平面向量的平行与垂直(20200511215732)
向量平行公式和垂直公式是什么
向量平行公式和垂直公式是什么平面向量平行对应坐标交叉相乘相等，即x1y2＝x2y，垂直是内积为0。
方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b平行（共线），记作a∥b。
零向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定。
我们规定：零向量与任一向量平行。
平行于同一直线的一组向量是共线向量。
a⊥b的充要条件是a·b=0，即(x1x2+y1y2)=0。
向量平行公式和垂直公式1向量平行、垂直公式a,b是两个向量a=（a1,a2）b=（b1,b2）a//b：a1/b1=a2/b2或a1b1=a2b2或a=λb,λ是一个常数a垂直b：a1b1+a2b2=02向量相关定义负向量如果向量AB与向量CD的模相等且方向相反，那么我们把向量AB叫做向量CD的负向量，也称为相反向量。
零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0。
零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。
相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a=b。
规定：所有的零向量都相等。
当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取。
任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．同向且等长的有向线段都表示相同向量。
自由向量始点不固定的向量，它可以任意的平行移动，而且移动后的向量仍然代表原来的向量。
在自由向量的意义下，相等的向量都看作是同一个向量。
数学中只研究自由向量。
滑动向量沿着直线作用的向量称为滑动向量。
固定向量作用于一点的向量称为固定向量（亦称胶着向量）。
位置向量对于坐标平面内的任意一点P，我们把向量OP叫做点P的位置向量，记作：向量P。
方向向量直线l上的向量a以及与向量a共线的向量叫做直线l上的方向向量。
相反向量与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a，有-(-a)=a，零向量的相反向量仍是零向量。
平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b平行（共线），记作a∥b。
高中数学向量的平行与垂直关系判定及运用
高中数学向量的平行与垂直关系判定及运用在高中数学中，向量是一个重要的概念，它不仅在几何中有广泛的应用，还在代数中有着重要的作用。
本文将重点讨论向量的平行与垂直关系的判定及其在解题中的运用。
一、向量的平行关系判定两个向量平行的判定方法有多种，我们可以通过向量的数学性质来判断。
1. 方向相同且长度成比例：若向量a和向量b的方向相同，且长度成比例，即a=k*b（k为非零实数），则向量a与向量b平行。
例如，已知向量a=2i+3j，向量b=4i+6j，我们可以发现向量a和向量b的方向相同，且长度成比例，即a=2*(2i+3j)，因此向量a与向量b平行。
2. 内积为零：若向量a与向量b的内积等于零，即a·b=0，则向量a与向量b垂直。
例如，已知向量a=3i-2j，向量b=2i+3j，我们可以计算出向量a与向量b的内积为a·b=(3i-2j)·(2i+3j)=6-6=0，因此向量a与向量b垂直。
二、向量的垂直关系判定两个向量垂直的判定方法同样有多种，我们也可以通过向量的数学性质来判断。
1. 方向互为相反且长度成比例：若向量a和向量b的方向互为相反，且长度成比例，即a=-k*b（k为非零实数），则向量a与向量b垂直。
例如，已知向量a=-2i-3j，向量b=4i+6j，我们可以发现向量a和向量b的方向互为相反，且长度成比例，即a=-2*(2i+3j)，因此向量a与向量b垂直。
2. 外积为零：若向量a与向量b的外积等于零，即a×b=0，则向量a与向量b 平行或共线。
例如，已知向量a=3i-2j，向量b=2i+3j，我们可以计算出向量a与向量b的外积为a×b=(3i-2j)×(2i+3j)=13k，由于外积不等于零，因此向量a与向量b不平行也不垂直。
三、运用示例向量的平行与垂直关系在解题中有着广泛的应用。
下面通过几个具体的题目来说明。
题目一：已知向量a=3i-4j，向量b=-2i-6j，判断向量a与向量b的关系。
向量平行与垂直公式
向量平行与垂直公式向量，这两个字对于很多同学来说，可能一开始就像两个调皮的小精灵，让人有点摸不着头脑。
不过别担心，今天咱们就来好好聊聊向量平行与垂直公式，把这两个小精灵给驯服了！先来说说向量平行公式。
想象一下，你正在操场上跑步，你的小伙伴和你朝着同一个方向跑，但是速度不一样。
这就有点像向量平行的情况啦。
如果有两个向量 a = (x1, y1) 和 b = (x2, y2) ，那么当它们平行的时候，就有 x1y2 - x2y1 = 0 。
这个公式看起来有点复杂，但是咱们举个例子就清楚多啦。
比如说有向量 a = (2, 4) ，b = (4, 8) ，咱们来验证一下它们是不是平行。
按照公式，2×8 - 4×4 = 16 - 16 = 0 ，嘿，果然平行！这就好像你和小伙伴跑步，你跑两步，向前走四步，小伙伴跑四步，向前走八步，你们的方向是一致的，就是平行嘛。
再来说说向量垂直公式。
假设你和小伙伴不是朝着一个方向跑，而是一个朝正东，一个朝正北，这就是垂直的情况啦。
向量垂直的时候，如果还是向量 a = (x1, y1) 和 b = (x2, y2) ，那就有 x1x2 + y1y2 = 0 。
举个例子，向量 a = (3, -4) ，b = (4, 3) ，来算算 3×4 + (-4)×3 = 12 -12 = 0 ，所以它们垂直。
这就好像你往东跑三步，往北跑负四步，小伙伴往东跑四步，往北跑三步，你们就形成了一个直角，相互垂直啦。
我还记得之前给学生们讲向量的时候，有个小同学总是搞混这两个公式。
我就给他举了个特别好玩的例子。
我说：“你想象一下，你是个超级英雄，正在空中飞行。
向量平行就像是你和你的队友一起朝着同一个坏蛋飞去，速度有快有慢，但方向一样。
向量垂直呢，就像是你和队友一个从左边冲向坏蛋，一个从右边冲向坏蛋，形成夹击之势。
”这小家伙听完，眼睛一下子亮了，后来再做题目就很少出错啦。
专题三 平面向量的平行与垂直(解析版)
专题三 平面向量的平行与垂直1．平面向量平行(共线)的充要条件的两种形式(1)平面向量平行(共线)充要条件的非坐标形式：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ．(2)平面向量平行充要条件的坐标形式：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0； 至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的用(2)．这是代数运算，用它解决平面向量平行(共线)问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．当x 2y 2≠0时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．公式x 1y 2－x 2y 1＝0无条件x 2y 2≠0的限制，便于记忆；公式x 1x 2＝y 1y 2有条件x 2y 2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．乘积形式可总结为：“相异坐标的乘积的差为0”．2．三点共线的充要条件的三种形式(1)A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)(2)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )(3)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．3．非零向量垂直的充要条件的两种形式(1)平面向量垂直的非坐标形式：a ⊥b ⇔ a ·b ＝0．(2)平面向量垂直的坐标形式：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，数量积的运算a ·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a ·b ＝0，但不能说a ⊥b ．一般情况涉及坐标的用(2)．坐标形式可总结为：“相应坐标的乘积的和为0”．考点一 平面向量的平行【方法总结】两平面向量平行的充要条件既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当然也可解决三点共线的问题．高考试题中一般是考查已知两向量平行或三点共线求参数，并且以给出向量的坐标为主．解决此类问题的方法是借助两平面向量平行的充要条件列出方程(组)，求出参数的值．注意方程思想和待定系数法的运用．【例题选讲】[例1] (1)设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2BF →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直答案 A 解析 由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BA ＋AE ＝BA ＋13AC ，CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋13BA ，因此AD ＋BE ＋CF ＝CB ＋13(BC ＋AC －AB )＝CB ＋23BC ＝－13BC ，故AD ＋BE ＋CF 与BC 反向平行．(2)已知向量m ＝(1，7)与向量n ＝(k ，k ＋18)平行，则k 的值为( )A ．－6B ．3C ．4D ．6答案 B 解析 因为m ∥n ，所以7k ＝k ＋18，解得k ＝3．故选B ．(3)(2018·全国Ⅲ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．答案 12 解析 2a ＋b ＝(4，2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以1×2＝4λ，即λ＝12． (4)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线答案 B 解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，∴BD →，AB →共线，又有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．故选B ．(5)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案 －54解析 AB →＝(a －1，3)，AC →＝(－3，4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)－3×(－3)＝0，即4a ＝－5，∴a ＝－54． (6)已知向量a ＝(1，1)，点A (3，0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB →∥a ，则点B 的坐标为________．答案 (－3，－6) 解析 设B (x ，2x )，则AB →＝(x －3，2x )．∵AB →∥a ，∴x －3－2x ＝0，解得x ＝－3，∴B (－3，－6)．【对点训练】1．已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________．1．答案 6 解析 ∵a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，∴－2m －4×3＝0，∴m ＝－6．2．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(λ，－1)，若c ∥(2a ＋b )，则λ等于( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．122．答案 A 解析 ∵a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，∴2a ＋b ＝(4，2)，又c ＝(λ，－1)，c ∥(2a ＋b )，∴2λ＋4 ＝0，解得λ＝－2，故选A ．3．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，c ＝(k ，7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________．3．答案 5 解析 因为a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，c ＝(k ，7)，所以a －c ＝(3－k ，－6)．因为(a －c )∥b ，所 以1×(－6)＝3×(3－k )，解得k ＝5．4．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________．4．答案 1 解析 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1．5．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝( )A ．4B ．－5C ．6D ．－65．答案 D 解析 a ＋2b ＝(－3，3＋2k )，3a －b ＝(5，9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6．故选D ．6．已知向量a ＝(λ＋1，1)，b ＝(λ＋2，2)，若(a ＋b )∥(a －b )，则λ＝________．6．答案 0 解析 因为a ＋b ＝(2λ＋3，3)，a －b ＝(－1，－1)，且(a ＋b )∥(a －b )，所以2λ＋3－1＝3－1，所 以λ＝0．7．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，c ＝(2，3)，若a ＋λb 与c 共线，则实数λ＝( )A ．25B ．－25C ．35D ．－357．答案 B 解析 解法一：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2，3)，因为a ＋λb 与c 共线，所以必定存在唯一实数μ，使得a ＋λb ＝μc ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，4＋λ＝3μ，解得⎩⎨⎧μ＝65，λ＝－25.解法二：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2，3)，由a ＋λb 与c 共线可知3(2－λ)＝2(4＋λ)，得λ＝－25． 8．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －3b 共线，则m n＝________． 8．答案 －13 解析 由2－1≠32，所以a 与b 不共线，又a －3b ＝(2，3)－3(－1，2)＝(5，－3)≠0．那么 当m a ＋n b 与a －3b 共线时，有m 1＝n －3，即得m n ＝－13． 9．在平面直角坐标系xOy 中，已知点O (0，0)，A (0，1)，B (1，－2)，C (m ，0)．若OB →∥AC →，则实数m的值为( )A ．－2B ．－12C ．12D ．2 9．答案 C 解析 因为OB →＝(1，－2)，AC →＝(m ，－1)．又因为OB →∥AC →，所以m 1＝－1－2，m ＝12．故选C ． 10．已知A (1，1)，B (3，－1)，C (a ，b )，若A ，B ，C 三点共线，则a ，b 的关系式为________．10．答案 a ＋b ＝2 解析 由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →．∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2．11．已知点A (0，1)，B (3，2)，C (2，k )，且A ，B ，C 三点共线，则向量AC →＝( )A ．⎝⎛⎭⎫2，23B ．⎝⎛⎭⎫2，53C ．⎝⎛⎭⎫23，2D ．⎝⎛⎭⎫53，2 11．答案 A 解析 AB →＝(3，1)，AC →＝(2，k －1)，因为A ，B ，C 三点共线，所以可设AB →＝λAC →，即(3，1)＝λ(2，k －1)，所以2λ＝3，即λ＝32，所以AC →＝1λAB →＝⎝⎛⎭⎫2，23． 12．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0．若a ∥b ，则m n＝________． 12．答案 －2 解析 ∵a ∥b ，∴m ×(－1)＝2×n ，∴m n＝－2． 13．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．13．答案 12 解析 ∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得 ⎩⎨⎧ λ＝12，t ＝12.14．已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．14．答案 (3，3) 解析 法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以点P 的坐标为(3，3)． 法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y ．又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3，3)．15．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(1，1)，且a ∥b ，则向量a 的坐标是__________．15．答案 ⎝⎛⎭⎫22，22或⎝⎛⎭⎫－22，－22 解析 a ＝(x ，y )，因为平面向量a ，b 满足|a|＝1，b ＝(1，1)，且 a ∥b ，所以x 2＋y 2＝1，且x －y ＝0，解得x ＝y ＝±22．所以a ＝⎝⎛⎭⎫22，22或⎝⎛⎭⎫－22，－22． 16．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是__________．16．答案 ⎝⎛⎭⎫35，－45 解析 AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45 17．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D17．答案 B 解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．18．已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B ．43C ．12D ．1318．答案 A 解析 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线，所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23． 19．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．219．答案 B 解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ．又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∵a ，b 不共线，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1．20．设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(2m ，－1)，OC →＝(－2n ，0)，m ，n ∈R ，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则m ＋n 的最大值为( )A ．－3B ．－2C ．2D ．320．答案 A 解析 由题意易知，AB →∥AC →，其中AB →＝OB →－OA →＝(2m －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2n －1，2)，所以(2m －1)×2＝1×(－2n －1)，得：2m ＋1＋2n ＝1．2m ＋1＋2n ≥22m＋n ＋1，所以2m ＋n ＋1≤2－2，即m ＋n ≤－3．考点二 两个非零向量的垂直【方法总结】两平面向量垂直的充要条件既可以判定两向量垂直，也可以由垂直求参数．高考试题中一般是考查已知两向量垂直求参数，如果已知向量的坐标，根据两平面向量垂直的充要条件(2)，列出相应的关系式，进而求解参数．如果未知向量的坐标，则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量，根据两平面向量垂直的充要条件(1)，列出相应的关系式，进而求解参数．如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，则可建立平面直角坐标系求出未知向量的坐标从而把问题转化为已知向量的坐标求参数的问题．注意方程思想和等价转化思想的运用．【例题选讲】[例1](1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC答案 D 解析 在△ABC 中，由BC ＝AC －AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又AB ＝2a 且|AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b|cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )·BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC ，D 正确，故选D ．(2)(2017·全国Ⅰ)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________．答案 7 解析 因为a ＋b ＝(m －1，3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7．(3)(2018·北京)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________．答案 －1 解析 由题意得，m a －b ＝(m ＋1，－m )，根据向量垂直的充要条件可得1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，所以m ＝－1．(4)(2020·全国Ⅲ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________．答案 22解析 由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0．因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°，所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22． (5)(2016·山东)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos<m ，n >＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4C ．94D ．－94答案 B 解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋|n |2＝0，∴t|m ||n |cos<m ，n >＋|n |2＝0．又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4．故选B ． (6)如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，若E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且满足BE BC ＝AF AB＝λ，则当AE →·DF →＝0时，λ的值所在的区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫18，14B ．⎝⎛⎭⎫14，38C ．⎝⎛⎭⎫38，12D ．⎝⎛⎭⎫12，58 答案 B 解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，可得<AD →，BC →>＝60°，所以<AB →，AD →>＝60°，<AB →，BC →>＝120°，所以AB →·AD →＝4×2×12＝4，AB →·BC →＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－4，AD →·BC →＝2×2×12＝2，又BE BC ＝AF AB＝λ，所以BE →＝λBC →，AF →＝λAB →，则AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →，DF →＝AF →－AD →＝λAB →－AD →，所以AE →·DF →＝(AB →＋λBC →)·(λAB →－AD →)＝λAB →2－AB →·AD →＋λ2AB →·BC →－λAD →·BC →＝0，即2λ2－7λ＋2＝0，解得λ＝7＋334(舍去)或λ＝7－334∈⎝⎛⎭⎫14，38． 【对点训练】1．已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数m 的值为( )A ．－23B ．23C ．43D ．631．答案 B 解析 因为a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，所以a －b ＝(－2，m )－(1，3)＝(－3，m －3)．由 (a －b )⊥b ，得(a －b )·b ＝0，即(－3，m －3)·(1，3)＝－3＋3m －3＝3m －6＝0，解得m ＝23，故选B ．2．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A ．－8B ．－6C ．6D ．82．答案 D 解析 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)．因为(a ＋b )⊥b ，所以 (a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8.法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a ·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝83．设向量a ＝(1，m )，b ＝(m －1，2)，且a ≠b ，若(a －b )⊥a ，则实数m ＝( )A ．12B ．13C ．1D ．2 3．答案 C 解析 因为a ＝(1，m )，b ＝(m －1，2)，且a ≠b ，所以a －b ＝(1，m )－(m －1，2)＝(2－m ， m －2)，又(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝0，可得(2－m )×1＋m (m －2)＝0，解得m ＝1或m ＝2．当m ＝2时，a ＝b ，不符合题意，舍去，故选C ．4．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．－14．答案 A 解析 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0， 解得k ＝－3．5．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3D ．1525．答案 C 解析 ∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0．∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3， －6)．∴(2k －3，－6)·(2,1)＝0，即(2k －3)×2－6＝0．∴k ＝3．6．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．－16．答案 A 解析 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0， 解得k ＝－3．7．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)，若λ为实数，(b ＋λa )⊥c ，则λ的值为( )A ．－311B ．－113C ．12D ．357．答案 A 解析 b ＋λa ＝(1，0)＋λ(1，2)＝(1＋λ，2λ)，又c ＝(3，4)，且(b ＋λa )⊥c ，所以(b ＋λa )·c＝0，即3(1＋λ)＋2λ×4＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－311． 8．在△ABC 中，三个顶点的坐标分别为A (3，t )，B (t ，－1)，C (－3，－1)，若△ABC 是以B 为直角顶点 的直角三角形，则t ＝________．8．答案 3 解析 由已知，得BA →·BC →＝0，则(3－t ，t ＋1)·(－3－t ，0)＝0，∴(3－t )(－3－t )＝0，解得t＝3或t ＝－3，当t ＝－3时，点B 与点C 重合，舍去．故t ＝3．9．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________．9．答案 1 解析 ∵a 与b 为两个不共线的单位向量，∴|a|＝|b |＝1，又a ＋b 与k a －b 垂直，∴(a ＋b )·(k a －b )＝0，即k a 2＋k a ·b －a ·b －b 2＝0，∴k －1＋k a ·b －a ·b ＝0，即k －1＋k cos θ－cos θ＝0(θ为a 与b 的夹角)，∴(k －1)(1＋cos θ)＝0．又a 与b 不共线，∴cos θ≠－1，∴k ＝1．10．(2013·全国Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________．10．答案 2 解析 因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a ·b ＝12， 由b ·c ＝0得b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2． 11．已知△ABC 中，∠A ＝120°，且AB ＝3，AC ＝4，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( )A ．2215B ．103C ．6D ．12711．答案 A 解析 因为AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，所以有AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AB →·AC →＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，解得λ＝2215．。
(完整版)平面向量的平行与垂直
AC a b(, R),则A, B,C三点共线的充要条件是
是_______1__.
4. 若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2， －1)共线，则实数a的值为________．
5. 平面上三个向量a,b, c 的模均为1，它们相互
之间的夹角均为120°，求证：(a
b)
⊥c
选做题： 在△ABC中,角A,B,C的对边分别 为a,b,c,且cosC= 3
x1y2 xห้องสมุดไป่ตู้ y1 0
(b 0)
ab
a b 0
x1x2 y1y2 0
(a 0, b 0)
一、基础训练
r
r
rr
1.已知平面向量 a (3,1),b (x, 3), a // b,则x
等于_____-_9______
r
r
2.已ar 知br 与平面ar 向垂量直，a=则（1是,－_3_）__，b_-_=1_（_4_,－__2_），
r
b
r
(1, 3r)
c
(k , 2)
，若
10
(a
c)
b
则k= 0
;若(
a ，
c)
∥
b
则k
=
3
． ，
2. 已知向量a (1, 2) b (2,3) 若向量 c 满足(c a) / /b
77
c (a b) ，则c ___(__9_,__3_) _______
3. 已知a,b是不共线的向量，AB a b,
平面向量的平行与垂直
涟水县第一中学
陈刚
基础知识回顾：
1．平行(共线)向量定义：
方向 记作
相ar∥同或br；相反
向量平行公式和垂直公式
向量平行公式和垂直公式向量是数学中的一个重要概念，广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域。
在向量运算中，判断向量是否平行或垂直是一项基础的操作。
本文将详细介绍向量的平行公式和垂直公式，并通过数学推导和几何解释来说明其原理和应用。
一、向量的定义和表示法向量是带有方向的量，可以用有序的两个点来表示。
通常使用箭头表示，箭头的起点表示向量的起点，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
在笛卡尔坐标系中，向量通常用坐标表示，例如向量a可以表示为：a=(x,y)其中，x表示向量在x轴方向上的分量，y表示向量在y轴方向上的分量。
二、向量的平行概念两个向量a和b平行的概念是指它们的方向相同或相反。
具体来说，如果存在一个实数k，使得向量a与向量b的每个对应分量满足以下关系：a=k*b其中，k表示两个向量的比例因子。
如果k为正数，则表示两个向量的方向相同；如果k为负数，则表示两个向量的方向相反。
三、向量的平行判断公式根据向量的平行定义，可以推导出判断两个向量平行的方法。
假设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，向量a与b平行的条件可以表示为：x1/x2=y1/y2这个条件说明，两个向量的x轴分量和y轴分量的比例相等时，它们是平行的。
从几何上来看，这表示两个向量在坐标平面上的斜率相等，即它们的直线方程具有相同的斜率。
四、向量的垂直概念两个向量a和b垂直的概念是指它们的方向互为正交。
具体来说，如果向量a与向量b的内积等于0，则表示它们垂直。
内积的定义为：a·b=x1*x2+y1*y2其中，x1和y1分别是向量a的x轴分量和y轴分量，x2和y2分别是向量b的x轴分量和y轴分量。
五、向量的垂直判断公式根据向量的垂直定义，可以推导出判断两个向量垂直的方法。
向量a 和向量b垂直的条件可以表示为：x1*x2+y1*y2=0这个条件说明，两个向量的内积为0时，它们是垂直的。
从几何上来看，这表示两个向量在坐标平面上的直角。
向量的平行与垂直总结
向量的平行与垂直总结在线代数学习中，向量是一个基础而重要的概念。
研究向量的性质和关系，我们经常会遇到向量的平行和垂直。
本文将对向量的平行和垂直进行总结，并探讨其相关性质和运用。
一、向量的平行关系向量的平行是指两个向量的方向相同或者相反，即它们具有共线的性质。
当两个向量的方向相同或相反时，它们可以表示为倍数关系。
1.1 向量的判断为了确定两个向量的平行关系，可通过比较它们的方向向量或零向量。
如果两个向量的方向向量相等，或者其中一个向量为零向量，那么它们是平行的。
1.2 平行向量的性质平行向量具有以下性质：1) 平行向量的倍数仍然是平行向量，即向量a与向量b平行，则ka 与kb也平行，其中k是一个实数。
2) 平行向量的和向量与差向量也是平行向量。
即向量a与向量b平行，则a+b与a-b也平行。
3) 平行向量的零向量也是平行向量。
即向量a与零向量平行。
1.3 平行向量的应用平行向量的概念在几何、物理等学科中具有广泛的运用。
在几何中，平行向量可用于判断线段、直线等的平行性。
在物理中，平行向量可表示物体的运动方向和速度大小等。
二、向量的垂直关系向量的垂直是指两个向量之间的夹角为90度，即它们的方向互相垂直。
垂直向量之间的性质与平行向量有所不同。
2.1 向量的判断为了确定两个向量的垂直关系，可通过求它们的点积是否为零来判断。
如果两个向量的点积为零，则它们是垂直的。
2.2 垂直向量的性质垂直向量具有以下性质：1) 垂直向量的和向量为零向量，即向量a与向量b垂直，则a+b为零向量。
2) 垂直向量的倍数仍然是垂直向量。
即向量a与向量b垂直，则ka与kb也垂直，其中k是一个实数。
2.3 垂直向量的应用垂直向量的概念在几何、物理等学科中也有重要的应用。
在几何中，垂直向量可用于判断线段、直线等的垂直性。
在物理中，垂直向量可用于描述力的正交性、力矩等。
三、平行和垂直的关系平行和垂直是两种特殊的向量关系，它们之间有一些相互关联的性质。
(完整word)平面向量的平行与垂直
盱眙县都梁中学高三(年级）数学（学科)导学案《平面向量的平行与垂直》编制人 林野审校人 韩杰林【学习目标】1.向量的夹角2。
两个向量平行垂直的充要条件【学习重点】两个向量平行垂直的充要条件【学习难点】两个向量平行垂直的充要条件【学习方法】启发式回归教材1.已知向量a =（3，1），b =（2,λ),若a //b ,则实数λ=_____2.已知向量a =（5，12），b =(sin α，cos α），且a //b ，则tan α=_______3.已知向量a =(6，2),b =(3,k ）,若a ⊥b .则k=_____4.已知向量a =（-3,4）,向量b //a ，b =1,则k=______5.已知a =（—3，1),b =（1，-2),若（—2a +b )⊥（k a +b ），则实数k=______分类解析例 1.已知A （—1，—1），B （1，3），C （1，5），D （2,7）（1）向量AB 与向量CD 平行吗？（2）向量AC 与向量AB 平行吗？例2。
设平面向量a =(cos α，sin α）(0πα2<≤)，b =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21,a 与b 不共线。
（1）求证:a +b 与a —b 互相垂直；（2）当→→→→-=+b a b a 33，求角α例3.已知向量a =（m ，—1),b =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21(1)若a //b ，求实数m 的值.(2)若a ⊥b ，求实数m 的值。
(3)若a ⊥b ，且存在不等于零的实数k ，t,使得),()3(2→→→→+-⊥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+b t a k b t a ，求t t k 2+的最小值。
课堂评价：1.已知向量m =()1,1+λ，n =()2,2+λ，若（m +n ）⊥（m —n )，则实数λ=______2.已知向量a =（1，k),b =（9,k-6）,若a //b ，则实数k=____3.设x ，y R ∈，向量a =（x ，1)，b =（1，y)c=(2，—4）.若a ⊥b,b //c ，则→→+b a =______ 4.已知a ⊥b ，,3,2==→→b a 当(3a —2b ）⊥（λa +b ）时,则实数λ的值为_______.作业纸：A 组训练题1.已知向量a=(2，-3），b=（3，λ）。
向量平行或垂直公式
向量平行或垂直公式1.向量平行的概念：当两个向量的方向相同或相反时，它们被称为平行向量。
换句话说，如果向量A和向量B平行，则它们的夹角为0度或180度。
2.向量垂直的概念：当两个向量的内积（或点积）为0时，它们被称为垂直向量。
换句话说，如果向量A和向量B垂直，则它们的夹角为90度。
接下来，我将详细介绍向量平行和垂直的数学公式。
1.向量平行的公式：当给定两个向量A=(a₁,a₂,...,aₙ)和B=(b₁,b₂,...,bₙ)时，我们可以使用以下公式来判断它们是否平行：(a₁/b₁)=(a₂/b₂)=...=(aₙ/bₙ)换句话说，两个向量的对应分量的比率应该相等，即每个分量之间应该成比例。
另一种方式是使用向量的比值来判断两个向量是否平行：a₁/b₁=a₂/b₂=...=aₙ/bₙ这种方法要求两个向量对应分量的比率都相等，如果都为正数或都为负数，则可以判断两个向量平行。
2.向量垂直的公式：当给定两个向量A=(a₁,a₂,...,aₙ)和B=(b₁,b₂,...,bₙ)时，我们可以使用以下公式来判断它们是否垂直：A·B=a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ=0即向量A和B的内积（或点积）等于0时，它们是垂直的。
另一种方式是使用向量的斜率来判断两个向量是否垂直：(a₂-a₁)/(b₂-b₁)如果斜率的乘积为-1，则可以判断两个向量垂直。
需要注意的是，以上的公式适用于二维和三维向量。
对于更高维度的向量，我们可以将其推广到n维向量空间。
除了上述公式，还有其他一些性质可以用于判断向量平行或垂直。
例如，两个非零向量A和B平行的充分必要条件是存在非零标量k，使得A=kB。
两个非零向量A和B垂直的充分必要条件是A·B=0。
总结起来，向量平行和垂直是解决线性代数中向量关系的重要概念。
通过使用相应的公式，我们可以判断给定的向量是否平行或垂直。
这些公式为我们在解决向量相关问题时提供了重要的数学工具。
向量平行垂直的公式
向量平行垂直的公式向量平行垂直是向量的重要性质之一，可以通过向量的内积和外积来判断。
下面介绍向量平行和垂直的公式，并拓展讨论它们的应用。
1. 向量平行的公式：两个向量a和b平行的条件是它们的比例相等，即存在一个非零实数k，使得a = kb。
用数学表达式表示为：a //b 或 a ∥ b 或 a·b = |a||b| （其中“//”或“∥”表示平行，“·”表示内积，“|a|”表示向量a的模）这个公式说明，如果两个向量的内积等于它们的模的乘积，那么它们是平行的。
内积的几何意义是两个向量之间的夹角的余弦值乘以它们的模的乘积。
如果两个向量平行，它们的夹角为0度或180度，余弦为1或-1。
2. 向量垂直的公式：两个向量a和b垂直的条件是它们的内积等于0，即a·b = 0。
用数学表达式表示为：a ⊥b 或 a·b = 0这个公式说明，如果两个向量的内积为0，那么它们是垂直的。
内积为0表示两个向量之间的夹角为90度或270度，余弦为0。
拓展讨论：向量平行和垂直的概念在几何学和物理学中具有重要的应用。
例如，在平面几何中，两个向量平行意味着它们的方向相同或相反，而两个向量垂直意味着它们的方向互为正交。
在物理学中，向量的平行和垂直性质可以用于解决力学和电磁学问题。
例如，当两个力向量的内积为0时，它们互相垂直，可以应用力的分解和合成原理进行分析。
此外，在电磁学中，电场和磁场的垂直性质是安培定律和法拉第电磁感应定律的基础。
总之，向量的平行和垂直性质在几何学和物理学中具有广泛的应用，并且可以通过向量的内积和外积来判断。
了解向量的平行和垂直的公式以及其应用，有助于我们更好地理解和运用向量概念。
向量的平行与垂直及其应用
向量的平行与垂直及其应用在数学中，向量是一个既有大小又有方向的量。
向量可以通过空间中的两个点表示，其中起点被称为原点，终点被称为终点，并用箭头表示方向。
在向量的运算中，平行和垂直是非常重要的概念。
本文将介绍向量的平行和垂直的定义和性质，并探讨它们在几何和物理中的应用。
一、向量的平行和垂直的定义和性质1. 向量的平行如果两个向量的方向相同或相反，我们称它们为平行向量。
具体而言，设有向量a和向量b，若存在实数k使得a = kb，则向量a和向量b平行。
这里k可以是正数、负数或零。
平行向量具有以下性质：（1）平行向量的模（长度）相等。
（2）平行向量的夹角为零或180度。
（3）平行向量的加减运算：若向量a和向量b平行，则a ± b也与a和b平行。
2. 向量的垂直如果两个向量的方向互相垂直（夹角为90度），我们称它们为垂直向量。
具体而言，设有向量a和向量b，若a·b = 0（a与b的点积等于零），则向量a和向量b垂直。
垂直向量具有以下性质：（1）如果a垂直于b，那么-b也垂直于a。
（2）如果a垂直于b，那么ka与b平行，其中k为任意实数。
（3）如果a垂直于b，那么a+b与b平行。
二、向量的平行和垂直的应用向量的平行和垂直概念在几何和物理中有广泛的应用。
下面将介绍其中一些常见的应用场景。
1. 几何中的平行和垂直在几何中，平行和垂直的概念被广泛应用于平面和空间几何的相关问题。
（1）平面的垂直：两个平面互相垂直，意味着它们的法向量互相垂直。
（2）平面的平行：两个平面平行，意味着它们的法向量平行。
（3）直线的平行和垂直：两条直线平行，意味着它们的方向向量平行或共线；两条直线垂直，意味着它们的方向向量垂直。
2. 物理中的平行和垂直在物理学中，平行和垂直的概念也具有重要的物理意义。
（1）力的分解：在物体受到多个力作用时，可以将这些力分解为平行和垂直分量，以便更好地理解和计算。
（2）质量与重力：物体的质量与施加在它上面的重力互相垂直。
向量垂直和平行公式
向量垂直和平行公式在向量的运算中，我们经常会遇到向量的垂直和平行问题。
了解这些问题的公式和性质，可以帮助我们更好地理解向量的运算规律，从而更加得心应手地处理向量的问题。
首先，让我们来看向量的垂直性质。
在平面直角坐标系中，两个向量垂直的条件是它们的数量积为0。
也就是说，若向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)垂直，则有：x1*x2 + y1*y2 = 0这个公式可以形象地理解为，两个向量的夹角为90度。
在三维空间中，向量的垂直公式稍有不同，但核心思想是一致的。
了解了向量的垂直性质，我们再来看向量的平行性质。
两个非零向量平行的条件是它们之间存在一个实数k，使得它们的各个分量之间成比例。
这个条件可以表示为：x1/x2 = y1/y2 = z1/z2 = k （三维空间）或者x1/x2 = y1/y2 = k （二维空间）这个公式也可以形象地理解为，两个向量的方向相同或相反，但可能长度不同。
需要注意的是，两个向量平行的条件不包括零向量，因为零向量可以与任何向量平行。
知道了向量的垂直和平行公式和性质，我们就可以应用它们来解决一些具体问题了。
比如，可以利用垂直性质求两个向量夹角的正弦、余弦、正切等值，或者利用平行性质判断两个向量是否共线或平行。
除了理解公式和应用性质之外，我们还需要知道如何求两个向量的垂直向量和平行向量。
对于平面向量而言，两个向量的和可以分解为它们的平行向量和垂直向量的和。
而对于三维向量而言，两个向量的和可以分解为它们的平行向量和垂直向量的和，其中平行向量由两个向量的叉积得到，垂直向量由两个向量的量积得到。
综上所述，向量的垂直和平行公式和性质是向量运算中非常重要的内容，我们需要认真理解和掌握它们，以便更好地处理向量问题。
同时，我们还需要知道如何应用这些公式和性质求解具体问题，才能在实践中灵活运用。
25平面向量的平行于垂直
平面向量的平行与垂直一、复习目标：1.掌握两个向量平行、垂直的判定方法并判断两向量的位置关系。
2.能根据两个向量的位置关系求条件中的参数。
3．通过训练计算技巧来提高学生的计算能力。
二、学法指导合适选择平行、垂直的判定条件可以改变解题的繁简程度，解题时应注意。
三、知识梳理1. 两个向量平行的充要条件 符号语言：若,||≠,则 . (λ是唯一确定的实数) 坐标语言：设 =(x 1，y 1)，=(x 2，y 2),≠ ,则∥⇔ .2. 两个向量垂直的充要条件 符号语言：⊥⇔ ; 坐标语言：设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔ .四、课前预习1．与向量)4,3(--=a 同方向的单位向量是____________.2.已知向量),2(),1,1(x b a ==，若b a +与a b 24-平行，则实数x 的值为___.3.已知)0,1(),2,3(-=-=b a ，若向量b a +λ与b a 2-垂直，则实数λ的值为________.4.已知向量)3,2(),2,1(-==，若向量满足)(,||)(+⊥+，则=________.5.若平面向量,满足1||=+，+平行于x 轴，)1,2(-=，则=_________.五、例题精讲知识点1 向量平行的相关运算例1已知向量a 与向量b 不共线，且b a k +与b a 3-平行，求k 的值，并判断平行时它们是同向还是反向？变式拓展：已知1e 和2e 是二不共线向量，212e e a +=，2123e e b λ-=，若a 与b 共线，则实数=λ ．知识点2 向量垂直时的参数值例2 已知b a ⊥，,3||,2||==b a 当)()23(b a b a +⊥-λ时，求实数λ的值．变式拓展： 已知向量j i ,为相互垂直的单位向量，设,3)1(j i m a -+=j m i b )1(-+=，)()(-⊥+，求m 的值.练习：已知向量=,1(），)1,2(-=，若存在正数k 和t ，使得t )1(2++=与b ta k y 1+-=垂直，求k 的最小值.知识点3 向量垂直的证明例3 已知非零向量a 和b 的夹角为60°，且)57()3(b a b a -⊥+，求证：)27()4(b a b a -⊥-.变式拓展：如图，已知△ABC 中，∠C 是直角，D CB CA ,=是CB 的中点，E 是AB 上的一点，且EB AE 2=.求证：CE AD ⊥.知识点4 向量平行的条件例4已知OA 、OB 不共线，OP =a OA +b OB .求证：B P A ,,三点共线的充要条件是1=+b a .变式拓展：平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点()1,3A ,()3,1-B ,若点C 满足OB OA OC βα+=,其中R ∈βα,且1=+βα,则点C 的轨迹方程为_____________________________．思考：（1）用“内心”、“外心”、“重心”或“垂心”填空.设O 为△ABC 平面上的定点，λ∈［0,+∞).① 若点P 满足()AB AC OP OA AB ACλ=++，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的______________; ② 若点P 满足()sin sin AB AC OP OA AB B AC Cλ=++⋅⋅,则点P 的轨迹一定通过△ABC 的__. （2）设点O 在三角形△ABC 的内部且有++4=，则△ABC 的面积与△OBC 的面积之比是 ．六、作业1．已知向量)3,2(=，)6,(x =，且b a //，则=x .2．21,e e 是不共线向量，21212,e e e e -=+=λ,则a 与b 共线的充要条件是 .3. 已知｜a ｜＝4,｜b ｜＝5, a 与b 的夹角为60°，且(k a +b )⊥(a -2b ), 则k =___.4.已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝2，a 与b 的夹角为45°，要使a b -λ与a 垂直，则λ=__________.5．若(1,2),(3,)OA OB m =-=，若OA OB ⊥，则m =_____,若(1,1),(4,)a b x ==，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则=x ______.6．已知1e 和2e 是二不共线向量，212e e +=，2123e e λ-=，若a 与b 共线，则实数=λ .7. 已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则下列结论正确的是 .(1) a ⊥e (2) a ⊥(a －e ) (3) e ⊥(a －e ) (4) (a ＋e )⊥(a －e )。
平面向量的垂直与垂直条件
平面向量的垂直与垂直条件平面向量是解决平面几何问题的有力工具，它们不仅能够表示平面上的位移和方向，还可以用来表示平面上的力、速度等物理量。
在平面向量的运算中，垂直与垂直条件是重要的概念。
本文将介绍平面向量的垂直条件及其相关性质。
一、平面向量的垂直条件在平面向量的运算中，我们常常需要判断两个向量是否垂直。
对于给定的两个向量a和b，它们的垂直条件可以通过它们的数量积来描述。
具体而言，如果两个向量的数量积等于0，则它们垂直；如果数量积不等于0，则它们不垂直。
数学表达式可以表示为：a·b = 0，其中a·b表示向量a和向量b的数量积。
二、平面向量垂直与垂直条件的推导为了更好地理解平面向量的垂直与垂直条件，我们可以推导出它们的几何意义。
设向量a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，根据向量的数量积定义，可以得到以下等式：a·b = x1*x2 + y1*y2如果a·b = 0，那么根据等式可得出以下条件：x1*x2 + y1*y2 = 0进一步化简，可以得到以下等式：x1*x2 = -y1*y2根据等式可以发现，当x1和y1的符号相反，且x2和y2的符号相反时，等式成立。
也就是说，两个向量的x坐标符号相反，y坐标符号也相反时，它们垂直。
以上就是平面向量垂直与垂直条件的推导，通过推导我们可以发现，两个向量的垂直与它们的坐标之间存在一定的关系。
这个关系可以帮助我们更快地判断两个向量是否垂直。
三、平面向量垂直与垂直条件的应用平面向量的垂直与垂直条件在几何问题的解决中具有重要的作用。
以下是一些常见的应用场景：1. 判断两条线段是否垂直：将线段的起点和终点的坐标表示为向量，然后求出这两个向量的数量积，若数量积等于0，则可以判断两条线段垂直。
2. 判断两个平面是否垂直：将两个平面的法向量表示为向量，然后求出这两个向量的数量积，若数量积等于0，则可以判断两个平面垂直。
如何解决高考数学中的平面向量共线与垂直问题
如何解决高考数学中的平面向量共线与垂直问题在高考数学中，平面向量共线与垂直问题是一个重要的知识点。
它涉及到向量的性质和运算规律，需要我们掌握一定的解题技巧和思维方法。
本文将介绍如何解决高考数学中的平面向量共线与垂直问题，并提供一些实用的解题思路和方法。
一、平面向量的基本性质在解决平面向量共线与垂直问题之前，我们首先需要了解平面向量的基本性质。
1. 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，它可以用有向线段表示，具有始点和终点。
在平面直角坐标系中，平面向量可以表示为(AB)，其中A 为起点，B为终点。
2. 平面向量的模平面向量的模表示向量的长度或大小，用∥AB∥表示。
平面向量∣AB∣ = 0 ，当且仅当 A = B 。
3. 平面向量的共线若两个非零向量的方向相同或相反，则称两个向量共线。
即∣∣=k ，其中 k 为非零实数。
4. 平面向量的垂直若两个向量的数量积等于零，则称这两个向量垂直。
即，其中θ 为两个向量的夹角。
以上是平面向量的基本性质，我们要解决高考数学中的平面向量共线与垂直问题，就需要运用这些性质来进行推导和解题。
二、解决共线问题的方法在高考数学中，常见的平面向量共线问题可以归纳为以下几种情况。
1. 已知坐标求共线当已知平面上两点坐标时，可以通过计算坐标差值得出它们构成的向量，然后判断这两个向量是否共线。
2. 已知向量求共线当已知平面上某个向量和另外两点的坐标时，可以通过计算得出另外两个向量，然后判断它们是否共线。
3. 已知方程求共线当已知平面上某个方程和另外一个点的坐标时，可以通过将点带入方程，得出另外一个坐标，然后计算两个向量，判断它们是否共线。
无论是哪种情况，解决平面向量共线问题的关键在于确定向量是否共线。
有以下几种方法可以帮助我们解决这类问题。
1. 向量成比例若两个向量的坐标成比例，即分量之间的比值相等，那么这两个向量共线。
2. 向量的线性表示若一个向量可以表示为另外两个向量线性组合的形式，那么它们共线。
2020年高考数学一轮复习：第57课平面向量的平行与垂直
第57课 平面向量的平行与垂直KAULiANG JIL XI1. 理解平面向量的平行和垂直概念，并掌握平行与垂直的判定方法2. 能利用平面向量的平行和垂直解决相关问题1•阅读：必修4第70〜88页.2.解悟：①平行向量与共线向量； ②平面直角坐标系下的向量平行与垂直； ③第80页例5,如果是填空题，你有更简捷的做法吗？④重解第 87页例4,体会方法和规范.3.践习：在教材空白处，完成第97〜98页复习第9、12、13、18、21题.--- 基础诊断■ ；1. 已知向量a = (1 , 2), b = (m , 4)，且a // (2a + b)，则实数 m 的值为 2 .解析：由题意得 2a + b = (2 + m , 8).因为 a / (2a + b)，所以 1 x 8-2X (2 + m) = 0,解得 m = 2,故实数m 的值为2.2. 已知向量 a = (1, 2), b = (0, — 1), c = (k , — 2)，若(a - 2b)丄 c ,则实数 k 的值为 8 .解析：由题意得 a — 2b = (1, 4).因为(a — 2b)丄 c ,所以(a — 2b) •= 0，即(1, 4) (k ,— 2) =0，即k — 8 = 0,解得k = 8，故实数k 的值为8.3. 已知向量 OA = (k , 12), OB = (4 , 5), OC = (— k , 10)，且 A , B , C 三点共线，O 为坐标原点，则实数 k 的值为2解析：由题意得AB = (4 — k ,— 7), BC = ( — k — 4, 5).因为A , B , C 三点共线，所以 2 25(4 — k) = (— 7) x (— k — 4),解得 k = — 3.故实数 k 的值为一3.4.已知向量a = (2 , 3) , b = (2 , — 1),向量a , t(a — b) , 2b 的起点相同，终点在一条 直线上，则实数t 的值为 2 W .解析：由题意得 a , t(a — b) , 2b 共线，所以t(a — b) = (1 — $a + 2 ?b ,整理得(t — 1 + R a — t — 1 + R= 0, 入=—1 ,(t + 2 R b = 0.因为a 与b 是非零向量，所以彳 解得「 所以实数t 的值为2.I t + 2 R= 0 , It = 2 ,--- ＜八 范例导航Y J---考向？ 与三角函数的结合(1)若a 丄b ,求tan a 的值;⑵若a / b ,求a 的值.解析：(1)因为a 丄b ,.3 1课本KE BENWEN XIa (0 , n ).已知向量b = (1, 4cos a), 所以sin12cos a= 0 ,2 sin a+ 2COS a+ 12cos a= 0即 ^sin a+ 2C0S a= 0.(2)若 a// b ,贝U 4cos a sin Ja+ 6尸 3,即 4COS a fsin a+ 2cos a i= 3,所以｛3sin2 a+ cos2 a= 2,所以 sin g a+ n 1.因为 a€ (0 ,n (n 13 n门所以2a+訂6, E ，所以2a+6 = 2，即 a= 6.画跟踪练习*已知向量 a = J — 1，¥， b = (2cos 0, 2sin 0), 0< « n. ⑴若a / b ，求角0的大小； (2)若 |a + b|= |b|,求 sin 0 的值.解析：(1)因为 a / b ,所以—2，2sin Bu^Zcos B, 即一sin 0= J 3cos 0, 所以 tan 0 =— “.;.3 2 n 又 0< 0< n,所以 0=—.3⑵ 因为 |a + b|=|b|,所以(a + b)2= b 2,化简得 a 2 + 2a b = 0. 又 a = (— 2，爭),b = (2cos 0, 2sin 0), 则 a 2= 1, a b =— cos 0+ 3sin 0,所以.3sin 0— cos 0= — 2L (0-n+ n= sin(— n c os n+ cos(0—£sin n考向？ 与解三角形相结合 例2 已知△ ABC 的角A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,设向量p = (a , b), q = (sinB ,sinA), n = (b — 2, a — 2).(1)若p // q ,求证：△ ABC 为等腰三角形； 冗⑵若p 丄n ,边长c = 2,Z C = 3，求△ ABC 的面积. 解析：(1)因为 p // q ，所以 asinA = bsinB ,又 cos a 0，所以 tan a= — 25.33 所以 sin 0— n =4<0.又 0< 0<n, cos 0— 所以 sin 0= sina b所以a •RT b 2R(其中R是° ABC外接圆的半径)，所以a= b，所以△ ABC为等腰三角形•(2)因为p丄n,所以a(b—2)+ b(a—2) = 0.所以ab= a + b.因为c= 2,z c= n所以4= a2+ b2—2abcos；n ，即 4 = (a + b)2—3ab,所以ab= 4或ab=—1(舍去)，所以S A ABC = *absinC = |x4^23= ,3.△ ABC的三个内角A, B, C所对边的长分别为a, b, c,设向量p= (a+ c, b), q= (b,nc—a).若p/ q,则角C的大小为_n_.解析：因为p/ q,所以(a+ c)(c —a) —b2= 0，即c2= a2+ b2,所以△ ABC是直角三角形, nc= 2.考向？在多边形中的应用例3 在平面直角坐标系中，已知三点A(4 , 0), B(t, 2), C(6, t) , t € R , O为坐标原点(1) 若厶ABC是直角三角形，求t的值；(2) 若四边形ABCD是平行四边形，求|OD|的最小值.解析：(1)由条件得AB= (t —4, 2) , AC= (2 , t) , BC = (6 —t , t—2).若/ A= 90° ° 则AB AC = 0 ,即2(t—4)+ 2t= 0,解得t= 2;若/ B= 90° ° 则AB BC = 0 ,即(t—4)(6 —t)+ 2(t —2)= 0,解得t = 6± 2;若/ C= 90° ,则AC BC= 0 ,即2(6 —t) + t(t —2) = 0,无解.故满足条件的t的值为2或6+2 2.⑵若四边形ABCD是平行四边形，则A D = B C.设点D的坐标为(x , y).即(x — 4, y)= (6-1, t - 2),即点 D(10 — t , t — 2). |0D|=(10— t ) 2+( t ― 2) 2=2(t—6) 2+32,所以当t = 6时，|0D|的最小值为4,2.--- 2…自测反馈 -7 -------1.已知向量a , b 满足|a |= 1, (a + b) (a — 2b) = 0，则|b|的最小值为 _?_•解析：由题意知，0•设a 与b 的夹角为©因为(a + b) (a — 2b) = a 2 — a b — b 2= 0•因为|a|1以|b|的最小值为夕所以 x —4=6 — t , y = t — 2.=1，所以 1 — |b| cos 0— 2b 2= 0,即 cos 0=1 —2b 2，所以一1w1 —2b 21 W 1，2.已知平面内 A , B , C 三点在同一条直线上, OA = (一 2, m), OB = (n , 1), OC = (5,—1)，且OA 丄O B ，则实数 mn 的值为 9或182解析：因为 A , B , C 三点在同一条直线上，所以 AC // BC.因为AC = OC — OA = (7,— 1 — m), BC = OC — OB = (5 — n ,— 2),所以 7x (— 2) = (— 1 — m)(5 — n),化简得 mn — 5m + n+ 9 = 0•又因为O A 丄OB ，所以(一2 , m) -(n , 1) = 0,即一2n + m = 0,联立方程组，得3. 已知向量a = 8, 2 ,b = (x, 1),其中x>0,若(a — 2b)/ (2a + b)，则实数x 的值为 4解析：由题意得 a — 2b = 8 — 2x , |— 2 , 2a + b = (16 + x , x + 1).因为(a — 2b)/ (2a + b), 所以(8 — 2x)(x + 1) = [|— 2 ；(16 + x)，解得 x = ±4.因为 x>0，所以 x = 4.4. 已知向量a = 1, 1 , b = J, - j,其中x>0, y>0若a 丄b ,贝V x + 4y 的最小值为 9 .解析：因为a 丄b ，所以£— 1, 11 = 0，即g+卜1，所以x + 4y = (x + 4y)已+十=1 + x + 4y + 4.因为 x>0, y>0,所以 5 + x + 4y > 5 + 2 .-•y = 9,当且仅当 x =创，即 x = 3,y x y x .■ y x y x3 y = 2时，等号成立，故 x + 4y 的最小值为9.思恪道1. 处理向量平行和垂直问题时，通常使用向量平行、垂直的坐标形式的充要条件，从 而得到方程•三道例题都有体现.2. 例3要结合图形分析其中的几何条件特征，将几何条件转化为坐标表示，这是数形 结合的具体形式•3•你还有哪些体悟，写下来：mn — 5m + n + 9= 0, m — 2n = 0,m = 6,解得* m = 3, 或3 l n = 2,所以mn = 18或多.。
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北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编11:平面向量的平行与垂直
一、选择题
1 .给定两个向量a二(3,4), b= (2,1),若(a xb) //(a- b),则x的值等于
A. 3
B. -1
C. 1
D. -3
2 2
2 .设向量a = (x,1) , b= (4, x),且a, b方向相反,则x的值是
C . -2
(北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学)
OA =[3, -4 ,OB h[6, -3 , OC h[2m m 1 .若AB//OC ,则实数m 的值为
A . -3
B . --
C . -3
D . 3
7 5 5
4 .已知向量a、b不共线，c = k a • b(k • R, d=a-b,如果c//d,那么
A . k=1且c与d同向
B . k =1且c与d反向
C . k = -1且c与d同向
D . k - -1且c与d反向
5 .已知A(2,-2) B(4,3),向量p的坐标为(2k-1,7)且p//AB ,则
9
10 B . 10
19
10
19
10
6 .已知向量 a = (2,1), b =(x,-2),若 a // b,则a+ b 等于
A . -2,-1
B . 2,1
C . 3,-1
D . -3,1
7 .已知非零向量a、b , “函数f(x)=：ax為为偶函数”是
( )
( )
已知向量( )
( )
B. -2
k的值为( )
( ) 4 4
a_b ” 的
A .充分非必要条件
B .必要非充分条件
8 .已知向量 a=(1,2),b=(-3,2)
若 ka+b//a-3b,则实数 k=
A.--
B.-
C .
-3 D . 3
3
3
9 .已知平面向量 a 二(1,2), b= (-2,m), 且 a //
b ,
则m 的值为
A . -1
B .
C . -4
D . 4
10 . （2013大纲卷高考数学（文））已知向量■ 1,1 n 「
2,若
m ■ n j .i 〕m -n ,贝卩■=
A . -4
B . -3
C . -2
D . -1
11.已知向量a =(2,3),b 二(-1,2),若m a n b 与a-2b 共线，则m 等于
(
)
n
1
1
A . - 2;
B . 2
C . - -
D .丄
2
2
12 .已知向量；=(1,2),b=(x ,4),若向量 a _t ,则 x = ( )
A . 2
B . -2
C . 8
D . -8
13 .已知点A 1,3 ,B 4,-1 ,则与向量忌方向的单位向量为
(
)
14 .已知向量 a =(1,1),b =C.2,0),c=(-2,、2),则a • b 与 b c 的位置关系是
(
)
15 . （2012年高考（福建文））已知向量a=（x_1,2）,b=（2,1）,则a_b 的充要条件是
C .充要条件
D .既非充分也非必要条件 A .垂直
B .平行
C .相交不垂直
D .不确定
5
，
B .
1
A. x
B. x = -1
C. x=5
D. x = 0
2
二、填空题
16 . （2013山东高考数学（文））在平面直角坐标系xOy中，已知
"OA =（-1,t）""OB =（2,2）,若N ABO =90°,则实数t 的值为_______
17. （山西省实验中学仿真演练试卷理）；、是互相垂直的两个单位向量，且向
量2才+：与-ke2也相互垂直,贝H k = _______________ .
18. （2013上海春季数学（理））已知向量昇（仆），b =（9,—6）.若a〃b,则实数k 二
19. （2011 年高考（北京理））已知向量 a =c.31）,b=（0, —1）,：=（k,f）,若l-2b与C 共
线,则k= ____________ .
20. （2013届北京市高考压轴卷理科数学）已知a=（3,2）, b=（-1,0）,向量匚a+b 与
a-2 b垂直，则实数九的值为 ________
参考练习题
21. （2011年高考（北京理））已知向量；十3,1）,二（0,-1）, C =（k,问，若；-2：与c共线,
则k = ________ .
【答案】1
【解析】a -2；十31）-2（0,-1）=（「3,3）,因为a_2b与c共线，所以3 ..3-3k =0,所以k =1
22. （2012年石景山区高三数学一模理科）设向量a =（cos[1）,b =（1,3cos旳,且a//b,
贝H cos2H = ______ .
【答案】-1
3
23. (高2012级高三(下)第一次月考理科)向量a = (1,3), b二(m,_9),若a // b,则
m =______ .
【答案】-3
24.
(2012年河北省普通高考模拟考试(文))已知向量a=(-3,4), b=(2,-1), ■为实数，若向量a+ x b与向量b垂直，则丸= ___
【答案】2
25 .(江苏省2012年5月高考数学最后一卷(解析版))已知平面向量a=(i, -1) b=(x_2,1),
且 a 丄b,贝卩实数x= ___________________ .
【答案】【解析】本题主要考查平面向量的垂直.
【答案】3
26. (2013北京东城高三二模数学理科) 已知向量a二(2, -3), b = (1/ ),若a//b,则
【答案】；
2
27 .(北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学)已知向量 a = (1,2), b= (1,0), c
= (3,4).若人为实数，(：+ >-b)//c,则人的值为_________________________ .
c d 4 4 4 4^
【答案】■= 一—【解析】a • ■ b =(1,2) • ■ (1,0) =(1 • ■ ,2),因为(a • ■ b) / /c,所以
3 2
1 4(1+丸)一3汉
2 = 0解得九=-.
2
三、解答题
28.(北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学) 已知：=(1,2), b=(-3,2),
当k为何值时，ka b与3 b平行？平行时它们是同向还是反向？
【答案】解：因为；-3二(1,2)-3(-3,2)=(10,-4);
4片
ka b =k(1,2) (一3,2) =(k —3,2k 2)
l 叫片呻耳
又：(ka b)//(a_3b) . 一4(k 一3) =10(2k 2)
这时ka b =（一10,3）,所以当k = 一吉时,ka b与a-3b平行,并且是反向的
参考答案
1.【答案】A .
2.【答案】B .
3.【答案】A
4.【答案】D特值法
【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法.属于基础知识、基本运算的考查.
取a= 1,0 ,b= 0,1 ,若k=i,则c=ab= i,i,d = a-b= 1, -1 ,
显然,c 与d不平行，排除 A . B . 若k「1 ,则 c - -a b - -1,1 , d - -a b- - -1,1 , 即c//d且c与d反向,排除C,故选D.
5.【答案】D.
6.【答案】A.
7.【答案】C
8.【答案】A .
9.【答案】
C 10.【答案】B .【解析】T （m+n）丄（m-n \二（m + n）（m-n）= 0 /. m - n =0 即■ 1222 4^0.•.一-3,点评：要学会简化运算。
11.【答案】
C . 12.【解析】a b = X1X2 ■ y°2 =0 .即x8=0, x = -8,故选
D . 13.【答案】
A解：忒2,所以忌=5'这样同方向的单位向量是1鼠(|冷)14.
【答案】A 15.【解析】由向量垂直的充要条件得2(x-1)+2=0所以x=0 .
16. 【答案】答案： 5 . 解析：
AB =OB 一OA=(2, 2) OA =(_i,t),OB=(2 ,2) ，
二
-(-1 , t) =(3 , 2-t)ABO =90°T B _ OB
A B OB = 2 3 2(2 -t) =0 ,解得^5. 17.【答案】
2
18.【答案】-3 19.【答案】1【命题立意】本题考查了平面向量的加、
4
减、数乘的坐标运算和共线向量的坐标运算.【解析】
a 一2「=点,1) 一2(0, —1) =(、3,3),因为 a -2
b 与
c 共线,所以3 3-3^0,所以k =1
4 呻-H -4 H 一 _ _ _
20a【解析】2b) a 0b即(33-1,2 - 2a三0,解得2)尸因为向量a +b与a-2 b垂直,所以。