数学分析(2)期末试题集(单项选择题)

一、黎曼积分1. 设函数()⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫⎝⎛≥+=--.0,2sin ,0,1x e e x x x f x x π则()x f 的一个原函数是( B ). (A) ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥+=-.0,2cos 2,0,212x e x x x x F x ππ （B ）()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛≥+=-.0,2cos 2,0,212x e x x x x F x ππ(C) ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛≥++=-.0,2cos 2,0,21212x e x x x x F x ππ (D) ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥-+=-.0,212cos 2,0,21212x e x x x x F x ππ2. 设函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧=>+≤+=⎰-x dt t f x F x x x x x f 12.0,4cos ,0,1π,则( D ). (A) ()x F 为()x f 的一个原函数. (B) ()x F 在()+∞∞-,上可微,但不是()x f 的原函数. (C)()x F 在()+∞∞-,上不连续 (D) ()x F 在()+∞∞-,上连续,但不是()x f 的原函数. (注: 因为0=x 是()x f 的第一类跳跃间断点,因而()x f 不可能在包括0=x 点在内的区间上有原函数,因此(A)不正确.当()x f 有第一类间断点()b a x ,0∈,但()x f 在[]0,x a 与()b x ,0内连续时,函数()()()b a x dt t f x F x,,1∈=⎰-在区间()b a ,内连续,因此(C)也不正确,而导函数不可能有第一类间断点,故(B)不正确,因而正确选项为(D)).3. 设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=,0,0,0,1sin 21cos 222x x x x x x x f ()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1cos 22x x xx x F 则在()+∞∞-,内( A ).(A) ()x f 不连续且不可微, ()x F 可微,且()x F 为()x f 的一个原函数. (B) ()x f 不连续,不存在原函数,因而()x F 不是()x f 的原函数. (C) ()x f 与()x F 均为可微函数,且()x F 为()x f 的一个原函数. (D) ()x f 连续且()()x f x F ='.(注: 可以验证0=x 为()x f 的第二类间断点,且()x F 为()x f 的一个原函数).4. ()()+∞∞-∈⎩⎨⎧>≤+=,,0,cos ,0,12x x x x x x f 的全体原函数为( C )(A) ()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤++=,0,sin ,0,31213x C x x C x x x f (B) ()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤++=,0,sin ,0,313x C x x x x x f(C) ()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤++=,0,sin ,0,313x C x x C x x x f (D) ()⎪⎩⎪⎨⎧>≤++=,0,sin ,0,1313x x x x x x f5. 设()⎰⎰+=+=1021011ln ,1dx x I dx x xI ,则1I 与2I 的关系是( A )(A) 21I I <, (B) 21I I >, (C) 21I I =, (D) 不确定. (注: 令()()()()()0011111ln 12≤⇒≤+-+='⇒+-+=x f xx x f x x x x f ,即 ()x xx+≤+1ln 1) 6．()=⎪⎭⎫⎝⎛+⎰x d x sin 1sin 12（ C ） （A ）C x x ++-cot ；（B ）C x x ++-sin cot ；（C ）C x x ++-sin sin 1；（D ）C x x++sin sin 1。

7. 已知134I dx x=-⎰,则I =( D )(A) 1ln 344x --; (B) ln 34x C -+; (C) 1ln 344x C -+ ; (D) 1ln 344x C --+.8. 若()22xf x dx x eC =+⎰,则()f x =(D )(A) 2x xe ; (B) 222xx e ; (C) 2xxeC +; (D) ()221x x x e +.9. 设xe -是()f x 的一个原函数,则()xf x dx =⎰( B )(A) ()1xex C --+; (B)()1x e x C -++; (C) ()1x e x C --+; (D) ()1x e x C --++.10. 若()f x 是()g x 的一个原函数,则正确的是( B ) (A)()()f x dx g x C =+⎰; (B) ()()g x dx f x C =+⎰;(C) ()()g x dx f x C '=+⎰; (D) ()()f x dx g x C '=+⎰.11.2sin 3xdx =⎰( D ) (A) 22cos 33x C +; (B) 32cos 23x C +; (C) 22cos 33x C -+; (D) 32cos 23x C -+.12. 若ln x 是函数()f x 的原函数,那么()f x 的另一个原函数是( A ) (A) ln ax ; (B)1ln ax a ; (C) ln x a +; (D) ()21ln 2x . 13. 若()F x 和()G x 是函数()f x 的任意两个原函数,则( B )成立,其中C 是任意常数. (A) ()()G x F x C +=; (B) ()()G x F x C -=; (C) ()()0G x F x -=; (D) 以上都不对.14.4225xdxx x =++⎰( D )(A) 421ln 252x x C +++; (B) 212arctan 2x C ++; (C) 211arctan 22x C ++; (D) 211arctan 42x C ++. 15. 设()22sin cos f x x '=,则()f x =( B )(A) 21sin sin 2x x C -+; (B) 212x x C -+; (C) 241sin sin 2x x C -+; (D) 2412x x C -+.16. 设()()F x f x '=,()f x 为可导函数且()01f =,又()()2F x xf x x =+,则()f x =( A )(A) 21x -+; (B) 21x -+; (C) 21x --; (D) 21x --.17. 设⎰⎰==20222201sin ,sin ππdx x x I dx x x I ,则1I 与2I 的关系是( A )(A) 21I I >, (B) 21I I <, (C) 21I I =, (D) 不确定.18. 设()()⎰⎰==342341cos ln ,sin ln ππππdx x Idx x I ,则1I 与2I 的关系是( B )(A) 21I I <, (B) 21I I >, (C) 21I I =, (D) 不确定.19*. 已知=a ()()⎰⎰⎰----=+=+224322243222cos sin ,cos sin ,1sin ππππππdx x x x c dx x x b dx x x ,则(D)(A) a c b << (B) b c a << (C) c a b << (D) b a c <<20. 积分⎰--101dx xe x的值为(A) (A) 正数 (B) 负数 (C) 零 (D) 不确定21. 积分⎰---11dx xe x的值为(B) (A) 正数 (B) 负数 (C) 零 (D) 不确定22. 积分()⎰+π20sin dx x x 的值为(A)(A) 正数 (B) 负数 (C) 零 (D) 不确定23 积分=-⎰-dx e e xx πcos cos 2(D)(A) e (B) e 2 (C) 1 (D) 0 (注: 因为xecos 与xecos -在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上于⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2所对应的积分和式可以取成绝对值相等,符号相反.另外,也可用变量替换t x -=π证明=-⎰-dx e e x x πcos cos 2dx e e xx⎰---π0cos cos 2)24. 把+→0x 时的无穷小量⎰⎰⎰===xx xdt t dt t dt t 0302sin ,tan ,cos 2γβα排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小量,则正确的排列次序是(B) (A) γβα,, (B) βγα,, (C) γαβ,, (D) αγβ,,25. 已知连续曲线()x f y =关于点()()00,≠a a 对称,则对()+∞∞-∈∀,c ,()=-⎰-ccdx x a f( D ) (A) ()dx x a f c ⎰-022, (B) ()dx x a f c⎰--022, (C) ()dx x c f a⎰-02, (D) 0.(注: 由初等函数的性质可知,()x a f -是关于变量x 的奇函数.事实上.令()()x a f x g -=,曲线()x f y =关于点()0,a 对称,则()()()()x g x a f x a f x g -=--=+=-,即()()x a f x g -=为x 的奇函数,因此对()+∞∞-∈∀,c ,均有()()0==-⎰⎰--ccc cdx x g dx x a f ).26. 设函数()x f 在[]b a ,上连续且无零点,()()()⎰⎰+=xbxadt t f dt t f x F 1,则方程()0=x F 在()b a ,内根的个数恰为( B )(A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) 3 .(注: 由于()x f 在[]b a ,上连续,则()x F 在[]b a ,上连续且可导,()()()()⎰⎰==b a abdt t f b F dt t f a F ,1.因为()x f 在[]b a ,上连续无零点,所以()x f 在[]b a ,上不变号,再由积分的保号性,必有()()0<b F a F ,于是()x F 在()b a ,内至少有一个零点.另外,有()()()x f x f x F 1+='.再次由()x f 不变号可知,()x F '在[]b a ,上定号,因此,()x F 在[]b a ,上单调,在()b a ,内最多有一个零点.)27. 设()x f 为可导奇函数,()x g 为()x f 的反函数,则()()=-⎰-dt x t xg dx d x f x x(A)(A) ()()()x f x dt t g x f '+⎰-20 (B) ()()()x f x dt t g x f '-⎰-20(C)()()()x f x dt t g x f '+⎰-0(D)()()()x f x dt t g x f '-⎰-0.(注: 令()()()()()⎰⎰---=-=x f x xx f x xdt x t g x dt x t xg x I ,令u x t =-,则du dt =,于是()()()()()()()()()()()()()()()()()()()x f x du u g x f x f xg du u g x f x f xg du u g x I du u g x x I x f x f x f x f '+='+='--+='⇒=⎰⎰⎰⎰----2其中()()x x f g =).28. 设()x f 在[]B A ,上连续,B b a A <<<,则极限()()=-+⎰→bah dx hx f h x f 0lim ( D )(A) ()a f (B) ()b f (C) 0 (D)()()a f b f -. (注: 方法1 设()x F 为()x f 的一个原函数,则()()()()[]()()[]()()()()a f b f a F b F ha F h a Fb F h b F dx h x f h x f h ba h -='-'=-+--+=-+→→⎰00limlim方法 2 令()()()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-+=⎰⎰⎰b a ba b a dx x f dx h x f h dx x f h x f h h I 11,令t h x =+,则()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰++b a hb h a dx x f dt t f h h I 1,令0→h ,并应用洛比达法则,得()()()()()()()a f b f h a f h b f hdxx f dt t f h I h bahb ha h h -=+-+=-=→++→→⎰⎰1limlimlim 0)29. 设()x f 在()+∞∞-,上可导,0>α,则()()[]=--+⎰-→ααααααdt t f t f 241lim (B)(A) ()α2f ' (B) ()0f ' (C) ()αf ' (D)()021f '. (注: 原式=()()()()()082222lim 8lim 002200f f f dx x f dx x f d d '=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→-→⎰⎰ααααααααα).30. 极限=+⎰+∞→x xtx dt et21lim(B) (A) 1 (B) 0 (C)21(D) 不存在 (注: 由初等函数t e t,的性质可知,存在0>X ,使当X x >,且[]x x t 2,∈时,有xt ex e t +<+<1210 由积分的保序性及比较性质得到()+∞→→+=+<+<⎰⎰x exx dt e xdt e t xxxxxxt 012121022)31* 设()x ϕ在[]a ,0上连续,对()a x ,0∈,()()()()()⎰⎰-==xk k x dt t t f x f dt t x f 0101,ϕϕ,,3,2=k .则由已知函数()x f 1表示出的()=x f k (C)(A)()x f k 11 (B) ()[]k x f k 11 (C) ()[]kx f k 1!1 (D)()()[]k x f k 1!11- (注: 因()x ϕ连续,则()x f 1可导且()()x x f ϕ='1,于是()()()()()()[]()[]()x f f t f dt t f t f dt t t f x f xxx 21210210110122102121=-='==⎰⎰ϕ,()()()()[]()()x f t f d t f dt t t f x f xx310121023!31)(21===⎰⎰ϕ,用数学归纳法可得 ()()()()()[]()()x f k t f d t f k dt t t f x f k xk xk k 1011101!1)(!11=-==⎰⎰--ϕ)32. 设()x f 为[]1,0上的连续函数,积分()()⎰⎰+=+=ππ0cos 20cos 1221sin ,1sin dx ex f I dx ex xf I x x ,则(A) （A ）212I I π= (B) 212I I =π (C) 21I I π= (D) 21I I =π(注: 令x t -=2π,则dt dx -=,于是 ()()()()())21cos 21cos ,1cos 1cos 1cos 22212sin sin 220sin 22sin 22sin 122222⎰⎰⎰⎰⎰---=⇒+=+-=+=+++-=ππππππππππI I dt et f et f I dt e t f dt et tf dt e t f I ttt t t33. 极限=⎰++∞→a x x x dx xxsin lim (A)(A) 0 (B) 1 (C) a (D) 不存在(注:()0sin lim sin lim ,,sin sin ==⇒+∈=+∞→++∞→+⎰⎰ξξξξξξa dx x x a x x a dx x x a x x x ax x)34. 设()x f 存在连续的导数,()()()()()⎰-=≠'=xdt t f t x x F f f 022,00,00,且当0→x 时,()x F '与k x 是同阶无穷小量,则=k (C)(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (注: 因为()()()()()⎰⎰⎰='⇒-=xx x dt t f x x F dt t f t dt t f xx F 0222,所以()()()()()()()()30201002lim121lim 22lim2lim lim-→-→-→→→-'-=-==='⎰⎰k x k x k xx kx x k x x k x f k k x k x f k kx dtt f x dtt f x xx F 不等于零或无穷大,并注意到()x f '连续且()00≠'f ,故3=k )35. 设()⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤+=.21,21,10,1x x x x f 则函数()()⎰=x dt t f x G 0在[]2,0上(B)(A) 不连续 (B) 连续但不处处可导 (C) 可导,但导函数不一定连续 (D) 导函数连续36. 设()x f 为[]1,0上的连续函数,则 (D) (A)()()⎰⎰=πππ0sin sin dx x f dx x xf (B)()()⎰⎰=πππ0sin 2sin dx x f dx x xf(C)()()⎰⎰=πππ0sin 2sin dx x f dx x xf (D) ()()⎰⎰=πππsin 2sin dx x f dx x xf(注: 令dt dx t x -=⇒-=π,所以()()()()()⎰⎰⎰⎰+-=--=ππππππ0sin sin sin sin dt t f dt t tf dt t f t dx x xf )二、广义积分问题37. 设()()231ln -=x xx f ,则在区间[]2,1上( C )(A) ()x f 黎曼可积,广义积分()⎰21dx x f 发散 (B) ()x f 黎曼可积,广义积分()⎰21dx x f 收敛(C) ()x f 黎曼不可积,广义积分()⎰21dx x f 收敛 (D) ()x f 黎曼不可积,广义积分()⎰21dxx f 发散.38. 设a 与λ为实常数,广义积分()dx xx a⎰∞++21sin λπ收敛性的结论是(A) (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 收敛性与参数λ的取值有关 (D) 发散 (注: ()()a xdx dx x x dx x x a a aarctan 211sin 1sin 222-=+≤+≤+⎰⎰⎰∞+∞+∞+πλπλπ,故广义积分绝对收敛)三、定积分的应用39. 曲线()()21--=x x x y 与x 轴所围部分的面积为(B) (A)()⎰20dx x f (B) ()-⎰10dx x f ()⎰21dx x f(C) ()⎰-2dx x f (D) ()+-⎰1dx x f ()⎰21dx x f40. 双纽线()22222y x y x -=+所围成的区域面积可用定积分表示为(A)(A) ⎰42cos 2πθθd (B) ⎰402cos 4πθθd (C) ⎰42cos 2πθθd (D) ()⎰4022cos 21πθθd(注: 双纽线方程的极坐标形式为θ2cos 2=r .因为区域关于x 轴和y 轴都对称,所以()⎰⎰==40422cos 2214ππθθθθd d r S )四、数项级数41. 若0lim =∞→n n na ,且级数()∑∞=--11n n na an 收敛,则∑∞=1n n a (A)(A) 收敛 (B) 发散 (C) 不定 (D) 敛散性与n a 的正负有关 (注: 由()∑∞=--11n n na an 收敛,记()∑=--=nk k k n a a k S 11,则()()()()nn n n n n n na Sa na a a a a a a n a a a a S +--=++++--=-++-+-=---*101210112012其中S Sa S n n n k k n ==-∞→-=-∑*111*1lim ,,则()S a S a na Sn n n n n --=--=∞→-∞→00*1lim lim .所以∑∞=1n n a 收敛)42. 级数()∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--1cos 11n nn α(常数0>α) (C) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与α有关(注: 因为()∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n n αα21~cos 1,而∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛12n n α收敛,所以∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-1cos 1n n α收敛,故原级数绝对收敛)43. 设常数0>k ,则级数()∑∞=+-121n n nnk (C) (A) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 收敛或发散与k 的取值有关44. 设n n n n n n a a y a a x -=+=,,考虑以下四个级数(1)∑∞=1n na,(2)∑∞=1n na,(3)∑∞=1n nx,(4)∑∞=1n ny,则下列选项中错误的是(D)(A) 若(2)收敛,则(1),(3),(4)必然均收敛(B) 若(3),(4)收敛,则(1),(2)必然均收敛 (C) 若(1),(3)收敛,则(2),(4)必然均收敛 (D) 若(3),(4)发散,则(1),(2)必然均发散 45. 设级数∑∞=1n nu,则必然收敛的级数为(D)(A) ()∑∞=-11n n nn u(B)∑∞=12n nu(C)()∑∞=-12n n nu u(D)()∑∞=++11n n nu u(注: 取()nu n n1-=,则(B),(C)均为发散;取()()n u n n +-=1ln 1,则(A)发散;又∑∞=1n n u ,∑∞=+11n n u 都收敛,由收敛级数的运算性质,知(D)正确) 46. 已知级数()2111=-∑∞=-n n n a ,5112=∑∞=-n n a ,则级数=∑∞=1n n a (C)(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (注:()+-+-=-∑∞=-4321111a a a a a n n n , +++=∑∞=-531112a a a a n n .所以=∑∞=1n n a ()8525111211211=+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛---∑∑∑∞=-∞=-∞=-n n n n n n n a a a ) 47. 设常数0>a ,则级数()∑∞=+-121n n nna (B)(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性与a 的取值有关 (注:()∑∞=-121n n n a 是绝对收敛级数,()∑∞=-11n n n为条件收敛级数,故其和为条件收敛的级数)48. 设a 为常数,则级数()∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121sin n n n na (C)(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 敛散性与a 的取值有关(注: ()∑∞=12sin n n na 绝对收敛,而∑∞=11n n 发散,由级数运算性质得,应选(C)) 49. 设() ,3,2,10=≠n u n ,且1lim =∞→n n u n ,则级数()∑∞=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-111111n n nn u u (C) (A) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 收敛性根据所给条件不能判定 (注: ()()111111111111+-=+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∑m m mn n n n m u u u u S .又由1lim =∞→n n u n 知01lim =∞→n n u ,所以 11lim u S m n =∞→,即原级数收敛.又因为 112111lim 11111lim 111=+++++=+++++∞→+∞→nn n u n n n u u n u n n n u u n n n n n n n n ,且级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛++1111n n n 发散,由比较判别法可得∑∞=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+1111n n n u u 也发散,故原级数条件收敛) 50. 设常数0>λ,且级数∑∞=12n n a 收敛,则级数()∑∞=+-121n n nn a λ(C)(A)发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与λ有关(注: 由平均值不等式得⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤+λλ222121n a n a n n,而∑∞=12n n a 与∑∞=+121n n λ均收敛,故原级数绝对收敛)51. 设()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n u nn 11ln 1,则有(C) (A)∑∞=1n nu与∑∞=12n nu都收敛 (B)∑∞=1n nu与∑∞=12n nu都发散(C)∑∞=1n nu收敛而∑∞=12n nu发散 (D)∑∞=1n nu发散而∑∞=12n nu收敛(注: 011ln lim lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→∞→n u n n n ,且1+≥n n u u ,故交错级数∑∞=1n nu收敛,而()∞→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n nn u n1~11ln 22,所以∑∞=12n n u 发散) 52. 设0>n a ,级数∑∞=12n na收敛,则级数()∑∞=--111n nn na (A)(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 (注:()⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤--2211211n a na n nn ,∑∞=121n n收敛,故该级数绝对收敛) 53. 设常数0,0>≠n a λ,级数∑∞=1n na 收敛,则级数()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-12tan 1n n n a n n λ(A) (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与λ有关 (注: 首先,由正项级数∑∞=1n na收敛,则级数∑∞=12n na的部分和序列单调增加且有上界,因此∑∞=12n n a 收敛.其次,由正项级数的比较判别法,考察()0tan 1lim22>=-∞→λλnnn n a a n n ,所以级数()∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-12tan 1n nna n n λ绝对收敛,故选(A))54. 设参数0≠a ,则()∑∞=+122sin n a n π(B)(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 敛散性与参数a 的取值有关 (注: ()()()na n a n a n u nnn ++-=-+-=22222sin1sin 1πππ单调递减趋于零,因此()∑∞=+122sin n a n π条件收敛)55. 设函数()x f 在区间[]1,0上连续,()() ,2,1111==⎰+n dx x f n a n n n ,则级数∑∞=1n n a (A)(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与()x f 的增减性有关(注: 由积分中值定理, ()()()1111111+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==⎰+n n M n n f n dx x f n a n n n ξ,而()∑∞=+11n n n M 收敛)56. 设()+∞∞-∈,λ,∑∞=12n na收敛,则()∑∞=+-12sin 1n n nn a λ(A)(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 (注:⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤+1121sin 121sin 22222n a n a n a n n n λλ) 57. 级数()∑∞=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+1111ln n n n (B) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 无法判断58. 设()x f 有三阶连续导数,常数125-<α,且()0lim 20=→x x f x ,则级数()∑∞=1n n f α(B)(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 不定 (注: ()()()()()ξξ,!31,00003x f x f f f f ''==''='=在0与x 之间.由于()x f 有三阶连续导数,则存在0>M ,使在某邻域[]δδ,-内有()()45331!3!31,!31n M Mn n f Mx x f <≤≤αα 而∑∞=1451n n收敛,故应选(B))59. 设∑=⎪⎭⎫⎝⎛+=nk k k n k n a 1211311,则极限(A) (A) 0lim =∞→n n a (B) +∞=∞→n n a lim (C) n n a ∞→lim 不存在,也不为∞ (D) 0lim >=∞→c a n n(注: 因为()∞→→⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=≤∑∑∑∞=∞==n e n k n k n a k kk k knk k kn 0311131111311011122) 五、幂级数60. 设幂级数()∑∞=+11n nn x a 时条件收敛,则其在2=x 处(A)(A) 发散 (B) (条件收敛) (C) 绝对收敛 (D) 敛散性无法确定(注: 幂级数的条件收敛点只能在收敛区间端点,于是该级数收敛半径为1,1120-==+-=x R 为收敛区间的中点,2=x 位于收敛区间()0,2-之外.由阿贝尔定理知,此幂级数在2=x 处发散). 61. 若∑∞=1n nnx a的收敛半径为1,记级数()∑∞=+11n n n x a 的收敛半径为r ,则必有(C)(A) 1=r (B) 1≤r (C) 1≥r (D) r 不能确定(注: 取1!1-=n a n ,则∑∞=1n nn x a 的收敛半径为1,而级数∑∞=1n n x 的收敛半径也是1,考虑!11n a n =+,则()∑∞=+11n n n x a 的收敛半径+∞=r ,故选(C))62. 设幂级数()()∑∞=-+12ln 1n na x n 在点21-=x 处条件收敛,则幂级数()()∑∞=-+1221n n a x n 在点212=x 的收敛情况是(C) (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 与参数a 取值有关 (注: 显然,级数()()∑∞=-+12ln 1n n a x n 的收敛半径为1,又级数在21-=x 处为条件收敛,故21-=x 必为收敛区间的端点.由222521221=>=--=-R x x ,可知212=x 必在收敛域之外,与a 的取值当然无关)63. 若级数()∑∞=-11n nn x a 在1-=x 处条件收敛,则级数∑∞=1n na(A)(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定(注: 条件收敛处1-=x 只能在收敛区间的端点,而该级数收敛区间的中点为1=x ,由此得知其收敛半径2=R ,∑∞=1n na相应于()nn n x a 11-∑∞=在2=x 处的数项级数,而()3,12-∈=x ,所以级数绝对收敛)64. 级数()()∑∞=--12!11n n n n 的和为(D)(A) 11--e(B) 1-e (C) 1--e (D) 11--e65. 级数∑∞=12!n n n 的和为(C)(A) 12-e (B) 12-e (C) e 2 (D) 121--e66. 级数∑∞=-1212n nn 的和为(A) (A) 3 (B)23 (C) 25(D) 2 (注: 取()211222x x x x S n n n -==∑∞=-,收敛域为()2,2-,()()∑∞=--=-+='12222221222n n n x n xx x S ,于是()31='S )67. 级数()∑∞=-12!1n n n n 的和为(B)(A) 12-e (B) 0 (C) 1-e (D) 11--e(注:()()()()()()()()()()1112111112!21!11!1111!11!1--∞=-∞=-∞=∞=∞=-=--+--=-+--=--=-∑∑∑∑∑e e n n n n n n n n n n n n n n n n n n )68. 级数()()∑∞=--12!11n n n n 的和为( D ).(A)11--e; (B)1-e ; (C)1--e ; (D)11--e .69. 级数∑∞=12!n n n 的和为( C ).(A)12-e ; (B)12-e ; (C)e 2; (D)121--e.六、傅立叶级数70. 若将函数()⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤-=.121,2,210,x x x x x f 展开成周期为2=T 的正弦级数,则和函数()x S 在25-=x 处的值为(C)(A) 0 (B) 21 (C) 21- (D) 1(注: 对此类问题,无需做傅立叶级数展开计算,直接通过()x f 的奇延拓即可判断和函数的取值.()x f 在一个周期2=T 内的奇延拓函数为()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<-≤≤-≤≤---<<---=.121,2,210,,021,,211,2x x x x x x x x x F 由于周期2=T ,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-2125S S ,而21-=x 为()x F 的第一类间断点,⎪⎭⎫⎝⎛-21S 应为()x F 在21-=x 处左右极限之和的一半,而23021,21021-=⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-F F ,所以2121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-S )。