第9讲 力学量完全集与守恒量

lˆ 2 Y l ( l 1) 2 Y lm lm Y lm lˆz Y lm m Y lm
例：ˆ 2和 lˆz 的共同本征态： l
k lm , k
k
一组量子数的笼统记号
9
一、态叠加原理与力学量完全集（8）
3、哈密顿算符与力学量完全集 寻找力学量完全集是个重要课题，可以证明：
12
二、守恒量与力学量完全集（3）
2、守恒量与力学量完全集
若 若
ˆ ˆ ˆ t 0， 有 d A ( t ) 1 [ A , H ] A dt i
ˆ 均值 A 都不随时间改变，称此时 A 对应的力学量为体系
ˆ 的一个守恒量。即： A t 0 和
ˆ ˆ [ A , H ] 0 ，ˆ A
( p x )
px
( x ) dp
x
1
1 2 2
( p x )e
ixp
ixp
x
/
dp
x
其中，展开系数为： ( p x )
( x )e
x
/
dx
从态叠加原理出发： 是描述体系状态的一个波函数4
一、态叠加原理与力学量完全集（3）
(3)、一般情况（非简并情况）
ˆ (1)若体系 H 的本征值不简并，其对应的本征函数就能 ˆ 构成正交归一完备集，此时 H 自身就构成体系的力学量
完全集，如一维谐振子。
ˆ (2)若体系H 的本征值简并，总可以找到其它的力学量，
其算符
ˆ ˆ 与 ˆ ˆ A1 , A 2 , A3 , 对易，而 H
ˆ ˆ ˆ ˆ 构成体系 ( H , A1 , A 2 , A3 , )
a
n
n
, an



d r
* n 3
利用一维谐振子本征态：离散本征值情况展开 (2)、动量本征态（连续本征值情况展开） 动量本征函数:
(x)
px
(x)
1 2
e
ixp
x
/
p ，本征值： x ( , )
按傅立叶定理，任何平方可积函数 均可展开为：
Ce
ikx
为二重简并。
E
对任意波函数
( x ) ，一般情况：
(x)
( k )
( k , x ) dk
原因为：因为属于同一个本征值的本征态之间的正交性 得不到保证，即：




* E


E

d C
2



e
2 ikx
d 0
6
一、态叠加原理与力学量完全集（5）
从而使同一个
问题是：
对应的简并态之间的正交性得到保证。 E
ˆ 1、能找到这样的 A 吗？2、如何进行分类？
7
一、态叠加原理与力学量完全集（6）
(5)、例：一维自由粒子
设
ˆ ˆ ˆ ˆ P 为宇称算符，不难证明 [ H , P ] 0 ，因此 P
偶
ˆ 和 H 拥有
两个共同本征函数：
设
ˆ P
和
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 即 [ F , H ] 0 , [ G , H ] 0 ，但 [ F , G ] 0
则体系能级是简并的。
ˆ ˆ 【证】： [ F , H ] 0 F 和 H 有共同本征函数 ˆ ˆ ˆ ˆ 即： H E , F F ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 又 [G , H ] 0 H G G H G E E G ˆ ˆ 即： ˆ ( G ) E ( G ) ，ˆ 也是 H 的对应本征值 E H ˆ G 的本征态
注意一维自由粒子的本征态 E Ce ikx 为哈密顿算 ikx ˆ 的本征态，对于 E Ce 符H 来说，虽然对于 ( x )
(x)
( k )
E
( k , x ) dk
ˆ ˆ ˆ 但是，可以寻找另外的算符 A ，若 [ H , A ] 0 ，则有可 ˆ ˆ ˆ 能用 A 的本征值对 ( H , A ) 的共同本征函数 k 进行分类，
ˆ 所以一个 E 对应 G 和 两个态，因此可能是能级简并的 14
三、守恒量与能级简并（2）
G 一个问题：ˆ 和 会不会是同一个态？答案是否定的
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 【证】： [ F , G ] 0 , F G G F G F F G ˆ ˆ ˆ 即 F (G ) F (G )
ˆ 即：对 H 自身的本征函数来说，属于同一能级的简并 态之间的正交性得不到保证，换句话说： ˆ 自身不能构成 H 力学量完全集，根据前面的结果，关键任务是：
ˆ ˆ ˆ 寻找力学量完全集 ( H , A , B ) ，找到其共同本征函数 n
ˆ 即： H
n
ˆ E n n , A
n
ˆ A n n , B
17
四、中心力场的径向方程(3)
能量本征方程写为： [
设
ˆ l

2 2
r
2 r
r
2
r

2 lˆ
2 r
2
V ( r )] E
为角动量算符，可证明： 所以能级是简并的
ˆ [ lˆ , H ] 0 和 [ lˆ , lˆ ] 0 , x , y , z
ˆ , H ] 0 d A (t ) 0, [A ˆ dt
ˆ 有 A 在任何态 (t ) 下的平
为守恒量。
因此，若
完全集。
ˆ ˆ ( A, H )
能够成力学量完全集，则可称为守恒量
13
三、守恒量与能级简并（1）
ˆ 能级是否简并，决定了 H 能否单独构成力学量完全集。
ˆ ˆ 【定理】：设体系有两个彼此不对易的守恒量 F 和 G


1


ˆ ˆ A 1 ˆ ˆ A ˆ ˆ , [ A , H ] , [ A, H ] i i t t 1


ˆ 不显含 t ，即 A t 0，有 d A ( t ) 1 [ A , H ] ˆ ˆ ˆ 若A dt i
ˆ A ˆ , A , t t ˆ H ˆ , A i ˆ A , t
11
ˆ H ˆ , A i
和
奇
不简并
E k / 2m
2 2
的本征值
p 1
p 1 ，可将它们划分为：
kx ),
kx ),
2
偶宇称： p 1 偶 C cos( 奇宇称： p 1 奇 C sin(
自由粒子 ˆ H
E k / 2m
2 2
2 2

2m x
量子力学
光电子学科与工程学院 王可嘉
第九讲 力学量完全集与守恒量 中心力场的径向方程
1
目录
一、态叠加原理与力学量完全集 二、守恒量与力学量完全集 三、守恒量与能级简并 四、中心力场的径向方程
2
一、态叠加原理与力学量完全集（1）
1、态叠加原理的回顾 ˆ 设算符 A 的本征函数和本征值为 n 和 A n ，描述体系 状态的任一波函数可表示为: * 3 a n n , 其中 a n n d r
n
B n
n
18
四、中心力场的径向方程(4)
ˆ ˆ ˆ 中心任务：寻找力学量完全集 ( H , A , B ) ，找到其共 同本征函数 n ˆ ˆ 解释：尽管 E n 对 n 可能是简并的，但可以用 A n , B n 对 n 进行分类，从而使得属于同一能级的简并态的正交 性问题得到保证。 ˆ ˆ 任务第一步：如何寻找 A , B ˆ ˆ 因为 [ lˆ 2 , H ] 0 , [ lˆ 2 , lˆz ] 0 ，所以( H , lˆ 2 , lˆz ) 可以组成完全集 根据分离变量法： ( r , , ) R l ( r ) f ( , )，注意到：球坐 标下，2 和 lˆz 只对 和 起作用，且 lˆ 2 和 lˆz 拥有共同本征 lˆ 函数：球谐函数 Y lm ( , ) ，即：2 Y lm ( , ) l ( l 1) 2 Y lm ( , ) lˆ
二、守恒量与力学量完全集（2）
1、力学量平均值的时间依赖特性（2）
ˆ H ˆ A (t ) ,A i dt d 1 ˆ H ˆ , A i ˆ A , t
ˆ A ˆ ˆ ˆˆ , HA , A H , i i t
考虑到中心势场 V ( r ) 是球对称的，采用球坐标
ˆ p
2 2 2

r
2 2
r
能量本征方程写为： [
r 2
2
r
2


2 lˆ
r
r
2
2

r

2

2 2
r r 2 lˆ
2 r
E
2
r
2 lˆ
r
2
2 r
r
V ( r )] E
任务：如何确定本征态 和本征值
3、力学量完全集
ˆ ˆ ˆ 设有一组彼此对易的厄米算符 ( A1 , A 2 , A3 , ) ，它们拥
有共同本征函数 k ，若
k
构成正交归一完备集，使得
任给体系的一个量子态 ，总有
ˆ ˆ ˆ ( A1 , A 2 , A3 , )
a
k k
k
，则称
构成体系的一组力学量完全集。
的力学量完全集。体系任一量子态
，都可以用它们的共
k k
同本征函数
来展开： k

a
k
如一维自由粒子， H , P ) 构成体系的力学量完全集。 10 ( ˆ ˆ
二、守恒量与力学量完全集（1）
1、力学量平均值的时间依赖特性（1） ˆ 设体系处于量子态下 ，算符 A 在 下的平均值为：
一个问题：若对任意
是简并的，情况如何？
5
一、态叠加原理与力学量完全集（4）
(4)、简并情况下的波函数展开
ˆ 例：一维自由粒子，哈密顿算符为： ˆ p x2 / 2 m H
本征态为：
E
Ce
ikx
，本征值： E
ikx
k / 2m
2 2

任意本征值
E
E

Ce
和
E
2
2
r
, 0 1, a 0 为 Bohr 半径。
它们都是球对称的，称之为中心力场。
16
四、中心力场的径向方程(2)
设质量为 的粒子在中心势场 V ( r ) 中运动，则哈密顿量：
ˆ H ˆ p
2
2
V (r )

2
2
V (r )
2
x r sin cos y r sin sin z r cos

体系处在
n
的概率是 a n ， 且
2

an
2
1
2、波函数的展开 (1)、一维谐振子 能量本征值: E n ( n 1 / 2 ) 本征函数: ( x ) Ae
a x /2
2 2
H n ( ax )
构成一组正交归 一完备函数集 3
一、态叠加原理与力学量完全集（2）
任一波函数 可表示为:
ˆ A ( t ) ( ( t ), A ( t ) ( t ))
t

*
ˆ ( t ) A ( t ) ( t ) dr
3
含时薛定谔方程： i
d
ˆ (r , t ) (r , t ) H
ˆ A (t ) , A dt t
ˆ 设任意力学量算符 A ，其本征函数和本征值为 n 和 A n 。
若对任意 A n 都不简并，则 n 可以构成一组正交归一 完备的态矢量。因此系统的任意状态 均可展开为：

a
n
n
, 其中
an
2



d r
* n 3
体系处在
n
的概率是 a n ， 且
An

an
2
1
ˆ ˆ G 不是 F 的本征态，但
ˆ 即 是 F 的本征态。
ˆ F F
ˆ 所以 G 和 不会是同一个态。
因此是能级简并的。
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四、中心力场的径向方程(1)
氢原子中，电子的势能函数：
V (r ) e
2
+
rBiblioteka Baidu
r
碱金属原子中，电子的势能函数：
V (r ) e
2

e a0 r
ˆ H
偶
E
偶
ˆ H
奇
E
奇
因为
cos( kx )
和
sin( kx )
( x ) C ( k ) sin(
是正交归一完备的， ( x ) 有： kx ) dk 或 ( x ) C ( k ) cos( kx ) dk
8
一、态叠加原理与力学量完全集（7）