高联二试难度几何100题带图已精排适合打印预留做题空间
高联难度几何题100道(无图版)
第一题：证明角平分已知PE 、PF 是⊙O 的切线，A 、B 是一组对径点，PB 交⊙O 于另一点C ，直线AF 、BE 交于D 点。
求证：PCE PCD ∠=∠。
第二题：证明四点共圆如图，AB 是⊙O 的直径，C ,D 是圆上异于A 、B ,且在AB 同侧的两点，分别过C 、D 作⊙的O 切线，它们交于点E ,线段AD 与BC 的交点为F , 线段AB 与EF 的交点为M ,求证：E 、C 、M 、D 四点共圆。
第三题：证明角的倍数关系如图，PE 、PF 是以AB 为直径圆的切线E 、F 是切点，PB 交圆于C 点，AF 、BE 交于D 点，AB 是直径。
求证：ACD DPE ∠=∠2。
第四题：证明线与圆相切已知：ABC ∆中，︒=∠90A ，AD 切⊙ABC ，AD 交BC 延长线于D ，E 是A 关于BC 的对称点，BE AY ⊥于Y ，X 是AY 中点，延长BX 交⊙ABC 于J ，求证：BD 切AJD ∆外接圆第五题：证明垂直已知四边形ABCD 内接于以BD 为直径的圆，设'A 为A 关于BD 为对称点，'B 是B 关于AC 对称点，直线AC 交'DB 于Q ，直线DB 交'CA 于P 。
求证：AC PQ ⊥。
第六题：证明线段相等已知：BC 、BD 是⊙O 切线，C 、D 是切点，BJA 是割线，A 、J 在圆上，J 离B 较近，AO DE ⊥于E ，交AB 于F ，AC 交DE 于G ，求证：FG DF =。
第七题：证明线段为比例中项已知ABC ∆中，BC AC =，M 是AB 的中点，FG 经过点M ，且CFG ∆与ABC ∆有相同的内心。
求证：GM FM AM ⨯=2。
第八题：证明垂直已知：ABC ∆为非直角三角形，AD 平分BAC ∠，D 在BC 上，AC DF ⊥于F ，AB DE ⊥于E ，CE 交BF 于P 。
求证：BC AP ⊥。
高二数学竞赛班二试平面几何讲义1
高二数学竞赛班二试平面几何讲义1梅涅劳斯定理和塞瓦定理一、知识要点：班级姓名1. 梅涅劳斯定理：若直线l不经过ABC的顶点，并且与ABC的三边BC,CA,AB或它们的延长线分别交于P,Q,R，则BPCQAR1 PCQARB证：设hA、hB、hC分别是A、B、C到直线l的垂BPCQARhBhChA线的长度，则：1PCQARBhChAhB2. 梅涅劳斯定理逆定理：设P、Q、R分别是ABC的三边BC、CA、AB上或它们的延长线上的三点，并且P、Q、R三点中，位于ABC边上的点的BPCQAR个数为0或2，若1，则P、Q、R三点共线；PCQARB证：设直线PQ与直线AB交于R'，于是由定理1得：BPCQAR'__R'AR ' 1又1'＝__RB由于在同一直线上的P、Q、R'三点中，位于ABC边上的点的个数也为0或2，因此R与R'或者同在AB线段上，或者同在AB的延长线上；若R与R'同在AB线段上，则R与R'必定重合，不然的话，设AR AR',ARAR'ARAR'这时AB AR AB AR,即BR BR,于是可得这与＝'矛盾'__R类似地可证得当R与R'同在AB的延长线上时，R与R'也重合''综上可得：P、Q、R三点共线；注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用再相乘； 3. 塞瓦定理：设P、Q、R分别是ABC的BC、CA、AB边上的点，则APBP CQAR的充要条件是: 1PCQARB证：先证必要性：设AP、BQ、CR相交于点M，则：BPS ABPS BMPS ABMCQS BCMARS ACM,PCS ACPS CMPS ACMQAS ABMRBS __AR ＝1PCQARB1再证充分性：若BPCQAR‘1，设AP与BQ相交于M，且直线CM交AB于R，PCQARB BPCQAR’AR’AR‘ 1‘＝因为R和R’都在线__BRB段AB上，所以R’必与R重合，故AP、BQ、CR相交于一点点M；二、例题精析例1：若直角ABC中，CK是斜边上的高，CE是ACK的平分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：BF//CE。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(8).doc
加试模拟训练题(8)1、已知圆Q , 0，。
3，°4按顺时针的顺序内切于圆。
，设圆O i,O j(l<i< j<4)的外公切线长为，证明依次以1口」23」34」14为边长，以上」24为对角线构成的凸四边形是圆内接四边形。
2.设AABC三边长为a,b,c ,有不等式-c)2 > -c)2,试证不等式①中的系数』是最优的.33、设M={ 1, 2, 3,2m n) (m, neN*)是连续2”n个正整数组成的集合,求最小的正整数k, 使得M 的任何k元了集中都存在m+1个数，ai, a2, 满足ai|a1+i (i=l, 2, •••, m).4.已知a,eN*,旦(a,幻= 1,。
〉2,试问a +b n I a m +b m的充要条件是"Im吗?2006年山东省第二届夏令营试题)加试模拟训练题(8)1、已知圆Q ,。
2，。
3，°4按顺时针的顺序内切于圆。
，设圆O i,O j(l<i< j<4)的外公切线长为，证明依次以【提23」34」14为边长，以I。
，项为对角线构成的凸四边形是圆内接四边形。
证明设圆0,0{,02,03,04的半径分别为R,*①,乃匕，圆。
1，。
2，°3，°4与圆。
的切点分别为A,B,C,D , 00{ = a,001 = b,003 = c,004 = d , XO t OO2 = a,XO2OO3= ”，ZO3OO4 = /,Z(91(?(?4 = S ,因为R = a + f[=b + r2,所以有/p = Op； -(/] -r,)" = a2 +Z?2- 2ab cos a ~(^a-by = 2aZ?(l-cos«) = 4t?Z?sin2 -y ,即.2成屿。
同理可得"4,MM的表达式。
由托勒密定理的逆定理知，只要证始始+，23,4 = /13,24 °代入/〃的表达式，只要证sin — sin — + sin — sin — = sin —+ sin —+—,即AB CD + BC AD = AC BD o 22 2 2 2 22.设AABC^.边长为a,b,c ,有不等式- c)2 > -c)2,- 一①试证不等式①中的系数』是最优的.3证明在不等式①中，取a=b,设g = 2(a 一成一(a 一疔= (a一们2 +(》_c)2 +Q —a)? —H^±£(。
高联班几何测试6图片调整打印了
高联班几何测试题（6）时间：150 分钟命题人：万喜人6-1 圆ε与圆δ相交于点 A、B,直线 CD 交圆ε于点 C、D,交圆δ于点 E、F,点C、E、F、D 在直线 CD 上顺次排列，直线 AE 与BD 交于点 G,BF 与AC 交于点 H.求证：HG∥CD.证明如图，联结AB、AD、AF、BE、BC.因为∠DAF=180°-∠ADF-∠AFD=180°-（180°-∠ABC）-∠ABE=∠CBE,又∠FAE =∠FBE, ∠DAC = ∠DBC,所以，∠GAH =∠GBH,从而，A、B、H、G 四点共圆.所以，∠AHG =∠ABG =∠ACD,故HG∥CD.6-2. 已知△ABC,点D、E 分别在 AB、AC 上，∠AED=∠ABC,圆（BD）（表示以 BD 为直径的圆）与圆（ABC）(表示过 A、B、C 三点的圆)交于点 B、F, 圆（CE）与圆（ABC）交于点 C、T,圆（ADE）与圆（BD）交于点 D、P, 圆（ADE）与圆（CE）交于点 E、K.求证：P、K、T、F 四点共圆.证明联结线段如图所示.因∠FPK=360°-∠FPD-∠DPK= 360°-∠FBD-(180°-∠DEK)=180°-(∠FBC-∠ABC)+∠AEK-∠AED=180°-(180°-∠FTC)+180°-∠CEK(因∠AED=∠ABC)=180°-(∠CTK-∠FTC)=180°-∠FTK,即∠FPK+∠FTK=180°,所以，P、K、T、F 四点共圆.D 㠳6-3. 在△ABC 中，∠BAC 为锐角，P 为△ABC 的外接圆☉O 上一点（不与 A 、B 、C 重合），直线 AB 与 CP 交于 E,AC 与 BP 交于 F,线段 BC 的中垂线交 BC 、B ˆC (不含点 A)、EF 分别交于点 M 、D 、N.求证：D 䘐 D 㠳 =cos ²BtC .证明 设☉O 过点 B 、C 的切线交于点 N /，联结 BD 、CD.对圆内接六边形 ABBPCC,由帕斯卡定理知：E 、N /、F 三点共线，即点 N /在直线 EF 上.又 N /B=N /C,点 N /在 BC 中垂线上，所以，点 N /与 N 重合，因∠NCD=∠DBC=∠DCM,则 D 䘐= C 䘐 = cos ²㠳C 䘐 = cos ²BtCD 㠳 C 㠳 注：若∠BAC 为钝角，则D 䘐 =− cos ²BtC.6-4. 四边形 ABCD 外切于圆 I,AC 与BD 交于点 E,P 为IE 的中点，过点 I 作FK⊥AC交AB、AD 分别于点 F、K,过点 P 作GH⊥AC交AB、AD 分别于点 G、H.求证：BG·DH=FG·KH.证明设AB、BC、CD、DA 与圆I 分别切于点M、N、L、T,IB、ID 分别与GH交于点U、V.设直线MT 与BD 交点X1(可能X1是无穷远点)，NL 与BD 交点X2.由梅涅劳斯定理得BX1 ·DT ·t䘐 = 1 = BX2 ·DL ·C㠳,X1D Tt 䘐 B X2D LC 㠳 B因 DT=DL,TA=AM,LC=CN,MB=NB，则BX1 = BX2 .X1D X2D从而，X1 与 X2重合，统一记为 X.因 X 在点 A 关于圆 I 的极线 MT 上，由配极原理知点 A 在点X 的极线上.同理，点 C 在点X 的极线上.所以，直线 AC 是点X 关于圆 I 的极线.故IX⊥AC.又过 I 的直线FK⊥AC,所以，F、K、X 三点共线.因AB、AC、AD、AX 是调和线束，则B、E、D、X 是调和点列，从而 IB、IE、ID、IX 是调和线束，因为GH∥IX(都与 AC 垂直)所以，PU=PV.又 PI=PE,则四边形 IUEV 是平行四边形，从而，UE∥ID,EV∥BI.故B= Bt = BE = I‴ = KѸ ,F It DE D‴DѸ所以，BG·DH=FG·KH.sin α+þ sin α+y IT· cot α+þ IT· cot α+y cos α+þ sin α+þ sin α+y cos α+y sin α+þ · sin þ sin α+y sin y sin α+y sin þ sin α+þ sin yIT· sin α cos 2α+2y sin α+þ sin y 6-5. 在△ABC 中，AB=AC,点 D 、E 不在直线 BC 上，使得 BD=AB,CE=AC, ∠DBC 和∠ECB 两角的平分线交于点 I,过点 I 作 IF⊥AD 交直线 DB 于点 F,过点 I 作 IK⊥AE 交直线 EC 于点 F.直线 BK 与 CF 交于点 P.求证：IP⊥BC.证法 1 如图，点 D 、E 和 A 均在直线 BC 的同侧（若点 D 、E 均和 A 在直线 BC 的异侧，或点 D 、E 位于直线 BC 的两侧，证明类似. ）可设∠ABC=∠ACB=2α，∠ABD=2β，∠ACE=2γ.因 BD=AB,IF⊥AD,则∠BFI=β，∠BIF=∠DBI -∠BFI=α，同理，∠CKI=γ，∠CIK=α. 由正弦定理得 IC = CK , IB = BF ,IC = ，sin y sin α sin þ sin α IB 所以，CK= sin α+þ · sin þ.BF sin α+y · sin y 作 IT⊥BC 于点 T,IT 交 BK 、CF 分别于点 P 1、P 2,作 FM⊥BC 于点 M,KN⊥BC 于点 N.只要证明 P 1 与 P 2 重合即可， 这只要证明TP 1=TP 2.因 TP 1∥KN, TP 2∥FM,所以，TP 1 =BT·K 㠳 B 㠳 ,TP 2 =CT·F 䘐 . C 䘐TP =TPBT·K 㠳 = CT·F 䘐 1 2 B 㠳 C 䘐B T·K 㠳= B 㠳 ○1 CT·F 䘐C 䘐 BT·K 㠳= · CT·F 䘐= · · ·= ○2 因 CN=CK cos 2α + 2y =IC· sin α· c os 2α + 2y sin y=，则 CT+CN=IT·cos α+y sin α+y+ IT· CK· sin 2α+2y BF· sin 2α+2þsin 2α+2y sin 2α+2þ sin α cos 2α+2ysin α+y sin ycos α+þsin α+þsin α+y sin þsin α+þ sin y=IT·cos α+y sin y+sin α cos 2α+2ysin α+y sin y=IT·sin α+2y −sin α+sin 3α+2y −sin α+2y2 sin α+y sin y=IT·cos 2α+y.sin y从而，BN=BT+CT+CN=IT·+=IT·sin α+þ+y −sin α+þ−y +sin 3α+þ+y −sin α−þ+y，2 sin α+þ sin y同理，CM=IT·sin α+þ+y −sin α−þ+y +sin 3α+þ+y −sin α+þ−y2 sin α+y sin þ所以，B㠳= ○3C䘐由式○2 、○3 知式○1 成立.证毕.证法2 如图，点D、E 和A 均在直线BC 的同侧（若点D、E 均和A 在直线BC 的异侧，或点 D、E 位于直线 BC 的两侧，证明类似）可设∠ABC=∠ACB=2α，∠ABD=2β，∠ACE=2γ.因BD=AB,IF⊥AD,则∠BFI=β，∠BIF=∠DBI-∠BFI=α，同理，∠CIK=α.设直线 BD 与CE 交于点 Q(Q 可能是无穷远点).点 S 在直线 IQ 上，且在∠BIC 内部.对四边形 IBQC,由∠BIF=∠CIK（都=α）知，IP、IQ 是∠BIC 的等角共轭线，即∠BIP=∠CIS=90°-（α + β）（注意 I 为△QBC的旁心或内心）又∠IBC=α + β,所以，∠BIP=∠IBC=90°.故IP⊥BC.cos 2α+ysin y。
高联班几何测试5解答,图已调整打印了
所以， t = t
VC·ET=DT·EV.
同理，TB·DV=DT·EV. 所以，VC·ET=TB·DV,
即
=
t t
=t
=
t=
,
t
因∠PCD=∠PBE, ∠PDA=∠PEA,
则△PCD∽△PBE
=
E.
E
故
t=
E E
.
结合∠PDN=∠PEM 得△PDN∽△PEM.
所以，∠PNA=∠PMA
A、P、N、M 四点共圆.
故 GK=GM+MK= AG+ AH = GH. 即 K 是 GH 的中点.
证法 2 如图，联结线段如图所示. (1)因 AC、AD 分别为☉P、☉O 的切线， 则∠BAC=∠D,∠C=∠BAD, 所以，△BAC∽△BDA,BE、BF 为对 应边上的中线， 故∠AEB=∠DFB. 从而，A、E、B、F 四点共圆. （2）∠BAC=∠H,∠C=∠G, 则△BAC∽△BHG. 又∠BEA=∠BKA,则点 E、K 是上述 相似三角形的对应点. 因 E 为 AC 的中点，则 K 是线段 GH 的中点.
, BE= t , AD= t , CD= .
t
t
= t ,则 AE=k·AD.
由正弦定理
得 DE=AT· sin t° ， AT2= DE2.
由余弦定理得
AT2= DE2 =
·
· = AD2·
,
从而，ET2=AT2-AE2= AD2 ·(2-k)2，
DT2=AT2-AD2= AD2 ·(2k-1)2.
又 A、N、F、M 四点共圆.
=90°.
证明 如图，联结 AP、DE、AT. 因 PD⊥AB,PE⊥AC， 则 A、D、P、E 四点共圆， 在△TED 和△ABC 中， 因∠TED=∠DBF,∠TDE=∠ECK, 则∠DTE=∠DAE. 所以，T、D、E、A 四点共圆. 从而，A、T、D、P、E 五点共圆. 于是，∠ATP=∠ADP=90°，即 AT⊥TP. 又∠TAD=∠TED=∠DBK,则 AT∥BC. 故 TP⊥BC.
高联难度几何题100道
高联难度几何题100道
【实用版】
目录
1.几何题的重要性
2.高联难度几何题的特点
3.高联难度几何题的解决方法
4.高联难度几何题的训练价值
5.结语
正文
几何学作为数学的一个重要分支，其地位和作用不容忽视。
几何题在各种数学竞赛和考试中都占有重要地位，它能够锻炼学生的空间思维能力、逻辑推理能力和创新思维能力。
因此，对于学生来说，掌握几何题的解题技巧和方法是非常重要的。
高联难度几何题是几何题中难度较大的一部分，其特点是题目复杂、条件隐蔽、思路难以寻找。
这类题目的解决需要学生具有扎实的几何基础知识和丰富的解题经验，同时还需要具备敏锐的洞察力和创新思维能力。
解决高联难度几何题的方法有很多，其中最重要的方法是通过画图来帮助理解题目，找到解题思路。
此外，对于一些复杂的题目，还可以通过分割、旋转、翻转等方法来简化题目，找到解题的关键。
在解题过程中，还需要注意题目的条件和要求，避免出现低级错误。
高联难度几何题虽然难度较大，但是对于学生的数学能力和思维能力的提升具有很大的帮助。
通过解决这类题目，学生可以锻炼自己的空间思维能力和逻辑推理能力，同时也能够培养自己的创新思维和解决问题的能力。
总的来说，高联难度几何题虽然难度较大，但是对于学生的学习和发
展具有很大的帮助。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(52).doc
加试模拟训练题(52)1.过等腰△川％底边成'上一点夕引PM// CA交AB于阪引PN//BA交 M于也作点夕关于枷的对称点.试证：P'点在△，质外接圆上.2.设实数x、y、z满足条件yz+zx+xy=T,求x2+5y2+8z2的最小值和最大值.3.桌面上放有1989枚硬币，其中有的正面朝上，其余的正面朝下.今有1989人按下述方法依次翻转硬币，第一人翻转其中的一枚，第二人翻转其中的二枚，…，第k人翻转其中的k 枚，最后第1989人将所有硬币全部翻转.证明：1.不论硬币最初正反面的分布情况如何，他们总可采取适当步骤，使得1989人都进行过翻币手续后，恰将所有硬币朝同一方向.2.硬币最后的统一朝向与具体翻币方案无关(只依赖于初始分布).P'4. 求所有正整数m, n 满足m 2 - n 整除m + n 2,并且n~ - m 整除n + m~. 加试模拟训练题(52)1,过等腰△宛T 底边网上一点夕引PM//CA 交AB 等引PN//BA 交花于也作点夕关于洌的对称点々.试证：P'点在外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：山已知可得妒'NP' =NP =NC,故点彤是欧的外心，点NMP AC 的外心.有A BP' ABAC,2 2ZPP' (=- APN(=- ABAC. 2 2:WBP OABP'氏ZP' PGZBAC.从而，P'点与4 B, C共圆、即月在外接圆上.由于夕，夕平分/胪，G显然还有P B-.P' OBP-.PC.2.设实数x、y、z满足条件yz+zx+xy=T,求x2+5y2+8z2的最小值和最大值.【题说】1992年英国数学奥林匹克题4.【解】由于(y-2z) 2+ (x+2y 十 2z) 2^0所以 x2+5y2+8z2^-4 (xy+yz+zx) =43 11= —* y = -—* r = +5y‘ 4-&a =4,所以+5y，-I-Sr3££ 4的最小值为4.另一方虱令M=0. B M7 x2+5y2+8z2>x2当y-0时，函数x2+5y2+8z2的值可趋于无穷大.3.桌面上放有1989枚硬币，其中有的正面朝上，其余的正面朝下.今有1989人按下述方法依次翻转硬币，第一人翻转其中的一枚，第二人翻转其中的二枚，…，第k人翻转其中的k 枚，最后第1989人将所有硬币全部翻转.证明：1.不论硬币最初正反面的分布情况如何，他们总可采取适当步骤，使得1989人都进行过翻币手续后，恰将所有硬币朝同一方向.2.硬币最后的统一朝向与具体翻币方案无关(只依赖于初始分布).【题说】1989年南昌市赛二试题3.【证】1. 1989可换成任一奇数n.对n用数学归纳法.当n=l时，结论显然成立.假设在n = 2k— 1时结论成立，当n = 2k+l时，分两种情况讨论. (1)如果这2k+l枚硬币不全同向，其中必有一枚正面朝上的(记为正)和一枚正面朝下的(记为负)，将它们标上记号.让前2k—1人对其余2k—1枚硬币进行翻币手续，依假设可翻成同向，设为正.第2k人翻动2k个正向币，使得所有2k+l枚硬币都成负向.最后第2k+l人将所有硬币翻成正向.(2)如果这2k+l枚硬币方向都相同.将这2k+l枚硬币排成一圈，让第一人翻转其中一枚，第二人按顺时针方向翻转后续的二枚，第三人接着翻转后续的三枚，…，如此下去，当2k+l 人全部翻转之后，由于1 + 2 + •••+(2k+l) = (k+l) • (2k+l),所以，每枚硬币都翻动了 k + 1次，因而也同向.2.假设结论不真，则存在1989枚硬币的某种初始状态T及两种翻法A、B.由状态T开始，按方法A可翻成全正，而按方法B可翻成全反.由全正状态出发，按方法A的逆步骤翻回T状态，再按B方法翻成全反.这样每枚硬币都改变了方向，从而每枚硬币翻动了奇数次，硬币总数1989为奇数.故由全正状态到全反状态总共翻转了奇数次.另一方面，在由全正状态到全反状态的过程中，每个人均翻转了偶数枚，因此总共翻转了偶数次，矛盾.从而结论成立.4.求所有正整数m, n满足m之一〃整除m + zz?,并且〃2 一山整除n + m2.分析由对称性，我们不妨设n>m,并估计n的大体范围。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(7).doc
加试模拟训练题（7）1、对给定的常数P、qG（O, 1）, p + q>l, p2 + q2<1> 试密刮= （l-K）♦sjq1-（l-s）a P）的最大值.2、设M是AABC内一点，D,E,F分别是^BCM,^CAM,^ABM的夕卜心，证明S'DEF AS MBC'并确定等号成立的条件。
3、平面上给定一个由有限多条线段组成的集合，线段总长为1.证明：存在一条直线/,2使得已给线段在/上的射影之和小于-.n4.设“是五位数（第一个数码不是零），加是由〃取消它的中间一个数码后所成的四位n数，试确定一切n使得上是整数。
m加试模拟训练题（7）1、对给定的常数P、qG(O, 1), p + q>l, p2 + q2<1, = Cl-r)p)的最大fi.【解】f2(X)= (1 —x)2(P2—x2) +x2[q2— (1—x)2] +2x(1-K)•w(1—x) (p —x)+x [q — (1—x) ] +X(l—x) [(p2—X2) +q2— (1—x)2] =X— (p2—q2+l)x+p2--P' 巧J + *(P + q)°-/I<^[(P*q)a-U[l-(p-q)a l其中等号成立当且仅当P2—x2 = q2— (1—x)2即当"亡尸吋，f(M)L« =存(Pp7「-(p-q)T[别解]考虑如图的直角梯形ABCD,易知f (x) =b (1—x) +ax=pqsin B cos a +pqsin a cos B= pqsin( a + B ) =pqsin 0因为c“e =亡乎仝< 彎亡I",所以2pq 2pqf («) < |7((P*A)a-D(i-(p-q)a) 界mg*- a-j:时竝.佩區=p'_f “时, f 3 晦I内首«P诃-DO・(P -小.2、设M是AABC内一点，D,E,F分别是ABCM,ACAM,AABM的夕卜心，证明S^EF >S^BC，并确定等号成立的条件。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(74).doc
加试模拟训练题(74)1四边形』及刀内接于圆，其边/方与〃c的延长线交于点只应r与质的延长线交于点0。
由0作该圆的两条切线世和QF,切点分别为E, 凡求证：P, E,尸三点共线。
2.证明：数列{2"-3}, n=2, 3, 4,…中至少有一个无穷子列，其中的项两两互素.3如图，一束光以入射角a =19. 94。
射到线段BC的端点C,然后以同样大小的角度反射出去, 射到 AB 又继续反射，… 光线遵照“入财5啪郛由四.郡=缸.双度AB=BC,且计算中包括第一次由c点的反射.试确定光线在两线段之间的反射次数.〃一1（〃一1）£4.求当〃为奇数k=i加试模拟训练题(74)1四边形』位》内接于圆，其边/方与的延长线交于点R /〃与"的延长线交于点Q由 0作该圆的两条切线班和骨；切点分别为反F。
求证：P, E, F 三点共线。
证连接四，并在用上取一点必使得B, C, M,夕四点共圆，途CM, PF。
设勿与圆的另一交点为E ,并作QGkPF,垂足为G。
易如好做.Q^QC- QB ① APM(=ZAB(=APDQ O 从而G D, Q,彤四点共圆，于是PM- PQ=PC, PD ②由①，②得PM- PQ^QM- PQ=PC・ PIKQC・ QB,即P©=QC • QB+PC- PD。
易知切?・POPE' • PF,又Q#=QC• QB,有PE' • PF+Qfi=PD • PC+QC- AB=P。
,即PE' ■又P。
一 QU GdPG*GP) . (PG— GR=PF・(PG—G R,从而任=PG— G匚PG— GE ,即舛酒，故E与£重合。
所以R E,尸二点共线。
2.证明：数列{2"-3}, n=2, 3, 4,…中至少有一个无穷子列，其中的项两两互素.【题说】第十三届(1971年)国际数学奥林匹克题3.本题由波兰提供.【证】我们用归纳法来构造一个这样的子列.取m=2.若m,…，m已经取定，旦2"」3 (IWiWk)两两互素，将它们分解成素因子的积，设在这些积中出现的素因子为P J (IWjWn)令n k+i= (p-1) (P2~l)…(p“,T) +2All 2**1-3 = 4*2*1，>_*-1> -3三4-3=1 (mod pj) (IWjWn)故2"匚3不能被任一 p」整除，因而它与2" (IWjWk)都互素，这样，子列(2"k-3)就是满足题目要求的一个子列.3如图，一束光以入射角a =19. 94。
高联难度几何题100道(无图版)
第一题：证明角平分已知PE 、PF 是⊙O 的切线，A 、B 是一组对径点，PB 交⊙O 于另一点C ，直线AF 、BE 交于D 点。
求证：PCE PCD ∠=∠。
第二题：证明四点共圆如图，AB 是⊙O 的直径，C ,D 是圆上异于A 、B ,且在AB 同侧的两点，分别过C 、D 作⊙的O 切线，它们交于点E ,线段AD 与BC 的交点为F , 线段AB 与EF 的交点为M ,求证：E 、C 、M 、D 四点共圆。
第三题：证明角的倍数关系如图，PE 、PF 是以AB 为直径圆的切线E 、F 是切点，PB 交圆于C 点，AF 、BE 交于D 点，AB 是直径。
求证：ACD DPE ∠=∠2。
第四题：证明线与圆相切已知：ABC ∆中，︒=∠90A ，AD 切⊙ABC ，AD 交BC 延长线于D ，E 是A 关于BC 的对称点，BE AY ⊥于Y ，X 是AY 中点，延长BX 交⊙ABC 于J ，求证：BD 切AJD ∆外接圆第五题：证明垂直已知四边形ABCD 接于以BD 为直径的圆，设'A 为A 关于BD 为对称点，'B 是B 关于AC 对称点，直线AC 交'DB 于Q ，直线DB 交'CA 于P 。
求证：AC PQ ⊥。
第六题：证明线段相等已知：BC 、BD 是⊙O 切线，C 、D 是切点，BJA 是割线，A 、J 在圆上，J 离B 较近，AO DE ⊥于E ，交AB 于F ，AC 交DE 于G ，求证：FG DF =。
第七题：证明线段为比例中项已知ABC ∆中，BC AC =，M 是AB 的中点，FG 经过点M ，且CFG ∆与ABC ∆有相同的心。
求证：GM FM AM ⨯=2。
第八题：证明垂直已知：ABC ∆为非直角三角形，AD 平分BAC ∠，D 在BC 上，AC DF ⊥于F ，AB DE ⊥于E ，CE 交BF 于P 。
求证：BC AP ⊥。
第九题：证明线段相等过圆O 外一点P 作圆O 的两条切线PC 、PD ，切点分别为C 、D ，过劣弧CD 上一点E 作圆O 的另一条切线分别交PC 、PD 于A 、B ，连结OE 交CD 于点N ，连结PN 交AB 于点M 。
历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析(一)
历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析题 1 已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 .（第十一届高二第一试第11题）解法1 b b a a b b a x ++=-+=，ab b aa b b y -+=--=.y x a b b b b a b a <∴-+>++∴<<,,0 .解法2bb a ab b a b b b b a y x ++-+=---+=，y x y x a b b a <∴<∴->+,1, . 解法3a ab b a b b a ab b b b a y x -+-++=----+=-1111 =y x yx a a b b a <∴>-∴>--+,011,0.解法4 原问题等价于比较a b b a -++与b 2的大小.由,2)(222y x y x +≥+得b a b b a a b b a 4)(2)2=-++≤-++（，b a b b a 2≤-++∴. y x b a b b a a b b a <∴<-++∴-≠+,2, .解法5 如图1，在函数x y =的图象上取三个不同的点A （a b -，a b -）、B （b ，b ）、C （b a +，b a +）.由图象，显然有AB BCk k <，即)()(a b b ab b b b a b b a ----<-+-+， 即a b b b b a --<-+，亦即y x <.解法6 令()f t =tt a at f ++=)( 单调递减，而a b b ->，)()(a b f b f -<∴，即a b b b b a --<-+，y x <∴.解法7 考虑等轴双曲线)0(22>=-x a y x .图1如图2，其渐近线为x y =.在双曲线上取两点 A （b ，a b -）、B （a b +，b ）. 由图形，显然有1>ABk ，即1>-+--bb a ab b ，从而y x <.解法8 如图3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，BC=a ，AC=b ，BD=b ，则AB=b a +，DC=a b -. 在△ABD 中，AB-AD<BD ，即-+b a AD b <，从而-+b a AD-DC<-b DC ， 即a b b b b a --<-+，故y x <.评析 比较大小是中学代数中的常见内容.其最基本的方法是作差比较法、作商比较法、利用函数的单调性.解法1通过分子有理化（处理无理式常用此法）将问题转化成比较两个分母的大小.解法2直接作商与1比较大小，顺理成章，也很简洁.要注意的是：0,>b a 时，1a a b b >⇔>；0,<b a 时，1aa b b>⇔<.此题直接作差难以确定差与0的大小，解法3对y x ,的倒数作差再与0比较大小，使得问题顺利获解，反映了思维的灵活性.解法6运用函数的单调性解题，构造一个什么样的函数是关键.我们认为构造的函数应使得y x ,恰为其两个函数值，且该函数还应是单调的（最起码在包含y x ,对应的自变量值的某区间上是单调的）.解法5与解法7分别构造函数与解几模型，将y x ,的大小关系问题转化成斜率问题加以解决，充分沟通了代数与几何之间的内在联系，可谓创新解法.解法8充分挖掘代数式的几何背景，构造平面图形，直观地使问题得到解决，这也是解决大小关系问题和证明不等式的常用方法.有人对此题作出如下解答：取,2,1==b a 则12112,23123+=-=+=-=y x，32+>10+>，.,121231y x <∴+<+可再取两组特殊值验证，都有y x <.故答案为y x <. 从逻辑上讲，取2,1==b a ，得y x <.即使再取无论多少组值（也只能是有限组值）验证，都得y x <，也只能说明y x >或y x ≥作为答案是错误的，而不能说明y x <一定是正确的,因为这不能排除x y =的可能性.因此答案虽然正确，但解法是没有根据的.当然，如果将题目改为选择题：已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是图2图3（ ）A 、y x >B 、y x ≥C 、y x =D 、y x <此时用上述解法，且不用再取特殊值验证就可选D ，并且方法简单，答案一定正确. 总而言之，特殊值法在解许多选择题时显得特别简捷，那是因为选择支中的正确答案是唯一的，从而通过特殊值排除干扰支，进而选出正确答案.但特殊值法只能排除错误结论，而不能直接肯定正确答案，因此，用此法解填空题（少数特例除外）与解答题是没有根据的.当然，利用特殊值指明解题方向还是十分可取的.题 2 设c b a >>N n ∈,，且11na b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值为 （ ）A 、2B 、3C 、4D 、5（第十一届高二第一试第7题）解法1 原式n c b c a b a c a ≥--+--⇔．mina c a c n ab bc --⎡⎤∴≤+⎢⎥--⎣⎦．而b a c a --+c b c a -- =b ac b b a --+-+b c a b b c -+--=2+b a c b --+c b b a --≥4，且当b ac b --=cb ba --，即bc a 2=+时取等号．mina c a c ab bc --⎡⎤∴+⎢⎥--⎣⎦4=．4n ∴≤．故选C ． 解法2 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ，已知不等式化为()()()2a c n a b b c -≤--．由()()()()22242a c a c ab bc a b b c --≥=---+-⎛⎫⎪⎝⎭，即()()()4min2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---c b b a c a ，故由已知得4≤n ，选C ．解法3由cb a >>，知,0,0>->->-c a c b b a ，有()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤c b b a c a n 11．又()()()[]()41111112=+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c b b a c b b a c a ，即()411min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a ，由题意，4≤n ．故选C ．解法4 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ．∴已知不等式可变形为()()()2a c n a b b c -≤--．记()()()2a c k ab bc -=--，则()()[]()()()()[]()()4222=----≥---+-=c b b a c b b a c b b a c b b a k ．由题意，4≤n ．故选C ．解法5 c b a >>110,0.a b b c∴>>--于是 ()()ca cb b ac b b a -=-+-≥-+-4411．比较得4≤n ．故选C ． 评析 由已知，可得()⎪⎭⎫⎝⎛-+--≤c b b a c a n 11恒成立．根据常识“若()a f x ≤恒成立，则()min x f a ≤；若()x f a ≥恒成立，则()max a f x ≥,”()⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a 11的最小值就是所求n 的最大值，故问题转化为求()⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a 11的最小值，上述各种解法都是围绕这一中心的，不过采用了不同的变形技巧，使用了不同的基本不等式而已．解法1运用了2,,b a a b R a b ++≥∈“”；解法2运用了”“22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ；解法3运用了()”“411≥⎪⎭⎫⎝⎛++b a b a ；解法4运用了()”“+∈≥+R b a ab b a ,2；解法5运用了()”“+∈+≥+R b a ba b a ,411．虽解法异彩纷呈，但却殊途同归． 此题使我们联想到最新高中数学第二册（上）P 30第8题： 已知c b a >>，求证：0111>-+-+-ac c b b a ． 证：令()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ，则y x c a +=-．()22111111x y xya b b c c a x y x y xy x y ++∴++=+-=---++．0,0x y >>， 0111>-+-+-∴ac c b b a ． 此证法通过换元将分母中的多项式改写成单项式，使得推证更简单了．运用这一思路，又可得本赛题如下解法：设()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ，则y x c a +=-．ca nc b b a -≥-+-11恒成立，就是y x ny x +≥+11恒成立．也就是()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤y x y x n 11恒成立．()411≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x y x 恒成立，∴由题意得4≤n ．故选C ．再看一个运用这一思想解题的例子．例 设+∈R c b a ,,，求证：2222cb a b ac a c b c b a ++≥+++++． （第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）证明 设,,,z b a y a c x c b =+=+=+则()()0,,21>++=++z y x z y x c b a ． ()()()02222≥+-=++-+y x xy bx ay y x b a y b x a ，()222a b a b x y x y +∴+≥+ ①， ()()()()222222222a b a b c a b c a b c c a b c x y z x y z x y z a b c +++++++∴++≥+≥==+++++,即 2222c b a z c y b x a ++≥++，2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++∴． 本赛题还可直接由下面的命题得解．命题 若021>>>>n a a a ，则()nn n a a n a a a a a a --≥-++-+--12132211111 ． 证明 021>>>>n a a a ，n n a a a a a a ---∴-13221,,, 都大于0．反复运用①式，可得: “若,(1,2,,)i i x y R i n +∈=,则22111n i ni i n i iii x x y y ===⎛⎫⎪⎝⎭≥∑∑∑,当且仅当1212n nx x x y y y ===时取等号”.故有()()22122311223111111111n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a --+++-+++≥=----+-++--． 也可以这样证明：021>>>>n a a a ，12231,,,0n n a a a a a a -∴--->．故由柯西不等式，得()()()1223112231111()n n n na a a a a a a a a a a a --+++-+-++-⎡⎤⎣⎦---()()211111n -≥+++个()21n =-，即()()21132211)111(-≥--++-+--n a a a a a a a a n nn ．01>-n a a ，()nn n a a n a a a a a a --≥-++-+-∴-12132211111 ． 由此可得本赛题的如下解法：cb a >>，,0,0>->->-∴c a c b b a ，()ca cb b ac b b a -=-+-+≥-+-∴411112．由 题意，4≤n ．故选C ． 由此命题还可直接解决第七届高二培训题第8题：设12320002001a a a a a >>>>>，并且122320002001111m a a a a a a =+++---，200116104a a n -⨯=，则m 与n 的大小关系是 ( )A 、n m <B 、n m >C 、n m ≥D 、n m ≤解12320002a a a a a >>>>>，2001162001121042000a a a a m -⨯=-≥∴．故选C ． 题 3 设实数y x n m ,,,满足a n m =+22，b y x =+22，则ny mx +的最大值为( )A 、21()b a + B 、2122b a + C 、222b a + D 、ab（第十一届高二培训题第5题）解法1 设,sin ,cos ααa n a m ==,sin ,cos ββb y b x ==则,)cos(sin sin cos cos ab ab ab ab ny mx ≤-=+=+βαβαβα即)(ny mx +max =ab .故选D ．解法2b n ab m a b a n m =+⇒=+2222,又b y x =+22,+=+∴mx abny mx ab)(≤ny ab 2222()()2b m n x y a +++==.2b b a a b=+⋅ny mx +∴,ab ab b =≤当且仅当x =且,y =即my nx =时取等号，max )ny mx +∴（.ab =解法3 2222222222222()2mx ny m x mxny n y m x m y n x n y +=++≤+++()()2222,m n x y ab =++=mx ny ∴+≤当且仅当m y n x =时取等号，故()max mx ny +.解法4设()(),,,,p m n q x y →→==则cos ,p q p q p q θ→→→→→→⋅=⋅⋅≤⋅222,p q p q →→→→∴⋅≤⋅()()222mx ny m n +≤+即()22,xyab +=当且仅当,p q →→共线，即my nx =时取等号，故()max mx ny +.解法5 若设mx ny k +=，则直线mx ny k +=与圆22x y b +=有公共点，于是≤()max k mx ny mx ny =+≤∴+=解法6设12,z m ni z x yi=+=-,则()()()()12,z z m ni x yi mx ny nx my i =+⋅-=++-∴1212,z z mx ny mx ny mx ny z z ⋅=≥=+≥+∴+≤12z z =⋅==当且仅当m y n x =时取等号，故()m a mx n y a b+． 解法7 构造函数()()()222222f X m nXmx ny X x y =+++++，则()()()220.f X mX x nX y =+++≥故()()()2222244mx ny m nxy ∆=+-++()2440,mx ny ab =+-≤即()max mx ny mx ny +≤∴+.ab =解法8 由2222,m n a x y b +=+=还可构造图形（如图），其中90,ACB ADB ︒∠=∠=,AC =,BC =,,BD x AD y AB ===为圆的直径，由托勒密定理,AD BC BD AC ⋅+⋅2,AB CD AB =⋅≤得,x y b ⋅+⋅≤，从而得m x n a b +≤my nx =且0mx >时取等号．()max mx ny ∴+=评析 解法1抓住已知条件式的结构特征，运用三角代换法，合情合理，自然流畅，也是解决此类型问题的通法之一．解法2运用基本不等式222b a ab +≤将ny mx +放大为关于22n m +与22y x +的式子，再利用条件求出最大值．值得注意的是，稍不注意，就会得出下面的错误解法：()()()22222222max ,22222m n x y m x n y a b a bmx ny mx ny ++++++++≤+==∴+=．故选A ．错误的原因就在于用基本不等式求最值时未考虑等号能否取到．上述不等式取等号的条件是x a =①且y b =②，而若①，②式同时取得，则2222m n x y +=+，即,a b =这与题设矛盾！即当a b ≠时，mx ny +取不到2a b+．解法2是避免这种错误的有效方法． 由于向量与复数的模的平方是平方和形式，与已知形式一致，故解法4与解法6分别运用了构造向量与构造复数的方法，新颖而简洁．解法5设k ny mx =+后，将其看作动直线，利用该直线与定圆b y x =+22有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，得ab ny mx k ≤+=，充分体现了等价转化的解题功能．解法7运用的是构造函数法．为什么构造函数()()()2222f X m n X mx ny X =+++2x +2y +呢？主要基于两点：①()f X 为非负式（值大于等于0），②由于()0≥X f ，故有0≤∆，而∆沟通了已知与未知的关系，故使问题得到解决．解法8抓住已知两条件式的特征，构造了两个有公共边的直角三角形，利用托勒密定理及圆的弦小于等于半径使问题获解，充分揭示了这一代数问题的几何背景．拓展 此题可作如下推广 若2222221212,,n n a a a p b b b q +++=+++=则()1122max n n a b a b a b +++=()1,2,,i i b i n ==时取得最大值）.证明 2222221212n n q q q a a a p a a a p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⇒+++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.q = 1122a b a b ∴+++1122n n n nqa bb b a b p ⎫=⋅⋅++⋅⎪⎪⎭≤p ⎝++⎢⎥⎢⎥⎣⎦=(),22222222122221pq qp p q q p b b b a a a pq q p n n=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++ 当且仅当()().,,2,1max 2211pq b a b a b a n i b a pqn n i i =+++∴== 时取等号，本推广实际就是由著名的Cauchy （柯西）不等式()()()222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a +++⋅+++≤+++ （当且仅当nn b a b a b a === 2211时取等号）直接得到的一个结论． 推广有十分广泛的应用，现举一例：例 已知123,,,,,,234,8.a b c x y zR a bc x y z +∈++=++=且求最大值．解2221232344,8a b c b cx y z ++==++=22⇒+2+＝8．由推广知=≤=当且仅当===即12ax by cz===时取等号．max∴=.24题4对于1≤m的一切实数m，使不等式221(1)x m x->-都成立的实数x的取值范围是＿＿＿＿（第十三届高二培训题第63题）解法1题设等价于⎪⎩⎪⎨⎧--<>-112122xxmx或⎪⎩⎪⎨⎧--><-112122xxmx或⎩⎨⎧>-=-1212xx，即⎪⎩⎪⎨⎧--<>-1121122xxx或⎪⎩⎪⎨⎧-->-<-1121122xxx或⎩⎨⎧>-=-1212xx,所以21<<x或113<<-x或1=x，即)2,13(-∈x.解法2 已知不等式即()()01212<---xmx，令()()121)(2---=xmxmf，则当012≠-x，即1±≠x时，)(mf是m的一次函数，因为1≤m，即11≤≤-m时不等式恒成立，所以)(mf在[]1,1-上的图象恒在m轴的下方，故有⎩⎨⎧<+--=<+-+-=-121)1(121)1(22xxfxxf，即⎩⎨⎧<->-+22222xxxx，解得213<<-x)1(≠x.又当1=x时，1)(-=mf，适合题意，当1-=x时，()3f m=不合题意.故x的取值范围是213<<-x.评析解决本题的关键是如何根据条件构建关于x的不等式或不等式组.解法1运用分离参数法，为了达到分离参数的目的，又对12-x分大于0、小于0、等于0三类情形分别构建关于x的不等式组，从而通过解不等式组解决了问题.解法2则转换思维角度，把已知不等式看成关于m的不等式，从而将原问题转化为函数()()121)(2---=xmxmf在[]1,1-上的图象恒在m轴下方的问题.这种方法称为变更主元法.用此方法，使得此题的解决显得既简捷，又直观易懂.题5 当0x a <<时,不等式2)(1122≥-+x a x 恒成立,则a 的最大值是________. (第十一届高二培训题第45题)解法 1 当0x a <<时, 2≥-+-x a x x x a ①,又有2)()(2222≥-+-x a x x x a ②,②+①×2,得6)(222222≥--+-x a x ax x x a ,6)()(122222≥---+-x a x a a x a ,8)(2222≥-+x a a x a ,即2228)(11a x a x ≥-+.由282≥a,得02a <≤,2max =∴a . 解法 2 2222)11()11()(112x a x x a x x a x--+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+ , 又 =-+x a x 11 +a 4(1a2)x a x x x a ---, 222)4()(112a x a x≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∴, 即2228)(11a x a x ≥-+, 当且仅当x a x x x a -=- 且 x a x -=11, 即 2ax = 时取等号. 2)(1122≥-+x a x 恒成立, ∴282,02a a ≥<≤. 于是2max =a . 解法 3 原不等式等价于12)(1122≥-+x a x ,由 0x a <<,可知10,x >10a x >-. 由 “两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”, 可知只需1)(2≥-+x a x , 即2≤a 即可, 故02a <≤, 于是2max =a .解法 422)(11x a x -+2≥ 即 2)(112222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++x x a x x ①成立，又2122≥+x x恒成立， ∴a 只要满足22)(1x x a --0≥②就能使①恒成立.由②式，得2x 2)(x a -1≤，1)(≤-x a x ，012≤-+-ax x ③.由于对称轴),0(2a ax ∈=，由二次函数的性质，当),0(a x ∈时，要③式恒成立，则24002a a ∆=-≤∴<≤ 2max =∴a .解法5 设αα22sin ,cos =-=a x a a x （0x a <<），则22)(11x a x -+=α42cos 1a + α42sin 1a ==+⋅αααα44442cos sin cos sin 1a =-⋅αα2sin 1612sin 2111422aαα2sin 2sin 28422-⋅a .)22(sin 2+αα2(sin 2－1）0≤，即2－αα2sin 2sin 42≥，则αα2s i n 2s i n 242-1≥)12s i n (2时取等号当=α，于是2228)(11ax a x ≥-+，由已知，得282,02,a a≥∴<≤2max =∴a . 解法6 设11,(0,0),X Y X Y x a x==>>-则222X Y +≥表示在XOY 坐标系第一象限内以原点为圆心，2为半径的圆及其外部.由11,,X Y x a x==-得,aXY X Y =+又aXY X Y =+,4,22aXY XY ≥∴≥它表示双曲线24a XY =位于第一象限内的一支及其上方部分.依题意，双曲线2224(0)200XY X X Y X Y a=>+=>>与圆弧（，）相切或相离，从而282≥a，即02a <≤ 2max =∴a .解法7 运用结论“如果),,2,1(,n i R y x i i =∈+，则≥+++nn y x y x y x 2222121),()(21221*++++++nn y y y x x x 当且仅当k y x y x y x n n ==== 2211（常数）时取等号.”0x a<<，∴0.a x ->由柯西不等式，有22222)11())(11)(11(x a x x a x -+≥-++①，由)(*得xa x -+11a4≥②.故O2 xO,)4())(11(2222a x a x ≥-+得2228)(11a x a x ≥-+，当且仅当2a x =时取等号，由282≥a，得02a <≤ 2max =∴a .解法8运用结论“212122311111(1),,n n n nn a a a a a a a a a a a -->>>+++≥----若则当且仅当n a a a ,,,21 成等差数列时取等号.”2222111122()(0)()x a x x a x ⎡⎤⎡⎤+=+≥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦2110x a x ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭222160)13(a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≥.∴2228)(11a x a x ≥-+，当且仅当x a x -=，即2a x =时取等号.令282≥a，得02a <≤ 2max =∴a . 评析2)(1122≥-+x a x 恒成立，∴2)(11min22≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x a x .故问题的实质就是求22)(11x a x -+的最小值（关于a 的式子）大于等于2的解.因而在0x a <<的条件下，如何求22)(11x a x -+的最小值成了问题的关键.解法1运用“两个互为倒数的正数的和大于等于2”, 解法2运用配方再放缩, 解法3运用均值不等式及“两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”,解法5运用三角代换，解决了这一关键问题.解法4巧妙地将原问题转化为一个含参（a ）一元二次不等式恒成立，求参数的范围问题，从而运用二次函数的性质解决问题.解法6将原问题转化为解析几何问题处理.解法7、8则是运用一些现成的结论（读者可自己证明），各种解法异彩纷呈，都值得细细品味.拓展 此题可作如下推广：推广1 若1210n x x x a -<<<<<，则≥-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x 23a n ，当且仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号.证明 由已知，1210n x x x a -<<<<<，则12x x -0>，23x x -0>，, 1--n x a 0>.根据柯西不等式及解法7运用的不等式（*）,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x n≥21211111n x x x a x -⎛⎫+++≥ ⎪--⎝⎭2242,n n a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭故≥-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x 23a n . 当且仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号.推广2 若1210n x x x a -<<<<<，,),,,2,1(++∈=∈N k n i R b i 则++kk x b 111kk n k n k n k k ab b b x a b x x b 121111212)()()(+-+++++≥-++- ，当且仅当∑==n i ii i b ab a 1时取等号. 证明 不妨设112211,,,--=-==n n x a a x x a x a ，=M ,)(11+=∑k ni i b 由已知得i a 0>且),,2,1(n i =,1a a ni i =∑=令a a c i i =，则∑=ni i c 1=111=∑=ni i a a .由均值不等式，++k i k i c b 1≥+++个k i i i Mc Mc Mc ,)1(11+++k k ik b M k 即k ik ic b 1+kn i b b b k kMc ))(1(21++++≥+ ib ⋅，则11111(1)()k nnn k i i iki i i i b kM c k bc ++===+≥+∴∑∑∑1111()k nn k i i k i i i b b c ++==≥∑∑，即11k nki k i ib a a +=≥∑11()n k i i b +=∑，11111()nk k i ni i k k ni ii i b b a a ++===≥⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑，当且仅当=i a ∑∑∑====⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n i i i i n i i n i i b ab b b a 111时取等号. ∴++kk x b 111++kk x b 212kn kn x a b )(1--+ k k n a b b b 121)(++++≥ . 题6 已知()⎪⎭⎫⎝⎛∈=2,0,log sin πθθx x f ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos sin θθf a ，()θθcos sin ⋅=fb ，⎪⎭⎫⎝⎛+=θθθcos sin 2sin f c ，那么c b a 、、的大小关系是 （ ）A 、b c a ≤≤B 、a c b ≤≤C 、a b c ≤≤D 、c b a ≤≤（第八届高二第一试第10题） 解法1 设p =θsin ，q =θcos .pq qp ≥+2，而()x f 是减函数，()pq fq p f ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴2，即b a ≤.2qp pq +≤，()2pq q p pq +≤∴，pq qp pq≤+2.()pq fq p pq f ≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∴2，即b c ≥.故c b a ≤≤.选D.解法2 由题意，令6πθ=，则21sin =θ，cos θ=，4312cos sin +=+θθ ，23cos sin 4=θθ，233cos sin cos sin 2cos sin 2sin -=+=+θθθθθθθ，()1,021sin ∈=θ ，()x f ∴是减函数，又233234314->>+，()⎪⎭⎫⎝⎛+<<⎪⎭⎫⎝⎛+∴θθθθθθθcos sin 2sin cos sin 2cos sin f ff ，即c b a <<.故选D.评析 这是一个比较函数值大小的问题，通常利用函数的单调性.若函数()x f 单调递增（减），则当21x x <时，()()()()()2121x f x f x f x f ><，当21x x >时，()()21x f x f >()()()21x f x f <.因此解决问题的关键有两个：一是确定函数的单调性，二是确定自变量的大小关系.解法1就是这样解决问题的.因为正确答案应对一切⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ都正确，故又可以运用特殊值法.对⎪⎭⎫⎝⎛2,0π内的某个角不正确的选择支都是错误的，由正确选择支的唯一性，也可选出正确答案.解法2便是取特殊值6πθ=，排除了A 、B 、C 、而选D 的.当然，此题也可用作差比较法来解：⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ ，()1,0sin ∈∴θ，()x f ∴是单调减函数，0sin >θ，0cos >θ.=⋅-+=-∴θθθθθθcos sin log 2cos sin log sin sin b a01log cos sin 2cos sin log sin sin =≤⋅+θθθθθθ，b a ≤∴.又-⋅=-θθθcos sin log sin c b 01log cos sin 2cos sin log cos sin cos sin 2cos sin log cos sin 2sin log sin sin sin sin =≤+=+⋅=+θθθθθθθθθθθθθθθθθ，即c b ≤，c b a ≤≤∴.选D.题7 已知21=a ，不等式49321log <⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a的解是 . （第三届高二第二试第13题）解 原不等式即2log 32321-⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛-x a. 指数函数x⎪⎭⎫⎝⎛32是减函数，21=a ，∴原不等式化为2log 121->-x ，即22121121loglog -⎪⎪⎭⎫⎝⎛->x .又对数函数log x 是减函数，2211-⎪⎭⎫⎝⎛<-∴x ，即21<-x ，解得31<<-x . 对数函数121log-x 的定义域是1≠x 的实数，∴原不等式的解是11<<-x 或31<<x .评析 此题涉及到指数不等式、对数不等式、绝对值不等式的解法.解指数不等式与对数不等式的基本方法是同底法，即先将不等式两边的指数式或对数式化成底数相同的指数式或对数式，然后根据底数所属区间是()1,0或()+∞,1，确定以该底数为底的指数函数或对数函数的单调性，再去掉底数或对数符号，转化成别的不等式.主要依据如下：⑴若01a <<,则()()()()f x g x a af xg x <⇔>；⑵若1a >,则()()()()f x g x aaf xg x <⇔<； ⑶若01a <<,则()()()()log log 0f x g x a af xg x <⇔>>；⑷若1a >,则()()()()log log 0f x g x aaf xg x <⇔<<.有时需要将常数化为指数式或对数式，其化法如下： ⑴ac ca log =（,0,0>>c a 且1≠c ）；（化为指数式）⑵log ac a c =（,0>c 且1≠c ）.（化为对数式） 例如，23log 32=将常数2化为3为底的指数式，233log 2=将常数2化为3为底的对数式.解指数不等式不需检验，但解对数不等式必须保证解使得对数式有意义，这点常被忽略. 若一个指数不等式的指数部分是对数式，常常采用取对数法求解. 例 不等式()x x x>lg的解集是 .（第十一届高二培训题第40题）解 两边取常用对数，得()x xlg lg2>，即0lg ,0lg 4lg ,0lg lg 4122<>->-x x x x x 或10,4lg <<∴>x x 或410>x .故所求解集是()()+∞,101,04.应当指出，两边取对数后，不等号的方向变不变，关键看取的是什么底数.如果底数大于1，则不等号方向不变，如果底数大于0且小于1，则不等号方向改变.关于绝对值不等式，主要是根据绝对值的几何意义求解.下列结论应当理解并熟记（a 为常数）.⑴()0≤<a a x 的解集是φ； ⑵()0><a a x 的解集是()a a ,-； ⑶()0<>a a x 的解集是R ；⑷()0x a a >>的解集是()()+∞-∞-,,a a . 下列题目供练习：⑴已知常数⎪⎭⎫⎝⎛∈4,0πθ，则不等式()()8103cot tan 2--->x x x θθ的解集是 .（第八届高二第一试第16题）⑵若函数()⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=4222log log x x x f 的定义域是不等式211222log 7log 30x x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭的解集，则()x f 的最小值= ；最大值= .（第十届高二第一试第23题）⑶不等式22222log 2log x x x x x x ++>的解集是 .（第九届高二培训题第23题）⑷不等式1323>--x 的解是（ ）（A ）6>x 或232<≤x （B ）6>x 或2<x （C ）6>x （D ）2<x答案 ⑴(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∞-1374,52, ⑵43 ；2 ⑶⎪⎭⎫⎝⎛2,21 ⑷A题8 不等式t x x +≥-21 的解集是∅ ,实数t 的取值范围(用区间形式)是 .(第一届高二第一试第18题)解法1 由t x x +=-21两边平方并整理得012222=-++t tx x ,此方程无实根,故()084184222<+-=--=∆t t t ,22>t .又0>t ,2>∴t .故填()+∞,2.解法2 作出函数21x y -=的图象(即图中的半圆)及函数t x y +=的图象(即图中斜率为1的直线系).由题意,直线应在半圆的上方,由图象可知直线t x y +=在y 轴上的截距2>t .故填()+∞,2.解法3 由012≥-x ,得11≤≤-x .故设θc o s =x ,[]πθ,0∈,则已知不等式就是t +≥θθcos sin ,即θθcos sin -≤t .⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-4sin 2cos sin πθθθ ,又⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-43,44πππθ,()sin cos [1θθ∴-∈-.由题意得2>t . 故填()+∞,2.评析 这是一道蕴含着丰富数学思想方法的好题.解法1﹑2﹑3分别运用方程思想﹑数形结合思想﹑化归转换思想,从不同的角度解决了问题,体现了这道题的丰富内涵.解法2揭示了本题的几何背景.解法3的依据是:不等式t x x +≥-21 的解集是∅等价于不等式x x t -->21恒成立.有人认为不等式t x x +≥-21 的解集是∅等价于不等式x x t -->21有解,这种观点是错误的.事实上,21=t 时,不等式x x t -->21就有解(比如53=x 就是其一个解),而21=t 时,不等式t x x +≥-21即2112+≥-x x 的解集却不是∅ (比如0就是它的一个解).拓展 通过上面的分析,并作进一步的研究,我们便有下面的 结论 已知t 为参数, ()f x 的值域是[],a b . (1) 若()t f x ≤恒成立,则t a ≤. (2) 若()t f x ≥恒成立,则t b ≥.(3) 若()t f x ≤的解集是∅,则t b >. (4) 若()t f x ≥的解集是∅,则t a <. (5) 若()t f x ≤有解,则t b ≤. (6) 若()t f x ≥有解,则t a ≥.若将()f x 的值域改为[),a b 、(],a b 、(),a b 等，也会有相应的结论，限于篇幅，不再一一列出．根据这一结论，请回答下列问题：1.t +的解集是∅，则实数t 的取值范围是 ． 2.t +的解集是∅，则实数t 的取值范围是 ． 3.t +有解，则实数t 的取值范围是 ． 4.t +有解，则实数t 的取值范围是 ． 5.t >+恒成立，则实数t 的取值范围是 ． 6.t +恒成立，则实数t 的取值范围是 ． 答案 1. ()2,+∞2.(,-∞3.)⎡+∞⎣4.(],2-∞5.(,-∞6.()2,+∞题9不等式3422≥+---x x x 的解集是（ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-255,253 C 、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-,255253,D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-253,255 （第十三届高二第二试第8题）解法1 当0342≥+-x x ，即1≤x 或3≥x 时，原不等式就是,03422≥-+--x x x 即0552≤+-x x ，解得2553.255255+≤≤∴+≤≤-x x . 当2430,13x x x -+<即<<时，原不等式就是，03422≥+-+-x x x 即，0132≥+-x x 解得253-≤x或3x x ≥≤<.综上，所求解集为355,33,,22⎡⎫⎡+⎪⎢⎢⎪⎣⎭⎣⎦即⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253.故选A. 解法2 如图，作函数2-=x y 和342+-=x x y 的图象.要求的解集就是21y y ≥，即1y 在2y 上方时x 的区间，即图中线段AB 上的点所对应的横坐标所组成的区间[]B A x x ,.又(),1234222--=+-=x x x y 当32<<x 时，().2122--=x y 由()2212-=--x x 可解得253+=A x .当3>x 时，(),1222--=x y 由()2122-=--x x 可解得255+=Bx ，∴所求不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253，故选A.解法 3 同解法2画出图形后，可知解集为一个闭区间[]b a ,，且()3,2∈a ，对照 选择支.可知选A.解法4 当5.1=x 时，03422<+---x x x 时，故1.5不是原不等式的解，从而排除含1.5的B 、C 、D ，故选A.评析 解含绝对值的不等式，一般是先去掉绝对值符号，然后再求解.解法1正是运用分类讨论思想这样解决问题的，也是一种通法.我们知道，方程()()x g x f =的解就是函数()x f y =与()x g y =的图象交点的横坐标；若图象无交点，则方程无解.而不等式()()x g x f >的解集则是函数()x f y =的图象在()x g y =的图象上方部分的点的横坐标的集合；若()x f y =的图象都不在()x g y =的图象的上方，则不等式无解.解法2正是运用这种数形结合思想解决问题的.许多超越不等式的近似解或解的所属范围也都运用此法解决.选择题的正确答案就在选择支中，只是要求我们把它选出来而已.因此,不是非要求出答案再对照选择支选择答案不可的.基于此，解法3运用估算的方法选出了正确答案(注意：估算能力是高考明确要求要考查的能力之一).而解法4则运用特殊值排除了干扰支，进而选出了正确答案.类似这种不等式（方程）的解集是什么的选择题几乎都可用这种方法解，而且1 A B十分方便.值得注意的是，特殊值只能否定错误结论，根据正确选择支的唯一性才能肯定正确答案.另外，如何选取特殊值也是很有讲究的，读者可在解题实践中体会并加以总结.题10 不等式199920003224>-+-x x 的解集是 . （第十一届高二培训题第41题）解 设y=x x -+-3224 ，由⎩⎨⎧≥-≥-03024x x ，得定义域为[21，3]. 1999200010,106144410)3)(24(4)3(42422>≥∴≥-+-+=--+-+-=y x x x x x x y 即原不等式在定义域内恒成立，故所求解集为[21，3].评析 解无理不等式，通常是通过乘方去掉根号，化为有理不等式后再解.但从此题中不等式右边的数可以想象该有多么复杂，若将题目改为“276.571623.93224+>-+-πx x 的解集是 ”，还会有谁想通过平方化为有理不等式去解呢？显然，常规方法已难以解决问题，怎么办呢？考虑到不等式中的x ∈[21，3]，从而左边1999200010>≥，故解集就是定义域，这就启示我们，当常规思维受阻或难以奏效时，就应积极开展非常规思维，另辟蹊径，寻求解决问题的新方法.拓展 根据上面的分析，并加以拓广，我们可得结论 设a,b,c 是常数，若[,],()[,],()[,]x a b f x m n g x p q ∈∈∈,则当m c >时,不等式()f x c >的解集是[,],()a b f x c ≤的解集是φ；当n c <时, 不等式()f x c ≥的解集是φ,()f x c <的解集是[,]a b ;当n p >时, 不等式()()f x g x ≥的解集是φ, ()()f x g x <的解集是[,]a b ;当m q >时，不等式()()f x g x >的解集是[,]a b ，()()f x g x ≤的解集是φ.根据这一结论，不难求得下列不等式的解集：1、2、 2sinx+3cosx>4;3、 322163-->-x x ;4、 x x x -<-+-433)1(log 4;5、 sinx-cosx<32+x .答案：1、φ2、[2，+∞)3、φ4、R。
必修二立体几何较难的题目汇总情况.doc
实用标准文案1. 四面体 ABCD 四个面的重心分别为 E 、F 、G 、H ，则四面体 EFGH 的表面积与四面体 ABCD 的表面积的比值是（ ） A)1B)1 C)1 D)1 271698如图，连接 AF 、 AG 并延长与 BC 、 CD 相交于 M 、N ，由于 F 、G 分别是三角形的重心， 所以 M 、N 分别是 BC 、CD 的中点，且 AF ： AM=AG ：AN=2：3，所以 FG ：MN=2： 3，又 MN ： BD=1：2，所以 FG ：BD=1：3， 即两个四面体的相似比是 1：3，所以两个四面体的表面积的比是 1：9；故选 C ．如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l ， m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ， C和点 D ， E ， F ．已知 AC ＝ 15cm ， DE ＝ 5cm ， AB ︰ BC ＝ 1︰ 3，求 AB ， BC ， EF 的长设平面α‖β ,A 、C ∈α ,B 、 D ∈β直线 AB 与 CD 交于 S ，若 AS=18,BS=9,CD=34,则 CS=?68/3 或 68与空间四边形 ABCD 四个顶点距离相等的平面共有多少个?七个你可以把它想象成一个 三棱锥 四个顶点各对应一个 有四个， 两条相对棱对应一个共三组相对棱因此有三个总共有七个如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAD ⊥平面 ABCD ，AB ∥ DC ，△ PAD 是等边三角形， 已知 BD=2AD=8， AB=2DC=。
（ 1）设 M是 PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面 PAD；（ 2）求四棱锥P-ABCD的体积解：（ 1）证明：在中，由于，，，所以故又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面。
（ 2）过作交于O，由于平面平面，所以平面因此为四棱锥的高，又是边长为 4 的等边三角形因此在底面四边形中，，，所以四边形是梯形，在中，斜边边上的高为，此即为梯形的高，所以四边形的面积为故。
高联二试难度几何100题(带图、已精排适合打印、预留做题空间)
高联难度平面几何１0０题二〇一七年八月ﻬ目录第一题:证明角平分ﻩ错误!未定义书签。
第二题:证明四点共圆................................................................................................................ 错误!未定义书签。
第三题:证明角得倍数关系ﻩ错误!未定义书签。
第四题:证明线与圆相切............................................................................................................ 错误!未定义书签。
第五题:证明垂直ﻩ错误!未定义书签。
第六题:证明线段相等ﻩ错误!未定义书签。
第七题:证明线段为比例中项.................................................................................................... 错误!未定义书签。
第八题:证明垂直ﻩ错误!未定义书签。
第九题:证明线段相等ﻩ错误!未定义书签。
第十题:证明角平分.................................................................................................................... 错误!未定义书签。
第十一题:证明垂直ﻩ错误!未定义书签。
第十二题:证明线段相等............................................................................................................ 错误!未定义书签。
第十三题:证明角相等ﻩ错误!未定义书签。
高联难度几何题100道(无图版)汇总
第一题：证明角平分已知PE 、PF 是⊙O 的切线，A 、B 是一组对径点，PB 交⊙O 于另一点C ，直线AF 、BE 交于D 点。
求证：PCE PCD ∠=∠。
第二题：证明四点共圆如图，AB 是⊙O 的直径，C ,D 是圆上异于A 、B ,且在AB 同侧的两点，分别过C 、D 作⊙的O 切线，它们交于点E ,线段AD 与BC 的交点为F , 线段AB 与EF 的交点为M ,求证：E 、C 、M 、D 四点共圆。
第三题：证明角的倍数关系如图，PE 、PF 是以AB 为直径圆的切线E 、F 是切点，PB 交圆于C 点，AF 、BE 交于D 点，AB 是直径。
求证：ACD DPE ∠=∠2。
第四题：证明线与圆相切已知：ABC ∆中，︒=∠90A ，AD 切⊙ABC ，AD 交BC 延长线于D ，E 是A 关于BC 的对称点，BE AY ⊥于Y ，X 是AY 中点，延长BX 交⊙ABC 于J ，求证：BD 切AJD ∆外接圆第五题：证明垂直已知四边形ABCD 内接于以BD 为直径的圆，设'A 为A 关于BD 为对称点，'B 是B 关于AC 对称点，直线AC 交'DB 于Q ，直线DB 交'CA 于P 。
求证：AC PQ ⊥。
第六题：证明线段相等已知：BC 、BD 是⊙O 切线，C 、D 是切点，BJA 是割线，A 、J 在圆上，J 离B 较近，AO DE ⊥于E ，交AB 于F ，AC 交DE 于G ，求证：FG DF =。
第七题：证明线段为比例中项已知ABC ∆中，BC AC =，M 是AB 的中点，FG 经过点M ，且CFG ∆与ABC ∆有相同的内心。
求证：GM FM AM ⨯=2。
第八题：证明垂直已知：ABC ∆为非直角三角形，AD 平分BAC ∠，D 在BC 上，AC DF ⊥于F ，AB DE ⊥于E ，CE 交BF 于P 。
求证：BC AP ⊥。
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高联难度平面几何100题第一题：证明角平分 (5)第二题：证明四点共圆 (6)第三题：证明角的倍数关系 (7)第四题：证明线与圆相切 (8)第五题：证明垂直 (9)第六题：证明线段相等 (10)第七题：证明线段为比例中项 (11)第八题：证明垂直 (12)第九题：证明线段相等 (13)第十题：证明角平分 (14)第十一题：证明垂直 (15)第十二题：证明线段相等 (16)第十三题：证明角相等 (17)第十四题：证明中点 (18)第十五题：证明线段的二次等式 (19)第十六题：证明角平分 (20)第十七题：证明中点 (21)第十八题：证明角相等 (22)第十九题：证明中点 (23)第二十题：证明线段相等 (24)第二十一题：证明垂直 (25)第二十二题：证明角相等 (26)第二十三题：证明四点共圆 (27)第二十四题：证明两圆相切 (28)第二十五题：证明线段相等 (29)第二十六题：证明四条线段相等 (30)第二十七题：证明线段比例等式 (31)第二十八题：证明角的倍数关系 (32)第二十九题：证明三线共点 (33)第三十题：证明平行 (34)第三十一题：证明线段相等 (35)第三十二题：证明四点共圆 (36)第三十三题：证明三角形相似 (37)第三十四题：证明角相等 (38)第三十五题：证明内心 (39)第三十六题：证明角平分 (40)第三十七题：证明垂直 (41)第三十八题：证明面积等式 (42)第三十九题：证明角平分 (43)第四十题：证明角相等 (44)第四十一题：证明中点 (45)第四十二题：证明中点 (46)第四十三题：证明角相等 (47)第四十四题：证明垂直 (48)第四十五题：证明角相等 (49)第四十六题：证明垂直 (50)第四十七题：证明四点共圆 (51)第四十八题：证明四点共圆 (52)第四十九题：证明四点共圆 (53)第五十题：证明角平分 (54)第五十一题：证明线段相等 (55)第五十二题：证明两圆外切 (56)第五十三题：证明垂直 (57)第五十四题：证明垂直 (58)第五十五题：证明垂直 (59)第五十七题：证中点 (61)第五十八题：证明角相等 (62)第五十九题：证明角相等 (63)第六十题：证明四点共圆 (64)第六十一题：证明四点共圆 (65)第六十二题：证明四点共圆 (66)第六十三题：证明角相等 (67)第六十四题：证明角的倍数关系 (68)第六十五题：证明中点 (69)第六十六题：伪旁切圆 (70)第六十七题：证明垂直 (71)第六十八题：证明平行 (72)第六十九题：证明圆心在某线上 (73)第七十题：证明三线共点 (74)第七十一题：证明垂直 (75)第七十二题：证明垂直 (76)第七十三题：证明中点 (77)第七十四题：证明垂直 (78)第七十五题：证明垂直 (79)第七十六题：证明三线共点 (80)第七十七题：证明平行 (81)第七十八题：证明平行 (82)第七十九题：证明三线共点、证明垂直 (83)第八十题：证明三点共线（牛顿定理） (84)第八十一题：证明角平分 (85)第八十二题：证明角相等 (86)第八十三题：证明三点共线 (87)第八十四题：证明四圆共点 (88)第八十六题：证明线段相等 (90)第八十七题：证明角相等 (91)第八十八题：证明线段相等 (92)第八十九题：证明线段相等 (93)第九十题：证明线段相等 (94)第九十一题：证明中点 (95)第九十二题：证明四点共圆 (96)第九十三题：证明西姆松定理及逆定理 (97)第九十四题：证明线段的和差关系等式 (98)第九十五题：证明角相等 (99)第九十七题：证明线段的和差关系等式 (100)第九十八题：证明角相等 (101)第九十九题：证明四点共圆 (102)第一百题：证明两三角形共内心 (103)第一题：证明角平分已知PE 、PF 是⊙O 的切线，A 、B 是一组对径点，PB 交⊙O 于另一点C ，直线AF 、BE 交于D 点。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(5).doc
加试模拟训练题（5）1. （DO过△低顶点出C,且与仙,BC交于K,”（《与"不同）.'ABC 外接圆和△测外接圆相交于B和必求证：Z劭罪90° .2、设正数a l,a2,---,a n,其和为s,求证：V ——> nS j=i 2 —a i 2n —s3、在议会中，1600名议员组成1600个委员会，每个委员会由80人组成.证明：可以找出两个委员会，它们的共同成员不少于4位.dh4、设正整数a,b,c的最大公约数是1,并且——=c,证明a-b是一个完全平方数。
a-bn s证明：£严=£匕2“)+ 2i=\ Z_ (Jj z=l厂 ~|2 （工v （ix ）（工吕） Z =i=l i=l 入令A,.2 =2(2-a ;)(心 1,2,…必),则: £2,.2=£2（2-«;） =2（2〃 一 s ）, i=i i=i f 2〉4用 纟 2 - 色 2（2〃 一 s ） 2n- s% 右-（2-%）+ 2 十—心1 2-a i 台 2 — %铝 2 - 色 2n-s 2n- s 3、在议会中，1600名议员组成1600个委员会，每个委员会由80人组成.证明：可以找出两 个委员会，它们的共同成员不少于4位.【证】设议会中有N 个委员会. 将每位议员所参加的委员会，每两个组成一对。
如果某个人参加了k个委员会，那么可俎戍畔卫对.设Is 1。
k 1600分别为这1600名议员所参加的委员会的个数.那么，上述对数之和应为又(£2)2 =4n- i=\InIn n s加试模拟训练题（5）1. QO^ABC 顶点C,且与 £3BC 交予K, "（«与川不同）.AABC 外接圆和△场"外接圆相交于E 和 必求证：ZW ＞90° .（第26届恥第五题）证明：连接OC, OK, MC, MK,延长副到G.易得AGMC=/BAOZBNFZBMK.而ZCO 用2 • ZBAOAGMC+ Z 脑M80° -ACMK,:.ACOK+ZCMI^^0 二＞G 0, K, 〃四点共圆. 在这个圆中，由0乍％二＞ OOOK^ ZOMOZOMK. 但上 GMOZ B Q 敌2B M0=9Q 。
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高联难度平面几何100题二〇一七年八月目录第一题：证明角平分 (5)第二题：证明四点共圆 (6)第三题：证明角的倍数关系 (7)第四题：证明线与圆相切 (8)第五题：证明垂直 (9)第六题：证明线段相等 (10)第七题：证明线段为比例中项 (11)第八题：证明垂直 (12)第九题：证明线段相等 (13)第十题：证明角平分 (14)第十一题：证明垂直 (15)第十二题：证明线段相等 (16)第十三题：证明角相等 (17)第十四题：证明中点 (18)第十五题：证明线段的二次等式 (19)第十六题：证明角平分 (20)第十七题：证明中点 (21)第十八题：证明角相等 (22)第十九题：证明中点 (23)第二十题：证明线段相等 (24)第二十一题：证明垂直 (25)第二十二题：证明角相等 (26)第二十三题：证明四点共圆 (27)第二十四题：证明两圆相切 (28)第二十五题：证明线段相等 (29)第二十六题：证明四条线段相等 (30)第二十七题：证明线段比例等式 (31)第二十八题：证明角的倍数关系 (32)第二十九题：证明三线共点 (33)第三十题：证明平行 (34)第三十一题：证明线段相等 (35)第三十二题：证明四点共圆 (36)第三十三题：证明三角形相似 (37)第三十四题：证明角相等 (38)第三十五题：证明内心 (39)第三十六题：证明角平分 (40)第三十七题：证明垂直 (41)第三十八题：证明面积等式 (42)第三十九题：证明角平分 (43)第四十题：证明角相等 (44)第四十一题：证明中点 (45)第四十二题：证明中点 (46)第四十三题：证明角相等 (47)第四十七题：证明四点共圆 (51)第四十八题：证明四点共圆 (52)第四十九题：证明四点共圆 (53)第五十题：证明角平分 (54)第五十一题：证明线段相等 (55)第五十二题：证明两圆外切 (56)第五十三题：证明垂直 (57)第五十四题：证明垂直 (58)第五十五题：证明垂直 (59)第五十六题：证明垂直 (60)第五十七题：证中点 (61)第五十八题：证明角相等 (62)第五十九题：证明角相等 (63)第六十题：证明四点共圆 (64)第六十一题：证明四点共圆 (65)第六十二题：证明四点共圆 (66)第六十三题：证明角相等 (67)第六十四题：证明角的倍数关系 (68)第六十五题：证明中点 (69)第六十六题：伪旁切圆 (70)第六十七题：证明垂直 (71)第六十八题：证明平行 (72)第六十九题：证明圆心在某线上 (73)第七十题：证明三线共点 (74)第七十一题：证明垂直 (75)第七十二题：证明垂直 (76)第七十三题：证明中点 (77)第七十四题：证明垂直 (78)第七十五题：证明垂直 (79)第七十六题：证明三线共点 (80)第七十七题：证明平行 (81)第七十八题：证明平行 (82)第七十九题：证明三线共点、证明垂直 (83)第八十题：证明三点共线（牛顿定理） (84)第八十一题：证明角平分 (85)第八十二题：证明角相等 (86)第八十三题：证明三点共线 (87)第八十四题：证明四圆共点 (88)第八十五题：证明角平分 (89)第八十六题：证明线段相等 (90)第八十七题：证明角相等 (91)第八十八题：证明线段相等 (92)第八十九题：证明线段相等 (93)第九十三题：证明西姆松定理及逆定理 (97)第九十四题：证明线段的和差关系等式 (98)第九十五题：证明角相等 (99)第九十六题：证明托勒密定理及逆定理 (100)第九十七题：证明线段的和差关系等式 (101)第九十八题：证明角相等 (102)第九十九题：证明四点共圆 (103)第一百题：证明两三角形共内心 (104)第一题：证明角平分已知PE 、PF 是⊙O 的切线，A 、B 是一组对径点，PB 交⊙O 于另一点C ，直线AF 、BE 交于D 点。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(59).doc
a 1 *b J *ab ' b s *c 5 +bc ' c J *a J *ca^、abc a 加试模拟训练题(59)1. 设4444为。
内接四边形，压,及，田,%依次为△444, △444, △如胡2, △444的垂心.求证：H\,",压,&四点共圆，并确定 出该圆的圆心位置.2. 设a 、b> c 是正实数，并满足abc=l.证明:并指明等号在什么条件下成立. 3. 设有两个完全相同的齿轮A 、B, B 被平放在一个水平面上，A 放在B 上面并使两者完全重 合(从而两者在水平面上的投影完全重合)，然后任意去掉四对重合的齿.如果两齿轮各有14 个齿，试问：能否将齿轮A 绕两齿轮的公共轴旋转一个适当的位置，使得两齿轮在水平面上 的投影合为一个完整齿轮的投影？如果两齿轮各原有13个齿,又是怎样呢？请证明你的论断.田,田,血四点共圆，并4. 将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，求出这个数列的第2010项。
加试模拟训练题(59)1. 设4444为。
内接四边形，氏,压,4依次为△444, △444, △"4 的垂心.求证:H 、,出该圆的圆心位置.(1992,全国高中联赛)分析：连接砌,恤,&底记圆半径为7?.山知A/ sin 同理,（3） ca < ac 1 *a s +ca a*b*c=27?=> A-Hi-2.Rcos ZAAJi ；由左AiAiAt 得』i&=27?cos A3A1A1.fH. AiAiAf 2AiAiA\,故 AzHsAi 压.易证/泓〃44,于是，A 迅 AM, g 故得.压 4里设与及4的交点为必故*&与做2关于他点成中心对称.同理，也压与京4,压Hi 与44,山出与4小都关于物点成中心对称.故四边形HHHH 与 四边形4&凡&关于力点成中心对称，两者是全等四边形，氏,H 2,压,&在同一个圆上. 后者的圆心设为0, 0与。
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高联难度平面几何100题二〇一七年八月目录第一题：证明角平分 (5)第二题：证明四点共圆 (6)第三题：证明角的倍数关系 (7)第四题：证明线与圆相切 (8)第五题：证明垂直 (9)第六题：证明线段相等 (10)第七题：证明线段为比例中项 (11)第八题：证明垂直 (12)第九题：证明线段相等 (13)第十题：证明角平分 (14)第十一题：证明垂直 (15)第十二题：证明线段相等 (16)第十三题：证明角相等 (17)第十四题：证明中点 (18)第十五题：证明线段的二次等式 (19)第十六题：证明角平分 (20)第十七题：证明中点 (21)第十八题：证明角相等 (22)第十九题：证明中点 (23)第二十题：证明线段相等 (24)第二十一题：证明垂直 (25)第二十二题：证明角相等 (26)第二十三题：证明四点共圆 (27)第二十四题：证明两圆相切 (28)第二十五题：证明线段相等 (29)第二十六题：证明四条线段相等 (30)第二十七题：证明线段比例等式 (31)第二十八题：证明角的倍数关系 (32)第二十九题：证明三线共点 (33)第三十题：证明平行 (34)第三十一题：证明线段相等 (35)第三十二题：证明四点共圆 (36)第三十三题：证明三角形相似 (37)第三十四题：证明角相等 (38)第三十五题：证明内心 (39)第三十六题：证明角平分 (40)第三十七题：证明垂直 (41)第三十八题：证明面积等式 (42)第三十九题：证明角平分 (43)第四十题：证明角相等 (44)第四十一题：证明中点 (45)第四十二题：证明中点 (46)第四十三题：证明角相等 (47)第四十七题：证明四点共圆 (51)第四十八题：证明四点共圆 (52)第四十九题：证明四点共圆 (53)第五十题：证明角平分 (54)第五十一题：证明线段相等 (55)第五十二题：证明两圆外切 (56)第五十三题：证明垂直 (57)第五十四题：证明垂直 (58)第五十五题：证明垂直 (59)第五十六题：证明垂直 (60)第五十七题：证中点 (61)第五十八题：证明角相等 (62)第五十九题：证明角相等 (63)第六十题：证明四点共圆 (64)第六十一题：证明四点共圆 (65)第六十二题：证明四点共圆 (66)第六十三题：证明角相等 (67)第六十四题：证明角的倍数关系 (68)第六十五题：证明中点 (69)第六十六题：伪旁切圆 (70)第六十七题：证明垂直 (71)第六十八题：证明平行 (72)第六十九题：证明圆心在某线上 (73)第七十题：证明三线共点 (74)第七十一题：证明垂直 (75)第七十二题：证明垂直 (76)第七十三题：证明中点 (77)第七十四题：证明垂直 (78)第七十五题：证明垂直 (79)第七十六题：证明三线共点 (80)第七十七题：证明平行 (81)第七十八题：证明平行 (82)第七十九题：证明三线共点、证明垂直 (83)第八十题：证明三点共线（牛顿定理） (84)第八十一题：证明角平分 (85)第八十二题：证明角相等 (86)第八十三题：证明三点共线 (87)第八十四题：证明四圆共点 (88)第八十五题：证明角平分 (89)第八十六题：证明线段相等 (90)第八十七题：证明角相等 (91)第八十八题：证明线段相等 (92)第八十九题：证明线段相等 (93)第九十三题：证明西姆松定理及逆定理 (97)第九十四题：证明线段的和差关系等式 (98)第九十五题：证明角相等 (99)第九十六题：证明托勒密定理及逆定理 (100)第九十七题：证明线段的和差关系等式 (101)第九十八题：证明角相等 (102)第九十九题：证明四点共圆 (103)第一百题：证明两三角形共内心 (104)第一题：证明角平分已知PE 、PF 是⊙O 的切线，A 、B 是一组对径点，PB 交⊙O 于另一点C ，直线AF 、BE 交于D 点。
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求证：PCE PCD ∠=∠。
第二题：证明四点共圆如图，AB 是⊙O 的直径，C ,D 是圆上异于A 、B ,且在AB 同侧的两点，分别过C 、D 作⊙的O 切线，它们交于点E ,线段AD 与BC 的交点为F , 线段AB 与EF 的交点为M ,求证：E 、C 、M 、D 四点共圆。
A EB第三题：证明角的倍数关系如图，PE 、PF 是以AB 为直径圆的切线E 、F 是切点，PB 交圆于C 点，AF 、BE 交于D 点，AB 是直径。
求证：ACD DPE ∠=∠2。
A PB第四题：证明线与圆相切已知：ABC ∆中，︒=∠90A ，AD 切⊙ABC ，AD 交BC 延长线于D ，E 是A 关于BC 的对称点，BE AY ⊥于Y ，X 是AY 中点，延长BX 交⊙ABC 于J ，求证：BD 切AJD ∆外接圆。
DB第五题：证明垂直已知四边形ABCD 内接于以BD 为直径的圆，设'A 为A 关于BD 为对称点，'B 是B 关于AC 对称点，直线AC 交'DB 于Q ，直线DB 交'CA 于P 。
求证：AC PQ 。
PD第六题：证明线段相等已知：BC、BD是⊙O切线，C、D是切点，BJA是割线，A、J在圆上，J离B较近，DF=。
DE⊥于E，交AB于F，AC交DE于G，求证：FGAOA第七题：证明线段为比例中项已知ABC ∆中，BC AC =，M 是AB 的中点，FG 经过点M ，且CFG ∆与ABC ∆有相同的内心。
求证：GM FM AM ⨯=2。
C第八题：证明垂直已知：ABC ∆为非直角三角形，AD 平分BAC ∠，D 在BC 上，AC DF ⊥于F ，AB DE ⊥于E ，CE 交BF 于P 。
求证：BC AP ⊥。
AB第九题：证明线段相等过圆O外一点P作圆O的两条切线PC、PD，切点分别为C、D，过劣弧CD上一点E作圆O的另一条切线分别交PC、PD于A、B，连结OE交CD于点N，连结PN交AB于点M。
MA 。
求证：MBP已知PA 、PB 是⊙O 切线，DE 是过C 的切线，D 、E 分别在AP 、PB 上，AB CF ⊥于F ，连接DF 、EF 。
求证：EFC DFC ∠=∠AC 。
设PAB是圆O的割线，PC是切线，CD是圆O的直径，DB、OP相交于E。
求证：CEP第十二题：证明线段相等设C、D是以O为圆心AB为直径的半圆上两点，过B做圆O的切线交CD于P，直线PO交直线CA、OE 。
AD分别于E、F。
求证: OF第十三题：证明角相等如图，ABC ∆中，D 、E 分别为AB 、AC 上一点，且BC DE //，BE 、CD 交于点F ，BDF ∆的外接圆⊙O ，与CEF ∆的外接圆⊙P 交于点G ，求证：CAG BAF ∠=∠。
第十四题：证明中点如图，⊙O、⊙P交于A、B两点，BO、PA延长线交于点C，CD、CE分别切⊙O、⊙P于D、E，连接DE交AB于F，求证：F为DE中点。
第十五题：证明线段的二次等式如图，半径不相等的两圆⊙O 、⊙P 交于A 、B 两点，过A 的直线CD 分别交⊙O 、⊙P 于C 、D ，CB 延长线交⊙P 于F ，DB 延长线交⊙O 于E ，过A 作CD 垂线交EF 中垂线于G ，求证：AD AC EG AG ⋅+=22C第十六题：证明角平分如图，ABC ∆内接于⊙O ，D 为BC 中点，AD 交⊙O 于E ，过E 作BC EF //，交⊙O 于F ，过C 作AC CG ⊥，交AE 于G 。
求证：FGC AGC ∠=∠。
第十七题：证明中点如图，ABC 内切圆⊙I 切BC 于D ，过I 作AD IE //交BC 于E ，过E 作⊙I 切线，分别交AB 、AC 于F 、G 。
求证：E 为FG 中点。
A第十八题：证明角相等如图，如图，⊙P、⊙Q交于A、B两点，它们的外公切线CD分别切⊙P、⊙Q于C、D，E为BA∠交FG于H。
求证：延长线上一点，EC交⊙P于F，ED交⊙Q于G，AH平分FAG∠。
=GDHFCH∠F第十九题：证明中点如图，⊙O 为ABC ∆外接圆，I 、E 分别为ABC ∆的内心和一个旁心，BAC ∠的外角平分线交BC 延长线于D ，DE IF ⊥于F ，交⊙O 于G 。
求证：G 为IF 中点。
第二十题：证明线段相等如图，在锐角ABC ∆中，C B ∠>∠，F 是BC 的中点，BE 、CD 是高。
G 、H 分别是FD 、FE 的中点，若过A 且平行于BC 的直线交GH 于I 。
求证：IF IA =B第二十一题：证明垂直如图，D 是ABC ∆边BC 上一点，ABD DAC ∠=∠，⊙O 过点B 、D 分别交AB 、AD 于E 、F ，直线BF 交DE 于G ，M 是AG 中点。
求证：AO CM ⊥。
C第二十二题：证明角相等如图，如图，CD 为⊙O 直径，PC 、PE 分别切⊙O 于C 、E ，割线PBA 交⊙O 于A 、B ，AC 、BD 交于点F ，DE 交AB 于G ，求证：ADE GFE ∠=∠。
D C如图，O 为ABC ∆外心，D 、E 分别为AB 、AC 上一点，DE OF ⊥于F ，L 、M 、N 分别为DE 、BE 、CD 中点。
求证：F 、L 、M 、N 四点共圆。
A如图，ABC ∆内切圆⊙I 切BC 于D ，BC AE ⊥于E ，F 为AE 中点，DF 交⊙I 于G ，作BCG ∆的外接圆⊙O ，求证：⊙O 、⊙I 相切于点G 。
B∆内接于⊙O，内切圆⊙I分别切AB、AC于J、K，AO交⊙O于D，连接DI，延长如图，ABCAG=。
CA到F，使得BJAF=，过F作DI的垂线交BA延长线于G，求证：CK第二十六题：证明四条线段相等如图，⊙O 为ABC ∆外接圆，AD 平分BAC ∠交⊙O 于D ，BD OE //交AB 于E ，CD OF //交AC 于F ，H 为ABC ∆垂心，AD HG //交BC 于G ，求证：CF GF GE BE ===。
第二十七题：证明线段比例等式如图，四边形ABCD 中，AC AB =，ABD ∆外接圆⊙1O 交AC 于F ，ACD ∆外接圆⊙2O 交AB 于E ，BF 、CE 交于点G ，求证：CDBDCG BG =。
第二十八题：证明角的倍数关系如图，O 为ABC ∆外心，D 为ABC ∆内一点，使得DCB DAB ∠=∠，DCB DAC ∠=∠，E 为AD 中点，过E 作AD EF ⊥交CB 延长线于F ，连接FA 、FD 、FO ，求证：OFC AFD ∠=∠2。
F第二十九题：证明三线共点的外接圆⊙P 如图，⊙O的内接四边形ABCD，AB、DC交于点E，AD、BC交于点F，EFC交⊙O于G，AG交EF于H，HC交⊙O于I，求证AI、GC、FE三线共点。