保险精算学-均衡净保费
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费用分类 投资费用 成 分
（1）投资分析成本（2）购买、销售及服务成本
保 险 2、维持费 费 用
1、新契约费 （1）销售费用，包括代理人佣金及宣传广告费（2） 风险分类，包括体检费用（3）准备新保单及记录
（1）保费收取及会计 （2）给付变更及理陪选择权准备 （3）与保单持有人进行联络
3、营业费用 （1）研究、开发新险种费用（2）精算及一般法律服 务（3）普通会计（4）税金、许可证等费用 4、理赔费用 （1）理陪调查和辩护费（2）各种给付的费用
总保费的计算方法（三）
三元素法：按每张保单在保险期限内 的不同阶段、不同用途，把附加费用 分为三种，常称为三元素法。这种方 法由T.B.Spraque提出，故又称为史 普列克算法。
三元素法
三种费用分别为： 新契约费：它是寿险公司销售新保单，第一年 所必须支付的费用。包括验体费用、签单费用 等，一般按保额的一定比例提取。 维持费：它是保单自生效起到保单失效为止， 全部保险期间维持契约所必须支付的费用等。 如催缴保费的费用、契约变更的费用、办理贷 款等所需的费用等。一般为固定金额。 收费费用：包括收费员的工资等等。一般按总 保费的一定比例提取。
G
25:40 0.15 0.9a
1
1 A25 A25:40 A25: 40 0.033425 :40
G 856.45
完全连续净均衡保费 死亡即刻给付 连续缴费 完全离散净均衡保费 死亡年末给付 离散缴费 半连续净均衡保费 死亡即刻给付 离散缴费
均衡净保费的计算问题
假设：
投保人在规定期限内每年等额交付保险费； 保险费交付时间：年初； 保险金支付时间：死亡年末. 费率: = 1元保险金的均衡净保费. 计算原理： 精算现值或精算终值的收支平衡.
保险费用的定义
保险公司支出的除了保险责任范围内的保险金
给付外，其它的维持保险公司正常运作的所有 费用支出统称为经营费用。这些费用必须由保 费和投资收益来弥补。
保险费用的范围：
税金、许可证、保险产品生产费用、保单销
售服务费用、合同成立后的维持费、投资费 用等
保险机构费用开支的一种分类方案
总保费的计算方法（一）
比例法：按总保费的一定比例来提取附加保费的 方法称为比例法。设P’是年缴总保费，P为年缴纯 保费，L为年缴附加保费，k为比例常数，按照定 义，L=kP’, 即P’-P=kP’, 所以，P’=P/(1-k). 不合理之处：低保费的保单收取的附加费可能少 于实际需要；反之，对于年期长、保费高的险种， 附加保费可能多于实际需要。
总保费的计算方法（二）
比例法常数：在按总保费的一定比例确定附加费 的基础上，还要考虑固有费用的特殊性，一般用 固定常数作为这一部分的费用。这一固定常数可 以通过将保单按保额分类，然后算出每一类保单 的单位保额的费用，最后作平均而得到，可用小 写e来表示。则P’=e+P/(1-k).
不合理之处：虽然较前面一种方法有所改进，但 是对于短期的低保费的险种，提取的附加费仍可 能少于实际的需要。
1、 终身寿险
保险公司在死亡年末 所支付一元保险金的 现值
投保人每年初缴一 元保费所构成的现 金流的现值
M
6. 限期缴费延期定期生存年金保险 的年缴纯保费
假设x岁签单，延期m年限期k年缴费的期 初付n年定期生存年金：
x:n | ) P( m | a
m
x:n | |a
k
x:k | a
复 习
生存年金的现值与终值 寿险的精算现值（趸交净保费）
年金现值与终值计算的一般公式
：首次支付 年金的年龄 n：支付 次数
特别： N∞ = 0
Nα N αn Dz
z :需要计算 价值的时间
寿险现值与终值计算的一般公式
n : 延期年数 特别：n = 0
m ：定期年数 特别：m = ∞ M∞ = 0
假 定 某 一 保 单 的 趸 缴保 纯费 为 A， 在 规 定 缴 付 期 限 内 ， 而 年 缴 纯 保 费 为 期 初 付 生 存 年 金 的 现为 值a P, 那 么 它们存在以下关系 : A a 是 受 具 体 缴 付 情 况 决 的 其中， a 定， 可 以 是 限 期 的 也 可以是全期的 (与 保 险 期 限 相 同 )。 一 般 的 ， 不 特 别 说 A 或 Pa P 明 ， 缴 付 期 限 可 以 认是 为全 期 的 ， 否 则 必 须缴 把付 期 限 及 保 险 期 限 都 在 保上 单写 明 。 例 如 ， 终 身 缴 费 的 终寿 身险 ， 我 们 常 称 之 为通 普终 身 寿险，而在最初 20年 缴 清 保 费 的 终 身 寿 ， 险则 称 为 20 年 限 期 缴 清 保 费 的 终寿 身险 。 20年 定 期 的 两 全 保 险 在 最 初10年 缴 清 保 费 ， 则 称 为 10年 限 期 缴 费 20年 定 期 的 两全险，等等。
1 1 x： Px： A a Dx n ( N x N x n ) x： n n n
x ) P( m a
m|
x m a x:m N x m ( N x N x m ) a
年缴纯保费的一般表达式
N z N zn M x M xm PA B N z N zk N z N zk
60%，
费用开支列表：
年龄 x=40 x+1 10%G x+2 10%G x+3 … ….. x+9 x+10 ……
比例附 60%G 加费 固定附 加费 10
10%G ……
2
2
2
2
2
….
处理费 0.5% *10000A 40
趸缴纯 保费
10000A40
初年
续年： 首付时间看 作第一年末
练习1
毛保费
毛保费的定义
保险公司实际收取的保费为用于保险金给付的
纯保费和用于各种经营费用开支的附加费用之 和，即毛保费，简记为G。
毛保费的厘定原则
基本原则：精算等价原则
毛保费精算现值=纯保费精算现值+附加费用精算现值 =各种给付的精算现值+各种费用支出的精算现值
注意事项
在确定附加费用时，一般只考虑保险费用， 而以投资费用冲销投资收益，体现在保费 计算中则适当降低预定收益率，即预定利 率。 附加费用中要考虑通货膨胀或通货紧缩的 趋势。
计算保费的假设：
保费是在年初支付，而死亡给付是在年末
净均衡保费与趸缴纯保费的关系
纯保费厘定原则——平衡原则：
保险人的潜在亏损均值为零。 L=给付金现值-纯保费现值 E（L）=0 E（给付金现值）=E（纯保费现值） 净均衡保费与趸缴纯保费的关系 E（趸缴纯保费现值）=E（净均衡保费现值）
净均衡保费的种类
M x n M x n m D x n m A Dz
z : 计算价值的 时间
0 纯 寿险 1 双 保险
8.1 均衡净保费
均衡净保费(年缴纯保费):
保险人将人的不同年龄的自然保险费结合 利息因素，均匀地分配在各个年度，使投保人按 期交付的保险费整齐划一，处于相同的水平，这 种保险费即为均衡保险费。 当保费由趸缴形式转为年缴形式时，关 键是要算出每次所要缴付保费的金额。保费是由 被保险人按保单规定期限交付的，必须是被保险 人生存才会支付，因此年缴纯保费事实上是一种 期初付生存年金。而它在签单时的现值应等于趸 缴纯保费值。
1E30
2E30
D31 D32 30： Ga 1000 A30:20 0.25G 0.1G 0.05G 10 D30 D30 30： 0.02G 3| a 0.02 Ga 3 a a 7 30： 10 30： 10 30： 20
练习2
对（25）购买的保险金额为10万元的40年 两全保险保单，该保单的第一年费用为100 元加上毛保费的25%，续年的费用为25元 加上毛保费的10%。发生死亡给付时的理 赔费用为100元，生存给付时不发生理赔费 用。求净均衡年缴保费和毛保费。已知
x： Px： Ax： a ( M x M xn Dx n ) ( N x N xn ) n n n
h
h
h年缴费终身人寿保险
h年缴费n年两全保险 n年生存保险 m年递延终身生存保险
x： Px Ax a M x ( N x N xh ) h
x： Px： Ax： a ( M x M x n Dx n ) ( N x N xh ) h n n
毛保费 （购买费用）
纯保费 （将来保单受益的精算现值）
附加费用 （与保单相关的费用的精算现值）
保险费用简介
上面我们介绍了纯保费的计算。所谓“纯”， 是指按照预定的生命表上的死亡率和预定的利 率来计算保费，而不考虑预定死亡率、利率与 现实的差异，也不考虑经营中必要的开支，如 行政管理费、保单成本、代理人佣金等。 而实际上，由保单拥有者交给保险公司的总保 费中，除了净保费以外，还包含着由法律规定 的附加保费： 总保费 = 净保费 + 附加费
N xm N xmn N x N xk
常见险种的完全离散净均衡保费 总 结
险种
终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险
保费公式
x M x N x Px Ax a
1 x： Px1： A a ( M x M xn ) ( N x N xn ) n x： n n
其中，A表示死亡保险金额，B表示生存保险金额， 分母中N的下标表示年缴纯保费的缴费期限，而 分子中M的下标表示死亡保险的期限，分子中N的 下标表示年金保险的期限。当出现终身寿险时， 一般表达式只保留前半个表达式且Mx+m项不存在。 终身生存保险有类似结论。
8.2 年度均衡总保费
保 费 简 介
保费的构成
费用开支列表：
年龄 趸缴纯 保费 x=30 x+1 x+2 x+3 … x+9 x+10 … x+20
1000 A30:20|
0.25G 0.1G 0.05G 0.02G … 0.02G
佣金
管理费 及承保 费用 保费税
5 0.02G
2 0.02G
2 …..
2
…
2 0.02G
1Hale Waihona Puke Baidu
….
0
按上表所示的费用开支情况及在签单时 收支平衡的原理，可得
A25： 0.114592 ，A 40
1 25： 40
0.0811675 ，i 6%
答案
25:40 (1) a 1 A25:40 d 15.6422 100000 P25:40 A25:40 100000 732.85 25:40 a
?
1 25:40 100000 25:40 ( 2)Ga A25:40 100A25 (75 0.15G ) ( 25 0.1G )a :40 1 25:40 100000 A25:40 100A25 75 25a :40
设有保额为1000元的10年限期缴费20年的两全保 险，签发年龄为30岁，其附加费用如下： 佣金：第一年按总保费的25%提取，第二年按 10%，第三年按5%，以后均为2%; 保费税：总保费的2%； 管理费及承保费用：第一年5元，第二年以后每年 2元，保费缴清后每年1元。 试用换算符号表示其年缴总保费。
（1）投资分析成本（2）购买、销售及服务成本
保 险 2、维持费 费 用
1、新契约费 （1）销售费用，包括代理人佣金及宣传广告费（2） 风险分类，包括体检费用（3）准备新保单及记录
（1）保费收取及会计 （2）给付变更及理陪选择权准备 （3）与保单持有人进行联络
3、营业费用 （1）研究、开发新险种费用（2）精算及一般法律服 务（3）普通会计（4）税金、许可证等费用 4、理赔费用 （1）理陪调查和辩护费（2）各种给付的费用
总保费的计算方法（三）
三元素法：按每张保单在保险期限内 的不同阶段、不同用途，把附加费用 分为三种，常称为三元素法。这种方 法由T.B.Spraque提出，故又称为史 普列克算法。
三元素法
三种费用分别为： 新契约费：它是寿险公司销售新保单，第一年 所必须支付的费用。包括验体费用、签单费用 等，一般按保额的一定比例提取。 维持费：它是保单自生效起到保单失效为止， 全部保险期间维持契约所必须支付的费用等。 如催缴保费的费用、契约变更的费用、办理贷 款等所需的费用等。一般为固定金额。 收费费用：包括收费员的工资等等。一般按总 保费的一定比例提取。
G
25:40 0.15 0.9a
1
1 A25 A25:40 A25: 40 0.033425 :40
G 856.45
完全连续净均衡保费 死亡即刻给付 连续缴费 完全离散净均衡保费 死亡年末给付 离散缴费 半连续净均衡保费 死亡即刻给付 离散缴费
均衡净保费的计算问题
假设：
投保人在规定期限内每年等额交付保险费； 保险费交付时间：年初； 保险金支付时间：死亡年末. 费率: = 1元保险金的均衡净保费. 计算原理： 精算现值或精算终值的收支平衡.
保险费用的定义
保险公司支出的除了保险责任范围内的保险金
给付外，其它的维持保险公司正常运作的所有 费用支出统称为经营费用。这些费用必须由保 费和投资收益来弥补。
保险费用的范围：
税金、许可证、保险产品生产费用、保单销
售服务费用、合同成立后的维持费、投资费 用等
保险机构费用开支的一种分类方案
总保费的计算方法（一）
比例法：按总保费的一定比例来提取附加保费的 方法称为比例法。设P’是年缴总保费，P为年缴纯 保费，L为年缴附加保费，k为比例常数，按照定 义，L=kP’, 即P’-P=kP’, 所以，P’=P/(1-k). 不合理之处：低保费的保单收取的附加费可能少 于实际需要；反之，对于年期长、保费高的险种， 附加保费可能多于实际需要。
总保费的计算方法（二）
比例法常数：在按总保费的一定比例确定附加费 的基础上，还要考虑固有费用的特殊性，一般用 固定常数作为这一部分的费用。这一固定常数可 以通过将保单按保额分类，然后算出每一类保单 的单位保额的费用，最后作平均而得到，可用小 写e来表示。则P’=e+P/(1-k).
不合理之处：虽然较前面一种方法有所改进，但 是对于短期的低保费的险种，提取的附加费仍可 能少于实际的需要。
1、 终身寿险
保险公司在死亡年末 所支付一元保险金的 现值
投保人每年初缴一 元保费所构成的现 金流的现值
M
6. 限期缴费延期定期生存年金保险 的年缴纯保费
假设x岁签单，延期m年限期k年缴费的期 初付n年定期生存年金：
x:n | ) P( m | a
m
x:n | |a
k
x:k | a
复 习
生存年金的现值与终值 寿险的精算现值（趸交净保费）
年金现值与终值计算的一般公式
：首次支付 年金的年龄 n：支付 次数
特别： N∞ = 0
Nα N αn Dz
z :需要计算 价值的时间
寿险现值与终值计算的一般公式
n : 延期年数 特别：n = 0
m ：定期年数 特别：m = ∞ M∞ = 0
假 定 某 一 保 单 的 趸 缴保 纯费 为 A， 在 规 定 缴 付 期 限 内 ， 而 年 缴 纯 保 费 为 期 初 付 生 存 年 金 的 现为 值a P, 那 么 它们存在以下关系 : A a 是 受 具 体 缴 付 情 况 决 的 其中， a 定， 可 以 是 限 期 的 也 可以是全期的 (与 保 险 期 限 相 同 )。 一 般 的 ， 不 特 别 说 A 或 Pa P 明 ， 缴 付 期 限 可 以 认是 为全 期 的 ， 否 则 必 须缴 把付 期 限 及 保 险 期 限 都 在 保上 单写 明 。 例 如 ， 终 身 缴 费 的 终寿 身险 ， 我 们 常 称 之 为通 普终 身 寿险，而在最初 20年 缴 清 保 费 的 终 身 寿 ， 险则 称 为 20 年 限 期 缴 清 保 费 的 终寿 身险 。 20年 定 期 的 两 全 保 险 在 最 初10年 缴 清 保 费 ， 则 称 为 10年 限 期 缴 费 20年 定 期 的 两全险，等等。
1 1 x： Px： A a Dx n ( N x N x n ) x： n n n
x ) P( m a
m|
x m a x:m N x m ( N x N x m ) a
年缴纯保费的一般表达式
N z N zn M x M xm PA B N z N zk N z N zk
60%，
费用开支列表：
年龄 x=40 x+1 10%G x+2 10%G x+3 … ….. x+9 x+10 ……
比例附 60%G 加费 固定附 加费 10
10%G ……
2
2
2
2
2
….
处理费 0.5% *10000A 40
趸缴纯 保费
10000A40
初年
续年： 首付时间看 作第一年末
练习1
毛保费
毛保费的定义
保险公司实际收取的保费为用于保险金给付的
纯保费和用于各种经营费用开支的附加费用之 和，即毛保费，简记为G。
毛保费的厘定原则
基本原则：精算等价原则
毛保费精算现值=纯保费精算现值+附加费用精算现值 =各种给付的精算现值+各种费用支出的精算现值
注意事项
在确定附加费用时，一般只考虑保险费用， 而以投资费用冲销投资收益，体现在保费 计算中则适当降低预定收益率，即预定利 率。 附加费用中要考虑通货膨胀或通货紧缩的 趋势。
计算保费的假设：
保费是在年初支付，而死亡给付是在年末
净均衡保费与趸缴纯保费的关系
纯保费厘定原则——平衡原则：
保险人的潜在亏损均值为零。 L=给付金现值-纯保费现值 E（L）=0 E（给付金现值）=E（纯保费现值） 净均衡保费与趸缴纯保费的关系 E（趸缴纯保费现值）=E（净均衡保费现值）
净均衡保费的种类
M x n M x n m D x n m A Dz
z : 计算价值的 时间
0 纯 寿险 1 双 保险
8.1 均衡净保费
均衡净保费(年缴纯保费):
保险人将人的不同年龄的自然保险费结合 利息因素，均匀地分配在各个年度，使投保人按 期交付的保险费整齐划一，处于相同的水平，这 种保险费即为均衡保险费。 当保费由趸缴形式转为年缴形式时，关 键是要算出每次所要缴付保费的金额。保费是由 被保险人按保单规定期限交付的，必须是被保险 人生存才会支付，因此年缴纯保费事实上是一种 期初付生存年金。而它在签单时的现值应等于趸 缴纯保费值。
1E30
2E30
D31 D32 30： Ga 1000 A30:20 0.25G 0.1G 0.05G 10 D30 D30 30： 0.02G 3| a 0.02 Ga 3 a a 7 30： 10 30： 10 30： 20
练习2
对（25）购买的保险金额为10万元的40年 两全保险保单，该保单的第一年费用为100 元加上毛保费的25%，续年的费用为25元 加上毛保费的10%。发生死亡给付时的理 赔费用为100元，生存给付时不发生理赔费 用。求净均衡年缴保费和毛保费。已知
x： Px： Ax： a ( M x M xn Dx n ) ( N x N xn ) n n n
h
h
h年缴费终身人寿保险
h年缴费n年两全保险 n年生存保险 m年递延终身生存保险
x： Px Ax a M x ( N x N xh ) h
x： Px： Ax： a ( M x M x n Dx n ) ( N x N xh ) h n n
毛保费 （购买费用）
纯保费 （将来保单受益的精算现值）
附加费用 （与保单相关的费用的精算现值）
保险费用简介
上面我们介绍了纯保费的计算。所谓“纯”， 是指按照预定的生命表上的死亡率和预定的利 率来计算保费，而不考虑预定死亡率、利率与 现实的差异，也不考虑经营中必要的开支，如 行政管理费、保单成本、代理人佣金等。 而实际上，由保单拥有者交给保险公司的总保 费中，除了净保费以外，还包含着由法律规定 的附加保费： 总保费 = 净保费 + 附加费
N xm N xmn N x N xk
常见险种的完全离散净均衡保费 总 结
险种
终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险
保费公式
x M x N x Px Ax a
1 x： Px1： A a ( M x M xn ) ( N x N xn ) n x： n n
其中，A表示死亡保险金额，B表示生存保险金额， 分母中N的下标表示年缴纯保费的缴费期限，而 分子中M的下标表示死亡保险的期限，分子中N的 下标表示年金保险的期限。当出现终身寿险时， 一般表达式只保留前半个表达式且Mx+m项不存在。 终身生存保险有类似结论。
8.2 年度均衡总保费
保 费 简 介
保费的构成
费用开支列表：
年龄 趸缴纯 保费 x=30 x+1 x+2 x+3 … x+9 x+10 … x+20
1000 A30:20|
0.25G 0.1G 0.05G 0.02G … 0.02G
佣金
管理费 及承保 费用 保费税
5 0.02G
2 0.02G
2 …..
2
…
2 0.02G
1Hale Waihona Puke Baidu
….
0
按上表所示的费用开支情况及在签单时 收支平衡的原理，可得
A25： 0.114592 ，A 40
1 25： 40
0.0811675 ，i 6%
答案
25:40 (1) a 1 A25:40 d 15.6422 100000 P25:40 A25:40 100000 732.85 25:40 a
?
1 25:40 100000 25:40 ( 2)Ga A25:40 100A25 (75 0.15G ) ( 25 0.1G )a :40 1 25:40 100000 A25:40 100A25 75 25a :40
设有保额为1000元的10年限期缴费20年的两全保 险，签发年龄为30岁，其附加费用如下： 佣金：第一年按总保费的25%提取，第二年按 10%，第三年按5%，以后均为2%; 保费税：总保费的2%； 管理费及承保费用：第一年5元，第二年以后每年 2元，保费缴清后每年1元。 试用换算符号表示其年缴总保费。