数学人教A必修4教材习题点拨：21平面向量的实际背景及基本概念含解析

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人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念习题(3)

2.1平面向量的实际背景及基本概念考查知识点及角度难易度及题号基础中档稍难向量的有关概念16、8向量的表示方法10相等向量或共线向量2、3、49向量的应用57、11121．下列说法中正确的个数是( )①身高是一个向量．②∠AOB的两条边都是向量．③温度含零上和零下温度，所以温度是向量．④物理学中的加速度是向量．A．0 B．1C．2 D．3解析：身高只有大小，没有方向，故①不是向量，同理③不是向量；对②，∠AOB的两条边只有方向，没有大小，不是向量；④是向量，故选B.答案：B2．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”()A．总成立B．当a≠0时成立C．当b≠0时成立D．当c≠0时成立解析：对于此命题，只有当b≠0时，才有a∥b，b∥c⇒a∥c，故选C.答案：C3．以下说法错误的是( )A．零向量与任一非零向量平行B．零向量与单位向量的模不相等C．平行向量方向相同D．平行向量一定是共线向量解析：平行向量方向相同或相反．答案：C4．给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是______．(填序号) 解析：对①，a＝b⇒a∥b；对②，|a|＝|b|，不一定有两向量共线；对③，若a与b 方向相反，则有a∥b；对④，若|a|＝0或|b|＝0，则有a∥b；对⑤，两单位向量不一定共线．综上可知①③④正确．答案：①③④5．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，则四边形的形状为______．解析：∵AB →＝DC →，∴AB 綊DC .∴四边形ABCD 是平行四边形．又|AB →|＝|AD →|，即AB ＝AD ，∴该四边形是菱形．答案：菱形6．如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：(1)有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________． (2)存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________．解析：结合图形可知： (1)|CH →|＝|AE →|＝10.(2)DG →与HF →共线，|DG →|＝22，|HF →|＝32，故|DG →|＋|HF →|＝5 2. 答案：(1)CH →，AE →10 (2)DG →，HF →5 27.如图所示，在梯形ABCD 中，若E 、F 分别为腰AB 、DC 的三等分点，且|AD →|＝2，|BC →|＝5，求|EF →|.解：如图，过D 作DH ∥AB ，分别交EF 、BC 于点G 、H ， ∵|AD →|＝2，∴|EG →|＝|BH →|＝2. 又|BC →|＝5，∴|HC →|＝3.又E 、F 分别为腰AB 、DC 的三等分点， ∴G 为DH 的三等分点． ∴GF →∥HC →且|GF →|＝13|HC →|.∴|GF →|＝1.∴|EF →|＝|EG →|＋|GF →|＝2＋1＝3.8．在平面内已知点O 固定，且|OA →|＝2，则A 点构成的图形是( ) A ．一个点 B ．一条直线 C ．一个圆D ．不能确定解析：由于|OA →|＝2，所以A 点构成一个以O 为圆心，半径为2的圆．答案：C9．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________.解析：∵A ，B ，C 不共线， ∴AB →与BC →不共线．又m 与AB →，BC →都共线， ∴m ＝0. 答案：010．在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O ，并求终点的坐标． (1)|a |＝2，a 的方向与x 轴正方向的夹角为60°，与y 轴正方向的夹角为30°； (2)|a |＝4，a 的方向与x 轴正方向的夹角为30°，与y 轴正方向的夹角为120°； (3)|a |＝42，a 的方向与x 轴、y 轴正方向的夹角都是135°. 解：如图所示：11.已知四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，H 、G 分别是AD 、DC 的中点．求证：EF →＝HG →.证明：在△ABC 中，由三角形中位线定理知，EF ∥AC ，EF ＝12AC ；同理，HG ∥AC ，HG ＝12AC .所以|EF →|＝|HG →|且EF →和HG →同向，故EF →＝HG →.12.如图所示，平行四边形ABCD 中，O 是两对角线AC ，BD 的交点，设点集S ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{MN →|M ，N ∈S ，且M ，N 不重合}．试求集合T 中元素的个数．解：由题可知，集合T 中的元素实质上是S 中任意两点连成的有向线段，共有20个，即AB →，AC →，AD →，AO →，BA →，BC →，BD →，BO →，CA →，CB →，CD →，CO →，DA →，DB →，DC →，DO →，OA →，OB →，OC →，OD →.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即AB →＝DC →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，BA →＝CD →，AO →＝OC →，OA →＝CO →，DO →＝OB →，OD →＝BO →.又集合元素具有互异性，故集合T 中的元素共有12个．平面向量是既有大小又有方向的一种量，因此，在学习时要注意思维方式的改变，既要考虑数量的大小，又要考虑方向的影响．1．本节内容涉及的概念较多，必须认真辨析易混淆的概念，如向量与数量、向量与矢量、向量与有向线段、平行向量与共线向量和相等向量等．这些内容是平面向量的起始内容，是构建向量理论体系的基础，要注意认真体会概念的内涵．2．关注几个特殊向量(1)零向量：模为零的向量称为零向量，规定零向量与任一向量平行． (2)单位向量：模为1的向量，两个单位向量不一定相等． (3)相等向量：模相等，方向相同的向量．(4)共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．。

高中数学第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念课时训练(含解析)新人教A版必修4(

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§2.1平面向量的实际背景及基本概念课时目标 1.通过对物理模型和几何模型的探究,了解向量的实际背景，掌握向量的有关概念及向量的几何表示。

2。

掌握平行向量与相等向量的概念．1．向量:既有________，又有________的量叫向量．2．向量的几何表示:以A为起点,B为终点的向量记作________．3．向量的有关概念：（1)零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作______．（2)单位向量:长度为______的向量叫做单位向量．(3)相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量．(4）平行向量（共线向量)：方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量a平行于b，记作________．②规定：零向量与__________平行．一、选择题1．下列物理量:①质量；②速度；③位移;④力;⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有（)A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列条件中能得到a＝b的是（)A．|a|＝|b｜B．a与b的方向相同C．a＝0，b为任意向量D．a＝0且b＝03．下列说法正确的有（）①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．命题“若a∥b,b∥c，则a∥c"( ）A．总成立 B．当a≠0时成立C．当b≠0时成立 D．当c≠0时成立5．下列各命题中，正确的命题为（）A．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同B．模为0的向量与任一向量平行C．向量就是有向线段D．|a|＝|b|⇒a＝b6．下列说法正确的是（）A．向量错误!∥错误!就是错误!所在的直线平行于错误!所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．零向量长度等于0D．共线向量是在一条直线上的向量题号123456答案二、填空题7．给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝｜b｜；③a与b的方向相反;④｜a｜＝0或｜b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．（填序号）8．在四边形ABCD中,错误!＝错误!且|错误!|＝｜错误!|，则四边形的形状为________．9．下列各种情况中,向量的终点在平面内各构成什么图形．①把所有单位向量移到同一起点;②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．①__________；②____________；③____________.10．如图所示，E、F分别为△ABC边AB、AC的中点,则与向量错误!共线的向量有________________(将图中符合条件的向量全写出来）．三、解答题11。

人教A版必修四高一数学必修4同步练习——2.1平面向量的实际背景及基本概念(含解析).docx

高一数学同步练习——2.1平面向量的实际背景及基本概念（含解析）一、选择题：共12题每题5分共60分1．如图所示,等腰梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点P,点E,F 分别在两腰AD,BC 上,EF 过点P,且EF ∥AB,则下列等式成立的是( )A.=B.=C.=D.=2．已知O 点固定,且||=2,则符合题意的A 点构成的图形是A.一个点B.一条直线C.一个圆D.不能确定3．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量是A.相等的向量B.平行的向量C.有相同起点的向量D.模相等的向量4．给出下列命题： ①向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；②两个单位向量是相等向量； ③若, ,则；④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；⑤若,则. ⑥若与共线, 与共线,则与共线其中正确命题的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个 5．给出下列命题:①和的模相等;②方向不同的两个向量一定不平行;③向量就是有向线段;④0=0;⑤>.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3 6．下列说法正确的是（）.A.方向相同或相反的向量是平行向量B.零向量是C.长度相等的向量叫做相等向量D.共线向量是在一条直线上的向量7．下列说法正确的是 A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小.B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.C.向量的大小与方向有关.D.向量的模可以比较大小.8．若a 为任一非零向量,b 的模为1,下列各式:①|a|>|b|;②a ∥b;③|a|>0;④|b|=±1.其中正确的是( )A.①④B.③C.①②③D.②③9．已知圆心为O 的上有三点A 、B 、C ，则向量、、是b c =v v a c =v v a b =v v O eA.有相同起点的相等向量B.长度为1的向量C.模相等的向量D.相等的向量10．给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若，则；③若，则四边形ABCD是平行四边形；④平行四边形ABCD中，一定有；⑤若，，则；⑥，，则其中不正确的命题的个数为A.2个B.3个C.4个D.5个11．在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,则A.与共线B.与共线C.与相等D.与相等12．若向量a与b不相等,则a与b一定A.有不相等的模B.不共线C.不可能都是零向量D.不可能都是单位向量二、填空题：共4题每题4分共16分13．如图所示,O是正三角形ABC的中心;四边形AOCD和AOBE均为平行四边形,则与向量相等的向量有;与向量共线的向量有;与向量的模相等的向量有.(填图中所画出的向量)14．(2012·江苏省扬子中学课堂训练)已知四边形ABCD是等腰梯形,AB∥DC,下列各式:①=;②=;③||=||;④||≠||;⑤∥.其中所有正确的式子的序号是.15．如果对于任意的向量a,均有a∥b ,则b为.16．如图，圆O的半径为2，l圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离|O A|=3，P0为圆周上一点，且，点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动.①1秒钟后，点P的横坐标为________.②t秒钟后，点P到直线l的距离用t可以表示为________.三、解答题：共6题共74分17．(本题12分)如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A，点C为小正方形的顶点，且，画出所有的向量.18．(本题12分)如图所示是4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与相等的向量共有几个？(2)与平行且模为的向量共有几个？(3)与方向相同且模为的向量共有几个？19．(本题12分)如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与相等的向量共有几个?(2)与方向相同且模为的向量共有几个?20．(本题12分)用向量表示小船的下列位移(用1∶500 000的比例尺):(1)由A地向东北方向航行15 km到达B地;(2)由A地向西偏北60°方向航行20 km到达C地,再由C地向正南方向航行25 km到达D地.21．(本题13分)某人从A点出发向西走了200m到达B点,然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点,最后又改变方向,向东走了200m到达D点(1)作出向量、、(1cm表示200m)(2)求的模.22．(本题13分)已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000到达丙地，再从丙地按西南方向飞行到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？参考答案1.D【解析】根据相等向量的定义,分析可得:A 中,与的方向不同,故=错误;B 中,与的方向不同,故=错误;C 中,与的方向相反,故=错误;D 中,与的方向相同,且长度都等于线段EF 长度的一半,故=正确.【备注】无2.C【解析】∵||=2,∴终点A 到起点O 的距离为2,又O 点固定,∴A 点的轨迹是以O 为圆心,2为半径的圆,故选C .【备注】无3.D【解析】根据正方形的性质四个向量模相等方向不同.故选D.【备注】无4.B【解析】本题主要考查向量的概念，因为①量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上，错误；②个单位向量是相等向量，不一定成立，错误；③, ,则，成立；④一个向量的模为0，则该向量的方向不确定，成立； ⑤,则，还要方向相同才行，错误；⑥与共线,与共线,则与共线，当为零向量时不成立，错误.【备注】无5.B【解析】本题主要考查向量的有关概念. ①正确,与是方向相反、模相等的两个向量;②错误,方向不同包括共线反向的特例;③错误,向量用有向线段表示,但二者并不等同;④错误,0是一个向量,而0为一数量,应|0|=0;⑤错误,向量不能比较大小.只有①正确,故选B.【备注】无6.B【解析】本题主要考查平面向量的有关概念.选项A:方向相同或相反的非零向量是平行向量；选项C ：方向相同且长度相等的向量叫相等向量；选项D ：共线向量所在直线可能重合，也可能平行；故选B.b c =v v a c =v v a b =v v【备注】无7.D【解析】根据向量的定义，显然D 正确.【备注】无8.B【解析】①中,|a|的大小不能确定,故①错误;②中,两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向,故②错误;④中,向量的模是一个非负实数,故④错误;③正确.选B.【备注】无9.C【解析】圆的半径，不一定有r ＝1，故选C.【备注】无10.C【解析】方向相同大小相等的向量叫相等向量，所以②错；当A 、B 、C 、D 四点共线时③错.故选C.【备注】无11.B【解析】DE 为中位线.故选B.【备注】无12.C【解析】本题主要考查平面向量的基本概念.因为所有的零向量都是相等的向量,故只有C 正确.故选C.【备注】无13. , ,,,,【解析】∵O 是正三角形ABC 的中心,∴OA=OB=OC,∴结合相等向量及共线向量定义可知:与相等的向量有;与共线的向量有,;与的模相等的向量有,,,,.【备注】无14.③④⑤【解析】本题主要考查向量的基本概念.解题时必须正确区分“向量相等”与“向量的模相等”这两个概念,注意向量是否平行与向量的模无关.在等腰梯形ABCD 中,AB ∥DC,但AB ≠DC,∴≠;AD=BC,但AD 与BC 不平行,∴≠;此外③④⑤都正确.【备注】无||||||BO OC OA r ===u u u r u u u r u u u r15.零向量【解析】无【备注】无16.①② 【解析】无【备注】无17.画出所有的向量，如图所示.【解析】无【备注】无18.解：(1)与向量相等的向量共有5个.(2)与向量的向量有23个.(3)与向量方向相同且模为的向量共有2个.【解析】无【备注】无19.（1）与向量相等的向量共有5个（不包括本身）.如图.（2）与向量方向相同且模为的向量共有2个，如图.32cos (0)6t t ππ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭AB u u u r AB u u u r AB u u u r AB u u u r AB u u u r AB u u u r【解析】无【备注】无20.(1)B地在A地的东北方向,即 B地在A地北偏东45°方向,线段AB的长度画为3 cm即可.如图所示.(2)由于C地在A地的西偏北60°方向,则线段AC与表示正北方向的线的夹角为30°,且线段AC的长度画为4 cm;D地在C地的正南方向,则画竖直向下的线段,长度为5 cm即可,连接AD,即为所求位移.如图所示.【解析】无【备注】无21.(1)如图所示：(2)由已知得四边形ABCD为平行四边形，所以==450m.【解析】本题主要考查向量的基本概念.【备注】无22.解：如图所示，、、、分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形为正三角形，∴．又∵，，∴为直角三角形，即，．答：丁地在甲地的东南方向，距甲地．【解析】本题主要考查平面向量的实际背景及基本概念。

高中数学必修4(人教A版)第二章平面向量2.1知识点总结含同步练习及答案

描述：高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、学习任务了解向量的实际背景，理解平面向量的基本概念和几何表示，理解向量相等的含义．二、知识清单平面向量的概念与表示三、知识讲解1.平面向量的概念与表示向量的基本概念我们把既有方向，又有大小的量叫做向量（vector）．带有方向的线段叫做有向线段．我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以为起点、为终点的有向线段记做，起点写在终点的前面．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．向量可以用有向线段来表示．向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记做，长度为的向量叫做零向量(zero vector)，记做．零向量的方向不确定．长度等于个单位的向量，叫做单位向量(unit vector)．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（parallel vectors），向量、平行，通常记做．规定零向量与任一向量平行，即对于任意向量，都有．A B AB −→−||AB −→−00 1a b ∥a b a →∥0→a →例题：相等向量与共线向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(equal vector)．向量与相等，记做．任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量(collinear vectors)．四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）∥a b =a b 下列四个命题：① 时间、速度、加速度都是向量；② 向量的模是一个正实数；③ 相等向量一定是平行向量；④ 共线向量一定在同一直线上；⑤ 若，是单位向量，则；⑥ 若非零向量与是共线向量，则四点共线．其中真命题的个数为（）A． B． C． D．解：B只有③正确．a →b →=a →b →AB −→−CD −→−A ,B ,C ,D 0123下列说法正确的是（）A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为D．任意两个单位向量方向相同解：C零向量的长度为，方向是任意的，故 A，B 错误，C 正确，任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故 D 错误．00如图所示，是正六边形的中心．（1）与的模相等的向量有多少个？（2）是否存在与长度相等、方向相反的向量？（3）与共线的向量有哪些？解：（1）因为的模等于正六边形的边长，而在图中，模等于边长的向量有个，所以共有个与的模相等的向量．（2）存在，是．（3）有、、．O ABCDEF OA −→−OA −→−OA −→−OA −→−1211OA −→−F E −→−F E −→−CB −→−DO −→−高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

人教A版高中数学必修4练习手册：2-1平面向量的实际背景及基本概念 Word版含答案

1.如图，在⊙O 中，向量OB →，OC →，AO →是( )A ．有相同起点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等的向量解析：由题知OB →，OC →，AO →对应的有向线段都是圆的半径，因此它们的模相等．答案：C2．下列说法中正确的是( )A ．若|a |>|b |，则a >bB ．若|a |＝|b |，则a ＝bC ．若a ＝b ，则a ∥bD ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量解析：向量不能比较大小，所以A 不正确；a ＝b 需满足两个条件：a ，b 同向且|a |＝|b |，所以B 不正确，C 正确；a 与b 是共线向量只需方向相同或相反，所以D 不正确．答案：C3．设O 是正方形ABCD 的中心，则OA →，BO →，AC →，BD →中，模相等的向量是________．解析：∵四边形ABCD 为正方形，O 为正方形的中心，∴OA ＝BO ，即|OA →|＝|BO →|，|AC →|＝|BD →|.答案：OA →与BO →，AC →与BD →4.如图所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．(1)与向量ED →相等的向量为______；(2)若|AB →|＝3，则向量EC →的模等于________．解析：(1)在平行四边形ABCD 和ABDE 中，∵AB →＝ED →，AB →＝DC →，∴ED →＝DC →.(2)由(1)知ED →＝DC →，∴E 、D 、C 三点共线，|EC →|＝|ED →|＋|DC →|＝2|AB →|＝6.答案：(1)AB →、DC →(2)65．一个人从点A 出发沿东北方向走了100 m 到达点B ，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100 m 到达点C .(1)画出AB →，BC →，CA →.(2)求|CA →|.解：(1)如图所示．(2)|AB →|＝100 m ，|BC →|＝100 m ，∠ABC ＝45°＋15°＝60°，则△ABC 为正三角形．故|CA →|＝100 m.。

数学人教A版必修4目标导引 2.1平面向量的实际背景及基

2.1 平面向量的实际背景及基本概念
一览众山小
诱学导入
材料：如图2-1-1所示，一个质点从点A 运动到点A′，这时点A′相对于点A 的位置是“北偏东30°，3个单位”.如果不考虑质点运动的路线，只考虑点A′相对于点A 的“方向”和“两点之间的距离”，这时，我们就说质点在平面上作了一次位移，“两点之间的距离”叫做位移的距离.这就是说，位移被“方向”和“距离”唯一确定，位移只表示质点位置的变化，起、终点间位置关系，而与质点实际运动的路线无关
.
图2-1-1
从两个不同点出发的位移，只要方向相同，距离相等，我们都把它们看成相同的位移或相等的位移.在上体育课时，老师下达口令“向前3步走”，全班同学都进行了相同的位移. 民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班，每次飞行都是民航客机的一次位移.由于飞行的距离和方向各不相同，因此它们是不同的位移(如图
2-1-2).
图2-1-2
问题：在物理学中，我们还学过速度、加速度和力等物理量，那么位移、速度、加速度、力和哪些因素有关呢？这些物理量都是向量，如何给向量下一定义呢？
导入：从上面的材料可以看出，大小和方向是向量的两个要素.
温故知新
在物理学中，有一个重要的基本量——位移，它的意义及表示方法是怎样的？
答：在物理学中，研究物体在平面内的位置和运动规律时，一般忽略它的大小，只考虑质点的终点相对于起点的方向和两点之间的距离，就说质点在平面上作了一次位移.对位移的理解要注意三点：一是位移被方向和距离唯一确定；二是位移只与质点的起点和终点的位置有关系，而与质点的实际运动路线无关；三是只要方向相同，距离相等，都表示相等的位移. 位移可以用有向线段来表示，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度.。

人教A版必修4 2.1平面向量的实际背景及基本概念

第二章 2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、选择题1．下列结论中，不正确的是( )A ．向量AB →，CD →共线与向量AB →∥CD →意义是相同的 B ．若AB →＝CD →，则AB →∥CD →C ．若向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝bD ．若向量AB →＝CD →，则向量BA →＝DC →答案：C2．如图，四边形ABCD 中，AB →＝DC →，则必有( )A.AD →＝CB →B.OA →＝OC →C.AC →＝DB →D.DO →＝OB →答案：D3.若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．等腰梯形答案：C4．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点A ，B ，C ，D ，E ，F ，O 中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量OA →共线的向量共有( )A ．2个B ．3个C ．6个D ．9个答案：D5．如图所示，梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式成立的是( )A.AD →＝BC → B ．AC →＝BD → C.PE →＝PF → D ．EP →＝PF →答案：D 二、填空题6．设a 0，b 0分别是a ，b 的单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)． ①a 0＝b 0；②a 0＝－b 0；③|a 0|＋|b 0|＝2；④a 0∥b 0. 解析：因为a 0，b 0是单位向量，|a 0|＝1，|b 0|＝1，所以|a 0|＋|b 0|＝2. 答案：③7．如图，已知正方形ABCD 边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝______.解析：正方形的对角线长为22， ∴|O A →|＝ 2. 答案： 28．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________.解析：∵A ，B ，C 不共线，∴AB →与BC →不共线，又∵m 与AB →，BC →都共线，∴m ＝0. 答案：0 三、解答题9.如图，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与AO →，BO →相等的向量；(2)写出与AO →共线的向量； (3)写出与AO →模相等的向量．解：(1)AO →＝BF →，BO →＝AE →；(2)与AO →共线的向量有CO →，BF →，DE →；(3)与AO →模相等的向量有CO →，BF →，DE →，AE →，BO →，DO →，CF →.10．如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A ，B ，点C 为小正方形的顶点，且|AC →|＝ 5.(1)画出所有的向量AC →； (2)求|BC →|的最大值与最小值．解：(1)画出所有的向量AC →，如图所示．(2)由(1)所画的图知，①当点C 位于点C 1或C 2时，|BC →|取得最小值 12＋22＝5；②当点C 位于点C 5和C 6时，|BC →|取得最大值 42＋52＝41，∴|BC →|的最大值为41，最小值为 5.。

高中数学人教A版必修四教学案2.1 平面向量的实际背景及基本概念 Word版含答案

[核心必知]．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材～的内容，回答下列问题．()我们在物理中学习了位移、速度、力等，这些量与我们日常生活中的年龄、身高、体重、面积、体积等有什么区别？提示：位移、速度、力是既有大小又有方向的量，而年龄、身高、体重、面积、体积等只有大小，没有方向．()对既有大小，又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？提示：用有向线段．()若向量与向量相等，则它们应具备什么条件？提示：长度相等且方向相同．．归纳总结，核心必记()向量的概念数学中，我们把像力、位移等这种既有大小，又有方向的量叫做向量．()有向线段带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度．()向量的表示方法①向量可以用有向线段表示．向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，记作．②用字母表示向量：通常在印刷时，用黑体小写字母，，，…表示向量，在手写时用带箭头的小写字母，，…表示向量．也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，，.()几种特殊的向量①零向量：长度为的向量，叫做零向量，记作.②单位向量：长度等于个单位的向量叫做单位向量．③相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量．④平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，如果向量和平行，记作∥；规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量，都有∥．[问题思考]()两个向量能比较大小吗？提示：不能．因为向量是具有方向的量．()向量就是有向线段，这种说法对吗？提示：不对，向量与有向线段是两个不同的概念，可以用有向线段表示向量．()“若∥，且∥，则∥”这个说法对吗？提示：不对，若＝，则、均可以是任意向量，所以、不一定平行．平面几何中平行的传递性：∥，且∥，则∥，在向量的平行中并不适用．解题时我们也要充分考虑的特殊性．[课前反思]()向量的概念：；()有向线段：；()向量的表示方法：；()零向量：；()单位向量：；()相等向量：；()平行向量(共线向量)：．讲一讲．下列说法正确的有．(填序号)①若＝，则与的长度相等且方向相同或相反；②若＝，且与的方向相同，则＝；③由于方向不确定，故不能与任意向量平行；④向量与向量平行，则向量与方向相同或相反；⑤起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．。

高一数学人教A版必修四教案：2.1 平面向量的实际背景及基本概念 Word版含答案

第二章平面向量本章教材分析1．丰富多彩的背景,引人入胜的内容.教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性,接着介绍了平面向量的有关知识.学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础,从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示.向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来,这样为解决有关的几何问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题.最后介绍了平面向量的应用.2．教学的最佳契机,全新的思维视角.向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的.反过来,向量的理论和方法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之所以有用,关键是它具有一套良好的运算性质,通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题.这一章的内容虽然概念多,但大都有其物理上的来源,虽然抽象,却与图形有着密切的联系,向量应用的优越性也是非常明显的.全新的思维视角,恰当的教与学,使得向量不仅生动有趣,而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机.3．本章充分体现出新教材特点.以学生已有的物理知识和几何内容为背景,直观介绍向量的内容,注重向量运算与数的运算的对比,特别注意知识的发生过程.对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论.这一章中的一些例题,教科书不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路,再给出解法.解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法,有的还让学生进一步考虑相关的问题.对知识的处理,都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式,从而培养学生的思维能力.向量的坐标实际上是把点与数联系起来,进而可把曲线与方程联系起来,这样就可用代数方程研究几何问题,同时也可以用几何的观点处理某些代数问题.4.§2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、教学分析本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.二、教学目标1、知识与技能：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量。

高一数学人教A版必修4练习2.1 平面向量的实际背景及基本概念 Word版含解析

第二章平面向量
．平面向量的实际背景及基本概念
．通过再现物理学中学过的力、位移等概念与向量之间的联系，在类比抽象过程中引入向量概念，并建立学生学习向量的认知基础．．理解向量的有关概念：向量的表示法、向量的模、单位向量、相等向量、共线向量．
一、向量的概念
．向量的实际背景．
有下列物理量：位移、路程、速度、速率、力、质量、密度，
其中位移、速度、力都是既有大小又有方向的量．路程、速率、质量、密度都是只有大小的量．
．平面向量是既有大小又有方向的量，向量不能
比较大小．数量是只有大小没有方向的量，数量能比较大小．
练习：时间、温度、位移、质量、体积、力，哪些是向量？
答案：位移、力
．直角坐标平面上的轴、轴都是向量吗？数学中的向量与物理中的力有区别吗？
解析：轴，轴只有方向，没有大小，因而不是向量．数学中的向量是自由向量与起点无关，只要大小相等，方向相同，两个向量就是相等向量，而物理上的力是非自由向量，因为力这个向量还和作用点(即起点)有关．
二、向量的几何表示
．有向线段是带有方向的线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以为起点，为终点的有向线段记作．起点要写在终点的前面．
有向线段包含三个要素起点、方向、长度．
．向量的有向线段表示方法．
向量常用带箭头的线段表示，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向．
．向量也可以用黑体的字母表示，如，，.
强调：箭头不能不写，否则表示数量．
．向量的模．。

2.1 平面向量的实际背景和基本概念-人教A版高中数学必修四讲义(解析版)

从近几年的高考试题来看，高考对于向量知识的考查，多以选择题、填空题的形式出现，题目难度不大，共线向量的考查频率较高，向量的线性运算也常与函数等知识综合命题，题目比较新颖。

知识点一向量的概念及表示思考1 在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？答案面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向．思考2 向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？答案可以用一条有向线段表示．思考3 向量可以用有向线段表示，那么能否说向量就是有向线段？答案向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．梳理 (1)向量：具有大小和方向的量称为向量．只有大小和方向，而无特定的位置的向量叫做自由向量． (2)有向线段：从点A 位移到点B ，用线段AB 的长度表示位移的距离，在点B 处画上箭头表示位移的方向，这时我们说线段AB 具有从A 到B 的方向．具有方向的线段，叫做有向线段．点A 叫做有向线段的始点，点B 叫做有向线段的终点．有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示位移的距离，位移的距离叫做向量的长度．(3)以A 为始点，以B 为终边的有向线段记作AB →，AB →的长度记作|AB →|，如果有向量线段AB →表示一个向量，教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向1.向量的概念数学抽象水平1水平21.向量是一个既有大小又有方向的量，方向和大小是向量的两个要素。

2.注意向量共线与线段共线不同【考查内容】本节内容是平面向量的基础知识，在高考中很少单独考查，但常与后面的知识综合命题。

【考查题型】选择题、填空题【分值情况】5分2.零向量、单位向量、向量的模的概念数学抽象水平1 水平23.相等向量、相反向量的概念数学抽象水平1 水平24.共线向量的概念数学抽象水平1 水平2 第一讲平面向量的实际背景和基本概念知识通关本章综述通常我们就说向量AB →. 知识点二相等向量思考1 已知A ，B 为平面上不同两点，那么向量AB →和向量BA →相等吗？答案因为向量AB →和向量BA →方向不同，所以二者不相等．思考2 两向量相等需要具备哪些条件？答案需要具备两个条件：长度相等、方向相同．梳理 (1)同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量．(2)如果AB →＝a ，那么AB →的长度表示向量a 的大小，也叫做a 的长(或模)，记作|a |.两个向量a 和b 同向且等长，即a 和b 相等，记作a ＝b . 知识点三向量共线或平行思考1 共线向量的方向有何特征？答案共线向量的方向相同或相反．思考2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？答案不相同．我们说到向量，指的都是自由向量，因此向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．梳理 (1)通过有向线段AB →的直线，叫做向量AB →的基线(如图)．如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量a 平行于b ，记作a ∥b .(2)长度等于零的向量，叫做零向量，记作0.零向量的方向不确定，在处理平行问题时，通常规定零向量与任意向量平行．知识点四位置向量任给一定点O 和向量a (如图)，过点O 作有向线段OA →＝a ，则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定，这时向量OA →，又常叫做点A 相对于点O 的位置向量．题型一向量的概念例1 已知下列命题.①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②如果向量AB →与向量CD →共线，则A ，B ，C ，D 四点共线；③如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；④两个向量不能比较大小，但是它们的模能比较大小.其中正确的命题为A.①③④B.③④C.④D.②③解析：对于①，向量是矢量，用有向线段表示，但有向线段本身不是向量，所以①错误；对于②，当向量AB →与向量CD →共线时，A ，B ，C ，D 四点不一定共线，所以②错误；对于③，当a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a ∥c 不一定成立，所以③错误；对于④，向量是矢量，两个向量不能比较大小，它们的模能比较大小，所以④正确.综上，正确命题的序号是④.故选C. 答案 C变式训练1 下列说法错误的有________.(填上你认为所有符合的序号) ①两个单位向量不可能平行；②两个非零向量平行，则它们所在直线平行； ③当两个向量a ，b 共线且方向相同时，若|a |＞|b |，则a ＞b .解析： ①错误，单位向量也可能平行；②错误，两个非零向量平行，它们所在直线还可能重合；③错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小. 答案 ①②③题型二共线向量与相等向量例2 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E ，F ，D 分别是AC ，AB ，BC 的中点．(1) 写出与EF →共线的向量； (2) 写出与EF →的模大小相等的向量； (3) 写出与EF →相等的向量．解析： (1)因为E ，F 分别是AC ，AB 的中点，所以EF ∥BC ，且EF ＝12BC .又因为D 是BC 的中点，所以与EF →共线的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)与EF →模相等的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量有DB →，CD →.变式训练2如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心．(1) 与OA →的模相等的向量有多少个？(2) 是否存在与OA →长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？(3) 与OA →共线的向量有哪些？解析： (1)与OA →的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB )，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个．(2)存在．由正六边形的性质可知，BC ∥AO ∥EF ，所以与OA →长度相等、方向相反的向量有AO →，OD →，FE →，BC →，共4个．(3)由(2)知，BC ∥OA ∥EF ，线段OD ，AD 与OA 在同一条直线上，所以与OA →共线的向量有BC →，CB →，EF →，FE →，AO →，OD →，DO →，AD →，DA →，共9个．题型三向量的表示及应用例3 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1) 作出向量AB →，BC →，CD →； (2) 求|AD →|.解析： (1)向量AB →，BC →，CD →如图所示．(2)由题意易知，AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线．又∵|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝CD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200 km.变式训练3 在如图的方格纸中，画出下列向量.(1) |OA →|＝3，点A 在点O 的正西方向； (2) |OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向； (3) 求出|AB →|的值.解析：取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知， (1)(2)的向量如图所示.(3)由图知，△AOB 是等腰直角三角形，所以|AB →|＝|OB →|2－|OA →|2＝3.准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．一、选择题1．下列结论正确的个数是()①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；②向量的模是一个正实数；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④若|a|>|b|，则a>b.A．0 B．1 C．2 D．3解析：①温度没有方向，所以不是向量，故①错；②向量的模也可以为0，故②错；④向量不可以比较大小，故④错；③若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故③对．答案 B2．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程．其中是向量的有()A．2个B．3个C．4个D．5个解析：②③④⑤是向量．答案 C3.如图，在四边形ABCD中，若AB→＝DC→，则图中相等的向量是()A.AD→与CB→B.OB→与OD→C.AC→与BD→D.AO→与OC→解析：∵AB→＝DC→，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC，BD互相平分，∴AO→＝OC→.答案 DA组基础演练4．以下命题：①|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量．其中，正确说法的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析： ②④错误．答案 C5．若a 为任一非零向量，b 的模为1，给出下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1. 其中正确的是( ) A ．①④ B ．③ C ．①②③ D ．②③解析：①中，|a |的大小不能确定，故①错误；②中，两个非零向量的方向不确定，故②错误； ④中，向量的模是一个非负实数，故④错误；③正确．选B. 答案 B6．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A. AB →＝OC →B. AB →∥DE → C . |AD →|＝|BE →| D. AD →＝FC →解析：由题图可知，|AD →|＝|FC →|，但AD →、FC →不共线，故AD →≠FC →，故选D. 答案 D7．下列说法中正确的是( )A ．有向线段AB →与BA →表示同一个向量 B ．两个有公共终点的向量是平行向量 C ．零向量与单位向量是平行向量 D ．对任一向量a ，a|a |是一个单位向量解析：向量AB →与BA →是相反向量；有公共终点的向量的方向不能确定；当a ＝0时，a |a |无意义．故只有C 选项正确．答案 C8．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形解析：由BA →＝CD →知四边形为平行四边形；由|AB →|＝|AD →|知四边形ABCD 为菱形．故选C ．答案 C9.下列命题中，正确的是A.|a |＝1⇒a ＝±1B.|a |＝|b |且a ∥b ⇒a ＝bC.a ＝b ⇒a ∥bD.a ∥0⇒|a |＝0 解析：两向量共线且模相等，但两向量不一定相等，0与任一向量平行. 答案 C10.下列结论中，不正确的是A.向量AB →，CD →共线与向量AB →∥CD →意义是相同的 B.若AB →＝CD →，则AB →∥CD →C.若向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝bD.若向量AB →＝CD →，则向量BA →＝DC →解析：平行向量又叫共线向量.相等向量一定是平行向量，但两个向量长度相等，方向却不一定相同，故C 错误.故选C. 答案 C二、填空题11．在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，则四边形的形状为________．解析： ∵AB →＝DC →，∴AB ∥DC ，且AB ＝DC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵|AB →|＝|AD →|，∴四边形ABCD 是菱形．答案菱形12．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________.→00①a 0＝b 0；②a 0＝－b 0；③|a 0|＋|b 0|＝2；④a 0∥b 0. 答案 ③14．如图所示，已知四边形ABCD 是矩形，O 为对角线AC 与BD 的交点，设点集M ＝{O ，A ，B ，C ，D }，向量的集合T ＝{PQ →|P ，Q ∈M ，且P ，Q 不重合}，则集合T 有________个元素．解析：以矩形ABCD 的四个顶点及它的对角线交点O 五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有20个．但这20个向量中有8对向量是相等的，其余12个向量各不相等，即为AO →(OC →)、OA →(CO →)，DO →(OB →)，BO →(OD →)，AD →(BC →)，DA →(CB →)，AB →(DC →)，BA →(CD →)，AC →，CA →，BD →，DB →，由元素的互异性知T 中有12个元素．答案 12三、解答题15.如图所示，在以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，(1) 写出与AF →，AE →相等的向量； (2) 写出与AD →的模相等的向量．解析： (1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →.(2)与AD →的模相等的向量有DA →，CF →，FC →.16．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a .(1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a .(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么．解析：(1)根据相等向量的定义，所作向量b 应与a 同向，且长度相等，如图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c ，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以点C 为圆心，2为半径的圆，如图所示．17．如图2-1-6所示，已知四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，又AB →＝DC →且CN →＝MA →，求证：DN →＝MB →.图2-1-6证明：因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB ∥DC ，所以四边形ABCD 是平行四边形，所以|DA →|＝|CB →|且DA ∥CB ．又因为DA →与CB →的方向相同，所以CB →＝DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形，所以CM →＝NA →.因为|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|，所以|MB →|＝|DN →|. 又DN →与MB →的方向相同，所以DN →＝MB →.18. 一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地.(1)在如图所示的坐标系中画出AD →，DC →，CB →，AB →； (2)求B 地相对于A 地的位移.解析： (1)向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示.(2)由题意知AD →＝BC →.所以AD 綊BC ，则四边形ABCD 为平行四边形.所以AB →＝DC →，则B 地相对于A 地的位移为“北偏东60°，6千米”.一、选择题1．下列说法错误的是( )A ．若a ＝0，则|a |＝0B ．零向量是没有方向的C ．零向量与任一向量平行D ．零向量的方向是任意的解析：零向量的长度为0，方向是任意的，它与任一向量都平行，所以B 是错误的．答案 B2．下列说法中正确的个数是( )①任一向量与它的相反向量都不相等；②一个向量方向不确定当且仅当模为0；③共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；④单位向量的模都相等．A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C3.下列说法中，正确的是A.两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同B.模为0的向量叫做零向量C.向量就是有向线段D.任何向量的模都是正实数解析：选项A ，因为向量的方向和长度未知，所以向量的终点未必相同；选项C ，向量与有向线段是两个不同的概念；选项D ，零向量的模是0，故D 错误.故选B.答案 B4.下列说法中：①若a 是单位向量，b 也是单位向量，则a 与b 的方向相同或相反.②若向量AB →是单位向量，则向量BA →也是单位向量.③两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同.其中正确的个数为A.0B.1C.2D.3解析：由单位向量的定义知，凡长度为1的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故①不正确；因为|AB →|＝|BA →|，所以当AB →是单位向量时，BA →也是单位向量，故②正确；据相等向量的概念知，③是正确的.答案 C5.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则以下说法错误的是( )A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →)B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →)C.BD →的模恰为DA →的模的3倍D.CB →与DA →不共线解析：由于AB →＝DC →，因此与AB →相等的向量只有DC →，因此选项A 正确；而与AB →的模相等的向量有DA →，DC →，AC →，CB →，AD →，CD →，CA →，BC →，BA →，因此选项B 正确；而在Rt △AOD 中，∵∠ADO ＝30°，∴|DO →|＝32|DA →|，故|DB →|＝3|DA →|，因此选项C 正确；由于CB →＝DA →，因此CB →与DA →是共线的答案 D6．下列说法正确的是( )A. AB →∥CD →表示AB →所在的直线平行于CD →所在的直线B ．长度相等的向量叫做相等向量C ．零向量的长度等于0D ．共线向量是在一条直线上的向量解析： AB →∥DC →表示AB →所在的直线平行于DC →所在的直线，或AB →所在的直线与DC →所在的直线重合；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以A ，B ，D 均错误答案 C 7．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a |>|b |，则a >bD ．单位向量的长度为1解析：A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．答案 D8．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是( )A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →)B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →)C.BD →的模恰为DA →模的3倍D.CB →与DA →不共线解析：两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D 中CB →，DA →所在直线平行，向量方向相同，故共线．答案 D9．给出下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ＝0，则－a ＝0. 其中的正确命题有( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：对于①，前一个零是实数，后一个应是向量0.对于②，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定．对于③，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等．只有④正确．答案 A10.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式成立的是A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →解析：根据相等向量的定义，A 中，AD →与BC →的方向不同，故A 错误；B 中，AC →与BD →的方向不同，故B错误；C 中，PE →与PF →的方向相反，故C 错误；D 中，EP →与PF →的方向相同，且长度都等于线段EF 长度的一半，故D 正确.答案 D二、填空题11．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________．(填序号)解析：相等向量一定是共线向量，故①能使a ∥b ；方向相同或相反的向量一定是共线向量，故③能使a ∥b ；零向量与任一向量平行，故④能使a ∥b .答案 ①③④12．给出下列三个条件：①|a |＝|b |；②a 与b 方向相反；③|a |＝0或|b |＝0，其中能使a ∥b 成立的条件是________．解析：由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向，即①不能够使a ∥b 成立；因为a 与b 方向相反时，a ∥b ，即②能够使a ∥b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是②③.答案 ②③13．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________.解析：因为A ，B ，C 三点不共线，所以AB →与BC →不共线．又因为m ∥AB →且m ∥BC →，所以m ＝0.答案 014．给出以下五个条件：①a ＝b ；②|a|＝|b|；③a 与b 的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________．解析：共线向量指的是方向相同或相反的向量，它只涉及方向，不涉及大小．很明显仅有①③④.答案 ①③④三、解答题15. O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在如图2-1-5所示的向量中：图2-1-5(1) 分别找出与AO →，BO →相等的向量；(2) 找出与AO →共线的向量；(3)找出与AO →模相等的向量；(4)向量AO →与CO →是否相等？解析： (1) AO →＝BF →，BO →＝AE →.(2) 与AO →共线的向量有：BF →，CO →，DE →.(3) 与AO →模相等的向量有：CO →，DO →，BO →，BF →，CF →，AE →，DE →.(4) 向量AO →与CO →不相等，因为它们的方向不相同．16．如图，已知AA ′—→＝BB ′—→＝CC ′—→.求证：(1) △ABC ≌△A ′B ′C ′；(2) AB →＝A ′B ′——→，AC →＝A ′C ′——→.证明： (1)∵AA ′—→＝BB ′—→，∴|AA ′—→|＝|BB ′—→|，且AA ′—→∥BB ′—→.又∵点A 不在BB ′—→上，∴AA ′∥BB ′，∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形，∴|AB →|＝|A ′B ′——→|.同理|AC →|＝|A ′C ′——→|，|BC →|＝|B ′C ′——→|.∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形，∴AB →∥A ′B ′——→，且|AB →|＝|A ′B ′——→|，∴AB →＝A ′B ′——→.同理可证AC →＝A ′C ′——→. 17．如图所示，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.证明：∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴|DA →|＝|CB →|且DA ∥CB .又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →，∴|CB →|＝|DA →|.同理可得，四边形CNAM 是平行四边形，∴CM →＝NA →.∴|CM →|＝|NA →|，∴|MB →|＝|DN →|，又DN →与MB →的方向相同，∴DN →＝MB →.高中数学，同步讲义必修四第二章平面向量第一讲平面向量的实际背景和基本概念。

人教a版必修4学案：2.1平面向量的实际背景及基本概念(含答案)

回顾归纳对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可．变式训练 1 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若向量 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b； (2)若向量|a|＝|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意|a|＝|b|，且 a 与 b 的方向相同，则 a＝b； (4)向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反．
第二章 § 2.1
平面向量
平面向量的实际背景及基本概念
自主学习
知识梳理 1．向量的概念 (1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量，如速度、位移、力等． (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量，如面积、体积、质量等．注意：数量可以比较大小，而向量无法比较大小． 2．向量的几何表示 (1)有向线段：带有________的线段叫做有向线段，其方向是由________指向________， → 以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB. 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就唯一确定． → → → (2)向量的有关概念：向量AB的________，也就是向量AB的长度(或称模)，记作|AB|.长度为______的向量叫做零向量，记作 0.长度等于______个单位的向量，叫做单位向量． (3)向量的表示法： ①几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向； ②字母表示：用一个小写的英文字母表示，或用表示向量的有向线段的 ________ 和 ______的字母表示． (4)平行向量：方向________或________的非零向量叫做平行向量．向量 a 与 b 平行，通常记为 a∥b.规定零向量与任何向量都________，即对于任意向量 a，都有 0∥a. 3．相等向量与共线向量 (1)相等向量：________相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量 a 与 b 相等，通常记为 a＝b.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量． (2)共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一________上，因此，平行向量也叫共线向量．自主探究谈谈你对平行向量、共线向量、相等向量这三个概念的认识．

高中数学人教A版必修4 2.1 平面向量的实际背景及基本概念作业 Word版含解析

[A.基础达标]1．在下列判断中，正确的是( ) ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向的；⑤任意向量与零向量都共线．A ．①②③B ．②③④C ．①②⑤D ．①③⑤解析：选D.由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③，⑤正确，④不正确，所以答案是D.2．下列命题中，正确的是( ) A ．|a |＝1⇒a ＝±1B ．|a |＝|b |且a ∥b ⇒a ＝bC ．a ＝b ⇒a ∥bD ．a ∥0⇒|a |＝0解析：选C.两共线向量的模相等，但两向量不一定相等，0与任一向量平行． 3．设a 0，b 0分别是a ，b 的单位向量，则下列结论中正确的是( ) A ．a 0＝b 0 B ．a 0＝－b 0 C ．|a 0|＋|b 0|＝2 D ．a 0∥b 0解析：选C.因为a 0，b 0是单位向量，则|a 0|＝1，|b 0|＝1，所以|a 0|＋|b 0|＝2.故选C.4．下列结论中，不正确的是( )A ．向量AB →，CD →共线与向量AB →∥CD →意义是相同的B ．若AB →＝CD →，则AB →∥CD →C ．若向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝bD ．若向量AB →＝CD →，则向量BA →＝DC →解析：选C.平行向量又叫共线向量．相等向量一定是平行向量，但两个向量长度相等，方向却不一定相同，故C 错误．5．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．等腰梯形解析：选C.由BA →＝CD →，知AB ＝CD 且AB ∥CD ，即四边形ABCD 为平行四边形．又因为|AB →|＝|AD →|，所以四边形ABCD 为菱形．6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________.解析：正方形的对角线长为22， ∴|OA →|＝ 2. 答案： 27. 设O 是正方形ABCD 的中心，则①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →.其中，所有正确的序号为________．解析：正方形的对角线互相平分，则AO →＝OC →，①正确； AO →与AC →的方向相同，所以AO →∥AC →，②正确； AB →与CD →的方向相反，所以AB →与CD →共线，③正确；尽管|AO →|＝|BO →|，然而AO →与BO →的方向不相同，所以AO →≠BO →，④不正确．答案：①②③8．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________.解析：∵A ，B ，C 不共线，∴AB →与BC →不共线．又m 与AB →，BC →都共线， ∴m ＝0. 答案：09．如图所示，四边形ABCD 与ABEC 都是平行四边形．(1)用有向线段表示与向量AB →相等的向量；(2)用有向线段表示与向量AB →共线的向量．解：(1)与向量AB →相等的向量是向量CE →，向量DC →；(2)与向量AB →共线的向量是向量BA →，向量DC →，向量CD →，向量CE →，向量EC →，向量ED →，向量DE →.10．在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O ，并求终点的坐标． (1)|a |＝2，a 的方向与x 轴正方向的夹角为60°，与y 轴正方向的夹角为30°； (2)|a |＝4，a 的方向与x 轴正方向的夹角为30°，与y 轴正方向的夹角为120°； (3)|a |＝42，a 的方向与x 轴、y 轴正方向的夹角都是135°. 解：如图所示：[B.能力提升]1．已知点O 固定，且|OA →|＝2，则A 点构成的图形是( ) A ．一个点 B ．一条直线 C ．一个圆 D ．不能确定解析：选C.∵|OA →|＝2，∴终点A 到起点O 的距离为2. 又∵O 点固定，∴A 点的轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆．故选C. 2．下列说法中：①若a 是单位向量，b 也是单位向量，则a 与b 的方向相同或相反；②若向量AB →是单位向量，则向量BA →也是单位向量； ③两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同．正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选C.由单位向量的定义知，凡长度为1的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故①不正确；因为|AB →|＝|BA →|，所以当AB →是单位向量时，BA →也是单位向量，故②正确；根据相等向量的概念知，③是正确的．3．给出下列四个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0，其中能使a ∥b 成立的条件是________．解析：因为a 与b 为相等向量，所以a ∥b ，即①能够使a ∥b 成立；由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向，即②不能够使a ∥b 成立；因为a 与b 方向相反时，a ∥b ，即③能够使a ∥b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是①③④.答案：①③④ 4. 如图所示，已知四边形ABCD 是矩形，O 为对角线AC 与BD 的交点，设点集M ＝{O ，A ，B ，C ，D }，向量的集合T ＝{PQ →|P ，Q ∈M ，且P ，Q 不重合}，则集合T 有________个元素．解析：以矩形ABCD 的四个顶点及它的对角线交点O 五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有5×4＝20(个)．但这20个向量中有8组向量是相等的，其余12个向量各不相等，即为AO →(OC →)、OA →(CO →)，DO →(OB →)，AD →(BC →)，DA →(CB →)，AB →(DC →)，BA →(CD →)，BO →(OD →)，AC →，CA →，BD →，DB →，由元素的互异性知T 中有12个元素．答案：125．如图所示，已知四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，又AB →＝DC →且CN →＝MA →，求证：DN →＝MB →.证明：因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB ∥DC ，所以四边形ABCD 是平行四边形，所以|DA →|＝|CB →|且DA ∥CB .又因为DA →与CB →的方向相同，所以CB →＝DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形，所以CM →＝NA →.因为|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|，所以|MB →|＝|DN →|，又DN →与MB →的方向相同，所以DN →＝MB →. 6．(选做题)“马走日”是中国象棋中的一个规则，即“马”在走动时必须走一个“日”字形的路径．如图是中国象棋棋盘的一部分，如果有一“马”在A 处，可以跳到E 处，也可以跳到F 处，分别用向量AE →，AF →表示“马”走了一步．(1)试标出“马”在点B ，C ，D 处走了一步的所有情况；(2)“马”在D 处是否能跳到相邻的B 点，试在图中标出，并说明“马”能否从棋盘任一交叉点出发走到棋盘的任何一交叉点处？解：(1)如图，点B 处的“马”有4条路线：BQ →、BR →、BS →、BT →；点C 处的“马”有8条路线：CG →、CF →、CP →、CO →、CN →、CM →、CL →、CH →；点D 处的“马”有3条路线：DU →、DV →、DW →.(2)事实上，“马”由点D 到点B 处，只需沿向量DV →，VQ →，QB →走三步即可(请同学们自己标出)．也就是说“马”能从一个交叉点出发，然后回到该交叉点的相邻点．由递推关系可得，“马”能从任一交叉点出发，然后又能走到棋盘的任一交叉点．。

数学人教A版必修4例题与探究：2.1平面向量的实际背景及基本概念含解析精品

典题精讲例1温度有零上与零下之分，温度是不是向量，为什么?思路解析：判断一个量是不是向量，关键就是看这个量是否同时具备两条：既有大小又有方向，这两者缺一不可.答案：不是，因为温度只有大小没有方向.绿色通道：向量是一种新的量，与以前的数量是不同的体系，两者之间既有联系又有区别；我们把既有大小又有方向而无特定位置的量叫自由向量.描述一个向量有两个指标：大小、方向.变式训练1如图2-1-1，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，试问猫能否追到老鼠？图2-1-1思路解析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.答案：猫的速度再快也没用，因为方向错了.变式训练2美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向1 200千米处发射两枚战斧式巡航导弹（精度10米左右，射程超过2 000千米），试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标？思路解析：因为没有给定发射的方向，不能击中伊拉克的军事目标.答案：不能.例2如图2-1-2，已知四边形ABCD是矩形，设点集M={A，B，C，D}，集合T={，P、Q∈M，且P、Q不重合}.试求集合T.图2-1-2思路解析：要确定向量为元素的集合T有多少个子集，就需搞清楚集合T中有多少个相异的向量，需注意的是方向相同、且大小相等的量只算一个，如=，而方向相反的算不同向量，如与.答案：从已知条件出发可以判断出相异的向量，即集合T={AC、CA、BD、DB、AB AB、AD、BA、DA}.绿色通道：一道向量与集合知识交汇的题型，在这里要分别从两个知识点出发，集合主要考查的是其互异性，向量的相关概念在此考查的是相异向量应当具备的一个硬件是排除相等向量的可能性情况，两者之间交汇在一个“异”字，解题时只有认真审题分清思路这样才能得到正确的结果.变式训练如图2-1-3，四边形ABCD与ABEC都是平行四边形.图2-1-3(1)用有向线段表示与向量AB相等的向量；(2)用有向线段表示与向量共线的向量.思路解析：在寻找相等向量和共线向量时都可以从大小和方向这两个方面来考虑，本题涉及到的线段比较多，不要有遗漏.答案：(1)与向量相等的向量是，；(2)与向量AB共线的向量是DE，DC，CE，EC，CD，ED.例3有两个长度相等的向量，在什么情况下，这两个向量一定是相等向量？思路分析：判断两个向量是否相等就是看它们的大小是否相等，方向是否相同，这两个方面缺一不可.解：有下列两种情况，这两个向量一定相等.(1)两个长度相等的向量的方向相同；(2)两个长度相等的向量都为零向量.黑色陷阱：如果忽视了零向量是相等向量，那么就会遗漏第二种情况，使得本题的解答不完整.绿色通道：向量有两个要素：一是大小；二是方向.两个向量只有当它们的模相等同时方向相同时才称为相等的向量，即a=b就意味着|a|=|b|，且a与b的方向相同.还要注意到零向量与零向量是相等向量.变式训练下列叙述正确的是________________.①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上②单位向量都相等③任一向量与它的相反向量不相等④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB=DC⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0 ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同思路解析：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.⑥不正确.如A、B、C三点共线，则与共线，虽起点不同，但其终点却相同.答案：④⑤例4某人从A点出发向西走了200 m到达B点，然后改变方向向西偏北60°走了450 m到达C点，最后又改变方向向东走了200 m到达D点.(1)作出向量、、(用1 c m表示100 m)；(2)求|AD|.思路分析：本题只要用向量来表示位移就可以很简单的解决.解：(1)作出向量、、 (如图2-1-4)：图2-1-4(2)∵|AB |=|DC |，且AB 与DC 方向相同，∴四边形ABCD 是平行四边形.∴|AD |=|BC |=450.绿色通道：用向量知识解决物理问题，关键是将物理知识转化成数学知识，用向量表示物理量，然后解决数学问题.变式训练新华网北京10月17日电北京时间17日2时40分许，记者从北京航天飞控中心获悉，神舟六号飞船返回指令解锁，即将结束五天的太空之旅，踏上返乡路程.凌晨3时43分至48分，远望三号测量船对飞船实施了姿态调整、轨道舱与返回航分离、制动点火等一系列关键控制，仪器表上已准确地出现飞船的方位，飞船顺利进入预定返回轨道.假定把神舟六号飞船看成向量，现在仪器表屏幕显示在4×5的方格中有一个向量，以图2-1-5中的格点为起点和终点作向量，其中与AB 相等的向量有多少个?与AB 长度相等的共线向量有多少个?图2-1-5思路解析：要判断向量相等，并不要求它们有相同的起点与终点，主要把握住向量相等两要素：方向相同，长度相等.答案：与相等的向量有7个，与长度相等的共线向量有15个.问题探究问题1中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字，如图2-1-6，在中国象棋的半个棋盘(4×8个，矩形每个小方格都是单位正方形)中，若马在A 处，可跳到A 1处，也可跳到A 2处，用向量1AA ,2AA 表示马走了“一步”.通过探究，你能在图中画出马在B 、C 处走了一步的所有情况吗？图2-1-6导思：根据象棋走法的规则，结合已知的图形，作出符合要求的所有向量，不要有遗漏. 探究：此题中，马在A 处有两条路可走，在B 处有三条路可走，在C 处有八条路可走，可谓“八面威风”，解题时，应做到不重不漏.如图2-1-7以点C 为起点作向量(共8个)，以点B 为起点作向量(共3个).图2-1-7问题2如图2-1-8，A 1，A 2，…，A 8是⊙O 上的八个等分点，则在以A 1，A 2…，A 8及圆心O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个呢?模等于半径2倍的向量有多少个呢?图2-1-8导思：(1)在模等于半径的向量个数的计算中，要计算i OA 与A i (i=1，2，…，8)两类，一般我们易想到i OA (i=1,2,…，8)这8个，而易遗漏O A i (i=1，2，…，8)这8个.(2)圆内接正方形的一边对应了长为2的两个向量.例如边31A A 对应向量A 1A 3与A 2A 4.因此与(1)一样，在解题过程中主要要防止漏算.认为满足条件的向量个数为8是错误的. 探究：(1)由于A 1，A 2，…，A 8是⊙O 上的八个等分点，所以八边形A 1A 2…A 8是正八边形，正八边形的边及对角线长均与⊙O 的半径不相等.所以模等于半径的向量只可能是i OA 与A i (i=1,2,…，8)两类，共16个.(2)⊙O 内接正方形的边长是半径的2倍，所以我们应考虑与圆心O 形成90°圆心角的两点为端点的向量个数.(3)以A 1，A 2，…，A 8为顶点的⊙O 的内接正方形有两个，一是正方形A 1A 3A 5A 7；另一个是正方形A 2A 4A 6A 8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的2倍.所以模为半径2倍的向量共有4×2×2=16个.。