置信区间(详细定义及计算)-42
置信区间的计算与解读
置信区间的计算与解读置信区间是统计学中常用的一种方法，用于估计总体参数的范围。
在实际应用中，我们往往无法获得总体的全部数据，而只能通过抽样得到一部分样本数据。
通过计算置信区间，我们可以利用样本数据对总体参数进行估计，并给出一个范围，以表明我们对估计结果的不确定性程度。
一、置信区间的计算方法置信区间的计算方法主要有两种：参数估计法和非参数估计法。
1. 参数估计法参数估计法是基于总体参数的已知分布进行计算的。
常见的参数估计法有正态分布的置信区间和二项分布的置信区间。
正态分布的置信区间计算方法如下：假设总体服从正态分布N(μ, σ^2)，样本容量为n，样本均值为x̄，样本标准差为s。
置信水平为1-α，α为显著性水平。
置信区间的计算公式为：x̄± Z(1-α/2) * (σ/√n)其中，Z(1-α/2)为标准正态分布的上分位数，可以在标准正态分布表中查找。
二项分布的置信区间计算方法如下：假设总体服从二项分布B(n, p)，样本容量为n，样本成功次数为x，置信水平为1-α，α为显著性水平。
置信区间的计算公式为：p̄± Z(1-α/2) * √(p̄(1-p̄)/n)其中，p̄为样本成功率，可以通过样本成功次数除以样本容量得到。
2. 非参数估计法非参数估计法是基于样本数据的分布进行计算的。
常见的非参数估计法有中位数的置信区间和百分位数的置信区间。
中位数的置信区间计算方法如下：假设样本容量为n，样本数据按升序排列，第k个观测值为中位数，置信水平为1-α，α为显著性水平。
置信区间的计算公式为：[x(k-1)/2, x(n-k+1)/2]其中，x(k-1)/2为第k-1个观测值，x(n-k+1)/2为第n-k+1个观测值。
百分位数的置信区间计算方法类似，只需将中位数的位置换成相应的百分位数的位置。
二、置信区间的解读置信区间给出了对总体参数的估计范围，通常以置信水平来表示。
置信水平越高，估计结果的可信度越高，但估计范围也会相应增大。
置信区间(详细定义及计算)
5 1.96] [X z 2 ] [105 40 n 20
[96.05 , 113.95]
用某仪器间接测量温度，重复测量5次得 1250 0 12650 12450 1260 0 12750 求温度真值的置信度为 0.99 的置信区间。 解 设μ为温度的真值，X表示测量值，通常是一个 正态随机变量 EX .
我们称其为置信度为0.95的μ的置信区间。 其含义是： 若反复抽样多次，每个样本值（n =16) 按公式
1.96 1.96 (x ,x )即 4 4
( x 0.49) 确定一个区间。
10
( x 0.49, x 0.49) 确定一个区间。
在这么多的区间内包含μ的占0.95, 不包含μ的占0.05。
试求总体均值 的置信区间。 解：已知 0 7, n 9, 0.05. 由样本值算得： 1 x (115 120 110 ) 115 . 9 查正态分布表得临界值 Z 1.96，由此得置信区间：
18
当总体X的方差未知时， 容易想到用样本方差Ѕ 2代替σ2。 X T ~ t (n 1) 已知 2 S n X t (n 1)} 1 则对给定的α，令 P{ S 2 2 n 查t 分布表，可得 t (n 1) 的值。 2 S S P{ X t 2 ( n 1) X t 2 ( n 1)} 1 n n
问题是在未知方差的条件下求μ的置信区间。 由公式 1 x 1250 [0 15 5 10 25] 1259 5 1 570 2 2 2 s [(1250 1259) (1275 1259) ] 5 1 4 2 s n 1 4 0.01 28.5 5.339 5 S [X t 2 ( n 1)] t ( 4 ) t ( 4 ) 4 . 6041 查表 0.01 0.005 n
置信区间(详细定义及计算)
可见，对参数 作区间估计，就是要设法找出两个 只依赖于样本的界限(构造统计量) (ˆ1 ˆ2 )
[ˆ1 ,ˆ2 ] 内.
1. 要求 很大的可能被包含在区间 [ˆ1 , ˆ2 ] 内，
就是说，概率 P {ˆ1 ˆ2 } 要尽可能大. 即要求估计尽量可靠.
ˆ ˆ 2. 估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度 2 1 尽可能短，或能体现该要求的其它准则.
查正态分布表得临界值 Z 1.96，由此得置信区间：
18
当总体X的方差未知时， 容易想到用样本方差Ѕ 2代替σ2。 X T ~ t (n 1) 已知 2 S n X t (n 1)} 1 则对给定的α，令 P{ S 2 2 n 查t 分布表，可得 t (n 1) 的值。 2 S S P{ X t 2 ( n 1) X t 2 ( n 1)} 1 n n
有时我们嫌置信度0.95偏低或偏高， 也可采用0.99或
0.9. 对于 1－ α不同的值， 可以得到不同的置信区间。
15
ˆ1 ˆ1 ( X 1 , X 2 , X n ) ˆ2 ˆ2 ( X 1 , X 2 , X n )
一旦有了样本，就把 估计在区间 这里有两个要求:
[96.05 , 113.95]
用某仪器间接测量温度，重复测量5次得 1250 0 12650 1245 0 1260 0 12750 求温度真值的置信度为 0.99 的置信区间。
解
设μ为温度的真值，X表示测量值，通常是一个 正态随机变量 EX .
问题是在未知方差的条件下求μ的置信区间。 由公式 1 x 1250 [0 15 5 10 25] 1259 5 1 570 2 2 2 s [(1250 1259) (1275 1259) ] 5 1 4 2 s n 1 4 0.01 28.5 5.339 5 S [X t 2 ( n 1)] t ( 4 ) t ( 4 ) 4 . 6041 查表 0.01 0.005 n 则所求μ的置信区间为 [1259 24 .58 , 1259 24 .58]
置信区间(详细定义及计算)
1
前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的 一个值去估计未知参数.但是点估计值仅仅是未知参数
的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围， 使用起来把握不大. 范围通常用区间的形式给出的。
这种形式的估计称为区间估计.
使我们能以比 也就是说，我们希望确定一个区间， 较高的可靠程度相信它包含真参数值.
有时我们嫌置信度0.95偏低或偏高， 也可采用0.99或
0.9. 对于 1－ α不同的值， 可以得到不同的置信区间。
15
ˆ1 ˆ1 ( X 1 , X 2 , X n ) ˆ2 ˆ2 ( X 1 , X 2 , X n )
一旦有了样本，就把 估计在区间 这里有两个要求:
11
2 X ~ N ( , )的前提下提出的。 μ的置信区间是总体
当 n 充分大时， 无论X服从什么 分布，都近似有
X EX Z ~ N (0,1) DX n
[X z 2 , X z 2 ] n n
均可看作EX的置信区间。
12
设总体X ~ N(μ,0.09)， 有一组样本值： 12.6，13.4，12.8，13.2， 求参数μ的置信度为0.95的置信区间. 0 0 , X z ] 解 μ的置信区间为 [ X z
3
设
是总体X的 一个未知参数，
若存在随机区间 [1 , 2 ], 对于给定的 0 1, 若满足
P{1 2 } 1
则称区间 [1 , 2 ] 是 的置信水平（置信度）为 1 的置信区间. 1 和 2 分别称为置信下限和置信上限 （双侧置信区间）.
4 4
2
z0.01} 0.95
14
置信区间法
置信区间法置信区间法是一种常用的统计推断方法，用于估计总体参数的真实值，并提供参数估计的精度范围。
在实际应用中，置信区间法被广泛用于市场调研、医学研究、质量控制等领域。
本文将从置信区间的定义、计算方法以及优缺点等方面进行阐述。
首先，置信区间是指在一定置信水平下，对总体参数的区间估计范围。
置信水平通常取95%或99%，代表统计学家对估计结果的置信程度。
例如，95%置信区间表示，在100次抽样中，有95次置信区间包含了总体参数的真实值。
计算置信区间的方法有多种，其中最常用的是基于正态分布或t分布的方法。
对于大样本，可以使用正态分布进行计算，而对于小样本，应使用t分布。
以下是计算置信区间的公式：1. 总体均值的置信区间：- 大样本（正态分布）：[sample_mean - Z * (sample_stddev / sqrt(n)), sample_mean + Z * (sample_stddev / sqrt(n))]- 小样本（t分布）：[sample_mean - t * (sample_stddev /sqrt(n)), sample_mean + t * (sample_stddev / sqrt(n))]2. 总体比例的置信区间：- 大样本：[sample_proportion - Z * sqrt((sample_proportion * (1 - sample_proportion)) / n), sample_proportion + Z *sqrt((sample_proportion * (1 - sample_proportion)) / n)]- 小样本：[sample_proportion - t * sqrt((sample_proportion * (1 - sample_proportion)) / n), sample_proportion + t *sqrt((sample_proportion * (1 - sample_proportion)) / n)]其中，sample_mean代表样本均值，sample_stddev代表样本标准差，sample_proportion代表样本比例，n代表样本容量，Z代表正态分布的分位数，t代表t分布的分位数。
ols置信区间
ols置信区间
摘要：
1.置信区间的定义
2.置信区间的计算方法
3.置信区间的应用实例
4.置信区间的局限性
正文：
1.置信区间的定义
置信区间是指根据样本数据计算得到的一个区间，它表示我们对总体参数的真实值有一定程度的信心。
置信区间通常包括两个端点，即上置信限和下置信限。
置信区间的计算是基于统计学的原理，通过对样本数据的分析，我们可以得到一个范围，这个范围是我们对总体参数的真实值所能达到的置信水平。
2.置信区间的计算方法
置信区间的计算方法通常采用t 分布或者正态分布来进行。
其中，t 分布适用于小样本情况，正态分布则适用于大样本情况。
在计算置信区间时，我们需要知道总体的标准差或者样本的标准差，以及我们希望达到的置信水平。
通常，置信水平用一个百分数来表示，比如95% 或者99%。
3.置信区间的应用实例
置信区间在实际应用中非常广泛，比如在民意调查中，我们可以通过置信区间来估计候选人的支持率；在医学研究中，我们可以通过置信区间来估计某种疾病的发病率。
这些应用都需要我们对总体参数有一个准确的估计，而置信
区间正是提供了这样一个准确的估计。
4.置信区间的局限性
虽然置信区间为我们提供了一个对总体参数的准确估计，但是它也存在一些局限性。
首先，置信区间只能告诉我们总体参数的真实值在某一个范围内，而无法精确地给出总体参数的真实值。
其次，置信区间的计算需要假设总体的分布形式，如果总体的分布形式与假设的不符，那么置信区间的计算结果可能会出现偏差。
总的来说，置信区间是一种重要的统计学工具，它能够帮助我们对总体参数进行准确的估计。
置信区间(详细定义及计算)
2
~ t ( n 1)
由公式知μ的置信区间为 [ X S t ( n 1)] 2 n 查表 t 0.05 (39) t 0.025 (39) 2.0227 则所求μ的置信区间为 即 [103 .45 , 106 .55]
2
n
若σ2＝25 μ的置信区间为
5 1.96] [X z 2 ] [105 40 n 20
的区间长度为最短，我们一般选择它。
若以L为区间长度，则
2 L z 2 n
可见L随 n 的增大而减少（α 给定时），
有时我们嫌置信度0.95偏低或偏高， 也可采用0.99或
0.9. 对于 1－ α不同的值， 可以得到不同的置信区间。
15
ˆ1 ˆ1 ( X 1 , X 2 , X n ) ˆ2 ˆ2 ( X 1 , X 2 , X n )
n
2
z
2
z
2
7
P{
X
2
z } 1
2
n
2
z
2
2
z
2
P{ z 2
X
2
z 2 } 1
P{ z 2 X z 2 } 1 n n P{ X z 2 X z 2 } 1 n n [X z 2 , X z 2 ] 这就是说随机区间 n n 它以1－α的概率包含总体 X的数学期望μ。
对于任意给定的α，我们的任务是通过样本寻找一
个区间， 它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。
6
1、已知σ2时，μ的置信区间 设
X ~ N ( , 2 )
置信区间(详细定义及计算)-置信区间公式42页PPT
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——
置信区间(详细定义及计算)
已知某种油漆的干燥时间X（单位:小时） 服从正态分布 X ~ N ( ,1), 其中μ未知,现在抽取 25个样品做试验， 得数据后计算得 1 n x xk 6 25 k 1 取 0.05 (1 0.95), 求μ的置信区间。 解
P{1 2 } 1
由于正态随机变量广泛存在， 特别是很多产品的 指标服从正态分布， 我们重点研究一个正态总体情形
数学期望和方差 的区间估计。
2
5
设 X 1 , X 2 , , X n 为总体 X ~ N ( , 2 ) 的样本，
X , S 2 分别是样本均值和样本方差。
我们称其为置信度为0.95的μ的置信区间。 其含义是： 若反复抽样多次，每个样本值（n =16) 按公式
1.96 1.96 (x ,x )即 4 4
( x 0.49) 确定一个区间。
10
( x 0.49, x 0.49) 确定一个区间。
在这么多的区间内包含μ的占0.95, 不包含μ的占0.05。 本题中 (4.71, 5.69)，属于那些包含μ的区间的可信 程度为0.95. 或“该区间包含μ”这一事实的可信程度 为0.95. 注： μ的置信水平1－α的置信区间不唯一。
1
前面，我知参数.但是点估计值仅仅是未知参数
的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围， 使用起来把握不大. 范围通常用区间的形式给出的。
这种形式的估计称为区间估计.
使我们能以比 也就是说，我们希望确定一个区间， 较高的可靠程度相信它包含真参数值.
11
2 X ~ N ( , )的前提下提出的。 μ的置信区间是总体
解释置信区间的含义模板
解释置信区间的含义模板示例1:题目：解释置信区间的含义引言：在统计学中，置信区间是一种量化统计数据不确定性的方法。
当进行样本调查或实验研究时，我们通常不能得到完整的总体数据，而只能通过采样得到一部分样本数据。
置信区间就是基于样本数据，根据统计推断方法得出的一个数值范围，用于估计总体某个参数的取值范围，并表明这个估计的可信程度。
本文将详细解释置信区间的含义及其模板。
主体：1. 置信区间的基本概念- 定义：置信区间是对总体参数的一个区间估计。
通常以估计值加减一个误差范围来表示，这个误差范围就是置信区间。
- 含义：置信区间表示了对总体参数估计的不确定性，它告诉我们有多大的置信度认为总体参数落在该区间内。
- 置信水平：是一个数值，代表置信区间的可信程度。
常见的置信水平有95和99，表示我们有95或99的信心认为总体参数落在该区间内。
2. 置信区间的计算方法- 样本均值的置信区间：当我们要估计总体均值时，可以使用样本均值的置信区间。
根据中心极限定理，样本均值的分布接近正态分布，从而可以使用正态分布的性质计算置信区间。
- 样本比例的置信区间：当我们要估计总体比例时，可以使用样本比例的置信区间。
根据二项分布的性质，可以通过估计样本比例的标准误差来计算置信区间。
- 其他参数的置信区间：对于其他的总体参数（如总体方差、总体差异等），也有相应的统计方法计算置信区间。
3. 置信区间的解释- 一个例子：假设我们想估计某个产品的平均寿命。
通过抽取一部分产品进行寿命测试，我们得到了样本的平均寿命及其标准差。
根据样本数据，我们可以计算出95的置信区间为[10, 15]。
这意味着我们有95的信心认为总体的平均寿命落在10到15之间。
- 置信区间的解读：置信区间并不是单个数值，而是一个范围。
置信区间越宽，表示估计的不确定性越高；置信区间越窄，表示估计的不确定性越低。
同时，置信水平越高，置信区间越宽；置信水平越低，置信区间越窄。
结论：置信区间是统计学中十分重要的概念，通过估计总体参数的范围和可信程度，使得我们能够更准确地进行决策和推断。
置信区间(详细定义及计算)
X
n
z 2 ]
它以1－α的概率包含总体 X的数学期望μ。
由定义可知，此区间即为μ的置信区间。
8
这就是说随机区间
2
2
[ X n z 2 , X n z 2 ]
z
z
2
2
它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。
由定义可知，此区间即为μ的置信区间。
其置信度为 1－α。
置信下限
本题中 (4.71, 5.69)，属于那些包含μ的区间的可信
程度为0.95. 或“该区间包含μ”这一事实的可信程度 为0.95.
注： μ的置信水平1－α的置信区间不唯一。
11
μ的置信区间是总体 X ~ N (, 2)的前提下提出的。 由中心极限定理知，当 n 充分大时，无论X服从什么 分布，都近似有
[1,2 ] 为常数区间。
3
定义7.7 设 是总体X的 一个未知参数，
若存在随机区间 [1,2 ], 对于给定的 0 1,
若满足 P{1 2} 1 则称区间 [1,是2 ] 的置信水平（置信度）为 1
的置信区间. 1 和2 分别称为置信下限和置信上限
我们称其为置信度为0.95的μ的置信区间。其含义是：
若反复抽样多次，每个样本值（n =16) 按公式
(x 1.96 , x 1.96) 即 (x 0.49) 确定一个区间。
4
4
10
(x 0.49, x 0.49) 确定一个区间。
在这么多的区间内包含μ的占0.95, 不包含μ的占0.05。
Z X EX ~ N (0,1) DX n
[ X n z 2 , X n z 2 ]
置信区间的意义
置信区间的意义引言：在统计学中，置信区间是一种对总体参数的区间估计方法，它用于描述样本统计量与总体参数之间的关系。
置信区间给出了关于未知总体参数真值的一个范围，该范围通常以一个置信水平来描述，指出了这个区间包含真实总体参数值的概率。
本文将探讨置信区间的意义，以及它在统计推断中的应用。
1. 置信区间的定义和计算方法置信区间是一个估计范围，用于推断总体参数的真值。
通常以(1-α)的置信水平来描述，其中α表示显著性水平。
在计算置信区间时，可以根据总体分布的已知信息和样本数据的统计量来进行估计。
常见的计算方法包括z分布、t分布和区间估计法。
2. 置信区间的意义置信区间的意义在于提供了参数估计的不确定性范围。
它告诉我们，如果反复进行抽样调查，那么有(1-α)的置信水平，真实的参数值将落在所给的置信区间内。
换句话说，置信区间提供了一个较为可靠的范围，用于推断真实总体参数的可能取值范围。
3. 置信区间的应用置信区间的应用非常广泛，几乎涵盖了统计学的各个领域。
下面将介绍置信区间在几个常用统计推断中的应用。
(1) 总体均值的置信区间估计：当我们想要估计总体均值时，可以通过计算样本均值和标准误差来构建置信区间。
这个置信区间可以帮助我们确定总体均值的估计范围，并评估样本数据的一致性。
(2) 总体比例的置信区间估计：在研究总体比例时，我们可以使用二项分布来推断总体比例的置信区间。
这个置信区间可以用于判断总体比例是否满足某个假设，对样本中比例的合理性进行评估。
(3) 总体方差的置信区间估计：当我们想要估计总体方差时，可以使用卡方分布来构建置信区间。
通过这个置信区间，我们可以了解总体方差的取值范围，并对样本数据的离散程度做出评估。
4. 置信区间的解释和应用注意事项在解释置信区间时，需要明确置信水平和置信区间的意义，并且不能将置信区间与预测区间混淆。
此外，还需要注意置信区间的使用前提和限制条件，避免过度解读。
总结：置信区间是统计学中一种常用的推断方法，它提供了对总体参数的估计范围。
置信区间(详细定义及计算)
若由总体X的样本 X1,X2,…Xn 确定的 两个统计量
1 1 ( X 1 , X 2 , , X n ),
2 2 ( X 1 , X 2 , , X n )
T X S
2
~ t (n 1)
由公式知μ的置信区间为 [ X S t ( n 1)] 2 n 查表 t 0.05 (39) t0.025 (39) 2.0227 则所求μ的置信区间为 即 [103 .45 , 106 .55]
2
n
若σ2＝25 μ的置信区间为
5 1.96] [X z 2 ] [105 40 n 20
[96.05 , 113.95]
用某仪器间接测量温度，重复测量5次得 1250 0 12650 1245 0 1260 0 12750 求温度真值的置信度为 0.99 的置信区间。
解
设μ为温度的真值，X表示测量值，通常是一个 正态随机变量 EX .
问题是在未知方差的条件下求μ的置信区间。 由公式 1 x 1250 [0 15 5 10 25] 1259 5 1 570 2 2 2 s [(1250 1259) (1275 1259) ] 5 1 4 2 s n 1 4 0.01 28.5 5.339 5 S [X t 2 ( n 1)] t ( 4 ) t ( 4 ) 4 . 6041 查表 0.01 0.005 n 则所求μ的置信区间为 [1259 24 .58 , 1259 24 .58]
2
n
置信区间的计算与解释
置信区间的计算与解释在统计学中，置信区间是用来估计总体参数的范围，通常以一定的置信水平表示。
置信区间的计算与解释在实际应用中非常重要，可以帮助我们更好地理解数据和做出正确的决策。
本文将介绍置信区间的计算方法，并解释如何正确理解和解释置信区间的含义。
一、置信区间的计算方法1. 样本均值的置信区间计算当我们想要估计总体均值的置信区间时，可以使用样本均值和标准误差来计算。
一般情况下，我们使用 t 分布来计算置信区间，计算公式如下：置信区间 = 样本均值± t * 标准误差其中，t 是自由度为 n-1 时对应于所选置信水平的 t 分布的临界值，标准误差的计算公式为标准差/ √n。
2. 样本比例的置信区间计算当我们想要估计总体比例的置信区间时，可以使用二项分布来计算。
计算公式如下：置信区间 = 样本比例± z * 标准误差其中，z 是对应于所选置信水平的标准正态分布的临界值，标准误差的计算公式为√(样本比例 * (1-样本比例) / n)。
二、置信区间的解释1. 置信水平的含义置信水平是指在重复抽样的过程中，置信区间包含总体参数的概率。
例如，95% 的置信水平表示在进行多次抽样时，有95% 的置信区间会包含总体参数。
2. 置信区间的解释当我们得到一个置信区间时，我们可以解释为：我们有95%（以95%置信水平为例）的把握认为总体参数落在这个区间内。
换句话说，如果我们进行多次抽样，大约有95% 的样本会包含总体参数。
3. 置信区间的宽度置信区间的宽度取决于样本大小和置信水平。
一般来说，置信水平越高，置信区间就越宽；样本大小越大，置信区间就越窄。
因此，在解释置信区间时，我们需要考虑到置信水平和置信区间的宽度。
4. 置信区间与假设检验的关系置信区间和假设检验是统计推断中常用的两种方法。
置信区间可以帮助我们估计总体参数的范围，而假设检验则用来判断总体参数是否符合我们的假设。
在实际应用中，我们通常会同时使用这两种方法来进行推断。
置信区间法
置信区间法置信区间是统计学中常用的一种方法，用于估计总体参数的范围。
通过样本数据的分析，可以估计总体参数的值，并计算出一个置信区间，该区间内有着一定的概率包含总体参数的真实值。
下面以置信区间的定义、计算公式及应用举例等方面进行介绍。
首先，置信区间是对总体参数的一种区间估计。
在统计学中，常常通过一个样本来对总体的特征进行估计。
但由于样本的随机性以及可能存在的误差，对于相同的样本，估计结果也会有所不同。
因此，为了增加估计的准确性，引入了置信区间的概念。
置信区间的计算通常基于样本平均值和标准差。
对于一个给定的置信水平（例如95%），置信区间的计算公式为：置信区间 = 样本均值 ±临界值 ×标准差/√(样本容量)其中，样本均值是样本数据的平均值，标准差是样本数据的标准差，临界值是根据置信水平和样本容量计算得到的。
临界值是根据标准正态分布表或t分布表查得。
在计算临界值时需要指定置信水平和自由度，自由度是样本容量减去1。
对于大样本容量（通常认为大于30），可以利用标准正态分布表来查找临界值。
对于小样本容量，根据自由度利用t分布表来查找临界值。
置信区间的应用十分广泛。
它可以用于估计总体均值、总体比例等参数。
例如，在一次市场调查中，通过从总体中随机抽取几个样本，并计算平均值和标准差，可以对总体的平均值进行估计。
通过计算置信区间，可以得出一定置信水平下总体平均值的范围，从而对市场调查结果进行解释和说明。
另外，置信区间还可以用于对比两个总体的平均值是否存在显著差异。
例如，在药物治疗实验中，可以通过将受试者随机分成两组，分别给予不同的药物进行治疗，然后比较两组治疗效果的平均差异。
通过计算置信区间，可以对比两组的平均值是否存在显著差异。
需要注意的是，置信区间并不反映总体参数的点估计值，而是给出了总体参数的一个范围估计。
置信区间并不能保证包含总体参数的真实值，它只是在一定置信水平下给出一个范围。
当置信水平较高时，置信区间的宽度会增加，这意味着有更大的可能性包含总体参数的真实值。
置信区间与置信水平
置信区间与置信水平在统计学中，置信区间是一种用于表示统计结果可信程度的测量。
它是一个范围，用来估计参数的真实值。
置信水平是描述这个范围的概率。
在本文中，将介绍置信区间与置信水平的概念、计算方法和应用。
1. 置信区间的概念置信区间是一种统计学中的概念，用于估计参数的真实值。
在给定的数据样本中，我们通常不能准确地得到总体参数的真实值，但通过利用样本统计量可以给出一个范围，这个范围就是置信区间。
置信区间的上下限是由样本统计量加减一个合适的范围得到的。
2. 置信水平的定义置信水平是用来表示置信区间的可信程度的概率。
通常以百分比形式来表示，常见的置信水平有90%、95%、99%等。
置信水平越高，表示我们对结果的可信度越高。
3. 置信区间的计算方法置信区间的计算方法取决于所使用的统计分布和参数类型。
下面将介绍两种常见的情况：a. 总体均值的置信区间当我们希望估计总体均值时，常用的方法是使用样本均值和标准差来计算置信区间。
假设样本均值为x，样本标准差为s，样本量为n，置信水平为1-α，那么置信区间的计算公式为：x ± Z * (s / √n)其中，Z是标准正态分布的分位数，可以在统计表中查找到对应的值。
b. 总体比例的置信区间当我们希望估计总体比例时，常用的方法是使用样本比例和标准误差来计算置信区间。
假设样本比例为p，样本量为n，置信水平为1-α，那么置信区间的计算公式为：p± Z * √((p * (1 - p)) / n)其中，Z是标准正态分布的分位数，可以在统计表中查找到对应的值。
4. 置信区间的应用置信区间广泛应用于统计学和数据分析的领域，常见的应用场景包括：a. 市场调研和民意调查：通过对样本数据的分析，可以估计总体的特征和趋势，并给出相应的置信区间。
b. 质量控制和生产管理：通过对样本数据的分析，可以估计总体的质量水平，并给出相应的置信区间。
c. 医学研究和药物试验：通过对样本数据的分析，可以估计治疗效果和副作用的发生率，并给出相应的置信区间。
置信区间计算与解读
置信区间计算与解读1. 引言置信区间是统计学中常用的一种方法，可以帮助我们对样本数据进行推断，并给出一定可信度下的估计范围。
在现实生活和科学研究中，我们经常需要对样本数据进行分析和解读，而置信区间可以为我们提供基于样本数据得出的总体参数的可信程度。
2. 置信区间的定义置信区间是指在一定置信水平下，用样本统计量估计总体参数，并给出一个范围，该范围内包含了总体参数的真值的概率。
通常情况下，我们使用95%的置信水平，这意味着我们有95%的把握认为总体参数位于所计算的置信区间内。
3. 置信区间的计算方法以样本均值的置信区间为例，其计算方法如下：首先，我们需要有一个符合正态分布的样本数据集。
接下来，根据样本数据集的均值和标准差，结合置信水平和样本容量大小，利用统计学公式可以计算出置信区间的上界和下界。
具体计算方法如下：其中，表示样本的平均值，表示样本标准差，表示样本容量大小，表示符合置信水平的Z值。
4. 置信区间解读在计算得出置信区间后，我们需要对结果进行解读。
首先要明确的是，置信区间并不确保总体参数位于这个范围内，而是给出了一个基于样本数据得到总体参数的估计范围。
如果一个置信区间在整个范围内都包含了我们感兴趣的总体参数，则说明这个置信区间比较准确地估计了总体参数。
反之，则表明这个置信区间不够准确。
此外，可以将置信区间与其他相关统计量进行比较。
如果两个置信区间不重叠，则说明这两个总体参数很可能具有显著差异。
如果两个置信区间有重叠部分，则需要进一步进行统计检验来确定是否存在显著差异。
5. 置信区间的应用举例下面通过两个实际应用场景来说明置信区间的计算和解读方法。
5.1 零售行业营业额预测假设某家零售店想预测下个季度的营业额，在过去一年内收集了100个随机抽取的样本数据。
根据这些数据，可以计算出营业额均值和标准差，并以95%的置信水平得到营业额的置信区间。
结果显示，95%的置信区间为150,000-180,000元。
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x 1250 1 [0 15 510 25] 1259
s2
1
5 [(1250 1259)2
(1275 1259)2 ]
570
5 1
4
s2 5
28.5 5.339
n 1 4
查表
t0.01 (4) t0.005(4) 4.6041
0.01
[X
S n
t
2
(n
1)]
则所求μ的置信2区间为
[13 1.96 0.3 , 13 1.96 0.3] 2
2
2
得到μ的一个区间估计为
. [12.706，13.294]
注：该区间不一定包含μ. 13
0.05 可以取标准正态分布上
α分位点－z0.04 和 z0.01 ,则又有
0.04
X
P{ z0.04 P{X
n
2 z0.01}
n
z0.01 X
16
已知某种油漆的干燥时间X（单位:小时）
服从正态分布
X ~ N ( ,1), 其中μ未知,现在抽取
25个样品做试验，
得数据后计算得
x
1 25
n k 1
xk
6
取 0.05 (1 0.95),
求μ的置信区间。
解 z z0.025 1.96 n 25 x 6
2
[x
n
z
2
]
[6
1 5
其含义是：
若反复抽样多次，每个样本值（n =16) 按公式
(x 1.96 , x 1.96 ) 即 ( x 0.49) 确定一个区间。
4
4
10
(x 0.49, x 0.49) 确定一个区间。
在这么多的区间内包含μ的占0.95,
不包含μ的占0.05。
本题中 (4.71, 5.69)，属于那些包含μ的区间的可信
解：已知 x 1 (115
0 7, n 9,
120 110 )
0.05. 115.
由样本值算得：
9
查正态分布表得临界值 Z 1.96，由此得置信区间：
[X
n
z 2 ,
X
n
2
z 2 ]
115 1.96 7 / 9 , 115 1.96 7 / 9 110.43 , 119.57
3
设 是总体X的 一个未知参数，
若存在随机区间
[1,2 ], 对于给定的 0 1,
若满足 P{1 2} 1
则称区间 是[1,2 ]
的置信水平（置信度）为
的置信区间.
和 分别称为置信下限和置信上限
1
2
1
（双侧置信区间）.
1 为置信度，
为显著水平.
4
置信水平的大小是根据实际需要选定的.
t
2
(n
1),
X
S n
t
2
(n
1)]
[X
S n
t
2
(n
1)]
19
为了调查某地旅游者的消费额为X，
随机访问了
40名旅游者。
得平均消费额为
x 105 元，样本方差
s 2 282 设 X ~ N (, 2 )求该地旅游者的平均消费额
μ的置信区间。
0.05
解 本题是在σ2未知的条件下求正态总体参数μ的
2
2
2
(n 1)} 1
P{
(n
2
1)S 2 (n 1)
2
(n 1)
2 1
(n
S2 1)
}
1
2
2
则得到σ2随机区间
(n 1)S 2 (n 1)S 2
[
,
]
2
(n
1)
2 1
(n
1)
2
以 1 的概率包含未知方差σ2，
这就2是σ2的置信度为
1－α的置信区间。
24
某自动车床加工零件，抽查16个测得长度（毫米）
第七章
置信区间的概念
一、置信区间的概念 二 、数学期望的置信区间 三 、方差的置信区间
1
前面，我们讨论了参数点估计.
它是用样本算得的
一个值去估计未知参数.
但是点估计值仅仅是未知参数
的一个近似值，
它没有反映出这个近似值的误差范围，
使用起来把握不大.
范围通常用区间的形式给出的。
这种形式的估计称为区间估计. 也就是说，我们希望确定一个区间，
数学期望 和方差 的区间估计2 。 5
设 X1, X 2 , , X n 为总体
X , S 2 分别是样本均值和样本方差。
X ~ N (, 2 ) 的样本，
对于任意给定的α，
我们的任务是通过样本寻找一
个区间， 它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。
6
1、已知σ2时，μ的置信区间
设
X ~ N(, 2)
12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.03 12.01
12.15 12.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.06
怎样估计该车床加工零件长度的方差。
( 0.05)
解 先求 x 12 1 [0.15 0.12 0.06] 12.075
X ~ N(, 2 )
EX DX 2
n
n
则随机变量
X
Z
~ N (0,1)
2
n
令
X
P{
2
z } 1
2
n
2
z
2
2
z
2
7
X
P{
2
z } 1
2
n
2
2
P{z 2
X 2
z 2} 1
z
z
n
2
2
P{
n
z
2
X
n
z
2}
1
P{X
n
z 2
X
n
z 2} 1
这就是说随机区间
[X
n
z 2 ,
(1 2 )
则称 [1,为2随] 机区间。
随机区间与常数区间
(a, b) 不同， 其长度与在数轴上
的位置与样本
X1, X 2 , , X n 有关。
当一旦获得样本值
x1 , x2 , xn 那么，
1( x1, x2 , xn ), 2 ( x1, x2 , xn ) 都是常数。
[1,2 ] 为常数区间。
16
σ2的估计值
s2 1 [(12.15 12.075)2 (12.06 12.075)2 ] 15
或
s2
1 n 1
n i 1
(xi
x)2
1
n
[
n 1 i1
xi 2
nx 2 ]
1 [152 122 16 7.52 ] 0.0024
10000 15
例如，通常可取显著水平
等. 0.025, 0.05, 0.1,
即取置信水平
1或0.95，00.9.等97. 5
根据一个实际样本，
由给定的置信水平，我们求出
一个尽可能小的区间
，使 [1,2 ]
P{1 2} 1
由于正态随机变量广泛存在，
特别是很多产品的
指标服从正态分布，
我们重点研究一个正态总体情形
1.96]
[6
0.392]
所求为 [5.608, 6.392].
17
已知幼儿身高
X ~ N (, 2 ), 现从5～6岁的幼儿
中随机地抽查了9人，其高度分别为：
115, 120, 131, 115, 109, 115, 115, 105, 110cm;
假设标准差 0 7，置信度为 95%；
试求总体均值 的置信区间。
[1259 24.58 , 1259 24.58] 21
为了估计一批钢索所能承受的平均张力（单位
kg/cm2), 随机选取了9个样本作试验，
由试验所得数据得
x 6720 s 2 282 设钢索所能承受的张力X，
X ~ N (, 2 ) 分别估计这批钢索所能承受的平均张力
的范围与所能承受的平均张力。
使我们能以比
较高的可靠程度相信它包含真参数值. 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，
称为置信概率，置信度或置信水平.
习惯上把置信水平记作 的正数，称为显著水平。
1
，这里 是一个很小
2
两个统计量
若由总体X的样本 X1,X2,…Xn 确定的
1 1( X1, X 2 , , X n ),
2 2 ( X1, X 2, , X n )
这里有两个要求:
1. 要求 很大的可能被包含在区间 内，
[ˆ1,ˆ2 ]
就是说，概率 P{ˆ1 ˆ2} 要尽可能大.
即要求估计尽量可靠.
2. 估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则.
ˆ2 ˆ1
可靠度与精度是一对矛盾，
一般是在保证可靠度的
条件下尽可能提高精度.
12
设总体X ~ N(μ,0.09)， 有一组样本值： 12.6，13.4，12.8，13.2， 求参数μ的置信度为0.95的置信区间.
解 μ的置信区间为
[X
z
2
0
n
,
X
z
2
0 ]
n
有 1－α= 0.95，σ0= 0.3，n = 4,
代入样本值算得
, x 13 z z0.025 1.96
2
~
2 (n 1)
2
2