初中数学八年级下因式分解

初中数学八年级下因式分解

第四章 因式分解

一、因式分解的意义：

因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式

注意：①结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n 个整式的积与某项的和差形式；

②因式分解与整式的乘法在运算过程上是完全相反的。

例01．下列四个从左到右的变形，是因式分解的是（ ）

A

．

1

)1)(1(2-=-+x x x

B ．))(())((m n a b n m b a --=--

C ．)1)(1(1--=+--b a b a ab

D ．)32(322

m

m m m m

-

-=--

例02．在下面多项式中，能通过因式分解变形为)2)(13(y x x +--的是（ ） A ．y

x xy x

2632

--+ B ．y

x xy x

2632

-+- C ．xy

x

y x 6322

+++ D ．xy

x

y x 6322

--+

二、因式分解的方法

类型一、提公因式法

提公因式时应注意：

⑴如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正； ⑵公因式的系数和字母应分别考虑： ①系数是各项系数的最大公约数； ②字母是各项共有的字母，并且各字母的指数取次数最低的。

例01．在下面因式分解中，正确的是（ ） A ．)

5(52

2x x

y y xy y x +=-+

B ．2

)()()()(c b a c a b c b a c b c b a a ---=+-++-+-- C ．)1)(2()2()2(2

--=-+-x a x a x a x D ．)

12(2422232

--=--b b ab ab ab ab

例02．把

y

x y x y x 3234268-+-分解因式的结果

为 。 例03．分解因式：3

23

)(24)(18)

(6x y x y y x ---+--.

说明：⑴观察题目结构特征 ⑵对于)(y x -与

)

(x y -的符号有下面的关系：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧--=--=---=- 332

2)()(,)()(),

(x y y x x y y x x y y x

例04．解方程：0)2313)(21(6)1823)(612(=-++-+x x x x 例05．不解方程组⎩⎨

⎧=+=-,

134,32n m n m 求：3

2

)2(2)

2(5m n n m n ---的

值.

类型二、公式法

1、利用平方差公式因式分解：()()

b a b a b a

-+=-22

注意：①条件：两个二次幂的差的形式；

②平方差公式中的a 、b 可以表示一个

数、一个单项式或一个多项式；

③在用公式前，应将要分解的多项式

表示成2

2

b a

-的形式，并弄清a 、b 分别表示什么。

例如：分解因式： （1）2

91x -； （2）2

2

1694b a -； （3）

2

2)(4)(n m n m --+

2、利用完全平方公式因式分解：()

2

22

2b a b ab a ±=+±

注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项

式；

②其首尾两项是两个符号相同的平方形

式；

③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积

2倍的相反数）；

④使用前应根据题目结构特点，按“先两

头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成

2

22)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量。

2、利用立方和立方差公式因式分解：

))((2

2

3

3

b ab a b a b a +±=±

典型例题：

例1 用平方差公式分解因式： （1）2

2

)(9y x x

-+-； （2）2

2

33

1n m

-

说明：因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数。 例2 分解因式：

（1）ab b a -5

； （2）)()(4

4n m b n m a +-+.

说明：将公式法与提公因式法有机结合起来，先提公因式，再运用公式.

例 3 判断下列各式能否用完全平方公式分解因式，为什么？ （1）9

62

+-a a ； （2）9

82

+-x x

； （3）9

1242

--x x

；

（4）2

2

3612y x

xy ++-.

说明：可否用公式，就要看所给多项式是否具备公式的特点.

例4 把下列各式分解因式：

⑴ 4

42

-+-x x

； ⑵ 2

2

94942y x

xy -- ⑶

mn

n m 4422+--

说明：使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号时，先提出负号.

例5 分解因式： ⑴ 2

2

363ay axy ax

++. ⑵ 2

222

2

)(624b a b

a +-

说明：⑴分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提再分解.

⑵分解因式必须进行彻底，直至每个因式

都不能再分解为止. 例6 分解因式： ⑶ 2

2

)(9))(2(6)2(n m n m m n n m +++---； ⑵

4

224168b b a a +-；

⑶ 1

)2(2)2(222

++++m m m m

. ⑷

6

3244914b b a a +-

说明：在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用. 例7 若25

)4(22

+++x a x

是完全平方式，求a 的值.

说明：根据完全平方公式特点求待定系数a ，熟