矩阵的初等变换及应用

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矩阵的初等变换及其应用

（3）传递性即对任何矩阵，与，若与等价，与等价，则与等价；
3.矩阵的初等变换的应用
3.1求矩阵的秩
求矩阵秩的方法很多，一般有定义法、初等变换法、相关公式法、综合法、但当矩阵的具体元素为已知时，一般采用初等变换法即求非零行（列）的个数。
定义3.1.1 矩阵中非零子式的最高阶数称为矩阵的秩.亦即，中存在不为0的阶子式，而所有阶子式（若有的话）均为0，这时矩阵的秩记作 (或或秩 )
定义3.5.1 设是一个阶方阵，如果存在一个数及一个维非零列向量，使得
即
成立，则称数为方阵的一个特征值，非零列向量称为方阵的对应于（或属于）特征值的特征向量.
定义3.5.2 行列式（或）称为矩阵的特征多项式（注：特征多项式是的次多项式.）是矩阵的特征方程，具体形式为：
总之，矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算手段，我们可以利用矩阵初等变换求矩阵的秩，求逆矩阵，求矩阵方程等各种计算实例。随着科学技术的不断发展，矩阵的应用已经深入到了自然，社会，工程，经济等各个领域，而且人工智能、手机通讯和一般的算法设计和阐发等，矩阵在其应用中是通讯优化。我们不能局限于书本的学习，要理论联系实际，更好的运用理论知识解决实际遇到的问题。
时，子块就化为，使得。此时，若令，则化为标准形
例8 化二次型为标准形。
解：二次型矩阵为
实施初等变换
这样，经坐标变换，其中
二次型化为标准形
注：二次型可以用多种方法化标准形，其标准形不唯一。
总结
在解决代数方面的一些题目时，运用矩阵的初等变换可以使问题简单化，比如在化二次型为标准型时，除了可以用初等变换法，还可以用正交变换法和配方法来计算，相比较初等变换更为简单，易于计算，好理解。矩阵的初等变换在解决线性代数的计算问题中有很多应用，这些计算格式有不少类似之处，一旦掌握了矩阵的运算，我们分析和解决方程组的能力将会大大增强。

矩阵的初等变换及其应用

在数学中矩阵最早来源于方程组的系数及常数所构成的方阵，现在矩阵是线性代数最基本也是最重要的概念之一。

在线性代数及其许多的问题中都能看到矩阵的身影，它能把抽象的问题用矩阵表示出来，通过对矩阵进行计算得出结果。

作为矩阵的基础及核心，矩阵的初等变换及应用是非常重要的，它能够把各种复杂的矩阵转化成我们需要的矩阵形式，从而使计算变得更加的简便。

本文总结了线性变换在线性代数、初等数论、通信、经济、生物遗传等方面的应用。

关键词：矩阵；初等变换；标准型；逆矩阵；标准型；秩；方程组ABSTRACTMatrix derived from the first phalanx of the coefficients and constants of the equations in mathematics, now matrix is the most fundamental and important concepts of linear algebra, in linear algebra and many other questions can be seen the figure of the matrix, It can abstract the matrix representation, then matrix calculated results. As the foundation and core of the matrix, the elementary transformation matrix and its application is very important, it can conversion a variety of complex matrix into a matrix form we need, then the calculation becomes more simple.This paper summarizes the application of linear algebra, elementary number theory, communications, and economic, biological heredity.Key words:Matrix; Elementary transformation; standard; inverse matrix; standard; rank; equations;1矩阵及其初等变换的概念 (1)2矩阵初等变换的应用 (1)2.1在线性代数中的应用 (2)2.1.1 将矩阵化简为阶梯型和等价标准型 (2)2.1.2矩阵的分块和分块矩阵的初等变换 (3)2.1.3求伴随矩阵和逆矩阵 (4)2.1.4求矩阵的秩，向量组的秩 (5)2.1.5求矩阵的特征值和特征向量 (6)2.1.6 解线性方程组 (7)2.1.7求解矩阵方程 (8)2.1.8化二次型为标准型 (9)2.1.9判断向量组的线性相关性，求其极大线性无关组 (11)2.2在数论中的应用 (11)2.3在通信中的应用 (13)2.4在经济方面的应用 (14)2.5在生物遗传方面的应用 (15)总结 (18)致谢 (19)参考文献 (20)矩阵的初等变换及其应用在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为对这些矩阵的转化过程，除方程组之外，还有很多方面的问题也都涉及矩阵的概念及其应用，这些问题的研究常常转化为对矩阵的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的。

矩阵初等变换及其在线性代数中的应用

矩阵初等变换及其在线性代数中的应用线性代数是一门重要的数学分支，它研究的是线性变换及其代数分析性质。

其中，矩阵是线性代数中非常重要的工具，它可以把线性方程组转化成一个更简单的形式，使得我们可以更容易地进行求解。

而矩阵的初等变换则是在求解线性方程组时必须要用到的一种基本技巧。

本篇文章将深入探讨矩阵初等变换及其在线性代数中的应用。

矩阵初等变换到底是什么？矩阵初等变换是指对于一个矩阵来说，可以通过三种基本变换操作得到新的矩阵。

这三种操作分别是：交换矩阵的任意两行或两列；用一个非零常数 k 乘以矩阵的某一行或某一列；将矩阵的某一行或某一列加上另一行或另一列的 k 倍。

这三种操作称为矩阵的行初等变换或列初等变换。

首先来看一个示例，假设有如下矩阵：$$\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}$$对于这个矩阵，我们可以进行如下初等变换：①交换第一行和第二行$$\begin{bmatrix}3 &4 \\1 &2 \\\end{bmatrix}$$②将第二行乘以2$$\begin{bmatrix}1 &2 \\6 & 8 \\\end{bmatrix}$$③将第二行减去第一行的两倍$$\begin{bmatrix}1 &2 \\4 & 4 \\\end{bmatrix}$$通过这三种基本变换，我们可以将原始矩阵变换成一个新的矩阵。

这个过程通常用矩阵的运算符号表示，比如将第二行减去第一行两倍的操作可以表示为：$$\begin{bmatrix}1 & 0 \\-2 & 1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 &2 \\1 & 0 \\\end{bmatrix}$$其中，左侧的矩阵就是一个变换矩阵，它表示了对原矩阵的操作。

矩阵的初等变换及其应用

矩阵的初等变换及其应用线性代数第一次讨论课1.导语2.讨论内容目录3.正文4.个人总结导语:矩阵是研究线性代数方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究啊、对象之一。

它的理论和方法在自然科学、工程技术、社会科学等众多领域等都有极其广泛的应用。

矩阵作为一些抽象数学的具体表现，在数学研究中占有极其重要的地位。

本文从矩阵的概念讨论矩阵的运算及性质，进而讨论用途很广的矩阵的初等变换及其应用。

讨论内容目录矩阵的初等变换及其应用1.两个矩阵的等价2.两个矩阵的乘积3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型4.求矩阵的秩5.求可逆矩阵的逆矩阵6.求线性方程组的解7.判断向量组的线性相关性8.求向量组的秩与极大无关组9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值）10.二次型化为标准形正文一、矩阵的等价1.定义：若矩阵A经过一系列初等行变换化为B矩阵,则称A与B行等价；若矩阵A经过一系列初等列变换化为B矩阵,则称A与B列等价；若矩阵A经过一系列初等变换化为B矩阵,则称A与B等价（相抵）。

2.矩阵的等价变换形式主要有如下几种：1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换；2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元；3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去；即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。

3.矩阵等价具有下列性质（1）反身性任一矩阵A与自身等价；（2）对称性若A与B等价，则B与A等价；（3）传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价；注意：矩阵作初等变换是矩阵的一种运算，得到的是一个新矩阵，这个矩阵一般与原矩阵不会相等。

下面举例说明矩阵等价及等价变换：13640824100412204128--?? ?- ? ?-- ?-??13r r +→43213131414331222136413640824100824100412204122041280 412813641364082410082410000300030060000r rr r r r r rr r r r B ++-++-----???? ? ?-- ? ????→???→---- ? ?-------- ? ?→= ? ? ? ?????1231213121310341813601030013001300001000100000000r r r r r r r r r C -------???? ?-- ? ?→→= ?显然，根据矩阵等价的定义，以上变换过程中的每一个矩阵均为等价的，每个步骤都是等价转换。

线性代数课件矩阵的初等变换

第i列
第 j列
11
(2) 以数 k 0 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。
以数k 0乘单位矩阵的第i行( ri k )，得初等矩阵E ( i ( k )).
1 1 E ( i ( k )) k 1 1
标准形矩阵
特点：左上角为一个单位矩阵,其他位置上的元素全都为 0 .
9
二、初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛. 定义由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵. 1 0 0 r 4r 1 0 4 1 3 例如 E 0 1 0 ~ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
3
定义3 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B，就称矩阵 A 与 B 等价，记作A ~ B．
等价关系的性质：
（1）自反性 A A；
（2）对称性若 A B , 则 B A; （3）传递性若 A B, B C, 则 A C.
4
行阶梯形矩阵：
特点：（1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）每个台阶只有一行，
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .

矩阵的初等变换及其应用

矩阵的初等变换及其应用线性代数第一次讨论课1;要求 2;正文 3;个人总结丁俊成第一部分：要求00101209线性代数课程的主要任务是夯实工程问题的数学基础，培养学生的逻辑思维、定量分析、数学建模、科学计算的数学能力，提高数学素养。

讨论课是以学生为主导，其内容包括理论内容的专题讨论、探究性应用案例的数学模型的建立。

通过对理论内容的深入探讨，加深学生对知识的深刻理解与掌握，培养学生自主学习能力、逻辑思维能力、对知识的归纳梳理与综合能力，提高学生分析问题与数学建模的能力。

第一次讨论课内容矩阵初等变换及其应用请卓越班的同学们按照下面的提纲（内容包括概念、求解方法、举例、应用案例等）准备。

要求做成word或PPT文档。

同学们自荐或推荐上讲台讲课。

希望同学们踊跃参与。

第一次讨论课的时间初步定在5月中旬。

1. 两个矩阵的等价2. 两个矩阵的乘积3. 将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型4. 求矩阵的秩5. 求可逆矩阵的逆矩阵6. 求线性方程组的解7. 判断向量组的线性相关性8. 求向量组的秩与极大无关组9. 求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值）第二部分：正文矩阵的初等变换及其应用矩阵是线性代数最基本也是最重要的概念之一，几乎线性代数所有的概念或者其使用里面都可以见到矩阵的身影，作为矩阵核心，矩阵的初等变换及其应用是及其重要的，本文将对矩阵初等变换及其应用做简单讨论。

一．两个矩阵的等价矩阵等价的定义为：若矩阵A经过一系列初等行变换化为矩阵B，则称A与B行等价。

若矩阵A经过一系列初等列变换化为矩阵B，则称A与B列等价。

若矩阵A经过一系列初等变换化为矩阵B，则称A与B等价（相抵）。

根据性质，矩阵的等价变换形式主要有如下几种： 1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换；2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元；3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去；即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。

矩阵的初等变换及其应用

㊀㊀㊀㊀㊀㊀矩阵的初等变换及其应用矩阵的初等变换及其应用Һ顾江永㊀（宿迁学院文理学院，江苏㊀宿迁㊀２２３８００）㊀㊀ʌ摘要ɔ矩阵的初等变换在代数学中具有重要的地位，本文给出了运用初等变换求解方程组的基础解系㊁特征值㊁多项式的最大公因式和Ｊｏｒｄａｎ标准形相似变换矩阵等方法，这些方法具有直观㊁简捷㊁有效等特点．ʌ关键词ɔ初等变换；基础解系；最大公因式；相似变换矩阵ʌ基金项目ɔ２０１９江苏省高校教学研究一般项目（２０１９ＳＪＡ１９９７）一㊁引㊀言矩阵的初等变换包括矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换，矩阵的初等行（列）变换有三种形式［１］：（１）交换两行（列）；（２）任一行（列）的ｋ倍（ｋʂ０）；（３）任一行（列）的ｋ倍加到另一行（列）．在代数学中，矩阵的初等变换有着非常重要且广泛的应用，它常被应用于行列式的计算㊁方程组以及矩阵方程的求解㊁向量线性关系的判定㊁求矩阵的秩以及逆㊁λ－矩阵的不变因子和矩阵的Ｊｏｒｄａｎ标准形等．张家宝给出了初等变换求逆的几种方法［２］；石擎天等研究了初等变换求解方程组的特殊方法［３］；于莉琦等介绍了初等变换在行列式㊁矩阵和方程组中的应用［４］．本文给出了矩阵的初等变换求解方程组的基础解系㊁最大公因式和Ｊｏｒｄａｎ标准形的相似变换矩阵等方法及应用．二㊁预备知识引理１［５］㊀设矩阵Ａｍˑｎ的秩为ｒ，且Ａｍˑｎ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑ，其中Ｐｍˑｍ，Ｑｎˑｎ为可逆矩阵，则有Ｐ－１００Ｅｎæèçöø÷ＡＥｎæèçöø÷Ｑ－１＝Ｅｒ０００Ｑ－１æèççöø÷÷．证明㊀因为Ａｍˑｎ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑ，所以Ｅｒ０００æèçöø÷＝Ｐ－１ＡｍˑｎＱ－１，故Ｐ－１００Ｅｎæèçöø÷ＡＥｎæèçöø÷Ｑ－１＝Ｐ－１ＡＥｎæèçöø÷Ｑ－１＝Ｐ－１ＡＱ－１Ｑ－１æèçöø÷＝Ｅｒ０００Ｑ－１æèççöø÷÷，注：引理１给出了化一个矩阵为标准形的求Ｑ－１的方法．引理２㊀设矩阵Ａｍˑｎ的秩为ｒ，则矩阵ＡＥｎæèçöø÷仅经初等列变换可以化为β１，β２，，βｒ，０，，０Ｑ－１æèçöø÷，其中β１，β２，，βｒ线性无关，且ＡＱ＝β１，β２，，βｒ，０，，０()．证明㊀因为Ａｍˑｎ的秩为ｒ，所以Ａｍˑｎ的列秩等于ｒ，即矩阵Ａｍˑｎ列向量组的最大线性无关组由ｒ个向量构成，不妨设为β１，β２，，βｒ，故由初等变换的性质可得ＡＥｎæèçöø÷仅经初等列变换可以化为β１，β２，，βｒ，０，，０Ｑ－１æèçöø÷．引理３［６］㊀设Ａ是数域Ｐ上的ｎ阶方阵，将矩阵λＥ－Ａ经初等变换化为上三角形矩阵ｆ１（λ）００∗ｆ２（λ）０︙︙⋱︙∗∗ｆｎ（λ）æèççççöø÷÷÷÷，则ｆｉ（λ）＝０（ｉ＝１，２，，ｎ）在数域Ｐ上的根即为矩阵Ａ的全部特征根．证明㊀根据初等变换的性质可知，初等变换不改变λＥ－Ａ＝０的根，故ｆ１（λ）００∗ｆ２（λ）０︙︙⋱︙∗∗ｆｎ（λ）＝ｆ１（λ）ｆ２（λ）ｆｎ（λ）＝０的根即为矩阵Ａ的全部特征根．引理４㊀设ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），，ｆｓ（ｘ）是数域Ｐ上的多项式，且ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），，ｆｓ（ｘ）()Ｔ经初等行变换化为ｄ（ｘ），０，，０()Ｔ，则ｄ（ｘ）即为ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），，ｆｓ（ｘ）的最大公因式．证明㊀由辗转相除法原理直接可得［１］．三㊁主要结论定理１㊀设齐次线性方程组Ａｍˑｎｘ＝０，其系数矩阵Ａｍˑｎ的秩为ｒ，且Ａｍˑｎ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑ，又设Ｑ－１＝（η１，，ηｒ，ηｒ＋１，，ηｎ），则ηｒ＋１，ηｒ＋２，，ηｎ是线性方程组Ａｍˑｎｘ＝０的基础解系．证明㊀设Ｑｘ＝ｙ１︙ｙｒ︙ｙｎæèçççççöø÷÷÷÷÷＝ＹｒＹｎ－ｒæèçöø÷，由Ａｍˑｎｘ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑｘ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷ＹｒＹｎ－ｒæèçöø÷＝０，可得Ｙｒ＝ｙ１︙ｙｒæèççöø÷÷＝０，所以ｘ＝Ｑ－１ＹｒＹｎ－ｒæèçöø÷＝Ｑ－１０︙０ｙｒ＋１︙ｙｎæèççççççöø÷÷÷÷÷÷．㊀㊀㊀㊀㊀令Ｑ－１＝（η１，，ηｒ，ηｒ＋１，，ηｎ），则ｘ＝ｙｒ＋１ηｒ＋１＋ｙｒ＋２ηｒ＋２＋＋ｙｎηｎ．因为Ｑ是可逆矩阵，则ηｒ＋１，ηｒ＋２，，ηｎ线性无关，所以ηｒ＋１，ηｒ＋２，，ηｎ为方程组的一个基础解系．定理２［７］㊀设Ａ是数域Ｐ上的ｎ阶方阵，矩阵λＥｎ－ＡＥｎæèçöø÷经初等变换化为φ１（λ）０⋱０φｎ（λ）Ｑ（λ）æèççççöø÷÷÷÷（其中初等行变换只能在前ｎ行进行）．设Ｑ（λ）的第ｊ列为ｑｊ（λ），若λ－λ０()ｋ为φｊ（λ）的初等因子，则Ａｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！，，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！æèçöø÷＝ｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！，，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！æèçöø÷λ０１００λ００︙︙⋱１００λ０æèççççöø÷÷÷÷．证明㊀由题设知，存在可逆矩阵Ｐ（λ），Ｑ（λ），使得Ｐ（λ）λＥｎ－Ａ()Ｑ（λ）＝φ１（λ）０⋱０φｎ（λ）æèççöø÷÷．因为ｑｊ（λ）是Ｑ（λ）的第ｊ列，所以Ｐ（λ）λＥｎ－Ａ()ｑｊ（λ）＝（０，，０，φｊ（λ），０，，０）Ｔ．又设ｑｊ（λ）的幂级数展开式为ｑｊ（λ）＝ｑｊ（λ０）＋ｑᶄｊ（λ０）１！λ－λ０()＋ｑᵡｊ（λ０）２！λ－λ０()２＋，代入Ｐ（λ）λＥｎ－Ａ()ｑｊ（λ）＝（０，，０，φｊ（λ），０，，０）Ｔ，得λ０Ｅｎ－Ａ()ｑｊ（λ０）＝０，λ０Ｅｎ－Ａ()ｑᶄｊ（λ０）＋ｑｊ（λ）＝０，λ０Ｅｎ－Ａ()ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！＋ｑｋ－２()ｊ（λ０）ｋ－２()！＝０．上面等式两边相加㊁移项并提取矩阵Ａ可得Ａ(ｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！，，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！)＝(ｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！，，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！)λ０１００λ００︙︙⋱１００λ０æèççççöø÷÷÷÷．四㊁应用举例例１㊀求多项式ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），ｆ３（ｘ）的最大公因式，其中ｆ１（ｘ）＝ｘ４＋２ｘ３＋４ｘ２＋３ｘ＋２，ｆ２（ｘ）＝ｘ４＋ｘ３＋３ｘ２＋ｘ＋２，ｆ３（ｘ）＝ｘ３＋２ｘ２＋３ｘ＋２．解㊀因为ｆ１（ｘ）ｆ２（ｘ）ｆ３（ｘ）æèççöø÷÷＝ｆ１（ｘ）－ｆ２（ｘ）ｆ２（ｘ）－ｘｆ３（ｘ）ｆ３（ｘ）æèççöø÷÷＝ｘ３＋ｘ２＋２ｘ－ｘ３－ｘ＋２ｘ３＋２ｘ２＋３ｘ＋２æèççöø÷÷＝ｘ３＋ｘ２＋２ｘｘ２＋ｘ＋２ｘ２＋ｘ＋２æèççöø÷÷＝ｘ３＋ｘ２＋２ｘｘ２＋ｘ＋２０æèççöø÷÷＝ｘ２＋ｘ＋２００æèççöø÷÷，所以由引理４知，ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），ｆ３（ｘ）的最大公因式为ｄ（ｘ）＝ｘ２＋ｘ＋２．例２㊀求齐次线性方程组ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＝０，３ｘ１＋２ｘ２＋ｘ３＋ｘ４－３ｘ５＝０，５ｘ１＋４ｘ２＋３ｘ３＋３ｘ４－ｘ５＝０{的基础解系．解㊀对系数矩阵Ａ施行初等行变换如下Ａ＝１１１１１３２１１－３５４３３－１æèççöø÷÷ ｒ２－３ｒ１ｒ３－５ｒ１１１１１１０－１－２－２－６０－１－２－２－６æèççöø÷÷ ｒ１＋ｒ２ｒ２ˑ（－１）ｒ３－ｒ２１０－１－１－５０１２２６０００００æèççöø÷÷．又１０－１－１－５０１２２６１０００００１０００００１０００００１０００００１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ ｃ３＋ｃ１ｃ４＋ｃ１ｃ５＋５ｃ１１０００００１２２６１０１１５０１０００００１０００００１０００００１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ ｃ３－２ｃ２ｃ４－２ｃ２ｃ５－６ｃ２１０００００１０００１０１１５０１－２－２－６００１０００００１０００００１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷则由引理２知，方程组的基础解系为η１＝（１，－２，１，０，０）Ｔ，η２＝（１，－２，０，１，０）Ｔ，η３＝（５，－６，０，０，１）Ｔ．ʌ参考文献ɔ［１］王萼芳，石生明．高等代数（第五版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１９：５．［２］张家宝．浅谈求逆矩阵的几种方法［Ｊ］．数学学习与研究，２０２０（１０）：４－５．［３］石擎天，黄坤阳．线性方程组求解及应用［Ｊ］．教育教学论坛，２０２０（１２）：３２５－３２７．［４］于莉琦，高恒嵩．初等变换概述［Ｊ］．数学学习与研究，２０１９（０６）：１１６．［５］徐仲，陆全，等．高等代数考研教案（第２版）［Ｍ］．西安：西北工业大学出版社，２００９．［６］卢博，田双亮，等．高等代数思想方法及应用［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１７．［７］朱广化．关于‘相似变换矩阵的简单求法“的改进［Ｊ］．数学通报，１９９４（１１）：４４－４６．。

矩阵初等变换

矩阵初等变换：从入门到实践
矩阵初等变换是线性代数重要的基础知识，也是机器学习和人工
智能领域必须掌握的技能。

本文将从基本概念到实际应用，全面深入
地介绍矩阵初等变换的相关知识。

什么是矩阵初等变换？矩阵初等变换指的是对矩阵的行、列进行
一些基本的变换操作，比如交换矩阵的某两行（列）、将某一行（列）中的元素乘以一个非零常数、将某一行（列）加上另一行（列）的k
倍等。

通过矩阵初等变换，我们可以改变矩阵的性质，比如行列式、秩，同时也可以解决某些线性方程组的求解问题。

矩阵初等变换有哪些基本形式？根据变换的形式，矩阵初等变换
可以分为三类：交换两行（列）、将某一行（列）中的元素乘以一个数、将某一行（列）加上另一行（列）的k倍。

需要注意的是，矩阵
初等变换对应的变换矩阵是方阵，也就是说，如果我们进行一次矩阵
初等变换，那么原矩阵的行列式和秩都不会改变。

矩阵初等变换的应用有哪些？矩阵初等变换在线性代数和数学计
算中有着广泛的应用。

我们可以通过矩阵初等变换解决线性方程组的
求解问题，可以判断矩阵的线性相关性，可以求取矩阵的逆矩阵，还
可以将高斯-约旦消元法的过程表示成矩阵初等变换的形式，方便进行
计算。

在机器学习中，矩阵初等变换也有着重要的应用。

比如，我们
可以通过初等变换将数据标准化为均值为零、方差为一的正态分布，
也可以进行特征值分解和奇异值分解等，从而进行降维和信息提取。

总结：矩阵初等变换是线性代数中的重要内容，在数学计算和机器学习领域都有着广泛的应用。

我们应该深入了解矩阵初等变换的各种形式和应用，从而更好地掌握线性代数和机器学习的相关知识。

矩阵初等变换的性质及其应用

摘要本文探讨矩阵初等变换的性质及其在代数中的若干应用，主要从矩阵的逆、矩阵的秩、求解线性方程组及矩阵方程、求一元多项式的最大公因式、求解指派问题等若干方面进行阐述。

关键词：矩阵的初等变换；矩阵的秩；可逆矩阵；线性方程组；最大公因式AbstractThis paper is mainly to discuss the application of the elementary transfor mation of matrix in algebra, using matrix elementary transformation to solve th e matrix inverse, matrix rank, solving linear equations and matrix equations, on e yuan polynomial greatest common divisor, solving assignment problem of the se aspects of the application.Keywords:Elementary transformation of matrix;Matrix rank;Invertible matrix;System of linear equations;Greatest common factor目录1 引言 ............................. 错误!未定义书签。

2 矩阵的初等变换及其性质 (1)2.1 矩阵初等变换的定义.......................... 错误!未定义书签。

2.2 矩阵初等变换相关性质 (2)3 矩阵初等变换的若干应用 (2)3.1 利用矩阵初等变换求矩阵的逆 (1)3.2 利用矩阵的初等变换来求矩阵的秩 (5)3.3 利用矩阵初等变换求解线性方程组及矩阵方程 (7)3.4 利用矩阵的初等变换求一元多项式最大公因式 (11)3.5 利用矩阵初等变换解决指派问题 (13)参考文献 (16)矩阵初等变换的性质及其应用矩阵及其理论在众多领域中都发挥着重要的作用,而矩阵的初等变换是矩阵理论的核心和灵魂。

矩阵的初等变换及其应用

矩阵的初等变换及其应用
矩阵初等变换包括三种变换：
1.交换任意两行或列。

2.用一个数与一行或列中所有数相乘。

3.把某一行或列中的某个数加上另一行或列中对应的数的k倍。

初等变换的主要应用有：
1.解线性方程组：通过初等变换把系数矩阵化为一个容易求解的三角矩阵。

2.计算矩阵的秩：通过初等变换把矩阵化为阶梯形矩阵，可以方便地求出矩阵的秩。

3.求逆矩阵：通过初等变换把原矩阵化为一个对角矩阵，然后对角线上的元素取倒数得到逆矩阵。

关于矩阵初等变换的两个定理及应用

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矩阵的初等变换知识点总结

矩阵的初等变换知识点总结矩阵的初等变换是矩阵运算中的一种基本操作，其目的是通过一系列变换使得矩阵达到特定的形式，从而方便后续的运算和求解。

初等变换包括三种类型：行交换、行倍乘以非零常数和某一行加上另一行的若干倍。

下面将对这三种初等变换进行详细介绍。

一、行交换行交换是指将矩阵中两行互相交换顺序。

具体来说，如果有一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$，则可以通过以下方式进行行交换：1. 将第 $i$ 行和第 $j$ 行互相交换位置。

$$\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\\vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\a_{m1} &a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\a_{j1} &a_{j2}&\cdots&a_{jn}\\\vdots & \vdots & \ddots& \vdots\\a_{i1} &a_{i2}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}$$行交换可以用来将矩阵化为阶梯形或最简形式，方便进行高斯消元法等运算。

矩阵的初等变换及应用(吴礼斌)

对 B 进一步化为行简化矩阵
3. 求逆矩阵
版权所有，安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌，13955236046
2
线性代数
0 1 1 设矩阵 A = 1 1 2 ，求 A −1 。 2 −1 0
解：A 是 3 阶矩阵，在 A 的右边写上 3 阶单位矩阵，并对其施行初等行变换，得
版权所有，安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌，13955236046 5
线性代数
其中 c1 , c 2 为任意常数。（2）求解齐次线性方程组
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0, 3x + 2 x + x + x − 3x = 0, 1 2 3 4 5 5 x1 + 4 x2 + 3x3 + 3x4 − x5 = 0, x2 + 2 x3 + 2 x4 + x5 = 0.
再由行简化形矩阵写出原方程组的同解方程组为
x1 − 2 x2 − 2 x4 = −4 +1 x =5 2 4 2 x3
移项得
x1 = −4 + 2 x 2 + 2 x 4 5 −1 x3 = 2 2 x4
令 x2 = c1 , x4 = c2 ，代入上面同解方程组得原方程组的通解（一般表示形式）为
线性代数
矩阵的初等行变换及应用
一、矩阵的初等行变换概念
定义。初等行定义。对矩阵进行下列三种变换，称为矩阵的初等初等行变换。变换 (1)交换矩阵某两行的位置； (2)用一个非零数乘以矩阵某一行的每一个元； (3)将矩阵某一行的元都乘以数 λ 后对应加到另一行上. 并称(1)为换法行变换，称(2)为倍法行变换，称(3)为倍加行变换. 若把对矩阵施行的三种“行”变换改为对“列”的三种变换，称为矩阵的初等列变换。矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换初等变换。初等变换。为了表示的方便，我们引入如下的一组变换运算符号： ri ↔ rk 表示交换矩阵的第 i 行与第 k 行的位置；

3.1 矩阵的初等变换及其应用

3.1 矩阵的初等变换及其应用
在科学技术与经济管理领域，线性方程组是许多问题的数学模型，因此，线性方程组的求解问题十分重要，本章将研究更一般的线性方程组的求解问题。
一、矩阵的初等变换
用消元法求解简单线性方程组时，其消元步骤是对方程组施以下列变换：
(i) 对调某两个方程在方程组中的位置；
(ii) 以数乘某一方程的两端；
(iii) 把某一方程的两端乘以数后加到另一方程的两端.
这些变换称为线性方程组的初等变换，由此引出矩阵的初等行变换.
定义6 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
(i) 对调两行(对调两行,记作 );
(ii) 以数乘某一行中的所有元素(第行乘 ,记作 );
(iii) 把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去(第行的倍加到第行上,记作 ).
.
解
上式中最后一个矩阵为行阶梯矩阵，由此即可看出 .
若Ｄ含有矩阵Ｂ的第行元素，同时含有矩阵Ｂ的第行元素，那么由行列式的性质知Ｄ与矩阵Ａ中的一个相应阶子式相等，所以也有Ｄ＝０.
综上，则得 .
又因为，将Ｂ的第行的乘以加到第行得到矩阵Ａ，所以同理可得 .故
由定理3知，求矩阵的秩只需利用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵，然后确定矩阵的秩.
例4 求矩阵Ａ的秩，其中
用阶初等方阵左乘矩阵得
其结果相当于对矩阵Ａ施行第一种初等行变换:把Ａ的第行与第行对调( )；类似地可以验证：以左乘矩阵Ａ,其结果相当于以数乘Ａ得第行( )；以左乘矩阵Ａ,其结果相当于把Ａ的第行乘加到第行上( ).
综上所述,可得下述定理.
定理1设Ａ是一个矩阵,对Ａ施行一次初等行变换,相当于在Ａ的左边乘以相应的阶初等方阵;对Ａ施行一次初等列变换,相当于在Ａ的右边乘以相应的阶初等方阵.

初等变换内容总结

初等变换内容总结初等变换是线性代数中的重要概念，它是指通过一系列基本操作来改变矩阵的形态。

在本文中，我们将以人类的视角来描述初等变换的内容，并探讨其在实际问题中的应用。

一、初等变换的概念及基本操作初等变换是指通过三种基本操作对矩阵进行变换，这三种基本操作分别是：交换两行（列）的位置、某一行（列）乘以一个非零常数、某一行（列）的倍数加到另一行（列）。

这些操作可以改变矩阵的行列式、秩以及解的个数。

二、初等变换的应用初等变换在线性方程组的求解、矩阵的求逆以及线性相关性的判断等问题中都有广泛的应用。

下面我们将分别介绍这些应用。

1. 线性方程组的求解通过初等变换，我们可以将线性方程组转化为行阶梯形或简化行阶梯形矩阵，从而求解方程组的解。

通过交换行、乘以非零常数、行的倍数加到另一行等操作，我们可以将方程组转化为更加简单的形式，使得解的求解更加方便。

2. 矩阵的求逆通过初等变换，我们可以将一个方阵转化为单位矩阵，从而求得其逆矩阵。

逆矩阵在计算机图形学、电路分析等领域中有着重要的应用。

3. 线性相关性的判断通过初等变换，我们可以判断向量组的线性相关性。

通过将向量组转化为行阶梯形或简化行阶梯形矩阵，我们可以得到向量组的秩，从而判断其线性相关性。

三、初等变换的实例分析为了更好地理解初等变换的应用，我们将通过一个实际问题进行分析。

假设有一家电子公司生产A、B、C三种产品，每天生产的数量分别为a、b、c。

已知每个产品的销售价格分别为x、y、z，该公司每天的总收入为ax+by+cz。

现在，该公司决定调整产品的生产数量，以提高总收入。

通过初等变换，我们可以得到以下结论：- 如果将A产品的生产数量增加一个单位，总收入将增加x个单位。

- 如果将B产品的生产数量增加一个单位，总收入将增加y个单位。

- 如果将C产品的生产数量增加一个单位，总收入将增加z个单位。

基于以上分析，我们可以优化产品的生产方案，使得总收入最大化。

通过初等变换，我们可以得到一个线性规划问题，进一步求解出最优解。

多项式矩阵的初等变换

多项式矩阵的初等变换多项式矩阵是指矩阵的元素是多项式的矩阵。

初等变换是矩阵运算中常用的一种方式，可以通过对矩阵进行一系列基本操作来改变其性质。

本文将介绍多项式矩阵的初等变换方法及其应用。

1.行交换：通过交换矩阵的两行来改变行的顺序。

例如，将第一行与第二行交换，可以写作R1<->R2。

2.行倍乘：将矩阵的某一行的所有元素乘以一个非零常数。

例如，将第一行的元素都乘以2，可以写作2R1。

3.行加减：将某一行的所有元素与另一行的对应元素相加或相减，然后替换该行。

例如，将第一行的元素分别加到第二行上，可以写作R2=R2+R1。

在实际问题中，多项式矩阵的初等变换被广泛应用。

以下是一些常见的应用场景：1.线性方程组的求解：通过初等变换，可以将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，从而求解出未知数的值。

2.矩阵的秩计算：通过初等变换，可以将矩阵转化为行阶梯形矩阵，进而计算出矩阵的秩。

3.矩阵的相似性判定：通过初等变换，可以将矩阵转化为标准型，从而判断两个矩阵是否相似。

4.多项式插值：通过初等变换，可以将多项式插值问题转化为线性方程组求解问题，从而得到多项式的系数。

多项式矩阵的初等变换是一种常用的矩阵运算方法，通过行交换、行倍乘和行加减操作，可以改变矩阵的性质以及解决实际问题。

在实际应用中，初等变换广泛用于线性方程组求解、矩阵的秩计算、矩阵相似性判定和多项式插值等领域。

熟练掌握多项式矩阵的初等变换方法对于数学问题的解决具有重要意义。

1.张广福，陈皓，袁启土.数学分析[M].高等教育出版社，2013.2.蒋继宗.线性代数与几何[J].高等教育出版社，2018.。

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