2122_一元二次方程的解法_公式法(40张)课件

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《解一元二次方程—公式法》课件PPT

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方程没有实数解。
当堂检测—不做不讲
1.不解方程,判断下列一元二次 方程的根的情况(每小题5分)
(1)2x2-3x-1.5=0
(2)16x2-24x+9=0
(3)x2-4x+9=0 (4)3x2+10=2x2+8x
2.用公式法解下列方程:(1-4每小题10分 5,6每小题20分)。
(1)2x2-x-1=0
(3)4x-x2=x2+2
• 解:方程整理为:x2-2x+1=0 • a=1,b=-2,c=1 • ∵ ⊿=b2-4ac • =(-2)2-4 ×1 ×1 • =4-4=0 • ∴方程有两个相等的实数根。
利用判别式判断根的情况的 步骤
• 1、化成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)
• 2、找准 a,b,c • 3、求出⊿=b2-4ac的值 • 4、判断根的情况
例2.用公式法解方程2x2+5x-3=0
解: a=2, b=5, c= -3,

∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49>0 ②
∴x= 即
= x1= -3 , x2=

=

用公式法解一元二次方程的 一般步骤:
• 1、化成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0) • 2、找准 a,b,c • 3、求出⊿=b2-4ac的值 • 4、判断根的情况
人民教育出版社九年级数学上册
21.2 解一元二次方程 —公式法
学习目标:
1、理解一元二次方程求根公式的推导过 程
2 、会熟练应用公式法解一元二次方 程.
重点和难点
1重点:求根公式的推导和公式 法的应用.

一元二次方程的解法-公式法》PPT课件

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解:化简为一般形式:x 2 3 x 3 0
2
a 1、 b -2 3、 c 3 2 2 b 4ac ( 2 3 ) 4 1 3 0
(- 2 3 ) 0 2 3 x 3 21 2 ∴ x1 x2 3
结论:当b2-4ac=0时,一元二次方程有两 个相等 的实数根.
一个直角三角形三边的长为三个连续偶数, 求这个三角形的三边长.
解 : 设这三个连续偶数中间的一个为x, 根据题意得
x x 2 x 2 .
2 2 2
即x 8x 0.
2
B
解这个方程 ,得
x1 8, x2 0(不合题意 , 舍去).
x 2 6, x 2 10.
用公式法解下列方程:
1、x2 +2x =5
2、 6t2 -5 =13t
例4
解方程:
x2 3 2 3 x
解: 原方程化为:x 2 2 3 x 3 0
a 1 ,b 2 3,c 3
b 4ac 2 3 4 1 3 0
2


2
( 2 3) 0 2 3 x 3 21 2 x1 x2 3
二、用配方解一元二次方程的步骤是什么? 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系 数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0
2
(a≠0)

解一元二次方程(公式法)(ppt课件)

解一元二次方程(公式法)(ppt课件)

这时
b
2
4ac 4a 2
>0,

b
b2 4ac
x
.
2a
2a
b b2 4ac
x
.
2a
b b2 4ac
b
x1
2a
, x2
b2 4ac .
2a
方程有两个不 相等实数根
探究新知
⑵b2-4ac=0
这时
b2 4ac 0, 4a 2
x1=x2=- b 2a
方程有两个相 等实数根
探究新知
解:方程化为 2x2-5x-9=0.
a=2,b=-5,c=-9.
Δ=(-5)2-4×2×(-9)=97>0.
方程有两个不等的实数根
x=-b±
b2-4ac=5±
2a
4
97,

x1=5+4
97,x2=5-4
97 .
随堂练习
3.用公式法解方程:x2-3x+4=0. 解:a=1,b=-3,c=4. Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×4=-7<0. 方程无实数根.
课堂小结
公式法解方程的步骤 1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: △=b2-4ac的值; 4.判断:若△=b2-4ac ≥0,则利用求根公式求出;
若△=b2-4ac<0,则方程没有实数根.
当堂测试
1. 关于 x 的一元二次方程 x2 2x m 2 0 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围
,
x2
1.
(2) x2 4x 7 0 ,
a 1, b 4 , c 7 ,
b2 4ac (4)2 417 44 0 ,

一元二次方程的解法公式法PPT课件

一元二次方程的解法公式法PPT课件
∴当m-1=0时, 方程有两个相等的实数根;
当m-1≠0时, 方程有两个不相等的实数根;
第19页/共22页
应用2:根据方程根的情况判断某一字母取值范围
(1)、若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有
两个实数根,则m的取值范围是 ( D )
A 、 m ﹥0
B、 m≥0
C 、 m ﹥ 0 且m≠1 D m ≥0且m≠1
利用它解一元二次方程的方法叫做公式法,
由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.
第4页/共22页
求根公式 : X=
用公式法解一元二次方 程的一般步骤:
(a≠0, b2-4ac≥0)
例1.用公式法解方程2x2+5x-
3=0

解: a=2, b=5, c= -3, ②
∴ b2-4ac=52-4×2×(-
即 x1 = -2 , x2 =
. x 2 24 1 6 2
. x1 1 6, x2 1 6
第6页/共22页
例2 用公式法解方程: x2 – x - =0
解:方程两边同乘以3, 得 2 x2 -3x-2=0 a=2,b= -3,c= -2.
例3 用公式法解方程: x2 +3 = 2 x
含有字母系数时,将△配方后判断
第18页/共22页
根的判别式问题
1、不解方程,判断根的情况. (1)2x2-4x-5=0;
解:b2 4ac (4)2 4 2 (5) =56 >0
∴方程有两个不相等的实数根;
(2)x2-(m+1)x+m=0.
解:b2 4ac (m 1)2 41 m
m2 2m 1 4m (m 1)2 ≥0

公式法解一元二次方程课件

公式法解一元二次方程课件
公式法解一元二次方程 PPT课件
本课件将详细介绍公式法解一元二次方程的步骤、应用和几何意义,以及解 答思路和优缺点分析。同时还包括丰富的例题演示和实战演练。
一元二次方程的定义和特点
一元二次方程是形如ax²+ bx + c = 0的方程,其中a、b、c为已知数,a ≠ 0。 它的特点是含有二次项和一次项,并且未知数的最高次幂为2。
求解一元二次方程的两种方法的比较
公式法
适用于一切一元二次方程,计算简便,但需要 记住公式。
配方法
适用于特定的一元二次方程,计算较为繁琐, 但思维灵活。
一元二次方程在实际生活中的 应用
• 物理学中的运动学问题。 • 工程学中的曲线设计。 • 经济学中的成本与收益分析。 • 金融学中的利润计算。
求解一元二次方程时需要注意的事项
• 确保方程按标准形式排列。 • 计算判别式时,注意繁简幂运算和符号的处理。 • 对于存在浮点数解的情况,注意精度问题。 • 在使用根的公式计算解时,注意正负号的运算。
实数解和虚数解的区别
一元二次方程的实数解是指方程的解为实数,虚数解是指方程的解为虚数。 虚数解以i表示,例如3 + 4i。
常见一元二次方程的例子
例子1
x² + 3x - 4 = 0
例子3
3x² - 6x + 3 = 0
例子2
2x² - + 2 = 0
例子4
x² + 4x + 4 = 0
公式法解一元二次方程的步骤
1. 将方程按标准形式ax²+ bx + c = 0排列。 2. 计算判别式△ = b²- 4ac。 3. 根据△的值来判断方程的根的情况。 4. 如果△ > 0,则方程有两个不相等的实数根。 5. 如果△ = 0,则方程有两个相等的实数根。 6. 如果△ < 0,则方程没有实数解,存在两个虚数根。

2122_一元二次方程的解法_公式法40张课件

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(5) 2x2 x 3 0 (6)2x2 x 3 0
有两个实数根的方程的序号是( (1) (4) (6))
没有实数根的方程的序号是( (2)(3)(5))
应用1. 不解方程判断方程根的情况:
(3) x2-2kx+4(k-1)=0 (k为常数) 解:△=4 k2-16k+16
=4( k2-4k+4) =4( k-2) 2
当△>0,即
a<
5 4
时,
x
5
25 20a
2a

5
当△=0,即 a= 4 时,x=2;
当△<0,即
a>
5 4
时,方程无解。
这是收获的 时刻,让我 们共享学习 的成果
一、由配方法解一般的一元二
次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
若 b2-4ac≥0 得
求根公式 : X=
这是收获的 时刻,让我 们共享学习 的成果
用配方法解 ax2 bx c (0 a 0).
对于方程 ax2 bx c (0 a 0).
(1)将常数项移到方程的左边,得 ax2 bx c .
(2)方程两边同除以a,得
x2 b x c
a
a
.
(3)方程两边同时加上__(_2b_a_)2__,得
x2 b x ( b )2 c ( b )2.
特别提醒 推导时必须


x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac . 2a
根的判别式
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
解的情况由 b2 4ac 决定:
(1) 当 b2 4ac 0 时,方程有两个

解一元二次方程-公式法 ppt课件

解一元二次方程-公式法  ppt课件

利用公式法解一元二次方程
例题
解析
解方程:x²−4x=7
一般步骤
化为一般式得:x²−4x-7=0

∵ = 1,b=−4,c=−7.

∴△= 2 − 4 =16−(−28)=44>0.
∴方程有两个不相等的实数根
∴ =
−± 2 −4
2
=
4± 44
2
= 2 ± 11

 = 2 + 11, = 2 − 11.
x



2a
25
5
1
即 x1 1, x2 5 .
典型例题
用公式法解下列方程:
(1) x2 4 x 7 0
(3) 5x 2 3x x+1
(2) 2x2 2 2 x+1 0
(4) x2 17 8x
解: (4) 方程化为一般式 x2 8x 17 0
解析
意.
练习
练习
若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相
等实数根,求 k的取值范围.
不解方,判断关于 x 的方程 x²-kx+k-2=0的根的
情况.
练习
若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相
等实数根,求 k的取值范围.
k
练习
1
的取值范围为:k>2且 k

=
=
2
2
2 −4
判别式的应用
例题
关于x的一元二次方程:(m-3)x²-4x-1=0,有
实数根,求m的取值范围?
依题可得


解一元二次方程 公式法ppt课件

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解题思路:
1.方程有两个相等的实数解,等价于 b2 4ac 0,把方程系数
代入解出m的值.
2.方程的两根为互为相反数,等价于 b2 4ac>0,且x1 x2,用
求根公式求解.
即:x1 x2 b
b2 4ac b
2a
b2 4ac 0(b2 4ac>0). 2a
答案:1.m= 17 .
方程有两个相等的实数根:
x1
x2
b 2a
2 3 21
3.
例3.用公式法解方程 (x-2)(1-3x)=6. 解:去括号,化简为一般式 3x2-7x+8=0. a=3,b=-7,c=8.
b2 4ac (7)2 4 38 47<0.
方程没有实数根.
归纳总结
用公式法解一元二次方程的一般步骤: 1.把方程化成一般形式,并写出 a,b,c 的值.
2.求出=b2-4ac 的值. 注意:当=b2-4ac <0 时,方程无解.
3.代入求根公式: x = b
b2 4ac .
2a
4.写出方程的解:x1,x2 .
随堂练习
用公式法解下列方程:
(1)2x2-9x+8=0; (2)9x2+6x+1=0; (3)16x2+8x=3.
(1)2x2-9x+8=0. 解:a=2,b=-9,c=8. b2 4ac (9)2 4 28 17>0. 方程有两个不等的实数根:
x2
2a
.
(2)当b2
4ac
0时,这时
b2 4ac 4a2
0,
方程有两个相等的实数根:
x1
x2
b. 2a
(3)当b2
4ac<0时,这时
b2
4ac 4a2
<0,

一元二次方程的解法—公式法ppt课件

一元二次方程的解法—公式法ppt课件

k≠0
k≠0
归纳 当一元二次方程二次项系数是字母时,一定要注意二次项 系数不为 0,再根据“Δ”求字母的取值范围.
【变式题】删除限制条件“二次”
若关于 x 的方程 kx2 − 2x −1 = 0 有实数根,则 k 的取值范围是
( A)
A. k≥ −1
B. k≥ −1且 k≠0
C. k < 1
D. k < 1 且 k≠0
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
学习目标
1. 了解求根公式的推导过程;(难点) 2. 掌握用公式法解一元二次方程;(重点) 3. 会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
知识回顾
用配方法解一元二次方程的步骤有哪些?
一“化”:将方程化为一般形式,且把二次项系数化为1; 二“移”:将常数项移到方程的右边; 三“配”:方程方左程边两配边成同完时全加平上方一的次形项式系;数一半的平方,将
练一练
不解方程,判断下列方程的根的情况.
(1)3x2+x-1=0;
(2)2x2+6=3x;
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法:
将方程整理 为一般形式 ax2+bx+c=0
Δ= b2 − 4ac > 0 Δ= b2 − 4ac = 0 Δ= b2 − 4ac < 0
有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
Δ= b2-4ac = (− )2-4×2×1 = 0. 方程有两个相等的实数根
x1 = x2
(3) 5x2-3x = x + 1; 解:方程化为 5x2-4x-1 = 0.
±-
a = 5,b = -4,c = -1. Δ= b2-4ac = (-4)2-4×5×(-1) = 36>0.

数学九年级上册21.2.2公式法解一元二次方程 课件

数学九年级上册21.2.2公式法解一元二次方程 课件

2 x2 3x10
4
解: a 1, b 3, c 1 . 4
b2 4ac
3
2
4
1 4
4.
x 3 4 32,
21
2
x1
2 2
3 , x2
32. 2
3 3x2 6x20
解: a 3, b 6, c 2.
b2 4ac 62 4 3 2 60.
x 6 60 6 2 15 3 15 ,
.

因为a≠0,4a2>0,当b2-4ac≥0时,
b2 4ac 4a2
0,
由②式得
x b b2 4ac .
2a
2a
x b b2 4ac . 2a
b b2 4ac
b b2 4ac
x1
2a
, x2
2a
.
由上可知,一元二次方程
a x 2 b x c 0( a 0 ) .
例2 解下列方程:
1 2x2x10; 2 x21.53x; 3 x22x10; 4 4x23x20.
2
解:1 a 2,b 1,c 1.
b2 4ac 12 4 2 1 9 0,
1
x 2 2
9
13, 4
x1
1,
x2
1. 2
确定a,b,
c的值时,要注 意它们的符号.
22
4
x1
2 2
14 , x2
2 2
14 .
谢谢指导
第一个青春是上帝给的;第二个的青春是靠自己努力的。 按照自己的活法,快乐的生活,活得像自己就好了,何必在意那么多,勇敢地走自己的路,让别人说去吧。 古之学者为己(所谓为己之学),今之学者为人。——《论语·宪问》 珍惜今天的美好就是为了让明天的回忆更美好。 炫耀是需要观众的,而炫耀恰恰让我们失去观众。 君子喻于义,小人喻于利。——《论语·里仁》 目标不是都能达到的,但它可以作为瞄准点。 业余生活要有意义,不要越轨。——华盛顿 一切伟大的行动和思想,都有一个微不足道的开始。 今天,你们是甜美的花朵,明天,你们是尊贵的果实,而我终生的事业是做一片常青的叶!——陈青梅 加紧学习,抓住中心,宁精勿杂,宁专勿多。 不宽恕众生,不原谅众生,是苦了你自己。
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