第6章热传导

t x
h(t
t
f
)
x=L
τ>0
解的一般形式 t f (x, ,ti ,tf , h, , a, L)
(c) (d)
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定义量纲为1的参数：
t tf ti tf
u x L
T
a
L2
Fo
2t x2
1 a
t
量纲为1的 微分方程
2 Fo u 2
0<u<1
Fo >0
量纲为1的定解条件 1 0<u<1 Fo =0
类边界条件
♠第三类边界条件——给定物体周围的流体温度tf以及物体表面与流体间对
流换热的表面传热系数h（或给定环境温度tf及物体表 面与环境间 的总表面传热系数h）。
tf =0——齐次的第三类边界条件。
♠当h=0时，第三类边界条件转变为第二类边界条件；
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h →∞，则变为第一类边界条件。
五、量纲为1的参数
对边界条件作简化处理，用经验方法确定环境对物体 边界的热作用，然后独立求解物体内的导热问题。
♠第一类边界条件——直接给出边界面上的温度分布及其随时间的变化规律；
tw =0——齐次的第一类边界条件。
♠第二类边界条件——直接给定热流密度qw在边界上的分布及其随时间的变化
规律；
qw =0时——物体与外界无热量交换，称为齐次的第二
二、导热系数
❖ 表征材料导热能力的物理量，W/(m·K)； 与材料的种类及其所处的状态有关； 现代热物性理论提供的导热过程微观机理的理论尚不完 善，不能用于精确预测材料的导热系数值，材料的导热
系数仍然由专门实验测定。
❖一般而言，纯金属的导热系数最大（纯金属中，又以银的 导热系数最大），气体的导热系数最小。
初始条件、边界条件等
提出具体问题：对象与
外界的作用情况及时间特性等。
当地（局部）热力学平衡的假设。 3
§6-1 导热方程
一、傅里叶定律
1、温度场
同一时刻某一物理量在空间的分布称为该物理量 的场，温度在空间的分布称为温度场。
温度场不随时间而变，称为稳态温度场— t =f（r） 反之，称为非稳态温度场—t =f（r,τ）
精确分析解：
可以用来检验数值解结果的准确程度；
新的数值方法：边界元法及有限分析法等的基础
但分析解法仅适用于求解平板、矩形柱体、圆柱、圆管及 球体等几何形状简单的物体中的线性导热问题，对几何 形状复杂或非线性的导热问题，只能采用近似分析解法。
分析解法的种类
直接积分法、
分离变量法、
拉普拉斯变换法、
热源法等
2、温度梯度
泛指的空间坐标
等温面——同一时刻物体中由温度相同的点构成的面
温度梯度——沿等温面的法线方向的温度变化率。
grad t，等温面的外法线方向为温度梯度的正方向。4
t t t
grad t =x i + y j +z k
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单位向量
三、傅里叶定律
在各向同性的介质中，傅里叶定律的向量表达式
q =－λgrad t＝－λ▽t ＝－λ
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【例6-1】设大平板材料的物性为常数，平板厚度为L。试
导出大平板无内热源时的一维非稳态量纲为1的导热微分
方程。
解：物性为常数，无内热源大平板的导热微分方程：
2t 1 t
0<x<L
(a)
x 2 a
定解条件：
初始条件为 t=ti 边界条件为
0<x<L τ = 0 (b)
t 0 x
x=0 τ > 0
第六章 热传导
1
传热方式：导热、对流换热和辐射传热三种。
传热机理： 热传导——由组成物体的各种微观粒子的热运动 引起的传热； 热辐射——由物体内微观粒子的热运动而向周围 介质发射的电磁波引起的传热。
导热和对流换热——在现象上有很大的差异， ——在研究的方法上有相通的地方：
..\附加材料\附加材料10-导热和对流.ppt
时间足够长后，温度场仅随边界条件或内热源的变化而变。
这种只依赖于边界条件或内热源的非稳态温度场，称为准
稳态温度场。
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❖边界条件 ——物体与外部环境之间的换热条件称为边界条件。
物体内的导热过程和该物体与环境间的换热过程是互 相影响的——物体内的导热过程和物体与环境间的 换热组成一个耦合问题。除极少数情况外，用分析法 求解耦合问题是不可能的。
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❖气体的导热系数经验公式：
0
T
n
273
0℃时的导热系数W/(m·K)
气体 He H2 D2 Ar
n 0.730 0.690 0.720 0.693
气体 O2
空气
CO2 SO2
n 0.760 0.759 1.04 1.02
气体 N2 CH4 C2H6 C3H8
n 0.759 1.256 1.423 1.450
非线性问题——方程或边界条件是非线性的， 或两者都是非线性的
求解导热问题的方法
分析解法
近似分析解法
数值解法 模拟法（比拟法）
图解法
┅
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一、分析解法
分析法以数学分析为基础求解导热问题，所得的解为解析 函数形式，称为分析解、理论解、严格解。它给出了求解区域 内的温度分布，并在所有内点上精确地满足导热微分方程，又 满足定解条件，故又称精确分析解。
t ·n
n
热流密度（热通量）， W/m2
导热系数（导热率）
nabla算子
法线方向的单位矢量
单位时间内通过单位等温面面积的热量， 并以等温面的外法线方向为正方向
傅里叶定律表明：在各向同性介质中，热流密度的大 小与温度梯度成正比，其方向与温度梯度反向，即热 流密度向量垂直于等温面，且沿着温度降低的方向。
1、固体导热机理
固体内部导热的载体分为三种：
电子、 声子、 光子。
声子就是晶格波的能量子。晶体的导热机理是排列整齐的 晶粒的热振动。这种振动是多自由度的，以弹性波的形式 传递，通常用声子的概念来描述这一过程。声子传递热能
的过程类似于光子传递光能的过程。
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固体
金属 ——存在着大量的自由电子，其导热系数 比非金属大得多。
线性非齐次问题，可以通过适当变换，由几个解叠加而得。
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2.拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换法积分变换法的一种。
非稳态导热偏微分方程去掉温拉度普对拉时斯间变的换偏导数 象函数的稳态问题 边界条件
拉普拉斯变换
求解象函数方程 象函数的解 象函数进行拉普拉斯反变换 非稳态温 度场的解
用拉普拉斯变换法求解导热问题时，需对边界条件进行变换，
又要对象函数进行反变换，当这些变换不能利用现成的拉普拉斯
变换表时，就要进行较复杂的积分运算，求解十分困难。
除了拉普拉斯变换外，还有一种积分变换，可以去除温度对空
间变量的偏导数，仅留时间变量，而使导热偏微分方程变成常微
分方程。这种方法可用于线性齐次与非齐次导热问题。
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1.分离变量法
引进n-1个分离常数 导热偏微分方程（包含有n个自变量）
n个 常微分方程 求解
分离解 n个
线性叠加原理
┅ ┅
常微分方程
分离解
确定叠加过程中引入的未知系数 原导热问题的完全解
问题的最终解
分离变量法是求解导热问题的一种经典方法始于18世纪中叶， 适合求解线性的齐次导热问题，得到的是傅里叶级数形式的解。
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三、导热方程
傅里叶定律揭示了连续的温度场中每一点的温度梯度与该点 的热流密度之间的关系。导热方程则进一步指出在连续的温度 场中每一点的温度与相邻点的温度以及时间之间的关系。
直角坐标系中的导热微分方程
材料的比热容，J/(kg·℃)
(ct
非稳态项
)
(t
扩散项
)
qV
热源项
物体体积发热率，J/(m3·s)
内部的导热能力比边界面与流体间的对流换热能力强。
❖傅里叶数（Fo）
温差为1℃时平板的导热量
Fo a
L2
A为平板 Fo a A / L
的面积
L2 cLA /
单位时间内温度变化1℃ 平板存贮热量的变化量
傅里叶数是给定体积内导热速率与热能存贮速率之比的量度。傅里叶数愈 大，则物体的导热速率大而蓄热率小，热量转播快，边界上的热扰动能愈深 入地转播到物体的内部。
♠水是导热系数最高的非金属液体， 0.55~ 0.675W/(m·K)，约是空气导热系数25倍； 压力对水的导热系数几乎没有影响，特别 高的压力下，导热系数随压力增加而上升； 当冰融解为液态水时，导热系数从2.2 W/(m·K)下 降为0.568W/(m·K)。
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三、气体导热机理 ❖各种气体导热系数的通常范围：0.0052~0.6 W/(m·K)
❖时间条件 ——导热过程的时间特点。
一种重要的非稳态导热形式是瞬态导热：研究物体外界作 用条件及内热源不随时间而变，但在过程起始时刻，物体 内的温度场与外界作用下的稳定温度场有差异，从而随着 时间的推移，物体内的温度场趋向稳态温度场的导热过程。
在过程开始时刻物体内的温度分布称为初始条件。对于有
限大的物体而言，初始条件的影响只在一定时间内起作用，
温度对纯金属的导热系数较复杂；
金属中含有杂质或其它元素，导热 系数将大为下降。
非金属 —— 声子起着较大的作用。 晶体 非金属晶体导热系数 非晶体 比非晶体大得多
耐火材料可以认为是晶体和非晶体 材料的混合物，导热系数取决于各 组分的导热系数及各组分的容积百 分比。
铜的导热系数随温度的变化
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2、液体导热机理
❖毕渥数（Bi）
导热热阻
Bi hL
Bi hL L / 1/ h
对流热阻
毕渥数是一个表征物体内、外热阻相对大小的量纲为1的参数，是导热热阻
与对流热阻之比，说明了物体的导热能力与物体表面和周围流体之间对流换
热能力的相对大小。Bi 数大，说明外部热阻小，流体将热量传给物体表面 （或自物体表面传给流体）的能力大；Bi数小，说明物体内部热阻小，物体
度在物体内传播。因此，有必要对傅里叶定律作适当的
修正 通常a比c2小10个量级
热传播速度
导温系数
（热扩散率） a q q gradt
c
a /(c) c2
a /0
松弛时间
m2/s
表征材料在非稳态导热过程中扩散热量能力的物性参数，非稳态导热过程中因 物体本身内部贮能变化，决定物体中温度分布的是热扩散率，不是导热系数6。
5
傅里叶定律的修正：
根据傅里叶定律，由于热扰动使物体中某处温度发生变
化时，整个物体内的温度分布（温度场）及热流密度立
刻发生变化，即使离开扰动源无限远的地方，也会马上
感受到扰动的影响，即热扰动以无限大的速度传播。显
然，这一结论有悖与常识，热扰动也必定以一有限的速
度传播。统计热力学理论也指出热扰动只能以有限的速
2
自然界的基本定律 （能量守恒、质量守恒等）
+
现象的特征（物理规律）
微分或积分方程
所研究的特殊问题的解
数学物理方程
定解问题的解与许多
反映同一类现象的共同规律
单值性条件的参数有
泛定方程 给出解决问
关，引进量纲为1的 参数，减少变量的数
定解问题 单值性条件：题的依据
目，使求解过程简化。
几何条件、物理条件、
非金属液体导热机理类似于介电体的导热机理； 液态金属导热基于非金属液体的导热机理及自由电子运动。
通常： ♠液态金属导热系数（小于固态金属）远大于非金属液体； ♠大多数液态纯金属的导热系数随温度升高而下降，但是水 银、镉和几种共晶合金的导热系数随温度升高而升高； ♠除了水及某些水溶液和甘油外，大多数液体的导热系数 随温度增加而下降；
坐标系无关，但不同的坐标系，其导热微分方程及边界 条件的表达方式也就不同。而物体的几何形状对坐标系 的选择起决定性的作用。
❖物理条件 ——材料的热物性及有无内热源。材料的热物性可分为常物
性及变物性两类：
变物性给温度场的求解带来很大困难，因为求解温度场时 需要物性资料，而物性又取决于温度，这是温度场和物性 场藕合的求解问题，变物性的问题，一般用数值法求解。
密度，kg/m3
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(ct)
(t)
qV
物性取常数
1 t 2t qV
a
稳态问题
热源项为零
泊桑方程 2t qV 0
1 t 2t 傅里叶导热微分方程
a
抛物线型偏微分方程
无内热源
2t 0 拉普拉斯方程
典型的椭圆型偏微分方程
幻灯片 30 幻灯片 41
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四、单值性条件
❖几何条件 ——确定所研究问题的空间区域。物体内的温度场与所选的
(e) (f)
0 u=0 Fo >0
(g)
u
Bi 0 u=1 Fo >0
(h)
u
该量纲为1的定解问题的温度场的解为
(u, Fo, Bi)
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§6-2 导热问题的求解方法
齐次问题——方程及边界条件都是齐次的
导热问题
非齐次问题——方程和边界条件都是或其中之一 是非齐次的
线性问题——方程及边界条件都是线性
❖理想气体的导热系数计算
按麦克斯韦公布计算的气体分子的平均速度，m/s
1 3
CV'
wlg
平均自由程，m
体积定容热容，J/(m3·℃)
气体中以相对分子质量最小的氢气的导热系数最高，氦气
次之（在一定温度下与气体 w 与相对分子质量成反比）；
同一种气体，温度升高，导热系数增大；
压力对理想气体λ的影响很小，只有在很高或很低的压力 下才能观察到压力的影响 。