线性代数线性相关性判定定理

故 11 22 m1 m1 1am 0 因 1 , 2 ,, m1 , 1 这 m个数不全为0，
故 1 ,2 ,,m线性相关.
必要性 设 1 ,2 ,,m线性相关，
则有不全为0的数 k1 , k2 ,, km , 使
k11 k22 kmm 0.
因 k1 , k2 ,, km中至少有一个不为0，
不妨设 k1 0,则有
1
k2 k1
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k3 k1
3
km k1
m .
即 1 能由其余向量线性表示.
定理1的逆否命题
向量组 1,2 ,,（m 当m 2 时）线性无关
的充分必要条件是 1 ,2 ,,m中任何一个向
量都不能由其余 m 1个向量线性表示．
例1 向量组 1 ,2 , ,m (m 2) 线性相关的充
则m 可由其余向量线性表示
（C）向量组 1 ,2 , ,m线性无关的充要条件是
1 不能由其余m－1个向量线性表示。
（D）若 1 ,2 , ,m不线性相关，则一定线性无关
例5 命题：如果1 ,2 , ,m 线性无关，且 不能由 1 ,2 , ,m 线性表示则 1,2 , ,m ,
线性无关。是否为真命题？ 答 此命题为定理2 的逆否命题，所以为真命题
§3.3 线性相关性判定定理
定理1 向量组1,2 ,,m（当m 2 时）线性相关
的充分必要条件是 1 ,2 ,,m中至少有一个向
量可由其余 m 1个向量线性表示．
证明 充分性
设 a1 , a2 ,, am 中有一个向量（比如 am）
能由其余向量线性表示. 即有
am 11 2 2 m1 m1
要条件是
（A）1 ,2 , ,m 中有一零向量
（B）1 ,2 , ,m 中任意两个向量的分量成比例
（C）1 ,2 , ,m 中有一向量是其余向量的
线性组合
（D）1 ,2 , ,m 中任意一个向量是其余向
量的线性组合
例2 若向量组 1 ,2 , ,m 线性相关，则 1
是其余向量的线性组合，这种说法对吗？ 不对
定理2 设向量组 A : 1 , 2 , , r 线性无关 , 而向量 组 B : 1 , , r , 线性相关 , 则向量 必能由向量组
A线性表示 , 且表示式是唯一的 .
证 设 k11 k22 krr k 0
∵Ａ线性无关，而向量组Ｂ线性相关，
∴k≠０，（否则与Ａ线性无关矛盾）
即有
k11 k22
k1 k
1
k2 k
2
krr k
kr k
r
∴β可由Ａ线性表示.
下证唯一性：
设 11 22 rr ;
11 22 rr
两式相减有
1 1 1 2 2 2 r r r 0
∵Ａ线性无关， 1 1 0,2 2 0, r r 0
1 1,2 2 , r r 即表达式唯一.
定理2的逆否命题
设向量组A：1,2 , ,r 线性无关，而向量β不能 由向量组A线性表示，则向量组B：1,2 , ,r ,
线性无关。
例4 设 1 ,2 , ,m 是一组n维向量，则下列结
论正确的是
（A）如果存在不全为零的数 k1 , k2 , , km 使
k11 k22 kmm 0
则 1 ,2 , ,m 线性无关 （B）若向量组1 ,2 , ,m 线性相关，
1
2 , , r
, r1,
,m
也线性相关。
证 因为 1,2 , ,r 线性相关
故存在一组不全为零的数 k1 , k2 , , kr
使 k11 k22 krr 0
从而
k11 k22 krr 0 r1 0 m 0
其中 k1 , k2 , , kr , 0, , 0 不全为零
所以 1 ,2 , ,r ,r1, m 线性相关
例6 命题：设 可由 1 ,2 , ,m 线性表示， 且表示法唯一，则 1 ,2 , ,m 线性无关。是
否为真命题？
证 由已知 可由 1 ,2 , ,m 线性表示
存在一组数 l1 , l2 , , lm 使得
l11 l22 lmm 设 k11 k22 kmm 0
两式相加得
(k1 l1 )1 (k2 l2 )2 (km lm )m
（D）1 ,2 , ,m中任意一个向量都不能用其
余向量线性表示
例8 设向量组 1 ,2 ,3 线性相关，向量组2 ,3 ,4
线性无关，问
1能否由 2 ,3 线性表示？证明你的结论
解能
因为 2 ,3 ,4 线性无关，
整体无关则部分无关
所以 2 ,3 线性无关 而 1 ,2 ,3 线性相关 由定理2，1可唯一的由 2 ,3 线性表示
3 1
m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有Cmk • Cnk 个.
定理4
设n维行向量组A：1T
部分相关则整体相关 整体无关则部分无关
例7 n维向量组1 ,2 , ,m 线性无关的充要条件是
（A）存在一组不全为零的数 k1 , k2 , , km
使 k11 k22 kmm 0
（B）1 ,2 , ,m 中任意两个向量均线性无关
（C）1 ,2 , ,m中存在一个向量不能由其余
向量线性表示
例如 1 (1, 0, 0), 2 (0,1, 0), 3 (0, 2, 0)
由于 01 22 3 0
所以线性相关
但 1 不能写成其余向量的线性组合
例3 假定 能用 1 ,2 , ,m 表示为
k11 k22 kmm
问向量组 1,2 , ,m , 是否线性相关？
由定理1知 1,2 , ,m , 线性相关
定义1 在 m n 矩阵 A中任取 k 行 k 列（k m,
k n），位于这些行列交叉处的个 k 2 元素,不改 变它们在 A中所处的位置次序而得的k阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式.
例如
A
1 2 2 3
1 1 3
6
2 1 1 9
1 1 1 7
4 2
2 9
1 D
1
是A的一个二阶子式
因 由1 ,2 , ,m 唯一的线性表示
所以 k1 l1 l1 , k2 l2 l2 , , km lm lm 所以 k1 0, k2 0, , km 0
即1 ,2 , ,m 线性无关
所以此命题为真命题
定理3 若向量组 1 , 2 , , r 线性相关 , 则增加
若干个向量后所得的向量组