数学教师的“三项基本功”

（2）如何帮助学生由实例抽象出相 应的数学概念？
• 这方面的关键之一：去情境； • 更为深入的分析:数学抽象的建构性质；
• 相关的理论：“变式理论”（“概念 变式”）。
• 核心思想：如何通过适当的变化帮助 学生掌握相关概念的本质。
[例1] 正方形的认识
• 教师：“什么是正方形？” • 学生：“方方正正就是正方形。” • 教师：“什么是方方正正？” • 学生：“就是四边相等。” • 教师在黑板上画出菱形，问：“这个图形
数学教师的“三项基本功”
引入：一个长期的思考
• 数学教师是否应当具有自己特殊的 基本功？
• 数学教师的三项基本功： （1）善于举例； （2）善于提问； （3）善于比较与优化。
一个普遍性的建议
面对任一新的主张或时髦潮流，我们 都应冷静地思考： • 什么是这一主张或口号的主要内涵？ • 这一主张或口号能为我们提供什么新 的启示和教益，特别是，具有怎样的 现实意义？ • 什么是其固有的局限性或可能的消极 后果？
抽象出相应的数学概念？
学习心理学研究的相关结论
• “概念定义”与“概念意象”的必 要区分。
• 概念意象的多元性：它“由所有的 相关实例、反例、事实和关系组 成。”（维纳与赫什科威兹，1980）
（1）什么是“适当的例子”？
• 标准之一：相对于学生的可接受性； • 标准之二：典型性，也即能为相应
的数学抽象提供必要的基础。 • 这方面的一个基本事实：举例并非
（2）对分割方法也可作出一定变化，如就长 方形纸片的分割而言，可以横着折，也可 以竖着折，还可钭着折；另外，除去各个 “正例”以外，我们显然也应引入一定的 “反例”，如按照中位线分割的梯形等
（3）作为进一步的抽象，我们显然又应 由1/2逐步扩展到1/3，1/4，……乃至 2/3，3/4，……。从而，如果仍然集中 于“将一个蛋糕平均分成两份，每份 是它的1/2”这一论述，我们就可以说， 除去分割的对象与方法以外，我们也 应对“平均分成两份”中的“两份” 以及所说的“每份”作出适当变化。
是否是正方形？” • 学生：“不是，因为它不正。”
• 教师又在黑板上画一个矩形，问：“这是 否正方形？”
• 学生：“不是！因为这个图形不方。”
• ……这样诸多回答，教师将学生回答得正 确的结论都写在黑板上，回答不正确的不 写，最后加以补充总结，抽象出正方形的 定义。写在黑板上。
“概念变式”的主要内容：
（1）“标准变式”与“非标准变 式”： 我们在教学中不应局限于平时经常 用到的一些实例，而应有意识地引 入一些“非标准变式”，从而就可 防止学生将相关实例的一些非本质 特性误认为概念的本质特性。
（2）“概念变式”与 “非概念变 式”：
“非概念变式”大致地就相当于 “反例”，这也就是指，除去“正 例”以外，我们在教学中还应给出 若干“反例”，这样，通过两者的 对照就可帮助学生更好地掌握概念 的本质。
• 传统的研究：主要集中于如何能够 通过适当的举例帮助学生较好掌握 概念的本质（单一表征）。
• 新的认识：更加强调概念内在表征 （概念意象）的多元性，以及各方 面的必要互补与思维的灵活性
回顾：心理学研究的相关结论
• “概念定义”与“概念意象”的必 要区分。
• 概念意象的多元性：它“由所有的 相关实例、反例、事实和关系组 成。”（维纳与赫什科威兹，1980）
（4）这事实上也可被看成“非标准变式”的 一个实例，即分配的对象也可以是2个蛋糕、 3个蛋糕，而未必一定要是1个蛋糕——容 易看出，这一变化事实上也就意味着我们 已经将分析的着眼点由“（平均）分配” 这一实际活动转移到了部分与整体之间的 关系，后者并就意味着对于分数本质更为 深入的认识。
新的重要发展：由“变式理论”到 “多元表征理论”
学”（mathematics：the science of patterns） • 数学所反映的并不是某一特定事物 或现象的量性特征，而是一类事物 或现象在量的方面的共同性质。
进一步的分析
• 数学基本特性：抽象性。 • “善于举例”的两个具体涵义： （1）如何能为抽象的数学概念举出
适当的实例？ （2）如何能够帮助学生由具体实例
[例2] “认识分数”
• 引入：“分蛋糕”。教师并通过简 短讨论引出了这样一个结论：“将 一个蛋糕平均分成两份，每份是它 的1/2。
• 问题：如何以“变式理论”（概念 变式）为指导去设计教学从而帮助 学生较好掌握分数的本质？
（1） 分割的对象显然未必一定要是蛋糕， 而也可以是纸片或别的什么东西；另外， 对于所分割对象的外形也不应作任何限制： 它们既可以是圆形，也可以是方形或任何 其它形状。
• 教师接着提问道：（1） 现在口袋里的豆子与一 开始相比是变多了还是变少了？（2） 少了多 少？ ……
相关的分析
• 豆子、口袋以及相关的动作对于学生来说 显然都是十分熟悉的。
• 一个好的“认知基础”应当具有这样的性 质：它能“自动地”指明相关概念的基本 性质或相关的运算法则。这也就是指，借 助于所说的实例学生可以顺利地作出相应 的发现。例如，学生在此显然就可借助所 说实例顺利地实行 4 - 10、5 – 8等运算， 而无须依赖于对相应法则的机械记忆。
一件易事。
[例] “范例教学法”（R. Davis)
• 为了帮助学生掌握负数的概念，特别是有理数的 运算（如4 - 10 = ?），教师采用了一个装有豆 子的口袋，再在桌上摆上一些豆子。
• 教师先在口袋中装入4 棵豆子，同时在黑板上记 下“4”这样一个数字；然后，教师从口袋中拿出 10棵豆子，这时黑板上就出现了“4 - 10”这样 一个计算式。
一些相关的提法
• 布鲁纳（1964）的三种意象形式： 动作的、图像的，和符号的；
相应的基本认识
• “三项基本功”集中反映了数学与 数学教学（教育）的特殊性。
• “三项基本功”不应被理解成单纯 的百度文库能；恰恰相反，就只有联系深 层次的教学思想和教育思想进行分 析思考我们才能真正理解它们的内 涵和意义。
一、“善于举例”与数学教学
• 从“什么是数学”谈起？ • 一个基本论点：“数学：模式的科