主动悬架LQG最优控制设计

主动悬架LQG最优控制设计吕福麟113085234379摘要：根据汽车行驶性能的要求，建立二自由度的1/4汽车动力学模型，利用最优控制理论对主动悬架的LQG（Linear Quadratic Gaussian）控制器进行设计，运用MATLAB/simulink对模型仿真，对比主动悬架与被动悬架在控制效果上的差别。

仿真结果表明，具有LQG控制器的主动悬架可以明显的提高汽车行驶的操稳性能。

关键词：主动悬架；LQG控制器；MATLAB/simulink；仿真结果ABSTRACT：According to the requirement of the vehicle driving performance,a 2-degree-of-freedoms 1/4 car dynamic model was build.LQG(Linear Quadratic Gaussian) controller for active suspension was designed with the optimal control law,MATLAB/simulink was used to simulation the model,compared the difference of control performance with active suspension and passive suspension.The result of simulation show that it could improve the car driving handling and stability with LQG controller.Key Words:active suspension,LQG controller,MATLAB/simulink,simulation result1前言传统的悬架主要由弹性元件、减震器和导向装置组成，他们的阻尼和刚度已经确定就不便于调节，而且只能在特定的路面激励和特定的车速下才能达到最优控制，灵活性较差。

不能满足人们对驾驶舒适性和操纵稳定性的要求。

为了解决这个问题，主动悬架控制渐渐得到发展，他与被动悬架的主要区别在于可以根据不同路面激励和行驶状况，自行调节车辆的动态，从而满足人们对行驶的要求。

本问就是在此基础之上研究主动悬架的最优控制。

2 2自由度1/4车辆模型的建立图1单轮车辆模型图中m b 为车身质量；m w 为车轮质量；x b 为车身位移；x w 为车轮位移；x g 为路面输入；K s 为悬架刚度；K t 为轮胎刚度；U 为主控制力。

对于图1建立1/4车辆运动微分方程：U x x K x m w b s b b +--=∙∙)(U x x K x x K x m w g t w b s w w --+-=∙∙)()(2.1路面模型的建立在分析主动悬架控制过程时，路面输入是一个不可忽略的重要因素，本文利用白噪声信号为路面输入激励，)(2)(2)(000t w U G t x f t x g g ππ+-=∙其中，0f 为下截止频率，Hz ；G 0为路面不平度系数，m 3/cycle ；U 0为前进车速，m/sec ；w 为均值为零的随机输入单位白噪声。

上式表明，路面位移可以表示为一随机滤波白噪声信号。

这种表示方式来源于试验所测得的路面不平度功率谱密度（PSD ）曲线的形状。

我们可以将路面输入以状态方程的形式加到模型中：⎪⎩⎪⎨⎧=+=∙XC Y WF X A X road road road road road 1,2,2,000==-==road road road g road C UG B f A x X ππ；考虑路面为普通路面，路面不平系数G 0=5e-6m 3/cycle ；车速U 0=20m/s ；建模中，路面随机白噪声可以用随机数产生（Random Number ）或者有限带宽白噪声（Band-Limited White Noise ）来生成。

本文选择有限带宽白噪声为路面输入激励，运用MATLAB/simulink 建立仿真模型如下：图2 路面模型仿真构造出的随机路面轮廓如下图所示：图3 路面输入仿真结果2.2 LQG 控制器的设计在汽车悬架设计中，选取的状态变量为：T w b w b x x x x X ],,,[∙∙=则可以根据车辆动力学方程将这些变量写成状态方程空间矩阵的形式：FW AX X +=∙其中A 为状态矩阵；F 为输入矩阵，其值如下：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=0010010000w s t w s bs b sm K K m K m K m K A⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000w t m K F主要的性能指标有：车身垂直加速度∙∙b x ；轮胎动变形)(g w x x -；悬架动行程)(w b x x -；即：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--∙∙w b g w b x x SWS x x DTD x BA ::: 将这三个性能指标写成矩阵形式：T w b g w b x x x x x Y )](),(,[--=∙∙输出矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1100100000b s b s M k M k C 转移矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=010D由此建立1/4车辆被动悬架动力学模型：图4 1/4车辆被动悬架动力学模型2.3性能指标的确定LQG 控制设计中的目标性能指数J 即车身加速度、悬架动行程和位移的加权平方和的积分值，表示如下：dt x q x x q x x q TJ T b w b g w T ⎰∙∙∞→+-+-=0232221])()([1lim为了据此求解状态反馈增益，必须用状态变量以及输入变量来表示上式：dt NU X RU U QX X TJ T TT T T ⎰++=∞→0]21lim其中 Q ：对应于状态变量的权重矩阵；R ：约束输入信号大小的权重矩阵； N ：耦合项。

对于q 1，q 2，q 3表达的性能函数，可以整理为：dt x q x x q x x q TJ T b w b g w T ⎰∙∙∞→+-+-=0232221])()([1limdt x x x x x Q x x x x x Tw b g w b T w b gw b T ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=∙∙∙∙∞→⎰00][1lim其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=213000000q q q Q由于DU CX Y +=所以Q D U U D Q C X U D Q D U X C Q C X DU CX Q DU CX Y Q Y T T N TT R T T Q T T T T 000000)()(+++=++=式中q 1，q 2，q 3分别为轮胎位移，悬架动行程，车身垂直加速度的加权系数。

因此可以求出Q 、R 、N ：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++----+==11122212222222220000000000000000q q q m K q q m K q m K q m K q C Q C Q bSbSbSbST； b Tm D Q D R 10==；⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=0000s s T K K D Q C N ； 利用MATLAB 函数LQR 来计算状态反馈K ：),,,,(][N R Q B A lqr E SK=其中，K 为最优状态反馈矩阵；S 为Riccati 方程解；E 为系统特征值。

因此可以得到主动控制力U=-KX 。

)(54321g w b w b x k x k x k x k x k U ++++-=∙∙加权系数的选取决定悬架的性能，如果车身垂直加速度加权系数较大，则可以提高乘坐的舒适性；若轮胎动位移的加权系数较大，则车辆的操纵稳定性较好。

3 仿真分析根据ISO 标准，设定汽车动力学参数为：车身重量kg m b 320=；轮胎重量kg m w 40=；悬架弹簧刚度m N K s /1024⨯=；轮胎等效刚度s t K K 10=；悬架等效阻尼m Ns C s /1000=；路面不平度系数cycle m e G /6530-=；前进速度h km U /200=；下截止频率1.00=f ；所选加权系数05.0,1000,100321===q q q 。

求的得反馈增益矩阵]8502.25846.05255.20641.04946.0[--=K 。

用simulink 建立的主被动悬架的模型如下：图5 1/4车辆主被动悬架动力学模型仿真结果下图所示：图6 车身加速度对比图7 轮胎动行程对比图8 悬架行程对比图9 主动悬架与被动悬架的幅频对比4总结本文首先建立了二自由度1／4车体模型。

并运用线性二次最优化理论设计了车辆主动悬架的LQG控制器。

借助MATLAB／Simulink软件进行仿真分析。

分析结果表明，所设计的最优主动悬架显著地降低了车身的垂向振动加速度。

与被动悬架相比，采用LQG控制器的悬架动行程和车轮动位移也都得到了良好的改善。

所以基于线性二次最优控制理论进行的主动悬架LQG控制器的设计是行之有效的。