《等差数列》单元测试题百度文库
等差数列单元测试题+答案百度文库
一、等差数列选择题1.已知数列{}n a 的前项和221n S n =+,n *∈N ,则5a =( )A .20B .17C .18D .192.中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤,长五尺,一头粗一头细.在粗的一端截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间三尺的重量为( ) A .3斤B .6斤C .9斤D .12斤3.设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为( ).A .65B .16C .15D .14 4.在等差数列{a n }中,a 3+a 7=4,则必有( )A .a 5=4B .a 6=4C .a 5=2D .a 6=25.等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ,若231n n a n b n =+,则2121S T 的值为( )A .1315B .2335C .1117 D .496.等差数列{}n a 中,12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列的前20项和等于( ) A .160B .180C .200D .2207.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作,它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数,日月之法,十九岁为一章,四章为一部,部七十六岁,二十部为一遂,遂千百五二十岁”.现恰有30人,他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520),其中年长者年龄介于90至100,其余29人的年龄依次相差一岁,则最年轻者的年龄为( ) A .32B .33C .34D .358.已知数列{}n a 为等差数列,2628a a +=,5943a a +=,则10a =( ) A .29B .38C .40D .589.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足212n n n a a a ++=-,534a a =-,则7S =( ) A .7B .12C .14D .2110.《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现一月(按30天计)共织390尺”,则从第2天起每天比前一天多织( ) A .12尺布 B .518尺布 C .1631尺布 D .1629尺布 11.已知数列{}n a 中,11a =,22a =,对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+,则10a 等于( )A .10 BC .64D .412.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知58a =,36S =,则107S S -的值是( ) A .48B .60C .72D .2413.冬春季节是流感多发期,某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ,已知11a =,22a=,且满足()211+-=+-nn n a a (n *∈N ),则该医院30天入院治疗流感的共有( )人A .225B .255C .365D .46514.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2n S n =.定义数列{}n b 如下:()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值,则13519 b b b b ++++=( )A .25B .50C .75D .10015.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{} n a ,则5a =( ) A .103B .107C .109D .10516.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且132a a +=,422a a -=,则5S =( ) A .21B .15C .10D .617.在等差数列{}n a 的中,若131,5a a ==,则5a 等于( ) A .25B .11C .10D .918.在数列{}n a 中,11a =,且11nn na a na +=+,则其通项公式为n a =( ) A .211n n -+B .212n n -+C .221n n -+D .222n n -+19.若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈,且11a =,则2021a =( ) A .1010 B .1011 C .2020D .202120.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列,且1109a a a +=,则12910a a a a ++⋅⋅⋅+=( )A .278B .52C .3D .4二、多选题21.(多选)在数列{}n a 中,若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等方差数列 B .(){}1n- 是等方差数列C .{}2n是等方差数列.D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列22.题目文件丢失!23.已知数列{}n a 满足0n a >,121n n n a na a n +=+-(N n *∈),数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( )A .11a =B .121a a =C .201920202019S a =D .201920202019S a >24.若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩,135a =,则数列{}n a 中的项的值可能为( ) A .15B .25C .45D .6525.已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则( )A .80a <B .当且仅当n = 7时,n S 取得最大值C .49S S =D .满足0n S >的n 的最大值为1226.无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若a 1>0,d <0,则下列结论正确的是( ) A .数列{}n a 单调递减 B .数列{}n a 有最大值 C .数列{}n S 单调递减D .数列{}n S 有最大值27.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若10a >,717S S =,则( ) A .0d < B .120a > C .13n S S ≤D .当且仅当0nS <时,26n ≥28.已知数列{}n a 为等差数列,则下列说法正确的是( )A .1n n a a d +=+(d 为常数)B .数列{}n a -是等差数列C .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 D .1n a +是n a 与2n a +的等差中项29.已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,67S S <,且78S S >,则( ) A .在数列{}n a 中,1a 最大 B .在数列{}n a 中,3a 或4a 最大 C .310S S =D .当8n ≥时,0n a <30.设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1718S S =,则下列各式的值为0的是( ) A .17aB .35SC .1719a a -D .1916S S -【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.C 【分析】根据题中条件,由554a S S =-,即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈, 所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=. 故选:C . 2.C 【分析】根据题意转化成等差数列问题,再根据等差数列下标的性质求234a a a ++. 【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列,设细的一端的重量为1a ,粗的一端的重量为5a ,可知12a =,54a =,根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==⇒=, 中间三尺为234339a a a a ++==. 故选:C 【点睛】本题考查数列新文化,等差数列的性质,重点考查理解题意,属于基础题型. 3.C 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差,然后求解8a . 【详解】由21n S n =+得,12a =,()2111n S n -=-+,所以()221121n n n a S S n n n -=-=--=-, 所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩,故828115a =⨯-=.故选:C. 【点睛】本题考查数列的通项公式求解,较简单,利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 4.C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解 【详解】因为a 3+a 7=2a 5=4,所以a 5=2. 故选:C 5.C 【分析】利用等差数列的求和公式,化简求解即可 【详解】2121S T =12112121()21()22a ab b ++÷=121121a a b b ++=1111a b =2113111⨯⨯+=1117.故选C 6.B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=,再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=, 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选:B 7.D 【分析】设年纪最小者年龄为n ,年纪最大者为m ,由他们年龄依次相差一岁得出(1)(2)(28)1520n n n n m ++++++++=,结合等差数列的求和公式得出111429m n =-,再由[]90,100m ∈求出n 的值.【详解】根据题意可知,这30个老人年龄之和为1520,设年纪最小者年龄为n ,年纪最大者为m ,[]90,100m ∈,则有(1)(2)(28)294061520n n n n m n m ++++++++=++=则有291114n m +=,则111429m n =-,所以90111429100m ≤-≤ 解得34.96635.31n ≤≤,因为年龄为整数,所以35n =. 故选:D 8.A 【分析】根据等差中项的性质,求出414a =,再求10a ; 【详解】因为{}n a 为等差数列,所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =, 故选:A. 9.C 【分析】判断出{}n a 是等差数列,然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】∵212n n n a a a ++=-,∴211n n n n a a a a +++-=-,∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-,∴354a a +=,∴173577()7()1422a a a a S ++===. 故选:C 10.D 【分析】设该女子第()N n n *∈尺布,前()N n n *∈天工织布n S 尺,则数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,根据15a =,30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布,前()N n n *∈天工织布n S 尺,则数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=,解得1629d =.故选:D. 11.D 【分析】利用等差中项法可知,数列{}3n a 为等差数列,根据11a =,22a =可求得数列{}3n a 的公差,可求得310a 的值,进而可求得10a 的值. 【详解】对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+,由等差中项法可知,数列{}3n a 为等差数列,由于11a =,22a =,则数列{}3n a 的公差为33217d a a =-=,所以,33101919764a a d =+=+⨯=,因此,104a .故选:D. 12.A 【分析】根据条件列方程组,求首项和公差,再根据107891093S S a a a a -=++=,代入求值. 【详解】由条件可知114832362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得:102a d =⎧⎨=⎩, ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.故选:A 13.B 【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式,进一步利用分组法求出数列的和 【详解】解:当n 为奇数时,2n n a a +=, 当n 为偶数时,22n n a a +-=, 所以13291a a a ==⋅⋅⋅==,2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项,2为公差的等差数列,所以30132924301514()()1515222552S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=, 故选:B 14.B 【分析】先求得21n a n =-,根据n a m ≥,求得12m n +≥,进而得到21212k k b --=,结合等差数列的求和公式,即可求解. 【详解】由题意,等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2n S n =,可得21n a n =-,因为n a m ≥,即21n m -≥,解得12m n +≥, 当21m k =-,(*k N ∈)时,1m m b k m +=,即()()11212m m m mk m b m m +===++,即21212k k b --=, 从而()13519113519502b b b b ++++=++++=.故选:B. 15.B 【分析】根据题意可知正整数能被21整除余2,即可写出通项,求出答案. 【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2,21+2n a n ∴=, 5215+2107a ∴=⨯=.故选:B. 16.C 【分析】根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组,求解出1,a d 的值,再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】因为134222a a a a +=⎧⎨-=⎩,所以122222a d d +=⎧⎨=⎩,所以101a d =⎧⎨=⎩,所以5154550101102S a d ⨯=+=⨯+⨯=, 故选:C. 17.D 【分析】利用等差数列的性质直接求解. 【详解】 因为131,5a a ==,315529a a a a =+∴=,故选:D . 18.D 【分析】先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=,再由累加法计算出2122n n n a -+=,进而求出n a .【详解】 解:11nn na a na +=+, ()11n n n a na a ++=∴,化简得:11n n n n a a a a n ++=+, 两边同时除以1n n a a +并整理得:111n nn a a +-=, 即21111a a -=,32112a a -=,43113a a -=,…,1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈, 将上述1n -个式子相加得:213243111111+a a a a a a --+-+ (111)123n n a a -+-=+++…1n +-, 即111(1)2n n n a a --=, 2111(1)(1)2=1(2,)222n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈, 又111a =也满足上式, 212()2n n n n z a -+∴=∈, 22()2n a n z n n ∴=∈-+.故选:D. 【点睛】 易错点点睛:利用累加法求数列通项时,如果出现1n -,要注意检验首项是否符合. 19.B 【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】 由121()2n n a a n N *++=∈,则11()2n n a a n N *+=+∈, 即112n n a a +-=, 所以数列{}n a 是以1为首项,12为公差的等差数列, 所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=, 所以2021a =2021110112+=. 故选:B 20.A【分析】根据数列{}n a 是等差数列,且1109a a a +=,求出首项和公差的关系,代入式子求解. 【详解】因为1109a a a +=, 所以11298a d a d +=+, 即1a d =-,所以()11295101019927278849a a a a a d a a d d a d ++⋅⋅⋅+====++. 故选:A二、多选题21.BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ,若{}n a 是等差数列,如n a n =,则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数,故{}na 不是等方差数列,故A 错误;对于B ,数列(){}1n-中,222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数,{(1)}n ∴-是等方差数列,故B 正确; 对于C ,数列{}2n中,()()22221112234nn n n n a a ----=-=⨯不是常数,{}2n∴不是等方差数列,故C 错误; 对于D ,{}n a 是等差数列,1n n a a d -∴-=,则设n a dn m =+,{}n a 是等方差数列,()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数,故220d =,故0d =,所以(2)0m d d +=,2210n n a a --=是常数,故D 正确.故选:BD. 【点睛】关键点睛:本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义,解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义,利用定义进行判断.22.无23.BC 【分析】根据递推公式,得到11n n nn n a a a +-=-,令1n =,得到121a a =,可判断A 错,B 正确;根据求和公式,得到1n n n S a +=,求出201920202019S a =,可得C 正确,D 错. 【详解】 由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n na n n n a a a a ++--==+,即11n n n n n a a a +-=-, 当1n =时,则121a a =,即得到121a a =,故选项B 正确;1a 无法计算,故A 错; 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以1n n S a n +=,则201920202019S a =,故选项C 正确,选项D 错误.故选:BC.【点睛】方法点睛:由递推公式求通项公式的常用方法:(1)累加法,形如()1n n a a f n +=+的数列,求通项时,常用累加法求解; (2)累乘法,形如()1n na f n a +=的数列,求通项时,常用累乘法求解; (3)构造法,形如1n n a pa q +=+(0p ≠且1p ≠,0q ≠,n ∈+N )的数列,求通项时,常需要构造成等比数列求解;(4)已知n a 与n S 的关系求通项时,一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解. 24.ABC【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =,依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ,能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列,得项的所有可能值,判断选项即得结果.【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩,135a =,依次取1,2,3,4,...n =代入计算得, 211215a a =-=,32225a a ==,43425a a ==,5413215a a a =-==,因此继续下去会循环,数列{}n a 是周期为4的周期数列,所有可能取值为:1234,,,5555. 故选:ABC.本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列,属于基础题.25.ACD【分析】由题可得16a d =-,0d <,21322n d d S n n =-,求出80a d =<可判断A ;利用二次函数的性质可判断B ;求出49,S S 可判断C ;令213022n d d S n n =->,解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则()5111122+4++100a a a d a d +==,解得16a d =-, 10a >,0d ∴<,且()21113+222n n n d d S na d n n -==-, 对于A ,81+7670a a d d d d ==-+=<,故A 正确;对于B ,21322n d d S n n =-的对称轴为132n =,开口向下,故6n =或7时,n S 取得最大值,故B 错误; 对于C ,4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-,9138191822d d S d =⨯-⨯=-,故49S S =,故C 正确;对于D ,令213022n d d S n n =->,解得013n <<,故n 的最大值为12,故D 正确. 故选:ACD.【点睛】方法点睛:由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数,当1a 与d 异号时,n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当1a 与d 同号时,n S 在1n =取最值.26.ABD【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ,再由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,可判断CD.【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<,所以数列{}n a 单调递减,A 正确; 由数列{}n a 单调递减,可知数列{}n a 有最大值a 1,故B 正确;由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,所以数列{}n S 先增再减,有最大值,C 不正确,D 正确.27.AB【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果.【详解】因为等差数列中717S S =,所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=, 又10a >,所以12130,0a a ><,所以0d <,12n S S ≤,故AB 正确,C 错误; 因为125251325()2502a a S a +==<,故D 错误, 故选:AB【点睛】关键点睛:本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=,结合10a >,进而得到12130,0a a ><,考查学生逻辑推理能力.28.ABD【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项,根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项.【详解】A.因为数列{}n a 是等差数列,所以1n n a a d +-=,即1n n a a d +=+,所以A 正确;B. 因为数列{}n a 是等差数列,所以1n n a a d +-=,那么()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-,所以数列{}n a -是等差数列,故B 正确; C.111111n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==,不是常数,所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等差数列,故C 不正确;D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+,所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项,故D 正确.故选:ABD【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列,属于基础题型.29.AD【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=,可知不一定成立,从而判定C 错误.由已知得:780,0a a ><,结合等差数列的性质可知,0d <,该等差数列是单调递减的数列, ∴A 正确,B 错误,D 正确,310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=,即160a d +=, 这在已知条件中是没有的,故C 错误.故选:AD.【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和,属基础题,关键在于掌握和与项的关系. 30.BD【分析】由1718S S =得180a =,利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确;;根据351835S a =可知 B 正确;根据171920a a d -=-≠可知C 不正确;根据19161830S S a -==可知D 正确.【详解】因为1718S S =,所以18170S S -=,所以180a =,因为公差0d ≠,所以17180a a d d =-=-≠,故A 不正确;135********()35235022a a a S a +⨯====,故B 正确; 171920a a d -=-≠,故C 不正确;19161718191830S S a a a a -=++==,故D 正确.故选:BD.【点睛】本题考查了等差数列的求和公式,考查了等差数列的下标性质,属于基础题.。
等差数列测试题
等差数列单元过关测评一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.数列1,23,35,47,59的一个通项公式a n 是( )A.n 2n +1B.n 2n -1C.n 2n -3D.n 2n +32.等差数列{a n }中,a 5=10,a 1+a 2+a 3=3,则( ) A .a 1=-2,d =3 B .a 1=2,d =-3 C .a 1=-3,d =2D .a 1=3,d =-23.(2012·三明高二模拟)数列{a n }满足3+a n =a n +1(n ∈N *),且a 2+a 4+a 6=9,则log 16(a 5+a 7+a 9)的值是( )A .-2B .-12C .2D.124.等差数列{a n }中,a 2+a 5+a 8=9,那么关于x 的方程:x 2+(a 4+a 6)x +10=0( ) A .无实根B .有两个相等实根C .有两个不等实根D .不能确定有无实根5.下列命题中正确的个数是( )(1)若a ,b ,c 成等差数列,则a 2,b 2,c 2一定成等差数列; (2)若a ,b ,c 成等差数列,则2a,2b,2c 可能成等差数列;(3)若a ,b ,c 成等差数列,则ka +2,kb +2,kc +2一定成等差数列; (4)若a ,b ,c 成等差数列,则1a ,1b ,1c 可能成等差数列.A .4个B .3个C .2个D .1个6.等差数列{a n }共有2n +1项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则其中间项为( ) A .28 B .29 C .30D .317.在数列{a n }中,a 1=2,2a n +1-2a n =1,则a 101的值为( ) A .49B .50C .51D .528.(2012·太原高二检测)已知数列{a n }中,a 3=2,a 7=1,若数列{1a n +1}为等差数列,则a 11等于( )A .0 B.12 C.23D .-19.(2012·丰台模拟)已知数列{a n }中,a 1=35,a n =1-1a n -1(n ≥2),则a 2 011=( )A .-12B .-23C.35D.5210.(2012·沈阳市回民中学检测)已知数列{a n }为等差数列,若a 11a 10<-1,且它们的前n 项和S n 有最大值,则使得S n >0的n 的最大值为( )A .11B .19C .20D .2111、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=-11,a 4+a 6=-6,则当S n 取最小值时,n 等于( ) A .6 B .7 C .8D .912、等差数列{a n }的通项公式a n =2n +1其前n 项和为S n ,则数列{S nn }的前10项和为( )A .120B .70C .75D .100二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2011·湖南高考)设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和,且a 1=1,a 4=7,则S 5=______. 14.若x ≠y ,两个数列:x ,a 1,a 2,a 3,y 和x ,b 1,b 2,b 3,b 4,y 都是等差数列,则a 2-a 1b 3-b 2=________.15.数列{a n }的前n 项和S n =32a n -3,则这个数列的通项公式为________.16. 已知△ABC 的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC 的面积为别__________.三、解答题17.(本小题满分10分)已知{a n }是一个等差数列且a 2+a 8=-4,a 6=2. (1)求{a n }的通项公式;(2)求{a n }的前n 项和S n 的最小值.18.设等差数列{a n }满足a 3=5,a 10=-9. (1)求{a n }的通项公式;(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值.19、(本小题满分12分)在数列{a n }中,a 1=1,a n =2S 2n2S n -1(n ≥2),证明数列{1S n }是等差数列,并求S n .20(本小题满分12分)(2011·江西“八校”联考)数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2n +1a n a n +2n (n ∈N *). (1)证明:数列{2na n }是等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式a n ;(3)设b n =n (n +1)a n ,求数列{b n }的前n 项和S n .21.(本小题满分12分)已知四个数依次成等差数列,且四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此四个数.22、(本小题满分12分)已知等差数列{a n }中,S 3=21,S 6=64,求数列{|a n |}的前n 项和T n .。
等差数列经典试题(含答案) 百度文库
16.冬春季节是流感多发期,某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列 ,已知 , ,且满足 ( ),则该医院30天入院治疗流感的共有()人
A.225B.255C.365D.465
17.已知数列 满足 且 ,则 时,使得不等式 恒成立的实数a的最大值是()
A.19B.20C.21D.22
故选:D.
【点睛】
方法点睛:
判断数列是不是等差数列的方法:定义法,等差中项法.
12.C
【分析】
令 , ,求出 , ,进而求出 , ,则 可得.
【详解】
令 , ,
可得当 时, ,
,
当 , ,符合 ,
故 , ,
故 .
【点睛】
由 求 时, ,注意验证a1是否包含在后面an的公式中,若不符合要单独列出,一般已知条件含an与Sn的关系的数列题均可考虑上述公式求解.
一、等差数列选择题
1.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺,20日共织布232尺,则该女子织布每日增加()尺
A. B. C. D.
2.南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中,提出垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别1,7,15,27,45,71,107,则该数列的第8项为()
A.4B.5C.7D.8
25.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”,记Sn为数列{an}的前n项和,则下列结论正确的是()
等差数列练习题附答案
等差数列练习题附答案一、选择题1、已知等差数列{an}中,S10=120,那么a1+a10=()A.12B.24C.36D.482、已知等差数列{an},an=2n-19,那么这个数列的前n项和Sn()A.有最小值且是整数B.有最小值且是分数C.有最大值且是整数 D.有最大值且是分数3、已知等差数列{an}的公差d=1/80,a2+a4+⋯+a100=80,那么S100=()A.135B.160C.120D.1954、已知等差数列{an}中,a2+a5+a9+a12=60,那么S13=()A.390B.195C.180D.1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和,其差为()A.90B.180C.3606、等差数列{an}的前m项的和为30,前2m项的和为100,则它的前3m项的和为()A.130B.170C.210D.2607、在等差数列{an}中,a2=-6,a8=6,若数列{an}的前n 项和为Sn,则()A.S4<S5B.S4=S5C.S6<S5D.S6=S58、一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,所有项和为390,则这个数列的项数为()A.13B.12C.11D.109、已知某数列前n项之和n,且前n个偶数项的和为n(4n+3),则前n个奇数项的和为()A.-3n(n+1)B.n(4n-3)C.-3nD.2n/310、若一个凸多边形的内角度数成等差数列,最小角为100°,最大角为140°,这个凸多边形的边比为()A.6B.8C.10D.12二、填空题1、等差数列{an}中,若a6=a3+a8,则S9=.2、等差数列{an}中,若Sn=3n+2n,则公差d=.3、在小于100的正整数中,被3除余2的数的和是.4、已知等差数列{an}的公差是正整数,且a3⋅a7=-12,a4+a6=-4,则前10项的和S10=.5、一个等差数列共有10项,其中奇数项的和为项是.6、两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,则XXX=.一、选择题1、已知等差数列{an}中,S10=120,则a1+a10=()A.12B.24C.36D.482、已知等差数列{an},an=2n-19,则这个数列的前n项和Sn()A.有最小值且是整数B.有最小值且是分数C.有最大值且是整数 D.有最大值且是分数3、已知等差数列{an}的公差d=1/80,a2+a4+⋯+a100=80,那么S100=()A.135B.160C.120D.1954、已知等差数列{an}中,a2+a5+a9+a12=60,则S13=()A.390B.195C.180D.1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和,其差为()A.90B.180C.3606、等差数列{an}的前m项的和为30,前2m项的和为100,则它的前3m项的和为()A.130B.170C.210D.2607、在等差数列{an}中,a2=-6,a8=6,若数列{an}的前n 项和为Sn,则()A.S4<S5B.S4=S5C.S6<S5D.S6=S58、一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,所有项和为390,则这个数列的项数为()A.13B.12C.11D.109、已知某数列前n项之和n,且前n个偶数项的和为n(4n+3),则前n个奇数项的和为()A.-3n(n+1)B.n(4n-3)C.-3nD.2n/310、若一个凸多边形的内角度数成等差数列,最小角为100°,最大角为140°,这个凸多边形的边比为()A.6B.8C.10D.12二、填空题1、等差数列{an}中,若a6=a3+a8,则S9=.2、等差数列{an}中,若Sn=3n+2n,则公差d=.3、在小于100的正整数中,被3除余2的数的和是.4、已知等差数列{an}的公差是正整数,且a3⋅a7=-12,a4+a6=-4,则前10项的和S10=.5、一个等差数列共有10项,其中奇数项的和为项是.6、两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,则XXX=.1.在等差数列{an}中,已知a4=0.8,a11=2.2,求a51+a52的值。
等差数列测试题(带答案)
等差数列测试题(带答案)1.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d=2,则a4等于()A.5B.6C.7D.9答案:C2.在数列{an}中,若a1=1,an+1=an+2(n≥1),则该数列的通项公式an=()A.2n+1B.2n-1C.2nD.2(n-1)答案:B3.△ABC三个内角A、B、C成等差数列,则B=__________.解析:∵A、B、C成等差数列,∴2B=A+C.又A+B+C=180°,∴3B=180°,∴B=60°.答案:60°4.在等差数列{an}中,(1)已知a5=-1,a8=2,求a1与d;(2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9.解:(1)由题意,知a1+-=-1,a1+-=2.解得a1=-5,d=1.(2)由题意,知a1+a1+-=12,a1+-=7.解得a1=1,d=2.∴a9=a1+(9-1)d=1+8×2=17.一、选择题1.在等差数列{an}中,a1=21,a7=18,则公差d=()A.12B.13C.-12D.-13解析:选C.∵a7=a1+(7-1)d=21+6d=18,∴d=-12.2.在等差数列{an}中,a2=5,a6=17,则a14=()A.45B.41C.39D.37解析:选B.a6=a2+(6-2)d=5+4d=17,解得d=3.所以a14=a2+(14-2)d=5+12×3=41.3.已知数列{an}对任意的n∈N*,点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上,则{an}为()A.公差为2的等差数列B.公差为1的等差数列C.公差为-2的等差数列D.非等差数列解析:选A.an=2n+1,∴an+1-an=2,应选A.4.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n 的等差中项是()A.2B.3C.6D.9解析:选B.由题意得m+2n=82m+n=10,∴m+n=6,∴m、n的等差中项为3.5.下面数列中,是等差数列的有()①4,5,6,7,8,…②3,0,-3,0,-6,…③0,0,0,0,…④110,210,310,410,…A.1个B.2个C.3个D.4个解析:选C.利用等差数列的定义验证可知①、③、④是等差数列.6.数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为-2,公差为4的等差数列.若an=bn,则n的值为()A.4B.5C.6D.7解析:选B.an=2+(n-1)×3=3n-1,bn=-2+(n-1)×4=4n-6,令an=bn得3n-1=4n-6,∴n=5.二、填空题7.已知等差数列{an},an=4n-3,则首项a1为__________,公差d 为__________.解析:由an=4n-3,知a1=4×1-3=1,d=a2-a1=(4×2-3)-1=4,所以等差数列{an}的首项a1=1,公差d=4.答案:148.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=__________.解析:设等差数列的公差为d,首项为a1,则a3=a1+2d=7;a5-a2=3d=6.∴d=2,a1=3.∴a6=a1+5d=13.答案:139.已知数列{an}满足a2n+1=a2n+4,且a1=1,an>0,则an=________.解析:根据已知条件a2n+1=a2n+4,即a2n+1-a2n=4,∴数列{a2n}是公差为4的等差数列,∴a2n=a21+(n-1)•4=4n-3.∵an>0,∴an=4n-3.答案:4n-3三、解答题10.在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求它的通项公式.解:由an=a1+(n-1)d得10=a1+4d31=a1+11d,解得a1=-2d=3.∴等差数列的通项公式为an=3n-5.11.已知等差数列{an}中,a1<a2<a3<…<an且a3,a6为方程x2-10x+16=0的两个实根.(1)求此数列{an}的通项公式;(2)268是不是此数列中的项?若是,是第多少项?若不是,说明理由.解:(1)由已知条件得a3=2,a6=8.又∵{an}为等差数列,设首项为a1,公差为d,∴a1+2d=2a1+5d=8,解得a1=-2d=2.∴an=-2+(n-1)×2=2n-4(n∈N*).∴数列{an}的通项公式为an=2n-4.(2)令268=2n-4(n∈N*),解得n=136.∴268是此数列的第136项.12.已知(1,1),(3,5)是等差数列{an}图象上的两点.(1)求这个数列的通项公式;(2)画出这个数列的图象;(3)判断这个数列的单调性.解:(1)由于(1,1),(3,5)是等差数列{an}图象上的两点,所以a1=1,a3=5,由于a3=a1+2d=1+2d=5,解得d=2,于是an=2n-1.(2)图象是直线y=2x-1上一些等间隔的点(如图).(3)因为一次函数y=2x-1是增函数,所以数列{an}是递增数列.。
等差数列练习题(有答案) 百度文库
一、等差数列选择题1.已知数列{}n a 的前项和221n S n =+,n *∈N ,则5a =( )A .20B .17C .18D .192.中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤,长五尺,一头粗一头细.在粗的一端截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间三尺的重量为( ) A .3斤B .6斤C .9斤D .12斤3.设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为( ).A .65B .16C .15D .144.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,3518a S +=,633a a =+,则n a =( ) A .1n -B .nC .21n -D .2n5.等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ,若231n n a n b n =+,则2121S T 的值为( )A .1315B .2335C .1117 D .496.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ,且351024a a a ++=,则13S 的值为( ) A .8B .13C .26D .1627.设a ,0b ≠,数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+,*n N ∈,则存在数列{}n b 和{}n c 使得( )A .n n n a b c =+,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B .n n n a b c =+,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列C .·n n n a b c =,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D .·n n n a b c =,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列 8.若两个等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且3221n n S n T n +=+,则1215a b =( ) A .32B .7059C .7159D .859.南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中,提出垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别1,7,15,27,45,71,107,则该数列的第8项为( ) A .161B .155C .141D .13910.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺,20日共织布232尺,则该女子织布每日增加( )尺 A .47B .1629C .815D .4511.已知{}n a 为等差数列,n S 是其前n 项和,且100S =,下列式子正确的是( ) A .450a a +=B .560a a +=C .670a a +=D .890a a +=12.已知{}n a 是公差为2的等差数列,前5项和525S =,若215m a =,则m =( ) A .4B .6C .7D .813.已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ,则*n N ∈时,使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是( ) A .19B .20C .21D .2214.在等差数列{}n a 中,已知前21项和2163S =,则25820a a a a ++++的值为( )A .7B .9C .21D .4215.在等差数列{}n a 中,25812a a a ++=,则{}n a 的前9项和9S =( ) A .36B .48C .56D .7216.已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列,其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈,则下列判断正确的是( )A .22p p S p a =⋅B .p q m n a a a a >C .1111p q m n a a a a +<+ D .1111p q m nS S S S +>+ 17.在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则这五个数为( ) A .3、8、13、18、23 B .4、8、12、16、20 C .5、9、13、17、21D .6、10、14、18、2218.数学著作《孙子算经》中有这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二(除以3余2),五五数之剩三(除以5余3),问物几何?”现将1到2020共2020个整数中,同时满足“三三数之剩二,五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{},n a 则该数列共有( ) A .132项B .133项C .134项D .135项19.已知正项数列{}n a 满足11a =,1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭,数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+,记{}n b 的前n 项和为n T ,则20T 的值为( ) A .1B .2C .3D .420.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若5620a a +=,11132S =,则{}n a 的公差为( ) A .2B .43C .4D .4-二、多选题21.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,前n 项和为n S ,若612S S =,则下列结论中正确的有( ) A .1:17:2a d =-B .180S =C .当0d >时,6140a a +>D .当0d <时,614a a >22.黄金螺旋线又名等角螺线,是自然界最美的鬼斧神工.在一个黄金矩形(宽长比约等于0.618)里先以宽为边长做正方形,然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形,如此循环下去,再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧,最后顺次连接,就可得到一条“黄金螺旋线”.达·芬奇的《蒙娜丽莎》,希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线.现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *),数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3).再将扇形面积设为b n (n ∈N *),则( )A .4(b 2020-b 2019)=πa 2018·a 2021B .a 1+a 2+a 3+…+a 2019=a 2021-1C .a 12+a 22+a 32…+(a 2020)2=2a 2019·a 2021D .a 2019·a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2=023.已知数列{}n a 满足112a =-,111n n a a +=-,则下列各数是{}n a 的项的有( )A .2-B .23 C .32D .324.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若30S =,46a =,则( ) A .23n S n n =- B .2392-=n n nSC .36n a n =-D .2n a n =25.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,且3201911111a a e e +≤++,则( ) A .当数列{}n a 为等差数列时,20210S ≥B .当数列{}n a 为等差数列时,20210S ≤C .当数列{}n a 为等比数列时,20210T >D .当数列{}n a 为等比数列时,20210T < 26.数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+,则下列说法正确的是( ) A .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n = C .数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D .数列{}n a 为递减数列27.(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10a >,公差0d ≠,则下列命题正确的是( )A .若59S S =,则必有14S =0B .若59S S =,则必有7S 是n S 中最大的项C .若67S S >,则必有78S S >D .若67S S >,则必有56S S >28.首项为正数,公差不为0的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,现有下列4个命题中正确的有( )A .若100S =,则280S S +=;B .若412S S =,则使0n S >的最大的n 为15C .若150S >,160S <,则{}n S 中8S 最大D .若78S S <,则89S S <29.已知数列{}n a 是递增的等差数列,5105a a +=,6914a a ⋅=-.12n n n n b a a a ++=⋅⋅,数列{}n b 的前n 项和为n T ,下列结论正确的是( )A .320n a n =-B .325n a n =-+C .当4n =时,n T 取最小值D .当6n =时,n T 取最小值30.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d ,且满足10a >,1118S S =,则对n S 描述正确的有( ) A .14S 是唯一最小值 B .15S 是最小值 C .290S =D .15S 是最大值【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.C 【分析】根据题中条件,由554a S S =-,即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈, 所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=. 故选:C . 2.C 【分析】根据题意转化成等差数列问题,再根据等差数列下标的性质求234a a a ++. 【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列,设细的一端的重量为1a ,粗的一端的重量为5a ,可知12a =,54a =,根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==⇒=, 中间三尺为234339a a a a ++==. 故选:C 【点睛】本题考查数列新文化,等差数列的性质,重点考查理解题意,属于基础题型. 3.C 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差,然后求解8a . 【详解】由21n S n =+得,12a =,()2111n S n -=-+,所以()221121n n n a S S n n n -=-=--=-,所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩,故828115a =⨯-=.故选:C. 【点睛】本题考查数列的通项公式求解,较简单,利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 4.B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程组,求解出首项和公差,则等差数列{}n a 的通项公式可求.【详解】因为3518a S +=,633a a =+,所以11161218523a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩, 所以111a d =⎧⎨=⎩,所以()111n a n n =+-⨯=, 故选:B. 5.C 【分析】利用等差数列的求和公式,化简求解即可 【详解】2121S T =12112121()21()22a ab b ++÷=121121a a b b ++=1111a b =2113111⨯⨯+=1117.故选C 6.B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=,再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==,所以71a =,又()1131371313131132a a S a +===⨯=, 故选:B. 【点睛】结论点睛:等差、等比数列的下标和性质:若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈,(1)当{}n a 为等差数列,则有2m n p q t a a a a a +=+=; (2)当{}n a 为等比数列,则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.7.D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式,再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征,逐项判断,即可得出正确选项. 【详解】 解:(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+,∴当1n =时,有110S a a ==≠;当2n ≥时,有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅,又当1n =时,01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式,1()2n n a a bn b -∴=-+⋅,令n b a b bn =+-,12n n c -=,则数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列,故n n n a b c =,其中数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列;故C 错,D 正确;因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅,0b ≠,所以{}12n bn -⋅即不是等差数列,也不是等比数列,故AB 错. 故选:D. 【点睛】 方法点睛:由数列前n 项和求通项公式时,一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解,考查学生的计算能力. 8.C 【分析】可设(32)n S kn n =+,(21)n T kn n =+,进而求得n a 与n b 的关系式,即可求得结果. 【详解】因为{}n a ,{}n b 是等差数列,且3221n n S n T n +=+, 所以可设(32)n S kn n =+,(21)n T kn n =+,又当2n 时,有1(61)n n n a S S k n -=-=-,1(41)n n n b T T k n -=-=-, ∴1215(6121)71(4151)59a kb k ⨯-==⨯-, 故选:C . 9.B 【分析】画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ,根据所给定义:用数列的后一项减去前一项得到一个新数列,得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列,即得到了一个等差数列,如图:由图可得:3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ,解得15548x y =⎧⎨=⎩.故选:B. 10.D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺,由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】设该妇子织布每天增加d 尺, 由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=, 解得45d =. 故该女子织布每天增加45尺. 故选:D 11.B 【分析】由100S =可计算出1100a a +=,再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】由等差数列的求和公式可得()110101002a a S +==,1100a a ∴+=, 由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选:B. 12.A 【分析】由525S =求出1a ,从而可求出数列的通项公式,进而可求出m 的值 【详解】 解:由题意得15452252a ⨯+⨯=,解得11a =, 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-, 因为215m a =,所以22115m ⋅-=,解得4m =, 故选:A 13.B 【分析】由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,再由等差数列的通项公式可得1n n a ,进而可得1n a n=,再结合基本不等式即可得解. 【详解】因为*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ,所以12211n n n a a a ++=+, 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,设其公差为d , 由25111,25a a a ==可得25112,115a a a ==⋅, 所以111121145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩,解得1111a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩,所以()1111n n d n a a =+-=,所以1n a n=,所以不等式100n n a a +≥即100n a n+≥对任意的*n N ∈恒成立,又10020n n +≥=,当且仅当10n =时,等号成立, 所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选:B. 【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 14.C 【分析】利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=,即可得113a =,再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则()1212121632a a S +==, 所以1216a a +=,即1126a =,所以113a =, 所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a ++++=++++++111111111122277321a a a a a =+++==⨯=,故选:C 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是求出1216a a +=,进而得出113a =,()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=即可求解.15.A 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,得出54a =,再由等差数列前n 项和公式,即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列,25812a a a ++=, 所以5312a =,即54a =, 所以()1999983622a a S +⨯===. 故选:A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 16.D 【分析】利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误;利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误;利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误;利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项,由于()()1221222p pp p p p a a Sp a a pa ++==+≠,故选项A 错误;对于B 选项,由于m p q n -=-,则()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()22m n m n m n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--⋅+--=----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2220q n n m d q n d =-----<,故选项B 错误;对于C 选项,由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅,故选项C 错误; 对于D 选项,设0x q n m p =-=->,则()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<,从而pq mn <,由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++,故2222p q m n +>+.()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--,故()()22221122p q m n p q p q m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d--+---⎡⎤⎡⎤⋅=+⋅+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()221121124mn m n mn p q mna a d d+---<++()()()221121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=, 由此1111p q m n p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S +++=>=+,故选项D 正确. 故选:D.【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列中不等式关系的判断,在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ,并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断.17.C【分析】根据首末两项求等差数列的公差,再求这5个数字.【详解】在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则171,25a a ==,则712514716a a d --===-, 则这5个数依次是5,9,13,17,21.故选:C18.D【分析】 由题意抽象出数列是等差数列,再根据通项公式计算项数.【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8,公差为15的等差数列,记为{}n a ,则()8151157n a n n =+-=-,令1572020n a n =-≤,解得:213515n ≤, 所以该数列的项数共有135项.故选:D【点睛】 关键点点睛:本题以数学文化为背景,考查等差数列,本题的关键是读懂题意,并能抽象出等差数列.19.B【分析】 由题意可得221114n na a +-=,运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-,求得14n b =,然后利用裂项相消求和法可求得结果 【详解】解:由11a =,1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,得221114n n a a +-=,所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差,以1为首项的等差数列, 所以2114(1)43n n n a =+-=-, 因为0n a >,所以n a =,所以1111n n nb a a +=+=所以14n b ==, 所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=, 故选:B【点睛】关键点点睛:此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和,解题的关键是由已知条件得221114n n a a +-=,从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差,以1为首项的等差数列,进而可求n a =,14n b ==,然后利用裂项相消法可求得结果,考查计算能力和转化思想,属于中档题20.C【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ,再由等差数列的公式即可求得公差.【详解】解:()11111611111322a a S a +⨯===,612a ∴=,又5620a a +=,58a ∴=,654d a a ∴=-=.故选:C .二、多选题21.ABC【分析】因为{}n a 是等差数列,由612S S =可得9100a a +=,利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ;利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ;利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ;由0d <可得6140a a d +=<且60a >,140a <即可判断选项D ,进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列,前n 项和为n S ,由612S S =得:1267891011120S S a a a a a a -=+++++=,即()91030a a +=,即9100a a +=, 对于选项A :由9100a a +=得12170a d +=,可得1:17:2a d =-,故选项A 正确; 对于选项B :()()118910181818022a a a a S ++===,故选项B 正确;对于选项C :911691014a a a a a a d d =+=++=+,若0d >,则6140a a d +=>,故选项C 正确;对于选项D :当0d <时,6140a a d +=<,则614a a <-,因为0d <,所以60a >,140a <, 所以614a a <,故选项D 不正确,故选:ABC【点睛】关键点点睛:本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=,熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式,灵活运用等差数列的性质即可.22.ABD【分析】对于A ,由题意得b n =4πa n 2,然后化简4(b 2020-b 2019)可得结果;对于B ,利用累加法求解即可;对于C ,数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),即a n -1=a n -2-a n ,两边同乘a n -1 ,可得a n -12=a n -1 a n -2-a n -1 a n ,然后累加求解;对于D ,由题意a n -1=a n -a n -2,则a 2019·a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2,化简可得结果 【详解】由题意得b n =4πa n 2,则4(b 2020-b 2019)=4(4πa 20202-4πa 20192)=π(a 2020+a 2019)(a 2020-a 2019)=πa 2018·a 2021,则选项A 正确; 又数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),所以a n -2=a n -a n -1(n ≥3),a 1+a 2+a 3+…+a 2019=(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+(a 5-a 4)+…+(a 2021-a 2020)=a 2021-a 2=a 2021-1,则选项B 正确;数列{a n }满足a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2 (n ≥3),即a n -1=a n -2-a n ,两边同乘a n -1 ,可得a n -12=a n -1 a n -2-a n -1 a n ,则a 12+a 22+a 32…+(a 2020)2=a 12+(a 2a 1-a 2a 3)+(a 3a 2-a 3a 4)+…+(a 2020a 2019-a 2020a 2021)=a 12-a 2020a 2021=1-a 2020a 2021,则选项C 错误;由题意a n -1=a n -a n -2,则a 2019·a 2021-(a 2020)2+a 2018·a 2020-(a 2019)2=a 2019·(a 2021-a 2019)+a 2020·(a 2018-a 2020)=a 2019·a 2020+a 2020·(-a 2019)=0,则选项D 正确;故选:ABD.【点睛】此题考查数列的递推式的应用,考查累加法的应用,考查计算能力,属于中档题 23.BD【分析】根据递推关系式找出规律,可得数列是周期为3的周期数列,从而可求解结论.【详解】因为数列{}n a 满足112a =-,111n n a a +=-, 212131()2a ∴==--;32131a a ==-; 4131112a a a ==-=-; ∴数列{}n a 是周期为3的数列,且前3项为12-,23,3; 故选:BD .【点睛】 本题主要考查数列递推关系式的应用,考查数列的周期性,解题的关键在于求出数列的规律,属于基础题.24.BC【分析】由已知条件列方程组,求出公差和首项,从而可求出通项公式和前n 项和公式【详解】解:设等差数列{}n a 的公差为d ,因为30S =,46a =, 所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得133a d =-⎧⎨=⎩, 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-,21(1)3(1)393222n n n n n n n S na d n ---=+=-+=, 故选:BC25.AC【分析】 将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212a a e e -+-≤++,构造函数()1112x f x e =-+,利用函数单调性可得320190a a +≥,再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项【详解】 由3201911111a a e e +≤++,可得32019111101212a a e e -+-≤++,令()1112x f x e =-+, ()()1111101111xx x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++, 所以()1112x f x e =-+是奇函数,且在R 上单调递减,所以320190a a +≥, 所以当数列{}n a 为等差数列时,()320192*********a a S +=≥; 当数列{}n a 为等比数列时,且3a ,1011a ,2019a 同号,所以3a ,1011a ,2019a 均大于零, 故()2021202110110T a =>. 故选:AC【点睛】本题考查等差数列与等比数列,考查逻辑推理能力,转化与化归的数学思想,属于中档题 26.ABD【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=,从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1,公差为2的等差数列,再依次判断选项即可.【详解】对选项A ,因为121n n n a a a +=+,11a =, 所以121112n n n n a a a a ++==+,即1112n na a +-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1,公差为2的等差数列,故A 正确. 对选项B ,由A 知:112121n n n a 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212n n n S n +-==,故B 正确.对选项C ,因为121n n a =-,所以121n a n =-,故C 错误. 对选项D ,因为121n a n =-,所以数列{}n a 为递减数列,故D 正确. 故选:ABD【点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和,同时考查了递推公式,属于中档题.27.ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解:对于A.,若59S S =,则67890a a a a +++=,所以781140a a a a +=+=,所以()114141402a a S +==,故A 选项正确; 对于B 选项,若59S S =,则780+=a a ,由于10a >,公差0d ≠,故0d <,故780,0a a ><,所以7S 是n S 中最大的项;故B 选项正确;C. 若67S S >,则70a <,由于10a >,公差0d ≠,故0d <,故80a <,6a 的符号不定,故必有78S S >,56S S >无法确定;故C 正确,D 错误.故选:ABC .【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质,是中档题.28.BC【分析】根据等差数列的性质,以及等差数列的求和公式,逐项判断,即可得答案.【详解】A 选项,若1011091002S a d ⨯=+=,则1290a d +=, 那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确; B 选项,若412S S =,则()5611128940a a a a a a ++++=+=,又因为10a >,所以前8项为正,从第9项开始为负,因为()()116168916802a a S a a +==+=, 所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确;C 选项,若()115158151502a a S a +==>,()()116168916802a a S a a +==+<,则80a >,90a <,则{}n S 中8S 最大.故C 正确;D 选项,若78S S <,则80a >,而989S S a -=,不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选:BC .【点睛】本题考查等差数列性质的应用,涉及等差数列的求和公式,属于常考题型.29.AC【分析】由已知求出数列{}n a 的首项与公差,得到通项公式判断A 与B ;再求出n T ,由{}n b 的项分析n T 的最小值.【详解】解:在递增的等差数列{}n a 中,由5105a a +=,得695a a +=,又6914a a =-,联立解得62a =-,97a =, 则967(2)3963a a d ---===-,16525317a a d =-=--⨯=-. 173(1)320n a n n ∴=-+-=-.故A 正确,B 错误;12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---可得数列{}n b 的前4项为负,第5项为正,第六项为负,第六项以后均为正. 而5610820b b +=-=>.∴当4n =时,n T 取最小值,故C 正确,D 错误.故选:AC .【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查数列的求和,考查分析问题与解决问题的能力,属于中档题.30.CD【分析】根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <,再根据二次函数的性质可知15S 是最大值,同时可得150a =,进而得到290S =,即可得答案;【详解】1118S S =,∴0d <,设2n S An Bn =+,则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上,抛物线的开口向下,对称轴为14.5x =,∴1514S S =且为n S 的最大值,1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=,∴129291529()2902a a S a +===, 故选:CD.【点睛】本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.。
等差数列专项练习题(精较版)
等差数列、等比数列同步练习题等差数列一、选择题1、等差数列-6,-1,4,9,……中的第20项为()A、89B、-101C、101D、-892、等差数列{a n}中,a15 = 33,a45 = 153,则217是这个数列的()A、第60项B、第61项C、第62项D、不在这个数列中3、在-9与3之间插入n个数,使这n+2个数组成和为-21的等差数列,则n为A、4B、5C、6D、不存在4、等差数列{a n}中,a1 + a7 = 42,a10 - a3 = 21,则前10项的S10等于()A、720B、257C、255D、不确定5、等差数列中连续四项为a,x,b,2x,那么a:b等于()A、14B、13C、13或1 D、126、已知数列{a n}的前n项和S n = 2n2 - 3n,而a1,a3,a5,a7,……组成一新数列{ C n },其通项公式为()A、C n= 4n - 3B、C n= 8n - 1C、C n= 4n - 5D、C n= 8n - 97、一个项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30,若此数列的最后一项比第1项大10,则这个数列共有()A、6项B、8项C、10项D、12项8、设数列{a n}和{b n}都是等差数列,其中a1 = 25,b1 = 75,且a100 + b100 = 100,则数列{a n + b n}的前100项和为()A、0B、100C、10000D、505000二、填空题9、在等差数列{a n}中,a n = m,a n+m= 0,则a m= ______。
10、在等差数列{a n}中,a4 +a7 + a10 + a13 = 20,则S16 = ______ 。
11、在等差数列{a n}中,a1 + a2 + a3 +a4 = 68,a6 + a7 +a8 + a9 + a10 = 30,则从a15到a30的和是______ 。
等差数列试题
等差数列试题一、等差数列的概念与通项公式1. 已知数列{a_{n}}满足a_{n + 1}-a_{n}=3,a_{1}=2,求数列{a_{n}}的通项公式。
- 解析:因为a_{n + 1}-a_{n}=3,所以数列{a_{n}}是公差d = 3的等差数列。
根据等差数列通项公式a_{n}=a_{1}+(n - 1)d,已知a_{1}=2,d = 3,则a_{n}=2+(n - 1)×3=2 + 3n-3=3n - 1。
2. 等差数列{a_{n}}中,a_{3}=7,a_{5}=11,求a_{n}。
- 解析:首先求公差d,d=frac{a_{5}-a_{3}}{5 - 3}=(11 - 7)/(2)=2。
又a_{3}=a_{1}+2d,a_{3} = 7,d = 2,则a_{1}=a_{3}-2d=7-2×2 = 3。
所以a_{n}=a_{1}+(n - 1)d=3+(n - 1)×2=2n + 1。
3. 若数列{a_{n}}的通项公式为a_{n}=4n - 3,证明{a_{n}}是等差数列。
- 解析:对于n≥slant1,a_{n + 1}=4(n + 1)-3=4n+1。
则a_{n + 1}-a_{n}=(4n + 1)-(4n - 3)=4(常数)。
所以数列{a_{n}}是公差为4的等差数列。
4. 在等差数列{a_{n}}中,a_{1}= - 5,d = 3,n = 10,求a_{n}。
- 解析:根据等差数列通项公式a_{n}=a_{1}+(n - 1)d,将a_{1}=-5,d = 3,n = 10代入,可得a_{10}=-5+(10 - 1)×3=-5 + 27 = 22。
5. 已知等差数列{a_{n}}中a_{2}=5,a_{6}=17,求a_{14}。
- 解析:设等差数列{a_{n}}的公差为d,则a_{6}-a_{2}=4d,即17 - 5=4d,解得d = 3。
等差数列练习题(有答案)百度文库
一、等差数列选择题1.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若5620a a +=,11132S =,则{}n a 的公差为( ) A .2B .43C .4D .4-2.为了参加学校的长跑比赛,省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米,最后三天共跑了10800米,则这15天小李同学总共跑的路程为( ) A .34000米 B .36000米 C .38000米 D .40000米 3.在等差数列{a n }中,a 3+a 7=4,则必有( ) A .a 5=4 B .a 6=4 C .a 5=2 D .a 6=24.数列{}n a 为等差数列,11a =,34a =,则通项公式是( ) A .32n -B .322n - C .3122n - D .3122n + 5.等差数列{}n a 中,12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列的前20项和等于( ) A .160B .180C .200D .2206.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12a =,315S =,则8a =( ) A .11B .12C .23D .247.设a ,0b ≠,数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+,*n N ∈,则存在数列{}n b 和{}n c 使得( )A .n n n a b c =+,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B .n n n a b c =+,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列C .·n n n a b c =,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D .·n n n a b c =,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列 8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若936S S =,则612SS =( ) A .177B .83 C .143D .1039.题目文件丢失!10.已知等差数列{}n a 满足48a =,6711a a +=,则2a =( ) A .10B .9C .8D .711.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若7916+=a a ,则15S =( )A .60B .120C .160D .24012.《周碑算经》有一题这样叙述:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸,则后五个节气日影长之和为( )(注:一丈=十尺,一尺=十寸) A .一丈七尺五寸 B .一丈八尺五寸 C .二丈一尺五寸D .二丈二尺五寸13.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺,20日共织布232尺,则该女子织布每日增加( )尺 A .47B .1629C .815D .4514.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知58a =,36S =,则107S S -的值是( ) A .48B .60C .72D .2415.设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ,已知10100S =,则47a a +=( ) A .12B .20C .40D .10016.在等差数列{}n a 中,已知前21项和2163S =,则25820a a a a ++++的值为( )A .7B .9C .21D .4217.设等差数列{}n a 的前n 和为n S ,若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈,则必有( )A .0m S <且10m S +>B .0m S >且10m S +>C .0m S <且10m S +<D .0m S >且10m S +<18.已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列,其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈,则下列判断正确的是( )A .22p p S p a =⋅B .p q m n a a a a >C .1111p q m n a a a a +<+D .1111p q m nS S S S +>+ 19.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且310179a a a ++=,则19S =( ) A .51B .57C .54D .7220.若两个等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且3221n n S n T n +=+,则1215a b =( ) A .32B .7059C .7159D .85二、多选题21.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,….,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68a =B .733S =C .135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D .22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 22.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,前n 项和为n S ,若612S S =,则下列结论中正确的有( ) A .1:17:2a d =-B .180S =C .当0d >时,6140a a +>D .当0d <时,614a a >23.题目文件丢失!24.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若30S =,46a =,则( ) A .23n S n n =- B .2392-=n n nSC .36n a n =-D .2n a n =25.已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则( )A .80a <B .当且仅当n = 7时,n S 取得最大值C .49S S =D .满足0n S >的n 的最大值为1226.(多选题)在数列{}n a 中,若221n n a a p --=,(2n ≥,*n N ∈,p 为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( )A .若{}n a 是等差数列,则{}2n a 是等方差数列B .(){}1n-是等方差数列C .若{}n a 是等方差数列,则{}kn a (*k N ∈,k 为常数)也是等方差数列D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列 27.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,且3201911111a a e e +≤++,则( ) A .当数列{}n a 为等差数列时,20210S ≥ B .当数列{}n a 为等差数列时,20210S ≤ C .当数列{}n a 为等比数列时,20210T > D .当数列{}n a 为等比数列时,20210T <28.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是( )A .{}n a 为等差数列B .0n a >C .n S 最小值为214-D .{}n a 为单调递增数列29.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈,公差0d ≠,690S=,7a 是3a 与9a 的等比中项,则下列选项正确的是( ) A .2d =-B .120a =-C .当且仅当10n =时,n S 取最大值D .当0nS <时,n 的最小值为2230.(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10a >,公差0d ≠,则下列命题正确的是( )A .若59S S =,则必有14S =0B .若59S S =,则必有7S 是n S 中最大的项C .若67S S >,则必有78S S >D .若67S S >,则必有56S S >【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.C 【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ,再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】 解:()11111611111322a a S a+⨯===,612a ∴=,又5620a a +=,58a ∴=,654d a a ∴=-=.故选:C . 2.B 【分析】利用等差数列性质得到21200a =,143600a =,再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】根据题意:小李同学每天跑步距离为等差数列,设为n a ,则123233600a a a a ++==,故21200a =,13141514310800a a a a ++==,故143600a =,则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=. 故选:B. 3.C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解 【详解】因为a 3+a 7=2a 5=4,所以a 5=2. 故选:C 4.C 【分析】根据题中条件,求出等差数列的公差,进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列,11a =,34a =, 则公差为31322a a d -==, 因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选:C. 5.B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=,再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=, 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选:B 6.C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ,即可求得结果. 【详解】32153S a ==,25a ∴=, 12a =,∴公差213d a a =-=, 81727323a a d ∴=+=+⨯=,故选:C. 7.D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式,再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征,逐项判断,即可得出正确选项. 【详解】 解:(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+,∴当1n =时,有110S a a ==≠;当2n ≥时,有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅, 又当1n =时,01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式,1()2n n a a bn b -∴=-+⋅,令n b a b bn =+-,12n n c -=,则数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列,故n n n a b c =,其中数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列;故C 错,D 正确;因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅,0b ≠,所以{}12n bn -⋅即不是等差数列,也不是等比数列,故AB 错. 故选:D. 【点睛】 方法点睛:由数列前n 项和求通项公式时,一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解,考查学生的计算能力. 8.D 【分析】由等差数列前n 项和性质得3S ,63S S -,96S S -,129S S -构成等差数列,结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ,∴3S ,63S S -,96S S -,129S S -构成等差数列, 所以()()633962S S S S S ⋅-=+-,且936S S =,化简解得633S S =.又()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-,∴31210S S =,从而126103S S =.故选:D 【点睛】 思路点睛:(1)利用等差数列前n 项和性质得3S ,63S S -,96S S -,129S S -构成等差数列, (2)()()633962S S S S S ⋅-=+-,且936S S =,化简解得633S S =, (3)()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-,化简解得31210S S =.9.无10.A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ,进一步求得2a . 【详解】在等差数列{}n a 中,设公差为d ,由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩,24210a a d ∴=-=. 故选:A 11.B 【分析】利用等差数列的性质,由7916+=a a ,得到88a =,然后由15815S a =求解. 【详解】因为7916+=a a ,所以由等差数列的性质得978216a a a +==, 解得88a =, 所以()11515815151581202a a S a +===⨯=. 故选:B 12.D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,已知条件为985.5S =,14731.5a a a ++=,由等差数列性质即得5a ,4a ,由此可解得d ,再由等差数列性质求得后5项和. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,则()19959985.52a a S a +===(尺),所以59.5a =(尺),由题知1474331.5a a a a ++==(尺),所以410.5a =(尺),所以公差541d a a =-=-, 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=(尺). 故选:D . 13.D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺,由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】设该妇子织布每天增加d 尺, 由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=, 解得45d =. 故该女子织布每天增加45尺. 故选:D 14.A 【分析】根据条件列方程组,求首项和公差,再根据107891093S S a a a a -=++=,代入求值. 【详解】由条件可知114832362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得:102a d =⎧⎨=⎩, ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.故选:A 15.B 【分析】由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+,再由1011045100S a d =+=,从而可得结果. 【详解】 解:1011045100S a d =+=,12920a d ∴+=, 4712920a a a d ∴+=+=.故选:B. 16.C【分析】利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=,即可得113a =,再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则()1212121632a a S +==, 所以1216a a +=,即1126a =,所以113a =, 所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a ++++=++++++111111111122277321a a a a a =+++==⨯=,故选:C 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是求出1216a a +=,进而得出113a =,()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=即可求解.17.D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意,1110,0m m a a a a ++>+<, 所以1()02m m m a a S +=>,111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选:D. 18.D 【分析】利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误;利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误;利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误;利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项,由于()()1221222p pp p p p a a Sp a a pa ++==+≠,故选项A 错误;对于B 选项,由于m p q n -=-,则()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()22m n m n m n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--⋅+--=----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2220q n n m d q n d =-----<,故选项B 错误;对于C 选项,由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅,故选项C 错误;对于D 选项,设0x q n m p =-=->,则()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<,从而pq mn <,由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++,故2222p q m n +>+.()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--,故()()22221122p q m n p q p q m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d--+---⎡⎤⎡⎤⋅=+⋅+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()221121124mn m n mn p q mna a d d+---<++()()()221121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=,由此1111p q m n p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S +++=>=+,故选项D 正确. 故选:D. 【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列中不等式关系的判断,在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ,并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断. 19.B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =,再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a += 1039a ∴=,即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯= 故选:B 20.C 【分析】可设(32)n S kn n =+,(21)n T kn n =+,进而求得n a 与n b 的关系式,即可求得结果. 【详解】因为{}n a ,{}n b 是等差数列,且3221n n S n T n +=+, 所以可设(32)n S kn n =+,(21)n T kn n =+,又当2n 时,有1(61)n n n a S S k n -=-=-,1(41)n n n b T T k n -=-=-,∴1215(6121)71(4151)59a kb k ⨯-==⨯-, 故选:C .二、多选题21.ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥,对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ,写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8,故A 正确; 对B ,71123581333S =++++++=,故B 正确;对C ,由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,……,201920202018a a a =-, 可得:135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ,斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+,则2121a a a =,()222312321a a a a a a a a =-=-,()233423423a a a a a a a a =-=-,……,()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-,220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=,故D 正确;故选:ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景,考查数列的递推关系及性质,考查方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意递推关系的灵活转换. 22.ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列,由612S S =可得9100a a +=,利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ;利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ;利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ;由0d <可得6140a a d +=<且60a >,140a <即可判断选项D ,进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列,前n 项和为n S ,由612S S =得:1267891011120S S a a a a a a -=+++++=,即()91030a a +=,即9100a a +=,对于选项A :由9100a a +=得12170a d +=,可得1:17:2a d =-,故选项A 正确;对于选项B :()()118910181818022a a a a S ++===,故选项B 正确;对于选项C :911691014a a a a a a d d =+=++=+,若0d >,则6140a a d +=>,故选项C 正确;对于选项D :当0d <时,6140a a d +=<,则614a a <-,因为0d <,所以60a >,140a <,所以614a a <,故选项D 不正确, 故选:ABC 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=,熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式,灵活运用等差数列的性质即可.23.无24.BC 【分析】由已知条件列方程组,求出公差和首项,从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】解:设等差数列{}n a 的公差为d , 因为30S =,46a =,所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得133a d =-⎧⎨=⎩, 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-,21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=, 故选:BC 25.ACD 【分析】由题可得16a d =-,0d <,21322n d d S n n =-,求出80a d =<可判断A ;利用二次函数的性质可判断B ;求出49,S S 可判断C ;令213022n d dS n n =->,解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则()5111122+4++100a a a d a d +==,解得16a d =-,10a >,0d ∴<,且()21113+222n n n d d S na d n n -==-,对于A ,81+7670a a d d d d ==-+=<,故A 正确;对于B ,21322n d d S n n =-的对称轴为132n =,开口向下,故6n =或7时,n S 取得最大值,故B 错误;对于C ,4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-,9138191822d d S d =⨯-⨯=-,故49S S =,故C 正确;对于D ,令213022n d dS n n =->,解得013n <<,故n 的最大值为12,故D 正确. 故选:ACD. 【点睛】方法点睛:由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数,当1a 与d 异号时,n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当1a 与d 同号时,n S 在1n =取最值. 26.BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项,取n a n =,则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数,则{}2n a 不是等方差数列,A 选项中的结论错误; 对于B 选项,()()22111110n n +⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数,则(){}1n-是等方差数列,B 选项中的结论正确;对于C 选项,若{}n a 是等方差数列,则存在常数p R ∈,使得221n n a a p +-=,则数列{}2na 为等差数列,所以()221kn k n a a kp +-=,则数列{}kn a (*k N ∈,k 为常数)也是等方差数列,C 选项中的结论正确;对于D 选项,若数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,则存在m R ∈,使得n a dn m =+,则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++,由于数列{}n a 也为等方差数列,所以,存在实数p ,使得221n n a a p +-=,则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立,则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,得0p d ==,此时,数列{}n a 为常数列,D 选项正确.故选BCD. 【点睛】本题考查数列中的新定义,解题时要充分利用题中的定义进行判断,也可以结合特殊数列来判断命题不成立,考查逻辑推理能力,属于中等题. 27.AC 【分析】 将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212a a e e -+-≤++,构造函数()1112x f x e =-+,利用函数单调性可得320190a a +≥,再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由3201911111a a e e +≤++,可得32019111101212a a e e -+-≤++,令()1112x f x e =-+, ()()1111101111x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++,所以()1112xf x e =-+是奇函数,且在R 上单调递减,所以320190a a +≥, 所以当数列{}n a 为等差数列时,()320192*********a a S +=≥;当数列{}n a 为等比数列时,且3a ,1011a ,2019a 同号,所以3a ,1011a ,2019a 均大于零, 故()2021202110110T a =>.故选:AC 【点睛】本题考查等差数列与等比数列,考查逻辑推理能力,转化与化归的数学思想,属于中档题 28.AD 【分析】利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式,可对A ,B ,D 进行判断,对25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断【详解】解:当1n =时,11154a S ==-=-,当2n ≥时,2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-,当1n =时,14a =-满足上式, 所以26n a n =-,由于()122n n a a n --=≥,所以数列{}n a 为首项为4-,公差为2的等差数列,因为公差大于零,所以{}n a 为单调递增数列,所以A ,D 正确,B 错误, 由于225255()24n S n n n =-=--,而n ∈+N ,所以当2n =或3n =时,n S 取最小值,且最小值为6-,所以C 错误, 故选:AD 【点睛】此题考查,n n a S 的关系,考查由递推式求通项并判断等差数列,考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题,属于基础题 29.AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,可判断A ,B ;由二次函数的配方法,结合n 为正整数,可判断C ;由0n S <解不等式可判断D .【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差0d ≠,由690S =,可得161590a d +=,即12530a d +=,①由7a 是3a 与9a 的等比中项,得2739a a a =,即()()()2111628a d a d a d +=++,化为1100a d +=,②由①②解得120a =,2d =-,则202(1)222n a n n =--=-,21(20222)212n S n n n n =+-=-,由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,可得10n =或11时,n S 取得最大值110; 由2102n S n n -<=,解得21n >,则n 的最小值为22.故选:AD 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式,以及等比中项的性质,二次函数的最值求法,考查方程思想和运算能力,属于中档题. 30.ABC 【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案. 【详解】解:对于A.,若59S S =,则67890a a a a +++=,所以781140a a a a +=+=,所以()114141402a a S +==,故A 选项正确;对于B 选项,若59S S =,则780+=a a ,由于10a >,公差0d ≠,故0d <,故780,0a a ><,所以7S 是n S 中最大的项;故B 选项正确;C. 若67S S >,则70a <,由于10a >,公差0d ≠,故0d <,故80a <,6a 的符号不定,故必有78S S >,56S S >无法确定;故C 正确,D 错误. 故选:ABC . 【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质,是中档题.。
等差数列测试题含答案
等差数列测试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题1.等差数列1+x ,2x +2,5x +1,…的第四项等于( ) A .10B .6C .8D .122.在等差数列{}n a 中,若2810a a +=.,则()24652a a a +-=( ) A .100B .90C .95D .203.已知数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 分别满足下列各式,其中数列{}n b 必为等差数列的是( ) A .||n n b a =B .2n n b a =C .1n nb a =D .2nn a b =-4.在等差数列{}n a 中,11a =,513a =,则数列{}n a 的前5项和为( ) A .13B .16C .32D .355.在等差数列{}n a 中,若39717,9a a a +==,则5a =( ) A .6B .7C .8D .96.在等差数列{}n a 中,124a a +=,7828a a +=,则数列的通项公式n a 为( ) A .2nB .21nC .21n -D .22n +7.已知数列{}n a 是等差数列,71320a a +=,则91011a a a ++= ( ) A .36B .30C .24D .18.已知数列{}n a 是首项为2,公差为4的等差数列,若2022n a =,则n = ( ) A .504B .505C .506D .5079.已知数列{}n a 满足13n n a a +=-,127a =,*n ∈N ,则5a 的值为( ) A .12B .15C .39D .4210.已知等差数列{}n a 满足3456790a a a a a ++++=,则28a a +等于( ) A .18B .30C .36D .4511.在等差数列{}n a 中,143,24a a ==,则7a = A .32B .45C .64D .9612.设数列{}n a 是公差为d 的等差数列,若244,6a a ==,则d = ( )A .4B .3C .2D .113.在等差数列{}n a 中,若3712a a +=,则5a =( ) A .4B .6C .8D .1014.在等差数列{}n a 中,若3691215120a a a a a ++++=,则12183a a -的值为( ) A .24B .36C .48D .6015.在等差数列{}n a 中,51340a a +=,则8910a a a ++=( ) A .72B .60C .48D .3616.已知数列{}n a 是等差数列,且66a =,108a =,则公差d =( ) A .12B .23C .1D .2二、填空题17.在数列{}n a 中,12a =,13n n a a +-=则数列{}n a 的通项公式为________________. 18.已知数列{}n a 中,12a =,25a =,212n n n a a a +++=,则100a =________ 19.在等差数列{}n a 中,47a =,2818a a +=,则公差d =__________.20.己知等差数列{}n a 满足:10a =,54a =,则公差d =______;24a a +=_______. 21.已知数列{}n a 对任意的,m n N +∈有mn m n a a a ++=,若12a =,则2019a =_______.参考答案1.C 【解析】 【分析】根据等差中项的性质求出x ,进而求出公差,得出答案. 【详解】解:由题意可得,(1+x )+(5x +1)=2(2x +2) 解得x =1∴这个数列为2,4,6,8,… 故选C. 【点睛】本题考查了等差数列及等差中项的性质. 2.B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质,即下标和相等对应项的和相等,得到28465210a a a a a +=+==. 【详解】数列{}n a 为等差数列,28465210a a a a a +=+==,∴()24652a a a +-=2101090-=.【点睛】考查等差数列的性质、等差中项,考查基本量法求数列问题. 3.D 【解析】 【分析】对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】设数列{}n a 的公差为d ,选项A,B,C,都不满足1n n b b --=同一常数,所以三个选项都是错误的;对于选项D ,1112222n n n n n n a a a a d b b -----=-+==-, 所以数列{}n b 必为等差数列. 故选:D 【点睛】本题主要考查等差数列的判定和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题. 4.D 【解析】 【分析】直接利用等差数列的前n 项和公式求解. 【详解】数列{}n a 的前5项和为1555)(113)3522a a +=+=(. 故选:D 【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和的计算,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题. 5.C 【解析】 【分析】通过等差数列的性质可得答案. 【详解】因为3917a a +=,79a =,所以51798a =-=. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质,难度不大. 6.C 【解析】 【分析】直接利用等差数列公式解方程组得到答案.【详解】121424a a a d +=⇒+= 7812821328a a a d +=⇒+= 1211,2n n a d a ==⇒-=故答案选C 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,属于基础题型. 7.B 【解析】 【分析】通过等差中项的性质即可得到答案. 【详解】由于71310220a a a +==,故9101110330a a a a ++==,故选B. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质,难度较小. 8.C 【解析】 【分析】本题首先可根据首项为2以及公差为4求出数列{}n a 的通项公式,然后根据2022n a =以及数列{}n a 的通项公式即可求出答案。
等差数列练习题(有答案) 百度文库
一、等差数列选择题1.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺,20日共织布232尺,则该女子织布每日增加( )尺 A .47B .1629C .815D .452.已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若S 2=8,38522a a a +=+,则a 1等于( ) A .1 B .2 C .3 D .4 3.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( ) A .8B .10C .12D .144.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差1d =,且6210S S ,则34a a +=( )A .2B .3C .4D .55.定义12nnp p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”,若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为12n,又2n n a b =,则1223910111b b b b b b +++=( ) A .817 B .1021C .1123 D .9196.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且3944a a a +=+,则15S =( ) A .45B .50C .60D .807.设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为( ).A .65B .16C .15D .148.等差数列{}n a 中,12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列的前20项和等于( ) A .160B .180C .200D .2209.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且77b a =,则3810b b b =( )A .1B .8C .4D .210.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2938a a a +=+,则15S =( ) A .60B .120C .160D .24011.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()11213n n n n S S a n +++=+-+,现有如下说法:①541a a =;②222121n n a a n ++=-;③401220S =. 则正确的个数为( ) A .0B .1C .2D .312.已知数列{}n a 的前项和221n S n =+,n *∈N ,则5a =( )A .20B .17C .18D .19 13.在等差数列{a n }中,已知a 5=3,a 9=6,则a 13=( )A .9B .12C .15D .1814.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知58a =,36S =,则107S S -的值是( ) A .48B .60C .72D .2415.设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ,已知10100S =,则47a a +=( ) A .12B .20C .40D .10016.已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =,则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =( )A .4或5B .5或6C .4D .517.在等差数列{}n a 中,25812a a a ++=,则{}n a 的前9项和9S =( ) A .36B .48C .56D .7218.若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈,且11a =,则2021a =( ) A .1010 B .1011 C .2020D .202119.已知等差数列{}n a 中,7916+=a a ,41a =,则12a 的值是( ) A .15B .30C .3D .6420.已知等差数列{}n a 满足48a =,6711a a +=,则2a =( ) A .10B .9C .8D .7二、多选题21.设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈,关于数列{}n a ,下列四个命题中正确的是( )A .若1*()n n a a n N +∈=,则{}n a 既是等差数列又是等比数列B .若2n S An Bn =+(A ,B 为常数,*n N ∈),则{}n a 是等差数列C .若()11nn S =--,则{}n a 是等比数列D .若{}n a 是等差数列,则n S ,2n n S S -,*32()n n S S n N -∈也成等差数列22.设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并且满足条件11a >,667711,01a a a a -><-,则下列结论正确的是( ) A .01q <<B .681a a >C .n S 的最大值为7SD .n T 的最大值为6T23.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若30S =,46a =,则( )A .23n S n n =- B .2392-=n n nSC .36n a n =-D .2n a n =24.等差数列{}n a 是递增数列,公差为d ,前n 项和为n S ,满足753a a =,下列选项正确的是( ) A .0d <B .10a <C .当5n =时n S 最小D .0n S >时n 的最小值为825.朱世杰是元代著名数学家,他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题,主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔,小明模仿“堆垛”问题,将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”,要求层数不小于2,且从最下面一层开始,每一层比上一层多1根,则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是( ) A .4B .5C .7D .826.已知数列0,2,0,2,0,2,,则前六项适合的通项公式为( )A .1(1)nn a =+-B .2cos2n n a π= C .(1)2sin2n n a π+= D .1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--27.已知数列{}n a 为等差数列,则下列说法正确的是( ) A .1n n a a d +=+(d 为常数) B .数列{}n a -是等差数列 C .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 D .1n a +是n a 与2n a +的等差中项28.设d 为正项等差数列{}n a 的公差,若0d >,32a =,则( ) A .244a a ⋅<B .224154a a +≥C .15111a a +> D .1524a a a a ⋅>⋅29.在数列{}n a 中,若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等方差数列 B .{(1)}n -是等方差数列C .若{}n a 是等方差数列,则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列30.已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,67S S <,且78S S >,则( ) A .在数列{}n a 中,1a 最大B .在数列{}n a 中,3a 或4a 最大C .310S S =D .当8n ≥时,0n a <【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺,由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】设该妇子织布每天增加d 尺, 由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=, 解得45d =. 故该女子织布每天增加45尺. 故选:D 2.C 【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算,可求出1a . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则3856522a a a a a +=+=+,解得652d a a =-=,212112228S a a a d a =+=+=+=,解得13a =故选:C 3.C 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列,S 3=12,即1232312a a a a ++==,解得24a =. 由12a =,所以数列的公差21422d a a =-=-=, 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=, 所以62612a =⨯=. 故选:C4.B 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,公差1d =,6210S S ,所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=, 解得343a a +=. 故选:B. 5.D 【分析】由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和,然后利用前n 项和求解通项公式,最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,由题意可得:12n n S n=,则:22n S n =, 当1n =时,112a S ==,当2n ≥时,142n n n a S S n -=-=-, 且14122a =⨯-=,据此可得 42n a n =-,故212nn a b n ==-,()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭, 据此有:12239101111111111233517191.21891919b b b b b b +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⨯= 故选:D 6.C 【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】{}n a 是等差数列,3944a a a +=+,4844a a a ∴+=+,84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选:C【点睛】本题考查等差数列性质及前n 项和公式,属于基础题 7.C 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差,然后求解8a . 【详解】由21n S n =+得,12a =,()2111n S n -=-+,所以()221121n n n a S S n n n -=-=--=-,所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩,故828115a =⨯-=.故选:C. 【点睛】本题考查数列的通项公式求解,较简单,利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 8.B 【分析】把已知的两式相加得到12018a a +=,再求20S 得解. 【详解】由题得120219318()()()247854a a a a a a +++++=-+=, 所以1201203()54,18a a a a +=∴+=. 所以2012020()10181802S a a =+=⨯=. 故选:B 9.B 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,求出72a =,再由等比数列的性质,即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=,所以27720a a -=,解得72a =或70a =(舍);又数列{}n b 是等比数列,且772b a ==,所以33810371178b b b b b b b ===.故选:B. 10.B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+,结合题意,可得出88a =,最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质,得出()11515815152a a S a +==,从而可得出结果.【详解】解:由题可知,2938a a a +=+,由等差数列的性质可知2938a a a a +=+,则88a =,故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选:B. 11.D 【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-,再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-,22165k k a a k -=+-,然后再联立递推逐项判断. 【详解】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+,所以()11132n n n a a n ++=-+-,所以()212621k k a a k +=-+-,()221652k k a a k -=+-, 联立得:()212133k k a a +-+=, 所以()232134k k a a +++=, 故2321k k a a +-=,从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=,22162k k a a k ++=-,222161k k a a k ++=++,则222121k k a a k ++=-,故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++,()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++,()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220,故①②③正确. 故选:D 12.C 【分析】根据题中条件,由554a S S =-,即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈, 所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=.故选:C . 13.A 【分析】在等差数列{a n }中,利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】在等差数列{a n }中,a 5=3,a 9=6, 所以95132a a a =+,所以139522639a a a =-=⨯-=, 故选:A 14.A 【分析】根据条件列方程组,求首项和公差,再根据107891093S S a a a a -=++=,代入求值. 【详解】由条件可知114832362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得:102a d =⎧⎨=⎩, ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.故选:A 15.B 【分析】由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+,再由1011045100S a d =+=,从而可得结果. 【详解】 解:1011045100S a d =+=,12920a d ∴+=, 4712920a a a d ∴+=+=.故选:B. 16.A 【分析】由2219a a =,可得14a d =-,从而得2922n d d S n n =-,然后利用二次函数的性质求其最值即可 【详解】解:设递减的等差数列{}n a 的公差为d (0d <),因为2219a a =,所以2211(8)a a d =+,化简得14a d =-,所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-, 对称轴为92n =, 因为n ∈+N ,02d<, 所以当4n =或5n =时,n S 取最大值, 故选:A 17.A 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,得出54a =,再由等差数列前n 项和公式,即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列,25812a a a ++=, 所以5312a =,即54a =, 所以()1999983622a a S +⨯===. 故选:A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 18.B 【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】 由121()2n n a a n N *++=∈,则11()2n n a a n N *+=+∈, 即112n n a a +-=, 所以数列{}n a 是以1为首项,12为公差的等差数列, 所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=, 所以2021a =2021110112+=. 故选:B 19.A 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据等差数列的通项公式列方程组,求出1a 和d 的值,12111a a d =+,即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则111681631a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩,即117831a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得:174174d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以12117760111115444a a d =+=-+⨯==, 所以12a 的值是15, 故选:A 20.A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ,进一步求得2a . 【详解】在等差数列{}n a 中,设公差为d ,由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩,24210a a d ∴=-=. 故选:A二、多选题21.BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列,当0n a =时不是等比数列,故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列,故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立,12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列,故对;选项D: {}n a 是等差数列,由等差数列性质得n S ,2n n S S -,*32()n n S S n N -∈是等差数列,故对; 故选:BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键. 22.AD【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况,得出符合题意的一项. 【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<,则n T 的最大值为6T .∴B ,C ,错误.故选:AD. 【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充:等比数列的通项公式:()1*1n n a a q n N -=∈.23.BC 【分析】由已知条件列方程组,求出公差和首项,从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】解:设等差数列{}n a 的公差为d , 因为30S =,46a =,所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得133a d =-⎧⎨=⎩, 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-,21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=, 故选:BC 24.BD 【分析】由题意可知0d >,由已知条件753a a =可得出13a d =-,可判断出AB 选项的正误,求出n S 关于d 的表达式,利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列{}n a 是递增数列,则0d >,A 选项错误;753a a =,则()11634a d a d +=+,可得130a d =-<,B 选项正确;()()()22171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,当3n =或4时,n S 最小,C 选项错误; 令0n S >,可得270n n ->,解得0n <或7n >.n N *∈,所以,满足0n S >时n 的最小值为8,D 选项正确.故选:BD. 25.BD 【分析】依据题意,根数从上至下构成等差数列,设首项即第一层的根数为1a ,公差即每一层比上一层多的根数为1d =,设一共放()2n n ≥层,利用等差数列求和公式,分析即可得解. 【详解】依据题意,根数从上至下构成等差数列,设首项即第一层的根数为1a ,公差为1d =,设一共放()2n n ≥层,则总得根数为:()()111110022n n n d n n S na na --=+=+= 整理得120021a n n=+-, 因为1a *∈N ,所以n 为200的因数,()20012n n+-≥且为偶数, 验证可知5,8n =满足题意. 故选:BD. 【点睛】关键点睛:本题考查等差数列的求和公式,解题的关键是分析题意,把题目信息转化为等差数列,考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力,属于基础题. 26.AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项,看是否满足题意,得出答案. 【详解】对于选项A ,1(1)nn a =+-取前六项得:0,2,0,2,0,2,满足条件;对于选项B ,2cos 2n n a π=取前六项得:0,2,0,2,0,2--,不满足条件; 对于选项C ,(1)2sin2n n a π+=取前六项得:0,2,0,2,0,2,满足条件; 对于选项D ,1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得:0,2,2,8,12,22,不满足条件; 故选:AC27.ABD 【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项,根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】A.因为数列{}n a 是等差数列,所以1n n a a d +-=,即1n n a a d +=+,所以A 正确;B. 因为数列{}n a 是等差数列,所以1n n a a d +-=,那么()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-,所以数列{}n a -是等差数列,故B 正确;C.111111n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==,不是常数,所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等差数列,故C 不正确;D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+,所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项,故D 正确. 故选:ABD 【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列,属于基础题型. 28.ABC 【分析】由已知求得公差d 的范围:01d <<,把各选项中的项全部用d 表示,并根据01d <<判断各选项. 【详解】 由题知,只需1220010a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩,()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<,A 正确;()()2222415223644a a d d d d +=-++=-+>≥,B 正确; 21511111122221a a d d d+=+=>-+-,C 正确; ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<,所以1524a a a a ⋅<⋅,D 错误. 【点睛】本题考查等差数列的性质,解题方法是由已知确定d 的范围,由通项公式写出各项(用d 表示)后,可判断. 29.BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ,若{}n a 是等差数列,如n a n =,则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数,故{}n a 不是等方差数列,故A 错误;对于B ,数列(){}1n-中,222121[(1)][(1)]0n n n n aa ---=---=是常数, {(1)}n ∴-是等方差数列,故B 正确;对于C ,数列{}n a 中的项列举出来是,1a ,2a ,,k a ,,2k a ,数列{}kn a 中的项列举出来是,k a ,2k a ,3k a ,,()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=,将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k k k aa a a a a a a kp +++++--+-+-++-=,222k k a a kp ∴-=,()221kn kn a a kp +∴-=,{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列,故C 正确;对于D ,{}n a 是等差数列,1n n a a d -∴-=,则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列,()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数,故220d =,故0d =,所以(2)0m d d +=,2210n n a a --=是常数,故D 正确.故选:BCD. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义,属于中档题. 30.AD 【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=,可知不一定成立,从而判定C 错误. 【详解】由已知得:780,0a a ><,结合等差数列的性质可知,0d <,该等差数列是单调递减的数列, ∴A 正确,B 错误,D 正确,310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=,即160a d +=,这在已知条件中是没有的,故C 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和,属基础题,关键在于掌握和与项的关系.。
等差数列基础测试题(附详细答案)
姓名:_______________学号:____________________班级:_____________________之答禄夫天创作等差数列基础检测题一、选择题(共60分,每小题5分)1、已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d =2,则a4等于( )A .5B .6C .7D .92、已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于( )A .4B .5C .6D .73、在数列{an}中,若a1=1,an +1=an +2(n≥1),则该数列的通项公式an =( )A .2n +1B .2n -1C .2nD .2(n -1)4、等差数列{an}的公差为d ,则数列{can}(c 为常数且c≠0)( )A .是公差为d 的等差数列B .是公差为cd 的等差数列C .不是等差数列D .以上都分歧错误5、在等差数列{an}中,a1=21,a7=18,则公差d =( )A.12B.13C .-12D .-136、在等差数列{an}中,a2=5,a6=17,则a14=( )A .45B .41C .39D .37X k b 1 . c o m7、等差数列{an}中,前三项依次为1x +1,56x ,1x,则a101=( )A .5013B .1323C .24D .8238、已知数列{an}对任意的n∈N*,点Pn(n ,an)都在直线y =2x+1上,则{an}为( )A .公差为2的等差数列B .公差为1的等差数列C .公差为-2的等差数列D .非等差数列9、已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5,则m 和n 的等差中项是( )A .2B .3C .6D .910、若数列{an}是等差数列,且a1+a4=45,a2+a5=39,则a3+a6=( )A .24B .27C .30D .3311、下面数列中,是等差数列的有( )①4,5,6,7,8,…②3,0,-3,0,-6,…③0,0,0,0,…④110,210,310,410,…新课标第一网 A .1个 B .2个C .3个D .4个12、首项为-24的等差数列从第10项起开始为正数,则公差d 的取值范围是( )A .d >83B .d <3 C.83≤d<3 D.83<d≤3 二、填空题(共20,每小题5分)13、在等差数列{an}中,a10=10,a20=20,则a30=________.14、△ABC 三个内角A 、B 、C 成等差数列,则B =__________.15、在等差数列{an}中,若a7=m ,a14=n ,则a21=________.16、已知数列{an}满足a2n +1=a2n +4,且a1=1,an >0,则an =________.三、解答题(共70分)17、在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求它的通项公式.(10分)18、在等差数列{an}中,(1)已知a5=-1,a8=2,求a1与d ;(2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9.19、已知{an}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16.(12分)(1)求数列{an}的通项公式;(2)若从数列{an}中,依次取出第2项,第4项,第6项,…,第2n 项,按原来顺序组成一个新数列{bn},试求出{bn}的通项公式.20、已知等差数列{an}中,a1<a2<a3<…<an 且a3,a6为方程x2-10x +16=0的两个实根.(12分)(1)求此数列{an}的通项公式;(2)268是不是此数列中的项?若是,是第多少项?若不是,说明理由.21、已知三个数成等差数列,其和为15,首、末两项的积为9,求这三个数.(12分)22、已知(1,1),(3,5)是等差数列{an}图象上的两点.(12分)(1)求这个数列的通项公式;(2)画出这个数列的图象; (3)判断这个数列的单调性. 答案: 一、选择题二、填空题13、解析:法一:d =a20-a1020-10=20-1020-10=1,a30=a20+10d =20+10=30.法二:由题意可知,a10、a20、a30成等差数列,所以a30=2a20-a10=2×20-10=30.答案:3014、解析:∵A、B 、C 成等差数列,∴2B=A +C.又A +B +C =180°,∴3B=180°,∴B=60°.答案:60°四、附加题已知正数a ,b ,c 组成等差数列,且公差不为零,那么由它们的倒数所组成的数列1a ,1b ,1c 能否成为等差数列?15、解析:∵a7、a14、a21成等差数列,∴a7+a21=2a14,a21=2a14-a7=2n -m.答案:2n -m16、解析:根据已知条件a2n +1=a2n +4,即a2n +1-a2n =4, ∴数列{a2n }是公差为4的等差数列,∴a 2n =a21+(n -1)·4=4n -3.∵an>0,∴an=4n -3.答案:4n -3三、解答题17、解:由an =a1+(n -1)d 得⎩⎪⎨⎪⎧ 10=a1+4d 31=a1+11d ,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a1=-2d =3.∴等差数列的通项公式为an =3n -5.18、解:(1)由题意,知⎩⎪⎨⎪⎧ a1+5-1d =-1,a1+8-1d =2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a1=-5,d =1. (2)由题意,知⎩⎪⎨⎪⎧ a1+a1+6-1d =12,a1+4-1d =7. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a1=1,d =2. ∴a9=a1+(9-1)d =1+8×2=17.19、解:(1)∵a1+a2+a3=12,∴a2=4,∵a8=a2+(8-2)d ,∴16=4+6d ,∴d=2,∴an=a2+(n -2)d =4+(n -2)×2=2n.(2)a2=4,a4=8,a8=16,…,a2n =2×2n=4n.当n >1时,a2n -a2(n -1)=4n -4(n -1)=4.∴{bn}是以4为首项,4为公差的等差数列.∴bn=b1+(n -1)d =4+4(n -1)=4n.20、解:(1)由已知条件得a3=2,a6=8.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a1+2d =2a1+5d =8,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a1=-2d =2.∴an=-2+(n -1)×2=2n -4(n∈N*).∴数列{an}的通项公式为an =2n -4.(2)令268=2n -4(n∈N*),解得n =136.∴268是此数列的第136项.21、解:由题意,可设这三个数分别为a -d ,a ,a +d , 则⎩⎪⎨⎪⎧ a -d +a +a +d =15,a -d a +d =9,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =5d =4或⎩⎪⎨⎪⎧ a =5,d =-4.所以,当d =4时,这三个数为1,5,9;当d =-4时,这三个数为9,5,1.22、解:(1)由于(1,1),(3,5)是等差数列{an}图象上的两点,所以a1=1,a3=5,由于a3=a1+2d =1+2d =5,解得d =2,于是an =2n -1.(2)图象是直线y =2x -1上一些等间隔的点(如图).(3)因为一次函数y =2x -1是增函数,所以数列{an}是递增数列四、附加题 2b =-2ac -a +c 22abc =2ac -2b2abc =a +c ac -2b =)1c +1a (-.1c+1a ≠2b ,所以<0a -c 22abc 不克不及成为等差数列.1c ,1b ,1a 所以。
等差数列基础练习题 百度文库
【分析】
首先根据数列的通项 与 的关系,得到 , , ,再根据选项,代入前 项和公式,计算结果.
【详解】
由 得, , , .
又 ,
,
.
故选:C.
【点睛】
关键点睛:本题的第一个关键是根据公式 ,判断数列的项的正负,第二个关键能利用等差数列的性质和公式,将判断和的正负转化为项的正负.
14.B
【分析】
对于C,数列 中的项列举出来是, , , , , , ,
数列 中的项列举出来是, , , , ,
,将这k个式子累加得 , , , k为常数 是等方差数列,故C正确;
对于D, 是等差数列, ,则设
是等方差数列, 是常数,故 ,故 ,所以 , 是常数,故D正确.
故选:BCD.
【点睛】
本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义,属于中档题.
16.C
【分析】
根据首末两项求等差数列的公差,再求这5个数字.
【详解】
在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,
则 ,则 ,
则这5个数依次是5,9,13,17,21.
故选:C
17.A
【分析】
由 和 求出公差 ,再根据 可求得结果.
【详解】
设公差为 ,则 ,
所以 .
故选:A
18.D
【分析】
由 得到 ,再分n为奇数和偶数得到 , ,然后再联立递推逐项判断.
【详解】
根据题意可知,这30个老人年龄之和为1520,设年纪最小者年龄为n,年纪最大者为m, ,则有
则有 ,则 ,所以
解得 ,因为年龄为整数,所以 .
故选:D
8.B
【分析】
根据已知条件判断 时对应的 的范围,由此求得 的最大值.
等差数列练习题
等差数列练习题等差数列练习题(一):一、选择题1.在等差数列{an}中,a2=5,a6=17,则a14=()A.45 B.41C.39 D.372.在等差数列{an}中,a1=21,a7=18,则公差d=()A。
12 B。
13C.-12 D.-13解析:选C。
∵a7=a1+(7-1)d=21+6d=18,∴d=-12。
解析:选B。
a6=a2+(6-2)d=5+4d=17,解得d=3。
所以a14=a2+(14-2)d=5+12×3=41。
3.已知数列{an}对任意的n∈N*,点Pn(n,an)都在直线y =2x+1上,则{an}为()A.公差为2的等差数列 B.公差为1的等差数列C.公差为-2的等差数列 D.非等差数列解析:选A。
an=2n+1,∴an+1-an=2,应选A。
4.数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为-2,公差为4的等差数列.若an=bn,则n的值为()A.4 B.5C.6 D.7解析:选B。
an=2+(n-1)×3=3n-1,bn=-2+(n-1)×4=4n-6,令an=bn得3n-1=4n-6,∴n=5。
5.下方数列中,是等差数列的有()①4,5,6,7,8,…②3,0,-3,0,-6,…③0,0,0,0,…④110,210,310,410,…A.1个 B.2个C.3个 D.4个解析:选C。
利用等差数列的定义验证可知①、③、④是等差数列.6.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m 和n的等差中项是()A.2 B.3C.6 D.9解析:选B。
由题意得m+2n=82m+n=10,∴m+n=6, ∴m、n的等差中项为3。
等差数列基础测试题(附详细答案)
等差数列基础测试题(附详细答案)本页仅作为文档封面,使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March姓名:_______________学号:____________________班级:_____________________等差数列基础检测题一、选择题(共60分,每小题5分)1、已知等差数列{a n }的首项a 1=1,公差d =2,则a 4等于( )A .5B .6C .7D .92、已知{a n }为等差数列,a 2+a 8=12,则a 5等于( )A .4B .5C .6D .73、在数列{a n }中,若a 1=1,a n +1=a n +2(n ≥1),则该数列的通项公式a n =( )A .2n +1B .2n -1C .2nD .2(n -1)4、等差数列{a n }的公差为d ,则数列{ca n }(c 为常数且c ≠0)( )A .是公差为d 的等差数列B .是公差为cd 的等差数列C .不是等差数列D .以上都不对5、在等差数列{a n }中,a 1=21,a 7=18,则公差d =( )C .-12D .-136、在等差数列{a n }中,a 2=5,a 6=17,则a 14=( )A .45B .41C .39D .37X k b 1 . c o m7、等差数列{a n }中,前三项依次为1x +1,56x ,1x ,则a 101=( )A .5013B .1323C .24D .8238、已知数列{a n }对任意的n ∈N *,点P n (n ,a n )都在直线y =2x +1上,则{a n }为( )A .公差为2的等差数列B .公差为1的等差数列C .公差为-2的等差数列D .非等差数列9、已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5,则m 和n 的等差中项是() A .2 B .3C .6D .910、若数列{a n }是等差数列,且a 1+a 4=45,a 2+a 5=39,则a 3+a 6=( )A .24B .27C .30D .3311、下面数列中,是等差数列的有( )①4,5,6,7,8,… ②3,0,-3,0,-6,… ③0,0,0,0,…④110,210,310,410,…A .1个B .2个C .3个D .4个12、首项为-24的等差数列从第10项起开始为正数,则公差d 的取值范围是( )A .d >83B .d <3≤d <3 <d ≤3二、填空题(共20,每小题5分)13、在等差数列{a n}中,a10=10,a20=20,则a30=________.14、△ABC三个内角A、B、C成等差数列,则B=__________.15、在等差数列{a n}中,若a7=m,a14=n,则a21=________.16、已知数列{a n}满足a2n+1=a2n+4,且a1=1,a n>0,则a n=________.三、解答题(共70分)17、在等差数列{a n}中,已知a5=10,a12=31,求它的通项公式.(10分)18、在等差数列{a n}中,(1)已知a5=-1,a8=2,求a1与d;(2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9.19、已知{a n}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16.(12分)(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若从数列{a n}中,依次取出第2项,第4项,第6项,…,第2n项,按原来顺序组成一个新数列{b n},试求出{b n}的通项公式.20、已知等差数列{a n}中,a1<a2<a3<…<a n且a3,a6为方程x2-10x+16=0的两个实根.(12分)(1)求此数列{a n}的通项公式;(2)268是不是此数列中的项若是,是第多少项若不是,说明理由.21、已知三个数成等差数列,其和为15,首、末两项的积为9,求这三个数.(12分)22、已知(1,1),(3,5)是等差数列{a n}图象上的两点.(12分)(1)求这个数列的通项公式;(2)画出这个数列的图象;(3)判断这个数列的单调性.答案:一、选择题1-5 CCBBC 6-10 BDABD 11-12 BD二、填空题13、解析:法一:d=a20-a1020-10=20-1020-10=1,a30=a20+10d=20+10=30.四、附加题已知正数a,b,c组成等差数列,且公差不为零,那么由它们的倒数所组成的数列1 a,1 b,1c能否成为等差数列法二:由题意可知,a 10、a 20、a 30成等差数列,所以a 30=2a 20-a 10=2×20-10=30. 答案:3014、解析:∵A 、B 、C 成等差数列,∴2B =A +C .又A +B +C =180°,∴3B =180°,∴B =60°.答案:60°15、解析:∵a 7、a 14、a 21成等差数列,∴a 7+a 21=2a 14,a 21=2a 14-a 7=2n -m . 答案:2n -m16、解析:根据已知条件a 2n +1=a 2n +4,即a 2n +1-a 2n =4,∴数列{a 2n }是公差为4的等差数列,∴a 2n =a 21+(n -1)·4=4n -3. ∵a n >0,∴a n =4n -3.答案:4n -3三、解答题17、解:由a n =a 1+(n -1)d 得⎩⎪⎨⎪⎧ 10=a 1+4d 31=a 1+11d ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-2d =3. ∴等差数列的通项公式为a n =3n -5.18、解:(1)由题意,知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+5-1d =-1,a 1+8-1d =2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=-5,d =1. (2)由题意,知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+a 1+6-1d =12,a 1+4-1d =7.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =2. ∴a 9=a 1+(9-1)d =1+8×2=17.19、解:(1)∵a 1+a 2+a 3=12,∴a 2=4,∵a 8=a 2+(8-2)d ,∴16=4+6d ,∴d =2,∴a n =a 2+(n -2)d =4+(n -2)×2=2n .(2)a 2=4,a 4=8,a 8=16,…,a 2n =2×2n =4n .当n >1时,a 2n -a 2(n -1)=4n -4(n -1)=4.∴{b n }是以4为首项,4为公差的等差数列.∴b n =b 1+(n -1)d =4+4(n -1)=4n .20、解:(1)由已知条件得a 3=2,a 6=8.又∵{a n }为等差数列,设首项为a 1,公差为d ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+2d =2a 1+5d =8,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-2d =2. ∴a n =-2+(n -1)×2=2n -4(n ∈N *).∴数列{a n }的通项公式为a n =2n -4.(2)令268=2n -4(n ∈N *),解得n =136.∴268是此数列的第136项.21、解:由题意,可设这三个数分别为a -d ,a ,a +d ,则⎩⎪⎨⎪⎧ a -d +a +a +d =15,a -d a +d =9,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =5d =4或⎩⎪⎨⎪⎧a =5,d =-4. 所以,当d =4时,这三个数为1,5,9;当d =-4时,这三个数为9,5,1.22、解:(1)由于(1,1),(3,5)是等差数列{a n }图象上的两点,所以a 1=1,a 3=5,由于a 3=a 1+2d =1+2d =5,解得d =2,于是a n =2n -1.(2)图象是直线y =2x -1上一些等间隔的点(如图).(3)因为一次函数y =2x -1是增函数, 所以数列{a n }是递增数列四、附加题解:由已知,得a ≠b 且b ≠c 且c ≠a ,且2b =a +c ,a >0,b >0,c >0.因为2b -(1a +1c )=2b -a +c ac =2ac -2b 2abc =2ac -a +c 22abc =-a -c 22abc<0,所以2b ≠1a +1c .所以1a ,1b ,1c 不能成为等差数列.。
等差数列经典试题(含答案)
一、等差数列选择题1.已知数列{}n a ,{}n b 都是等差数列,记n S ,n T 分别为{}n a ,{}n b 的前n 项和,且713n n S n T n -=,则55a b =( ) A .3415B .2310C .317D .62272.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足212n n n a a a ++=-,534a a =-,则7S =( ) A .7B .12C .14D .213.等差数列{}n a 中,已知14739a a a ++=,则4a =( ) A .13B .14C .15D .164.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=,则7S =( ) A .10-B .8C .12D .145.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且3944a a a +=+,则15S =( ) A .45 B .50 C .60 D .80 6.在等差数列{a n }中,a 3+a 7=4,则必有( )A .a 5=4B .a 6=4C .a 5=2D .a 6=27.等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ,若231n n a n b n =+,则2121S T 的值为( )A .1315B .2335C .1117 D .498.数列{}n a 为等差数列,11a =,34a =,则通项公式是( ) A .32n -B .322n - C .3122n - D .3122n +9.题目文件丢失!10.已知等差数列{}n a 中,5470,0a a a >+<,则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为( ) A .4SB .5SC . 6SD . 7S11.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,戊所得为( ) A .54钱 B .43钱 C .23钱 D .53钱 12.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足:21<<m m m S S S ++,若0n S >,则n 的最大值为( ) A .2mB .21m +C .22m +D .23m +13.在数列{}n a 中,129a =-,()*13n n a a n +=+∈N ,则1220a a a +++=( )A .10B .145C .300D .32014.冬春季节是流感多发期,某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ,已知11a =,22a=,且满足()211+-=+-nn n a a (n *∈N ),则该医院30天入院治疗流感的共有( )人A .225B .255C .365D .46515.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且132a a +=,422a a -=,则5S =( ) A .21B .15C .10D .616.在等差数列{}n a 的中,若131,5a a ==,则5a 等于( ) A .25 B .11 C .10 D .9 17.若等差数列{a n }满足a 2=20,a 5=8,则a 1=( )A .24B .23C .17D .1618.设等差数列{}n a 的前n 和为n S ,若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈,则必有( )A .0m S <且10m S +>B .0m S >且10m S +>C .0m S <且10m S +<D .0m S >且10m S +<19.已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =,则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =( )A .4或5B .5或6C .4D .520.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,10a <且11101921a a =,则当n S 取最小值时,n 的值为( ) A .21B .20C .19D .19或20二、多选题21.斐波那契数列,又称黄金分割数列、兔子数列,是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,此数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和,记该数列为(){}F n ,则(){}F n 的通项公式为( )A .(1)1()2n n F n -+=B .()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C .()n nF n ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦D .()1122n nF n ⎡⎤⎛⎛⎥=+ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦22.题目文件丢失!23.已知数列{}n a 中,11a =,1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈,不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立,则实数a 可能为( ) A .-4B .-2C .0D .224.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10a >,公差0d ≠,则( ) A .若59S >S ,则150S > B .若59S =S ,则7S 是n S 中最大的项 C .若67S S >, 则78S S >D .若67S S >则56S S >.25.朱世杰是元代著名数学家,他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题,主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔,小明模仿“堆垛”问题,将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”,要求层数不小于2,且从最下面一层开始,每一层比上一层多1根,则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是( ) A .4B .5C .7D .826.意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数:1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始,每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他,就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是( ) A .1055a = B .2020a 是偶数C .2020201820223a a a =+D .123a a a +++…20202022a a +=27.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若10a >,717S S =,则( ) A .0d < B .120a > C .13n S S ≤D .当且仅当0nS <时,26n ≥28.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈,公差0d ≠,690S=,7a 是3a 与9a 的等比中项,则下列选项正确的是( ) A .2d =-B .120a =-C .当且仅当10n =时,n S 取最大值D .当0nS <时,n 的最小值为2229.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d .已知312a =,120S >,70a <则( ) A .60a >B .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C .0nS <时,n 的最小值为13D .数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 30.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若90a <,100a >,则下列结论正确的是( ) A .109S S >B .170S <C .1819S S >D .190S >【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.D 【分析】利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】 由713n n S n T n-=, ()()19551991955199927916229239272a a a a a a Sb b b b b b T ++⨯-======++⨯. 故选:D 2.C 【分析】判断出{}n a 是等差数列,然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】∵212n n n a a a ++=-,∴211n n n n a a a a +++-=-,∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-,∴354a a +=,∴173577()7()1422a a a a S ++===. 故选:C 3.A 【分析】利用等差数列的性质可得1742a a a +=,代入已知式子即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得1742a a a +=, 所以1474339a a a a ++==,解得:413a =, 故选:A 4.D利用等差数列下标性质求得4a ,再利用求和公式求解即可 【详解】147446=32a a a a a ++=∴=,则()177477142a a S a +=== 故选:D 5.C 【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】{}n a 是等差数列,3944a a a +=+,4844a a a ∴+=+,84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选:C 【点睛】本题考查等差数列性质及前n 项和公式,属于基础题 6.C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解 【详解】因为a 3+a 7=2a 5=4,所以a 5=2. 故选:C 7.C 【分析】利用等差数列的求和公式,化简求解即可 【详解】2121S T =12112121()21()22a ab b ++÷=121121a a b b ++=1111a b =2113111⨯⨯+=1117.故选C 8.C 【分析】根据题中条件,求出等差数列的公差,进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列,11a =,34a =, 则公差为31322a a d -==, 因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-.9.无10.B 【分析】根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围,由此求得n S 的最大值. 【详解】依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩,所以015n a n >⇒≤≤, 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 11.C 【分析】根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -,a d -,a ,a d +,2a d +,然后再由五人钱之和为5,甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解. 【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -,a d -,a ,a d +,2a d +, 则根据题意有(2)()()(2)5(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎨-+-=++++⎩,解得116a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩,所以戊所得为223a d +=, 故选:C . 12.C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系,得到10m a +>,2<0m a +,12+>0m m a a ++,再根据选项,代入前n 项和公式,计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得,10m a +>,2<0m a +,12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+,()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+,()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C.【点睛】关键点睛:本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩,判断数列的项的正负,第二个关键能利用等差数列的性质和公式,将判断和的正负转化为项的正负. 13.C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-,结合分组求和法即可得解。
等差数列单元测试题+答案 百度文库
一、等差数列选择题1.在数列{}n a 中,129a =-,()*13n n a a n +=+∈N ,则1220a a a +++=( )A .10B .145C .300D .320 2.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( )A .8B .10C .12D .143.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,15a =,且满足122527n na a n n +-=--,若p ,*q ∈N ,p q >,则p q S S -的最小值为( )A .6-B .2-C .1-D .04.定义12nnp p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”,若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为12n ,又2n n a b =,则1223910111b b b b b b +++=( ) A .817 B .1021C .1123 D .9195.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且3944a a a +=+,则15S =( ) A .45 B .50 C .60 D .80 6.在等差数列{a n }中,a 3+a 7=4,则必有( )A .a 5=4B .a 6=4C .a 5=2D .a 6=27.已知数列{}n a 为等差数列,2628a a +=,5943a a +=,则10a =( ) A .29B .38C .40D .588.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若936S S =,则612SS =( ) A .177B .83C .143D .1039.题目文件丢失!10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,31567a a a +=+,则23S =( ) A .121B .161C .141D .15111.已知{}n a 为等差数列,n S 是其前n 项和,且100S =,下列式子正确的是( ) A .450a a +=B .560a a +=C .670a a +=D .890a a +=12.已知等差数列{}n a 的公差d 为正数,()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数,则n a =( )A .21n -B .43n -C .54n -D .n 13.在等差数列{a n }中,已知a 5=3,a 9=6,则a 13=( )A .9B .12C .15D .1814.已知{}n a 是公差为2的等差数列,前5项和525S =,若215m a =,则m =( ) A .4B .6C .7D .815.设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ,已知10100S =,则47a a +=( ) A .12B .20C .40D .10016.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2n S n =.定义数列{}n b 如下:()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值,则13519 b b b b ++++=( )A .25B .50C .75D .10017.已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ,则*n N ∈时,使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是( ) A .19B .20C .21D .2218.在等差数列{}n a 的中,若131,5a a ==,则5a 等于( ) A .25B .11C .10D .919.已知数列{x n }满足x 1=1,x 2=23,且11112n n nx x x -++=(n ≥2),则x n 等于( ) A .(23)n -1B .(23)n C .21n + D .12n + 20.若两个等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且3221n n S n T n +=+,则1215a b =( ) A .32B .7059C .7159D .85二、多选题21.斐波那契数列,又称黄金分割数列、兔子数列,是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,此数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和,记该数列为(){}F n ,则(){}F n 的通项公式为( )A .(1)1()2n n F n -+=B .()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C .()1122n nF n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D .()1122n n F n ⎡⎤⎛⎛⎥=+ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦22.已知数列{}n a 满足:12a =,当2n ≥时,)212n a =-,则关于数列{}n a 的说法正确的是 ( )A .27a =B .数列{}n a 为递增数列C .221n a n n =+-D .数列{}n a 为周期数列23.题目文件丢失!24.题目文件丢失!25.已知数列{}n a 的前4项为2,0,2,0,则该数列的通项公式可能为( )A .0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B .1(1)1n n a -=-+C .2sin2n n a π= D .cos(1)1n a n π=-+26.若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩,135a =,则数列{}n a 中的项的值可能为( ) A .15B .25C .45D .6527.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对于任意的m ,*n N ∈,都有m n m n a a a +=+,则下列结论正确的是( )A .11285a a a a +=+B .56110a a a a <C .若该数列的前三项依次为x ,1x -,3x ,则10103a = D .数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 28.等差数列{}n a 的首项10a >,设其前n 项和为{}n S ,且611S S =,则( ) A .0d >B .0d <C .80a =D .n S 的最大值是8S或者9S29.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =,411a =,则( ) A .45n a n =-B .23n a n =+C .223n S n n =-D .24n S n n =+30.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题,其中的真命题为( ). A .数列{}n a 是递增数列 B .数列{}n na 是递增数列 C .数列{}na n是递增数列 D .数列{}3n a nd +是递增数列【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-,结合分组求和法即可得解。
等差数列经典试题(含答案)
一、等差数列选择题1.数列{}n a 为等差数列,11a =,34a =,则通项公式是( ) A .32n -B .322n - C .3122n - D .3122n + 2.数列{}n a 是项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和是24,偶数项的和为30,若它的末项比首项大212,则该数列的项数是( ) A .8B .4C .12D .163.等差数列{}n a 中,22a =,公差2d =,则10S =( ) A .200B .100C .90D .804.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足212n n n a a a ++=-,534a a =-,则7S =( ) A .7 B .12 C .14 D .21 5.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( ) A .8B .10C .12D .146.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=,则7S =( ) A .10-B .8C .12D .147.在等差数列{}n a 中,3914a a +=,23a =,则10a =( ) A .11B .10C .6D .38.已知数列{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,若454a a +=,则8S =( ) A .16 B .-16C .4D .-49.题目文件丢失!10.在等差数列{a n }中,a 3+a 7=4,则必有( ) A .a 5=4B .a 6=4C .a 5=2D .a 6=211.在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则这五个数为( )A .3、8、13、18、23B .4、8、12、16、20C .5、9、13、17、21D .6、10、14、18、2212.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列,且1109a a a +=,则12910a a a a ++⋅⋅⋅+=( ) A .278B .52C .3D .413.在数列{}n a 中,129a =-,()*13n n a a n +=+∈N ,则1220a a a +++=( )A .10B .145C .300D .32014.在等差数列{}n a 中,若n S 为其前n 项和,65a =,则11S 的值是( ) A .60B .11C .50D .5515.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知58a =,36S =,则107S S -的值是( ) A .48B .60C .72D .24 16.设等差数列{}n a 的公差d ≠0,前n 项和为n S ,若425S a =,则99S a =( ) A .9B .5C .1D .5917.已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列,其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈,则下列判断正确的是( )A .22p p S p a =⋅B .p q m n a a a a >C .1111p q m n a a a a +<+ D .1111p q m nS S S S +>+ 18.已知等差数列{}n a 中,7916+=a a ,41a =,则12a 的值是( ) A .15B .30C .3D .6419.已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈,则{}na 的通项公式为( )A .2n a n =B .21n a n =-C .32n a n =-D .1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩20.设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为( ).A .65B .16C .15D .14二、多选题21.已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和,且S 5>S 6>S 4,以下有四个命题,其中正确的有( )A .数列{}n a 的公差d <0B .数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C .S 10>0D .S 11>022.题目文件丢失!23.已知数列{}n a 中,11a =,1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈,不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立,则实数a 可能为( ) A .-4 B .-2C .0D .224.若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立,则实数a 的可能取值为( )A .2-B .1-C .1D .225.已知数列{}n a 满足112a =-,111n n a a +=-,则下列各数是{}n a 的项的有( )A .2-B .23C .32D .326.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==,则( ) A .25n a n =-B .310na nC .228n S n n =-D .24n S n n =-27.设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,且56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d > B .70a =C .95S S >D .6S 与7S 均为n S 的最大值28.下列命题正确的是( )A .给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B .若等差数列{}n a 的公差0d >,则{}n a 是递增数列C .若a ,b ,c 成等差数列,则111,,a b c可能成等差数列 D .若数列{}n a 是等差数列,则数列{}12++n n a a 也是等差数列29.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d ,且满足10a >,1118S S =,则对n S 描述正确的有( ) A .14S 是唯一最小值 B .15S 是最小值 C .290S =D .15S 是最大值 30.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若90a <,100a >,则下列结论正确的是( ) A .109S S >B .170S <C .1819S S >D .190S >【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.C 【分析】根据题中条件,求出等差数列的公差,进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列,11a =,34a =,则公差为31322a a d -==, 因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选:C. 2.A 【分析】设项数为2n ,由题意可得()21212n d -⋅=,及6S S nd -==奇偶可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的项数为2n , 末项比首项大212, ()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇,30S =偶,30246S S nd ∴-=-==奇偶②.由①②,可得32d =,4n =, 即项数是8, 故选:A. 3.C 【分析】先求得1a ,然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=,所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选:C 4.C 【分析】判断出{}n a 是等差数列,然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】∵212n n n a a a ++=-,∴211n n n n a a a a +++-=-,∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-,∴354a a +=,∴173577()7()1422a a a a S ++===. 故选:C 5.C 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列,S 3=12,即1232312a a a a ++==,解得24a =. 由12a =,所以数列的公差21422d a a =-=-=, 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=, 所以62612a =⨯=. 故选:C 6.D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ,再利用求和公式求解即可 【详解】147446=32a a a a a ++=∴=,则()177477142a a S a +=== 故选:D 7.A 【分析】利用等差数列的通项公式求解1,a d ,代入即可得出结论. 【详解】由3914a a +=,23a =, 又{}n a 为等差数列, 得39121014a a a d +=+=,213a a d =+=,解得12,1a d ==, 则101+92911a a d ==+=; 故选:A. 8.A 【详解】 由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.9.无10.C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解 【详解】因为a 3+a 7=2a 5=4,所以a 5=2. 故选:C 11.C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差,再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则171,25a a ==,则712514716a a d --===-, 则这5个数依次是5,9,13,17,21. 故选:C 12.A 【分析】根据数列{}n a 是等差数列,且1109a a a +=,求出首项和公差的关系,代入式子求解. 【详解】因为1109a a a +=, 所以11298a d a d +=+, 即1a d =-, 所以()11295101019927278849a a a a a d a a d d a d ++⋅⋅⋅+====++.故选:A 13.C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-,结合分组求和法即可得解。
等差数列经典试题(含答案)
C. D.
24.已知数列 ,则前六项适合的通项公式为()
A. B.
C. D.
25.已知等差数列 的公差不为 ,其前 项和为 ,且 、 、 成等差数列,则下列四个选项中正确的有()
A. B. C. 最小D.
26. 是等差数列,公差为d,前项和为 ,若 , ,则下列结论正确的是()
A. B. C. D.
A.4(b2020-b2019)=πa2018·a2021B.a1+a2+a3+…+a2019=a2021-1
C.a12+a22+a32…+(a2020)2=2a2019·a2021D.a2019·a2021-(a2020)2+a2018·a2020-(a2019)2=0
23.已知数列 :1,1,2,3,5,…其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,记 为数列 的前 项和,则下列结论正确的是()
故选:B.
【点睛】
关键点点睛:解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用.
14.B
【分析】
利用等差数列的下标性质,结合等差数列的求和公式即可得结果.
【详解】
由等差数列的性质,可得 , ,
因为 ,
可得 ,即 ,
故数列的前13项之和 .
故选:B.
15.D
【分析】
由等差数列前n项和公式即可得解.
5.A
【详解】
由 .故选A.
6.B
【分析】
利用等差数列性质得到 , ,再利用等差数列求和公式得到答案.
【详解】
根据题意:小李同学每天跑步距离为等差数列,设为 ,
则 ,故 , ,故 ,
则 .
故选:B.
7.B
【分析】
把已知的两式相加得到 ,再求 得解.
等差数列练习题(有答案) 百度文库
一、等差数列选择题1.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列,且1109a a a +=,则12910a a a a ++⋅⋅⋅+=( ) A .278B .52C .3D .42.等差数列{}n a 的公差为2,若248,,a a a 成等比数列,则9S =( ) A .72B .90C .36D .453.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,15a =,且满足122527n na a n n +-=--,若p ,*q ∈N ,p q >,则p q S S -的最小值为( )A .6-B .2-C .1-D .04.定义12nnp p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”,若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为12n,又2n n a b =,则1223910111b b b b b b +++=( ) A .817 B .1021C .1123 D .9195.在巴比伦晚期的《泥板文书》中,有按级递减分物的等差数列问题,其中有一个问题大意是:10个兄弟分100两银子,长兄最多,依次减少相同数目,现知第8兄弟分得6两,则长兄可分得银子的数目为( ) A .825两 B .845两 C .865两 D .885两 6.为了参加学校的长跑比赛,省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米,最后三天共跑了10800米,则这15天小李同学总共跑的路程为( ) A .34000米 B .36000米 C .38000米 D .40000米 7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列判断错误的是( ) A .S 5,S 10-S 5,S 15-S 10必成等差数列 B .S 2,S 4-S 2,S 6-S 4必成等差数列 C .S 5,S 10,S 15+S 10有可能是等差数列 D .S 2,S 4+S 2,S 6+S 4必成等差数列8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且110a =,56S S ≥,下列四个命题:①公差d 的最大值为2-;②70S <;③记n S 的最大值为M ,则M 的最大值为30;④20192020a a >.其真命题的个数是( ) A .4个B .3个C .2个D .1个9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足212n n n a a a ++=-,534a a =-,则7S =( )A .7B .12C .14D .2110.设a ,0b ≠,数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+,*n N ∈,则存在数列{}n b 和{}n c 使得( )A .n n n a b c =+,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B .n n n a b c =+,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列C .·n n n a b c =,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D .·n n n a b c =,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列 11.已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈,则{}na 的通项公式为( )A .2n a n =B .21n a n =-C .32n a n =-D .1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩12.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2938a a a +=+,则15S =( ) A .60B .120C .160D .24013.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺,20日共织布232尺,则该女子织布每日增加( )尺 A .47B .1629C .815D .4514.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且71124a a -=,则5S =( ) A .15B .20C .25D .3015.已知等差数列{}n a 的公差d 为正数,()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数,则n a =( )A .21n -B .43n -C .54n -D .n 16.在等差数列{a n }中,已知a 5=3,a 9=6,则a 13=( )A .9B .12C .15D .1817.设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ,已知10100S =,则47a a +=( ) A .12B .20C .40D .10018.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{} n a ,则5a =( ) A .103B .107C .109D .10519.在等差数列{}n a 的中,若131,5a a ==,则5a 等于( ) A .25B .11C .10D .920.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,10a <且11101921a a =,则当n S 取最小值时,n 的值为( ) A .21B .20C .19D .19或20二、多选题21.题目文件丢失!22.首项为正数,公差不为0的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,则下列4个命题中正确的有( )A .若100S =,则50a >,60a <;B .若412S S =,则使0n S >的最大的n 为15;C .若150S >,160S <,则{}n S 中7S 最大;D .若89S S <,则78S S <.23.朱世杰是元代著名数学家,他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题,主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔,小明模仿“堆垛”问题,将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”,要求层数不小于2,且从最下面一层开始,每一层比上一层多1根,则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是( ) A .4B .5C .7D .824.意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数:1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始,每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他,就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是( ) A .1055a = B .2020a 是偶数C .2020201820223a a a =+D .123a a a +++…20202022a a +=25.无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若a 1>0,d <0,则下列结论正确的是( ) A .数列{}n a 单调递减 B .数列{}n a 有最大值 C .数列{}n S 单调递减D .数列{}n S 有最大值26.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈,公差0d ≠,690S=,7a 是3a 与9a 的等比中项,则下列选项正确的是( ) A .2d =-B .120a =-C .当且仅当10n =时,n S 取最大值D .当0nS <时,n 的最小值为2227.(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10a >,公差0d ≠,则下列命题正确的是( )A .若59S S =,则必有14S =0B .若59S S =,则必有7S 是n S 中最大的项C .若67S S >,则必有78S S >D .若67S S >,则必有56S S >28.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若39S =,47a =,则( )A .2n S n =B .223n S n n =-C .21n a n =-D .35n a n =-29.公差为d 的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,110S >,120S <,下列说法正确的有( ) A .0d <B .70a >C .{}n S 中5S 最大D .49a a <30.已知{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,且13623a a S +=,则以下结论正确的是( ). A .10a =0B .10S 最小C .712S S =D .190S =【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.A 【分析】根据数列{}n a 是等差数列,且1109a a a +=,求出首项和公差的关系,代入式子求解. 【详解】因为1109a a a +=, 所以11298a d a d +=+, 即1a d =-,所以()11295101019927278849a a a a a d a a d d a d ++⋅⋅⋅+====++. 故选:A 2.B 【分析】由题意结合248,,a a a 成等比数列,有2444(4)(8)a a a =-+即可得4a ,进而得到1a 、n a ,即可求9S . 【详解】由题意知:244a a =-,848a a =+,又248,,a a a 成等比数列,∴2444(4)(8)a a a =-+,解之得48a =,∴143862a a d =-=-=,则1(1)2n a a n d n =+-=,∴99(229)902S ⨯+⨯==,故选:B 【点睛】思路点睛:由其中三项成等比数列,利用等比中项性质求项,进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比,即2k m n a a a =; 2、等差数列前n 项和公式1()2n n n a a S +=的应用. 3.A 【分析】 转化条件为122527n na a n n +-=--,由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--,求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】 因为122527n n a a n n +-=--,所以122527n na a n n +-=--, 又1127a =--,所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项,公差为2的等差数列, 所以()1212327na n n n =-+-=--,所以()()2327n a n n =--, 令()()23270n a n n =--≤,解得3722n ≤≤, 所以230,0a a <<,其余各项均大于0, 所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选:A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项,再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项,即可得解. 4.D 【分析】由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和,然后利用前n 项和求解通项公式,最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,由题意可得:12n n S n=,则:22n S n =,当1n =时,112a S ==,当2n ≥时,142n n n a S S n -=-=-, 且14122a =⨯-=,据此可得 42n a n =-, 故212nn a b n ==-,()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭, 据此有:12239101111111111233517191.21891919b b b b b b +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⨯= 故选:D 5.C 【分析】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子,数列{}n a 是等差数列,8106100a S =⎧⎨=⎩利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程,即可求得长兄可分得银子的数目1a . 【详解】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子,由题意可得 设数列{}n a 的公差为d ,其前n 项和为n S ,则由题意得8106100a S =⎧⎨=⎩,即1176109101002a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得186585a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 所以长兄分得865两银子. 故选:C. 【点睛】关键点点睛:本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子构成公差0d <的等差数列,要熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式. 6.B 【分析】利用等差数列性质得到21200a =,143600a =,再利用等差数列求和公式得到答案.【详解】根据题意:小李同学每天跑步距离为等差数列,设为n a ,则123233600a a a a ++==,故21200a =,13141514310800a a a a ++==,故143600a =,则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=. 故选:B. 7.D 【分析】根据等差数列的性质,可判定A 、B 正确;当首项与公差均为0时,可判定C 正确;当首项为1与公差1时,可判定D 错误. 【详解】由题意,数列{}n a 为等差数列,n S 为前n 项和,根据等差数列的性质,可得而51051510,,S S S S S --,和24264,,S S S S S --构成等差数列,所以,所以A ,B 正确;当首项与公差均为0时,5101510,,S S S S +是等差数列,所以C 正确;当首项为1与公差1时,此时2426102,31,86S S S S S =+=+=,此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列,所以D 错误. 故选:D. 8.B 【分析】设公差为d ,利用等差数列的前n 项和公式,56S S ≥,得2d ≤-,由前n 项和公式,得728S ≤,同时可得n S 的最大值,2d =-,5n =或6n =时取得,结合递减数列判断D . 【详解】设公差为d ,由已知110a =,56S S ≥,得5101061015d d ⨯+≥⨯+,所以2d ≤-,A 正确;所以7710217022128S d =⨯+≤-⨯=,B 错误;1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥,解得101n d≤-+,11100n a a nd nd +=+=+≤,解得10n d≥-, 所以10101n d d-≤≤-+,当2d =-时,56n ≤≤, 当5n =时,有最大值,此时51010(2)30M =⨯+⨯-=,当6n =时,有最大值,此时61015(2)30M =⨯+⨯-=,C 正确.又该数列为递减数列,所以20192020a a >,D 正确. 故选:B . 【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列的前n 项和,掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关键.等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由10n n a a +≥⎧⎨≤⎩求得.9.C 【分析】判断出{}n a 是等差数列,然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】∵212n n n a a a ++=-,∴211n n n n a a a a +++-=-,∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-,∴354a a +=,∴173577()7()1422a a a a S ++===. 故选:C 10.D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式,再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征,逐项判断,即可得出正确选项. 【详解】 解:(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+,∴当1n =时,有110S a a ==≠;当2n ≥时,有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅, 又当1n =时,01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式,1()2n n a a bn b -∴=-+⋅,令n b a b bn =+-,12n n c -=,则数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列,故n n n a b c =,其中数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列;故C 错,D 正确;因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅,0b ≠,所以{}12n bn -⋅即不是等差数列,也不是等比数列,故AB 错. 故选:D. 【点睛】 方法点睛:由数列前n 项和求通项公式时,一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解,考查学生的计算能力. 11.B利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式,然后验证1a 的值是否适合,最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =,∴当2n ≥时,221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-,当1n =时,111a S ==,上式也成立,()*21n a n n N ∴=-∈,故选:B. 【点睛】易错点睛:本题考查数列通项公式的求解,涉及到的知识点有数列的项与和的关系,即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立,最后求得结果,考查学生的分类思想与运算求解能力,属于基础题. 12.B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+,结合题意,可得出88a =,最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质,得出()11515815152a a S a +==,从而可得出结果.【详解】解:由题可知,2938a a a +=+,由等差数列的性质可知2938a a a a +=+,则88a =,故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选:B. 13.D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺,由等差数列的前n 项和公式即可求出结果【详解】设该妇子织布每天增加d 尺, 由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=, 解得45d =. 故该女子织布每天增加45尺. 故选:D 14.B设出数列{}n a 的公差,利用等差数列的通项公式及已知条件,得到124a d +=,然后代入求和公式即可求解 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=, 所以()5115455254202S a d a d ⨯=+=+=⨯= 故选:B 15.A 【分析】由已知等式分别求出数列的前三项,由2132a a a =+列出方程,求出公差,利用等差数列的通项公式求解可得答案. 【详解】11a =,()()1211n n n a a tn a ++=+,令1n =,则()()121211a a t a +=+,解得21a t =-令2n =,则()()2322121a a t a +=+,即()2311t a t -=-,若1t =,则20,1a d ==,与已知矛盾,故解得31a t =+{}n a 等差数列,2132a a a ∴=+,即()2111t t -=++,解得4t =则公差212d a a =-=,所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选:A 16.A 【分析】在等差数列{a n }中,利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】在等差数列{a n }中,a 5=3,a 9=6, 所以95132a a a =+,所以139522639a a a =-=⨯-=, 故选:A 17.B 【分析】由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+,再由1011045100S a d =+=,从而可得结果. 【详解】 解:1011045100S a d =+=,12920a d ∴+=,4712920a a a d ∴+=+=.故选:B. 18.B 【分析】根据题意可知正整数能被21整除余2,即可写出通项,求出答案. 【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2,21+2n a n ∴=, 5215+2107a ∴=⨯=.故选:B. 19.D 【分析】利用等差数列的性质直接求解. 【详解】 因为131,5a a ==,315529a a a a =+∴=,故选:D . 20.B 【分析】 由题得出1392a d =-,则2202n dS n dn =-,利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d , 由11101921a a =得11102119a a =,则()()112110199a d a d +=+, 解得1392a d =-,10a <,0d ∴>,()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-,对称轴为20n =,开口向上, ∴当20n =时,n S 最小.故选:B. 【点睛】方法点睛:求等差数列前n 项和最值,由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数,当1a 与d 异号时,n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当1a 与d 同号时,n S 在1n =取最值.二、多选题21.无22.ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质,逐一检验选项,即可得答案. 【详解】对于A :因为正数,公差不为0,且100S =,所以公差0d <, 所以1101010()02a a S +==,即1100a a +=, 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=,又0d <, 所以50a >,60a <,故A 正确; 对于B :因为412S S =,则1240S S -=,所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=,又10a >, 所以890,0a a ><, 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>,116891616()16()022a a a a S ++===, 所以使0n S >的最大的n 为15,故B 正确; 对于C :因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>,则80a >, 116891616()16()022a a a a S ++===,则890a a +=,即90a <, 所以则{}n S 中8S 最大,故C 错误;对于D :因为89S S <,则9980S a S =->,又10a >, 所以8870a S S =->,即87S S >,故D 正确, 故选:ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负,再根据等差数列的性质,对求和公式进行变形,求得项的正负,再分析和判断,考查等差数列性质的灵活应用,属中档题. 23.BD 【分析】依据题意,根数从上至下构成等差数列,设首项即第一层的根数为1a ,公差即每一层比上一层多的根数为1d =,设一共放()2n n ≥层,利用等差数列求和公式,分析即可得解. 【详解】依据题意,根数从上至下构成等差数列,设首项即第一层的根数为1a ,公差为1d =,设一共放()2n n ≥层,则总得根数为:()()111110022n n n d n n S na na --=+=+= 整理得120021a n n=+-, 因为1a *∈N ,所以n 为200的因数,()20012n n+-≥且为偶数, 验证可知5,8n =满足题意. 故选:BD. 【点睛】关键点睛:本题考查等差数列的求和公式,解题的关键是分析题意,把题目信息转化为等差数列,考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力,属于基础题. 24.AC 【分析】由该数列的性质,逐项判断即可得解. 【详解】对于A ,821a =,9211334a =+=,10213455a =+=,故A 正确; 对于B ,由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数,故B 错误;对于C ,20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=,故C 正确; 对于D ,202220212020a a a =+,202120202019a a a =+,202020192018a a a =+,32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=,各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++, 所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++,故D 错误. 故选:AC. 【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项. 25.ABD 【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ,再由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<,所以数列{}n a 单调递减,A 正确; 由数列{}n a 单调递减,可知数列{}n a 有最大值a 1,故B 正确;由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,所以数列{}n S 先增再减,有最大值,C 不正确,D 正确. 故选:ABD. 26.AD【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,可判断A ,B ;由二次函数的配方法,结合n 为正整数,可判断C ;由0n S <解不等式可判断D .【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差0d ≠,由690S =,可得161590a d +=,即12530a d +=,①由7a 是3a 与9a 的等比中项,得2739a a a =,即()()()2111628a d a d a d +=++,化为1100a d +=,②由①②解得120a =,2d =-,则202(1)222n a n n =--=-,21(20222)212n S n n n n =+-=-,由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,可得10n =或11时,n S 取得最大值110; 由2102n S n n -<=,解得21n >,则n 的最小值为22.故选:AD 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式,以及等比中项的性质,二次函数的最值求法,考查方程思想和运算能力,属于中档题. 27.ABC 【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案. 【详解】解:对于A.,若59S S =,则67890a a a a +++=,所以781140a a a a +=+=,所以()114141402a a S +==,故A 选项正确;对于B 选项,若59S S =,则780+=a a ,由于10a >,公差0d ≠,故0d <,故780,0a a ><,所以7S 是n S 中最大的项;故B 选项正确;C. 若67S S >,则70a <,由于10a >,公差0d ≠,故0d <,故80a <,6a 的符号不定,故必有78S S >,56S S >无法确定;故C 正确,D 错误. 故选:ABC . 【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质,是中档题. 28.AC 【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组,求出11a =,2d =,由此能求出n a 与n S . 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S .39S =,47a =,∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩, 解得11a =,2d =,1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=.()21212n n n S n +-==故选:AC . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 29.AD 【分析】先根据题意得1110a a +>,1120a a +<,再结合等差数列的性质得60a >,70a <,0d <,{}n S 中6S 最大,49a a <-,即:49a a <.进而得答案.【详解】解:根据等差数列前n 项和公式得:()111111102a a S +=>,()112121202a a S +=< 所以1110a a +>,1120a a +<, 由于11162a a a +=,11267a a a a +=+, 所以60a >,760a a <-<, 所以0d <,{}n S 中6S 最大, 由于11267490a a a a a a +=+=+<, 所以49a a <-,即:49a a <. 故AD 正确,BC 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质,是中档题. 30.ACD 【分析】由13623a a S +=得100a =,故A 正确;当0d <时,根据二次函数知识可知n S 无最小值,故B 错误;根据等差数列的性质计算可知127S S =,故C 正确;根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =,故D 正确. 【详解】因为13623a a S +=,所以111236615a a d a d ++=+,所以190a d +=,即100a =,故A 正确;当0d <时,1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+=-+2(19)2dn n =-无最小值,故B 错误;因为127891*********S S a a a a a a -=++++==,所以127S S =,故C 正确; 因为()1191910191902a a S a+⨯===,故D 正确.故选:ACD. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式,考查了等差数列的性质,属于中档题.。
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C.数列 单调递减D.数列 有最大值
30.下面是关于公差 的等差数列 的四个命题,其中的真命题为().
A.数列 是递增数列
B.数列 是递增数列
C.数列 是递增数列
D.数列 是递增数列
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一、等差数列选择题
1.B
【分析】
根据等差数列的性质可知 ,结合题意,可得出 ,最后根据等差数列的前 项和公式和等差数列的性质,得出 ,从而可得出结果.
1、由 成等比,即 ;
2、等差数列前n项和公式 的应用.
3.D
【分析】
由题意结合新定义的概念求得数列的前n项和,然后利用前n项和求解通项公式,最后裂项求和即可求得最终结果.
【详解】
设数列 的前n项和为 ,由题意可得: ,则: ,
当 时, ,
当 时, ,
且 ,据此可得 ,
故 , ,
据此有:
故选:D
4.C
一、等差数列选择题
1.设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 ()
A.60B.120C.160D.240
2.等差数列 的公差为2,若 成等比数列,则 ()
A.72B.90C.36D.45
3.定义 为 个正数 的“均倒数”,若已知数列 的前 项的“均倒数”为 ,又 ,则 ()
A. B. C. D.
4.在等差数列{an}中,a3+a7=4,则必有()
对于D,令 ,解得 ,故n的最大值为12,故D正确.
故选:ACD.
【点睛】
方法点睛:由于等差数列 是关于 的二次函数,当 与 异号时, 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当 与 同号时, 在 取最值.
28.AB
【分析】
根据已知条件求得 的关系式,然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析,从而确定正确选项.
7.已知等差数列 中,前 项和 ,则使 有最小值的 是()
A.7B.8C.7或8D.9
8.若两个等差数列 , 的前 项和分别为 和 ,且 ,则 ()
A. B. C. D. 9.题目文件丢失!
10.已知数列 中, ,且满足 ,若对于任意 ,都有 成立,则实数 的最小值是()
A.2B.4C.8D.16
11.等差数列 中,若 , ,则 ()
因为 ,所以 ,化简得 ,
所以 ,
对称轴为 ,
因为 , ,
所以当 或 时, 取最大值,
故选:A
18.D
【分析】
先由 得出 ,再由累加法计算出 ,进而求出 .
【详解】
解: ,
,
化简得: ,
两边同时除以 并整理得:
,
即 , , ,…, ,
将上述 个式子相加得:
… … ,
即 ,
,
又 也满足上式,
,
.
故选:D.
A.a5=4B.a6=4C.a5=2D.a6=2
5.等差数列 的前 项和为 ,若 , ,则 ()
A.11B.12C.23D.24
6.设 , ,数列 的前 项和 , ,则存在数列 和 使得()
A. ,其中 和 都为等比数列
B. ,其中 为等差数列, 为等比数列
C. ,其中 和 都为等比数列
D. ,其中 为等差数列, 为等比数列
27.ACD
【分析】
由题可得 , , ,求出 可判断A;利用二次函数的性质可判断B;求出 可判断C;令 ,解出即可判断D.
【详解】
设等差数列 的公差为 ,则 ,解得 ,
, ,且 ,
对于A, ,故A正确;
对于B, 的对称轴为 ,开口向下,故 或7时, 取得最大值,故B错误;
对于C, , ,故 ,故C正确;
A. B. C. D.
20.已知等差数列 满足 , ,则 ()
A.10B.9C.8D.7
二、多选题
21.斐波那契数列,又称黄金分割数列、兔子数列,是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,此数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和,记该数列为 ,则 的通项公式为()
A.若 是等差数列,则 是等方差数列
B. 是等方差数列
C. 是等方差数列.
D.若 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列24.题目文件丢失!
25.设数列 满足 , 对任意的 恒成立,则下列说法正确的是()
A. B. 是递增数列
C. D.
26.(多选题)已知数列 中,前n项和为 ,且 ,则 的值不可能为()
【详解】
解: ,
当 时,有 ;
当 时,有 ,
又当 时, 也适合上式,
,
令 , ,则数列 为等差数列, 为等比数列,
故 ,其中数列 为等差数列, 为等比数列;故C错,D正确;
因为 , ,所以 即不是等差数列,也不是等比数列,故AB错.
故选:D.
【点睛】
方法点睛:
由数列前 项和求通项公式时,一般根据 求解,考查学生的计算能力.
7.C
【分析】
看作关于 的二次函数,结合二次函数的图象与性质可以求解.
【详解】
,
∴数列 的图象是分布在抛物线 上的横坐标为正整数的离散的点.
又抛物线开口向上,以 为对称轴,且 |,
所以当 时, 有最小值.
故选:C
8.C
【分析】
可设 , ,进而求得 与 的关系式,即可求得结果.
【详解】
因为 , 是等差数列,且 ,
【详解】
解:由题可知, ,
由等差数列的性质可知 ,则 ,
故 .
故选:B.
2.B
【分析】
由题意结合 成等比数列,有 即可得 ,进而得到 、 ,即可求 .
【详解】
由题意知: , ,又 成等比数列,
∴ ,解之得 ,
∴ ,则 ,
∴ ,
故选:B
【点睛】
思路点睛:由其中三项成等比数列,利用等比中项性质求项,进而得到等差数列的基本量
24.无
25.ABD
【分析】
构造函数 ,再利用导数判断出函数的单调性,利用单调性即可求解.
【详解】
由 ,
设 ,
则 ,
所以当 时, ,
即 在 上为单调递增函数,
所以函数在 为单调递增函数,
即 ,
即 ,
所以 ,
即 ,
所以 , ,故A正确;C不正确;
由 在 上为单调递增函数, ,所以 是递增数列,故B正确;
所以可设 , ,
又当 时,有 , ,
,
故选: .
9.无
10.A
【分析】
将 变形为 ,由等差数列的定义得出 ,从而得出 ,求出 的最值,即可得出答案.
【详解】
因为 时, ,所以 ,而
所以数列 是首项为3公差为1的等差数列,故 ,从而 .
又因为 恒成立,即 恒成立,所以 .
由 得
所以 ,所以 ,即实数 的最小值是2
故选:AB
【点睛】
等差数列有关知识的题目,主要把握住基本元的思想.要求等差数列前 项和的最值,可以令 或 来求解.
29.ABD
由 ,可得 ,且 ,然后逐个分析判断即可得答案
【详解】
解:因为 ,所以 ,且 ,
所以数列的公差 ,且数列 中Sn的最大项为S5,所以A正确,B错误,
所以 , ,
所以C正确,D错误,
故选:AC
23.BD
【分析】
根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可.
【详解】
对于A,若 是等差数列,如 ,则 不是常数,故 不是等方差数列,故A错误;
【详解】
依题意,等差数列 中 ,即 ,
.
对于A选项, ,所以A选项正确.
对于C选项, , ,所以 ,所以C选项错误.
对于B选项, ,令 得 ,由于 是正整数,所以 ,所以数列 中最大值的项是 ,所以B选项正确.
对于D选项,由上述分析可知, 时, ,当 时, ,且 .所以数列 的前 项递减,第 项后面递增,不是等差数列,所以D选项错误.
【点睛】
易错点点睛:利用累加法求数列通项时,如果出现 ,要注意检验首项是否符合.
19.A
【分析】
根据等差数列的性质,由题中条件,得出 ,再由等差数列前 项和公式,即可得出结果.
【详解】
因为 为等差数列, ,
所以 ,即 ,
所以 .
故选:A.
【点睛】
熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前 项和的基本量运算是解题关键.
故选:A
11.A
【分析】
由 和 求出公差 ,再根据 可求得结果.
【详解】
设公差为 ,则 ,
所以 .
故选:A
12.B
【分析】
设出数列 的公差,利用等差数列的通项公式及已知条件,得到 ,然后代入求和公式即可求解
【详解】
设等差数列 的公差为 ,则由已知可得 ,
所以
故选:B
13.B
【分析】
设等差数列的公差为d.由已知得 ,可得关系 .再运用求和公式和二次函数的性质可得选项.
解:当 为奇数时, ,
当 为偶数时, ,
所以 ,
是以2为首项,2为公差的等差数列,
所以 ,
故选:B
16.B
【分析】
由等差数列的通项公式可得 ,再由 ,从而可得结果.
【详解】
解: ,
,
.
故选:B.
17.A
【分析】
由 ,可得 ,从而得 ,然后利用二次函数的性质求其最值即可
【详解】
解:设递减的等差数列 的公差为 ( ),
【详解】
设等差数列的公差为d.由 得, ,整理得, .
又 ,所以 ,】