陕西省南郑中学高一数学课件：北师大版必修四18函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(共23张PPT)

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陕西省西安市第一中学北师大版高中数学必修4教案：1.8函数y=Asin(ωx φ)的图像和性质(第2课时)

§8.2 函数)sin(ϕω+=x A y 的图像 (第二课时)一、教学目标1.知识与技能：通过“五点作图法”正确找出函数y ＝sin x 到y ＝sin(ωx+ϕ) 的图像变换规律，能用五点作图法和图像变换法作出函数y ＝Asin(ωx+ϕ)的简图．2.过程与方法通过引导学生对函数y ＝sin x 到 y ＝sin(ωx+ϕ)的图像变换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂，特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图像变换这一难点的突破，让学生体会解决问题的基本思想方法．3.情感态度与价值观通过对问题的自主探究，培养学生独立思考的能力，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观．二、教材分析本节课是在学习了函数y ＝Asin x ， y ＝sin(x+φ)和y=sin ωx 的图像与正弦曲线的变换关系后，进一步研究函数y ＝Asin(ωx+ϕ)的图像与正弦曲线的变换关系，并通过图像的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图像变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映．三、重、难点重点是：倡导学生自主探究，在教师的引导下，通过五点作图法正确找出函数y ＝sin x 到y ＝sin(ωx+ϕ)的图像变换规律．难点是：对周期变换、相位变换先后顺序的调整将影响图像平移量的理解，因此，分析清楚不管哪种顺序变换，都是对一个字母x 而言的变换成为突破口.四、教学方法与手段创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流等过程，获得情感、能力、知识的全面发展．突出体现以学生能力的发展为主线，应用启发式、讲述式引导学生层层深入，培养学生自主探索以发现问题、分析问题和解决问题的能力，实现数学知识价值、思维价值和人文价值的高度统一．五、教学过程（一）、创设情境问题1：如何由函数y ＝sin x 的图像通过变换得到函数y ＝3sinx 、 y ＝sin2x 和 y ＝sin(x+6π)的图像？解析：分别把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）；横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）；向左平行移动6π个单位长度得到的．（二）、探究新课问题2：如何由函数y ＝sin 2x 的图像通过变换得到函数y ＝sin(2x+6π)的图像？（1）学生会猜想“左移6π个单位长度”，为了验证自己的想法，通过“五点作图法”画图分析，最后会发现猜想是错误的．分析:利用特殊点坐标、寻求x 变化：引导学生分析函数y ＝sin 2x 和y ＝sin(2x +6π)在一个对应的周期内，y 取同一数值如：x 分别取12π，6π，因此首先确定是左移12π个单位长度，其根本原因是x 变成了x+12π．（2）进一步探求函数y ＝sin x 到y ＝sin(ωx +ϕ)的图像变换规律，分步探求函数：①y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx +ϕ)②y ＝sin(x +ϕ)到y ＝sin(ωx +ϕ)的图像变换规律．学生易出错的是理解①y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx +ϕ)的图像变换规律，关注 x 的变化，把 ωx +ϕ 变形为ω(x φω+)，看清是把x 变成了x φω+ 就是解决问题的关键点．巩固练习1：把函数y ＝sin 2x 的图像向平移个单位长度得到函数y ＝sin(2x －3π)的图像．把函数y ＝sin 3x 的图像向平移个单位长度得到函数y ＝sin(3x ＋6π)的图像．问题3：如何由函数y ＝sin(x+6π)的图像通过变换得到函数y ＝sin(2x+6π)的图像？在问题2得以充分解决的前提下，此问题迎刃而解．问题4：如何由函数y ＝sin x 的图像通过变换得到函数y ＝sin(2x+6π)的图像？设计意图：通过实例综合以上两种变换，重点是比较两种方法平移量的区别和导致这一现象的根本原因，即x 的变化，并由此导出一般规律．方法有二：①先平移变换再周期变换先把函数y ＝sin x 的图像向左平移6π个单位长度， x 变成了x +6π，得到y ＝sin(x +6π)的图像；再把所得图像横向收缩为原来的12，x 变成了2x ，得到y ＝sin(2x +6π)的图像． ②先周期变换再平移变换先把函数y ＝sin x 的图像横向收缩为原来的12，x 变成了2x ，得到y ＝sin 2x 的图像；再把所得图像向左平移12π个单位长度，x 变成了x +12π，得到y ＝sin2(x +12π)＝sin(2x +6π)的图像．巩固练习2如何由函数y ＝sin(2x+6π)的图像通过变换得到函数y ＝sin x 的图像？问题5：如何由函数y ＝sin x 的图像通过变换得到函数y ＝3sin(2x+6π)+1的图像？问题6：如何由函数y ＝sin x 的图像通过变换得到函数y ＝Asin(ωx+ϕ)的图像？总结得出一般变换方法：（三）、课堂小结（由学生小结，教师补充、规范）：本节课主要学习了通过“五点作图法”正确找出函数y＝sin x到y＝sin(ωx+ϕ)和y＝Asin(ωx+ϕ)的图像变换规律．正确理解周期变换、相位变换顺序改变后，图像平移的规律．体现了数形结合、逆向思维在数学学习中的作用。

陕西省西安市第一中学北师大版高中数学必修4教案：1.8函数y=Asin(ωx φ)的图像和性质(第1课时)

§8.1 函数)sin(ϕω+=x A y 的图像（第一课时）一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解三个参数A 、ω、φ对函数y ＝Asin x ， y ＝sin(x+φ)和y=sin ωx 图像的影响；（2）揭示函数y ＝Asin x ， y ＝sin(x+φ)和y=sin ωx 的图像与正弦曲线的变换关系。

2.过程与方法：（1）增强学生的作图能力；(2)通过探究变换过程，使学生掌握从特殊到一般，从具体到抽象的化归思想方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃(3)在难点突破环节，培养学生全面分析、抽象、概括的能力。

3.情感态度、价值观：通过对曲线的伸缩、平移等变换，体会三角形函数曲线的平滑，流畅美，在自主探究的过程中，培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识。

二、教材分析本节课是在前面学习了正弦函数和余弦函数的图像和性质的基础上对正弦函数图像的深化和拓展，由此进一步理解sin()y A x ωϕ=+与sin y x =的图像间的变换关系，教材通过例1，例2，例3分别讨论了函数y=Asinx,y=sin(x+φ),y=sin ωx 与函数y=sinx 的关系，归纳分析出参数对图像的影响。

这样设计是为了给学生提供观察问题的视角，希望学生能感受参数对函数图像的影响，在此基础上，再利用函数的图像，进一步讨论所给函数的其他性质，经过这样的过程，最后抽象概括出从函数y=sinx 的图像到函数y=Asinx 的图像，或从函数y=sinx 的图像到函数y=sin(x+φ)的图像，或从函数y=sinx 的图像到函数y=sin ωx 的图像所需的图像变换的步骤。

可以看出，教材采用了有简单到复杂的设计，较完整地体现了图形的压缩变换、平移变换过程，是对一般图像变换内容的补充和复习，是函数图象伸缩、平移变换的特例。

同时本节的课标要求是结合具体实例，能利用五点法画出函数y ＝Asin x ， y ＝sin(x+φ)和y=sin ωx 的图像，并观察参数A ，φ，ω对函数图像变化的影响，同时结合具体函数图像的变化，使学生领会由简单到复杂，特殊到一般的化归思想，本节知识是学习函数图像变换综合应用的基础，在教材地位上显得十分重要，因此这节课的内容是本章的重点、难点之一。

高一数学北师大版必修4课件1.8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质

1 5
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究一图像变换
图像变换有两个途径 :途径一 :先相位变换,再周期变换;途径二 :先周期变换,再相位变换. 【典型例题 1】写出函数 y=2sin 3�� +
π 4
+1 的振幅、周期和初相,并
说明函数的图像可以由正弦曲线 y=sin x 经过怎样的变换得到. 思路分析:由 y=sin x 的图像变换到 y=Asin(ωx+φ)+k 的图像有两种变换方法,即先进行相位变换,再进行周期变换,或先进行周期变换,再进行相位变换.
π 4
+1.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
(2)先进行周期变换,再进行相位变换 : y=sin x y=sin 3�� +
π 4
y=sin 3x
y=2sin 3�� + y=2sin 3�� +
π 4
π 4
+ 1.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
点评在三角函数的图像变换中,先平移变换后伸缩变换与
探究四
探究五
解:∵ y=3sin
π �� 3 2
=-3sin
�� π 2 3
,
�� π 2 3
∴ 求原函数的递增区间,即求函数 y=sin 由 2kπ+ ≤ − ≤2kπ+ (k∈ Z), 得 4kπ+ ≤x≤4kπ+ ∴ y=3sin
π �� 3 2 5π 3 11π (k∈Z). 3 π 2 �� 2 π 3 3π 2

2017-2018学年高一数学北师大版必修4课件：第1章 §8

π kπ＋2(k∈Z) 由 ωx＋φ＝___________ 求得
ωx＋φ＝kπ(k∈Z) 求得由_________________
π π 2kπ－2 2kπ＋2 递增区间由__________ ≤ωx＋φ≤_________ (k∈Z)求得； 3 π 2kπ＋2π (k∈Z)求得 2kπ＋2 ≤ωx＋φ≤________ 递减区间由_________
π π 5 ＋2(k∈Z)，∴kπ＋8≤x≤kπ＋8π(k∈Z)， ∴函数
3π π 5π y＝sin2x－ 4 的单调递增区间为kπ＋8，kπ＋ 8 ，k∈Z.
(3)根据
3π y＝sin2x－ 4 ，列表如下：
x
0
π 8
3π 5π 7π 8 8 8 0 1 0
[再练一题] 2．求函数
3π y＝sin 4 －2x的单调区间．
【解】
3π 3π ∵y＝sin 4 －2x＝－sin2x－ 4 ， 3π y＝sin2x－ 4 的单调区间相反．
∴原函数的单调区间与
π 3π π 由－2＋2kπ≤2x－ 4 ≤2＋2kπ(k∈Z)，得
4π.(
) ) )
是偶函数．(
π 的一条对称轴为 x＝6.(
2π 【解析】由 y＝Asin(ωx＋φ)的性质，故(1)(3)(4)均正确． (2)中， T＝ 1 ＝6π， 3 因而(2)错．
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√
[小组合作型]
函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值问题
求函数 y＝
单调性
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
1 1 π 1 (1)函数 y＝2sin2x－6，x∈R 的值域为－2，2.(

北师大版数学高一必修4教学案1.8.1函数y=Asin(ωxφ)的图像的画法

答案：
6．已知f(x)＝1＋ sin(2x－ )，画出f(x)在x∈ 上的图像．
解∵－ ≤x≤ ，∴－π≤2x≤π
∴－ π≤2x－ ≤ π
(1)列表如下：
x
－
－
－
2x－
－ π
－π
－
0
π
f(x)
2
1
1－
1
1＋
2
(2)描点连线成图，如图所示
一、选择题
1．函数y＝2sin(－2x＋ )的相位和初相分别是()
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：选A函数y＝cos 可化为y＝sin[ ＋ ]＝sin .要想得到函数y＝sinx的图像，只需将函数y＝sin(x＋ )的图像向右平移个单位长度．
4．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图像如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|< ，则()
解：sin(2ωx＋φ)，再向左平移个单位长度，得到y＝Asin ，即y＝Asin(2ωx＋ωπ＋φ)＝ sinx.
由两个代数式恒等，得 ⇒
∴f(x)＝ sin( x－ )＝－ cos .
法二：将y＝ sinx的图像向右平移个单位长度，得到y＝ sin(x－ )的图像，再把y＝ sin(x－ )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝ sin( x－ )，即y＝－ cos x的图像，故所求函数解析式为f(x)＝－ cos .
第一步：列表
x
－
－
－
－
－
ωx＋φ
0
π
2π
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，即得图像．

高中数学北师大版必修四《1.8函数y=asin(ωx+φ)的图像》课件

• [规律总结] 依图求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的难点，在于确定初相φ，其基本方法是利用特殊点，通过待定系数法、逐一定参法或图像变换法来求解．
已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的一部分图像如图所示，如果 A>0，ω>0，|φ|<π，则( )
2
A．A＝4 C．φ＝π6
B．ω＝1 D．B＝4
[答案]
2
π 3
[解析] 由原函数的最小正周期为 π，得到 ω＝2(ω>0)．又由 f(0)＝ 3且|φ|<π2得到 φ＝π3.
课堂典例讲练
• 五点法作y＝Asin(ωx＋φ)的图像
用五点法画出函数 y＝2sin2x＋π3的图像，并指出函数的单调区间．
[思路分析] 利用公式求周期，结合 y＝sinx 的图像上起关键作用的五个点(0,0)，(π2，1)，(π，0)，32π，－1，(2π，0)作出 y＝2sin(2x＋π3)的图像，由图像可求单调区间．
• 由函数解析式研究性质
已知函数 y＝3sin(12x－π4)． (1)求此函数的周期、振幅、初相； (2)求此函数的对称轴、对称中心、递增区间．
[规范解答] (1)周期 T＝2ωπ＝21π＝4π，振幅 A＝3，初相是 2
－π4. (2)由于 y＝3sin(12x－π4)是周期函数，通过观察图像可知，
2．A、ω、φ 的意义
函数 y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中 A>0，ω>0)，在这里常数
A 叫__振___幅_____，T＝2ωπ叫___周__期_____，f＝T1＝2ωπ叫___频__率_____， ωx＋φ 叫____相__位____，φ 叫____初__相____．
函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(其中 ω>0，A>0)的最大值为 2π

2019-2020高中北师版数学必修4第1章 §8 第1课时函数y=Asin(ωx+φ)的图像课件PPT

作是把 y＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩短(当 ω＞1 时)或伸长(当 0 1
＜ω＜1 时)到原来的__ω__倍(纵坐标不变)而得到的．
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思考 3：对于同一个 x，函数 y＝2sin x，y＝sin x 和 y＝12sin x 的函数值有何关系？
[提示] 对于同一个 x，y＝2sin x 的函数值是 y＝sin x 的函数值的 2 倍，而 y＝12sin x 的函数值是 y＝sin x 的函数值的12.
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1．函数 y＝2sin2x＋π5的周期、振幅依次是(
)
A．4π，－2
B．4π，2
C．π，2
D．π，－2
[答案] B
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2．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数 f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间π2，π单调递增；③f(x)在[ －π，π] 有 4 个零点；④f(x)的最大值为 2.
如图所示，由图可知函数 f(x)在[－π， π]只有 3 个零点，故③不正确；∵y＝sin|x| 与 y＝|sin x|的最大值都为 1 且可以同时取到， ∴f(x)可以取到最大值 2，故④正确．综上，正确结论的序号是①④.故选 C.
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法二：∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x) 为偶函数，故①正确，排除 B；当π2＜x＜π 时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在π2，π单调递减，故②不正确，排除 A；∵y＝sin |x|与 y＝ |sin x|的最大值都为 1 且可以同时取到，∴f(x)的最大值为 2，故④正确．故选 C.]
参数
作用

2017-2018学年高中数学北师大版必修四课件：第一章 §8 第1课时函数y=Asin(ωx+φ)的图像的画法

从而56π＋φ＝π，即 φ＝π6. 又点(0,1)在函数图像上，所以 Asin π6＝1，得 A＝2. 故函数 f(x)的解析式为 f(x)＝2sin2x＋π6.
由函数图像求解析式的一般解题方法是： (1)先根据图像的最高点和最低点，找到振幅，即求 A 的值；
(2)根据所给关键点确定函数周期，再利用周期公式 T＝求出ω的值；
答案：56π
6．已知 f(x)＝1＋ 2sin(2x－π4)，画出 f(x)在 x∈－π2，π2 上的图像．
解 ∵－π2≤x≤π2，∴－π≤2x≤π∴－54π≤2x－π4≤34π (1)列表如下：
x
－π2 －38π －π8
π 8
3π 8
π 2
2x－π4 －54 －π －π2 0
π 2
y＝sin x 的图像各点的纵坐标伸长为原来的 2 倍 y＝2sin x 横坐标不变
向右平移的图象
π 6
个单位长度 y＝2sin
x－π 6
的图像
各点的
1 横坐标缩短为原来的 2
y＝2sin 2x－π6 的图像向上平移 1 个
纵坐标不变
单位长度 y＝2sin 2x－π6 ＋1 的图像．
1．利用图像变换的方法画函数的图像，注意左右平移变换：一是平移的方向，可用“左加右减”来总结；二是平移量的确定．找自变量本身的变换量是关键．
解析：选 A 变换后的三角函数为 y＝cos(x＋1)，结合四个选项可得 A 选项正确．
3.(湖南高考改编)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) x∈R，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图像如图所示．求函数 f(x) 的解析式．
[尝试解答] 由题设图像知，周期 T＝21112π－51π2＝π，所以 ω＝2Tπ＝2，因为点51π2，0在函数图像上，所以 Asin2×51π2＋φ＝0，即 sin56π＋φ＝0. 又因为 0<φ<π2，所以56π<56π＋φ<43π.

高中数学(北师大必修四)优质课件 1.8 函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质(一)

像.(难点)
探究点1 振幅A对三角函数图像的影响
例1 作函数 y = 2sin x 和 y = 1 sin x 的简图，并
2
说明它们与函数y=sinx的关系.
解:（1）列表.
x
0
2
3 2
2
y= sin x 0
1
0
-1
0
y=2sin x 0
2
y= 1 sin x 2
0
1 2
0
-2
0
0
-1
0
2
（2）画图 y
探究点2 参数对函数y=Asin(x+)的影响
例2 画出函数y sin（x ）和y sin(x )的简图，并说明
4
6
它们与函数y sin x的关系.
采用类比法
解:(1)列表
（2）画图
1y
4
O
1 6
y sin(x ) 6
2
x
y sin(x π ) 4
从函数图像和解析式可以看出，把函数y sin x的图像向左平移个单位长 4
上的简图向左、右延拓就可以得到函数y 2sin x, y 1 sin x在R上的图像.
2
（4）讨论性质.
从图像上可看出，在区间0,
2上，函数y
2
sin
x在
0,
2
和
3 2
,
2
上是增加的，在
2
,
3 2
上是减少的；
函数y 2sin x与x轴交点的横坐标是0, ，2;
函数y 2sin x的值域是 2, 2，最大值是2，最小值是 2.
2
像上每个点的横坐标不变，而纵坐标缩短为原来的1 ，
2

高中数学第一章三角函数8第一课时函数y=Asinωx+φ的图像课件北师大版必修4

2x＋π4
0
y
0
π 3
8
π 2
π
3π 2
2π
2 0 －2 0
描点，连线，如图所示．
考点二三角函数的图像变换
[典例] 说明 y＝2sin2x＋π3的图像可由 y＝sin x 的
图像经过怎样的变换而得到．
[解] 把 y＝sin x 的图像上所有的点向左平移π3个单位长度，
得到 y＝sinx＋π3的图像，再把 y＝sinx＋π3的图像上所有
()
A．y＝cos 2x
B．y＝2cos 2x
C．y＝1＋sin2x＋π4
D．y＝1＋cos 2x
解析：选 D 将函数 y＝sin 2x 的图像向左平移π4个单位长度，
得到函数 y＝sin 2x＋π4，即 y＝sin2x＋π2＝cos 2x 的图像，再向上平移 1 个单位长度，所得图像的函数解析式为 y＝1 ＋cos 2x.
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动对身体不好哦~
[针对训练]
1．把函数 y＝f(x)的图像向左平移π4个单位长度，向下平移 1 个
单位长度，然后再把所得图像上每个点的横坐标伸长到原来
的 2 倍(纵坐标保持不变)，得到函数 y＝sin x 的图像，则 y＝
f(x)的解析式为
()
A．y＝sin2x－π4＋1 C．y＝sin12x＋π4－1
曲线 y＝sin x，x∈R 怎样变换得到？
2．将 y＝sin(x＋φ)(其中 φ≠0)的图像怎样变换，能得到 y＝sin x 的图像？
3. 函数 y＝sin ωx, x∈R（ω＞0 且 ω≠1）的图像，可由正弦曲线 y=sin x, x∈R 怎样变换得到？
二、归纳总结·核心必记 1．振幅变换 (1)在函数 y＝Asin x(A>0)中，A 决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称 A 为振幅． (2)对于函数 y＝Asin x(A>0，A≠1)的图像可以看作是把 y＝sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长(当 A>1 时)或缩短(当 0<A<1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到的． [点睛] 对于函数 y＝sin(ωx＋φ)与 y＝Asin(ωx＋φ)之间的图像变换称为振幅变换，它实质上是纵向的伸缩，只改变振幅，不改变周期及相位．

高一下学期数学说课稿(北师大版)：必修四 1.8《函数y=Asin(ωx+φ)的图象(第二课时)》

《函数y=Asin(ωx+φ)的图象(第二课时)》说课稿西安高新一中程霖我说课的内容是人教版／全日制普通高级中学教科书（必修）／第一册（下）第四章第九节《函数y=Asin(ωx+φ)的图象》第二课时．我将从教学理念、目标；教材分析及教学内容、过程；教法、学法；教学评价四个方面来陈述我对本节课的设计方案．一、教学理念、目标教学理念新的课程标准明确指出“数学是人类文化的重要组成部分，构成了公民所必须具备的一种基本素质．”其含义就是：我们不仅要重视数学的应用价值，更要注重其思维价值和人文价值．因此，创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，抓住各种教育契机，让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程，获得情感、能力、知识的全面发展．本节课力图打破常规，充分体现以学生为本，全方位培养、提高学生素质，实现课程观念，教学方式、学习方式、教学目标的转变．依据《课标》，根据本节课内容和学生的实际，我确定如下教学目标．教学目标［知识与技能］通过“五点作图法”正确找出函数y＝sin x与y＝sin(x+φ)、y＝sin(ωx+φ)和y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律，并能灵活运用，能举一反三地画出函数y＝Asin(ωx+φ)＋k和y＝Acos(ωx+φ)的简图．［过程与方法］通过引导学生对函数y＝sin x与y＝sin(x+φ) 、y＝sin(ωx+φ)和y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂，特殊到一般的化归的数学思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象变换这一难点的突破，让学生学会解决问题应抓住问题的主要矛盾．［情感态度与价值观］课堂中，通过对问题的自主探究，培养了学生自我独立意识和独立思考的能力；小组交流中，又学会了合作意识；解决问题的难点时，又培养了学生解决问题抓主要矛盾的思想，从而唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立了科学的人生观、价值观．二．教材分析、教学内容教材分析三角函数是中学数学的重要内容之一，它既是解决生产实际问题的工具，又是学习高等数学等学科的基础．本节课是在学习了任意角的三角函数，两角和与差的三角函数以及正、余弦函数的图象和性质后，进一步研究函数y＝Asin(ωx+φ)的简图的画法，由此揭示这类函数的图象与正弦曲线的关系，以及A、ω、φ的物理意义，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图象变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映．共3课时，这节课为第二课时．本节课倡导学生自主探究，因此，在教师的引导下，正确找出函数y＝sin x与y＝sin(x+φ) 、y＝sin(ωx+φ)和y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律是本节课的重点．难点是对周期变换、相位变换先后顺序调整后，对图象变换的影响．因此，分析清不管哪种顺序变换，都是对一个字母x而言的成为突破本节课教学难点的关键．教学过程1、设置情境首先，通过提问：问题（1）：如何由函数y＝sin x的图象通过图象变换得到y＝Asin x 和y＝sinωx的图象？引导学生回顾上节课所学知识，学生经过思考后，再借助大屏幕以填空题的形式清晰展现答案．既达到复习巩固的目的，又突出重点是变换的规律，即对A、ω的作用的理解，符合学生的认知特点．答案：一般地，y=Asin x，x∈R(其中A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍（横坐标不变）得到的．它的值域[－A, A]，最大值是A，最小值是－A．函数y=sinωx，x∈R (ω>0且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上1倍（纵坐标不所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω变）得到的．然后，通过提问：问题（2）：如何找到以上函数图象变换规律的？的设置，复习上节课的重点“五点作图法”并凸现找到变换规律的过程，从而从一开始就引导学生关注自己的学习过程，建立由特殊到一般，简单到复杂的数学思维模型，为本节课的学习奠基．2、探求、研究新的教学理念下，要勇于，更要善于把问题抛给学生，激发学生探求知识的强烈欲望和创新意识．首先，确定本节课的学习任务：找出函数y＝sin x与y＝sin(x+φ) 、y＝sin(ωx+φ)和y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律．第一步找出函数y＝sin x与y＝sin(x+φ)的图象变换规律．（1）基于上节课的学习，通过提问学生“要想解决提出的问题，应当如何研究？”启发学生搜索旧知，确定出研究问题的方法．从而培养学生分析问题、解决问题的能力．在确定出由特例出发，再归纳总结的研究方法后，引导学生自主探索，培养学生的独立意识，在学生通过“五点作图法”基本得到自己的结论后，引导学生小组交流讨论，培养学生的合作意识和合作能力，最后教师精确规范总结，并通过课件直观演示，充分体现学生的主体地位和教师的主导地位．一般地，函数y＝sin(x＋ϕ)，x∈R(其中ϕ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动｜φ｜个单位长度而得到．根据学生在记忆后的遗忘规律，我设计了2个练习题帮助学生及时巩固和升华．练习1：说出下列函数的图象分别由y＝sin x，x∈R的图象通过怎样的变换得到的？π) ，x∈R；（1）y＝sin(x＋4π) ，x∈R．（2）y＝sin(x－2练习2：填空题：在从函数y＝sin x ，x∈R到y＝sin(x+φ)，x∈R(其中ϕ≠0)的变换过程中，把x变换成了．通过此题，突显x的变换和点变换的过程，培养学生分析、概括、归纳意识和能力，并为解决本节课的难点奠定基础．第二步找出函数y＝sin x与y＝sin(ωx+φ)的图象变换规律．这种综合变换，方法灵活，难度大．这也恰恰为培养学生的数学思维能力带来了契机．在学生用特例自我探索的过程中，会发现改变平移变换与周期变换顺序后，虽然图象横向伸缩的量不变，但水平平移的量截然不同，这恰恰是本节课的难点．在学生提出两种变换顺序后，不急于总结，指导学生通过对比，自己分析问题的核心，再在小组内交流看法，并拿出解决问题的方案．最后，在前面的铺垫下，引导学生分析：①若先平移变换再周期变换在平移变换过程中，函数y ＝sin x ，x ∈R 到y ＝sin(x +φ)， x ∈R ，x 变成了 (x +φ) ；再在周期变换过程中，函数y ＝sin(x +φ) ，x ∈R 到y ＝sin(ωx +φ)， x ∈R ，x 变成了 ωx .②若先周期变换再平移变换在周期变换过程中，函数y ＝sin x ，x ∈R 到y ＝sin ωx ， x ∈R ，x 变成了ωx ；再在平移变换过程中，函数y ＝sin ωx ，x ∈R 到y ＝sin(ωx +φ)， x ∈R ，因为y ＝sin(ωx +φ)＝sin[ω(x φω+)],把x 变换成了(x φω+). 得出结论：由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx +φ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换．途径一：先平移变换再周期变换先将y ＝sin x 的图象向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时)，平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）为原来的ω1倍(ω＞0)（纵坐标不变），便得y ＝sin(ωx +φ)的图象．途径二：先周期变换再平移变换先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）为原来的ω1倍(ω＞0)（纵坐标不变），再沿x 轴向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时),平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx +φ)的图象．第三步，找出函数y ＝sin x 与y ＝Asin(ωx +φ)的图象变换规律．在前两个问题解决定基础上，此问题迎刃而解．在分析清楚共有六种变换方法后，得出一般变换方法：(1) y=sin x u u u u u u u u u u uu r u sin(ω=x A y （2）y=sin u u u u u u u u u u u u r u sin(ω=x A y 1换得到：（1）y =（2）15sin(),26y x x R π=+∈ （3）1sin(3),24y x x R π=-∈ 第二层：综合能力训练2．已知函数2sin(3),3y x x R π=+∈ （1）作出简图；（2）指出经过怎样的变换可得到sin ,y x x R =∈的图象．3．由函数sin ,y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到cos3sin3,y x x x R =-∈的图象．第三层：拓展训练4．由函数cos ,y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到cos(),y A x x R ωϕ=+∈的图象．5．由函数sin ,y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到sin(),y A x k x R ωϕ=++∈的图象．小结：本节课主要学习了通过“五点作图法”正确找出函数y ＝sin x 与y ＝sin(x +φ)和y ＝Asin(ωx +φ)的图象变换规律．其难点在于正确理解周期变换、相位变换顺序改变后，图象平移的规律．通过本节课的学习，同学们要学会善于探索、合作、独立、自信、创新．作业布置：习题4.9的第2题（3）（4），第3、4、5题．三．教法、学法教法教学的目的是以知识为平台，全面提升学生的综合能力．本节课突出体现了以学生能力的发展为主线，应用启发式、讲述式引导学生层层深入，以培养学生自我探索、发现问题、分析问题和解决问题的能力，注重培养学生的非智力因素，实现数学知识价值、思维价值和人文价值的高度统一．学法在教师的引导下，积极、主动地提出问题，自主分析，再合作交流，最后殊途同归．体会在思维训练的过程中，感受数学学习的魅力，成为学习的主人．四．教学评价“评价不是为了证明，而是为了促进”，本节课在引导学生探索的过程中，关注学生的认知心理过程，关注学生的发展，评价多元化，淡化终结性评价和评价的筛选评判功能，强调过程评价、自我评价和评价的教育发展功能．以上就是我对本节课的设计．新理念下数学课堂教学的探索是一个长期、漫长的过程，充分挖掘数学的教育功能，重视学生综合素质的提高，需要我们教育工作者的不断创新，与时俱进．谢谢！。

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2
b Mm.
2
(2)求ω.先由图像可观察出 T , T , 3 T ,T，再根据T 2 求出
42 4
ω.
(3)求 .(此时A,ω,b已知)常用方法有: ①代入法：把图像上的一个已知点代入y=Asin(ωx+ )+b 求出 .此法适用于的范围已知的情况. ②五点法.
【例1】已知函数y=Asin(ωx+ )(A>0, ω>0,| |< )在一个周期内的部分函数
2
图像如图所示.求此函数的解析式.
【审题指导】本题图像中的已知点是最低点和最高点，根据这两个点，除了可以确定函数的最大(小)值，还可以确定两个点横坐标之间的距离是周期的一半.
求函数的最大值和最小值
1.求三角函数式最大(小)值的主要题型 (1)求形如y=Asin(ωx+ )+b,y=Acos(ωx+ )+b或 y=Atan(ωx+ )+b三角函数式的最大(小)值. (2)求形如y=Asin2x+Bsinx+C,y=Acos2x+Bcosx+C或 y=Atan2x+Btanx+C三角函数式的最大(小)值.
(A) ( 2 , )
2
(C)( 4 , )
2
(B) ( 2 , )
4
(D) ( 4 , )
4
【解析】由图像可知，由 7 ,3 T
8 82
∴周期为 T2(7, 3)
88
∴ 2，2此时2解析式为y=sin(2x+ ),
T
以点 ( 3 为, 0 )“五点法”作图的第三关键点，则有
8
23,,
2.求三角函数式最值的方法
(1)利用三角函数 sin、 cos的值域，如有界性
(2)单调性法.如果函数y=f(x)在区间［a,b］上是增加的,则 f(a)≤f(x)≤f(b);如果函数y=f(x)在区间［a,b］上是减少的,则f(a)≥f(x)≥f(b). (3)图像法.函数的单调性不明确时，可作出函数y=f(x)的图像，寻找函数图像的最高点和最低点处的纵坐标. ※ 求函数最大(小)值时，要特别注意函数的定义域.
8
4
∴点P(ω, ) 的坐标为 (.2 , 选 ) B.
4
课堂总结：
1.由函数的图像求函数解析式确定函数y=Asin(ωx+φ)+b(ω>0)解析式的步骤：
(1)先求A，b，ω. （2）求 .(此时A,ω,b已知)常用方法有:
①代入法 ②五点法
2.求三角函数式最值的方法
(1)利用三角函数 (2)单调性法 (3)图像法.
3. 求函数图像的对称轴和对称中心
作业布置：
大册子P33 达标3,4 课本P68 A组 7, B组 5
§8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质复习巩固（1）
（北师大版高中数学必修4第一章第8节）
南郑中学陈厚国 2019.04.27
回顾知识点：
课堂知识探究：
由函数的图像求函数解析式
确定函数y=Asin(ωx+φ)+b(ω>0)解析式的步骤：
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则 A M m ，
2.函数 ycos(x)(x ［ ,2］ )的最小值是( )
6 63
(A)-1 (B) 3 (C)0
2
(D) 3
2
【解析】选C.∵x∈［ , 2 ］
63
∴ x ［0, ］
62
∴ x 时 ,
62
y 取co最s(x小值)0.
6
3.已知函数 ysin x ( 0 ,0 )且此函数的图像
2
如图所示，则点P(ω, )的坐标为( )
1.函数y=Asin(ωx+ )和y=Acos(ωx+ )的对称轴总是过图像的最高点或最低点且垂直于x轴.它们的对称中心是图像与x轴的交点(即函数的零点).
求函数图像的对称轴和对称中心 2.三角函数图像的对称轴和对称中心：
【例3】已知函数 ysin(x)(ω>0)的最小正周期为π，则
3
该函数的图像( )
1.以下是函数 ysin(x) 图像对称中心的是( )
39
(A)(-3,0)
(B) ( 1 , 0 )
3
(C)(3,0)
(D)( 1 , 0 )
3
【解析】由 x (k∈ kZ)得
39
(k∈x Z )3 k 1
3
所以函数 ysin(的x图像) 的对称中心是
39
(3k 1 ,0) 3
故选B.
【例2】求下列函数的最大值和最小值，以及达到最大(小)
值时x的取值. (1) y32cos(2x)
3
(2) y 3 c o s2 x 4 c o sx 1x ［ ,2 ］
33
【审题指导】利用函数图像求三角函数的最值问题往往与
二次函数的图像与单调性紧密结合在一起，解题时应多加
注意各自的特点.
求函数图像的对称轴和对称中心
(A)关于点 ( , 0 ) 对称
3
(B)关于直线 x 对称
4
(C)关于点 ( , 0 ) 对称
(D)关于直线 x 对称
4

【审题指导】由函数的最小正周期为π可求ω，x k
3
时函数取最大值和最小值的平均值，由此可求得函数的对
称中心的坐标，xk时函数取最大值或最小值，由
3
2
此可求得函数的对称轴方程.