置信区间(详细定义及计算)-42

程度为0.95.
或“该区间包含μ”这一事实的可信程度
为0.95.
注： μ的置信水平1－α的置信区间不唯一。
11
μ的置信区间是总体 分布，都近似有
X ~ N (, 2 )的前提下提出的。
当 n 充分大时，
无论X服从什么
Z X EX ~ N (0,1) DX n
[X
n
z 2 ,
X
n
z 2 ]
均可看作EX的置信区间。
置信区间。
选取统计量为
T X ~ t(n 1)
S2
n
由公式知μ的置信区间为
[X
查表 t0.05 (39) t0.025(39) 2.0227
S n t 2 (n 1)]
则所求μ的置2信区间为
[96.05 , 113.95]
若σ2＝25
μ的置信区间为
即 [103.45 , 106.55]
[X
22
已知总体
X ~ N(, 2)
下面我们将根据样本找出σ2 的置信区间，
这在研究
生产的稳定性与精度问题是需要的。 我们利用样本方差对σ2进行估计，
由于不知道S2与
σ2差多少？
容易看出把
S 2 看成随机变量，又能找到
2
它的概率分布，则问题可以迎刃而解了。
S 2 的概率分布是难以计算的，而
2
p y
2
(n 1)S 2
3
设 是总体X的 一个未知参数，
若存在随机区间
[1,2 ], 对于给定的 0 1,
若满足 P{1 2} 1
则称区间 是[1,2 ]
的置信水平（置信度）为
的置信区间.
和 分别称为置信下限和置信上限
1
2
1
（双侧置信区间）.
1 为置信度，
为显著水平.
4
置信水平的大小是根据实际需要选定的.
使我们能以比
较高的可靠程度相信它包含真参数值. 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，
称为置信概率，置信度或置信水平.
习惯上把置信水平记作 的正数，称为显著水平。
1
，这里 是一个很小
2
两个统计量
若由总体X的样本 X1,X2,…Xn 确定的
1 1( X1, X 2 , , X n ),
2 2 ( X1, X 2, , X n )
例如，通常可取显著水平
等. 0.025, 0.05, 0.1,
即取置信水平
1或0.95，00.9.等97. 5
根据一个实际样本，
由给定的置信水平，我们求出
一个尽可能小的区间
，使 [1,2 ]
P{1 2} 1
由于正态随机变量广泛存在，
特别是很多产品的
指标服从正态分布，
我们重点研究一个正态总体情形
12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.03 12.01
12.15 12.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.06
怎样估计该车床加工零件长度的方差。
( 0.05)
解 先求 x 12 1 [0.15 0.12 0.06] 12.075
[ X n z 2 ]
9
[ X n z 2 , X n z 2 ]
0.05 1 0.95 1 n 16
查表得
z z0.025 1.96
2
若由一个样本值算得样本均值的观察值
x 5.20
则得到一个区间
(5.20 0.49) (4.71, 5.69)
我们称其为置信度为0.95的μ的置信区间。
0.9. 对于 1－ α不同的值，
可以得到不同的置信区间。
15
可见，对参数 作区间估计，
就是要设法找出两个
只依赖于样本的界限(构造统计量)
(ˆ1 ˆ2 )
ˆ1 ˆ1( X1, X 2 , X n ) ˆ2 ˆ2 ( X1, X 2 , X n )
一旦有了样本，就把
估计在区间 内.[ˆ1,ˆ2 ]
0.05
解 本题是在σ2未知的条件下求正态总体参数μ的
置信区间。 由公式知μ的置信区间为
x 6720 s2 282 查表
[X
S n
t
2
(n
1)]
t0.05 (8) t0.025(8) 2.306
则所求μ的置信区间为
2
[6720
28
2.306]
即 [6650.9 , 6889.1]
3
则钢索所能承受的平均张力为 6650.9 kg/cm2
解：已知 x 1 (115
0 7, n 9,
120 110 )
0.05. 115.
由样本值算得：
9
查正态分布表得临界值 Z 1.96，由此得置信区间：
[X
n
z 2 ,
X
n
2
z 2 ]
115 1.96 7 / 9 , 115 1.96 7 / 9 110.43 , 119.57
(1 2 )
则称 [1,为2随] 机区间。
随机区间与常数区间
(a, b) 不同， 其长度与在数轴上
的位置与样本
X1, X 2 , , X n 有关。
当一旦获得样本值
x1 , x2 , xn 那么，
1( x1, x2 , xn ), 2 ( x1, x2 , xn ) 都是常数。
[1,2 ] 为常数区间。
x 1250 1 [0 15 510 25] 1259
s2
1
5 [(1250 1259)2
(1275 1259)2 ]
570
5 1
4
s2 5
28.5 5.339
n 1 4
查表
t0.01 (4) t0.005(4) 4.6041
0.01
[X
S n
t
2
(n
1)]
则所求μ的置信2区间为
[13 1.96 0.3 , 13 1.96 0.3] 2
2
2
得到μ的一个区间估计为
. [12.706，13.294]
注：该区间不一定包含μ. 13
0.05 可以取标准正态分布上
α分位点－z0.04 和 z0.01 ,则又有
0.04
X
P{ z0.04 P{X
n
2 z0.01}
n
z0.01 X
X ~ N(, 2 )
EX DX 2
n
n
则随机变量
X
Z
~ N (0,1)
2
n
令
X
P{
2
z } 1
2
n
2
z
2
2
z
2
7
X
P{
2
z } 1
2
n
2
2
P{z 2
X 2
z 2} 1
z
z
n
2
2
P{
n
z
2
X
n
z
2}
1
P{X
n
z 2
X
n
z 2} 1
这就是说随机区间
[X
n
z 2 ,
2
~
2 (n 1)
2
2
对于给定的 (0 1).
P{12 2
(n 1)
(n 1)S 2
2
2
2
(n 1)} 1
2 1
(n
1)
2
(n
1)
2
2
x
23
p y
2
2
12 (n1) 2
p( y)d
y
0
2
2 1
(n
1)
2
(n
1)
x
2
2
p(y)d y
2
( n 1)
2
P{12 2
(n 1)
(n 1)S 2 2
X
n
z 2 ]
它以1－α的概率包含总体 X的数学期望μ。
由定义可知，此区间即为μ的置信区间。
8
2
2
[ X n z 2 , X n z 2 ]
z
z
2
2
它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。
由定义可知，此区间即为μ的置信区间。
其置信度为 1－α。
置信下限
X
n
z 2
置信上限
X n z 2
置信区间也可简记为
12
设总体X ~ N(μ,0.09)， 有一组样本值： 12.6，13.4，12.8，13.2， 求参数μ的置信度为0.95的置信区间.
解 μ的置信区间为
[X
z
2
0
n
,
X
z
2
0 ]
n
有 1－α= 0.95，σ0= 0.3，n = 4,
代入样本值算得
, x 13 z z0.025 1.96
16
σ2的估计值
s2 1 [(12.15 12.075)2 (12.06 12.075)2 ] 15
或
s2
1 n 1
n i 1
(xi
x)2
1
n
[
n 1 i1
xi 2
nx 2 ]
1 [152 122 16 7.52 ] 0.0024
10000 15
2
2
2
(n 1)} 1
P{
(n
Biblioteka Baidu2
1)S 2 (n 1)
2
(n 1)
2 1
(n
S2 1)
}
1
2
2
则得到σ2随机区间
(n 1)S 2 (n 1)S 2
[
,
]
2
(n
1)
2 1
(n
1)
2
以 1 的概率包含未知方差σ2，
这就2是σ2的置信度为
1－α的置信区间。
24
某自动车床加工零件，抽查16个测得长度（毫米）
1.96]
[6
0.392]
所求为 [5.608, 6.392].
17
已知幼儿身高
X ~ N (, 2 ), 现从5～6岁的幼儿
中随机地抽查了9人，其高度分别为：
115, 120, 131, 115, 109, 115, 115, 105, 110cm;
假设标准差 0 7，置信度为 95%；
试求总体均值 的置信区间。
0.95
n z0.04}
0.95
z0.04
则μ的置信度为0.95的置信区间为
0.01
z0.01
[ X n z0.01 , X n z0.04 ]
与上一个置信区间比较，同样是
1 0.95
其区间长度不一样，上例
2
n
z0.025
3.92 1 4
0.98
比此例
1
1
4 (z0.04 z0.01) 4.08 4 1.02
16
已知某种油漆的干燥时间X（单位:小时）
服从正态分布
X ~ N ( ,1), 其中μ未知,现在抽取
25个样品做试验，
得数据后计算得
x
1 25
n k 1
xk
6
取 0.05 (1 0.95),
求μ的置信区间。
解 z z0.025 1.96 n 25 x 6
2
[x
n
z
2
]
[6
1 5
其含义是：
若反复抽样多次，每个样本值（n =16) 按公式
(x 1.96 , x 1.96 ) 即 ( x 0.49) 确定一个区间。
4
4
10
(x 0.49, x 0.49) 确定一个区间。
在这么多的区间内包含μ的占0.95,
不包含μ的占0.05。
本题中 (4.71, 5.69)，属于那些包含μ的区间的可信
数学期望 和方差 的区间估计2 。 5
设 X1, X 2 , , X n 为总体
X , S 2 分别是样本均值和样本方差。
X ~ N (, 2 ) 的样本，
对于任意给定的α，
我们的任务是通过样本寻找一
个区间， 它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。
6
1、已知σ2时，μ的置信区间
设
X ~ N(, 2)
t
2
(n
1),
X
S n
t
2
(n
1)]
[X
S n
t
2
(n
1)]
19
为了调查某地旅游者的消费额为X，
随机访问了
40名旅游者。
得平均消费额为
x 105 元，样本方差
s 2 282 设 X ~ N (, 2 )求该地旅游者的平均消费额
μ的置信区间。
0.05
解 本题是在σ2未知的条件下求正态总体参数μ的
这里有两个要求:
1. 要求 很大的可能被包含在区间 内，
[ˆ1,ˆ2 ]
就是说，概率 P{ˆ1 ˆ2} 要尽可能大.
即要求估计尽量可靠.
2. 估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则.
ˆ2 ˆ1
可靠度与精度是一对矛盾，
一般是在保证可靠度的
条件下尽可能提高精度.
第七章
置信区间的概念
一、置信区间的概念 二 、数学期望的置信区间 三 、方差的置信区间
1
前面，我们讨论了参数点估计.
它是用样本算得的
一个值去估计未知参数.
但是点估计值仅仅是未知参数
的一个近似值，
它没有反映出这个近似值的误差范围，
使用起来把握不大.
范围通常用区间的形式给出的。
这种形式的估计称为区间估计. 也就是说，我们希望确定一个区间，
n
z
2 ]
[105
5 1.96] 40
20
用某仪器间接测量温度，重复测量5次得
12500 12650 12450 12600 12750
求温度真值的置信度为 0.99 的置信区间。
解 设μ为温度的真值，
X表示测量值，通常是一个
正态随机变量
EX .
问题是在未知方差的条件下求μ的置信区间。
由公式
短。
14
第一个区间为优
（单峰对称的）。
可见，像 N(0,1)分布那样概率密度
的图形是单峰且对称的情况。
当n固定时以
的区间长度为最短，
我们一般选择它。
[ X n z 2 ]
若以L为区间长度，则
L
2
n
z
2
可见L随 n 的增大而减少（α 给定时），
有时我们嫌置信度0.95偏低或偏高，
也可采用0.99或
[1259 24.58 , 1259 24.58] 21
为了估计一批钢索所能承受的平均张力（单位
kg/cm2), 随机选取了9个样本作试验，
由试验所得数据得
x 6720 s 2 282 设钢索所能承受的张力X，
X ~ N (, 2 ) 分别估计这批钢索所能承受的平均张力
的范围与所能承受的平均张力。
18
当总体X的方差未知时，
容易想到用样本方差Ѕ 2代替σ2。
已知
T X ~ t(n 1)
S2
则对给定的α，令
n P{
X
S2
n
t (n 1)} 1
2
查t 分布表，可得
t (n 1) 的值。
P{X
S n
t
2 (n
2
1)
X
S n
t
2
(n
1)}
1
则μ的置信度为1－ α的置信区间为
[X
S n