线性代数线性相关性判定定理
线性代数第四章第二节
第 二 节 向量组的线性相关性
主要内容
线性相关与线性无关的定义 向量组线性相关的充要条件 向量组的线性相关性的判定定理
一 ,线性相关与线性无关的定义
1. 定义 定义 4 给定向量组 A: a1 , a2 , , am , 如果存
在不全为零的实数 k1 , k2 , , km , 使 k1a1 + k2a2 + + kmam = 0, 则称向量组 A 是线性相关的, 否则称它线性无
关.
2. 两个特殊向量组线性相关的充要条件
1) 由一个向量构成的向量组 A: a 线性相关 的充要条件是 a = 0. 2) 由两个向量构成的向量组 A : a1 , a2 线性 相关的充要条件是 a1 , a2 的分量对应成比例. 如 的分量对应成比例.
向量组 A:
1 3 a1 = 1 , a 2 = 3 , 2 6
图 4.3
从几何上讲, 从几何上讲 若 4 维向量组所对应的平面组 中至少有三个平面共线, 中至少有三个平面共线 即至少有三个平面交于 同一直线则该向量组一定线性相关. 同一直线则该向量组一定线性相关
二 ,向量组线性相关的充要条件
定理 向量组线性相关的充要条件是该向量
组中至少有一个向量可由其余向量线性表示. 组中至少有一个向量可由其余向量线性表示
图 4.1
(2) 由三个 3 维向量构成的向量组线性相关的 几何意义是这三个向量共面. 几何意义是这三个向量共面. 如给定平面 π : x+y+z 上取三点: =3. 在 π 上取三点 M1(1,1,1) , M2(2,0,1) , M3(0,2,1) , 作三个向量: 作三个向量 z R3 M3 O M1 M2 x 3 3
同济大学线性代数第六版线性相关与线性无关的判定方法
同济大学线性代数第六版线性相关与线性无关的判定方法在线性代数中，线性相关和线性无关是对于向量组的性质进行判断的重要概念。
在同济大学线性代数第六版教材中，针对线性相关和线性无关的判定方法进行了详细的阐述和说明。
本文将根据该教材的内容，对线性相关和线性无关的判定方法进行介绍和解释。
1. 向量组及其线性组合在线性代数中，向量组指的是由一系列向量组成的集合。
对于一组向量A = (a_1, a_2, ..., a_n)可以通过线性组合的方式生成新的向量。
线性组合的定义如下：对于任意实数k_1, k_2, ..., k_n，向量b可以表示为：b = k_1 * a_1 + k_2 * a_2 + ... + k_n * a_n2. 线性相关与线性无关的定义在线性代数中，向量组A中的向量线性相关指的是存在一组不全为零的实数k_1, k_2, ..., k_n，使得：k_1 * a_1 + k_2 * a_2 + ... + k_n * a_n = 0反之，如果向量组A中的向量线性相关的话，则称其线性无关。
3. 线性相关的判定方法方法来判定一个向量组是否线性相关：3.1 行列式法行列式法是线性代数中常用的判定线性相关的方法之一。
对于向量组A = (a_1, a_2, ..., a_n)，如果存在一个n阶行列式|A| = 0，则向量组A线性相关；如果|A| ≠ 0，则向量组A线性无关。
3.2 线性方程组法线性方程组法是另一种常用的判定线性相关的方法。
对于向量组A = (a_1, a_2, ..., a_n)，将其表示为线性方程组的形式：k_1 * a_1 + k_2 * a_2 + ... + k_n * a_n = 0如果线性方程组存在非零解，则向量组A线性相关；如果线性方程组只有零解（即只有全部系数均为0的解），则向量组A线性无关。
3.3 列向量线性组合法列向量线性组合法是通过列向量的线性组合判定线性相关的方法。
线性代数 线性相关性与秩
将(r +1)阶行列式Dj按最后一列展开，有：
a1 j A1 + a2 j A2 +
α1 A1 + α 2 A2 +
+ arj Ar + ar +1, j Dr = 0
j = 1,2, ,n
按向量形式写，上式为：
+ α r Ar + α r +1 Dr = 0 ∵ Dr ≠ 0, ⇒ α1 , α 2 , , α r +1线性相关, 从而α1 , α 2 , , α m 线性相关。
若存在一组不全为零的数 k1 , km , 使向量组 α1 , k1α1 + kmα m ≠ 0, 则 α1 , α m线性无关
α m的线性组合
× √
向量组 α1 ,
α m (m ≥ 2) 线性无关 ⇔ 该向量组中任意t (1 ≤ t ≤ m)个线性无关
向量组 α1 ,
α m (m ≥ 2) 中任取两个向量线性无关 ⇒ 该向量组线性无关
称为向量组的秩，记为 r (α1 , α 2 , , α m ). r(0)=0 注：（1）线性无关的向量组的秩=向量的个数。 （2）向量组线性无关⇔秩=向量个数。
若α1 , α 2 , , α m 可由β1 , β 2 , , β s 线性表示，则 定理3： r (α1 , α 2 , , α m ) ≤ r ( β1 , β 2 , , βs )
注: 1.线性无关向量组的极大无关组就是其本身;
2.向量组与其极大无关组等价; 3.同一个向量组的极大无关组不惟一,但它们之间是 等价的.
例:求向量组的极大无关组. α1 = (1,2,−1), α 2 = ( 2,−3,1), α 3 ⎛1 2 ⎛ α1 ⎞ ⎛ 1 2 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A = ⎜α 2 ⎟ = ⎜ 2 − 3 1 ⎟ → ⎜ 0 − 7 ⎜0 − 7 ⎜ α ⎟ ⎜ 4 1 − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝
线性代数 向量组的线性相关性
分布图示★ 线性相关与线性无关★ 例1★ 例2★ 证明线性无关的一种方法线性相关性的判定★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5★ 例7★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题3-3内容要点一、线性相关性概念定义1 给定向量组,,,,:21s A αααΛ 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k Λ 使,02211=+++s s k k k αααΛ (1)则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关.注: ① 当且仅当021====s k k k Λ时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21Λ线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的;③ 向量组只含有一个向量α时，则（1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的；④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.二、线性相关性的判定定理1 向量组)2(,,,21≥s s αααΛ线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示.定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j ΛM =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 则向量组s ααα,,,21Λ线性相关的充要条件是: 是矩阵),,,(21s A αααΛ=的秩小于向量的个数s .推论 1 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是: 矩阵),,,(21n A αααΛ= 的秩等于（小于）向量的个数n .推论2 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是:矩阵),,,(21n A αααΛ= 的行列式不等于（等于）零.注: 上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立.推论3 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时, 此向量组必线性相关. 定理3 如果向量组中有一部分向量(部分组)线性相关，则整个向量组线性相关. 推论4 线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关.定理4 若向量组βαα,,,1s Λ线性相关, 而向量组s ααα,,,21Λ线性无关, 则向量β可由s ααα,,,21Λ线性表示且表示法唯一.定理5 设有两向量组,,,,:;,,,:2121t s B A βββαααΛΛ向量组B 能由向量组A 线性表示, 若t s <, 则向量组B 线性相关.推论5 向量组B 能由向量组A 线性表示, 若向量组B 线性无关, 则.t s ≥推论6 设向量组A 与B 可以相互线性表示, 若A 与B 都是线性无关的, 则.t s =例题选讲例1 设有3个向量(列向量):,421,221,101221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα不难验证,02321=-+ααα 因此321,,ααα是3个线性相关的3维向量.例2 设有二个2维向量:,10,0121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=e e 如果他们线性相关, 那么存在不全为零的数,,21λλ 使,02211=+e e λλ也就是 ,0100121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλ 即 .0002121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ于是,0,021==λλ 这同21,λλ不全为零的假定是矛盾的. 因此1e ,2e 是线性无关的二个向量.例3 (E01) n 维向量组T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21ΛΛΛΛ===εεε称为n 维单位坐标向量组, 讨论其线性相关性.解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵)(21n E εεε,,,Λ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001ΛΛΛΛΛΛΛ 是n 阶单位矩阵.由,01≠=E 知.n E r =即E r 等于向量组中向量的个数, 故由推论2知此向量是线性无关的.例 4 (E02) 已知,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ,5202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=7423a , 试讨论向量组321,,a a a 及21,a a 的线性相关性.解 对矩阵)(321a a a A ,,=施行初等行变换成行阶梯形矩，可同时看出矩阵A 及),(21αα=B 的秩，利用定理2即可得出结论.),,,321(ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7514212011213r r r r --→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛550220201−−→−-2125r r ,000220201⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 易见，,2)(=A r ,2)(=B r 故向量组,,,321ααα线性相关. 向量组21a a ,线性无关.例5 判断下列向量组是否线性相关:.11134,1112,5121321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ααα解 对矩阵)(321ααα,,施以初等行变换化为阶梯形矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1115111312421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----990330550421⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000110421秩,,,32)(321<=ααα所以向量组321ααα,,线性相关.例6 证明：若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 证 设有一组数,,,321k k k 使0)()()(321=+++++αγγββαk k k （1）成立，整理得0)()()(322131=+++++γβαk k k k k k 由γβα,,线性无关，故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k （2） 因为110011101,02≠=故方程组（2）仅有零解.即只有0321===k k k 时（1）式才成立.因而向量组,βα+,γβ+αγ+线性无关.例7 (E03) 设向量组321,,a a a 线性相关, 向量组432,,a a a 线性无关, 证明 (1) 1a 能由32,a a 线性表示; (2) 4a 不能由321,,a a a 线性表示.证明（1）因432ααα,,线性无关，故32,αα线性无关，而321ααα,,线性相关，从而1α能由32αα,线性表示；（2）用反证法. 假设4α能由321ααα,,线性表示，而由（1）知1α能由32αα,线性表示，因此4α能由32αα,表示，这与432ααα,,线性无关矛盾.证毕.课堂练习1. 试证明:(1) 一个向量α线性相关的充要条件是0=α; (2) 一个向量α线性无关的充分条件是0≠α;(3) 两个向量βα,线性相关的充要条件是βαk =或者αβk =（两式不一定同时成立）。
线性代数42-向量组的线性相关性
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做向量组．
例如 矩 a 1 A 阵 a 2(ai)jm n有 a j n个 m 维 a n 列向量
a11 a12 a1j a1n
A
a21
a22 a2j a2n
am1 am2 amj amn
向量 a 1,a 2 ,组 ,a n 称为 A 的 矩列 阵 .向
b j k 1 j1 k 2 j2 k m m j
k1 j
（ 1 , 2 ,
, m
)
k2 j
,
kmj
从而
k11 k12
（ b1,b2,,bs) （1,2,,m)
k21
k22
km1 km2
k1s k2s kms
矩阵 Kms (kij)称为这一线性 数表 矩.示 阵的
1T 2T mT
a11
a21
am1
a12 a22 am2
a1s a2s
12TT
a ms sT
设矩阵A经初等行变换变 B，成则B的每个行 向量都是 A的行向量组的线性，组即合B的行向量 组能由A的行向量组线性.表由示初等变换可逆性 可知，A的行向量组能B的 由行向量组线性表示 于是A的行向量组B与 的行向量组等. 价
1 k k 1 2 2 k k 1 3 3 k k m 1 m .
即 1 能由其余向量线性表示.
证毕.
线性相关性在线性方程组中的应用
若方程组中有某个是方其程余方程的线性组 合时，这个方程就余是的多，这时称方程各组（ 个方程）是线性相；关当的方程组中没有方多余 程，就称该方程组个（方各程）线性无关线（或 性独立. ）
《线性代数》向量组的线性相关与线性无关
a11 a21
an1
即行列式 D = a12 a22
an2 = 0 ?
核心问题！
a1n a2n
ann
④若方程组(2)有非零解，则a1,a2,,an线性相关；否则,线性无关.
特殊方法（举例）
亦即
例7. 证明下列单位向量组线性无关.
1
0
0
0
α1
=
0
,
0
α2
=
1
,
0
α3
=
0 1
,
α4
=
k1，k2， ，kn，使
k1a1+k2a2+ + knan=o 成立 .
由向量的运算性质可得
k1a1+k2a2+ +kn an=o，即
a11 a21
an1 0
k1
a12 ...
+
k2
a22 ...
+
...
+
kn
an2 ...
=
0 ...
a1n a2n
故
β
=
(-
l1 l
)α 1
+
(-
l2 l
)α 2
+
+
(-
lm l
)α m
，
即b可由向量组a1，a2， ，am线性表示.
定理2 设向量组 a1，a2， ，am ，b 线性相关，而a1，a2， ，am线性无关，则b 可由a1，a2， ，am线性表示，且表
示式是惟一的.
证明： 再证表示法惟一.
设b可表示成以下两种形式，
结论： 1.含有零向量的向量组一定线性相关.
线性代数：3.2 向量的线性相关性
,
是线性无关的.
n
例：判断向量组
1 1, a, a2, a3 ,2 1, b, b2, b3 , 4 1, c, c2, c3 ,4 1, d, d 2, d 3
线性相关还是线性无关。（a, b, c, d各不相同）
考虑齐次线性方程组
x1 x2 x3 x4 0 ax1 bx2 cx3 dx4 0 a2 x1 b2 x2 c2 x3 d 2 x4 0 a3 x1 b3 x2 c3 x3 d 3 x4 0 其系数行列式是范德蒙德行列式
即齐次线性方程组有非零解，
所以向量 1,2 ,3 线性相关。
而向量 1,2 对应分量不成比例，所以线性无关。
例： 已知向量组 1 , 2 , 3 线性无关,
1 1 2, 2 2 3,3 3 1
试证 : 1 , 2 , 3线性无关.
证明: 设 k11 k2 2 k3 3 0 k1(1 2 ) k2 ( 2 3 ) k3 ( 3 1 ) 0
设 k11 k22 l11 l22
两式相减得
kmm lmm
（k1 l1 )1 (k2 l2 )2 (km lm )m 0
因为1,2 ,,m线性无关，
所以系数k1 l1 0, k2 l2 0,, km lm 0, 于是有ki li , i 1, 2, , m.
k11 k22 kmm 0
不妨设ki 0，于是
i
k1 ki
1
ki 1 ki
i 1
ki 1 ki
i 1
即i可由其余m-1个向量线性表示。
km ki
m
（充分性）设i可由其余m 1个向量线性表示， 即i l11 li1 i1 li1 i1 lmm
于是l11 l i1 i1 (1) i l i1 i1 lm m 0
线性代数-向量组的线性相关性
下面举例说明定理的应用.
例１ n 维向量组
e1 = (1,0,,0)T ,e2 = (0,1,,0)T ,，en = (0,0,,1)T
称为n维单位坐标向量组 ,讨论其线性相关性 .
解 n维单位坐标向量组构成 的矩阵 E = (e1, e2 ,, en )
是n阶单位矩阵. 由 E = 1 ≠ 0，知R(E) = n. 即R(E)等于向量组中向量个数 ，故由定理2知此 向量组是线性无关的 .
亦即（ x1 + x3 )α1 + ( x1 + x2 )α 2 + ( x2 + x3 )α 3 = 0,
因α1，α 2，α 3线性无关，故有
x1 + x3 = 0, x1 + x2 = 0,
x2 + x3 = 0.
由于此方程组的系数行 列式 1 01 1 1 0 =2≠0 011
故方程组只有零解 x1 = x2 = x3 = 0，所以向量组 b1 ,b2 ,b3线性无关.
A线性表示 , 且表示式是唯一的 .
(1) 若向量组 A：α1,α2 ,,αm 线性相关,则 向量组 B :α1,,α m ,α m+1 也线性相关.反言之,若向
量组B 线性无关,则向量组A也线性无关 .
证明 （1）记A = (a1,, am ), B = (a1,, am , am+1 )，有 R(B) ≤ R( A) + 1.若向量组A线性相关,则根据定理 2，有R( A) < m，从而R(B) ≤ R( A) + 1 < m + 1,因此, 根据定理 2知向量组 B线性相关 .
说明 结论（2）是对增加一个分量（ 即维数增加1 维）而言的，若增加多 个分量,结论也成立.
线性代数的重要题型三：向量组的线性相关性
线性代数的重要题型三：向量组的线性相关性的证明向量组的线性相关性是考试的重点，经常是以解答题和客观题的形式来考查.2008年和2009年连续两年以证明题的形式考查了向量组的线性相关性。
向量组线性相关性的证明主要用到的方法是定义和秩.一、定义法.利用定义法证明向量组1,,s αα的线性相关性，应先设11s s k k ++=0αα，再根据已知条件通过恒等变形(重组、同乘)转化为齐次线性方程组，讨论1,,s k k 是否全为0，从而得到结论.对于向量组1,,s αα，若存在不全为0的数1,,s k k 使上式成立，则1,,s αα线性相关；若上式当且仅当10s k k ===时才成立，则1,,s αα线性无关． 二、秩.(1)1,,s αα线性相关⇔1(,,)s r s <αα； 1,,s αα线性无关⇔1(,,)s r s =αα． 特别地，n 个n 维向量12,,,n a a a 的线性相关⇔12,,,0a a a n =；n 个n 维向量12,,,n a a a 的线性无关⇔12,,,0a a a n ≠．(2)利用“三秩相等”，经常将向量组的秩转化为矩阵的秩.用秩的时候经常用到下面几个定理：①()(),()()r r r r ≤≤AB A AB B .②若m n r =n ⨯A ()，则()()r r =AB B .③若m n n s ⨯⨯=A B O ，则()()r r n +≤A B .【例1】设A 是n 阶矩阵，123,,ααα是n 维列向量，且1≠0α，112123233,23,23,==+=+A ααA αααA ααα证明123,,ααα线性无关．【分析】对112233k k k ++=0ααα，如何证明系数1230k k k ===呢？先仔细分析已知条件，112123233,23,23,==+=+A ααA αααA ααα其实就是12132(3),(3)2,(3)2,-=-=-=0A E αA E ααA E αα这启发我们应用3-A E 左乘112233k k k ++=0ααα来作恒等变形．【证明】设 112233k k k ++=0ααα， ① 用3-A E 左乘①式，有112233(3)(3)(3),k k k -+-+-=0A E αA E αA E α即 213222k k +=0αα． ②再用3-A E 左乘②式，可得21322(3)2(3),k k -+-=0A E αA E α即314k =0α．由1≠0α，故必有30k =；将其代入②式得212k =0α，故有20k =；再将其代入①式得11k =0α，故有10k =，所以123,,ααα线性无关．【评注】用定义法证明向量组的线性相关性时，需要作恒等变形，最常用的两种变形方法是拆项重组和同乘(等式两端同乘以同一个矩阵)．【例2】已知四维列向量123,,ααα线性无关，(1,2,3,4)i i =β为非零向量，且与123,,ααα均正交，求向量组1234,,,ββββ的秩.【解析】123,,ααα均正交，即0(,1,2,3,4)αβT j i i j ==.以123,,T T T ααα为行向量作为矩阵123A αααT T T =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，1234,,,ββββ为列向量作为矩阵()1234,,,B ββββ=，则AB O =.利用矩阵秩的性质得到()+()4A B r r ≤.123,,ααα线性无关，则()3A r =，从而()1B r ≤(1,2,3,4)i i =β为非零向量，则()1B r ≥,得到()=1B r ，即1234(,,,)1r =ββββ.。
线性代数3-2
定理3 改变向量的个数时，部分相关，整体也相关； 整体无关，部分也无关.
定理4 同步改变向量的分量顺序时，线性相关性不变. 定理5 改变向量的维数时，低维无关，高维也无关；
高维相关，低维也相关.
定理6 向量组 a1, a2 , , an 线性相关的充分必要条
证 设 A1 组为 A 组的最大无关组，B1 组为 B 组 的最大无关组，则 A1 组、B1 组中所含的向量 个数分别为 r1，r2 .
因为 A 组能由 B 组线性表示，故 A1 组也能由 B1 组线性表示.（请思考为什么？）
于是由引理知 r1≤ r2 .
证毕
定理7的若干推论
推论 1 等价的向量组有相同的秩.
m
am1
am 2
a1 s
1
a2 s
2
ams
s
⑶传递性 若A组与B组等价，B组与C组等价， 则A组与C组等价.
证 （不妨设为行向量情形）
因 A 组与 B 组等价，故存在矩阵 K1、T1， 使得 A=K1B，B=T1A， 又 B 组与 C 组等价，故存在矩阵 K2、T2 ， 使得 B=K2C，C=T2B， 于是有 A= K1K2C，C=T2T1A， 即 A 与 C 等价.
矩阵：
b11 b12
（ c1 , c2 ,
, cn ) （1,2 ,
,
s
)
b21
b22
bs1 bs2
b1n
b2n
bsn
同时，C的行向量组能由B的行向量组线性表示, A
线性代数__2[1].2向量组的线性相关性
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k 3 0 1 , 2 , 3 线性无关.
例3：设向量组1 , 2 ,, m 线性无关，且
1 2 m 证明向量组 1 , 2 ,， m 线性无关(m 1). 证 : 设k1 ( 1 ) k 2 ( 2 ) k m ( m ) O
a , a , , a b , b , , a
m 1m 2m 1 2 n
nm
可由 ， ， ， 线性表示
1 2 m
存在一组实数k1 , k 2 , k m , 使
k1 1 k 2 2 k m m
a1 m b1 a11 a12 a b a a 2 k 21 k 22 k 2 m 1 2 m bn a n1 a n 2 a nm a11k1 a12k 2 ...... a1m k m b1
问题： 零向量是任何向量组的线性组合，为什么？
1 0 0 0 5 0 1 0 0 , 1 , 2 , 3 , 4 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 5 0 1 0 0 有 2 5 3 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 即 =2 1 5 2 3 3 0 4 所以，称 是 1 , 2 , 3 , 4 的线性组合， 或 可以由 1 , 2 , 3 , 4 线性表示。
任一向量都可表示成单位坐标向量的线性组合
线性代数 向量组的线性相关性知识分享
线性代数向量组的线性相关性第三节 向量组的线性相关性分布图示★ 线性相关与线性无关★ 例1★ 例2★ 证明线性无关的一种方法线性相关性的判定★ 定理1★ 定理2 ★ 例3★ 例4★ 例5★ 例6 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5★ 例7 ★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题3-3内容要点一、线性相关性概念定义1 给定向量组,,,,:21s A αααΛ 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k Λ 使,02211=+++s s k k k αααΛ (1)则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关.注: ① 当且仅当021====s k k k Λ时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21Λ线性无关;② 包含零向量的任何向量组是线性相关的;③ 向量组只含有一个向量α时，则（1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的；④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例.⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.二、线性相关性的判定定理1 向量组)2(,,,21≥s s αααΛ线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示.定理2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j ΛM =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 则向量组s ααα,,,21Λ线性相关的充要条件是: 是矩阵),,,(21s A αααΛ=的秩小于向量的个数s .推论1 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是: 矩阵),,,(21n A αααΛ= 的秩等于（小于）向量的个数n .推论2 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是:矩阵),,,(21n A αααΛ= 的行列式不等于（等于）零.注: 上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立.推论3 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时, 此向量组必线性相关.定理3 如果向量组中有一部分向量(部分组)线性相关，则整个向量组线性相关.推论4 线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关.定理4 若向量组βαα,,,1s Λ线性相关, 而向量组s ααα,,,21Λ线性无关, 则向量β可由s ααα,,,21Λ线性表示且表示法唯一.定理5 设有两向量组,,,,:;,,,:2121t s B A βββαααΛΛ向量组B 能由向量组A 线性表示, 若t s <, 则向量组B 线性相关.推论5 向量组B 能由向量组A 线性表示, 若向量组B 线性无关, 则.t s ≥ 推论6 设向量组A 与B 可以相互线性表示, 若A 与B 都是线性无关的, 则.t s =例题选讲例1 设有3个向量(列向量):,421,221,101221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα不难验证,02321=-+ααα 因此321,,ααα是3个线性相关的3维向量.例2 设有二个2维向量:,10,0121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=e e 如果他们线性相关, 那么存在不全为零的数,,21λλ 使 ,02211=+e e λλ 也就是 ,0100121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλ即 .0002121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ于是,0,021==λλ 这同21,λλ不全为零的假定是矛盾的. 因此1e ,2e 是线性无关的二个向量.例3 (E01) n 维向量组T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21ΛΛΛΛ===εεε称为n 维单位坐标向量组, 讨论其线性相关性.解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵)(21n E εεε,,,Λ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001ΛΛΛΛΛΛΛ 是n 阶单位矩阵.由,01≠=E 知.n E r =即E r 等于向量组中向量的个数, 故由推论2知此向量是线性无关的.例4 (E02) 已知,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ,5202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=7423a , 试讨论向量组321,,a a a 及21,a a 的线性相关性.解 对矩阵)(321a a a A ,,=施行初等行变换成行阶梯形矩，可同时看出矩阵A 及),(21αα=B 的秩，利用定理2即可得出结论.),,,321(ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7514212011213r r r r --→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛550220201−−→−-2125r r ,000220201⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 易见，,2)(=A r ,2)(=B r 故向量组,,,321ααα线性相关. 向量组21a a ,线性无关.例5 判断下列向量组是否线性相关:.11134,1112,5121321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ααα解 对矩阵)(321ααα,,施以初等行变换化为阶梯形矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1115111312421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----990330550421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000110421 秩,,,32)(321<=ααα所以向量组321ααα,,线性相关.例6 证明：若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 证 设有一组数,,,321k k k 使0)()()(321=+++++αγγββαk k k （1）成立，整理得0)()()(322131=+++++γβαk k k k k k 由γβα,,线性无关，故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k （2） 因为110011101,02≠=故方程组（2）仅有零解.即只有0321===k k k 时（1）式才成立.因而向量组,βα+,γβ+αγ+线性无关.例7 (E03) 设向量组321,,a a a 线性相关, 向量组432,,a a a 线性无关, 证明 (1) 1a 能由32,a a 线性表示; (2) 4a 不能由321,,a a a 线性表示.证明（1）因432ααα,,线性无关，故32,αα线性无关，而321ααα,,线性相关，从而1α能由32αα,线性表示；（2）用反证法. 假设4α能由321ααα,,线性表示，而由（1）知1α能由32αα,线性表示，因此4α能由32αα,表示，这与432ααα,,线性无关矛盾.证毕.课堂练习1. 试证明:(1) 一个向量α线性相关的充要条件是0=α; (2) 一个向量α线性无关的充分条件是0≠α;(3) 两个向量βα,线性相关的充要条件是βαk =或者αβk =（两式不一定同时成立）。
线性代数 第二章 N维向量 第2节
有 =-41 +52 3
所以是1 , 2 , 3的线性组合。
二、向量组的线性相关与线性无关
定义9
如果对给定向量组A： 1,2 , s ,
存在不全为零的实数 k1, k2 ,ks 使得
k11 k22 kss 0 (1) 则称向量组1,2 , s 线性相关；
即
2kk1 14kk22
k3 14k3
0
0
3k1
k2
7k3
0
11 1
因为其系数行列式 D= 2 4 14 0
31 7
于是方程组有非零解，即有不全为零的数使(*)成立
所以1 ,2 ,3 , 线性相关。
定理 n个n维向量 1 ,2 , n 线性相关的充要
A 0
a1i
其中
i
a 2i
（2） 若向量组 1 ,2 , m , 线性相关，
则向量组 1,2 , m 也线性相关。
证明 （1）反证 假设 1, 2 , m , 线性相关，
则存在不全为零的数 k1 , k2 ,km 使得
k11 k22 kmm 0
即
a11
a21
am1 0
k1
a12
a1r 1
k2
所以由定理知：
m 可由 2, 3, m1 线性表示，即 m k22 k33 km1m1
也即 m 0 1 k22 k33 km1m1 因此 m 可由 1, 2, m1 线性表示。
证（2）用反证法 假设 1 可由 2 , 3, m
线性表示，即
1 22 33 m1 m1 mm
向量组 B 线性相关，这与已知矛盾。 于是向量组 A 线性无关。
线性代数中的向量线性相关性判定方法
线性代数中的向量线性相关性判定方法在线性代数中，向量的线性相关性判定是一个非常重要的概念。
它涉及到向量的线性组合，矩阵的行列式和秩等基础概念，同时也是一些高级数学分支如线性变换、矩阵理论、统计分析等学科的基础。
本文将结合实例来探讨向量线性相关性判定方法。
一. 向量的线性组合首先，我们来了解什么是向量的线性组合。
假设有n个向量${v_1,v_2,...,v_n}$，并且有标量$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$，则我们可以将它们进行线性组合，得到如下形式的向量：$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+...+\alpha_n v_n$其中，$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$是标量。
这个过程中，我们只是简单地将每一个向量按照一定的比例进行加权求和。
二. 向量的线性相关性如果存在不全为零的标量$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$，使得$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+...+\alpha_n v_n=0$则称向量${v_1,v_2,...,v_n}$是线性相关的。
反之，如果不存在这样的标量，则称向量${v_1,v_2,...,v_n}$是线性无关的。
三. 判断向量线性相关性的方法在对向量线性相关性进行判断时，我们通常会采用以下三种方法：行列式法、秩法和高斯消元法。
1. 行列式法行列式法判断线性相关性是通过构造一个矩阵来进行的。
将向量$v_1,v_2,...,v_n$作为列向量组成的矩阵记为A，则我们可以写出以下等式：$A\alpha=0$，其中$\alpha$表示与向量$v_1,v_2,...,v_n$对应的标量。
对于向量$v_1,v_2,...,v_n$，如果$\det(A)=0$，则向量是线性相关的；如果$\det(A)\neq0$，则向量是线性无关的。
例如，我们来看以下两个向量：$v_1=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$，$v_2=\begin{bmatrix}-2\\3\end{bmatrix}$将它们组成的矩阵写为：$A=\begin{bmatrix}1\quad-2\\2\quad3\end{bmatrix}$然后我们计算$\det(A)$，得到：$\det(A)=1\times3-(-2)\times2=7\neq 0$因此，向量$v_1,v_2$是线性无关的。
线性代数向量组线性相关性的判别定理
例1 讨论下列向量组的线性相关性：
1.1 1,2T ,2 3,5T 2.1 1,0,0T ,2 0,1,0T ,3 0,0,1T ,4 1,2,4T
3.1 2,3,1,0T ,2 1,2,5,7T ,3 5,8,7,7T , 4.1 1,0,0,2T ,2 0,1,0,1T ,3 0,0,1,4T
3.3线性相关性的判别定理
内容：4个定理
定理1 若向量组 A：1,2, ,r 线性相关,则向量组
B :1, ,r ,r1 ,m 也线性相关.(部分相关，则整体相关）
反言之,若向量组B 线性无关,则向量组A也线性无关.
证明 向量组 A：1,2, ,r 线性相关,
不全为零的数 k1, k2, , kr ，使得k11 k22 krr 0 即为 k11 k22 krr 0r1 0m 0
向量组B : j a1 j
a2 j
arj
T
ar1, j ,
( j 1,2, , m),
若向量组
A：1,2 ,
,
线性无关
m
,
则向量组
B：1
,
2
,
,
也线性无关
m
.
（逆否命题，若向量组 B线性相关,则向量组A也线性相关 .）
推论： r维向量组的每个向量添上n-r个分量，成为n维向量组 若r维向量组线性无关， 则n维向量组也线性无关。
(2) 用反证法 假设 a4 能由 a1 , a2 , a3 表示 ，
而由 (1) 知 a1 能由 a2 , a3 表示 ， 因此 a4 能由 a2 , a3 线性表示 ， 这与 a2 , a3 , a4 线性无关矛盾 .
p1 pn是自然数1 n某个排列，则向量组A与B有相同的线性相关性
线性代数3.3向量组线性相关性的判别定理
线性代数3.3向量组线性相关性的判别定理线性代数是数学中的一个分支，它研究向量空间和线性映射等代数结构的性质和规律。
在线性代数中，向量组的线性相关性是一项基本概念。
本文将介绍向量组线性相关性的判别定理。
在数学中，如果存在一组非零向量$\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n$以及一组不全为零的标量$k_1,k_2,\cdots,k_n$，使得向量组的线性相关性判别定理是指，存在一个简单的方法，可以判断一个向量组是否是线性相关的。
推论：零向量不参与线性相关性的判断但是，如果向量组中包含了零向量，那么零向量不参与线性相关性的判断。
因为任何向量与零向量的线性组合都等于零向量，所以如果向量组中包含了零向量，只有当其他向量出现线性相关性时，才能称向量组是线性相关的。
证明：因为$k_1,k_2,\cdots,k_n$中至少有一个不为零，不妨设$k_1$不为零。
则有因此，向量$\boldsymbol{v}_1$可以表示为其余向量的线性组合。
$$\boldsymbol{v}_i=k_1\boldsymbol{v}_1+k_2\boldsymbol{v}_2+\cdots+k_{i-1}\bold symbol{v}_{i-1}+k_{i+1}\boldsymbol{v}_{i+1}+\cdots+k_n\boldsymbol{v}_n$$将上式代入得到总结向量组的线性相关性是线性代数中的一个重要概念，它与矩阵的秩、行列式、特征值等有密切的关联。
在实际应用中，判断向量组的线性相关性是很有用的，例如在计算机图形学、信号处理、机器学习等领域中，经常需要对向量组进行操作和分析。
通过本文所介绍的向量组线性相关性的判别定理，我们可以更方便地应用向量空间理论解决实际问题。
判断是否为线性相关的方法
线性代数复习总结大全向量β可由n ααα,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121T T n T T T n T T r r βαααααα=判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设n k k k ....21，求n k k k ....21（适合维数低的）2、向量间关系法183P ：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关3、分量法（n 个m 维向量组）180P ：线性相关（充要）nr T n T T <⇒)....(21ααα线性无关（充要）nr T n T T =⇒)....(21ααα推论①当m=n 时，相关，则0321=T T T ααα；无关，则0321≠TT T ααα②当m<n 时，线性相关推广：若向量s ααα,...,21组线性无关，则当s 为奇数时，向量组13221,...,αααααα+++s 也线性无关；当s 为偶数时，向量组也线性相关。
定理：如果向量组βααα,,...,21s 线性相关，则向量β可由向量组s ααα,...,21线性表出，且表示法唯一的充分必要条件是s ααα,...,21线性无关。
极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的，但他们所含向量的个数是确定的；不全为零的向量组的极大无关组一定存在；无关的向量组的极大无关组是其本身；向量组与其极大无关组是等价的。
齐次线性方程组（I ）解的结构：解为...,21αα（I ）的两个解的和21αα+仍是它的解；（I ）解的任意倍数αk 还是它的解；（I ）解的线性组合s s c c c ααα+++....2211也是它的解，s c c c ,...,21是任意常数。
非齐次线性方程组（II ）解的结构：解为...,21μμ（II ）的两个解的差21μμ-仍是它的解；若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解，v 是其导出组AX=O 的一个解，则u+v 是（II ）的一个解。
定理：如果齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(，则该方程组的基础解系存在，且在每个基础解系中，恰含有n-r个解。
高等代数第二版课件§3.3线性相关性
线性相关性可以用于研究几何图形中的向量、线性变换和线性子空间等概念。例如，在 解析几何中，线性相关性可以帮助我们分析平面或空间中的直线、平面和曲面之间的关
系。
在线性方程组中的应用
总结词
线性相关性在解决线性方程组问题中起 着关键作用，它可以提供有效的算法和 技巧来求解线性方程组。
VS
详细描述
03
在学习过程中，我们需要注意线性相关与线性无关的区别。线性相关表示向量 之间存在某种依赖关系，而线性无关则表示向量之间相互独立。理解这两种关 系对于深入理解高等代数的其他概念非常重要。
线性无关性的总结
01
线性无关性是高等代数中的另一个重要概念，它描述了向 量之间的独立关系。在本章中，我们学习了线性无关的定 义、性质以及判定方法。线性无关的应用也十分广泛，例 如在向量空间的基底、矩阵的秩等概念中都有涉及。
2
如果向量组中任何一个向量可以由其他向量线性 表示，则该向量组线性相关。
3
如果向量组的秩小于向量的个数，则该向量组线 性相关。
向量线性无关的推论
如果向量组中的部分向量线性相关，则整个向 量组也线性相关。
如果向量组中增加一个线性相关的向量，则整 个向量组也线性相关。
如果向量组中增加一个线性无关的向量，则整 个向量组不一定线性无关。
04
线性无关性的概念
向量线性无关的定义
01
向量线性无关的定义：如果向量组中的向量个数大 于向量的维数，则该向量组线性无关。
02
线性无关的向量组中任意向量不能由其他向量线性 表示。
03
线性无关的向量组具有唯一性，即如果存在两个线 性无关的向量组，则它们是等价的。
向量线性无关的判定定理
1
线性代数线性相关性判定定理
（A）1,2 , ,m 中有一零向量
（B）1,2 , ,m 中任意两个向量的分量成比例
（C）1,2 , ,m 中有一向量是其余向量的
线性组合
（D）1,2 , ,m 中任意一个向量是其余向
量的线性组合
例2 若向量组 1,2 , ,m 线性相关，则 1
是其余向量的线性组合，这种说法对吗？ 不对
§3.3 线性相关性判定定理
定理1 向量组1,2 ,,m（当m 2 时）线性相关
的充分必要条件是 1 ,2 ,,m中至少有一个向
量可由其余 m 1个向量线性表示．
证明 充分性
设 a1 , a2 ,, am 中有一个向量（比如 am）
能由其余向量线性表示. 即有
am 11 22 m1m1
因 由1,2 , ,m 唯一的线性表示
所以 k1 l1 l1, k2 l2 l2 , , km lm lm 所以 k1 0, k2 0, , km 0
即1,2 , ,m 线性无关
所以此命题为真命题
定理3 若向量组 1 , 2 , , r 线性相关 , 则增加
若干个向量后所得的向量组
余向量线性表示
例8 设向量组 1,2 ,3 线性相关，向量组2 ,3 ,4
线性无关，问
1能否由 2 ,3 线性表示？证明你的结论
解能
因为 2,3,4 线性无关，
整体无关则部分无关
所以 2 ,3 线性无关 而 1,2 ,3 线性相关 由定理2，1可唯一的由 2 ,3 线性表示
定义1 在 m n 矩阵 A中任取 k 行 k 列（k m,
k11 k22
k1 k
1
k2 k
2
krr k
kr k
r
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所以 k1 l1 l1 , k2 l2 l2 , , km lm lm 所以 k1 0, k2 0, , km 0
即1 ,2 , ,m 线性无关
所以此命题为真命题
定理3 若向量组 1 , 2 , , r 线性相关 , 则增加
若干个向量后所得的向量组
3 1
m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有Cmk • Cnk 个.
定理4
设n维行向量组A：1T
例如 1 (1, 0, 0), 2 (0,1, 0), 3 (0, 2, 0)
由于 01 22 3 0
所以线性相关
但 1 不能写成其余向量的线性组合
例3 假定 能用 1 ,2 , ,m 表示为
k11 k22 kmm
问向量组 1,2 , ,m , 是否线性相关？
由定理1知 1,2 , ,m , 线性相关
不妨设 k1 0,则有
1
k2 k1
2
k3 k1
3
km k1
m .
即 1 能由其余向量线性表示.
定理1的逆否命题
向量组 1,2 ,,（m 当m 2 时）线性无关
的充分必要条件是 1 ,2 ,,m中任何一个向
量都不能由其余 m 1个向量线性表示．
例1 向量组 1 ,2 , ,m (m 2) 线性相关的充
例6 命题：设 可由 1 ,2 , ,m 线性表示， 且表示法唯一，则 1 ,2 , ,m 线性无关。是
否为真命题？
证 由已知 可由 1 ,2 , ,m 线性表示
存在一组数 l1 , l2 , , lm 使得
l11 l22 lmm 设 k11 k22 kmm 0
两式相加得
(k1 l1 )1 (k2 l2 )2 (km lm )m
1
2 , , r
, r1,
,m
也线性相关。
证 因为 1,2 , ,r 线性相关
故存在一组不全为零的数 k1 , k2 , , kr
使 k11 k22 krr 0
从而
k11 k22 krr 0 r1 0 m 0
其中 k1 , k2 , , kr , 0, , 0 不全为零
所以 1 ,2 , ,r ,r1, m 线性相关
定理2的逆否命题
设向量组A：1,2 , ,r 线性无关，而向量β不能 由向量组A线性表示，则向量组B：1,2 , ,r ,
线性无关。
例4 设 1 ,2 , ,m 是一组n维向量，则下列结
论正确的是
（A）如果存在不全为零的数 k1 , k2 , , km 使
k11 k22 kmm 0
则 1 ,2 , ,m 线性无关 （B）若向量组1 ,2 , ,m 线性相关，
则m 可由其余向量线性表示
（C）向量组 1 ,2 , ,m线性无关的充要条件是
1 不能由其余m－1个向量线性表示。
（D）若 1 ,2 , ,m不线性相关，则一定线性无关
例5 命题：如果1 ,2 , ,m 线性无关，且 不能由 1 ,2 , ,m 线性表示则 1,2 , ,m ,
线性无关。是否为真命题？ 答 此命题为定理2 的逆否命题，所以为真命题
部分相关则整体相关 整体无关则部分无关
例7 n维向量组1 ,2 , ,m 线性无关的充要条件是
（A）存在一组不全为零的数 k1 , k2 , , km
使 k11 k22 kmm 0
（B）1 ,2 , ,m 中任意两个向量均线性无关
（C）1 ,2 , ,m中存在一个向量不能由其余
向量线性表示
定理2 设向量组 A : 1 , 2 , , r 线性无关 , 而向量 组 B : 1 , , r , 线性相关 , 则向量 必能由向量组
A线性表示 , 且表示式是唯一的 .
证 设 k11 k22 krr k 0
∵Ａ线性无关，而向量组Ｂ线性相关，
∴k≠０，（否则与Ａ线性无关矛盾）
即有
定义1 在 m n 矩阵 A中任取 k 行 k 列（k m,
k n），位于这些行列交叉处的个 k 2 元素,不改 变它们在 A中所处的位置次序而得的k阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式.
例如
A
1 2 2 3
1 1 3
6
2 1 1 9
1 1 1 7
4 2
பைடு நூலகம்
2 9
1 D
1
是A的一个二阶子式
故 11 22 m1 m1 1am 0 因 1 , 2 ,, m1 , 1 这 m个数不全为0，
故 1 ,2 ,,m线性相关.
必要性 设 1 ,2 ,,m线性相关，
则有不全为0的数 k1 , k2 ,, km , 使
k11 k22 kmm 0.
因 k1 , k2 ,, km中至少有一个不为0，
要条件是
（A）1 ,2 , ,m 中有一零向量
（B）1 ,2 , ,m 中任意两个向量的分量成比例
（C）1 ,2 , ,m 中有一向量是其余向量的
线性组合
（D）1 ,2 , ,m 中任意一个向量是其余向
量的线性组合
例2 若向量组 1 ,2 , ,m 线性相关，则 1
是其余向量的线性组合，这种说法对吗？ 不对
§3.3 线性相关性判定定理
定理1 向量组1,2 ,,m（当m 2 时）线性相关
的充分必要条件是 1 ,2 ,,m中至少有一个向
量可由其余 m 1个向量线性表示．
证明 充分性
设 a1 , a2 ,, am 中有一个向量（比如 am）
能由其余向量线性表示. 即有
am 11 2 2 m1 m1
k11 k22
k1 k
1
k2 k
2
krr k
kr k
r
∴β可由Ａ线性表示.
下证唯一性：
设 11 22 rr ;
11 22 rr
两式相减有
1 1 1 2 2 2 r r r 0
∵Ａ线性无关， 1 1 0,2 2 0, r r 0
1 1,2 2 , r r 即表达式唯一.
（D）1 ,2 , ,m中任意一个向量都不能用其
余向量线性表示
例8 设向量组 1 ,2 ,3 线性相关，向量组2 ,3 ,4
线性无关，问
1能否由 2 ,3 线性表示？证明你的结论
解能
因为 2 ,3 ,4 线性无关，
整体无关则部分无关
所以 2 ,3 线性无关 而 1 ,2 ,3 线性相关 由定理2，1可唯一的由 2 ,3 线性表示