对称式和轮换对称式及答案

对称式与轮换对称式

一.填空题(共10小题)

1.已知,a,b,c就是△ABC得边,且,,,则此三角形得面积就是:_________.

2.已知实数a、b、c,且b≠0.若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b,x2y1﹣x1y2=a,x1y1+ax2y2=c,则y12+ay22得值为_________.

3.已知正数a,b,c,d,e,f满足=4,=9,=16,=;=,=,则(a+c+e)﹣(b+d+f)得值为_________.

4.已知bc﹣a2=5,ca﹣b2=﹣1,ac﹣c2=﹣7,则6a+7b+8c=_________.

5.x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2,x2y1﹣x1y2=1,x1y1+x2y2=3.则y12+y22=_________.

6.设a=,b=,c=,且x+y+z≠0,则=_________.

7.已知,,其中a,b,c为常数,使得凡满足第一式得m,n,P,Q,也满足第二式,则a+b+c=_________.

8.设2(3x﹣2)+3=y,2(3y﹣2)+3=z,2(3z﹣2)+3=u且2(3u﹣2)+3=x,则x=_________.

9.若数组(x,y,z)满足下列三个方程:、、,则xyz=_________.

10.设x、y、z就是三个互不相等得数,且x+=y+=z+,则xyz=_________.

二.选择题(共2小题)

11.已知,,,则得值就是()

A. B. C. D.

12.如果a,b,c均为正数,且a(b+c)=152,b(c+a)=162,c(a+b)=170,那么abc得值就是()

A.672

B.688

C.720

D.750

三.解答题(共1小题)

13.已知b≥0,且a+b=c+1,b+c=d+2,c+d=a+3,求a+b+c+d得最大值.

答案与评分标准

一.填空题(共10小题)

1.已知,a,b,c就是△ABC得边,且,,,则此三角形得面积就是:.

考点:对称式与轮换对称式。

分析:首先将将三式全部取倒数,然后再将所得三式相加,即可得:++=+++,再整理,配方即可得:(﹣1)2+(﹣1)2+(﹣1)2=0,则可得此三角形就是边长为1得等边三角形,则可求得此三角形得面积.

解答:解:∵a=,b=,c=,

∴全部取倒数得:=+,=+,=+,

将三式相加得:++=+++,

两边同乘以2,并移项得:﹣+﹣+﹣+3=0,

配方得:(﹣1)2+(﹣1)2+(﹣1)2=0,

∴﹣1=0,﹣1=0,﹣1=0,

解得:a=b=c=1,

∴△ABC就是等边三角形,

∴△ABC得面积=×1×=.

故答案为:.

点评:此题考查了对称式与轮换对称式得知识,考查了配方法与等边三角形得性质.此题难度较大,解题得关键就是将三式取倒数,再利用配方法求解,得到此三角形就是边长为1得等边三角形.

2.已知实数a、b、c,且b≠0.若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b,x2y1﹣x1y2=a,x1y1+ax2y2=c,则y12+ay22得值为.

考点:对称式与轮换对称式。

分析:∵x12+ax22=b①,x2y1﹣x1y2=a②,x1y1+ax2y2=c③.首先将第②、③组合成一个方程组,变形把x1、x2表示出来,在讲将x1、x2得值代入①,通过化简就可以求出结论.

解答:解:∵x12+ax22=b①,x2y1﹣x1y2=a②,x1y1+ax2y2=c③.

由②,得

④,

把④代入③,得

⑤

把⑤代入③,得

⑥

把⑤、⑥代入①,得

+=b

∴,

∴(a3+c2)(y12+ay22)=b(y12+ay22)2

∴y12+ay22=.

故答案为:

点评:本题就是一道代数式得转化问题,考查了对称式与轮换对称式在代数式求值过程中得运用.

3.已知正数a,b,c,d,e,f满足=4,=9,=16,=;=,=,则(a+c+e)﹣(b+d+f)得值为﹣.

考点:对称式与轮换对称式。

分析:根据题意将六个式子相乘可得(abcdef)4=1,又a,b,c,d,e,f为正数,即abcdef=1,再根据所给式子即可求出a,b,c,d,e,f得值,继而求出答案.

解答:解:根据题意将六个式子相乘可得(abcdef)4=1,且a,b,c,d,e,f为正数,

∴abcdef=1,

∴bcdef=,

∵=4,

∴bcdef=4a,

∴4a=,

∴a=.

同理可求出:b=,c=,d=2,e=3,f=4.

∴原式=++3﹣﹣2﹣4,

=.

故答案为:﹣.

点评:本题就是一道分式得化简求值试题,考查了分式得轮换对称得特征来解答本题,有一定难度,根据所给条件求出a,b,c,d,e,f得值就是关键.

4.已知bc﹣a2=5,ca﹣b2=﹣1,ac﹣c2=﹣7,则6a+7b+8c=44或﹣44.

考点:对称式与轮换对称式。

分析:令bc﹣a2=5…①,ca﹣b2=﹣1…②,ac﹣c2=﹣7…③,用①式减②式得bc﹣a2﹣ca+b2=c(b﹣a)+(b+a)(b﹣a)=(a+b+c)(b﹣a)=6,②式减③式得ca﹣b2﹣ab+c2=a(c﹣b)+(c+b)(c﹣b)=(a+b+c)(c﹣b)=6,于就是求出b与a、c之间得关系,进一步讨论求出a、b与c得值,6a+7b+8c得值即可求出.

解答:解:令bc﹣a2=5…①,ca﹣b2=﹣1…②,ac﹣c2=﹣7…③,

①式减②式得bc﹣a2﹣ca+b2=c(b﹣a)+(b+a)(b﹣a)=(a+b+c)(b﹣a)=6,

②式减③式得ca﹣b2﹣ab+c2=a(c﹣b)+(c+b)(c﹣b)=(a+b+c)(c﹣b)=6,

所以b﹣a=c﹣b,即b=,代入②得ca﹣=﹣1,

4ac﹣(a+c)2=﹣4,(a﹣c)2=4,a﹣c=2或a﹣c=4,

当a﹣c=2时,a=c+2,b==c+1,代入③式得(c+2)(c+1)﹣c2=﹣7,3c+2=﹣7,c=﹣3,

所以a=﹣1,b=﹣2,此时6a+7b+8c=6×(﹣1)+7×(﹣2)+8×(﹣3)=﹣44,

当a﹣c=﹣2时,a=c﹣2,b==c﹣1,代入③式得(c﹣2)(c﹣1)﹣c2=﹣7﹣3c+2=﹣7,c=3,

所以a=1,b=2 此时6a+7b+8c=6×1+7×2+8×3=44,

所以6a+7b+8c=﹣44或6a+7b+8c=44,

故答案为44或﹣44.

点评:本题主要考查对称式与轮换对称式得知识点,解答本题得关键就是求出b=,此题难度不大.

5.x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2,x2y1﹣x1y2=1,x1y1+x2y2=3.则y12+y22=5.

考点:对称式与轮换对称式。

分析:根据题意令x1=sinθ,x2=cosθ,又知x2y1﹣x1y2=1,x1y1+x2y2=3,列出方程组解出y1与y2,然后求出y12+y22得值.

解答:解:令x1=sinθ,x2=cosθ,

又知x2y1﹣x1y2=1,x1y1+x2y2=3,