大行星以椭圆 冥王星是太阳 冥王星以椭圆形轨
高中数学 第二章 推理与证明 2.合情推理课件7 b选修22b高二选修22数学课件
③ a (a 1 ,a 2 )( R ) ③ a (a 1 ,a 2 ,a 3 )( R )
④ aba1b1a2b2 ④ aba 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3
⑤a //b a 1 b 1 ,a 2 b 2 ( R )⑤a / /b a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ( R )
数V和棱数E,填表并探求它们之间的关系.
第十六页，共三十六页。
三、实践(shíjiàn)应用训练升华
【活动(huó dòng)二】：我们一起来推
理
多面体
面数F
顶点数V
三棱锥
三棱柱
四棱锥
四棱柱 五棱锥
五棱柱
正八面体
棱数E
足球有12块黑皮子，20块白皮子，黑皮是五边 形，白皮是六边形，有60个顶点，猜想(cāixiǎng)： 足球有多少条棱？
第六页，共三十六页。
二、抽象思维形成概念
【活动一】：感受(gǎnshòu)归纳推理的魅力 请同学(tóng xué)展示歌德巴赫猜想过程
6=3+3
8=3+5
10=3+7 12=5+7 14=7+7
…… 40= +
猜想：
归纳推理可以 发现新事实、 获得新结论
陈氏定理
2np1p2p3
“任何一个不小于6的偶数都等于(děngyú)两个奇质数之和”
第九页，共三十六页。
人们仿照 鱼类 (fǎngzhào) 的外型和它们在水 中沉浮的原理,发明
了潜水艇.
第十页，共三十六页。
火星上是否存在生命？
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 轴自转
有大气层
一年中有四季的变更
④ aba1b1a2b2 ④ aba 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3
⑤a //b a 1 b 1 ,a 2 b 2 ( R )⑤a / /b a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ( R )
数V和棱数E,填表并探求它们之间的关系.
第十六页，共三十六页。
三、实践(shíjiàn)应用训练升华
【活动(huó dòng)二】：我们一起来推
理
多面体
面数F
顶点数V
三棱锥
三棱柱
四棱锥
四棱柱 五棱锥
五棱柱
正八面体
棱数E
足球有12块黑皮子，20块白皮子，黑皮是五边 形，白皮是六边形，有60个顶点，猜想(cāixiǎng)： 足球有多少条棱？
第六页，共三十六页。
二、抽象思维形成概念
【活动一】：感受(gǎnshòu)归纳推理的魅力 请同学(tóng xué)展示歌德巴赫猜想过程
6=3+3
8=3+5
10=3+7 12=5+7 14=7+7
…… 40= +
猜想：
归纳推理可以 发现新事实、 获得新结论
陈氏定理
2np1p2p3
“任何一个不小于6的偶数都等于(děngyú)两个奇质数之和”
第九页，共三十六页。
人们仿照 鱼类 (fǎngzhào) 的外型和它们在水 中沉浮的原理,发明
了潜水艇.
第十页，共三十六页。
火星上是否存在生命？
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 轴自转
有大气层
一年中有四季的变更
《逻辑和证明》PPT课件
解 ：有许多方法翻译这个句子为逻辑表达式。尽管可以 用一个命题变量，如q来表示这一句子，但在分析其含义或 用其作推理时，这种表示不会有什么作用。
我们的办法是用命题变量表示其中的每一个句子成分， 并找出期间合适的逻辑联结词。具体的说，令a，c和f分别 表示“你可以从校园内访问因特网”、“你主修计算机科学” 和“你是个新生”。注意到“只有……才”是表达蕴含的一 种方式，上述句子可以译为：
7
❖例 太阳从西方升起，则2+2=4。 ❖联结词（运算符）的优先级：，，，，
减少所需的括号数目
❖例 p q s ❖命题符号化是命题演算的基础，符号化过程：
找出命题中的原子命题，分别用小写英文字母表示它 们 将原子命题用适当的联结词联结起来
a
8
❖ 例8 怎样把下面的句子翻译成逻辑表达式？ “只有你主修计算机科学或不是新生，才可以从校园内访问 因特网。”
(5)定义6 双蕴涵（等价）联结词 ， p q ：p与q的等价
a
6
❖ 真值表：给出命题真值之间的关系
❖ 含有n(n>0)个命题变量的命题公式的真值表有2n行
❖ 在数理逻辑中，组成一个复合命题的原子命题在语义可以没 有任何联系 数理逻辑关心复合命题的结构，其真值由组成它的原子命题 的真值唯一确定
பைடு நூலகம்
a
假命题 真命题 真命题 不是命题 不是命题 不是命题 不是命题 不是命题 假命题 不是命题
a
3
❖命命题题（符p、号q化、：r、用s字）母来表示命题，常用小写字母表示原子
❖比较：代数中用字母表示变量
❖例 p：2+4=8 q：水是液体
❖命题的真值：命题的真假性
真命题的真值为真，表示为T 假命题的真值为假，表示为F 比较：命题变量的真值与代数变量的值
我们的办法是用命题变量表示其中的每一个句子成分， 并找出期间合适的逻辑联结词。具体的说，令a，c和f分别 表示“你可以从校园内访问因特网”、“你主修计算机科学” 和“你是个新生”。注意到“只有……才”是表达蕴含的一 种方式，上述句子可以译为：
7
❖例 太阳从西方升起，则2+2=4。 ❖联结词（运算符）的优先级：，，，，
减少所需的括号数目
❖例 p q s ❖命题符号化是命题演算的基础，符号化过程：
找出命题中的原子命题，分别用小写英文字母表示它 们 将原子命题用适当的联结词联结起来
a
8
❖ 例8 怎样把下面的句子翻译成逻辑表达式？ “只有你主修计算机科学或不是新生，才可以从校园内访问 因特网。”
(5)定义6 双蕴涵（等价）联结词 ， p q ：p与q的等价
a
6
❖ 真值表：给出命题真值之间的关系
❖ 含有n(n>0)个命题变量的命题公式的真值表有2n行
❖ 在数理逻辑中，组成一个复合命题的原子命题在语义可以没 有任何联系 数理逻辑关心复合命题的结构，其真值由组成它的原子命题 的真值唯一确定
பைடு நூலகம்
a
假命题 真命题 真命题 不是命题 不是命题 不是命题 不是命题 不是命题 假命题 不是命题
a
3
❖命命题题（符p、号q化、：r、用s字）母来表示命题，常用小写字母表示原子
❖比较：代数中用字母表示变量
❖例 p：2+4=8 q：水是液体
❖命题的真值：命题的真假性
真命题的真值为真，表示为T 假命题的真值为假，表示为F 比较：命题变量的真值与代数变量的值
高中数学第二章推理与证明22直接证明与间接证明222反证法课件新人教版选修12
5．用反证法证明命题“如果 a＞b，则3 a＞3 b时，
假设的内容是________．”
3
3
3
33
3
解析： a与 b的关系有三种情况： a＞ b， a＝ b，
3
3
3
3
a＜ b.所以假设的内容应为 a≤ b.
3
3
答案： a≤ b
类型 1 用反证法证明否(肯)定性命题(自主研析) [典例 1] 设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b， c 均为整数，且 f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0 无整 数根． [自主解答]假设 f(x)＝0 有整数根 n，则 an2＋bn＋c ＝0 又 f(0)，f(1)均为奇数，
解得－2＜a＜－1，则要使两方程至少有一个方程有
实数，则 a 的取值范围应为 a≤－2 或 a≥－1.
答案：A
归纳升华
1．用反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨
论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什
么，避免出现错误．
2．用反证法证明“至多、至少”问题时常见的“结
论词”与“反设词”如下：
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法．( ) (2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一 种演绎推理．( ) (3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( ) 解析：(1)对，反证法是间接证明问题的方法． (2)错，反证法是演绎推理，不是合情推理． (3)对，根据反证法的概念知说法正确． 答案：(1)√ (2)× (3)√
所以（1－2a）＋b≥ （1－a）b> 14＝12. 同理（1－2b）＋c>12，（1－2c）＋a>12. 三式相加得 （1－2a）＋b＋（1－2b）＋c＋（1－2c）＋a>32. 则32>32，矛盾，故假设不成立． 所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能都大于14.
高考数学：专题三 第三讲 推理与证明课件
本 讲 栏 目 开 关
191,202，„，999.则 (1)4 位回文数有________个； (2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有________个.
解析 (1)4 位回文数有： 1001,1111,1221，„，1991,10 个 2001,2112,2222，„，2992,10 个 „„ 9009,9119,9229，„，9999,10 个 共 90 个.
－ －
∴{an}的通项公式为 an＝4· (－1)n－1－n (n∈N*).
题型与方法
(3)解 ∵{an}的通项公式为
n n
－
第三讲
an＝4· (－1)n－1－n (n∈N*)，
本 讲 栏 目 开 关
所以 Sn＝∑ ak＝∑ [4· (－1)k 1－k] k＝1 k＝1
＝∑ [4· (－1) k＝1
代入 an－1＝an(an＋1－1)得 bn＝(bn＋1)bn＋1.
Байду номын сангаас
整理得 bn－bn＋1＝bnbn＋1，
由题意知，bn≠0，(否则 an＝1，与 a1＝2 矛盾) 1 1 从而得 － ＝1， bn＋1 bn
∵b1＝a1－1＝1，
本 讲 栏 目 开 关
题型与方法 1 ∴数列{b }是首项为 1，公差为 1 的等差数列. n 1 1 ∴b ＝n，即 bn＝n. n 1 1 1 (2)证明 ∵Sn＝1＋ ＋ ＋„＋ ， 2 3 n
本 讲 栏 目 开 关
n∈N*， C4n＋11＋C4n＋15＋C4n＋19＋„＋C4n＋14n 1＝____________.
解析 这是一种需类比推理方法破解的问题， 结论由两项构成， 第二项前有(－1)n，两项指数分别为 4n－1，2n－1，
191,202，„，999.则 (1)4 位回文数有________个； (2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有________个.
解析 (1)4 位回文数有： 1001,1111,1221，„，1991,10 个 2001,2112,2222，„，2992,10 个 „„ 9009,9119,9229，„，9999,10 个 共 90 个.
－ －
∴{an}的通项公式为 an＝4· (－1)n－1－n (n∈N*).
题型与方法
(3)解 ∵{an}的通项公式为
n n
－
第三讲
an＝4· (－1)n－1－n (n∈N*)，
本 讲 栏 目 开 关
所以 Sn＝∑ ak＝∑ [4· (－1)k 1－k] k＝1 k＝1
＝∑ [4· (－1) k＝1
代入 an－1＝an(an＋1－1)得 bn＝(bn＋1)bn＋1.
Байду номын сангаас
整理得 bn－bn＋1＝bnbn＋1，
由题意知，bn≠0，(否则 an＝1，与 a1＝2 矛盾) 1 1 从而得 － ＝1， bn＋1 bn
∵b1＝a1－1＝1，
本 讲 栏 目 开 关
题型与方法 1 ∴数列{b }是首项为 1，公差为 1 的等差数列. n 1 1 ∴b ＝n，即 bn＝n. n 1 1 1 (2)证明 ∵Sn＝1＋ ＋ ＋„＋ ， 2 3 n
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n∈N*， C4n＋11＋C4n＋15＋C4n＋19＋„＋C4n＋14n 1＝____________.
解析 这是一种需类比推理方法破解的问题， 结论由两项构成， 第二项前有(－1)n，两项指数分别为 4n－1，2n－1，
高中数学选修2第二章小结(推理与证明)课件
1- 22 2 (n N *) 的值. 2. 猜想 11
2n个 n个
解 : 当 n= 1 时 , 当 n= 2 时 , 当 n= 3 时 , 猜想89 =33, 111111 - 222 = 110889 =333.
4. 演绎推理
从一般性原理出发, 推出某个特殊情况下 的结论, 这样的推理叫演绎推理. 三段论是演绎推理的一般模式, 包括: (1) 大前提 — 已知的一般原理; (2) 小前提 — 所研究的特殊情况;
(3) 结论 — 根据一般原理, 对特殊情况做出 判断.
5. 三段论 大前提：某类事物都有某特征, M 是 P.
2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 2.3 数学归纳法 第二章 小结
本章小结
知识要点 例题选讲
复习参考题 自我检测题
1. 归纳推理
由某事物的部分对象具有某些特征, 推出该 类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者 由个别事实概括出一般结论的推理, 即由部分到 整体, 由个别到一般.
例2. 观察下列各式: 55=3125, 56=15625, 57=78125, … 则 52013的末四位数字为 ( A ) (A) 3125 (B) 5625 (C) 0625 (D) 8125 分析: 56 与 55 的末四位之差为 5625-3125=2500, 57 与 56 的末四位之差为 8125-5625=2500. 猜测: 5n+1 比 5n 末四位多 2500. 而 4 个2500 等于 10000,
例6. 在数列 {an}, {bn} 中, a1=2, b1=4, 且 an, bn, an+1 成等差数列, bn, an+1, bn+1 成等比数列 (nN*). 求 a2, a3, a4 及 b2, b3, b4. 由此猜测 {an}, {bn} 的通项 公式, 并证明你的结论. 求证: an=n2+n, bn=(n+1)2. 证明: 数学归纳法, 2+1=2, 2=4, 2+ 2+(k ① 当a n = 1 时 , a = 1 b = (1 + 1) 解得 = k 3 k + 2 = ( k + 1) + 1). 1 1 k+1 2 =[ 结果与已知相符 , 2) 即 n( = 时+猜测成立 . bk+1=(k+ k1 +1) 1]2. 2+k, b =(k+1)2 成立, ② 假设当 n = k 时 , a = k k k 即 n=k+1 时猜测也成立 . 由已知得 根据①②两步可知 nN*时, an=n2+n, bn=(n+1)2 2=k2+k+a 2( k + 1) , 2 b = a + a , 都成立. k + 1 k k k+1 ( 推证 a , b 时 , 思路源于 k + 1 k + 1 ak+12=(k+1)2bk+1. ak+12=bkbk+1.. ∴猜测是正确的 求 a2, b2 时解方程组的思想)
高中数学 模块复习课 第2课时 推理与证明课件 a选修12a高二选修12数学课件
kǎo)体验
专题二
演绎推理(yǎn yì tuī lǐ)及其应用
【例 2】已知函数
1 2
f(x)= x +aln
2
x(a∈R).
(1)若 f(x)在[1,e]上是增函数,求 a 的取值范围;
2
3
(2)若 a=1,1≤x≤e,求证:f(x)< x3.
12/8/2021
第十一页，共三十六页。
专题整合
专题
2
2Байду номын сангаас
2
12/8/2021
第十八页，共三十六页。
C+ccos A)
专题整合
专题
(zhuāntí)归
纳
高考(ɡāo
kǎo)体验
专题四 反证法及其应用
【例4】 已知直线ax-y=1与曲线x2-2y2=1相交于P,Q两点,证明不存在实
数(shìshù)a,使得以PQ为直径的圆恰好经过坐标原点O.
证明:假设存在实数 a,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O,
(2)分析法是从待证的结论出发,一步一步地寻找结论成立的充分条件,最
后达到题设的已知条件或已被证明的事实.
12/8/2021
第四页，共三十六页。
自主梳理
知识(zhī
网络
shi)
要点
(yàodiǎn)
梳理
思考(sīkǎo)
辨析
4.反证法
(1)反证法是一种间接证明的方法.
(2)反证法中,必须首先否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样
|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为 (
A.76
B.80
)
C.86 D.92
专题二
演绎推理(yǎn yì tuī lǐ)及其应用
【例 2】已知函数
1 2
f(x)= x +aln
2
x(a∈R).
(1)若 f(x)在[1,e]上是增函数,求 a 的取值范围;
2
3
(2)若 a=1,1≤x≤e,求证:f(x)< x3.
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2
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C+ccos A)
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专题
(zhuāntí)归
纳
高考(ɡāo
kǎo)体验
专题四 反证法及其应用
【例4】 已知直线ax-y=1与曲线x2-2y2=1相交于P,Q两点,证明不存在实
数(shìshù)a,使得以PQ为直径的圆恰好经过坐标原点O.
证明:假设存在实数 a,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O,
(2)分析法是从待证的结论出发,一步一步地寻找结论成立的充分条件,最
后达到题设的已知条件或已被证明的事实.
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网络
shi)
要点
(yàodiǎn)
梳理
思考(sīkǎo)
辨析
4.反证法
(1)反证法是一种间接证明的方法.
(2)反证法中,必须首先否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样
|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为 (
A.76
B.80
)
C.86 D.92
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一、合情推理
归纳推理 （1） 组、祖、阻、诅 ） （2） ） 地球 围绕太阳运行 绕轴自转 有大气层 有季节更替 地球上有生命 爼 火星 围绕太阳运行 绕轴自转 有大气层 有季节更替 火星上有生命 类 比 推 理
合 情 推 理
归纳推理: 归纳推理 由某些事物的部分对象具有某些特征， 由某些事物的部分对象具有某些特征，推出 该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理。 的推理。 类比推理： 类比推理： 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的 类对象 具有这些特征 某些已知特征， 某些已知特征，推出 的推理； 的推理； 注：合情推理的推理结果不一定正确。 合情推理的推理结果不一定正确。 如：组、祖、阻、诅 咀
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： 3 2 2 o 2 o sin α + sin (α + 60 ) + sin (α + 120 ) = 并证明 2 变式训练1： 变式训练 ： tan 5° • tan10° + tan 5° • tan 75° + tan10° • tan 75° = 1
1 (3) 三角形的面积为S = (a + b + c)r,r为三角形内切圆半径 为三角形内切圆半径 2
请类比出四面体的有关性质？ 请类比出四面体的有关性质？
二、演绎推理
（1）所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜 ）所有的金属都能导电，铜是金属， （2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王 ）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行， 星是太阳系的大行星， 星是太阳系的大行星，因此 演绎推理：从一般性的原理出发， 演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况 的结论的推理
归纳推理 合情推理类比推理
特殊 特殊
一般 特殊
合情推理的推理结果不一定正确。 合情推理的推理结果不一定正确。
演绎推理 一般 特殊
演绎推理中， 演绎推理中，只要前提和推理形式是正确 结论必然是正确的。 的，结论必然是正确的。
tan10° • tan 20° + tan10° • tan 60° + tan 20° • tan 60° = 1
已知： 例1.已知： 已知 3 2 o 2 o 2 o sin 5 + sin 65 + sin 125 = 2 3 2 o 2 o 2 o sin 30 + sin 90 + sin 150 = 2
tan15° • tan 35° + tan15° • tan 40° + tan 35° • tan 40° = 1 由以上两式可以推出什么结论， 由以上两式可以推出什么结论，并证明
在平面上， 例2. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的 一个角，那么截下的一个直角三角形， 一个角，那么截下的一个直角三角形， 按图所标边长，由勾股定理有： 按图所标边长，由勾股定理有： 2 = a 2 + b 2 . c 设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面， 设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这 时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O— 时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 ABC，如果用 s1 , s 2 , s 3 表示三个侧面面积，s 4 表示截 表示三个侧面面积， ， 面面积， 面面积，那么你类比得到的 2 2 如何证明 S12 + S 2 + S 32 = S 4 . 结论是
A
B
C
变式训练2： 变式训练 ： 在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=a， 中 ° ， a 2 + b2 则△ABC的外接圆的半径 r = 的外接圆的半径 ， 2 把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。 把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。 变式训练3： 变式训练 ： 在三角形中有下列性质： 在三角形中有下列性质： (1) 三角形的两边之和大于第三边； 三角形的两边之和大于第三边； (2) 三角形的中位线等于第三边的一半； 三角形的中位线等于第三边的一半；
一般模式：(三段论 一般模式： 三段论) 三段论
大前提： 大前提：——已知的 一般原理 ； 已知的 小前提： 小前提：——所研究的 特殊情况 ； 所研究的 根据一般原理， 进行判断。 结 论：——根据一般原理，对 特殊情况 进行判断。 根据一般原理 演绎推理中，只要前提 推理形式是正确的 前提和 是正确的， 注：演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论 必然是正确的。 必然是正确的。
有一段演绎推理是这样的： 直线平行于平面, 例3:有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面 有一段演绎推理是这样的 则平行于平面内所有直线；已知直线l∥ 则平行于平面内所有直线；已知直线 ∥平面 α ， 的结论显然是错 直线a ⊂ 平面α , 则直线l / / 直线a ,的结论显然是错 误的， 误的，这是因为 A.大前提错误 √ 大前提错误 C.推理形式错误 推理形式错误 变式训练4： 变式训练4： 因为所有的指数函数都是单调函数， 因为所有的指数函数都是单调函数，而y=lgx不是 不是 指数函数，所以函数y=lgx不是单调函数。 不是单调函数。 指数函数，所以函数 不是单调函数 以上推理是否正确？说明理由？ 以上推理是否正确？说明理由？ B.小前提错误 小前提错误 D.非以上错误 非以上错误
归纳推理 （1） 组、祖、阻、诅 ） （2） ） 地球 围绕太阳运行 绕轴自转 有大气层 有季节更替 地球上有生命 爼 火星 围绕太阳运行 绕轴自转 有大气层 有季节更替 火星上有生命 类 比 推 理
合 情 推 理
归纳推理: 归纳推理 由某些事物的部分对象具有某些特征， 由某些事物的部分对象具有某些特征，推出 该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理。 的推理。 类比推理： 类比推理： 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的 类对象 具有这些特征 某些已知特征， 某些已知特征，推出 的推理； 的推理； 注：合情推理的推理结果不一定正确。 合情推理的推理结果不一定正确。 如：组、祖、阻、诅 咀
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： 3 2 2 o 2 o sin α + sin (α + 60 ) + sin (α + 120 ) = 并证明 2 变式训练1： 变式训练 ： tan 5° • tan10° + tan 5° • tan 75° + tan10° • tan 75° = 1
1 (3) 三角形的面积为S = (a + b + c)r,r为三角形内切圆半径 为三角形内切圆半径 2
请类比出四面体的有关性质？ 请类比出四面体的有关性质？
二、演绎推理
（1）所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜 ）所有的金属都能导电，铜是金属， （2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王 ）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行， 星是太阳系的大行星， 星是太阳系的大行星，因此 演绎推理：从一般性的原理出发， 演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况 的结论的推理
归纳推理 合情推理类比推理
特殊 特殊
一般 特殊
合情推理的推理结果不一定正确。 合情推理的推理结果不一定正确。
演绎推理 一般 特殊
演绎推理中， 演绎推理中，只要前提和推理形式是正确 结论必然是正确的。 的，结论必然是正确的。
tan10° • tan 20° + tan10° • tan 60° + tan 20° • tan 60° = 1
已知： 例1.已知： 已知 3 2 o 2 o 2 o sin 5 + sin 65 + sin 125 = 2 3 2 o 2 o 2 o sin 30 + sin 90 + sin 150 = 2
tan15° • tan 35° + tan15° • tan 40° + tan 35° • tan 40° = 1 由以上两式可以推出什么结论， 由以上两式可以推出什么结论，并证明
在平面上， 例2. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的 一个角，那么截下的一个直角三角形， 一个角，那么截下的一个直角三角形， 按图所标边长，由勾股定理有： 按图所标边长，由勾股定理有： 2 = a 2 + b 2 . c 设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面， 设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这 时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O— 时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 ABC，如果用 s1 , s 2 , s 3 表示三个侧面面积，s 4 表示截 表示三个侧面面积， ， 面面积， 面面积，那么你类比得到的 2 2 如何证明 S12 + S 2 + S 32 = S 4 . 结论是
A
B
C
变式训练2： 变式训练 ： 在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=a， 中 ° ， a 2 + b2 则△ABC的外接圆的半径 r = 的外接圆的半径 ， 2 把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。 把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。 变式训练3： 变式训练 ： 在三角形中有下列性质： 在三角形中有下列性质： (1) 三角形的两边之和大于第三边； 三角形的两边之和大于第三边； (2) 三角形的中位线等于第三边的一半； 三角形的中位线等于第三边的一半；
一般模式：(三段论 一般模式： 三段论) 三段论
大前提： 大前提：——已知的 一般原理 ； 已知的 小前提： 小前提：——所研究的 特殊情况 ； 所研究的 根据一般原理， 进行判断。 结 论：——根据一般原理，对 特殊情况 进行判断。 根据一般原理 演绎推理中，只要前提 推理形式是正确的 前提和 是正确的， 注：演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论 必然是正确的。 必然是正确的。
有一段演绎推理是这样的： 直线平行于平面, 例3:有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面 有一段演绎推理是这样的 则平行于平面内所有直线；已知直线l∥ 则平行于平面内所有直线；已知直线 ∥平面 α ， 的结论显然是错 直线a ⊂ 平面α , 则直线l / / 直线a ,的结论显然是错 误的， 误的，这是因为 A.大前提错误 √ 大前提错误 C.推理形式错误 推理形式错误 变式训练4： 变式训练4： 因为所有的指数函数都是单调函数， 因为所有的指数函数都是单调函数，而y=lgx不是 不是 指数函数，所以函数y=lgx不是单调函数。 不是单调函数。 指数函数，所以函数 不是单调函数 以上推理是否正确？说明理由？ 以上推理是否正确？说明理由？ B.小前提错误 小前提错误 D.非以上错误 非以上错误