3.3.1-2基本不等式与最大值最小值(1,2课时)(理)

2
y 2 x 1 x
2 2

x 1 x 2 2 1 当且仅当x 2 2 2
2 2 2
(3)．已知a、b是正数 求a 1 b 2 的最大值.
a 1+ b
2
，且a2+
= 2a
2
b =1， 2
=
a
2
1 + b
2
1 b2 + 2 2
方法1
ab 9
a b 2 ab , 2 ab 3 ab.解不等式可得。
方法2 a b 3 ab b a 1 a 3
a3 b a 0, b 0. a 1. a 1 ab a a 3 a 1
a 1
91
注意:在使用“和为常数，积有最大值”
和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应 把握三点：“一正、二定、三相等”.当条件不 完全具备时，应创造条件.
正：两项必须都是正数； 定：求两项和的最小值，它们的积应为定值； 求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等 ： 等号成立的条件必须存在.
例6：设a,b均为正数,证明不等式:
A
D
而半径
ab AO CD ab 2
a OC b B
E
当且仅当C与O重合,即a=b时等号成立
例1 给出下面四个推导过程：
b a ①∵a、b 为正实数，∴ ＋ ≥2 a b ba ·＝2； ab
②∵x、y 为正实数，∴lgx＋lgy≥2 lgx· lgy； 4 ③∵a∈R，a≠0，∴ ＋a≥2 a 4 · a＝4； a
(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
练习 1．不等式m2＋1≥2m中等号成立的条件是( A．m＝1 B．m＝±1 C．m＝－1 D．m＝0 2．已知a，b∈R＋，且a＋b＝2，则( A．ab≤4 B．ab≥4 C．ab≤1 D．ab≥1 ) )
a＋b [题后感悟] 基本不等式 2 ≥ ab(a≥0，b≥0)反映了 两个非负数的和与积之间的关系．对它的准确掌握要抓住以 下两个方面： (1)定理成立的条件：a、b 都是非负数， (2)“当且仅当”的含义． a＋b ①当 a＝b 时， 2 ≥ ab的等号成立， a＋b 即 a＝b⇒ 2 ＝ ab； a＋b ②仅当 a＝b 时， ≥ ab的等号成立， 2
注意:在使用“和为常数，积有最大值”
和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应 把握三点：“一正、二定、三相等”.当条件不 完全具备时，应创造条件.
正：两项必须都是正数； 定：求两项和的最小值，它们的积应为定值； 求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等 ： 等号成立的条件必须存在.
例3.下列函数中，最小值为2的有那些? 4 x -x (1) y x (2) y 2e e x (3) y log 3 x log x 30 x 1
1 (a b c)[( a b) 2 (b c) 2 (c a) 2 ] 2
a, b, c R
a3 b3 c3 3abc
2. 已知n ∈N*,n > 1,求证：log n(n -1)< log(n+1)n
a 16 a 3. 已知a > 0,求 2 a a 16
例9、已知a、b∈ + ∞），且a + b = 1， （0，
2 2
1 求证：（1）a + b ≥ ； 2 1 2 1 2 25 （2）（a + ）+ b + ）≥ . （ a b 2
应用均值不等式时要注意 “一正、二定、三相等”
下面运算是否正确?
若xy 2, x 0, y 0, 求z 2 x y x y 的最小值.
由FC≥OF
A
a
O
C
b
B
D’
三.基本不等式链
理解四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，
则
2ab ab a b ab 2 2 ab
2
调和平均数 几何平均数 算术平均数 加权平均 数或平方 平均数
2
其中当且仅当a＝b时取等号.
练习: (1)已知a、b是实数，且a+b=4, 求2a+2b的最小值 当且仅当a=b=2时,2a+2b取得最小值8. (2)．y=2x 1 x 2 ,(0<x<1), 求y的最大值
2
5 a 1 4 a 1
例8、求函数y =
2x -1 + 5 - 2x的最大值. (
1 5 < x < ) 2 2
方法1:利用基本不等式
① 根式:利用平方转化
② 直接利用算术平均数和加权平均数
方法2:求二次函数定区间上的最值 解题心得:根式的问题可以平方转化.注意一题多解.
答案： 2 2
例5.已知:x>0,y>0.且2x+5y=20,
求 xy的最大值.
方法1:基本不等式法
2 x y 2 x 5 y 5 xy 10. 10 40
2
20 2 x 5 y 2 2 x y, xy 10. 5
方法2:减元构造函数
构造法
（ 变式. P 课本例2） 设x, y为正实数，且2x+5y=20， 求 u lg x lg y 的最大值.
2 2
解: z 2 2 xy x y
2 2 2 2 2
பைடு நூலகம்
2
4 x y 4 2 xy 8 z 2 x y x y 的最小值为8.
问题：是否积或和为定值时， 就一定可以求最值？
1.证明:如果 a, b, c R ,那么 a 3 b 3 c 3 3abc
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个条件．
1 变式.（P91课本例3）已知 y = x + (x ≠0), x
|y|≥ 2. 证明：
练习
3 ( x 2) ，求函 1．已知函数 f ( x) x x2
数的最小值．
大家把x = 2 + 3代入看一看，会有什么发现？ 用什么方法求该函数的最小值？
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件．
4 2 求函数y sin 其中 0， ] （ sin 2 的最小值。
4 4 解：y sin 2 sin 4, sin sin 函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件.如果取等的条件不成立,则不能取到该最值，那 么用什么方法求最小值
2 1 b2 + a + 2 2 ≤ 2 2

2
=
3 4
2
1 5 (4)． 已知 x ，则函数y 4 x 2 4 4x 5
1 的最大值是＿＿．
x 6 x 14 ( x 1) 的最小值 变形:函数 y x 1
2
10 是＿＿＿．
(4)
(5)
4 0 x y sinx sinx
4 yx 2 x
2
(6)
4 y tan x 0 x tanx 2
想一想:错在哪里？
1 例4.已知函数 f ( x) x ( x 0) ，求函数的最 x 小值和此时x的取值．
ab
2 1 1 a b
注：变换形式再证
对这一不等式的几何解释:
以a+b为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DD’AB,过C作 CEOD于E,则在Rt△OCD中,由射影定理可知,
D
DE OD DC 2 _________
即
DC ab 2 DE OD a b 1 1 2 a b
证明: a3 b3 c3 3abc (a b)3 c3 3a 2b 3ab2 3abc
(a b c)[( a b) 2 (a b)c c 2 ] 3ab(a b c)
(a b c)[a 2 2ab b 2 ac bc c 2 3ab] (a b c)(a 2 b 2 c 2 ab bc ca)
2
A
E
B C
a
b
O
由DC≥DE,得
1 1 a b 当且仅当C与O重合,即a=b时,等号成立
ab
2
D’
例5：设a,b均为正数,证明不等式:
ab 2
a b 2
2
2
注：1.采用放缩法证明，证明思想很重要。 2.在放缩时不能过度放缩，也不能放缩不足
F
对这一不等式的几何解释: 课本p89思考交流
3.3（1） 基本不等式 （2）基本不等式的最大值与最小值
一.基本不等式
对于任意实数x,y,(x-y)2≥0总是成立的,即
x2 -2xy+y2 ≥0 所以
x2 + y2 ≥ ,当且仅当x=y 时等号成立 xy 2
设 x a , y b , 则由这个不等式可得出以 下结论:
a+b ≥ ab ,当且仅当 如果a,b都是正数，那么 2
a=b时,等号成立.
上述不等式称为基本不等式,其中
ab 算术平均数,
ab 2
称为a,b的
称为a,b的几何平均数.

a 注意：1．这个定理适用的范围： R
2．语言表述：两个正数的算术平均 数不小于它们的几何平均数。
对基本不等式的几何解释:
以a+b为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作 弦DEAB,则 CD 2 CA CB ab 从而, CD ab