岩土应变硬化指数理论及其分数阶微积分理论基础_殷德顺

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2023年高等土力学试题考博专用

参考书目《高等土力学》李广信第1章土工实验及测试一、简述土工实验的目的和意义。

1）揭示土的一般或特有的物理力学性质。

2）针对具体土样的实验，揭示区域性土、特殊土、人工复合土的物理力学性质。

3）拟定理论计算和工程设计的参数。

4）验证理论计算的对的性及实用性。

5）原位测试、原型监测直接为土木工程服务，也是分析和实现信息化施工的手段。

第2章土的本构关系★二、广义讲，什么是土的本构关系？与其他金属材料比，它有什么变形特性（应力应变特性）？（2.3节）P51土的本构关系广义上讲是指反映土的力学性状的数学表达式，表达形似一般为应力-应变-强度-时间的关系。

与金属材料相比，土的变形特性包含：①土应力应变的非线性。

由于土由碎散的固体颗粒组成，土的宏观变形重要不是由土颗粒自身变形，而是由于颗粒间位置的变化。

这样在不同的应力水平下由相同应力增量引起的应变增量就不会相同，即表现出非线性。

②土的剪胀性。

由于土石由碎散颗粒组成的，在各向等压或等比压缩时，孔隙总是减少的，从而可发生较大的体积压缩，这种体积压缩大部分死不可恢复的，剪应力会引起土塑性体积变形，这叫剪胀性，另一方面，球应力又会产生剪应变，这种交叉的，或者耦合的效应，在其他材料中很少见。

③土体变形的弹塑性。

在加载后再卸载到本来的应力状态时，土一般不会完全恢复到本来的应变状态，其中有一部分变形是可以恢复的，部分应变式不可恢复的塑性应变，并且后者往往占很大的比例。

④土应力应变的各向异性和土的结构性。

不仅存在原生的由于土结的各向构异性带来的变形各向异性，并且对于各向受力不同时，也会产生心的变形和各向异性。

⑤土的流变性。

土的变形有时会表现出随时间变化的特性，即流变性。

与土的流变特性有关的现象只要是土的蠕变和应力松弛。

影响土的应力应变关系的应力条件重要有应力水平，应力途径和应力历史。

★三、何为土的剪胀性，产生剪胀的因素？P52(2.3.2)土体由于剪应力引起的体积变化称为剪胀性，广义的剪胀性指剪切引起的体积变化，既涉及体胀，也涉及体缩，但后者常被称为“剪缩”。

应变硬化指数

应变硬化指数应变硬化指数（SHSI）是指当自由应变（或应变率）在某一极限值时，材料的弹性模量快速增加的能力的一种指标。

它是应力应变曲线靠近线性区域后的斜率，以一种精确的、定量的方式表征材料的硬化特性。

它可以反映出材料在施加应力或应变时，其力学性能和变形性能（如疲劳强度）随应变率增大而发生改变的程度。

应变硬化指数的定义是：当应变速率增大到一定的激变极限以后，材料的弹性模量增加的快慢程度的指标，例如：应变硬化指数（SHSI）=kdε/dt其中，kd应变速率，ε应变，dt是极限应变速率。

应变硬化指数可以表示材料在应力变形过程中，其变形特性随应变速率增大而发生变化的程度。

当应变速率增大时，应变硬化指数也会显著增大，且材料弹性模量和硬度会随之增大。

此外，应变硬化指数还可以反映材料的疲劳极限，即材料可以在多大程度的应力下进行变形。

应变硬化指数的测量，可以利用金属力学的研究基础和实验方法，比如动态力学弹性实验和应变硬化试验。

动态力学弹性实验可以测量材料应力应变曲线在非线性范围中的变化，包括计算材料的屈服点、最大应力和总变形。

应变硬化试验，是测量材料应变速率和应变硬化指数的一种实验方法，一般以动态变形法测量材料的应变硬化指数，可以测出材料在低至中应变速率范围内的应变硬化指数以及应力和总变形。

应变硬化指数的实际应用，通常用于研究材料动态力学变形性能，比如疲劳强度、屈服强度、减震性能等。

此外，也可以应用于工程材料研发和分析，充分挖掘材料应变硬化性能，以改变材料的性能和结构，确保材料更好地适应自然界和人工环境的改变，增强材料的动态力学变形性能，提高材料的安全性。

总之，应变硬化指数是材料力学变形性能研究的重要指标，它可以定量表示材料的硬化性能，反映材料的变形性能。

随着力学理论和实验技术的发展，应变硬化指数测试技术也在不断更新，以更精确的方式表征材料的硬化性能，增强材料的设计效能，进一步为工程应用提供准确可靠的材料信息。

《岩土工程施工》课程教学大纲

《岩土工程施工》教学大纲课程编号：632023课程名称：岩土工程施工课程英文名称：Geotechnical Engineering Construction课程类别：专业教育课程课程性质：必修课学时（理论+实践）：48学时学分：3开课学期：第七学期选用教材：《岩土工程施工》，陈晨主编，地质出版社，2003 主要参考书：1.林宗元主编.《岩土工程治理手册》.辽宁科学技术出版社，1993年2.陈晨主编.《现代地基处理技术》.地质出版社，2012年一、中英文课程简介岩土工程施工课程系统介绍了岩土工程施工各种方法的原理、相关设计计算及施工工艺，主要内容包括绪论、工程勘察钻探、工程孔施工技术、地基处理技术、桩基础施工技术、地下连续墙施工技术、锚固技术、非开挖施工技术、其他岩土工程施工技术等。

The curriculum of geotechnical engineering construction introduces the principle of various methods x the design calculation and construction technology in geotechnical engineering.The main content includes introduction, engineering investigation drilling, engineering hole construction technology, ground treatment technology, pile foundation construction technology, construction technology of underground diaphragm wall, anchorage technology, trenchless excavation technology and other geotechnical engineering construction technology , etc.二、课程的目的、性质与任务“岩土工程施工”是地质工程（勘察工程方向）专业的专业主干课。

分数阶微积分流变模型在岩体结构加速流变破坏分析中的应用

ｄｓｒｃｉｎａａｙｉｆａｃｌｒｔｄｒｅｌｇｆｄｆｅｅｔｒｃｔｃｕｅ．Ｉｓｓｏｈｔｔｅａｃｌｒｔｄｅｔｕｔｏｎｌｓｓｏｃｅｅａｅｈｏｏｙｏｉｒｎｏｋｓｒｔｒｓｔｉｈｗｎｔａｃｅｅａｅｕｈ
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分数阶微积分流变模型在岩体结构加速流变破坏分析中的应用
黄耀英，郑宏
４０７）３０１
（．三峡大学水利与环境学院，北宜昌４３０；１湖４０２
关键词：数阶微积分；流变模型；速流变；分加破坏
中图分类号：Ｕ５Ｔ１５Ｔ４７；Ｂ１
文献标志码：Ａ
Ａｐｌｃｔｏｆｆａｔｏａｒｅａｃｌｓｒｅｌｇｃｌｍｏｅｎｐｉａｉｎｏｒｃｉｎｌｏｄｒｃｌｕｕｈｏｏｉａｄｌｉ
ｃｌｕａｉｎｆｒｌａｅｅｕｅａｃｌｔｏ０ｍｕａｒｄｄｃｄ．Ｔｈｎｒｃｉｎａｏｄｒａｃｌｓｈｏｏｉａｍｏｌｓｐｌｅｔｔｅｅｆａｔｏｌｒｅｃｌｕｕｒｅｌｇｃｌｄｅｉａｐｉｄｏｈ
ＣｉｅｅＡａｅｙｏｃｎｅ，ｈｎ４０７，ＣｉａｈｎｓｃｄｍｆｉｃｓＷｕａ３０１ｈ）Ｓｅｎ
Ａｂｓｒｃ：Ａｓｔｈｉａｖｎａｅｏｅｄｎｎｒｍｅｅｓｗｈｎｃｎｅｔｏａｌｍｅｔｍｏｌｉｓｄｔａｔｏｔｅｄｓｄａｔｇｆｎｅｉｇｍａｙｐａａｔｒｅｏｖｎｉｎｌｅｅｎｄｅｓｕｅｔｔｅｐｒｍｅｔａａｗｅｌｈｈｏｙｏａｔｎｌｏｄｒｃｌｕｕｓａｐｉｄｔｈｈｏｏｙａａｙｉｆｏｆｘｅｉｎａｄｔｌ，ｔｅｔｅｒｆｆｃｉａｒｅａｃｌｓｉｐｌｏｔｅｒｅｌｇｎｌｓｓｏｉｌｒｏｅ

岩土应变硬化指数理论及其分数阶微积分理论基础_殷德顺

第32卷第5期岩土工程学报 Vol.32 No.5 2010年 5月 Chinese Journal of Geotechnical Engineering May 2010岩土应变硬化指数理论及其分数阶微积分理论基础殷德顺，和成亮，陈文(河海大学工程力学系，江苏南京 210098)摘要：应变硬化型岩土的三轴试验应力应变曲线能够表现出不同的弯曲程度，而应力应变曲线的弯曲程度是岩土应变硬化能力的体现，但已有的研究中还没有相应的参数来描述岩土的硬化能力。

为了获得反映岩土应变硬化能力的参数，从而有助于了解岩土的塑性性能和指导土体的合理承载，根据Hollomon 提出的描绘金属塑性拉伸变形的指数方程（经验公式），提出了岩土应变硬化指数理论。

通过许多三轴试验，发现岩土应变硬化指数理论提出的岩土应力应变关系符合乘幂函数关系的假设能够被验证，岩土的应变硬化指数能够反映岩土的硬化能力。

岩土的力学性质介于理想固体和理想流体之间，其应力应变关系既不遵守胡克定律，也不遵守牛顿黏性定律，而是遵守介于它们之间的某种关系。

利用分数阶微积分理论给出了恒应变率加载情况下的土应力应变关系。

关系式显示应力应变之间也呈乘幂函数关系，说明岩土分数阶应力应变关系能够为岩土应变硬化指数理论提供理论基础。

关键词：应变硬化指数；分数阶微积分；三轴试验；理论基础中图分类号：TU43 文献标识码：A 文章编号：1000–4548(2010)05–0762–05作者简介：殷德顺(1972– )，男，副教授，主要从事土的本构模型及基本理论研究。

E-mail: yindeshun@ 。

Theory of geotechnical strain hardening index and its rationale fromfractional order calculusYIN De-shun, HE Cheng-liang, CHEN Wen(Department of Engineering Mechanics, Hohai University, Nanjing 210098, China)Abstract : The curvature of stress-strain curves from triaxial tests on harden soil is a reflection of hardening ability, but there isn’t a parameter of hardening ability in geotechnical mechanics. In order to gain such a parameter that can help us to know plasticity and proper bearing capacity of soil, a theory of geotechnical strain hardening index (TAGSHI) in response to exponential equation (an empirical equation) which Hollomon established from experience in metal tensile deformation is developed. Based on a lot of triaxial tests, it is shown that the assumption in TAGSHI is right, which thinks that stress-strain relationship of soil is the power function in triaxial tests, and the strain hardening index may reflect geotechnical hardening ability. As we all know that geotechnical mechanical property should be intermediate between that of an ideal solid and an ideal fluid, so its stress-strain relation should neither follow the Hook’s law nor obey the Newton's law of viscosity, and it should be consistent with the fractional expression ()d ()d t t t ββσε=, (01β<<). The geotechnical stress-strain relation is derived byapplying the theory of fractional order calculus operator under the condition of loading with constant strain rate. The analytic results show that the geotechnical stress-strain curves exhibit power relation, and it is consistent with the assumption in TAGSHI. This indicates that the fractional expression ()d ()t t t ββσε=, (01β<<) can give a rationale for TAGSHI.Key words : strain hardening index; fractional order calculus; triaxial test; rationale0 前言常规三轴试验是研究岩土材料力学性质的重要手段，无论是砂土[1]、黏土[2-3]，还是岩石材料[4]，它们的三轴试验已经积累了大量的试验数据和经验。

基于分数阶微积分的岩土材料变形研究

ＤＯＩ：１０．３８７６／ｊ．ｉｓｓｎ．１０００— １９８０．２０１３．０２．０１０
基于分数阶微积分的岩土材料变形研究
段晓梦，殷德顺，李彦青，张伟
（河海大学力学与材料学院，江苏南京２１００９８）
ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌｓｔｒａｉｎｒａｔｅａｒｅｄｅｉｒｖｅｄｆｏｒｖｏｌｕｍｅｓｔｒａｉｎ．Ｔｈｅｎｅｗｍｏｄｅｌｅｎｊｏｙｓｔｈｅａｄｖａｎｔａｇｅｓｏｆｈａｖｉｎｇｆｅｗｅｒ
Ｓｔｕｄｙｏｎｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｇｅｏｍａｔｅｒｉａｌｓｂａｓｅｄｏｎ
ｆｒａｅｔｉｏｎａｌｏｒｄｅｒｃａｌｃｕｌｕｓ
ＤＵＡＮＸｉａｏｍｅｎｇ，ＹＩＮＤｅｓｈｕｎ，ＬＩＹａｎｑｉｎｇ，ＺＨＡＮＧＷｅｉ
摘要：为更好地描述岩土材料的变形特性，利用分数阶微积分建立分数阶横向一纵向应变关系及分数阶体积应变模型，并推导等应变率加载时相应的变形公式。该分数阶应变模型具有参数少、形式简单的特点。通过常规（等应变率加载情况下）三轴压缩试验验证，发现该模型既能够较好地描述岩土材料的横向．纵向应变关系，也能够反映多种岩土材料的剪缩剪胀现象。

Ytsxlx第四章塑性位势理论

第四章塑性位势理论位势理论作为一种力学方法在弹性力学和塑性力学中都得到了广泛应用。

米赛斯于1928年借用弹性势函数作为塑性势函数，并提出了按照塑性势函数的梯度方向确定塑性流动方向的传统塑性位势理论。

后来又由德鲁克塑性公设，表明塑性势函数与屈服函数是一致的，从而形成了塑性应变增量方向必定正交于屈服面的关联流动法则，完善了传统塑性位势理论。

传统塑性位势理论不适应岩土材料的变形机制，因而基于传统塑性位势理论而建立的岩土本构模型，不能反映岩土的实际变形。

双屈服面模型与多重屈服面模型的出现实质上已经扩展了塑性位势理论。

作者在研究多重屈服面弹塑性理论时，提出建立岩土本构模型应采用三个塑性势面和三个屈服面，并建立了以三个主应力作为塑性势函数的岩土本构模型。

此后，杨光华用张量定律从理论上导出以三个塑性势函数表述的塑性应变增量公式。

作者在剖析传统塑性位势理论的基础上，提出以三个塑性势函数表述的塑性应变增量公式，可作为不考虑应力主轴旋转时的广义塑性位势理论。

并从基本力学概念出发，指出屈服函数与势函数必须相应，而不要求相等，相等只适用于金属情况。

郑颖人等又进一步发展建立了考虑应力主轴旋转情况下的广义塑性位势理论。

§4.1德鲁克(Drucker)塑性公设与伊留辛(Ильющин)塑性公设一、稳定与不稳定材料下图示出两类试验曲线。

在图a中，当∆σ> 0时，∆ε>0,这时附加应力∆σ对附加应变做功为非负，即有∆σ∆ε> 0。

这种材料被德鲁克(Drucker)称为稳定材料。

显然，应变硬化和理想塑性的材料属于稳定材料。

在图b所示的试验曲线上，当应力点超过p点以后，附加应力∆σ< 0，而附加应变∆ε> 0，故附加应力对附加应变做负功，即∆σ∆ε<0。

这类材料称为不稳定材料，应变软化材料属于不稳定材料。

图稳定与不稳定材料(a)稳定材料；(b)不稳定材料应当说明，德鲁克公设对稳定材料的定义只是充分条件，而非必要条件。

《土力学》考试大纲

《土力学》考试大纲学院（盖章）：力学与建筑工程学院负责人（签字）：专业名称：岩土工程，市政工程，供热、供暖气、通风及空调工程，防灾减灾工程，桥隧工程专业代码：081401、081403、081404、081405、081406考试科目代码：821 考试科目名称：土力学（一）考试内容试卷以单仁亮、李德建编著的《土力学简明教程》（机械工业出版社）为蓝本，内容涵盖该教材的第1至第8章。

试卷重点考查的内容包括：1。

土的物理性质和工程分类土的形成，土的三相组成，土的结构与土体构造，土的三相比例指标的测定及计算，土的物理状态指标，地基土的工程分类。

2。

土的渗透性和渗流土的渗透性，达西定律，渗透系数的测定及影响因素，层状土的渗透系数计算，流网在渗流中的作用，不同条件下渗透力的计算，渗透破坏的类型及其判别。

3。

土体中的应力计算地基中的自重应力与附加应力计算，集中力以及不同分布荷载作用下土体中的应力分布，角点法，饱和土体中的有效应力原理，自重应力下的有效应力计算。

4。

土的压缩性与地基沉降量计算土的压缩特性及压缩性指标，地基沉降量计算，饱和土体渗流固结理论，地基沉降与时间的关系。

5。

土的抗剪强度莫尔—库伦强度理论，抗剪强度指标的测定，孔压系数，应力路径与破坏主应力线，不同抗剪强度指标的分析与选用。

6。

挡土墙上的土压力挡土墙和土压力的概念，土压力的分类，静止土压力的计算，朗肯土压力理论，库伦土压力理论，常见情况的主动土压力计算，挡土墙类型与土压力计算。

7。

地基承载力和土坡稳定性地基承载力和地基破坏形式，地基的临塑荷载、临界荷载和极限荷载，地基极限承载力的一般计算公式，太沙基地基极限承载力。

土坡稳定及其影响因素，无粘性土坡的稳定分析，粘性土坡的稳定分析（瑞典圆弧法，瑞典条分法，毕肖普法）。

8。

土在动力荷载作用下的力学性质动荷载的作用类型，动荷载对土体的作用特点，土的动应力-应变关系，土的动剪切模量和阻尼比，土的动强度和动变形，土的压实，土的振动液化。

低动应力下岩石分数阶Burgers本构模型

收稿日期：２０１７－０４－２１；修回日期：２０１７－０５－２６基金项目：国家自然科学基金项目（５１６０８１４１）；贵州大学引进人才科研项目（贵大人基合字（２０１５）１６）作者简介：浦少云（１９９３－），男，贵州威宁人，硕士研究生，主要从事岩土工程相关方面研究。Ｅｍａｉｌ：２２９０６０５６４０＠ｑｑ．ｃｏｍ
（３）岩石本构模型方面。李树春等［１０］运用损伤力学的方法提出一种岩石低周疲劳损伤模型及损伤变量表达方法；许宏发等［１１］对岩石塑性应变能理论进行了研究，将疲劳损伤变量引入累积塑性应变方程，提出循环荷载下岩石塑性应变演化模型；郭建强等［１２］基于弹性、黏性和塑性３个疲劳元件，将循环荷载进行等效处理后借助蠕变理论，建立了循环荷载作用下岩石黏弹塑疲劳本构模型，模型虽然能反映高低动应力下岩石塑性累积规律，但具有一定的局限性，采用等效方式处理动荷载所建立的模型只
低动应力下岩石分数阶Ｂｕｒｇｅｒｓ本构模型
浦少云１，黄质宏１，饶军应１，穆锐１，郑红超１，王田龙１，刘小浪２，李磊１，王义红１
（１．贵州大学土木工程学院，贵阳５５００２５；２中国地质大学（武汉）工程学院，武汉４３００７４）
摘要：动荷载下岩石变形特性是岩土工程界的常见问题之一。为研究岩石低动应力下变形特性，基于分数阶微积分构建分数阶黏壶，将分数阶黏壶替换Ｂｕｒｇｅｒｓ模型中Ｍａｘｗｅｌｌ常值黏壶，建立了可反映低动应力荷载作用下岩石变形规律的分数阶Ｂｕｒｇｅｒｓ模型（ＦｒａｃｔｉｏｎａｌｏｒｄｅｒＢｕｒｇｅｒｓＭｏｄｅｌ，ＦＢＭ）。将动荷载分解为一个静力荷载和一个平均应力值为０的循环荷载，基于流变力学理论给出了静力作用下基于分数阶Ｂｕｒｇｅｒｓ模型的岩石流变本构方程，再根据黏弹性力学理论，考虑岩石损伤、裂隙及塑性变形对动荷载下岩石储能柔量和耗能柔量造成的影响，引入储能和耗能柔量变化量，构建了循环荷载下基于分数阶Ｂｕｒｇｅｒｓ模型的岩石动态响应本构方程式，最后将已获得的岩石流变本构方程式与动态响应本构方程式叠加，即得到一种新的岩石本构方程。与已有的试验结果相比，改进Ｂｕｒｇｅｒｓ模型可较好地描述低动应力状态下岩石减速、等速２个阶段的变形特征，且模型参数可运用数值方法简便得到。关键词：岩石动力学；低动应力；分数阶黏壶；分数阶Ｂｕｒｇｅｒｓ模型；流变力学中图分类号：ＴＵ４５２文献标志码：Ａ文章编号：１００１－５４８５（２０１８）０２－０１０９－０７

挡土墙主动土压力理论与有限元理论分析比较_孙超

土顶面处的土压力强度为 91． 57kPa，粉质粘土底面处的土压力强度为 119． 96kPa．［4 ］ 2． 2 ABAQUS 弹性模型、弹塑性模型主动土压力强度计算结果粉质粘土底面处的土压力强通过模型模拟结果，弹性理论下杂填土顶面处的土压力强度为 17． 24kPa， 148． 79kPa ， 2． 17． 84kPa ，度为见图弹塑性理论下杂填土顶面处的土压力强度为粉质粘土底面处的土压力强度为 164． 35kPa，见图 3．
0.00E+00
0
2.00E+02
4.00E+02
6.00E+02
8.00E+02
1.00E+03
1.20E+03
1.40E+03
1.60E+03
-1 -2 -3 -4 -5 -6
弹塑性应力曲线
应力值 /Pa
深度 /m
弹性应力曲线朗金应力曲线
-7 -8
图 2 弹性主动土压力应力云图
图 3 弹塑性主动土压力应力云图
e p 将总应变速率分解为弹性应变速率｛ ε ｝和塑性速率应变｛ ε ｝两部分：
｛ ε｝ = ｛ ε e ｝ + ｛ ε p ｝其中，弹性应变速率与塑性应变速率分别由广义 Hook 定律和塑性流动法则确定，即
收稿日期： 2015 － 01 － 14．作者简介：孙超（ 1978 ～），男，黑龙江省东宁县人，副教授，博士．
泊松比 μ 0． 3 0． 3
摩擦角 φ / ° 20 26
粘聚力 c / kPa 12 6
第6 期
孙
原利明：挡土墙主动土压力理论与有限元理论分析比较超，史迪菲，

基于分数阶微积分的岩石非线性蠕变本构模型研究及其在Flac3D中的二次开发

3、引入损伤变量。当蠕变变形达到一定程度时，岩石内部会产生微裂纹，因此需要在模型中引入损伤变量来描述这一过程。损伤变量的变化可以通过引入一个损伤演化方程来描述。
4、结合损伤演化方程和分数阶微分方程，构建完整的非线性蠕变损伤力学模型。
五、应用和展望
基于分数阶微积分的岩石非线性蠕变损伤力学模型可以广泛应用于岩石工程中的稳定性分析、预测和优化设计。例如，它可以用于预测隧道、大坝和桥梁等基础设施在长期运营过程中可能出现的蠕变损伤问题。此外，该模型还可以为采取有效的预防和补救措施提供理论支持。
3、优化材料的加工和使用性能。通过该模型可以深入了解材料的微观结构和性能之间的关系，为材料的优化设计和加工提供理论指导。
讨论与结论
基于分数阶微积分的非线性黏弹塑性蠕变模型是一种有效的工具，在描述材料的非线性黏弹塑性行为方面具有广泛的应用前景。然而，该模型仍存在一些挑战和限制：
1、模型的参数确定需要大量的实验数据，而且某些参数可能难以获得；
2、分数阶微积分的计算比整数阶微积分更加复杂，需要采用数值方法进行求解，这可能会增加计算成本；
3、尽管该模型能够描述许多材料的非线性行为，但并不能适用于所有材料，特别是一些具有非常复杂行为的材料。
未来研究方向
为了更好地应用基于分数阶微积分的非线性黏弹塑性蠕变模型，以下几个方面值得深入研究：
模型应用
该模型在解决实际问题中具有广泛的应用，例如：
1、描述材料的蠕变和松弛行为。在高温或高应力的长期作用下，材料的形状和大小会发生变化，该模型可以描述这种变化的行为；
2、描述材料的疲劳行为。材料的疲劳失效是一个复杂的过程，受到许多因素的影响，如循环应力、温度和环境介质等，该模型可以描述这种失效的过程；

10年岩土工程中的数值分析方法大纲

天津大学博士生入学考试业务课程大纲课程编号：2222 课程名称：岩土工程中的数值分析方法一、考试的总体要求主要考察学生对土的本构关系及有限元方法在岩土工程中应用情况的掌握和认识程度。

要求掌握土的应力-应变-强度特性，常用的岩土弹塑性本构关系与模型以及数值方法在解决工程实际问题中的应用。

二、考试内容及比例数值分析方法的基本概念。

占0-10%土的本构关系及土工有限元分析：土体的变形特性；弹性非线性模型；弹塑性模型；非线性有限元分析；土体非线性分析中的问题等。

占20-40%土的渗透性与渗流计算：土的渗透性与达西定律；流亡及其应用；渗流出口的临界坡降及其防护；渗流对堤坝稳定的影响及渗流控制；堤坝的渗流计算；基坑排水的渗流计算等。

占0-20%固结与流变理论：太沙基固结理论；比奥固结理论；大变形固结理论；土的流变等。

占10-20% 土坡稳定：条分法的基本概念；简单条分法；毕肖普法；极限平衡的其他计算方法；塑性极限平衡分析等。

占0-20%地基与基础计算中的若干问题：基底摩擦系数及其确定；弹性地及参数及其确定等。

占0-20% 桩的动力测试方法及应用：波动方程的基本原理及推导；波动方程的史密斯解答；土阻力的计算模型等。

占0-20%三、试卷类型及比例1．问答题80%2．论述题20%四、考试形式及时间形式为笔试，考试时间为三小时。

五、主要教材及参考书目1．河海大学，钱家欢，殷宗泽主编.《土工原理与计算》，中国水利水电出版社，1996. 2．张学言，闫澍旺主编.《岩土塑性力学》，天津大学出版社，2004.3．罗定安主编.《工程结构数值分析方法与程序设计》，天津大学出版社，1995.。

一种新的岩土流变模型元件

当 β = 1 ，该软体元件就是阻尼器元件，代表理想流体；当 β = 0 ，该软体元件变成弹簧元件，代表理想固体。
第 26 卷第 9 期
殷德顺，等. 一种新的岩土流变ห้องสมุดไป่ตู้型元件
• 1901 •
当 σ (t ) = const，即应力不变的情况下，元件将描述流变行为的蠕变，对式 (4) 两侧进行分数阶积分，根据 Riemann-Liouville 型分数阶微积分算子理论，可得
分算子特性及应用的数学问题。分数阶微积分这个概念即使对于数学系的师生也是知之甚少，因为有关微积分内容的教材，讲的都是正整数阶导数和积分。1/2 阶导数似乎不好理解。分数微积分就是把微积分的阶次推广到分数甚至复数领域，但因其计算复杂且没有明确的物理意义，所以一直只是在数学上进行理论研究。直到 1982 年，分形理论创始人 B. B. Mandelbrot
[10]
图1 Fig.1
软体元件
Soft-matter element
软体元件的本构方程为
指出自然界和许多技术科学中存在
σ (t ) = ξ d β ε (t ) (dt β )
(0≤β ≤1)
(4)
大量的分数维的事实，并在整体和部分之间存在自相似现象后，分数阶微积分才获得了飞速发展。目前，关于分数阶微积分有很多定义，本文采
(2)
式(1)，(2)中： β＞0 ，且 n − 1＜β ≤n(n 为正整数)；
Γ ( β ) 为 Gamma 函数，其定义为
Γ ( β ) = ∫ e −t t β −1dt
0 ∞
(Re( β )＞0 )
分数阶微积分的 Laplace 变换公式为 L[ 0 Dt
−β

注册土木工程师(岩土)基础考试各科常用公式

公式一、高等数学导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg ·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： )()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

变分数阶微积分在描述材料力学性质演变方面的应用

变分数阶微积分在描述材料力学性质演变方面的应用李彦青;殷德顺;吴浩【摘要】材料在受力和变形过程中,力学性质是不断变化的,而现有的整数阶本构模型只能定性描述材料从弹性变为塑性,变为流体,不能定量地描述力学性质的演变.在常分数阶本构模型的基础上,提出一个新的变分数阶本构模型.从理论上讲,该模型可以通过阶数的变化来展示材料力学性质的变化、用该模型,对铜、铝合金以及低碳钢在等应变率拉伸过程中的力学性质进行分析,发现其变化过程均可分为3个阶段:第1阶段为线弹性阶段,第2阶段力学性质发生突变,第3阶段为线性变化阶段,而这与实验中所得现象是符合的,从而得出该模型可以描述力学性质演变.因为阶数的变化范围为0到1,所以该模型可用于其他粘弹性材料在具有时间效应的受力及变形过程中力学性质演变的分析,如岩土及高分子材料的应力松弛与蠕变,等应变率加载等.%The mechanical properties of materials are changing when they are under loading, the existing integer models only can depict the properties as from elasticity to plasticity and fluid, and cannot represent the process quantitatively. Based on fractional constitutive model, a new variable-order fractional constitutive model is proposed. Theoretically, the change of the order can show the evolution of mechanical properties of materials. When the tensile tests of copper, low carbon steel and alloy aluminum are simulated using the variable-order model, it is found that the changing process of mechanical properties of these ductile metals has three stages in the changing process. The first stage is linear elastics the second one is a transient mutation phase; and the last one is an approximately uniform (linear) changing phase of material feature. These conclusions areconsistent with the phenomenon, which shows that this model can be used to trace the evolution of mechanical properties of materials. Because the value of the order change from 0 to 1, so this model can be used for the analysis of the evolution of mechanical properties of other viscoelastic materials in the deformation and loading process with time effect, such as the rock and high polymer material in the stress relaxation , creep or constant strain rate loading process.【期刊名称】《三峡大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(034)006【总页数】6页(P63-67,76)【关键词】变分数阶微积分;力学性质演变;延性材料;弹塑性【作者】李彦青;殷德顺;吴浩【作者单位】河海大学力学与材料学院,南京210098;河海大学力学与材料学院,南京210098;河海大学力学与材料学院,南京210098【正文语种】中文【中图分类】O34;TU502+.6最近，分数阶微积分正在被广泛地应用于粘弹性材料的研究中［1－4］.人们发现分数阶本构模型具有参数少、形式简单等优点，并且模型中的参数可以指代材料力学性质，使定量描述力学性质成为可能.但是常分数阶中阶数是不变的，不考虑力学性质随时间变化的情况，而在实际中，材料在受力过程中，力学性质是随时间变化的，这意味着在受力过程中阶数也应该是随时间变化的，这就需要考虑采用变分数阶模型来定量描述材料力学性质的变化情况.变分数阶微积分本构模型也开始引起广大研究者的兴趣［5］，变分数阶微积分是分数阶微积分的最新发展，它的阶数不但不再是整数而且可以随时间或空间变化，即可以是一个变量.所谓变分数阶模型就是希望通过阶数的变化来描述变形过程中力学性质的演变.这一方面的研究在国际上刚刚起步，还没有引起国内学者的重视，本文希望建立变分数阶本构模型，可以定量描述粘弹性材料力学性质演变.本文在常分数阶本构模型的基础上提出了变分数阶本构模型.从理论上讲，可以通过变分数阶阶数的变化来展示材料力学性质的变化，但其结果是否可靠是个问题.通过对塑性金属铜、铝、低碳钢进行了一系列的等应变率加载试验，并用本文所提的变分数阶本构模型进行分析，探求其在受力过程中力学性质的演变与实际是否相符，以此来验证该模型是否可以用来描述材料力学性质演变.本文所研究的阶数的变化范围为0到1，所以该模型也可用于其他粘弹性材料在具有时间效应的受力及变形过程中力学性质演变的分析，如岩土及高分子材料的应力松弛与蠕变，等应变率加载等.之所以选择金属作为研究对象是因为：①固体力学理论来源于塑性金属；②塑性金属性质稳定，而且对于金属的性质研究较为透彻.1 变分数阶微分简介变分数阶微积分是在常分数阶微积分的基础上发展起来的，目前对于变分数阶有很多定义［5－9］，而阶数α（t，τ）一般有3种形式［10］：α（t，τ）＝α（t），α（t，τ）＝α（τ），α（t，τ）＝α（t－τ）.而第1种形式没有阶数记忆性，第2种形式具有较弱的阶数记忆性，第3种形式具有较强的阶数记忆性.所谓阶数记忆性是指历史时间点的阶数计算结果对当前时间的计算结果有影响，而记忆性强弱是由阶数改变产生的影响大小决定的.在本文中采用第3种形式.本文采用Caputo型分数阶微分理论算子，对函数f（t）的α（t）阶积分在α（t，τ）＝α（t－τ）时的定义为当f（t）＝at时，令公式（1）中的t－τ＝x，则公式（1）变为将公式（2）写成叠加的形式，叠加形式所表示的物理意义则可由图1来说明.令g （tk，αk）＝），则可得公式（3）中的a（t）按照表1变化.表1 阶数α（t）的取值阶数时间区域α1 0＜t＜t 1 α2 t1＜t＜t2……αn tn－1＜t＜t 2图1为叠加形式的变分数阶函数物理意义的示意图.图1中的黑实线为新的变分数阶微分，虚线为阶数分别为α1、α2、α3的常分数阶微分.从图中可以看出黑色实线是由常分数阶部分曲线平移组成.图1（a）中，按时间的先后顺序，阶数的顺序为α1、α2、α3，如果顺序变为α2、α1、α3，则变分数阶就为图1（b）.通过图1（a）与（b）的对比可以发现，虽然t2到t3的阶数都为α3，但是由于0到t2之间的阶数不同，导致变分数阶的结果不同.由此可以看出新的变分数阶对阶数有记忆性，再者新的变分数阶由常分数阶微分直接拓展而来，与常分数阶有直接的联系，因此可以认为这个定义比较适合将要建立的本构模型.图1 叠加算法的物理意义示意图2 变分数阶本构模型2.1 常分数阶本构模型介于理想固体与理想流体之间的材料的本构方程可以用Smit和De Vries［11］提出的“中间模型”来描述式中，E、θ、μ均为材料常数.当α为常数时，材料的力学性质不发生改变，因此这个模型被称为常分数阶模型.公式（4）的分数阶本构模型能够将力学性质看作一个序列，理想固体和牛顿流体位于序列的两端.在一系列的参数α中，不同的α代表了材料不同的力学性质.这个模型最主要的创新点在于它可以将材料的力学性质在理想固体和牛顿流体之间找到确切的定位，如图2所示.图2 材料力学性质划分当公式（4）中的ε＝αt时，即等应变率加载时，公式（4）可变形为由公式（5）可得，在等应变率加载过程，应力逐渐增大，常分数阶模型可描述等应变率加载过程中应力与应变的关系曲线.但是公式（5）所提模型中的阶数为常数，意味着材料的力学性质在等应变率加载过程中均保持不变，而这显然与实际不符，因此有必要探讨采用变分数阶微积分理论，考虑材料在变形过程中力学性质的变化.2.2 变分数阶本构模型在常分数阶本构模型中，阶数指代材料力学性质，对于材料性质的认识从定性认识变为定量认识，但是仍然不能定量描述力学性质变化过程，因此在这里考虑建立变分数阶本构模型.Ingman［2］和Samko［5］曾经提出因为，式中，E 量纲是［应力］［时间］α（t），所以，其物理意义是不确定的.另外，这个变分数阶模型仍然不能反映材料力学性质演变.本文认为正确的模型应该为与公式（4）类似，公式（7）中的力学参数都有明确的物理意义.在等应变率加载情况下，根据公式（2），则公式（7）写为公式中的，a为应变率.根据分数阶模型的物理意义，初始阶数α1＝0，在实验曲线达到水平状态时，材料力学性质为牛顿流体，此时阶数为1.因此参数E可以由前几个线性状态下的实验点得到：这里，σ1和ε1为材料处于弹性阶段的应力应变数值.参数θ的值为式中为时曲线水平状态时的应力，a为应变率.3 塑性金属拉伸时的力学性质演变在这节中将用变分数阶本构模型对塑性金属在等应变率拉伸时的力学性质演变进行分析、研究，以此来检验模型是否可以用来描述材料力学性质演变.3.1 塑性金属试验介绍这里对3种金属，包括铜、低碳钢和铝合金，进行了等应变率拉伸试验.试验样品的直径为10mm，长度分别为50mm、100mm.拉伸试验分为两组，每组3次.两组拉伸时的应变率不同：铜为0.000 133／s和0.001 33／s；低碳钢为0.000 1／s和0.001／s，铝合金为0.000 2／s和0.00 2／s.3.2 试验数据及分析图3～5为上述金属试件拉伸试验的应力－应变结果.通过这些曲线可以发现，在加载初期，试件呈现出固体力学中的弹性状态，但是一旦超过这个阶段的极限，材料性质发生突变，而后进入非线性阶段，很明显在整个加载过程中材料的性质是不断变化的.图3显示应变率对铜有明显的影响，而从图4与图5中可以看出，铝合金和低碳钢对应变率的依赖性比较弱.图3 铜的应力－应变曲线基于公式（8），当铜的应变率为0.000 133／s时，其应变－阶数曲线如图6所示.由于阶数可以刻画材料的力学性质，因此，可以根据图6来描绘铜在加载过程中性质的变化过程.由图6可以看出整个力学性质的变化过程可以分为3个阶段：第1阶段，阶数为0，是线弹性阶段；在第2阶段，阶数发生突变，对应于材料晶格错位，材料性质发生突变；第3阶段，阶数按近似线性均匀变化，材料的力学性质也均匀变化.并且将第3阶段的阶数－应变进行线性拟合，再回代到上述本构模型中，在图7中给出了拟合曲线与试验点的比对图.可以发现，变分数阶模型的阶数变化可以描述材料力学性质的演变过程.上述结论仅仅是对铜在等应变率拉伸过程中力学性质演变一个分析，对于其他的金属材料是否会得到类似的结论，需要对其他金属材料的试验数据进行分析，因此本文对低碳钢和铝合金也做了计算对比.图8～11中给出的是，试验的应变率分别为0.000 1／s（低碳钢）和0.000 2／s （铝合金）的试验数据处理结果.在低碳钢的试验中，低碳钢的晶格错位明显，力学性质在第二阶段特别明显，而变分数阶模型的阶数在这一阶段的突变也很明显，与之对应，再次证明了模型是可信的.在不同的应变率加载情况下，金属材料的力学性质演变是否会受到应变率的影响，也是需要进行探讨.在这里，对同种金属材料在不同应变率下的试验数据进行了对比分析.图12给出的是，铜在应变率分别为0.000 133／s和0.001 33／s时的阶数－应变曲线，可以发现两条阶数－应变曲线的走势几乎相同.从图14（应变率分别为0.000 2／s和0.001／s）低碳钢的试验及分析中也可以发现这一现象.这进一步说明，变分数阶模型可以用来描述塑性金属力学在不同应变率情况下的性质演变，并且在等应变率加载条件下，塑性金属力学性质演变基本不受应变率的影响.通过上述金属的试验验证，说明了变分数阶本构模型是可以用来定量描述力学性质演变的.并且在等应变率加载过程中，可以认为金属材料的性质变化可以分为3个阶段，第1个阶段为线弹性阶段；第2阶段，材料从弹性变为塑性的过程称为屈服阶段，在这一阶段金属的晶格进行错位，力学性质产生突变，这与实验相吻合；第3阶段，力学性质按线性变化.这些数据有力地说明了变分数阶本构模型是可以用来定量描述力学性质演变的.另外加载时的应变率对同种金属材料的力学性质演变基本没有影响.4 结论在常分数阶本构模型的基础上提出了可以描述力学性质演变的变分数阶本构模型.并用金属材料试验进行了验证，发现该模型的阶数能够定量描述塑性金属力学性质的演变.用本文提出的变分数阶模型对铜、铝合金、低碳钢在等应变率拉伸时的试验数据进行处理后发现，阶数－时间曲线的变化可以分为3个阶段，对应力学性质的变化也可以分为3个阶段：第1阶段，力学性质保持不变，为线弹性阶段；第2阶段，对应拉伸过程中晶格错位，力学性质发生突变；第3阶段，力学性质按线性变化阶段.在等应变率加载条件下，金属力学性质变化基本不受应变率影响.在本文中所研究的等应变率试验中，应力－应变关系曲线都达到一个极值点，而对于实际中未达到极值点的情况，则可以根据在第3阶段中力学性质按线性变化这一点，对相应的应力或应变进行预测.另外，因为该模型阶数的变化范围为0到1，所以该模型可用于其他粘弹性材料在具有时间效应的受力及变形过程中力学性质演变的分析，如岩土及高分子材料的应力松弛与蠕变，等应变率加载等.在此，笔者只是对一维的变分数阶本构模型进行了分析，对于三维模型的建立，还需要进行更深入的研究.参考文献：［1］ Nicole Heymans.Dynamic Measurements in Long－memory Materials：Fractional Calculus Evolution of Approach to Steady State ［J］.Journal of Vibration and Control，2008，14：1587－1596.［2］ Ramirez L E S，Coimbra C F M.A Variable Order Constitutive Relation for Viscoelasticity［J］.Annalen der Physik，2007，16（7）：543－552. ［3］ Ingman D，Suzdalnitsky J.Application of Differential Operator with Servo－order Function in Model of Viscoelastic Deformation Process ［J］.Journal of Engineering Mechanics，2005131（7）：763－767.［4］ Soon C 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岩土的力学性质介于理想固体和理想流体之间，其应力应变关系既不遵守胡克定律，也不遵守牛顿黏性定律，而是遵守介于它们之间的某种关系。

利用分数阶微积分理论给出了恒应变率加载情况下的土应力应变关系。

关系式显示应力应变之间也呈乘幂函数关系，说明岩土分数阶应力应变关系能够为岩土应变硬化指数理论提供理论基础。

E-mail: yindeshun@ 。

根据轴向应变达到15%前13()σσ−是否出现峰值，将岩土的应力应变关系分为应变硬化型和应变软化型两类[5]。

而现有的岩土力学只是根据三轴试验结果简单地将岩土材料分为应变硬化型和应变软化型，至今还没反映岩土应变硬化能力的参数，这使人们不能很好地认识岩土材料的力学性能。

比如，常规三轴试验可以得到两种土样的应力应变曲线，如图1（a ）所示（一种土样为实线，另一种土样为虚线），由于它们破坏时应力相同，所以它们可以得到相同的莫尔应力圆，也───────基金项目：中央高校基本科研业务专项资金资助项目收稿日期：2009–01–16第5期殷德顺，等. 岩土应变硬化指数理论及其分数阶微积分理论基础 763有相同的强度指标c 和ϕ，如图1（b ）所示。

但是，这两种土样在加载过程中应力应变曲线的弯曲程度却无法体现，而应力应变曲线的弯曲程度是岩土应变硬化能力的表现，它反映了材料的塑性，也直接反映了材料依靠自身硬化抵抗变形的能力大小。

如果能够获得反映岩土应变硬化能力的参数，不但有助于了解岩土的塑性性能，也有助于指导地基的合理承载等具体工作。

图1 应力应变关系曲线和强度包络线 Fig. 1 Stress-strain curves and strength envelope为得到简单、理论明确的应变硬化参数，本文提出岩土应变硬化指数理论，并通过岩土分数阶应力应变关系建立岩土应变硬化指数理论的理论基础，希望通过岩土应变硬化指数来反映岩土材料应变硬化能力。

1 岩土应变硬化指数理论1.1 金属材料拉伸变形应变硬化指数Hollomon [6]于1944年提出了描绘金属塑性拉伸变形的经验指数方程：n K σε= ， (1)并将应变硬化指数n 的概念引入了塑性工程力学领域。

从此，人们对于金属塑性成形性能的试验研究就从单纯的唯象观测推进到理论分析阶段。

随着汽车工业的发展，对金属薄板材料的拉胀成形性、类超塑性能提出了较高的要求，而应变硬化指数n 值因其本身所具备的代表材料抵抗持续变形能力的力学本质成为了评价金属板材冷成形性能的关键指标。

对于符合乘幂硬化规律的材料，n 值高低直接反映了材料发生颈缩前依靠硬化使材料均匀变形的能力大小，n 值不仅有助于了解材料的塑性加工性能，而且对于冲压成形件的合理选材也具有指导意义。

宋玉泉[7]通过理论推导和试验测量发现，应变硬化指数只在恒应变速率条件下才是常数， Holfomon 方程是恒应变速率条件下的本构方程，其中n 值的确切涵义是恒应变速率条件下的应变硬化指数。

1.2 岩土应变硬化指数理论岩土常规三轴试验13()σσ−–1ε曲线的形状与金属拉伸试验形状比较接近，如果将金属塑性拉伸变形的经验指数方程引入到岩土中，进而得到岩土的应变硬化指数，将有助于我们更好地区别不同应变硬化型岩土的力学性质。

因此，本文提出岩土应变硬化指数理论，该理论假定岩土三轴试验的应力应变曲线符合乘幂函数关系，其乘幂即为岩土应变硬化指数，关系式如下：131n K σσε−= ， (2)其中，应变硬化指数n 就是能够反映岩土应变硬化性能的参数，它的大小能够说明岩土的硬化程度，指数越大岩土均匀变形抗力越大。

对于应变硬化指数n 较小的土体，如果增加其承载，将会产生较大变形，所以，工程人员可以根据应变硬化指数n 的大小来合理布置荷载。

应变硬化指数n 是一个材料参数，当n =1时，它说明材料是理想固体，应力应变关系符合胡克定律，当n ＜1时，说明材料偏离理想固体逐渐变“软”，对于岩土而言，n 在0到1之间。

宋玉泉[8]依据材料均匀变形能力说明n 不能为0；笔者认为只有牛顿流体的应力硬化指数才能为0（根据牛顿黏性定律），除非岩土变成牛顿（理想）流体，否则岩土的应变硬化指数也不能为0。

需要说明的是公式（2）中的1σ为轴向应力，3σ为径向应力，1ε为轴向应变。

式（1）和式（2）描述轴向应力应变关系，因为在三轴固结剪切试验中，认为土样长时间固结后3σ不再产生变形，岩土试样固结后的轴向应变仅由13σσ−产生，所以，式（2）适用于三轴固结剪切试验。

2 乘幂函数应力应变关系的验证根据岩土应变硬化指数理论，岩土材料三轴试验应力应变曲线符合乘幂函数关系，该理论是否成立，只要验证三轴试验曲线能否用乘幂函数曲线拟合，或者证明13ln()σσ−–1ln ε曲线能否拟合成直线即可。

用取自南京的软土土样进行常规三轴压缩试验，得到应力应变关系如图2所示。