多阶段抽样抽样技术蒋妍

所以 S12 的无偏估计为
Sˆ12
s12
1 f2 m
s22
将（2）、（3）式结合，得到
(y)
1 n
f1
s12
f1
(1 nm
f
2
)
s
2 2
（3）
抽样调查
原理与方法
类似的，可以构造三阶抽样 y 的估计方差
( y) 1 f1
n
s12
f1
(1 nm
f2
)
s22
f1 f2 (1 nmk
f3 ) s32
i 1
1 f2 m
n
S
2 2i
i 1
1 f2 nm
n
S 22i
i1
n
Yi
i1
2
Yn
(n 1)(1 nm
f2)
n
S
2 2i
i 1
E
s12
E1 E2
s12
E1
1 n 1
n i1
(Yi
Y
)
2
1 f2 m
E1
1 n
n i 1
S
2 2i
S12
1 f2 m
S
2 2
抽样调查
原理与方法
2
n
E2
i 1
yi2
nE2
y2
n i1
E2
yi
2
V2
yi
n
E2
y 2 V2
y
n i1
Yi
2
1 f2 m
S22i
n
1 n
i
n 1
Yi
2
1 f2 nm
n
S
2 2i
i1
记
Yn
1 n
n
Yi
i 1
，（注意 Yn
Y
），则
E2
n 1
s12
n
Yi
2
n
Yn
2
当n=1时，V1 (Yi ) S12 ，这时
V ( y)
S12
S
2 2
m
若以n个 yi 的均值 y 推断 Y ，其方差为
V ( y)
S12
S
2 2
n nm
再考虑fpc,则（1）式成立。
抽样调查
原理与方法
V
y
1 n
f1
S12
1 f2 nm
S22
V1 E2
y
V1
E2
1 n
n i1
yi
抽样调查
原理与方法
【例8.1】欲调查4月份100家企业的某项指 标，首先从100家企业中抽取了一个含 有5家样本企业的简单随机样本，由于 填报一个月的数据需要每天填写流水帐 ，为了减轻样本企业的负担，调查人员 对这5家企业分别在调查月内随机抽取3 天作为调查日，要求样本企业只填写这 3天的流水帐。调查的结果如下：
原理与方法
估计量方差一般公式为：
V (ˆ) V1 E2 (ˆ) E1 V2 (ˆ)
于是有：
V ( y) 1 f1 n
S12
1 f2 mn
S22
（1）
抽样调查
原理与方法
假定n=1, 第二阶段抽取m个单位
用
yi
估计 Yi
，
误差大小取决于
S
2 2
和m，即
V2 ( yi )
S
2 2
m
其次，用 Yi 推断 Y 时，第二次推断误差大小取决于 S12 和n，
1 n(m 1)
n
m
(yij yi )2
与整群抽样 比较一下
抽样调查
原理与方法
二、Y 估计量的性质
Yˆ y 1 n
n
yi
1 nm
n
m
yij
E(y) Y
抽样调查
原理与方法
E(
y)
E1 E 2
(1 n
n
yi )
E1[
1 n
n
E2 ( yi )]
1 E1[ n
n
Yi ] Y
抽样调查
E1
n2
n i 1
1
f2 m
S22i
1 f2 nm
E1
1 n
n i 1
S22i
1 f2 nm
1 N
N i 1
S22i
1 f2 nm
S
2 2
抽样调查
原理与方法
V ( y)的无偏估计为
v( y) 1 f1 n
s12
f1
(1 nm
f
2
)
s22
证明：
E
(
s
2 2
)
S
2 2
yi
)2
j 1
1
E1
n
n i1
E2
1
m
1
m
( yij
j 1
yi
)
2
E1
1 n
n i1
1 M 1
M
(Yij
j 1
Yi
)2
E1
1 n
n i1
S
2 2i
1 N
N
S22i
i 1
S22
抽样调查 原理与方法 E2
n 1
s12
E2
n i 1
yi y
V1
1 n
i
n 1
Yi
V1
1 n
i
n 1
Yi
1 f1 n
1 N 1
N i 1
Yi Y
2
1 n
f1
S12
E1 V2
y
E1
Байду номын сангаас
V2
1 n
n i 1
yi
E1
1 n2
n
V2
i1
yi
1
E1
n2
i
n 1
1
f m
2
1M M 1 j 1
Yij Yi
2 1
（2）
即
s22
是
S
2 2
的无偏估计
但
s12
1 n 1
n
(yi y)2
不是 S12
1 N 1
N
(Yi
Y )2的无偏估计
计算 S12时 Yi 不受二阶抽样影响，计算s12 的 yi 则不然。
即：
抽样调查
原理与方法
E
s22
E1 E2
s22
E1
E2
1
n(m
1)
n i1
m
( yij
抽样调查
原理与方法
推导 过程
记 E(ˆ) ，
V (ˆ) E(ˆ )2 E1E2 (ˆ )2 E2 (ˆ )2 E2 (ˆ )2 2E2 (ˆ) 2
E2 (ˆ)2 V2 (ˆ ) 2E2 (ˆ) 2 对 两 边 求 E1 ， 得
V (ˆ) E1 E2 (ˆ)2 E1 V2 (ˆ ) E1E2 (ˆ)2 V1 E2 (ˆ) E1 V2 (ˆ )
抽样调查
原理与方法
Chapter 8 Multi--Stage sampling
抽样调查
原理与方法
第一节 概述
一.什么是多阶段抽样
分多个阶段抽到最终接受调查的样本。 初级单元（PSU）----Primary Sampling Unit 二级单元 (SSU)----Second-stage Sampling Unit 三级单元（TSU）----Third-stage Sampling Unit 最终单元 (USU)----Ultimate Sampling Unit
抽样调查
原理与方法
第二节 初级单元大小相 等时的二阶抽样
采用 srs,从 N 中抽 n 个初级单元 采用 srs 从每个中选初级单元中抽取 m 个次级单元
一、符号
Yij ，总体中第 i 个初级单元中第 j 个次级单元指标值
i =1,2,….N, j=1,2,….M
yij ，样本中第 i 个初级单元中第 j 个次级单元观测值 i =1,2,…n, j=1,2,….m
抽样调查
原理与方法
二、多阶段抽样特点
1. 构造抽样框相对容易 2. 节省人力、物力 3. 行政上便于组织 4. 某些条件可满足各级需要 5. 可用于散料的抽样 6. 划分阶段不宜过多
抽样调查
原理与方法
多阶段抽样推断原理
以单位大小相同的二阶段抽样为例
E() E1[E2 ()]
V() V1[E2 ()] E1[V2 ()]
抽样调查
原理与方法
n
m
f1 N , f2 M
M
Yi Yij
m
yi yij
Yi
Yi M
抽样调查
原理与方法
yi
yi m
Y N Yi
N
y n yi
n
抽样调查
原理与方法
S12
1 N 1
N
(Yi
Y
)2
s12
1 n 1
n
(yi
y
)2
S22
1 N(M
1)
N
M
(Yij Yi )2
s22