三角函数的最值求法

三角函数的最值求法

掌握三角函数的单调性和有界性，能够利用三角函数的单调性及有界性来求得一些三角函数的最大值和最小值，是近年高考的热点内容之一.三角函数的最值问题，其本质上是对含有三角函数的复合函数求最值，因此，求函数最值得方法都能适用.当然还其他特殊的方法.三角函数的最值都是在限定区间上取得的，因而要特别注意题设中所给的区间.求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件、弦函数的有界性及变换的等价性.选择适当的方法是解题的关键.下面就例谈几种解决三角函数最值的方法.

题型一：用换元法求函数的最值

例1:若，求函数的最小值.

思路:注意到函数的特征，若用万能公式，能将它化为关于的有理函数,从而不难用判别式方法求解.

解析：令=t，，，则，

当t=-1时，y=0;当y 0时，由于t为实数，

从而有或.

由于，

故函数的最小值为.

点评：展开函数式，得到一个含有、的对称式，运用变换“ ”同样可解得上一题.

题型二：用均值不等式法求函数的最值

例2：已知，且，求的最大值.

思路：在三角函数关系的条件下，要求得角的最值，一般应设法转化为求该角的某一三角函数的最值.依题意，本题可以优先求y的正切的最值.

解析：，

且，

当且仅当，即时，，

又函数在上单调递增，.

点评：选函数来求的角的最值时，必须注意选定函数的单调性，若选定的函数与角的最值取得时刻相同时，解题较为方便.

题型三：利用三角函数的有界性来求函数的最值

例3：求函数的最小值，并求出取得最小值时x的值.

思路：先化简函数，再由正、余弦函数的有界性来思考，同时应注意角度的限定范围.

解析：由降幂公式和倍角公式，得

=

= .

的最小值是，此时.

点评：形如（a、b、c、d为常数）的式子，都能仿照上例变形为形如的式子，从而有关问题可在变形式的基础上求解.另外，求最值时不能忽视对定义域的思考.

例4：已知圆的半径为R，其内接三角形ABC有成立，求的面积S的最大值.

解析：由已知式可得

，.

=

=

当时，

点评：利用三角函数的性质来求三角函数的最值问题，是最常见的基本方法.因此，在解题时要认真解题，看该题结构特点是否能化为一个三角函数式，若能，要充分利用所有三角函数公式化为一个三角函数式，从而利用三角函数性

质，求出最值.望大家在解题时注意.

题型四:转化为二次函数求函数的最值

例5:是否存在实数，使得函数在闭区间上的最大值是1？若存在，求出对应的a值，若不存在，试说明理由.

解析：

=

当时，

若，即，则当时，

（舍去）

若即，则当时，

即或（舍去）,

若，即，则当时，

（舍去）

综上所述，存在符合题设.

点评：求包含参数的三角函数最值时，应根据三角函数或本身的取值范围来进行分类讨论.

题型五：轮换对偶求函数的最值

例6：已知、、为锐角，且，求函数的最小值.

解析：由

= ，

令，

结合，得

+ - 得，所以

当且仅当时，等号成立.

故.

题型六：利用判别式法求函数的最值

例7：求函数的最值.

解析：原式化为

即

当时，

得到

当时，代入原方程

综上.

点评：求分式形式的含正、余切三角函数的最值时，应考虑到用判别式法来求得.

题型七：利用斜率求函数的最值

例8：求函数的最值.

解析：设平面上两点的坐标为，，

则AB的斜率为.

又A为定点，B在单位圆上，故直线AB：是圆的切线时得k值为函数y的最值，

此时

点评：求分式形式含正、余弦的三角函数的最值时，应考虑巧用斜率来求得.

求三角函数最值的方法有：配方法、化为一个角的三角函数、换元法、基本不等式法等.三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而要加更注意题设中

所给出的区间.求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，须注意函数有意义的条件和弦函数的有界性.在求包含参数函数的最值时，解题要注意参数的作用和影响.