机器人正反解方法概述
四自由度机器人反解
四自由度机器人反解
1.四自由度机器人反解的概念
四自由度机器人反解是指已知机器人末端执行器的姿态和位置，需要计算出机械臂各个关节的角度，以便机械臂能够完成特定的工作。
2.四自由度机器人反解的基本原理
四自由度机器人的姿态可以用三个欧拉角以及末端执行器的坐标来表示。
然后，可以使用正逆运动学的方法来计算机械臂各个关节的角度。
正运动学是指已知各个关节的角度和机械臂的初始姿态，来计算机械臂末端执行器的位置和姿态。
而反运动学则是相反的——已知机械臂的末端执行器的位置和姿态，来计算各个关节的角度。
3.四自由度机器人反解的计算方法
四自由度机器人的反解可以使用雅克比矩阵或牛顿-拉夫森方法来计算。
首先，通过正运动学来确定机械臂的末端执行器的位置和姿态，并计算出雅克比矩阵或牛顿-拉夫森方法中需要的其他参数。
然后，使用逆矩阵来计算雅克比矩阵的逆矩阵，或者使用牛顿-拉夫森方法来迭代计算机械臂各个关节的角度，直到误差满足要求为止。
4.四自由度机器人反解的应用
四自由度机器人反解在许多工业应用中被广泛应用，如在制造业中的精密加工、自动化生产线中的零件组装、以及医疗设备中的手术操作等领域，都需要机器人反解来协助完成工作。
在未来，随着人工智能和机器人技术的不断发展，四自由度机器人反解的应用将会更加广泛，并且会在许多领域中发挥越来越重要的作用。
ppt机器人正逆运动学解析
将上面两个方程两边平方相加，并利用和差化积公式得到
S2 S23 C2C23 cos3
于是有：
C3
(
pxC1
py S1
C234a4 )2 ( pz 2a2a3
S234a4 )2
a22
a32
已知 S3 1 C32
于是可得到：
3
arctan
S3 C3
依次类推，分别在方程2.19两边左乘A1~A4的逆，可得到
O4
x2
z5
y5
x4
O5
y4
z2
y2
关节3
A1 连杆2
O2 坐标系2
x5
o3 , o4 , o5重合 d4 d5 0
关节2 O1
z1
坐标系1
y1 连杆1
x1
d2
关节1 坐标系0
ai—沿 xi 轴， zi-1 轴与 xi 轴交点到Oi 的距离 αi — 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi di — 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至Oi –1 坐标
系原点的距离 θi — 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi
连杆0
z0 y0
d1 x0
O0
解：
例2、PUMA560运动学方程（六个自由度，全部是旋转关节） 关节变量都是θ
θ2
θ1
θ3
θ5
θ4 θ6
PUMA560机器人的连杆及关节编号
A1
O1 O0
A2
为右手坐标系，Yi轴：按右手定则
C234a4 ) S234a4 )
进而可得：
4 234 2 3
机器人运动学正解逆解-课件
C1 (C 234 C 5C 6 S 234 S6 ) S1 S 5 C 6 S1 (C 234 C 5C 6 S 234 S6 ) C S S 1 5 6 S 234 C 5C 6 0
求逆运动学方程的解
依次用 A1 左乘上面两个矩阵，得到：
n x C 1 n y S1 nz n x S1 n y C 1 0 o x C 1 o y S1 oZ o x S1 o y C 1 0 a x C 1 a y S1 az a x S1 a y C 1 0 Px C1 Py S1 pz Px S1 Py C1 1 C 234 S 5 C 234 a4 C 23 a 3 C 2 a 2 S 234 S 5 S 234 a4 S 23 a 3 S 2 a 2 C5 0 0 1
2. 学会用D-H法对机器人建模 学习重点：1. 给关节指定参考坐标系
2. 制定D-H参数表
3. 利用参数表计算转移矩阵
背景简介：
1955 年， Denavit 和 Hartenberg( 迪纳维特和哈坦伯格 ) 提出 了这一方法，后成为表示机器人以及对机器人建模的标准方法， 应用广泛。
总体思想：
y0
O0
连杆0
z0
d1 x0
解：
例2、PUMA560运动学方程（六个自由度，全部是旋转关节）
关节变量都是θ
θ2
θ1
θ3
θ4
θ5 θ6
PUMA560机器人的连杆及关节编号
A1
A2
为右手坐标系，Yi轴：按右手定则 Zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意 Xi轴： Zi和Zi-1构成的面的法线， 或连杆i两端轴线Ai 与Ai+1的公垂线(即： Zi和Zi-1的公垂线)
解释机器人运动学方程的正解和逆解
解释机器人运动学方程的正解和逆解
机器人运动学方程是研究机器人运动规律的一种数学工具。
机器人运动由位置、速度和加速度三部分组成，而机器人运动学方程便是描述这三部分关系的方程。
机器人运动学方程分为正解和逆解。
正解是指根据机器人关节角度、长度等参数，推导出机器人末端执行器的位置、速度和加速度等运动学参数的过程。
在机器人运动学分析中，正解一般使用解析法、几何法和向量法等方法。
通常我们会在正解中借助三角函数和向量函数，对机械臂的运动主体进行数学建模，推导出机器人最终执行器的位置和末端的速度、加速度等参数，完成机器人运动学方程的正解。
而逆解则是指在已知机器人末端执行器的位置、速度和加速度等参数的基础上，求出机器人关节角度，这样机器人才能达到需要执行的动作。
逆解是机器人指令控制中的核心技术之一，一般采用数值计算的方法来求解。
逆解方法有直接法和迭代法两种，直接法一般应用于计算复杂的工业机器人，而迭代法则更适用于机场搬运、医疗康复等关节数较少的应用场景。
机器人运动学方程的正解和逆解都涉及高等数学和工程数学的知识，需要对机器人的运动学规律有一定的理解和掌握。
随着人工智能和机器人技术的不断发展，机器人运动学方程的应用将得到更广泛的推广和应用，成为未来机器人研究和应用的重要工具。
ROBOTICS TEACHING PLAN-CH05(机器人学-机器人运动学反解)20100110
1、最后三个关节轴相交于一点 、
求运动学反解的步骤分为两步： 求运动学反解的步骤分为两步： （1）由腕部位置求解 1、θ2和θ3； ）由腕部位置求解θ （2）由手腕的方位求解 4、θ5和θ6。 ）由手腕的方位求解θ
§5.4 PUMA560机器人的运动学反解 机器人的运动学反解
PUMA560机器人的运动方程为： 机器人的运动方程为： 机器人的运动方程为
nx n y n z 0
ox a x p x oy a y py 0 = T ( q ) ⋅ 1T ( q ) ⋯ 1 1 2 2 oz a z p z 0 0 1
n −1 n
T ( qn )
方程左边的矩阵表示末端连杆相对于基坐标系{0}的位姿。 方程左边的矩阵表示末端连杆相对于基坐标系 的位姿。 的位姿
若末端连杆的位姿已经给定， 为已知， 若末端连杆的位姿已经给定 ， 即 n， o， a和 p为已知 ， 则 ， ， 和 为已知 求关节变量θ 的值称为运动反解。 求关节变量 1,θ2,…,θ6的值称为运动反解。 具体求反解步骤如下： 具体求反解步骤如下：
运动方程的求解
开始求解关节位置。 从 T6 开始求解关节位置 。 使 T6 的符号表达式的各元 素等于T 的一般形式，并据此确定θ 并且有： 素等于 6的一般形式，并据此确定 1角。并且有： 式中： 左边为θ 各元的函数。 式中 ： 左边为 1 和 T6 各元的函数 。 此式可用来求解其他 各关节变量，如θ2等。 各关节变量， 不断地用A的逆矩阵左乘上式，得下列四个矩阵方程式： 不断地用 的逆矩阵左乘上式，得下列四个矩阵方程式： 的逆矩阵左乘上式
式 中 ： n,o,a 表 示 手 腕 的 方 位 ， p 代 表 腕 部 的 位 置 ， q=[q1,q2,…,qn]T是关节矢量，n是关节数。 是关节矢量， 是关节数 是关节数。
机器人运动学正解逆解课件
在机器人力控制中，需要知道每个关节的角度变化来调整 机器人的姿态和力矩。逆解可以用于求解每个关节的角度 变化，从而调整机器人的姿态和力矩。
机器人定位
在机器人定位中，需要知道每个关节的角度变化来调整机 器人的位置和姿态。逆解可以用于求解每个关节的角度变 化，从而调整机器人的位置和姿态。
04
实现复杂运动轨迹
利用运动学正解与逆解，可以规划出 复杂的运动轨迹，满足各种应用需求 。
02
机器人运动学正解
正解的基本概念
正解是指机器人末端执行器从某一初 始位置和姿态到达目标位置和姿态所 需经过的关节角度值。
正解是机器人运动学中的基本问题， 是实现机器人精确控制和自主导航的 基础。
正解的求解方法
逆解的求解方法
01
代数法
通过建立机器人关节角度与目标点坐标之间的方程组，利用数学软件求
解方程组得到关节角度。这种方法适用于简单的机器人结构，但对于复
杂机器人结构求解过程可能较为繁琐。
02
数值法
通过迭代或搜索的方法，不断逼近目标点坐标，最终得到满足要求的关
节角度。这种方法适用于复杂机器人结构，但求解时间较长且可能存在
机器人运动学正解逆解课件
目 录
• 机器人运动学概述 • 机器人运动学正解 • 机器人运动学逆解 • 机器人运动学正逆解的对比与联系 • 机器人运动学正逆解的实例分析
01
机器人运动学概述
定义与分类
定义
机器人运动学是研究机器人末端 执行器位姿与关节变量之间的关 系的学科。
分类
根据机器人的结构和运动特性， 可以分为串联机器人和并联机器 人。
局部最优解。
03
解析法
通过几何学和代数学的方法，直接求解关节角度与目标点坐标之间的关
mujoco运动学逆解
mujoco运动学逆解Mujoco运动学逆解引言：Mujoco是一种常用的物理引擎，广泛应用于机器人学领域。
在机器人控制中，运动学逆解是一个重要的问题。
本文将介绍Mujoco 中的运动学逆解方法及其应用。
一、运动学逆解概述运动学逆解是指根据机器人的末端执行器位置和姿态，求解机器人关节角度的过程。
在机器人控制中，运动学逆解是实现精确控制的基础，能够将期望的末端执行器的位置和姿态转化为相应的关节角度，从而实现机器人的运动。
二、Mujoco中的运动学逆解方法1. 正向运动学在进行运动学逆解之前，首先需要进行正向运动学计算。
正向运动学是指根据关节角度求解机器人末端执行器的位置和姿态。
通过正向运动学计算，可以得到机器人的末端执行器在三维空间中的位置和姿态。
2. 逆向运动学逆向运动学是指根据机器人末端执行器的位置和姿态，求解机器人关节角度的过程。
在Mujoco中，可以使用逆向运动学算法来计算机器人的关节角度。
逆向运动学算法可以根据机器人的几何结构和运动学模型，通过数学推导和迭代计算，得到机器人的关节角度。
3. 迭代方法在Mujoco中，常用的运动学逆解方法是迭代方法。
迭代方法是通过不断迭代计算，逐步逼近目标解。
具体而言，可以使用牛顿迭代法或雅可比迭代法进行运动学逆解计算。
这些迭代方法通过更新关节角度的估计值，使得机器人的末端执行器位置和姿态逼近目标值。
三、Mujoco运动学逆解的应用1. 路径规划运动学逆解可以用于机器人的路径规划。
通过给定起始位置和目标位置，可以利用运动学逆解求解机器人的关节角度，从而实现机器人的路径规划。
路径规划是机器人控制中的关键问题，通过合理的路径规划可以实现机器人的高效运动。
2. 动作生成运动学逆解可以用于机器人的动作生成。
通过给定目标位置和姿态，可以利用运动学逆解求解机器人的关节角度，从而生成机器人的动作。
动作生成是机器人控制中的重要任务，可以使机器人实现各种复杂的动作。
3. 仿真分析运动学逆解可以用于机器人的仿真分析。
浅析机器人（逆）运动学原理-通俗易懂
浅析机器⼈（逆）运动学原理-通俗易懂很多想深⼊了解机器⼈的朋友，⼀直想搞懂机器⼈（正逆）解的问题，看⼿册还是很难懂的，其实原理不难，难的是逆解是不唯⼀的，再加上机械位置的限制，有的解机器⼈也⽆法运⾏到，所以这些细节部分有庞⼤的计算量！还好，今天我只讲原理！很多朋友可能粗略的了解了正运动学的D-H变换部分，但是对于逆解能看完整的还是不容易的，⼤部分资料上来就是矩阵运算，看得头⼤，我今天⼤概讲⼀下逆解的原理（计算部分⼤家有兴趣的话去看⼀下机器⼈⼿册这类专业图书，有详细的推理步骤）!原理部分的讲解对于想弄清楚机器⼈怎么运动的朋友还是很有帮助的，上⼀篇⽂章写了正解部分，加上今天的（逆）解部分，机器⼈就可以简单的运动起来了！如下图，同⼀个机器⼈坐标位置，有8个（逆）解，也就是机器⼈有⼋种姿态到达这个点位！这款机器⼈同⼀个坐标有8种关节解正视图这款机器⼈同⼀个坐标有8种关节解俯视图什么是运动学（逆）解?教科书上是这样写的：已知⼯具坐标系相对于⼯作台坐标系的期望位置和姿态，如何计算⼀系列满⾜期望要求的关节⾓？其实我的理解就是，机器⼈想运动到⼀个设定好的点位(已经设定好⼯具和坐标系)，机器⼈的六个关节该怎么动作?求解原理！分5步完成1、上⼀篇⽂章我们推导出了DH变换的矩阵，就是从基坐标加六个轴的机械连杆参数推出TCP 的变换矩阵（详细的看我上⼀篇⽂章）。
例如这个六轴机器⼈DH参数如下图：6轴DH参数2、代⼊DH参数那么可以求得DH正解模型（上⼀篇⽂章有详解）⾥的坐标系1相对于坐标系0的变换矩阵；同理2相对1，3相对2，4相对3，5相对4，6相对5的变换矩阵都可以得出；因为六轴机器⼈是串联，所以这6个变换矩阵相乘得出的矩阵，就是从基座标系0变换到⼯具坐标系6的变换矩阵！如下图：变换公式1相对0变换2相对1变换3相对2变换4相对3变换5相对4变换6相对5变换3、在纯数学计算的情况下，我们只要把基座标先X、Y、Z⽅向平移⼀段距离，再RX、RY、RZ 旋转⼀定的⾓度就可以得到TCP的坐标了，可以理解为TCP就是基座标的平移和旋转得到的.这个纯数学变换的平移加旋转的变换，有个名称叫齐次变换（以前⽂章⾥我也写过齐次变换的⽂章，有兴趣可以看看），记住这个齐次变换矩阵！齐次变换矩阵（齐次变换）矩阵⾥的旋转参数对应如下两个图，两个图相等，从⽽得出r11-r33的值（之前都有推导过）：旋转矩阵公式旋转矩阵参数4、第⼆步⾥⾯六个变换矩阵相乘的出的矩阵等于第三步⾥的矩阵；两对矩阵元素对应从⽽得到12个⽅程：12个⽅程C12的含义C1就是COSθ1，也就是电机1的⾓度θ1的余弦；同理S1代表sinθ1;其它依次类推！5、如果你已经设定好了机器⼈的点位（PX,PY,PZ,γ,β,α）TCP相对于基座标的数据，第四步⾥的r11-r33和Px,Py,Pz都是已知的了！剩下的就是求解吧！此⽅程是多解的，看⼤家有没有这个兴趣去推理了，我只讲原理，⼿动推解能要命，最好⽤计算机matlab求解吧！⼤家别以为真实的机器⼈只有这么多运算，这才是⼀点点，还有很多因素需要考虑，例如：每个电机我可以求出两个结果，那么运⾏时候到底⾛哪个解呢？这就需要加权了，⼀般都是哪个路径近⾛哪个！但是还有路径虽然近，但是机械有⼲涉，有轴转不了那个⾓度，那就⼜得判断⼲涉位置，不能⾛路径近的解！这个逻辑也是相当复杂，不同⼤⼩的机器⼈逻辑都不同。
焊接机器人运动学正逆解D_H@@@
a 1 C1 a1 S1 d1 1 a2 C2 a2 S 2 0 1 a 3 C3 a3 S3 0 1 0 0 d4 1 0 0 0 1 0 0 0 1
T =
S1 0 0 S2 0 0 C3 S3 0 0
C2 - S2
1 2
T =
2 3
T =
= 90 , 2 = - 90 ,
3 4
T =
0 - C4
=
0 6
4
= 0,
5
= 90 ,
6Байду номын сангаас
= - 90 时 , 末端变换矩 0 a1 + d 4 a2 + a3 + d 1 1 ( 4)
阵 T 的值。计算结果为 : 1 0 0
0 6
T =
0 0 0
1 0 0 1 0 0
4 5
T =
0 - C5
式( 4) 中 , 旋转矩阵为单位阵, 说明机器人末端 姿态相对于基础坐标系没有发生变化 ; 矩阵最 后一列前 3 个元素表示机器人末端位置在基础 坐标系中沿 Y 0 轴移动了 a1 + d 4 的距离 , 沿 Z 0 轴移动了 a 2 + a3 + d 1 的距离。这与图 1 所示 的情况完全一致 , 从而验证了求解的运动学方
第1期
表1
连杆 i 变量 i / ( ) 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
孙学俭等
焊接机器人连杆参数
i/
焊接机器人运动学正逆解 nx ox oy oz 0 ax ay az 0
31 px py pz 1
( )
ai / mm 119 570 120 0 0 0
di / mm 250 0 0 670 0 0
机器人运动学正解逆解-精PPT课件
A3
ai—沿 xi 轴， zi-1 轴与 xi 轴交点到Oi 的距离
αi — 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi
di — 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至Oi –1 坐标
系原点的距离
θi — 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi
A5
A4 A6
.
16
连杆 n θn
dn
anαn1 θ1 源自900) 0S5S6 0C234S5 S234S5
C5 0
C234a4 C23a3 C2a2
S234a4
S23a3
S2a2
0
1
根据第3行第4列元素对应相等可得到
1a rc tp paxy)n和 (111 8 0
.
29
根据1，4元素和2，4元素，可得到：
pxC 1pyS1C23 a4 4C2a 33C2a2 pzS23 a4 4S2a 33S2a2
C234a4 ) S234a4 )
进而可得：
4 234 2 3
再 根 据 对 应 项 元 素 相 ， 等 可 以 得 到
S5 C23（4 C1ax S1ay ) S234az
C5 C1ay S1ax
5
arctanC234(C1ax S1ax
S1ay ) C1ay
S234az
.
32
§1.4 机器人正向运动学
工业机器人的正向运动学是指已知各关节的类型、相邻 关节之间的尺寸和相邻关节相对运动量的大小时，如何确 定工业机器人末端操作器在固定坐标系中的位姿。
主要包括以下内容： 1) 相对杆件的坐标系的确定； 2) 建立各连杆的模型矩阵A； 3) 正运动学算法；
.
1
机器人操作的数学导论——机器人运动学
可以证明
均为反对 称矩阵
1、刚体速度
1.1转动速度
定义瞬时物体角速度
∈R3
由以上两式可得两种角速度的关系：
于是一点的速度可以表示为： 空间坐标系中： 物体坐标系中：
1、刚体速度
1.2 刚体速度 考虑刚体运动轨迹为单参数曲线 gab(t)∈SE(3)的一般情况
求取：
上式在形式上与运动旋量相似，类比旋转速度，定义空间速度
旋量的对偶积
用运动旋量坐标表示为：
2、力旋量和对偶旋量
2.3 对偶旋量
旋量系{S1，…，Sk}描述的是旋量{S1，…，Sk}的所有线性组 合构成的矢量空间。对偶旋量系是与Si对偶的所有旋量的集合。
旋量系与其对偶系的维数之和为6（在SE（3）中）。
旋量系和对偶旋量系可用于分析抓取及机构的可动性。
3、机器人运动学正解
机器人运动学正解指：在给定组成运动副的相邻连杆的相对位置 情况下，确定机器人末端执行器的位行。 机器人关节空间Q由机器人关节变量的所有可能值构成，这也 可以理解为机器人的位形空间。
运动学正解问题可用如下映射来表示：
运动学正解问题就是如何构造映射gst。
3、机器人运动学正解
对右图所示的两自由度机器人 的运动学正解映射可通过将由各关 节引起的刚体运动加以组合来构成。 T对S的位形
4、机器人的雅可比矩阵
4.1 雅可比矩阵 由前面知识知道，末端执行器的空间瞬时速度可表示为：
将上式写成
称矩阵 为机器人的空间雅可比矩阵，对任一位 形，它将关节速度矢量映射为对应的末端执行器速度。
4、机器人的雅可比矩阵
4.1 雅可比矩阵 用指数积公式来表示运动学正解，
S J ST ( ) 1' 2'
解释机器人运动学方程的正解和逆解
解释机器人运动学方程的正解和逆解正解与逆解是机器人运动学方程的重要概念，也是机器人学研究中最重要的内容之一。
正解和逆解可以帮助我们建立机器人的空间模型，从而控制机器人的运动状态，为机器人的实际应用提供有力的支持。
本文将对机器人运动学中的正解和逆解的概念及其在机器人学中的应用进行详细剖析。
一、正解与逆解概念介绍正解和逆解是机器人运动学中常用的概念，也是机器人学研究中最重要的内容之一。
正解是指从给定的末端位姿或空间位置确定机器人的轴位置的运算，而逆解则是反之，从给定的关节位置到末端位姿的运算。
因此，机器人运动学中的正解和逆解都是从关节位置到末端位姿和反之的一种运算。
二、正解的求解方法正解的求解方法主要有三种，分别为数值法、解析法和实验法。
（1）数值法数值法是指将从给定末端位姿或空间位置求解机器人轴位置的过程采用数学计算的方法来求解。
这种方法的优点在于可以根据实际情况采用不同的公式来求解，也可以用数值算法来求解机器人的轴位置。
其缺点是计算量大，求解速度慢，无法满足实时性要求。
（2）解析法解析法是指利用数学分析方法，从一整套已知机器人轴位置求解和从末端位姿求机器人轴位置的过程，运用特定的反函数，做单就反函数，解出机器人轴位置。
这种方法计算时间短，可以满足实时性要求，但缺点是所用的反函数不一定准确，容易发生解析法错误。
（3）实验法实验法是指实际应用中，通过针对特定的机器人空间进行实验，来确定机器人轴位置的过程。
这种方法好处在于可以得到准确的机器人轴位置，不受数学计算模型的影响，缺点是计算时间长，不能满足实时性要求。
三、逆解的求解方法逆解的求解方法主要也有三种，分别为数值法、解析法和实验法。
其中，数值法包括逐次迭代法、牛顿迭代法等；解析法包括几何法、角度法等；实验法包括传感器测量法、机器人调试法等。
（1）数值法数值法是通过几何和动力学方面的矩阵求解形式，利用数值计算技术，从给定的关节位置计算机器人构成末端位姿的过程。
机器人正反解方法概述
机器人正反解方法概述引言机器人运动学是机器人学的基础，是描述机器人运动过程中，各个关节及末端执行器的变化情况。
它涉及到两个方面的内容:即机器人正运动学和逆运动学。
机器人正运动学是已知机器人的连杆参数和各个关节变量，求解机器人末端执行器的位置和姿态;而机器人逆运动学恰好相反，是已知其末端执行器的位置和姿态，求解机器人的各个关节变量。
因此,求解机器人位置正反解的方法成为机器人设计中重要的内容。
机器人逆运动学比正运动学问题复杂得多，并且随着机器人自由度的增加，对于逆运动学问题的求解会越来越复杂。
由于机器人逆解的准确性以及求解速度的快慢会直接影响机器人的实时控制，因此国内外研究机器人逆解的求解算法比较多。
自有机器人以来,国内外的专家学者对此也进行了孜孜不倦的探索,目前已经有大量专门的或者通用的位置正反解求解方法问世,如求解正解问题的广泛应用的D-H(Denavit 和Harenberg)分析方法.求解反解的方法大致分为解析法和数值法.具体除了Paul 等人提出的反变换法，Lee 和Ziegler 提出的几何法和Pieper 解法等，还有旋量理论法,神经网络方法和CAD /CAE 集成软件仿真图形分析法等.本文的宗旨就是对这些方法进行概述,简要介绍各种方法的基本原理及内容以及他们适用的范围和优缺点.一． 位置正解求解方法机器人是由多个关节组成的, 各关节之间的相对平移和旋转齐次变换可以用矩阵 A 表如果用 A1表示第 1个连杆在基系的位置和姿态矩阵, A2表示第 2个连杆相对第 1个连杆的位置和姿态矩阵, 根据坐标系位姿相对变换规则, 第 2个连杆相对基系的位置和姿[ 1]:T2= A1A2依此类推, 则可以得出第 n 个连杆相对基系的位置和姿态矩阵:Tn= A1A2A3A4A5A6An 以著名的斯坦福机器人为例[ 3], 该机器人手臂有6 个关节和 6个杆件, 首先建立各关节坐标系之间的齐次变换矩阵 An, 根据运动学方程式计算规则得T6= A1A2A3A4A5A6= [nx Ox ny Oy ax Px ay Py nz Oz 00az Pz 01] 其中:nx= c1[ c2( c4c5c6- s4s6) - s2s5c6] - s1( s4c5c6+ c4s6)ny= s1[ c2( c4c5c6- s4s6) - s2s5c6] - c1( s4c5c6+ c4s6)nz= - s2( c4c5c6- s4s6) - c2s5c6此种方法适应范围广泛，也得到了实践的验证，正确率高，因此得到了较高的应用，是通用的正解求解方法。
正逆运动学模型
正逆运动学模型
正逆运动学模型是描述物体运动规律的重要工具，在机器人、汽车等领域有广泛应用。
以机器人为例，正向运动学模型是根据机器人的关节参数，计算出末端执行器的位姿；逆向运动学模型则是根据末端执行器的位姿，反向求解出关节参数。
在机器人领域，常用的正向运动学模型包括DH参数法和雅可比矩阵法。
其中，DH参数法是一种基于机器人连杆结构的参数化方法，通过设置DH参数来描述机器人的运动学特性；雅可比矩阵法则是通过计算末端执行器相对于关节的微分运动，来描述机器人的运动学特性。
常用的逆向运动学模型包括雅可比矩阵法的伪逆迭代法。
该方法通过构建雅可比矩阵的伪逆矩阵，并进行迭代计算，从而求解出机器人的关节参数。
正逆运动学模型是机器人领域的重要基础理论，对于机器人的运动控制、轨迹规划等方面具有重要作用。
机器人正逆解算法
机器人正逆解算法
机器人正逆解算法是机器人学中的重要内容。
机器人学是研究机器人的运动、感知、决策和控制的学科。
机器人正逆解算法是机器人学中的核心算法之一，用于解决机器人的动力学问题。
机器人正逆解算法的基本概念
机器人正解问题是指已知机器人各个关节的角度，求机器人末端执行器的位置和姿态。
机器人逆解问题是指已知机器人末端执行器的位置和姿态，求机器人各个关节的角度。
机器人正逆解算法是指通过数学计算和机器人模型，解决机器人正逆解问题的算法。
机器人正逆解算法的实现
机器人正逆解算法的实现需要用到机器人模型和数学计算。
机器人模型是机器人的数学模型，可以用来描述机器人的运动和姿态。
数学计算是机器人正逆解算法的基础，通过数学计算可以求解机器人的正逆解问题。
机器人正逆解算法的应用
机器人正逆解算法在机器人控制和运动规划中有广泛的应用。
机器人控制是指通过控制机器人的各个关节的角度，实现机器人的运动和姿态控制。
机器人运动规划是指通过规划机器人的运动轨迹，实
现机器人的自主导航和操作。
机器人正逆解算法的发展
随着机器人技术的不断发展，机器人正逆解算法也在不断发展。
目前，机器人正逆解算法已经广泛应用于工业机器人、服务机器人和医疗机器人等各个领域。
未来，随着机器人技术的不断创新和发展，机器人正逆解算法将会更加完善和精确。
正解与逆解
Motoman-HP20机器人是由首钢莫托曼公司生产的一款工业机器人，最大负载20kg ，在工作载荷内重复定位±0.06mm ，主要用于搬运和焊接等。
对机器人的逆运动学求解，z 0x 0z 1x 1z2x2z3x 3z 4x 5z 5x 4z6x6θ1θ2θ3θ4θ5θ6a 1a 2a 3d4d6根据D-H 方法建立的坐标系如图所示，D-H 参数表见下表1.表1 D-H 参数表并得到各连杆的变换矩阵：A 1=[C 1S 10000−10−S 1C 100a 1C 1a 1S 101] A 2=[C 2S 200S 2−C 20000−10a 2C 2a 2S 21]A 3=[C 3S 30000−10−S 3C 300a 3C 3a 3S 301] A 1=[C 4S 4000010S 4−C 4000d 41]A 5=[C 5S 50000−10S 5−C 5000001] A 6=[C 6S 600S 6−C 60−1000d 61]末端执行器相对于机器人参考坐标系的总变换矩阵：T=0T 6=A 1A 2A 3A 4A 5A 6.令：T =[n x n y n z 0o x o y o z 0a x a y a z 0p x p yp z 1]，n,o,a 分别表示固连在执行机构上的坐标系的n 轴、o 轴、a 轴，其下标表示对应的轴在参考坐标系中的向量值，p 表示固连在执行机构上的坐标系原点在参考坐标系中的坐标值。
其中：n x =C 1C 23(C 4C 5C 6+S 4S 6)-S 1(S 4C 5C 6-C 4S 6)+C 1S 23S 5C 6 ny=S 1C 23(C 4C 5C 6+S 4S 6)+C 1(S 4C 5C 6-C 4S 6)+S 1S 23S 5C 6 nz=-S 23(C 4C 5C 6+S 4S 6)+C 23S 5C 6ox=C 1C 23(C 4C 5S 6-S 4C 6)-S 1(S 4C 5S 6+C 4C 6)+C 1S 23S 5S 6 oy=S 1C 23(C 4C 5S 6-S 4C 6)+C 1(S 4C 5S 6+C 4C 6)+S 1S 23S 5S 6 oz=-S 23(C 4C 5S 6-S 4C 6)+C 23S 5S 6 ax=-C 1C 23C 4S 5+S 1S 4S 5+C 1S 23C 5 ay=-S 1C 23C 4S 5-C 1S 4S 5+S 1S 23C 5 az=S 23C4S 5+C 23C 5px=C 1C 23C 4S 5d 6-S 1S 4S 5d 6+C 1S 23[-C 5d 6+d 4]+a 3C 1C 23+a 2C 1C 2+a 1C 1 py= C 1C 23C 4S 5d 6-S 1S 4S 5d 6+C 1S 23[-C 5d 6+d 4]+a 3C 1C 23+a 2C 1C 2+a 1C 1 pz=-S 23C 4S 5d 6+C 23[-C 5d 6+d 4]-a 3S 23-a 2S 2式中S 1表示sin(θ1)，C 1表示cos(θ1)，S 23表示sin(θ2-θ3)，C 23表示cos(θ2-θ3)。
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机器人正反解方法概述引言机器人运动学是机器人学的基础，是描述机器人运动过程中，各个关节及末端执行器的变化情况。
它涉及到两个方面的内容:即机器人正运动学和逆运动学。
机器人正运动学是已知机器人的连杆参数和各个关节变量，求解机器人末端执行器的位置和姿态;而机器人逆运动学恰好相反，是已知其末端执行器的位置和姿态，求解机器人的各个关节变量。
因此,求解机器人位置正反解的方法成为机器人设计中重要的内容。
机器人逆运动学比正运动学问题复杂得多，并且随着机器人自由度的增加，对于逆运动学问题的求解会越来越复杂。
由于机器人逆解的准确性以及求解速度的快慢会直接影响机器人的实时控制，因此国内外研究机器人逆解的求解算法比较多。
自有机器人以来,国内外的专家学者对此也进行了孜孜不倦的探索,目前已经有大量专门的或者通用的位置正反解求解方法问世,如求解正解问题的广泛应用的D-H(Denavit 和Harenberg)分析方法.求解反解的方法大致分为解析法和数值法.具体除了Paul 等人提出的反变换法，Lee 和Ziegler 提出的几何法和Pieper 解法等，还有旋量理论法,神经网络方法和CAD /CAE 集成软件仿真图形分析法等.本文的宗旨就是对这些方法进行概述,简要介绍各种方法的基本原理及内容以及他们适用的范围和优缺点.一． 位置正解求解方法机器人是由多个关节组成的, 各关节之间的相对平移和旋转齐次变换可以用矩阵 A 表如果用 A1表示第 1个连杆在基系的位置和姿态矩阵, A2表示第 2个连杆相对第 1个连杆的位置和姿态矩阵, 根据坐标系位姿相对变换规则, 第 2个连杆相对基系的位置和姿[ 1]:T2= A1A2依此类推, 则可以得出第 n 个连杆相对基系的位置和姿态矩阵:Tn= A1A2A3A4A5A6An 以著名的斯坦福机器人为例[ 3], 该机器人手臂有6 个关节和 6个杆件, 首先建立各关节坐标系之间的齐次变换矩阵 An, 根据运动学方程式计算规则得T6= A1A2A3A4A5A6= [nx Ox ny Oy ax Px ay Py nz Oz 00az Pz 01] 其中:nx= c1[ c2( c4c5c6- s4s6) - s2s5c6] - s1( s4c5c6+ c4s6)ny= s1[ c2( c4c5c6- s4s6) - s2s5c6] - c1( s4c5c6+ c4s6)nz= - s2( c4c5c6- s4s6) - c2s5c6此种方法适应范围广泛，也得到了实践的验证，正确率高，因此得到了较高的应用，是通用的正解求解方法。
然而此种方法中各个元素表达式也比较复杂。
显然, 如果机器人关节更多, 其中各元素将更加复杂和难以解算。
而许多科学研究用的机器人为了达到一定的灵活性通常都有 8个以上的关节。
这种情况下, 要求出精密的数值解并绘制轨迹特性曲线图是极其困难的。
二．位置反解求解方法1.Paul 的反变换法这是我们所知的最常见的求解反解方法，也是教科书中经常用来进行求解位置反解举例所用的方法当已知机器人末端执行器相对于参考坐标系的期望位值和姿态, 求其相对应的各关节的转角变化量。
还是以斯坦福机器人为例, 设矩阵及各杆参数已知,求关节变量Ɵ1-Ɵ6, 用 A1−1左乘其运动学方程式T6= A1A2A3A4A5A6的两边得A1−1 T6= A1A2A3A4A5A6将该式左右展开得到一个由 4阶矩阵构成的代数方程式, 求解的过程是将未知数Ɵn 由方程式中的右边移向左边, 与其他未知数分开, 解出这个未知数, 再把下一个未知数移到左边, 如此重复进行, 直到解出所有未知数。
很显然, 比较正解法, 机器人的逆解问题更加复杂和难解。
一般情况下其解不是惟一的。
有时会存在一些不能实现的位置和方向; 有时又会出现求不出数值解的情况。
2. Lee 和Ziegler 的几何法几何法是在分析机器人几何构型的基础上，将机器人在三维空间内的几何问题分解成若干个容易求解的平面几何问题，然后在为二维平面内，分析其各个连杆之间的几何关系，而不用建立机器人的运动学方程。
因为其不用建立机器人的运动学方程，因此省却了复杂的矩阵计算，避免了反复的回代求解，并且直观上更容易理解。
但是随着机器人自由度的增加，机器人的机构也变得复杂，用这种方法求解会比较复杂，而且涉及多解和奇异性问题，容易出错。
因此它一般适合于结构简单、自由度较少，机构有明显几何关系的机器人的运动学分析。
3.Pieper 方法在应用D-H 法建立运动学方程的基础上，进行一定的解析计算后发现，位置反解往往有很多个，不能得到有效地封闭解。
Pieper 方法就是在此基础上进行研究发现，如果机器人满足两个充分条件中的一个，就会得到封闭解，这两个条件是：（1） 三个相邻关节轴相交于一点；（2） 三个相邻关节轴相互平行。
现在的大多数商品化机器人都满足封闭解的两个充分条件之一。
如PUMA 和STANFORD 机器人满足第一条件，而ASEA 和MINIMOVER 机器人满足第二条件。
以PUMA560机器人为例，它的最后3个关节轴相交于一点。
我们运用Pieper 方法解出它的封闭解，从求解的过程中我们也可以发现，这种求解方法也适用于带有移动关节的机器人。
当最后三个关节轴相交时，机器人的运动学方程可表示为T 60=T 30T 63式中，T 30规定三轴交点的位置；而T 63则规定手腕的方位。
因此，运动学反解分为两个步骤进行；首先由腕部位置求解Ɵ1Ɵ2Ɵ3，然后，再由手腕的方位解出Ɵ4Ɵ5Ɵ6.这种方法除了能够在设计中通过保证Pieper 原则，从而保证机构具有封闭解外，还能够简化计算，使计算更有条理，更容易理解。
但是这种方法毕竟是建立在D-H 方法建立的运动学方程和反变换解析法的基础上的，当机构自由度较多时，建立运动学方程依然是个麻烦事，并且每一部分的位置反解求解时还是要进行反复回代。
4.旋量理论法分析空间机构的众多数学方法中，旋量是十分有效的工具。
一个旋量可以表示空间的一组对偶矢量，从而可以用来同时表示矢量的方向和位置，表示运动学中的角速度和线速度，以及刚体力学中的力和力矩。
这样一个含有 6 个标量的旋量概念，就易于应用于机构的运动学和动力学分析。
同时它也易于与其他的方法如矢量法、矩阵法和运动系数法之间的相互转化；它具有几何概念清楚、物理意义明确、表达形式简单、代数运算方便等优点，因此得到了广泛的应用，在机器人这种典型的机构运动学和动力学分析上都做出了贡献。
用旋量，运动螺旋和力螺旋来描述刚体运动学问题有两大优点：第一，其最具吸引力的特点就是它只需要用两个坐标系，基础坐标系和工具坐标系，从整体上来描述刚体的运动，这样避免了D-H 参数方法采用局部坐标系描述时所造成的奇异性；第二，旋量方法将刚体运动的几何意义描述得很清楚，这避开了数学符号抽象的弊端，从而大大简化对机构的分析。
旋量理论的核心是指数积公式，它将开链机构的运动方程表示成运动旋量的指数积，它适用于商业上常用的以转动副、移动副或螺旋副作为关节的机器人。
由此提供了机器人运动方程的完整几何表示方法，从而大大地简化了机构的分析，并提供开链机器人的机构参数化表示方法。
对于一个运动旋量来说，指数变换反映的是刚体的相对运动，运动旋量的指数可理解为是描述刚体由起始到最终位形的变换；指数变换用于描述刚体运动，因此有必要说明的是每一个刚体变换都可写为某个运动旋量的指数。
基于旋量的指数积方法的n 关节机器人的运动学方程的建立：(1) 建立基坐标系和末端执行机构固接的坐标系；(2) 对于每个关节i ，构造一个运动旋量ξi，ξi 对应于除第i个关节外，其它关节j 均固定于θj =0 位置时的旋量运动。
(3) 将n 个关节的运动组合可得到运动学正解映射指数积公式的最具有吸引力的特点之一就是它只有两个坐标系，基础坐标系和工具坐标系。
该特点和运动螺旋ξi的几何特性相结合，使得指数积公式成为Denavit—Hartenberg 参数的最佳替代。
5.神经网络方法人工神经网络具有信息分布存储、并行处理以及自学能力等优点,在信息处理、模式识别、智能控制及系统建模等领域得到越来越广泛的应用。
尤其是基于误差反向传播算法的多层前馈网络(简称B P网络),可以以任意精度逼近任意连续函数,所以广泛应用于非线性建模、函数逼近、模式识别和分类等方面。
它的这一特性，自上世纪70年代开始得到一些机器人领域学者的关注，并尝试应用在位置反解的求解中，现在已经得到一定的结果。
B P网络通用的学习规则是Delta规则,输入节点与隐层节点权值和阀值算法为式中,η为学习率; f ( x)为传递函数; tl为输出节点的期望输出; ol为网络计算输出; xi为节点输入值;wli为输入节点与隐节点间的网络权值; Tli为隐节点与输出节点间的网络权值; si为神经元输入。
B P神经网络最常用的传递函数有线性函数上述B P学习算法为标准B P算法,标准总体误差计算式为BP网络的求解步骤机器人运动学逆问题即给定了机器人的末端位姿,要求出其位姿所对应的各个关节角θ= (θ1,θ2, ,θn) 的大小,利用BP网络可以进行求解。
其求解的具体步1)取若干组关节变量θ= (θ1,θ2, ,θn) 即若干组θ值,应用公式(1 ) 计算得到相应姿nx,ny, pz12个未知数全部求出;2)对nx, ny, pz和θ值进行规范化处理,分别作为求解用的神经网络的输入和期望输出值,对网络进行训练;3)待网络训练成功后,再将给定的位姿矩阵中的12个值nx, ny, pz输入网络,经映射后得到关节角θ′= (θ′1,θ′2, θ′n) 值;4)再将关节角θ′值代入公式( 1 )计算得到相应的位姿矩阵,其中的12个未知数n′x, n′y, p′z可以求出。
5)将n′x, n′y, p′z与给定值nx, ny, pz进行比较,若误差在给定范围内,则θ′值为的解,否则,需要重新训练网络,直到满足要求为止;6)或者将给出的θ= (θ1,θ2, ,θn) 与θ′=(θ′1,θ′2, θ′n) 进行比较看误差是否在规定范围内。
利用BP网络对机器人运动学反解算法的建模设计是一种行之有效的方法。
这不仅为机器人运动学算法提供了新的思路,对机器人动力学问题、轨迹规划、运动控制也有一定的启发作用。
6. CAD /CAE集成软件仿真图形分析法以往对机器人运动学的求解方法不外乎先建立各关节坐标系之间的齐次变换矩阵。
这个过程因极其繁琐而容易出错, 对于不同类型的机器人, 其终端相对基系的位置和姿态矩阵形式差别极大, 随着运动关节的增加, 其矩阵方程表达式的复杂程度也成几何级数增加。
运用CAD /CAE集成软件仿真图形分析法对机器人进行运动仿真模拟分析, 摒弃了复杂的数学和的一般操作要求。