一阶隐式微分方程

隐式微分方程的解法讨论

摘要：隐式微分方程是常微分方程中的一个重要课题，但是在大学时期，我们学习讨论的一般是一阶隐式微分方程，而本文主要就是研究讨论关于一阶隐式微分方程的几种比较常见的解法.

关键词：参数；微分法；包络；奇解；克莱罗方程.

引言：若要讨论一阶隐式微分方程的解法，首先应该了解隐式方程显示方程之间的联系，然后总结好解析一阶隐式微分方程问题的大致思路.下面，我们首先来了解几种常见的一阶隐式微分方程类型.

一阶隐式微分方程的概念与求解思路

1. 定义

没有就'y 解出的形如

F （,x y ,'y ）=0

的方程我们称为一阶隐式微分方程.

2. 求解思路

如果能从方程F （,x y ,'y ）=0中解出'y 那么求解方程就可以归纳到一个或者几个一显式微分方程，求解这些解，就可以得到方程F （,x y ,'y ）=0的解.

例 1 解微分方程 2

20x x dy x dy y e xye dx y dx ⎛

⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

解：将此微分方程的左端分解因式得

2x dy dy x y e dx dx

y ⎛⎫

⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

=0 分别解两个微分方程

dy dx =2y x e 和dy dx =x

y

，得到的解分别是 x e +

11

C y

-0=和2220y x C --= 于是我们得到所求微分方程的通解为

11x e C y ⎛⎫+-

⎪⎝⎭

()2220y x C --=

应当说，例1当中的一阶方程的通解只有一个任意常数，但是在这个通解的表达式中有两个常数1C 和2C 。对于给定两个常数1C ，2C ,要么只有通解表达式两个因子之一为0确定积分曲线，要么两个因子同时为零，这时，两个常数1C 和

2C 就不是独立的了.总之，决定积分曲线时，总是只有一个常数起作用.

一般来说，很难从方程F （,x y ,'y ）=0中解出'y ，或者即使解出'y ，而其表达式也是极其复杂的，下面介绍的就是不解出'y ，采用引进参数的方法使之变成导数已解出的方程类型，这里主要有以下四个类型：

1）y ='(,)f x y 2）x ='(,)f y y 3）'(,)0F x y = 4）'(,)0F y y =

二、可解出y 或x 的方程的解法

1.可解出y 的隐式方程y ='(,)f x y

如果从方程F （,x y ,'y ）=0中可以解出y ，那么就可以得到第一种类型

y ='(,)f x y

在这里假设函数y ='(,)f x y 有关于x 、

'y 有连续的偏导数. 引入参数p ='y ，则原方程变为

y =(,)f x p 将上式两边对x 求导数，并以p 代替'y ，这样可以得到

()(),,f x p f x p dp

P x p dx

∂∂=+∂∂ 该方程是关于x ，p 的一阶显方程 如果求的该方程的通解为

p =ϕ（,x C ）

将它代入y =f （,x p ），这样得到原方程的通解为

y f =（,x ϕ（,x C ）

） （C 为任意常数）

如果，方程()(),,f x p f x p dp

P x p dx

∂∂=+∂∂还有解 p=u （x ）

把上式代入到y =f （,x p ），那么就得到原方程的相应解

y =f （x ,u （x ）

） 如果能求得方程()(),,f x p f x p dp

P x p dx

∂∂=

+∂∂的通解 F=（x ,p ,C ）=0

将它和y =f （,x p ）结合，就能得到原方程参数形式的通解

{

(,,)0,

(,),

F x p C y x p ==

其中p 是参数，C 是任意常数，如果方程()(),,f x p f x p dp

P x p dx

∂∂=+∂∂还有解 (,)0G x p =

将它和y =f （,x p ）结合，这样得到方程相应的参数形式的解

{

(,)0,

(,),G x p y f x p ==

其中p 为参数.

根据上面讨论，为了求解方程y ='(,)f x y ,我们引进参数'p y =，通过对x 进行求导数，从而消去y ，把问题简化成求解关于x 与p 的一阶显示方程，我们这种方法称为微分法.

例2．解方程：1dy

x y dx =++ 解：原方程是就dy

dx 解出的一阶线性方程，当然可以按其解法求解.在这里，可以

把它当作可就y 解出的方程来求解.

原方程就y 解出可得

1dy

y x dx

=

-- 令

dy

dx

=p ，则可得：1y p x =-- 对上式两边关于x 求导，用dy

p dx =代入则可得

1dp p dx =- 也就是1dp p dx

=+

1）当10p +≠时，分离变量，可得

1

dp

dx p =+ 两边同时积分可得

ln 1ln p x c +=+ （c 为不等于0的常数）

或 ln 1p x c +=+ （c 为任意常数）

即1ln 1x p ce x p c =-=+-或

将上面两个式子代入到1y p x =--可得

(2)x y ce x =-+ （c 为不等于0的任意常数）

或ln 11y p p c =-++- （c 为任意实数） 2）当10p +=有：1p =-

把它代入到1y p x =--可得：(2)y x =-+ 根据1）、2）即可知，原方程通解为：

(2)x y ce x =-+（c 为任意常数）

其参数形式的通解可表示为：

{

ln 1ln 11

x p c

y p p c =+-=-++- （1p ≠，参数；c 为任意常数）

及(2)y x =-+

例3. 解方程2

'2

'

()2

x y y xy =--+.

解：令'y p =，原方程可化为